小边中跨比混合梁斜拉桥合理跨径布置方法研究

Study on Rational Span Arrangement Method for Lower Edge-to-Mid Ratio Hybrid Girder Cable-Stayed Bridges

摘要

混合梁斜拉桥受建设条件限制，往往需要采用更小的边中跨比值，然而在小边中跨比情况下，快速确定混合梁斜拉桥跨径布置的合理性尚需研究。针对小边中跨比的混合梁斜拉桥的跨径布置方式进行力学推导。从斜拉桥合理成桥状态出发，考虑主梁钢混交界面设置于边跨和中跨两种情况，推导了交界面位置合理取值范围的计算方法，得到了便于快速设计计算的公式，并给出了边中跨比最小取值计算方法。通过对多座建成的斜拉桥参数进行校验，论证了所提方法的准确性。利用该方法对闽安特大桥的跨径布置进行论证，桥梁在取更极限的小边中跨比的情况下仍然处于桥梁合理成桥状态。

Abstract

When faced with stringent construction constraints， the span arrangement of steel-concrete hybrid girder cable-stayed bridges is required to reduce the edge-to-middle span ratios， which might fall below conventional values. In this case， the rapid determination of the rational span arrangement for the hybrid girder cable-stayed bridge requires further research. The span arrangement method for lower edge-to-mid ratio hybrid girder cable-stayed bridges is derived. Based on the rational dead load state of cable-stayed bridge， the calculation methods for determining the optimal range of the interface position between the steel girder and the concrete girder are given. Two scenarios of the interface position， edge-span and middle-span， are considered. Formulas are obtained to facilitate rapid design calculations. The calculation method for the minimum edge-to-middle span ratio is provided. The accuracy of the method proposed has been verified through the parameters of several completed cable-stayed bridges. This methodology has been validated by a span arrangement of Min’an Grand Bridge， which achieves the rational dead load state with an edge-to-middle span ratio below the typical values.

Graphical abstract

关键词

斜拉桥 / 钢混混合梁 / 跨径布置 / 理想成桥状态

Key words

cable-stayed bridges / steel-concrete hybrid girder / span arrangement / rational dead load state

0 引 言

混合梁斜拉桥是主梁由钢梁和混凝土梁组合而成的新型斜拉桥结构^［1］。其主跨采用钢梁减轻全桥自重，提高跨越能力，边跨采用混凝土梁，提高全桥刚度，达到良好边跨锚固效果。该结构充分发挥钢与混凝土两种材料的特性，能减少边跨的长度、降低桥梁的建设成本，具有良好的经济效益^［2］。

混合梁斜拉桥常用边中跨比取值范围为0.30~0.45^［3］。但受建设条件限制，采用混合梁斜拉桥方案往往需要采用更小边中跨比的桥跨布置方案。小边中跨比斜拉桥能否达到理想成桥状态则是对其合理性评价的重要标准之一。斜拉桥理想成桥状态是指桥塔和主梁在恒载作用下处于无弯矩或者仅局部处于小弯矩状态，通过判断桥塔与主梁的受力状态来评价斜拉桥设计的优劣^［4-5］。为了保证混合梁斜拉桥主梁和索塔处于理想合理的成桥状态，需要根据桥梁建设参数选取合理的跨径布置参数。其中，边中跨长度和钢主梁、混凝土主梁的长度对混合梁斜拉桥的成桥状态有直接的影响，故边中跨比和钢混主梁交界面位置是评价小边中跨比斜拉桥跨径布置合理性的决定性参数。已有文献^［6-11］参照变化参数的有限元计算结果，以内力应力分布状态或弯曲应变能大小为评判标准，对一般混合梁斜拉桥的跨径布置合理性展开讨论。但该方法依赖模型计算结果而不便于在桥梁初步设计阶段快速确定跨径布置参数；同时既有文献鲜有针对小边中跨比情况的分析讨论。如何快速确定小边中跨比的极限小值及确定主梁钢混交界面的合理位置是桥梁初步设计阶段需要解决的问题。

本文从斜拉桥合理成桥状态出发，推导了快速确定混合梁斜拉桥的主梁钢混交界面位置合理取值范围的方法及便于设计计算的公式，并给出了边中跨比最小取值计算方法。结合主跨716 m的小边中跨比混合梁斜拉桥闽安特大桥进行论证分析，应用该方法评估和指导桥梁初步设计阶段跨径布置，为混合梁斜拉桥初步设计阶段合理布置桥梁跨径提供参考。

1 合理跨径布置求解

混合梁斜拉桥主梁的钢梁与混凝土梁交界面（以下简称交界面）既可以设置在边跨内，也可以设置于中跨内，本文针对交界面布置在这两种位置情况下的位置变化范围限值分别进行推导。

为了简化模型，假设钢主梁和混凝土主梁的自重沿顺桥向均匀分布，将塔梁交界处O以上的塔、梁、索作为一个整体，并基于塔梁交界处O的弯矩平衡进行分析。

1.1　交界面设于边跨

根据理想成桥状态的重力平衡要求，可以得到混合梁中钢梁与混凝土梁的长度变化（即交界面位置取值）的两个临界条件。其中，交界面位置临界条件一（即混凝土主梁长度下限）应满足：边跨梁重力平衡中跨梁重力，成桥状态下边跨辅助墩恰好不出现负反力和多余支撑力。交界面位置临界条件二（即混凝土主梁长度上限）应满足：边跨梁重力与中跨梁重力及中跨满布活载平衡，边跨在恒活载布载条件下不出现负反力和多余支承力。依据两个临界条件可以得到交界面设于边跨时，混合梁斜拉桥半结构计算简图如图1所示，图中并未详细绘出斜拉索具体分布。

图1中参数L_{\mathrm{a}}为边跨跨径；L_{\mathrm{m}}为中跨跨径；L_{\mathrm{a}\mathrm{1}}为边跨内混凝土梁的长度；L_{\mathrm{a}\mathrm{2}}为边跨内钢梁的长度，0≤L_{\mathrm{a}\mathrm{2}}≤L_{\mathrm{a}}；g_{\mathrm{a}}和g_{\mathrm{m}}分别为混凝土梁和钢梁包括二期恒载在内的主梁恒载每延米集度；p为中跨满布活载的每延米集度。

为了便于计算，定义M(w,L)为从塔根处单侧向外满布长度为L的均布荷载w引起塔根处的弯矩大小，则有：

M(w,L)=wL·\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}L=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}w{L}^{\mathrm{2}}（1）

根据边中跨主梁恒活载对塔根O的力矩平衡条件进行力学分析，结合叠加原理，可以将钢混主梁交界面位置取值的临界条件用下式表示：

M(g_{\mathrm{a}},L_{\mathrm{a}})-M(g_{\mathrm{a}},L_{\mathrm{a}\mathrm{2}})+M(g_{\mathrm{m}},L_{\mathrm{a}\mathrm{2}})\ge M\left(g_{\mathrm{m}},\frac{L_{\mathrm{m}}}{\mathrm{2}}\right)（2）

M(g_{\mathrm{a}},L_{\mathrm{a}})-M(g_{\mathrm{a}},L_{\mathrm{a}\mathrm{2}})+M(g_{\mathrm{m}},L_{\mathrm{a}\mathrm{2}})\le M\left(g_{\mathrm{m}},\frac{L_{\mathrm{m}}}{\mathrm{2}}\right)+M\left(p,\frac{L_{\mathrm{m}}}{\mathrm{2}}\right)（3）

定义钢梁与混凝土梁恒载集度比为{\lambda }_{\mathrm{m}/\mathrm{a}}=g_{\mathrm{m}}/g_{\mathrm{a}}，活载与钢梁恒载集度比为{\lambda }_{\mathrm{p}/\mathrm{m}}=p/g_{\mathrm{m}}，边中跨长度比为r_{\mathrm{a}}=L_{\mathrm{a}}/L_{\mathrm{m}}，定义钢梁伸入边跨内长度与中跨长度的比值为伸入长度比参数r_{\mathrm{s}}，即r_{\mathrm{s}}=L_{\mathrm{a}\mathrm{2}}/L_{\mathrm{m}}，0≤r_{\mathrm{s}}≤r_{\mathrm{a}}，则使用参数r_{\mathrm{s}}可以表示钢混主梁交界面位置。将式（1）代入式（2）和（3），可化简推导得到下式：

r_{\mathrm{a}}^{\mathrm{2}}-(\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{m}/\mathrm{a}})r_{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\ge \frac{{\lambda }_{\mathrm{m}/\mathrm{a}}}{\mathrm{4}}（4）

r_{\mathrm{a}}^{\mathrm{2}}-(\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{m}/\mathrm{a}})r_{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\le \frac{{\lambda }_{\mathrm{m}/\mathrm{a}}(\mathrm{1}+{\lambda }_{\mathrm{p}/\mathrm{m}})}{\mathrm{4}}（5）

由此可以得到，在满足混合梁斜拉桥理想成桥状态假设下，伸入长度比r_{\mathrm{s}}的合理区间如式（6）所示。由公式可知，混合梁斜拉桥合理钢混主梁交界面位置r_{\mathrm{s}}的取值与桥梁边中跨比r_{\mathrm{a}}、钢混梁重比{\lambda }_{\mathrm{m}/\mathrm{a}}、活恒载比{\lambda }_{\mathrm{p}/\mathrm{m}}有关，且有0≤r_{\mathrm{s}}≤r_{\mathrm{a}}。

\sqrt[]{\frac{r_{\mathrm{a}}^{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{\lambda }_{\mathrm{m}/\mathrm{a}}(\mathrm{1}+{\lambda }_{\mathrm{p}/\mathrm{m}})}{\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{m}/\mathrm{a}}}}\le r_{\mathrm{s}}\le \sqrt[]{\frac{r_{\mathrm{a}}^{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{\lambda }_{\mathrm{m}/\mathrm{a}}}{\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{m}/\mathrm{a}}}}（6）

1.2　交界面设于中跨

与上节类似，交界面设于中跨时同样存在两个临界条件。临界条件一满足：边跨梁重力平衡中跨梁重力，成桥状态下边跨辅助墩恰好不出现负反力。临界条件二满足：边跨梁重力与中跨梁重力及中跨满布活载平衡，边跨在恒活载布载条件下不出现负反力。依据两个临界条件可以得到交界面设于中跨时，混合梁斜拉桥半跨计算简图如图2所示。图2中L_{\mathrm{m}\mathrm{1}}为中跨内混凝土梁的长度，0≤L_{\mathrm{m}\mathrm{2}}≤L_{\mathrm{m}}/\mathrm{2}；L_{\mathrm{m}\mathrm{2}}为中跨内钢梁的长度。

类比前述求解过程，可以得到钢混主梁交界面位置取值的临界上下限满足下式：

M(g_{\mathrm{a}},L_{\mathrm{a}})\ge M\left(g_{\mathrm{m}},\frac{L_{\mathrm{m}}}{\mathrm{2}}\right)-M(g_{\mathrm{m}},L_{\mathrm{m}\mathrm{1}})+M(g_{\mathrm{a}},L_{\mathrm{m}\mathrm{1}})（7）

M(g_{\mathrm{a}},L_{\mathrm{a}})\le M\left(g_{\mathrm{m}},\frac{L_{\mathrm{m}}}{\mathrm{2}}\right)-M(g_{\mathrm{m}},L_{\mathrm{m}\mathrm{1}})+M(g_{\mathrm{a}},L_{\mathrm{m}\mathrm{1}})+M\left(p,\frac{L_{\mathrm{m}}}{\mathrm{2}}\right)（8）

定义混凝土梁伸入中跨内长度与中跨长度比值为伸入长度比参数r_{\mathrm{s}}，即r_{\mathrm{s}}=L_{\mathrm{m}\mathrm{1}}/L_{\mathrm{m}}，0≤r_{\mathrm{s}}≤0.5。将式（1）代入式（7）和（8），可推导得到下式：

r_{\mathrm{a}}^{\mathrm{2}}\ge (\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{m}/\mathrm{a}})r_{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}+\frac{{\lambda }_{\mathrm{m}/\mathrm{a}}}{\mathrm{4}}（9）

r_{\mathrm{a}}^{\mathrm{2}}\le (\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{m}/\mathrm{a}})r_{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}+\frac{{\lambda }_{\mathrm{m}/\mathrm{a}}(\mathrm{1}+{\lambda }_{\mathrm{p}/\mathrm{m}})}{\mathrm{4}}（10）

由此可以得到，在满足混合梁斜拉桥理想成桥状态假设下，伸入长度比r_{\mathrm{s}}的合理区间如式（11）所示。该式与式（6）形式是一致的。由公式可知，合理钢混主梁交界面位置r_{\mathrm{s}}的取值与桥梁边中跨比r_{\mathrm{a}}、钢混梁重比{\lambda }_{\mathrm{m}/\mathrm{a}}、活恒载比{\lambda }_{\mathrm{p}/\mathrm{m}}有关，且有0≤r_{\mathrm{s}}≤0.5。

\sqrt[]{\frac{r_{\mathrm{a}}^{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{\lambda }_{\mathrm{m}/\mathrm{a}}(\mathrm{1}+{\lambda }_{\mathrm{p}/\mathrm{m}})}{\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{m}/\mathrm{a}}}}\le r_{\mathrm{s}}\le \sqrt[]{\frac{r_{\mathrm{a}}^{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{\lambda }_{\mathrm{m}/\mathrm{a}}}{\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{m}/\mathrm{a}}}}（11）

1.3　跨径布置取值分析

式（6）与式（11）基于钢混主梁交界面设置在边跨和中跨两种情况，分别得到了混合梁斜拉桥交界面位置的参数r_{\mathrm{s}}的合理区间。尽管交界面的位置不同，但二者的表达式完全一致，说明对于满足理想成桥状态的混合梁斜拉桥，不论钢混主梁交界面设置在边跨还是设置在中跨，交界面参数取值均满足相同的控制条件，可以采用统一的表达式［即式（6）］进行计算分析。

依据式（6）可以在混合梁斜拉桥初步设计阶段合理布置桥梁跨径。对于给定的恒载活载条件，依据公式即可得到理想成桥状态的混合梁斜拉桥伸入长度比r_{\mathrm{s}}与边中跨比r_{\mathrm{a}}之间的约束关系。确定了边中跨比r_{\mathrm{a}}取值，则可以确定钢混交界面位置的选取的上下限区间。当参数r_{\mathrm{s}}取值高于式的上限时，表明桥梁边跨较轻、中跨较重，在恒载情况下边跨出现负反力，辅助墩需要设置拉力墩。当参数r_{\mathrm{s}}取值低于式的下限时，则表示边跨偏重，在中跨满布活载时边跨仍有较大的正反力。对于该种跨径布置，如果需要使桥塔获得较理想的恒载弯矩，则边跨在多余部分重力作用下将产生较大的恒载弯矩。

同时为了使得式（6）上限取值存在，则边中跨比r_{\mathrm{a}}存在最小取值。由上限取值的根号内分子值大于0，则边中跨比r_{\mathrm{a}}需要满足下式：

r_{\mathrm{a}}\ge \sqrt[]{\frac{{\lambda }_{\mathrm{m}/\mathrm{a}}}{\mathrm{4}}}（12）

式（12）表明小边中跨比混合梁斜拉桥的边中跨比取值存在最小取值。边中跨比r_{\mathrm{a}}的最小值与钢混梁重比{\lambda }_{\mathrm{m}/\mathrm{a}}正相关。在桥梁初设阶段给定钢梁和混凝土梁截面特征即可大致确定钢混梁重比，从而得到小边中跨比最小取值。如果小边中跨比取值小于该值，则不论主梁钢混交界面的位置如何布置，均无法使混合梁斜拉桥达到理想成桥状态。故在确定桥梁初始设计参数时应该避免边中跨比取值小于该限制值，或者通过适当减小钢主梁截面、增大混凝土主梁截面从而降低钢混梁重比进行调整。

2 简化计算方法

在桥梁初步设计阶段，确定钢梁和混凝土梁的主梁截面、材料后，即可确定钢混梁重比{\lambda }_{\mathrm{m}/\mathrm{a}}和活恒载比{\lambda }_{\mathrm{p}/\mathrm{m}}的取值。参照本文式（12）可以得到小边中跨比混合梁斜拉桥的边中跨比最小取值。选取合适的边中跨比r_{\mathrm{a}}取值后，参照本文式（6）可以计算得到主梁钢混交界面取值参数r_{\mathrm{s}}的临界取值上下限，即得到主梁钢混交界面合理的布置区间。

此外，也可以选取使用绘图法确定的钢混交界面合理布置区间。在r_{\mathrm{a}}-r_{\mathrm{s}}图中绘制式（13）和式（14）两条曲线，两曲线与r_{\mathrm{s}}=\mathrm{0}围成的区域即为该建设条件下钢混交界面位置选取的合理区间。

r_{\mathrm{s}}=\sqrt[]{\frac{r_{\mathrm{a}}^{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{\lambda }_{\mathrm{m}/\mathrm{a}}(\mathrm{1}+{\lambda }_{\mathrm{p}/\mathrm{m}})}{\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{m}/\mathrm{a}}}}（13）

r_{\mathrm{s}}=\sqrt[]{\frac{r_{\mathrm{a}}^{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{\lambda }_{\mathrm{m}/\mathrm{a}}}{\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{m}/\mathrm{a}}}}（14）

对常见的钢梁与混凝土梁总恒载之比{\lambda }_{\mathrm{m}/\mathrm{a}}的近似取值{\lambda }_{\mathrm{m}/\mathrm{a}}=1/6、1/5、1/4、1/3进行了计算，取活恒载比{\lambda }_{\mathrm{p}/\mathrm{m}}=\mathrm{0.25}。对于混合梁斜拉桥边中跨比r_{\mathrm{a}}取值一般不超过0.5，故取边中跨比上限为r_{\mathrm{a}}=\mathrm{0.5}。得到混合梁斜拉桥合理结合段位置与跨径布置的关系曲线如图3所示。

3 计算方法的验证

参照上述方法，对几座典型的混合梁斜拉桥的主梁钢混交界面位置进行了计算，汇总得到表1。

由表1可知，对于所列的几座混合梁斜拉桥，其钢混交界面位置大多处于按上述方法确定的计算合理布置范围。香港昂船洲大桥边跨较重，边跨支墩反力始终为正值。这样的设计通过增加边跨重量，增加边跨对中跨的锚固效果，从而有效控制跨中的活载变形。

4 计算方法应用分析

下面以建设中的小边中跨比混合梁斜拉桥——闽安特大桥为工程实例，应用该计算方法评估和指导桥梁初步设计阶段跨径布置。

闽安特大桥是位于福州、跨越闽江的大桥。受制于桥梁建设选址处的地形，桥梁两端需直接承接隧道交通，为避免在河道内开挖基础，主塔需靠岸建设，使得桥梁需要采用小于常规混合梁斜拉桥的边中跨比值。桥梁拟取更极限的小边中跨比，即0.25，低于混合梁斜拉桥常用边中跨比取值范围0.30~0.45^［3］。该桥梁拟采用独柱式双塔双索面混合梁方案，桥跨布置为3×60 m+716 m+3×60 m=1 076 m。其中钢混交界面设置在边跨侧内距离索塔中心线35 m处。主跨716 m及塔梁交界至边跨35 m范围内采用钢箱梁。桥梁跨径布置如图4所示。同时，闽安特大桥没有设置两侧边跨压重或设置抗拉辅助墩，而是通过混凝土主梁和钢梁自重实现桥梁合理平衡状态，故在桥梁初设阶段需要对其跨径布置合理性进行研究论证。

参照本文式（6），在闽安特大桥的边中跨比取值为0.25的情况下，代入钢混梁重比的近似取值{\lambda }_{\mathrm{m}/\mathrm{a}}=1/6、1/5、1/4、1/3分别进行计算，并取活恒载比{\lambda }_{\mathrm{p}/\mathrm{m}}=0.200、0.250两种取值，获得了不同钢混梁重比和活恒载比下闽安特大桥主梁钢混交界面取值参数r_{\mathrm{s}}的临界取值上下限表，见表2。

由表2可知，当钢混梁重比取值较大（如1/4、1/3）时，伸入长度比r_{\mathrm{s}}的临界上限较小或不存在，在此设计条件下，难以取得使得混合梁斜拉桥处于合理成桥状态的交界面位置。闽安特大桥混合梁斜拉桥设计方案为了合理取得更极限的小边中跨比，主梁截面设计上有意加厚混凝土梁截面。通过采取更小的钢混梁重比1/5，避免边中跨比小于式（12）的最小值限制。

闽安特大桥混合梁斜拉桥设计方案通过调整钢梁和混凝土梁的标准截面尺寸，钢梁与混凝土梁总恒载之比近似为{\lambda }_{\mathrm{m}/\mathrm{a}}=1/5，钢梁活恒载比近似为{\lambda }_{\mathrm{p}/\mathrm{m}}=0.25。参照表2，此时主梁钢混交界面位置参数的合理取值范围为0.025~0.127。而闽安特大桥钢混交界面位置取为边跨处距离塔根35 m，对应的位置参数取值为0.049，在合理区间范围内。最终可以初步判断闽安特大桥混合梁斜拉桥设计方案跨径布置合理。

同时也可以采用绘图法对闽安特大桥混合梁斜拉桥跨径布置合理性进行判断。将闽安特大桥桥梁跨径布置参数点（r_{\mathrm{a}}，r_{\mathrm{s}}）绘制于合理交界面位置与跨径布置的关系曲线图中，如图5所示。由图5可知，闽安特大桥的跨径布置参数位于图中阴影的合理交界面位置区域内，说明该桥梁跨径布置方案合理。该桥梁在初步设计阶段通过合理调节钢混梁重比、活恒载比和钢混交界面的位置，使得桥梁在取更极限的小边中跨比的情况下仍然处于桥梁合理成桥状态。

5 结 论

本文从斜拉桥合理成桥状态出发，基于钢混主梁交界面设置在边跨和中跨两种情况，推导了快速确定混合梁斜拉桥的主梁钢混交界面位置合理取值范围的方法及便于设计计算的公式，并给出了边中跨比最小取值计算方法，结合具体工程的应用讨论了交界面布置位置的合理性。本文得到的主要结论如下：

（1） 基于斜拉桥理想成桥状态得到了小边中跨比混合梁斜拉桥的主梁钢混交界面位置合理取值范围计算公式。合理交界面位置的选取与桥梁边中跨比、钢混梁重比和活恒载比有关。

（2） 在桥梁初步设计阶段，给定恒载活载条件和小边中跨比，则可以确定主梁钢混交界面位置的上下限区间，当交界面位置参数r_{\mathrm{s}}高于上限值则桥梁边跨偏轻；当交界面位置参数r_{\mathrm{s}}低于下限值则桥梁边跨偏重。

（3） 小边中跨比混合梁斜拉桥的边中跨比存在最小取值，如果边中跨取值比小于该值，则不论钢混交界面的位置如何布置，均无法使混合梁斜拉桥达到理想成桥状态。

（4） 通过合理选取钢混梁重比、活恒载比，以及调整钢混交界面的位置，闽安特大桥在取更极限的小边中跨比的情况下仍能达到桥梁合理成桥状态。

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