刚性盖梁双柱墩容许位移简化计算方法

Simplified Calculation Method for Allowable Displacement of Double-Column Pier with a Rigid Cover Beam

摘要

为简化刚性盖梁双柱墩横桥向容许位移计算方法，进行了试验和理论研究。试验研究了6个矩形截面混凝土墩柱，5个墩柱承受变轴力和往复荷载，1个墩柱承受恒定轴力和往复荷载。试验结果表明，变轴力墩柱在轴压比达到最大时发生平面外失稳破坏，即破坏状态由最大轴力控制，这个发现简化了行业标准《公路桥梁抗震设计规范》（JTG/T 2231-01—2020）7.4.8条和Caltrans seismic design criteria（2019）规范C5.2.2条关于塑性铰极限曲率的判定条件。理论分析了刚性盖梁双柱墩发生横桥向变形时的受力特点，将双柱墩位移计算简化为变轴力的单个墩柱位移计算。在上述分析的基础上提出刚性盖梁双柱墩横桥向容许位移简化计算方法，以非线性Push-over法检验简化计算方法的精度和安全储备，结果可接受。简化计算方法简单，可快速地得到容许位移，可供设计人员参考。

Abstract

To simplify the method for calculating the allowable displacement of double-column piers with a rigid cap beam， this study combines experimental and theoretical investigations. Tests were conducted on six rectangular concrete pier columns， five of which were subjected to variable axial loads and cyclic loading， while one was under constant axial load and cyclic loading. The test results indicate that out-of-plane instability failure occurs in columns under variable axial loads when the axial compression ratio reaches its maximum， suggesting that the failure state is governed by the maximum axial force. This observation simplifies the criteria for determining the limiting curvature of plastic hinges， as specified in Clause 7.4.8 of the “Specifications for Seismic Design of Highway Bridges” （JTG/T 2231-01—2020） and Clause C5.2.2 of the “Caltrans Seismic Design Criteria” （2019）. A theoretical analysis of the mechanical behavior during lateral deformation of the double-column pier with a rigid cap beam was performed， simplifying the displacement calculation to that of a single column subjected to variable axial forces. Based on these analyses， a simplified method for calculating the allowable lateral displacement of double-column piers with a rigid cap beam in the transverse direction is proposed. The accuracy and safety margin of the simplified method were evaluated using nonlinear push-over analysis， and the results are deemed acceptable. The proposed method is straightforward and enables rapid estimation of allowable displacements， offering a useful reference for engineering design.

Graphical abstract

关键词

桥梁工程 / 双柱墩 / 刚性盖梁 / 容许位移 / 变轴力 / Push-over / 混凝土

Key words

bridge engineering / double-column pier / rigid cap beam / allowable displacement / variable axial load / Push-over / concrete

0 引 言

双柱墩在公路桥和城市高架桥中广泛应用，但横桥向的容许位移计算是一件繁琐的事，对于规则桥梁双柱墩，很难根据塑性铰转动能力直接给出墩顶容许位移计算公式^［1-2］。《公路桥梁抗震设计规范》（JTG/T 2231-01—2020）（以下简称《规范》）^［1］7.4.6条、《城市桥梁抗震设计规范》（CJJ 166—2011）^［2］7.3.7条和Caltrans seismic design criteria（2019）规范^［3］C5.2.2条均指出，可采用非线性推导分析（Push-over）计算容许位移。Berry等^［4］的报告给出了基于试验数据的回归方程计算容许位移，但报告指出回归方程没有考虑加载历史，且大多数研究者没有使用客观方法确定构件破坏状态，而是依靠主观判断，这导致了数据的离散性。

关于双柱墩的抗震性能已有研究，张洁等^［5］完成了双层高架桥墩的拟静力试验，分析了纵筋配筋率对其抗震性能的影响。吴宜峰等^［6］采用ANASYS有限元软件分析了钢筋混凝土双柱墩的轴压比、配筋率、配箍率、混凝土强度对其抗震性能的影响。沈星等^［7］提出双柱墩弹塑性位移简化计算方法。Wang等^［8］提出了双柱墩容许位移简化计算公式。Zhou等^［9］进行了后张预应力摇摆双柱墩振动台试验，这种结构形式表现出卓越的震后恢复性能。李嘉维等^［10］和夏樟华等^［11］通过试验研究了装配式双柱墩在双向水平荷载下的抗震性能。石岩等^［12］总结了双柱墩抗震性能研究进展，指出汶川地震中双柱墩遭受更普遍和严重的破坏。双柱墩发生横桥向变形时单个墩柱的轴力变化很大，单个墩柱在变轴力作用下的抗震性能已有研究。Kim等^［13］进行了理论和试验研究，结果表明变轴力及不同的荷载路径对桥墩的延性、强度、刚度和耗能有重要影响。史庆轩等^［14］研究了新型型钢混凝土柱的抗震性能，试验表明变轴力作用下柱的抗震性能明显不对称，且比定轴力柱更不利。Rodrigues等^［15］通过试验研究了钢筋混凝土柱在6种双向水平荷载和变轴力下的抗震性能，结果表明变轴力柱发生破坏的侧移值小于恒定轴力柱。黄俊飞等^［16］采用OpenSees软件分析了横系梁对双柱墩抗震性能的影响。郭玉荣等^［17］完成了足尺的变轴力钢筋混凝土柱抗震性能试验。孙治国^［1］对钢筋混凝土桥墩的抗震变形能力进行了研究。如何将变轴力墩柱的试验结果应用于双柱墩还需进一步研究。

应用Push-over法计算容许位移的难点在于判断塑性铰何时达到极限曲率。《规范》^［1］7.4.8条给出三个条件：①混凝土应变达到极限压应变；②纵筋达到折减极限应变；③约束钢筋达到折减极限应变。Caltrans规范^［3］C5.2.2条的判定条件为前两个。如图1所示，双柱墩发生横桥向变形时判断四个塑性铰哪个先达到极限曲率是一件繁琐的事情，本文为简化计算，提出刚性盖梁双柱墩容许位移简化计算方法，主要完成两部分工作：①进行单个墩柱的变轴力抗震性能试验，根据破坏现象简化塑性铰达到极限曲率的判定条件；②提出刚性盖梁双柱墩容许位移简化计算方法，通过算例对比简化方法和Push-over法的数值结果，分析简化方法的精度和安全储备。

1 刚性盖梁双柱墩受力特点

根据强梁弱柱设计原则，盖梁属于能力保护构件，墩柱属于耗能构件^［1，3］。工程中盖梁的强度和刚度常比墩柱大很多，发生横向水平位移时盖梁变形相对于形成塑性铰的墩柱小很多，可忽略（图1），即假定为刚性。图2（a）中盖梁表示为一根粗直线，单个墩柱可简化为图2（b），双柱墩横向变形时模型B的轴力N不断变化，变化的轴力对柱端位移影响较大^［4］，需进行变轴力墩柱抗震性能试验分析图2（c）的力学性能。

2 试验概况

2.1　试件设计

Caltrans规范^［3］5.3.3条规定，恒载作用下墩柱轴压比应小于等于0.15，恒载和转动引起的轴压比应小于等于0.22；文献［16］统计了美国、日本墩柱的试验数据。综合这两方面数据设计6个试件，试件参数见表1，试件Z3-d承受恒定轴力，轴压比为0.25，其他5个试件（Z1、Z2、Z3-b、Z4、Z5）承受变轴力，轴压比在0.05~0.25之间变化。采用MTS公司的电液伺服作动器施加荷载，竖向荷载控制、水平向位移控制。试件设计及安装如图3—图4所示，作动器两端为球铰墩柱，侧向没有约束，以此模拟墩柱，最不利的受力情况，加载制度如图5所示。材料力学指标：混凝土立方块抗压强度平均值f_cu，m=44.61 MPa，轴心抗压强度平均值f_cm=29.39 MPa；HRB400钢筋屈服强度为465 MPa，抗拉强度为640 MPa。

2.2　试验结果及分析

试验主要结果如图6—图7所示，图6（a）Z3-d试件承受恒定轴力，轴压比为0.25，实线部分最大水平位移为28 mm，虚线部分最大位移为32 mm，构件处于虚线部分时压区角部竖向裂缝发展很快，导致混凝土成块剥落，有晃动、不稳定，最终发生平面外失稳破坏。图6（b）Z3-b试件承受变轴力，轴压比在0.05~0.25之间变化，实线部分最大位移为28 mm、虚线部分最大位移为36 mm，构件轴压比达到最大0.25时滞回曲线处于虚线部分，压区角部混凝土竖向裂缝迅速发展，出现块状剥落，最终发生平面外失稳破坏。其他变轴力墩柱的破坏状态与试件Z3-b类似。对比图7（a）、（b），试件Z3-d和Z3-b的破坏均是由于柱根两角处受压区混凝土的竖向裂缝发展导致不对称起皮剥落，使截面形心与轴力之间的偏心距突然增大，即平面外弯矩突然增大，导致试件平面外失稳破坏，也就是破坏状态由最大轴力控制。

3 刚性盖梁双柱墩容许位移简化计算方法

《规范》7.4.6条和Caltrans规范^［3］C.3.5.1条指出，双柱墩的任意塑性铰达到其最大容许转角时，盖梁处的横向水平位移为容许位移。刚性盖梁双柱墩发生横向位移时一个墩柱轴力变小，另一个墩柱轴力变大，由变轴力墩柱试验可知最终破坏是由最大轴力控制，因此可选择轴力增大的墩柱确定其极限曲率，对应位移为容许位移。因单个墩柱的轴力不断变化，须先计算极限状态下单个墩柱的轴力才能得到极限曲率。

3.1　轴力变化量

图8（a）中，双柱墩发生横向水平位移时，左柱轴力减小ΔP，右柱轴力增加ΔP，当两柱端均达到屈服弯矩M_{\mathrm{y}\mathrm{1}}、M_{\mathrm{y}\mathrm{2}}时，取盖梁为隔离体列平衡方程，两柱轴力变化量产生的弯矩与两柱端弯矩平衡：

\left[\left(P+\mathrm{\Delta }P\right)-P\right]\cdot B-\left(M_{\mathrm{y}\mathrm{1}}+M_{\mathrm{y}\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0}

\mathrm{\Delta }P=\left(M_{\mathrm{y}\mathrm{1}}+M_{\mathrm{y}\mathrm{2}}\right)/B（1）

式中：L为双柱墩高度；B为墩柱轴线距离。

图8（a）中，左柱轴力P-ΔP时柱端屈服弯矩为M_{\mathrm{y}\mathrm{1}}，右柱轴力P+ΔP时柱端屈服弯矩为M_{\mathrm{y}\mathrm{2}}；图8（b）中，初始轴力P时柱端屈服弯矩为M_{\mathrm{y}}，经OpenSees分析验算，提出假定M_{\mathrm{y}\mathrm{1}}+M_{\mathrm{y}\mathrm{1}}\approx \mathrm{2}{M}_{\mathrm{y}}，代入式（1）得到式（2），即轴力变化量。

\mathrm{\Delta }P=\mathrm{2}{M}_{\mathrm{y}}/B（2）

3.2　容许位移简化计算公式

图8（b）中，根据《规范》7.4.7条由初始轴力P求P-M-φ曲线得到M_{\mathrm{y}}，由公式（2）求ΔP。图8（c）模型D的容许位移等于图2（c）模型C容许位移的2倍，由《规范》7.4.4条可得公式（3）。

{\Delta }_{\mathrm{u}}=\mathrm{2}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{H}^{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{y}}+\left(H-\frac{L_{\mathrm{p}}}{\mathrm{2}}\right){\theta }_{\mathrm{u}}\right]

=\mathrm{2}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\cdot {\left(\frac{L}{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}\cdot {\varphi }_{\mathrm{y}}+\left(\frac{L}{\mathrm{2}}-\frac{L_{\mathrm{p}}}{\mathrm{2}}\right){\theta }_{\mathrm{u}}\right]

=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{L}^{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{y}}+\left(L-L_{\mathrm{p}}\right){\theta }_{\mathrm{u}}（3）

式中：{\Delta }_{\mathrm{u}}为双柱墩容许位移；H为单个墩柱反弯点至端点距离，即L/2高度；L_p为等效塑性铰区长度；θ_u为塑性铰区域的最大容许转角，《规范》7.4.5条规定：

{\theta }_{\mathrm{u}}=\frac{L_{\mathrm{p}}\left({\varphi }_{\mathrm{u}}-{\varphi }_{\mathrm{y}}\right)}{K_{\mathrm{d}\mathrm{S}}}（4）

式中：K_{\mathrm{d}\mathrm{S}}为延性安全系数，可取2.0。

考虑到式（3）、式（4）中L_p是恒定轴力下的等效塑性铰区长度，而双柱墩发生横桥向位移时一侧墩柱轴力不断增加，加载路径与恒定轴力柱不同，因此变轴力下墩柱的等效塑性铰区长度也不同于恒定轴力。本文根据数值算例试算提出修正系数β对《规范》7.4.4条L_p进行修正，即用βL_p替换L_p，式（3）修订如下：

{\Delta }_{\mathrm{u}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{L}^{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{y}}+\left(L-\beta L_{\mathrm{p}}\right){\theta }_{\mathrm{u}}（5）

令L_{\mathrm{p}}^{\text{'}}=\beta L_{\mathrm{p}}，代入上式得：

{\Delta }_{\mathrm{u}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{L}^{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{y}}+\left(L-L_{\mathrm{p}}^{\text{'}}\right){\theta }_{\mathrm{u}}（6）

\beta =\mathrm{0.2834}\left(L/B\right)+\mathrm{0.9293}（7）

式中：\beta为考虑双柱墩加载路径的等效塑性铰区长度修正系数，由简化方法与考虑二阶效应和材料弹塑性的Push-over法对比、拟合后得到；L_{\mathrm{p}}^{\text{'}}为双柱墩中轴力变大的单个墩柱的上端、下端的等效塑性铰区长度。

3.3　算例

3.3.1　推覆分析

利用OpenSees有限元软件建立图2（a）双柱墩模型，参数：两墩柱的截面尺寸b×h、配筋、钢筋和混凝土强度均与试件Z3相同。双柱墩高L=2 m，跨度B=1 m，H/b=4，竖向荷载P=275 kN，两墩柱初始轴压比为0.15。非线性推导分析结果如图9所示，图9（a）表明屈服后塑性铰弯矩值基本保持稳定；图9（b）表明柱两端出现塑性铰后轴力也基本保持稳定，且左右墩柱的轴力变化量相同，左柱轴压比由0.15减少至0.05，右柱轴压比由0.15增加至0.25，轴力变化规律与图8（a）的分析相同。其他算例见表2、表3。

付国等^［19］对美国太平洋地震工程中心（PEER）收录的194组柱试验数据进行了统计分析，得到极限曲率计算公式：

{\varphi }_{\mathrm{u}}{H}_{\mathrm{b}}=\mathrm{1.587}{\epsilon }_{\mathrm{c}\mathrm{u}}/\left(\mathrm{0.2}+\mu \right)（8）

式中：H_b为矩形截面计算方向的截面高度（m）；ε_cu为混凝土极限应变值，宜取0.01~0.018；μ为轴压比。考虑到最不利情况是平面外的失稳破坏，本文的极限曲率取《公路桥梁抗震设计规范》^［1］附录A公式和公式（8）的较小值，得到容许位移为0.044 0 m（见表3）。

3.3.2　简化计算方法

已知竖向荷载P=275 kN，两墩柱初始轴压比为0.15，计算主要分两步：①由截面P-M-φ分析得到屈服弯矩M_{\mathrm{y}}=90 kN·m，由屈服弯矩计算轴力变化量，再求得极限状态时的轴压比；②按公式（6）计算双柱墩容许位移。

1） 右柱轴压比

\mathrm{\Delta }P=\mathrm{2}{M}_{\mathrm{y}}/B=\mathrm{2}\times \mathrm{90}/\mathrm{1}=\mathrm{180}\mathrm{k}\mathrm{N}

\mu =\frac{P+\mathrm{\Delta }P}{f_{\mathrm{c}}^{\text{'}}{A}_{\mathrm{g}}}=\frac{\mathrm{455}\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{29.39}\times \mathrm{250}\times \mathrm{250}}=\mathrm{0.243}

2） 运用公式（6）计算容许位移，并考虑延性安全系数K_ds=1和K_ds=2两种情况。

K_ds=1时：

{\Delta }_{\mathrm{u}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\times {\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\times \mathrm{0.019}+\left(\mathrm{2}-\mathrm{0.122}\mathrm{7}\right)\times \mathrm{0.014}\mathrm{724}=\mathrm{0.040}\mathrm{3}

K_ds=2时：

{\Delta }_{\mathrm{u}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\times {\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\times \mathrm{0.019}+\left(\mathrm{2}-\mathrm{0.122}\mathrm{7}\right)\times \mathrm{0.007}\mathrm{362}

=\mathrm{0.026}\mathrm{5}

3.3.3　对比分析

表2、表3列出Z2、Z3截面及双柱墩几何参数算例，对比推导分析与简化方法的偏差。表中模型A按推导分析计算，模型D按简化方法计算，表中偏差百分率为推导分析值减去简化方法值，再除以推导分析值乘以百分之百。

表2、表3表明，按简化方法计算轴力变化量ΔP后，轴压比与推导分析法结果非常接近。当延性安全系数K_ds=1时，简化方法的位移值与推导分析法结果接近，最大偏差为14.2%。分析原因，偏差主要来源于等效塑性铰区长度，仇建磊等^［20］以《规范》7.4.4条规定的等效塑性铰区长度计算柱顶位移（Δ_计算值）与PEER收录的试验数据（Δ_试验值）之比为参数进行分析，得到平均值1.83、变异系数0.37。根据表2、表3所列数据，以简化方法容许位移（Δ_简化方法）与推导分析容许位移（Δ_推导分析）之比为参数进行分析，得到平均值1.01、变异系数0.089，说明简化方法有一定的精度。当K_ds=2时简化方法位移值小于Push-over法位移值，最小偏差为35.3%，有一定的安全储备。

4 结 论

本文根据变轴力墩柱试验破坏现象提出塑性铰失效判定条件，简化了《公路桥梁抗震设计规范》7.4.8条和Caltrans规范C5.2.2条关于塑性铰极限曲率的判定条件；理论分析了双柱墩受力特点及位移计算公式。将试验研究和理论分析结合提出双柱墩横桥向容许位移简化计算方法。在试验和理论分析的数据范围内，可得到如下结论：

（1） 变轴力试件在轴力达到最大值时发生平面外失稳破坏，即破坏由最大轴力控制，将其应用于双柱墩可知，计算刚性盖梁双柱墩横桥向容许位移时可仅分析轴力增大的墩柱的塑性铰，当这个塑性铰达到极限曲率时对应的位移为容许位移。

（2） 双柱墩容许位移简化计算方法经非线性Push-over法（考虑二阶效应）检验，精度和安全储备可接受，可供设计人员参考。

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基金资助

国家自然科学基金资助项目(5130826)

国家“十三五”重点研发计划(2019YFC1509500)