基于混联Ⅱ型惯容系统的既有钢筋混凝土框架结构减震加固设计方法研究

Research on Design Method of Reinforcement for Existing Reinforced Concrete Frame Structures Based on Series-Parallel-Ⅱ Inerter System

摘要

本文针对既有钢筋混凝土框架结构轻量化调谐减震加固的需求，提出一种基于混联Ⅱ型惯容系统的性能化减震加固设计方法。本研究建立了附加混联Ⅱ型惯容系统的钢筋混凝土框架结构动力学模型，通过定义无量纲化参数惯质比、附加阻尼比和刚度比，得到结构位移传递函数的表达式。在此基础上，基于传递函数在定点处达到局部峰值的原则，推导惯容系统最优参数设计公式，提出基于惯容系统的既有钢筋混凝土框架结构性能化减震加固设计流程。以上海某五层教学楼为工程案例，该教学楼根据所提方法加固后结构一阶自振周期仅偏移1%，表明惯容系统调谐减震设计未显著改变原结构动力特性；弹塑性时程分析结果表明，罕遇地震下结构X、Y向最大层间位移角分别由1/111和1/130降至1/303和1/280，降幅超过57%，满足轻度损坏的性能目标，验证了所提方法可以在保持既有结构自振周期不变的条件下，实现既有钢筋混凝土框架结构抗震性能提升。

Abstract

To address the need for lightweight tuned seismic retrofitting of existing reinforced concrete （RC） frame structures， this study proposes a performance-based seismic retrofitting design method utilizing a series-parallel-Ⅱ inerter system. A dynamic model of an RC frame structure equipped with the series-parallel-Ⅱ inerter system is established. By defining dimensionless parameters including the inertance ratio， damping ratio， and stiffness ratio， the structural displacement transfer function is derived. Based on the principle that the transfer function reaches local peaks at fixed points， optimal design formulas for the inerter system parameters are deduced. A performance-based retrofitting design framework for existing RC frame structures is subsequently proposed. Taking a five-story school building in Shanghai as an engineering example， the retrofitted structure exhibits only a 1% shift in its fundamental natural period， indicating that the tuned design of the inerter system preserves the original dynamic characteristics. Elastoplastic time-history analysis shows that the maximum inter-story drift ratios of the structure in the X- and Y-directions under rare earthquakes were reduced from 1/111 and 1/130 to 1/303 and 1/280， respectively， corresponding to reductions exceeding 57%. These results satisfy the performance objective of minor damage under rare earthquakes， validating the effectiveness of the proposed method in enhancing seismic performance while maintaining the inherent dynamic properties of existing structures.

Graphical abstract

0 引 言

近年来，我国城镇化进程快速推进，既有建筑存量巨大，其中大量钢筋混凝土框架结构因建造年代较早，抗震设防标准偏低，难以满足现行规范要求^［1］。尤其在强震作用下，此类结构易出现层间位移超限、节点破坏等问题，严重威胁人们的生命财产安全。传统加固技术（如增大截面法、外包钢加固法等）虽能提升既有结构的承载力，但常导致结构自重增加、使用空间压缩，且存在施工周期长、干扰建筑功能等问题^［2］。相比之下，减震技术通过附加消能减震元件，吸收、消耗地震能量，从而减小主体结构地震响应，具有加固施工周期短、运维便捷、对主体结构及建筑使用功能影响小等优点^［3］，是当前既有结构加固的重要研究方向。

在减震技术中，惯容系统因其轻量化特性逐渐成为国内外研究前沿和热点^［4］。惯容元件通过机械构造将平动转换为转动，表观质量能够达到实际质量的数千倍以上，与其他力学元件组成的惯容系统可以实现质量增效、耗能增效等效果^［5］。Zhang等^［6-7］分析了三种力学拓扑形式惯容系统的减震性能，提出并证明了惯容系统的阻尼增效方程。Chen等^［8］对地震作用下附加多个惯容系统的减震结构进行了性能评估，并给出位移和加速度控制性能最优的惯容系统力学模型。Ikago等^［5］提出的由惯容与阻尼元件并联后串联弹簧元件的混联Ⅱ型惯容系统物理意义明确，对结构振动控制的性能良好，已成功应用于工程实践^［9］。针对混联Ⅱ型惯容系统的参数设计，潘超等^［10］提出了基于地震作用下频域响应传递函数及随机响应均方根的优化设计方法；Taflanidis等^［11］提出不同力学拓扑形式惯容系统的减震结构多目标优化设计方法。周方圆等^［12］基于位移和加速度响应及耗能增效提出了惯容减震结构参数多目标设计方法。

与传统的调谐质量阻尼器相比，惯容系统仅需极小的安装空间即可实现等效减震效果，特别适合附加质量和空间受限的既有建筑加固场景^［13］。然而现有的研究大多集中于新建结构中惯容系统的理论分析及设计方法研究，惯容系统在既有结构加固中的应用研究很少。既有结构的自振周期与振型已固定，惯容系统参数需调谐设计以匹配原结构动力特性，同时需根据建筑使用功能及结构加固需求确定加固后的性能目标，运用弹塑性时程分析方法确定结构罕遇地震下的性能水准。

本文将混联Ⅱ型惯容系统应用于既有钢筋混凝土框架结构的轻量化减震加固中，以既有钢筋混凝土框架结构为对象，提出基于混联Ⅱ型惯容系统的性能化减震加固设计方法。首先，建立附加混联Ⅱ型惯容系统的结构运动方程，结合定点理论推导惯容系统的最优刚度比与附加阻尼比解析公式；构建涵盖多级性能水准的加固设计流程，明确多目标地震作用下的性能评估准则；通过上海某教学楼加固工程实例，对所提方法的可行性与有效性进行验证，为后续的工程应用提供支撑。

1 惯容系统减震加固设计原理

1.1　附加混联Ⅱ型惯容系统的既有结构运动方程

混联Ⅱ型惯容系统由惯容元件与阻尼元件并联后再与弹簧元件串联构成，根据其力学拓扑形式建立混联Ⅱ型惯容系统的力学模型，如图1所示。当混联Ⅱ型惯容系统两端发生相对位移时，产生的控制力为：

F=m_{\mathrm{d}}{\ddot{u}}_{\mathrm{1}}+c_{\mathrm{d}}{\dot{u}}_{\mathrm{1}}+k_{\mathrm{s}}{u}_{\mathrm{2}}（1）

式中：m_{\mathrm{d}}、c_{\mathrm{d}}、k_{\mathrm{s}}分别为混联Ⅱ型惯容系统的表观质量、附加阻尼和弹簧刚度；{\ddot{u}}_{\mathrm{1}}和{\dot{u}}_{\mathrm{1}}分别为惯容元件与阻尼元件并联后两端的相对加速度和相对速度，u_{\mathrm{2}}为弹簧元件两端相对位移。

建立附加混联Ⅱ型惯容系统的既有钢筋混凝土框架结构计算模型，如图2所示。

该结构在基底受地震激励{\ddot{u}}_g(t)作用下的运动方程为：

\mathit{M}\ddot{\mathit{u}}(t)+\mathit{C}\dot{\mathit{u}}(t)+\mathit{K}\mathit{u}(t)=-\mathit{M}\mathit{r}{\ddot{u}}_{\mathrm{g}}(t)（2）

式中：\mathit{r}={\{\underset{n}{\underbrace{\mathrm{1},\cdots ,\mathrm{1}}},\underset{n}{\underbrace{\mathrm{0},\cdots ,\mathrm{0}}}\}}^{\mathrm{T}}为激励位置向量；\mathit{M}、\mathit{C}和\mathit{K}分别为附加惯容系统的既有钢筋混凝土框架结构的质量、阻尼和刚度矩阵，分别为\mathit{M}=\left[\begin{array}{cc}{\mathit{M}}_{\mathrm{p}}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& {\mathit{M}}_{\mathrm{d}}\end{array}\right]，\mathit{C}=\left[\begin{array}{cc}{\mathit{C}}_{\mathrm{p}}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& {\mathit{C}}_{\mathrm{d}}\end{array}\right]，\mathit{K}=\left[\begin{array}{cc}{\mathit{K}}_{\mathrm{p}}+{\mathit{K}}_{\mathrm{s}ii}& {\mathit{K}}_{\mathrm{s}ij}\\ {\mathit{K}}_{\mathrm{s}ji}& {\mathit{K}}_{\mathrm{s}jj}\end{array}\right]；{\mathit{M}}_{\mathrm{p}}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left\{m_{\mathrm{p}}\right\}、{\mathit{C}}_{\mathrm{p}}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left\{c_{\mathrm{p}}\right\}和{\mathit{K}}_{\mathrm{p}}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left\{k_{\mathrm{p}}\right\}分别为既有钢筋混凝土框架结构的质量、阻尼和刚度矩阵；{\mathit{M}}_{\mathrm{d}}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left\{m_{\mathrm{d}}\right\}、{\mathit{C}}_{\mathrm{d}}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left\{c_{\mathrm{d}}\right\}和{\mathit{K}}_{\mathrm{s}jj}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left\{k_{\mathrm{s}}\right\}分别为各层附加混联Ⅱ型惯容系统组成的表观质量、附加阻尼和刚度矩阵，附加刚度矩阵{\mathit{K}}_{\mathrm{s}ii}、{\mathit{K}}_{\mathrm{s}ij}和{\mathit{K}}_{\mathrm{s}ji}的构造见文献［5］；\mathit{u}(t)由框架结构位移矢量与每层附加混联Ⅱ型惯容系统的位移构成：

\mathit{u}(t)=\left\{{{\mathit{u}}_{\mathrm{p}}}^{\mathrm{T}}(t),{{\mathit{u}}_{\mathrm{d}\mathrm{1}}}^{\mathrm{T}}(t),\cdots ,{{\mathit{u}}_{\mathrm{d}n}}^{\mathrm{T}}(t)\right\}（3）

式中：{{\mathit{u}}_{\mathrm{p}}}^{\mathrm{T}}(t)为框架结构位移；{{\mathit{u}}_{\mathrm{d}\mathrm{1}}}^{\mathrm{T}}(t)、{{\mathit{u}}_{\mathrm{d}n}}^{\mathrm{T}}(t)分别为第1层、第n层附加惯容系统位移。

混联Ⅱ型惯容系统应用于既有钢筋混凝土框架结构加固中的设计参数包括表观质量m_{\mathrm{d}}、阻尼系数c_{\mathrm{d}}和刚度k_{\mathrm{s}}。根据混联Ⅱ型惯容系统的力学拓扑形式，对结构运动方程进行无量纲化后，设计参数可转化为表1中的无量纲化参数，其中{\omega }_{\mathrm{d}}=\sqrt[]{k_{\mathrm{s}}/m_{\mathrm{d}}}为惯容系统的圆频率。采用文献［5］中提出的等比例附加混联Ⅱ型惯容系统方法，各层中布置的混联Ⅱ型惯容系统设计参数中惯质比\mu首先确定后，附加表观质量的分布与主结构刚度的分布成正比。

1.2　基于定点理论的既有结构调谐减震机理

与新建建筑不同，既有建筑的结构自振周期与振型已确定，因此将惯容系统应用于既有结构加固时需根据既有结构的模态信息进行惯容系统的参数设计，使地震作用下惯容系统吸收更多的能量，降低主体结构中输入的能量，从而减小主体结构的振动幅度。

对附加混联Ⅱ型惯容系统的既有钢筋混凝土框架结构在地震激励下的响应进行频域分析，将结构运动方程公式（2）进行拉普拉斯变换后，得到结构位移相对于地面激励加速度传递函数的模可表达为：

\left|H_X\left(\beta \right)\right|=\frac{\mathrm{1}}{{\omega }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}}\sqrt[]{\frac{A+B{\xi }^{\mathrm{2}}}{C+D{\xi }^{\mathrm{2}}}}（4）

式中：\beta =\omega /{\omega }_{\mathrm{0}}为地震激励与结构自振频率之比；A={\left(\mu {\beta }^{\mathrm{2}}-\kappa \right)}^{\mathrm{2}}；B=\mathrm{4}{\beta }^{\mathrm{2}}；C={\left(\mu {\beta }^{\mathrm{4}}-\kappa \mu {\beta }^{\mathrm{2}}-\kappa {\beta }^{\mathrm{2}}-\mu {\beta }^{\mathrm{2}}+\kappa \right)}^{\mathrm{2}}；D=\mathrm{4}{\beta }^{\mathrm{2}}{\left(-{\beta }^{\mathrm{2}}+\kappa +\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}。

由式（4）可知，当满足以下条件时，在传递函数曲线中将存在独立于附加阻尼比\xi的固定点：

\frac{A}{C}=\frac{B}{D}（5）

通过求解上述方程可以获得\beta的两个实数解，即传递函数曲线必定经过两个定点，该定点的位置和传递函数值均与附加阻尼比无关。基于定点理论对既有结构进行调谐减震设计，即利用传递函数在定点处达到局部峰值的原则，确定惯容系统的最优刚度比和最优附加阻尼比，使主体结构的共振峰值尽可能减小。

1.3　混联Ⅱ型惯容系统参数设计公式

附加混联Ⅱ型惯容系统的既有钢筋混凝土框架结构在附加阻尼比\xi分别为0、+\mathrm{\infty }、任意值及定点处达到峰值时的传递函数曲线如图3所示。

基于定点理论推导惯容系统参数设计公式的基本思路如下：

第一步，根据设计方案确定惯质比\mu，利用惯容系统附加阻尼比\xi =\mathrm{0}和\xi =\mathrm{\infty }的频响函数曲线求解定点P、Q的坐标位置。

第二步，利用两定点高度相等的条件，将混联Ⅱ型惯容系统设计参数的定义式代入式（4），整理得到以下方程：

\left\{\begin{array}{c}{\beta }_P^{\mathrm{2}}+{\beta }_Q^{\mathrm{2}}=\mathrm{1}+{\left({\omega }_{\mathrm{d}}/{\omega }_{\mathrm{0}}\right)}^{\mathrm{2}}+\mu {\left({\omega }_{\mathrm{d}}/{\omega }_{\mathrm{0}}\right)}^{\mathrm{2}}\\ {\beta }_Q^{\mathrm{2}}={\left({\omega }_{\mathrm{d}}/{\omega }_{\mathrm{0}}\right)}^{\mathrm{2}}+\frac{\mu {\left({\omega }_{\mathrm{d}}/{\omega }_{\mathrm{0}}\right)}^{\mathrm{4}}}{\mathrm{2}}\end{array}\right.（6）

求解式（5）得到最优刚度比：

\kappa =\frac{\mu }{\mathrm{1}-\mu }（7）

第三步，建立定点处频率变化导数为0的方程，整理求得最优附加阻尼比。

\xi =\frac{\mu }{\mathrm{2}}\sqrt[]{\frac{\mathrm{3}\mu }{\left(\mathrm{1}-\mu \right)\left(\mathrm{2}-\mu \right)}}（8）

第四步，根据惯质比\mu、附加阻尼比\xi、刚度比\kappa的数值及既有结构的质量、阻尼、刚度信息，计算得到各层中布置的混联Ⅱ型惯容系统设计参数。

2 性能化减震加固设计流程

对既有钢筋混凝土框架结构进行性能化的减震加固设计，其刚度和强度及模态信息既定，通过附加混联Ⅱ型惯容系统对结构进行调谐减震的同时耗散地震输入能量，控制结构的地震响应，从而减轻结构损伤。

结构性能水准指建筑物在某一特定地震作用下预期的最大破坏程度，对于既有钢筋混凝土框架结构建议按照结构延性设计方法采用5个性能水准^［14］：无损坏、轻微损坏、轻度损坏、中度破坏和比较严重破坏。其中轻度损坏反映了强柱弱梁设计时梁先屈服，而中度破坏反映了竖向构件达到屈服。与性能水准相对应的结构位移角限值指标见表2。

与现行抗震设计标准^［15］相对应，既有钢筋混凝土框架结构加固性能目标对应的三个水准地震下的性能要求和破坏程度见表3。

根据既有建筑使用功能及加固需求的不同，需要设定在不同设防水准下的性能提升要求，并据此进行加固方案的选定与加固设计，基本的设计流程如图4所示。

（1） 对既有建筑进行抗震鉴定，判断其是否符合当前的抗震标准要求。

（2） 采用弹塑性分析方法，对既有结构的现存抗震能力进行分析，对其在罕遇地震下的预期性能水准进行评估。

（3） 基于前两步的评估结果，并考虑加固后建筑的使用需求，确定加固性能目标。

（4） 根据加固性能目标，选择具体的减震加固方案。

（5） 采用第1节中惯容系统参数设计公式进行设计计算，确保结构的弹性变形满足要求；针对承载力不满足要求的结构构件，采取必要的加固措施以提升其承载力。

（6） 对经过加固且承载力与变形已满足多遇地震要求的结构，进一步采用弹塑性分析方法，评估其在罕遇地震下的性能状态是否达到预设的加固性能目标。若未能达到则需返回重复步骤（4）至（6）。

（7） 采取进一步的构造措施加固以确保整体结构的抗震性能。

3 工程应用示例

3.1　工程概况

本工程为上海市某教学楼，始建于1995年，为五层钢筋混凝土框架结构。房屋建筑平面近似为矩形，南北向总长为41.85 m、东西向总长为15.7 m，一层层高为4.58 m、二层至五层层高为3.6 m，总建筑面积约1 500 m²。

本工程抗震设防烈度为7度，设计基本地震加速度为0.10g，设计地震分组为第二组，场地类别为IV类，场地特征周期为0.9 s，抗震设防类别为重点设防类（乙类）。根据既有建筑的抗震鉴定报告，该结构层间位移角不满足标准要求，需对房屋进行整体减震加固。

3.2　加固设计

根据《建设工程抗震管理条例》^［16］，本教学楼进行加固时应采用减隔震技术。考虑教学楼使用功能要求，以及施工周期受寒暑假影响等因素，拟采用混联Ⅱ型惯容系统进行减震加固。加固后续工作年限为40年，要求性能提升后满足性能目标2，即多遇地震下无损坏、设防地震下轻微损坏、罕遇地震下轻度损坏。

根据结构的实际情况及建筑功能布局，混联Ⅱ型惯容系统在原结构中布置的平面位置如图5所示，各层惯容系统布置位置相同，楼层X1、X2、Y1、Y2分别代表每层布置的四组惯容系统。混联Ⅱ型惯容系统与原钢筋混凝土框架梁柱节点采用支撑型连接，支撑以“V”字形布置，采用双轴对称截面。“V”字形支撑在钢筋混凝土框架中布置方式如图6所示，采用规格为200×200×8×12的H型钢。支撑与既有结构梁柱节点上预设节点板之间采用高强螺栓连接。支撑及节点板按照《建筑消能减震加固技术规程》（T/CECS 547—2018）^［17］中的相关要求进行计算。

采用所提出的基于混联Ⅱ型惯容系统的既有钢筋混凝土框架结构减震加固设计方法，在弹性阶段对各层布置的混联Ⅱ型惯容系统力学性能参数进行计算。根据1.3节中基于定点理论推导惯容系统参数设计公式的计算过程，考虑原既有结构对附加质量的限制，首先确定设计惯质比\mu =\mathrm{0.5}。将惯质比代入式（7）和式（8）中，计算得到惯容系统的附加阻尼比\xi =\mathrm{0.71}、刚度比\kappa =\mathrm{1}。将原既有结构的模态参数，代入惯质比、附加阻尼比和刚度比的定义式中，可计算得到各层布置惯容系统的参数。各层两方向惯容系统参数见表4，其中各惯容系统的阻尼指数均为1，表观质量放大倍数均为200。每层各方向的两组惯容系统参数相同。混联Ⅱ型惯容系统的设计行程应大于钢筋混凝土框架结构弹塑性层间位移角1/50的限值，因此计算得到一层布置惯容系统的设计行程为95 mm，二至五层布置惯容系统的设计行程为75 mm。各层惯容系统设计速度为60 mm/s，设计加速度为300 mm/s²。

3.3　加固后抗震性能评估

选用OpenSees软件进行抗震性能分析，钢筋采用OpenSees中的非线性单轴各向同性强化的材料Steel02，混凝土采用OpenSees中基于修正的Kent-Park模型的材料Concrete02进行模拟。在OpenSees建模时采用纤维截面（Fiber Section）进行截面划分，假定每个纤维截面均处于单轴应力状态，并赋予相应的单轴材料属性。梁柱单元采用基于柔度法的NonlinearBeamColumn进行构建。为简化模型计算负担，混凝土楼板对模型的影响采用刚性楼板假定进行模拟（使用rigidDiaphragm命令将各层节点位移与相应的主节点相耦合），混凝土楼板的自重及其承担的恒载与活载转换并传递至梁柱截面。结构中布置的混联Ⅱ型惯容系统采用OpenSees中的Inerter单元与阻尼单元并联后串联弹簧单元的方式进行模拟。采用混联Ⅱ型惯容系统进行加固后的结构分析模型如图7所示。

结构布置混联Ⅱ型惯容系统加固前后的前三阶模态的自振周期见表5。差值定义如下：

\mathrm{差值}=\frac{T_{\mathrm{减震}\mathrm{结构}}-T{}_{\mathrm{原结}\mathrm{构}}{}^{}}{T{}_{\mathrm{原结}\mathrm{构}}{}^{}}（9）

由表5可知，采用混联Ⅱ型惯容系统加固后，结构一阶模态自振周期基本不发生改变，实现了对既有结构的调谐减震。

采用弹塑性动力时程分析方法分别对采用混联Ⅱ型惯容系统加固前后的结构进行分析，选取5条天然地震波和2条人工波，如图8所示，7条地震波的平均谱与规范谱的匹配程度良好。

对加固前后的结构分别输入七条地震波加速度时程进行弹塑性分析。图9为以ArtWave-RHT4TG090地震波为例，原结构与减震结构一层位移响应时程对比，其中X向为房屋横向、Y向为房屋纵向。由图中结果可知，减震结构一层位移较原结构大幅下降，X向的位移幅值由44.2 mm减小至12.5 mm，Y向的位移幅值由33.3 mm减小至14.3 mm，表明附加混联Ⅱ型惯容系统对该结构最不利楼层位移具有良好的控制效果。

表6和表7中分别为各条地震波激励下原结构与附加惯容系统后的减震结构两方向最大层间位移角，7条地震波下层间位移角均值如图10所示。原结构最大层间位移角在X向达到了1/111，Y向达到了1/130，结构已发生比较严重的破坏。而采用混联Ⅱ型惯容系统加固后在罕遇地震作用下的平均最大弹塑性层间位移角在X向和Y向分别为1/303和1/280，小于1/250，满足预设性能目标。结构在罕遇地震下处于轻度破坏，减震前后最不利楼层两方向最大层间位移角降低幅度分别为66.7%和57.5%，结构最大弹塑性层间位移角得到有效控制，且层间位移角分布较为均匀，抗震性能得到明显改善。

4 结 论

（1） 本研究基于定点理论提出了既有钢筋混凝土框架结构中附加混联Ⅱ型惯容系统最优刚度比和附加阻尼比的简化设计公式，实现了传递函数曲线在定点处的共振峰值显著降低。

（2） 某教学楼附加混联Ⅱ型惯容系统加固后，结构一阶自振周期仅提高1%，表明混联Ⅱ型惯容系统未显著改变原结构动力特性，实现了调谐减震的目标。

（3） 本研究提出了基于混联Ⅱ型惯容系统的既有钢筋混凝土框架结构性能化减震加固设计流程。弹塑性时程分析表明，罕遇地震下采用混联Ⅱ型惯容系统加固后的减震结构较原结构的层间位移角降幅达57.5%~66.7%，且各层的层间位移分布较为均匀，有效避免了局部破坏集中的不利现象。

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