大跨桥梁强迫激振数值分析与边界参数确定

Numerical Analysis of Forced Excitation and Determination of Boundary Parameters for Long-Span Bridges

摘要

在桥梁抗风设计中，振动激励测试是识别模态参数和减轻桥梁振动的重要手段。本研究利用有限元分析软件采用考虑非线性效应的完全瞬态分析法对某主跨为1 650 m的悬索桥和主跨为700 m的斜拉桥进行桥梁竖弯稳态响应计算，采用最小二乘法计算不同基本振型的模态参与度，探讨不同竖向加载幅值、加载频率以及加载位置对时程响应最大位移与整体振型的影响。结果表明，加载力与时程响应最大位移呈线性相关关系，且加载力对整体响应各个振型参与度无明显影响。对于加载频率，当其与桥梁某一基本振型自振频率相同时（共振状态），激励频率对应振型模态参与度占主要地位，时程响应位移较大；当频率发生微小偏移，激励频率对应模态参与度与时程响应均发生骤降。对于加载位置，主导振型模态参与度和时程响应位移与加载点处主导振型的相对位移呈现正相关关系。

Abstract

In the wind resistance design of bridges， vibration excitation testing​ serves as an important means to identify modal parameters and mitigate bridge vibrations. Using finite element analysis software， the vertical bending steady-state response was calculated for a suspension bridge with a main span of 1650 meters and a cable-stayed bridge with a main span of 700 meters. The modal participation of different fundamental mode shapes was computed via the least squares method. The influence of different vertical loading amplitudes， loading frequencies， and loading positions on the maximum displacement and overall mode shape of the time-history response was also examined. The analysis indicates that the loading force exhibits a linear correlation with the maximum displacement of the time-history response， while it has no significant effect on the participation of each mode shape in the overall response. Regarding the loading frequency， when it coincides with the natural frequency of a certain fundamental mode of the bridge （resonance condition）， the modal participation corresponding to the excitation frequency becomes dominant， and the time-history response displacement is large. A slight shift in frequency leads to a sharp decrease in both the modal participation and the time-history response corresponding to the excitation frequency. As for the loading position， the modal participation and time-history response displacement of the dominant mode shape are positively correlated with the relative displacement of that dominant mode shape at the loading point.

Graphical abstract

关键词

桥梁激振 / 振型分解法 / 模态参与度 / 完全瞬态分析 / 主导振型

Key words

bridge excitation / mode decomposition method / modal participation / full transient analysis / dominant mode shape

0 引 言

伴随现代桥梁跨径的不断提升，桥梁结构逐渐向长、细、轻、柔与低阻尼方向发展，对风作用展现出更强的敏感性。在进行桥梁抗风设计的过程中，振动激励测试是识别桥梁模态参数与减轻桥梁振动振幅的重要手段，不同学者在此背景下探究发展了众多方法。同济大学章关永等^［1］通过环境激励法对上海杨浦大桥进行了动力特性测试与分析；应怀樵等^［2］首次利用火箭作为激振设备对杭州钱塘江公铁大桥进行了模态试验；日本学者冈内一雄等^［3］通过在柜石岛桥主梁不同位置设置起振器，激励得到竖弯与扭转模态振型并依此得到桥梁的动态特性；湖南大学华旭刚等^［4］利用跳车激振法对某大跨悬索桥进行了阻尼比识别；葡萄牙副教授Cunha等^［5］采取突然卸载法，突然释放悬挂在瓦斯科·达·伽马大桥桥面上60 t的重物，产生的巨大冲击力可以引起长达16 min的自由振动信号，进而可根据这些信息识别桥梁整体动态特性；湖南大学温青等^［6］通过稳态激励测试对某人行桥的模态质量进行了有效识别；日本学者Okauchi^［7］在本州-四国连络桥激振实验中，通过在桥梁不同跨向位置处放置激振器进行不同阶次模态激振，采集停止激振后桥梁自由衰减运动时程进行频率阻尼分析，激振装置激振频率控制在0.1~0.6 Hz，在200 kN作用下对在役大跨桥梁有效激励振幅约为14 cm。

学者们分别采用火箭发动机激振法^［8］、锤击法^［9］、跳车试验法^［10-11］、突然卸载法等^［12-13］不同方法对桥梁激振方案进行了探索，同时也研究了风荷载、交通荷载以及地震荷载等环境荷载^［14-18］对桥梁振动的影响。但现有研究针对桥梁激振加载力、加载频率与加载位置对于激振位移的耦合关系缺乏系统讨论，多侧重于单一激振参数的独立影响，或局限于特定荷载工况下的结构响应分析，本文基于ANSYS有限元分析软件对某1 650 m主跨悬索桥和某主跨700 m斜拉桥进行数值分析，从激振位移与各振型参与度角度分析加载力、加载频率和加载位置对大跨桥梁激振响应影响。

1 计算模型分析流程

针对悬索桥和斜拉桥有限元模型，进行动力特性分析得到前50阶振型，考虑到激励荷载方向为竖向，忽略侧弯、扭转模态的参与，仅选取其中竖弯模态进行计算。获取不同竖弯振型下主梁节点位移矩阵，并对其进行归一化处理。采取考虑非线性效应的完全瞬态分析法，阻尼选用Rayleigh阻尼形式，取前两阶竖弯模态阻尼比为0.005，进行时程响应求解得到主梁整体位移矩阵。根据振型分解法原理，利用最小二乘法将主梁整体位移分解成各基本振型位移之和。在此计算过程中计算得到各基本振型矩阵前乘系数，即基本振型正则坐标。对所有正则坐标进行叠加，并取各阶正则坐标占整体之和百分比作为振型参与度。以此为基础进行各加载力、加载频率、加载位置对时程响应的影响分析。

2 计算结果及其分析

2.1　加载力对桥梁激振位移与振型的影响

根据ANSYS分别对悬索桥与斜拉桥进行激振测试，在考虑几何非线性情况下，针对两桥相近频率竖弯模态（悬索桥七阶竖弯模态振型频率0.228 6 Hz与斜拉桥二阶竖弯模态振型频率0.229 4 Hz相近），取二者振型频率作为加载频率，在跨中处加载，得到悬索桥与斜拉桥达到30 cm位移幅值与所需荷载对应时程图，如图1所示。

分析两图可知，在激励荷载作用下，桥梁位移响应首先出现一个较大的幅值，随后发生衰减，在衰减至稍低于稳态响应的大小后逐步恢复，最终进入稳态响应阶段。该现象斜拉桥较为明显。进入稳态响应阶段后，结构振幅趋于一定值，振动频率由激励频率控制。

改变加载力观察结构激励处时程响应变化，表1即为荷载调整后两座桥梁稳态位移幅值与加载力幅值对应关系。同时改变荷载条件下桥梁主梁整体响应，如图2所示。

观察表1可知，两模型均满足力-位移的线性相关关系，位移随荷载增大依倍数变化。

图2中竖向虚线表示此时加载位置与对应节点号。图2（a）中曲线代表悬索桥在激励荷载为170 kN、85 kN作用下出现正向最大位移时主梁各节点位移，60 kN曲线代表结构出现负向最大位移时主梁各节点位移；图2（b）中曲线分别代表斜拉桥在激励荷载为340 kN、170 kN作用下出现正向最大位移时主梁各节点位移，115 kN曲线代表结构出现负向最大位移时主梁各节点位移。

分析图2中不同拟合曲线，图2（a）中60 kN曲线、图2（b）中115 kN曲线虽然与其余两条曲线振型相反，但每张图中三条曲线形状大致相同，仅振幅不同，振型各节点幅值与加载力呈现正相关关系。计算激励频率两座桥梁对应振型参与度，悬索桥按170 kN、85 kN、60 kN次序振型参与度分别为：99.71%、99.50%、99.17%，斜拉桥按340 kN、170 kN、115 kN次序振型参与度分别为：98.88%、97.70%、94.54%，与图2结果照应，结构整体振型基本由激励频率对应振型控制，同时该振型的振型参与度随着激励荷载幅值的增大稍有提升。同时值得注意的一点是，在桥梁稳态整体振型中，加载点处的位移未必为主梁最大位移。

2.2　加载频率对桥梁激振位移与振型的影响

以悬索桥为例，选取悬索桥二阶与七阶竖弯频率0.101 13 Hz、0.228 61 Hz进行时程响应分析，此悬索桥为全漂浮体系，一阶竖弯（0.079 06 Hz）与三阶竖弯（0.112 56 Hz）形状几乎完全相同，但沿顺桥向方向位移方向相反，在计算振型参与度过程中仅考虑一阶竖弯。图3为二阶与七阶竖弯模态振型图，图示虚线为加载力所在位置，位于172节点处。

在172节点位置以0.101 13 Hz（二阶）、0.228 61 Hz（七阶）进行加载，计算其振型参与度。可知悬索桥激励力以二阶、七阶竖弯振型频率加载时，二阶、七阶竖弯振型参与度分别为99.9%、99.7%，又选取斜拉桥二阶、三阶竖弯频率0.229 4 Hz、0.301 6 Hz进行时程响应分析，获取二者二阶、三阶振型参与度分别为98.9%、95.4%，即桥梁整体振型均可看做是由加载频率对应模态主要控制。当加载频率与某振型频率相近时，大跨桥梁体系振动几乎完全由该振型控制，但实际加载频率往往很难控制绝对稳定，难免出现波动，因此我们继续探讨加载频率发生改变时对结构产生的影响，分别取频率的相对变化（频率处于相邻阶振型频率的位置变化）与绝对变化（以赫兹为单位进行变化），进行如下探讨。

探讨加载频率处于模型相邻竖弯频率之间时对结构振型影响，由于悬索桥相邻阶竖弯频率相差较小，为保证实验结果出现明显变化，针对斜拉桥相邻阶竖弯模态频率取频率变化中点、四分点探讨对桥梁激振位移与结构振型的影响，其中斜拉桥一阶竖弯频率为0.069 0 Hz、二阶竖弯频率为0.229 4 Hz、三阶竖弯频率为0.301 7 Hz，取一阶二阶频率中值0.149 2 Hz、一阶二阶靠近二阶频率四分之一差值0.189 3 Hz、二阶三阶靠近二阶四分之一值0.247 5 Hz、二阶三阶频率中值0.265 5 Hz对主梁整体振型及其各振型参与度进行分析，图4即为不同频率作用下斜拉桥竖弯模态参与度。

根据上图所示五种工况可知，伴随频率偏离结构二阶竖弯频率程度的增大，二阶竖弯振型参与度骤降，但结构整体振型并不一定展现出相邻阶模态振型参与度增大的趋势，反而是其余阶模态参与度均出现不同程度上升现象。当频率处于一阶二阶模态频率中值（即为0.149 2 Hz）时，主梁振型六阶竖弯模态参与度最大；当频率处于二阶三阶模态频率中值时，主梁振型四阶竖弯模态参与度最大。但在此过程中六阶以上频率几乎不参与整体振型，这也与常识相符合，桥梁振动主要由前几阶振型进行控制。但值得一提的是，伴随加载频率较二阶频率增大或减小程度不断扩大，下一主导振型未知，具体振型参与度变化有待进一步研究论证。

除此之外，在上述研究的背景下研究频率微调对振型参与度与桥梁激振位移的影响。针对悬索桥七阶竖弯模态频率0.228 6 Hz进行微调，选取0.211 4、0.220 0、0.237 2、0.245 8 Hz进行有限元计算分析，图5对悬索桥频率微调前后振型参与度变化进行展示。针对斜拉桥二阶竖弯模态频率0.229 4 Hz进行微调，选取0.210 4、0.220 0、0.229 4、0.238 8、0.248 2 Hz进行有限元计算分析，考虑前6阶模态为主要模态，图6对斜拉桥频率微调前后振型参与度变化进行展示，表2—表3分别为频率微调前后悬索桥与斜拉桥在激振处激起的稳态位移幅值。

在频率微调一定范围内，结构主要控制振型不发生改变，且伴随频率增大或减小相同数值，主要振型参与度变化相近。以斜拉桥为例，比较0.22 Hz与0.238 8 Hz加载频率下结构整体振型参与度，二阶振型参与度均占86%左右；0.210 4 Hz与0.248 2 Hz激励频率作用下，结构振型参与度发生不同变化，此时二阶振型参与度分别下降至50%、60%附近。此时对于0.210 4 Hz整体振型，四阶六阶竖弯振型参与度提升明显；对于0.248 2 Hz整体振型，四阶与五阶竖弯振型参与度提升明显。具体如何影响各振型参与度有待针对频率进行进一步研究。

对于频率改变对激振位移的影响，分析可知，桥梁激振位移变化与频率变化数值无明显联系，但在频率发生小幅偏移后结构稳态振幅均出现大幅下降。由于激振位移为桥梁各基本竖弯振型叠加，不同竖弯频率对应基本振型在激励位置位移不同，如0.220 0 Hz较0.238 8 Hz，0.220 0 Hz整体振型中三阶竖弯振型参与度明显更大，0.238 8 Hz作用下整体振型中六阶参与度较0.220 0 Hz的六阶参与度明显更大，在对二者进行对比时，结构整体响应将受三阶与六阶振型影响，对于具体某节点（激励位置）位移增加或减小主要取决于此位置在其他基本振型中的位置。

2.3　加载位置对桥梁激振位移与振型的影响

悬索桥主梁节点数为245，斜拉桥主梁节点数为92。针对悬索桥七阶振型，选取同一简谐波近乎直线分布4点，节点号分别为154、160、166、172；针对斜拉桥二阶振型，选取节点号32、37、42、47共4个节点进行加载，研究振型整体响应位移与加载位置于目标振型中相对位移关系。同时为辨别结构整体响应与主要振型参与度是否仅与结构目标振型加载点位移大小有关，对悬索桥增加101号节点激励结果与172号节点对比，对斜拉桥增加15号节点激励结果与32号节点对比，选取节点如图7所示。

在五个节点施加相同频率和大小的简谐荷载，计算其整体响应与同节点激励下整体振型的参与成分，结构整体响应最大位移振型如图8所示，主要振型参与度见表4—表5。同时根据不同节点响应结果，模拟激振位置节点所在振型相对位移（振型节点最大位移取1）与最终结构响应最大位移之间关系，如图9所示。

悬索桥与斜拉桥呈现结果相似，以斜拉桥为例。47、42、37、32节点近乎处于一条直线上，将斜拉桥主梁二阶竖弯振型中这四个点的位移视为线性降低，同时整体响应振型振幅随之降低，主要控制振型参与度呈现不同程度下降情况。而且，加载位置由47节点变化至42节点时二阶振型参与度几乎不下降；42节点变化至37节点时，下降比例接近20%；37节点下降至32节点时，下降比例略超过20%，此时二阶振型参与度仅有55%左右。考虑到32节点在二阶振型中处于几乎不变形的位置，在此位置激起二阶振型确实难度极大。斜拉桥15节点在二阶振型中与32节点相对位移几乎相同，但15节点处于一个简谐波的波峰位置，在此位置进行激励时，尽管该点于目标振型中发生的相对位移较小，但振型参与度相比32节点提升接近10%，虽然相比于其他加载位置此时目标振型参与度仍然不足，但提升已相当明显。对悬索桥172、166、160节点进行激励时，目标振型参与度均超过99%，当加载节点为154时，振型参与度下降至80%。可猜测当加载位置为目标振型中发生“明显”位移位置时，此时结构整体主要控制振型参与度几乎不变。根据斜拉桥与悬索桥激振位移与激振位置相对位移关系可知，二者大致呈线性关系，且线性结果过原点，可知想要确定曲线需要一个点的数据即可进行预测，但为了保证精度需多点取均值。

综上，对于整体响应程度而言，目标振型最大位移处即为最理想加载位置；对于振型参与度而言，取振型相对位移较为明显处加载，结构目标振型参与度即占据主要地位。而且，在此过程中目标振型参与度与加载位置于目标振型中相对位移并不呈线性相关关系，但最大结点位移呈现线性相关关系。

3 结 论

本文通过ANSYS有限元计算分析软件对两大跨桥梁进行激振计算分析，从振型分解角度探究加载力、加载频率和加载位置如何影响结构时程响应，得到以下结论：

（1） 加载力与位移稳态响应之间始终呈现线性相关的关系，加载频率、加载位置的改变对位移荷载相关的敏感程度有所影响，对线性效应不产生改变。在加载频率发生微小幅度变化下，结构位移进入稳态前波动性增强，进入稳态前出现不止一个幅值，结构稳态振幅发生骤降。

（2） 加载频率主要通过控制结构参与振型对整体响应产生影响。当加载频率靠近某基本振型频率时，结构整体振型主要由该基本振型控制。当频率发生微小偏移，当偏移较小（增大或减小）时，结构主要控制振型参与度降低幅度同样较小；当偏移较大时，结构整体振型参与成分发生变化较为复杂，预计频率与振型之间的相关程度与频率振幅数值有关，相关研究有待进一步深入。

（3） 加载位置与加载频率共同作用，对结构稳态响应产生影响。对于加载频率对应基本振型，在该振型相对位移较大处施加激励荷载引起激振位移较大，同时基本振型参与度随之增大。同时，当在加载频率对应基本振型位移较小处施加激励时，控制振型参与度即会显著下降。当加载位置所处振型相对位移足够大时，振型参与度近似不变。当加载位置处于结构振型较为明显点，如波峰、波谷时，对目标振型参与度也有显著影响。此外，当加载频率与某一阶基本振型频率完全重合，但加载位置正好是振型位移为0处时结构整体振型未必由该频率对应振型控制。

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基金资助

浙江省交通运输厅科技计划项目(202208)