箍筋约束混凝土本构模型对比研究及其在数值分析中的应用

Comparative Study of Constitutive Models for Stirrup-Confined Concrete and Their Application in Numerical Analysis

摘要

本文系统梳理并对比了不同箍筋约束混凝土本构模型在混凝土轴压峰值应力、峰值应变及应力-应变曲线形状预测方面的表现。基于大量混凝土多轴试验数据与钢筋混凝土轴心受压试验数据，采用平均相对误差和均方根误差等指标，对Mander、钱稼茹等学者提出的模型进行了定量评估，分析了各模型在不同围压水平、配箍特征值及箍筋间距条件下的适用性与局限性。进一步结合ABAQUS混凝土塑性损伤模型，探讨了约束混凝土本构在三维实体单元数值分析中的合理引入方式，并提出一种基于峰值应力修正的约束混凝土本构参数输入方法。通过轴压与水平推覆数值分析算例验证表明，基于峰值应力修正的约束混凝土本构相较于未经修正的约束混凝土本构有效改善了峰值承载力高估现象，同时相较于素混凝土本构弥补了在峰值应变与延性模拟方面的不足，为钢筋混凝土构件抗震性能分析提供了一种更为合理的本构建模思路。

Abstract

This paper systematically reviews and compares the performance of different constitutive models for stirrup-confined concrete in predicting the axial compressive peak stress， peak strain， and the overall stress-strain curve of concrete.Based on a large body of experimental data from multiaxial concrete tests and axial compression tests of reinforced concrete members， quantitative evaluations of representative models proposed by researchers such as Mander and Qian Jiaru are conducted using metrics including the mean relative error and the root mean square error.The applicability and limitations of these models under varying levels of lateral confinement pressure， transverse reinforcement characteristic values， and stirrup spacing are analyzed.Furthermore， in conjunction with the concrete damaged plasticity （CDP） model in ABAQUS， the study investigates rational approaches for incorporating confined concrete constitutive relationships into three-dimensional solid-element numerical analyses， and proposes a parameter input method for confined concrete constitutive models based on peak stress correction.Numerical examples involving axial compression and lateral pushover analyses demonstrate that， compared with unmodified confined concrete constitutive models， the proposed peak-stress-corrected model effectively mitigates the overestimation of peak load capacity， while also compensating for the deficiencies of unconfined concrete models in simulating peak strain and ductility.The proposed approach provides a more rational constitutive modeling strategy for the seismic performance analysis of reinforced concrete members.

Graphical abstract

关键词

钢筋混凝土柱 / 箍筋约束效应 / 混凝土本构模型 / 数值模拟 / 抗震性能

Key words

reinforced concrete columns / stirrup confinement effect / concrete constitutive model / numerical simulation / seismic performance

0 引 言

既有钢筋混凝土建筑的抗震性能评价是性能化抗震加固设计决策的重要基础，其分析结果直接关系到加固方案的合理性和结构的安全性。基于早期版本抗震规范设计的既有建筑，其抗震构造措施与新建建筑差异显著。因此，在既有建筑抗震分析中，如何合理考虑抗震构造措施的作用，是影响分析结果的关键问题。

箍筋是钢筋混凝土建筑中的重要抗震构造措施之一。箍筋对核心混凝土的横向约束可显著提高混凝土的峰值应力、峰值应变及变形能力，从而改善构件的延性与耗能性能。围绕箍筋约束混凝土的应力–应变关系，国内外学者提出了多种本构模型^［1-6］，其理论基础和建模思路主要可分为半经验模型与经验模型两大类。半经验模型通常基于多轴受力理论或破坏准则推导峰值应力表达式，并结合试验数据拟合模型参数，具有一定理论基础，但模型形式较为复杂，工程应用不够便捷；经验模型则直接基于试验结果建立应力-应变关系，计算简洁，易于工程推广，但其适用范围和精度依赖试验数据的覆盖程度。不同模型在性能上有何差异，尚缺少定量研究。

另一方面，在数值分析中如何将这些本构模型合理引入有限元软件，仍缺乏统一认识。ABAQUS作为代表性的通用有限元软件之一，其混凝土塑性损伤模型（Concrete Damaged Plasticity，CDP）在混凝土结构分析中得到广泛应用。在三维实体单元分析时，CDP可通过单元应力张量中的静水压力项自然反映约束效应；但在以梁单元为基础的结构模型分析中，约束效应无法直接体现，工程中常通过引入约束混凝土单轴本构作为替代输入^［7-8］。然而，已有的部分研究^［9］表明，若在三维实体单元分析中直接采用约束混凝土本构参数，可能导致峰值承载力与延性被高估，从而产生不安全的分析结果。

基于上述背景，本文围绕“箍筋约束混凝土本构模型的工程适用性与数值模拟方法”这一核心问题展开研究。首先，系统对比了典型半经验模型与经验模型在峰值应力、峰值应变及本构曲线形状预测方面的差异，并结合混凝土多轴试验数据与钢筋混凝土轴压试验数据，对各模型的精度与适用范围进行了定量评价；其次，针对三维有限元分析中约束混凝土本构引入方式可能存在的问题，提出了一种基于峰值应力修正的本构参数输入方法；最后，通过轴压与水平推覆数值分析算例，验证了所提方法在承载力预测与延性模拟方面的有效性。研究成果可为既有钢筋混凝土结构抗震性能分析及工程数值模拟提供参考。

1 箍筋约束混凝土本构模型对比

1.1　峰值应力对比

Mander^［1］、Li^［2］、余波^［3］、陈彬彬^［4］等基于Willam-Warnke五参数破坏准则得到了横向约束下的混凝土峰值应力表达式，如式（1）所示。半经验模型以约束应力的相对大小f_l/f_c0作为关键参数，而待定系数a、b、c则通过试验数据拟合得到，见表1。

f_{\mathrm{c}\mathrm{c}}=f_{\mathrm{c}\mathrm{0}}\left(a+b\sqrt[]{\mathrm{1}+c\frac{f_{\mathrm{1}}}{f_{\mathrm{c}\mathrm{0}}}}-\mathrm{2}\frac{f_{\mathrm{1}}}{f_{\mathrm{c}\mathrm{0}}}\right)（1）

式中：f_cc为约束混凝土峰值应力；f_c0为素混凝土峰值应力；f_l为横向等效约束应力；a、b、c为待定系数。

选取文献［4］整理得到的439组混凝土多轴试验数据集以对比不同模型在多轴试验数据集上的预测效果，混凝土轴心抗压强度范围为7.2~132 MPa，侧向约束应力范围为0.5~100 MPa。不同模型相较于试验结果的总体偏差采用平均相对误差（Mean Relative Error，MRE）进行描述。

如图1所示，Li、余波公式对于高应力下的预测结果存在显著偏差，总体MRE为0.207~0.311；而Mander、陈彬彬公式在数据集所涵盖的应力范围内未见显著偏差，总体MRE更小。

绘制峰值应力预测误差与归一化约束应力的相对关系，如图2所示。Li、余波公式预测误差实际上与约束应力的相对大小f_l /f_c0相关，并随着f_l/f_c0增加而显著增加。这表明Li、余波公式仅适用于低围压状态（f_{\mathrm{1}}/f_{\mathrm{c}\mathrm{0}}0.2）的峰值应力预测。导致该现象的主要原因是Li、余波公式用于参数拟合的数据集中在低围压状态，因此公式对于高围压数据预测的泛化能力较差。

对于钢筋混凝土轴压试件，需要将截面配筋信息转化为等效约束应力f_l后才可应用式（1）和表 1所示半经验公式计算混凝土峰值应力，等效约束应力计算方法如下：

f_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}=k_{\mathrm{e}}{\rho }_{\mathrm{y}}{f}_{\mathrm{y}\mathrm{h}}（2）

式中：k_{\mathrm{e}}为箍筋约束效应系数^［1］，其取值与截面形状有关；{\rho }_{\mathrm{y}}为箍筋配箍率；f_yh为箍筋屈服强度。

在工程中这种需要换算等效约束应力的计算方法显然不便应用。因此有学者提出了以配箍特征值λ_v为关键参数的经验计算式，见表2。其中钱稼茹等^［5］所提出的模型在工程中的应用更为广泛，胡海涛等^［6］则在钱稼茹模型基础上引入了箍筋间距的影响。

搜集国内主要文献资料，选取了75组钢筋混凝土轴压试验数据来分析不同本构模型与试验结果的差异，见表3。图3展示了不同本构模型在钢筋混凝土轴压试验数据集下的峰值应力预测结果与试验结果的差异。可以看出，半经验模型中Mander公式和陈彬彬公式对于钢筋混凝土轴压试验数据集下的峰值应力预测仍具有较好的精度，MRE分别为0.127、0.119；Li公式和余波公式对于钢筋混凝土轴压试验数据集下的峰值应力预测精度有所改善，MRE分别降低至0.121、0.124，这主要是由于钢筋混凝土轴压试验中混凝土所受箍筋的约束应力相对较小。

经验模型中，钱稼茹公式和胡海涛公式对应MRE分别为0.218、0.132，后者具有更好的预测精度。定义归一化箍筋间距s'=s/D，分析两种经验模型的峰值应力预测误差与s'的关系，如图4所示，其中s为箍筋间距，D为钢筋混凝土截面边长。可以发现，钱稼茹公式对于加密箍筋试件（s'0.25）存在高估显著峰值应力的情况。这主要是由于钱稼茹公式所适用的条件是以箍筋屈服为主要破坏模式的普通箍筋构造钢筋混凝土。在更强的箍筋约束构造下，如进一步采用加密箍筋或高强钢筋，钢筋混凝土试件轴压可能以箍筋间隙约束薄弱区的混凝土压碎为主要破坏模式，实际破坏模式与假定破坏模式的差异导致钱稼茹公式容易显著高估此类构件的轴压峰值应力。而胡海涛公式中引入了与箍筋间距相关的无量纲参数对结果进行修正，可以在一定程度上避免这种偏差。

1.2　峰值应变对比

部分研究中提出的混凝土轴压峰值应变预测公式见表4，各式均在形式上与对应的峰值应力预测公式保持一致。Mander公式、陈彬彬公式对于混凝土多轴试验数据集的预测效果如图5所示，MRE分别为0.598、0.316，峰值应变预测误差相比于峰值应力预测误差显著增加，且离散性较大。而在钢筋混凝土轴压试验数据集下（图6），陈彬彬公式、钱稼茹公式和胡海涛公式的MRE分别为0.212、0.159、0.157，均优于Mander公式的预测效果。

1.3　形状系数对比分析

混凝土单轴本构中，形状系数的取值依赖于本构模型所采用的函数形式。已有混凝土单轴本构模型研究中采用的函数形式主要有两种。一种是式（3）—式（5）所示由Popovics提出的指数形式，式中，f_c、ε_c分别为混凝土的应力和应变；f_c0、ε_cc分别为峰值应力和峰值应变；r为曲线形状系数。该指数形式的单轴本构模型在Mander^［1］、陈彬彬^［4］等的研究中得到应用。

y=\frac{xr}{r-\mathrm{1}+x^r}（3）

y=\frac{f_{\mathrm{c}}}{f_{\mathrm{c}\mathrm{0}}}（4）

x=\frac{{\epsilon }_{\mathrm{c}}}{{\epsilon }_{\mathrm{c}\mathrm{c}}}（5）

另一种是过镇海提出的二次函数形式，如式（6）所示，式中y、x的含义分别同式（4）、式（5）；r为上升段曲线形状系数；α_c为下降段曲线形状系数。该二次函数形式的单轴本构模型在钱稼茹^［5］、胡海涛^［6］等的研究中得到应用，并在混凝土规范^［14］中予以采用。

y=\left\{\begin{array}{l}\frac{rx}{r-\mathrm{1}+x^r},x\le \mathrm{1}\\ \frac{x}{{\alpha }_{\mathrm{c}}{(x-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}+x},x\mathrm{1}\end{array}\right.（6）

由于不同本构模型研究中所采用的函数形式并不相同，模型中与曲线形状相关的参数（即r和{\alpha }_{\mathrm{c}}）无法进行直接比较，因此本文采用均方根误差（RMSE）来评价本构模型计算的曲线与试验结果的偏差程度。具体计算方法如下：①根据试验中的试件几何信息、配筋信息和实测应变，代入本构模型中计算单轴受压应力应变曲线［图7（a）］；②以单轴受压应力应变曲线的应力峰值为基准，将曲线划分为峰值前和峰值后两部分；③将峰值后曲线以试验峰值应变为基准对齐［图7（b）］；④根据试验应变对本构模型曲线进行插值［图7（c）］；⑤计算峰值后曲线的均方根误差。

取文献［5-6］中的17个钢筋混凝土轴心受压应力应变数据，得到不同本构模型的均方根误差（RMSE）结果，如图8所示。其中，Mander模型、陈彬彬模型、钱稼茹模型和胡海涛模型对于数据集预测的均方根误差的平均值分别为10.1、9.4、7.0、6.2 MPa。可见，钱稼茹模型、胡海涛模型对于混凝土轴心受压应力应变曲线具有更好的预测效果。

2 约束混凝土本构模型在数值模拟中的应用

在工程应用中，三维实体单元分析方法主要用于对结构局部杆件和节点的受力性能进行验证。由于ABAQUS中的CDP模型中包含了静水压力项，已可以考虑箍筋约束的影响。因此在进行三维有限元分析时，若直接输入由约束混凝土本构模型得到的材料参数，可能会高估构件承载力。

下面通过试件轴压和水平推覆分析结果对比不同本构参数输入的影响。有限元分析软件采用ABAQUS，使用C3D8R六面体缩减积分单元进行网格划分。混凝土材料方面，模拟方法a表示直接输入由约束混凝土本构得到的材料参数，模拟方法b表示输入经峰值应力修正的约束混凝土材料参数，模拟方法c表示输入规范附录^［14］所给出的素混凝土本构。其中模拟方法a、b采用的约束混凝土本构模型为钱稼茹模型^［5］。

模拟方法b采用的应力修正方式如下：①根据构件配筋信息、材料信息、几何信息计算约束混凝土的峰值应力、峰值应变与形状参数；②将f_c0代入式（4），将单轴受压本构曲线峰值调幅至f_c0。

在CDP模型材料受压损伤方面，本文按式（7）计算约束混凝土受压损伤因子，其中取混凝土非弹性应变与塑性应变的比值ε_in/ε_pl=0.9^［4，15］。

d_{\mathrm{c}}=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\frac{E_{\mathrm{0}}({\epsilon }_{\mathrm{i}\mathrm{n}}-{\epsilon }_{\mathrm{p}\mathrm{l}})}{{\epsilon }_{\mathrm{c}}}}（7）

2.1　轴压模拟

采用ABAQUS对文献［5-6］中的钢筋混凝土试件进行轴压分析。图9给出了不同模拟方法得到的混凝土归一化轴压峰值应力σ_cc，s/σ_cc，t和应变ε_cc，s/ε_cc，t，其中σ_cc，s、ε_cc，s分别为模拟得到的混凝土峰值应力和峰值应变，σ_cc，t、ε_cc，t分别为试验得到的混凝土峰值应力和峰值应变。从图中可以看出，采用素混凝土单轴本构进行三维实体单元轴压分析时可以较好地反映混凝土峰值应力随约束作用的变化，但容易低估混凝土的峰值应变，轴压峰值应力和应变与试验结果的平均偏差分别为-6%、-10%。直接采用约束混凝土本构进行模拟时，轴压峰值应力和应变与试验结果的平均偏差分别为23%、32%，对于峰值应力应变都容易高估。而采用应力修正后的约束混凝土本构后，有效缓解了素混凝土本构模拟峰值应变偏小和约束混凝土本构模拟峰值应力应变偏大的问题，轴压峰值应力和应变与试验结果的平均偏差分别为-1%、18%。

图10给出的4个试件的轴压应力-应变曲线直观反映了数值模拟中不同混凝土模型的影响。4个试件中Z9、Z11分别为配箍特征值0.08（配箍率0.68%）、0.238（配箍率2.0%）的普通箍筋约束混凝土试件；HA4、HA7分别为配箍率1.14%的高强箍筋和普通箍筋混凝土。从图中可以看出，采用素混凝土本构（模拟-c）进行轴压分析虽能反映混凝土约束效应的影响，但无法准确模拟混凝土峰值应变和全曲线形状的变化。采用约束混凝土本构（模拟-a）对于高配箍率（如Z11）或高强箍筋构件（如HA4）则会过高估计混凝土轴压峰值应力。而采用峰值应力修正的约束混凝土本构模型（模拟-b）则能较好反映出箍筋间距加密和箍筋强度提高引起的构件延性增加，同时减少了高约束条件下对轴压峰值应力的高估。

2.2　水平推覆模拟

为研究材料本构模型在构件抗震性能模拟中的影响，进一步采用ABAQUS对文献［16］中的钢筋混凝土试件A01、A03、B1、B3进行水平推覆分析。其中，A01、A03分别为构造满足非抗震设计要求的设计轴压比为0.4、0.8的框架柱；B1、B3分别为构造满足抗震鉴定标准^［17］中B类框架结构要求的设计轴压比为0.4、0.8的框架柱。

竖向构件的抗震性能可以通过水平的低周往复加载或单向推覆的方式得到。图11首先对比了采用相同材料本构模型时不同加载方式的影响。可以看出，低周往复加载数值模拟得到的滞回曲线与试验骨架曲线的峰值和变化趋势吻合良好；不过，在较大轴压比下模拟的滞回曲线相比于试验骨架曲线损伤积累会更快。对比低周往复加载和单向推覆加载的模拟结果可以发现，低周往复加载反映出的构件骨架曲线相比于单向推覆结果峰值承载力基本相当，只是在达到峰值后由于钢筋的Bauschinger效应及混凝土在拉压转换过程中塑性应变累积，导致承载力快速降低［图11（b）］，这与文献［18］中观察到的现象一致。

鉴于单向推覆加载模拟可以较好地反映构件的承载力变化和延性变形能力，同时具有更高的计算效率，下面对A01、A03、B1、B3四个试件进行单向推覆分析，并以试验得到的骨架曲线作为参考。如图12所示，采用峰值应力修正的约束混凝土本构模型（模拟-b）的模拟结果与试验结果最为接近；采用未经峰值应力修正的约束混凝土本构模型时，对于弯曲破坏试件［图13（a）］的峰值承载力影响不大［图12（a）、（c）］，但对于轴压破坏试件［图13（b）］会出现水平承载力高估的情况［图12（b）、（d）］；采用素混凝土本构在较少配箍或轴压破坏的情况下更容易导致损伤过度发展［图12（a）、（b）、（d）］。

3 结 论

本文围绕箍筋约束混凝土本构模型的预测精度及其在数值分析中的应用问题，开展了系统研究，主要结论如下：

（1） 不同箍筋约束混凝土本构模型在峰值应力预测方面表现差异明显。Mander模型与陈彬彬模型在较宽围压范围内具有较好的预测精度，而Li模型和余波模型在高围压条件下预测误差随约束应力显著增大，更适用于低围压状态。经验模型中，钱稼茹模型对于加密箍筋试件存在高估峰值应力的情况，而引入箍筋间距修正的胡海涛模型在高配箍条件下表现更为稳定。

（2） 在峰值应变预测方面，陈彬彬模型、钱稼茹模型及胡海涛模型具有更好的适用性。

（3） 对比不同本构模型的峰值后应力–应变曲线形状后发现，钱稼茹模型、胡海涛模型与试验结果更加接近，能够合理地反映箍筋约束条件下混凝土的软化特性。

（4）在三维实体单元数值分析中，直接采用约束混凝土本构参数容易高估峰值承载力，采用素混凝土本构则可能低估构件延性。采用峰值应力修正的约束混凝土本构，可以得到合理的峰值承载力和构件延性。

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