小箱梁桥减震钢阻尼器低周疲劳性能分析

Analysis of Low-Cycle Fatigue Performance of Steel Dampers for Small Box Girder Bridges

摘要

本文以采用板式橡胶支座和三角形板钢阻尼器组合减震体系的上海市典型小箱梁桥为背景，对钢阻尼器低周疲劳性能进行了分析。研究建立了典型小箱梁桥OpenSees有限元模型，进行地震反应时程分析，分别采用能量法和线性累积损伤法对钢阻尼器的低周疲劳寿命进行了评估，分析了地震动有效持续时间对钢阻尼器的疲劳寿命的影响，并对两种方法的计算过程及结果进行了比较。研究结果表明，两种方法计算的钢阻尼器等效滞回圈数均小于规范规定的20圈，其中，能量法因其保守性和简洁性，更适用于工程设计中的钢阻尼器疲劳性能评估。

Abstract

This paper analyzes the low-cycle fatigue performance of steel dampers in a typical small box girder bridge in Shanghai， which employs a combined damping system composed of laminated rubber bearings and triangular steel plate dampers. An OpenSees finite element model of the bridge was established to conduct seismic response time-history analysis. The fatigue life of the steel dampers was evaluated using both the energy method and the linear cumulative damage method. The influence of the effective duration of seismic ground motions on the fatigue life was investigated， and a comparative analysis of the calculation procedures and results of the two methods was conducted. The results indicate that the equivalent number of hysteresis loops calculated by both methods is less than the 20-cycle threshold specified in the design code. Between the two， the energy method， owing to its conservatism and simplicity， is considered more suitable for the engineering evaluation of steel damper fatigue performance.

Graphical abstract

关键词

小箱梁桥 / 地震 / 钢阻尼器 / 低周疲劳 / 能量法 / 线性累积损伤法

Key words

small box girder bridge / earthquake / steel damper / low-cycle fatigue / energy method / linear cumulative damage method

0 引 言

小箱梁桥是中小跨径桥梁广泛采用的结构形式，通常在墩梁间设置板式橡胶支座。大量震害资料表明，在地震作用下，板式橡胶支座易发生滑动，造成震后主梁移位，甚至落梁^［1］。而钢阻尼器可以为采用板式橡胶支座的小箱梁桥提供稳定的耗能和自复位能力，因此板式橡胶支座与钢阻尼器组合减震体系正逐渐受到工程师的青睐^［2-3］。但是，由于钢阻尼器在地震作用下会产生较大的塑性应变，地震又是往复荷载，低周疲劳问题不能回避，因此，有必要对钢阻尼器的低周疲劳问题进行研究。

在钢材的疲劳寿命预测方面，已有不少的研究成果。Coffin^［4］、Smith^［5］以及Koh^［6］等基于应变进行疲劳需求的计算。Tong^［9］、Garud^［10］以及付德龙等^［11］基于能量法来计算疲劳需求。Manson^［5］和Coffin^［4］提出的材料在等幅应变下的疲劳寿命公式已通过大量实验验证。Palmgren和Miner^［12］提出了基于“线性累积损伤准则”的疲劳寿命检验方法，用于应对变幅荷载作用下的疲劳问题。

针对钢阻尼器低周疲劳的检验方法，吴斌等^［15］和Camara^［16］分别给出了X形钢板和三角形钢板的应变与位移关系，由此得到加载中的应变时程，最后基于Manson-Coffin公式和Miner线性损伤准则提出了钢阻尼器低周疲劳性能评估方法。由于难以测量大位移下的塑性应变，周连绪^［4］、汪鸿鑫^［5］、宋爱民^［9］等对三角形钢板进行了ABAQUS数值模拟分析，建立了适用于三角形板钢阻尼器的位移-应变拟合公式，结合Manson-Coffin公式和Miner线性累积损伤准则提出了适用于三角形板钢阻尼器的低周疲劳性能实用评估方法。吴学平^［10］对三角形板钢阻尼器进行了一系列低周疲劳试验，根据试验给出了不同型号的钢材三角形板钢阻尼器的疲劳延性指数c值和疲劳延性系数的建议值。

尽管疲劳寿命评估方面的研究成果已有不少，但在实际工程中很少对地震下钢阻尼器的低周疲劳性能进行分析，相关规范也只是对钢阻尼器试验的循环加载圈数进行了规定。比如，上海市标准《桥梁抗震设计标准》^［2］规定了钢阻尼器在1.2倍设计位移下循环加载20次不破坏，这等同于将钢阻尼器的疲劳寿命需求定为20圈。

本文基于OpenSees开源平台，以上海典型小箱梁桥为背景，建立了采用板式橡胶支座和三角形板钢阻尼器组合减震体系小箱梁桥的有限元模型，采用上海市标准《桥梁抗震设计标准》给出的地震加速度时程作为地震输入，进行了非线性时程反应分析。然后，本文分别基于能量法和Miner线性累积损伤法计算了钢阻尼器的等效滞回圈数，并分析了地震动持续时间的影响，最后结合上海市标准《桥梁抗震设计标准》的规定对钢阻尼器低周疲劳性能进行了分析和讨论。

1 OpenSees有限元模型

本文选取上海市标准《桥梁抗震设计标准》^［2］给出的典型小箱梁桥作为研究对象。桥梁为3×30 m简支桥面连续结构，桥宽为25.5 m，同时基于小箱梁桥结构参数的调研结果^［10］，墩高选用8.8 m，其横断面如图1所示。主梁采用C50混凝土，桥墩、桥台、桩基及盖梁均选用C40混凝土，所有纵向钢筋均采用HRB400级钢筋。根据规范建议，桥梁采用减隔震体系，设计方案为板式支座与钢阻尼器组合的减隔震系统。桥墩截面为1.8 m×2.2 m的矩形，地震下进行基本弹性设计。

全桥有限元模型如图2（a）所示，主梁采用弹性梁柱单元（elastic Beam Column）模拟，单元长度1m。选取上海市标准《桥梁抗震设计标准》中典型小箱梁的尺寸^［2］，单跨梁质量为1 402.5 t，主梁截面积A=\mathrm{18.30} m²，抗弯惯性矩I_{\mathit{y}}=\mathrm{3.43} m⁴，I_{\mathit{z}}=\mathrm{553.65} m⁴，抗扭惯性矩T=\mathrm{7.00} m⁴。桥面连续构造由墩顶向桥跨各延伸1 m，采用基于位移的梁柱单元模拟，单元长度为1 m，混凝土材料为Concrete01，混凝土本构如图2（e）所示^［22］，屈服强度对应的应变为{\epsilon }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.002}，极限压应变{\epsilon }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.006}，极限状态强度为0.2倍屈服强度，即f_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.2}{f}_{\mathrm{1}}=\mathrm{8}\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{a}。钢材型号为HRB400，弹性模量为205 GPa，纵向配筋率为2.45%。

根据上海市标准《桥梁抗震设计标准》^［2］，普通板式橡胶支座采用理想弹塑性本构模型，如图2（b）所示，每个单元的初始剪切刚度为17 700 kN/m。其模拟屈服力为F_{\mathrm{y}}=\mu N，其中\mu和N分别为摩擦系数（取为0.2）^［2］和恒载支座反力。

横向钢阻尼器如图3所示，其尺寸和力学参数根据上海市标准《桥梁抗震设计标准》^［2］选取。每个钢阻尼器由3块三角形钢板组成，板高H=\mathrm{300} mm，板宽B=\mathrm{450}mm，板厚t=20 mm，钢材屈服强度为420 MPa，硬化率为0.008 3，弹性模量为205 GPa。钢阻尼器双线性本构如图2（c）所示，其中一个钢阻尼器的初始刚度k_{\mathrm{T}}=\mathrm{13}\mathrm{666.50}kN/m，屈服力F_{\mathrm{y}}=\mathrm{150} kN，屈后刚度k_{\mathrm{T}}=\mathrm{979.89}kN/m，设计位移0.1 m。其中，钢阻尼器在桥台布置一个，桥墩布置两个。

由于减隔震体系要求桥墩在地震作用下基本保持弹性^［2］，因此桥墩采用弹性梁柱单元（elastic Beam Column），单元长度为1 m。桥墩截面为矩形截面，纵桥向尺寸H=2.2 m，横桥向尺寸B=1.8 m。墩底固结。桥台桩基础本构采用三线性本构模拟，如图2（d）所示，参数取值参考文献［18］。

2 地震动输入

本文以上海市典型高架桥为背景开展研究，根据上海市标准《桥梁抗震设计标准》^［2］，场地类型为Ⅳ类场地，桥梁抗震设防类别为乙类，E2地震重现期为2 500年，峰值加速度为0.22g，直接选用上海市标准《桥梁抗震设计标准》提供的7条地震加速度时程（图4），图5为七条地震加速度时程对应的反应谱。

由于地震的持续时间对结构的抗震需求有一定的影响，本文采用Trifunac和Brady^［19］定义的卓越持时（T_{\mathrm{D}}）为强震持时5%至95%强度之间的持续时间，计算公式如（1）和（2）所示。

T_{\mathrm{D}}=t\left(\mathrm{0.95}{I}_{\mathrm{A}}\right)-t\left(\mathrm{0.05}{I}_{\mathrm{A}}\right)（1）

I_{\mathrm{A}}=\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}g}{\int }_{\mathrm{0}}^{t_{\mathrm{f}}}{\ddot{u}}_g^{\mathrm{2}}\left(t\right)\mathrm{d}t（2）

式（1）和（2）中：{\ddot{u}}_{\mathrm{g}}(t)表示地震加速度，t_{\mathrm{f}}表示地震总时间，t(\mathrm{0.95}{I}_{\mathrm{A}})和t(\mathrm{0.05}{I}_{\mathrm{A}})分别表示强度为95%和5%时对应的时间点。用式（1）计算选定的7条地震波的有效持续时间，其计算结果在图4标出。

3 计算结果与分析

本文重点对横向钢阻尼器进行低周疲劳性能分析，因此分别将前述7条地震加速度时程沿横桥向输入，进行了非线性时程反应分析。

3.1　位移响应和钢阻尼器的滞回行为

由于结构完全对称，1#桥台和2#桥台、1#墩和2#墩的位移响应相同，且布置在同一个墩上的支座和钢阻尼器力-位移响应也相同。

表1列出了7条地震加速度时程输入下的钢阻尼器的位移最大值，可以看到，不同地震加速度时程作用下，钢阻尼器的最大位移有明显不同，其中RSN8123作用下的桥梁地震反应最大，桥墩处钢阻尼器最大地震位移相对于设计位移100 mm超过了3.8%。从7条地震加速度时程的反应均值来看，桥台处和桥墩处的钢阻尼器最大地震位移分别为86.1 mm和89.9 mm，均未超过其设计位移。

由于本文主要研究钢阻尼器的低周疲劳问题，关注重点是钢阻尼器的地震响应。根据表1结果，桥墩、桥台处钢阻尼器地震响应比较接近，而RSN759波的结果接近7条波均值。因此，以RSN759波为例，代表性地展示了桥墩处支座和钢阻尼器的滞回曲线，墩顶和钢阻尼器地震位移时程曲线，如图6—图9所示。

3.2　基于能量法的钢阻尼器低周疲劳需求

由于阻尼器在地震作用下通常会受到非恒定位移幅值的影响，Zhou^［18］基于能量法定义了三角形钢板阻尼器的当量滞回圈数，将钢阻尼器在实际地震作用下累积消耗的总能量换算为钢阻尼器设计位移振幅下的滞回圈数N。滞回圈数是评价钢阻尼器疲劳寿命的重要指标，其计算公式如下：

N=\frac{E_{\mathrm{总}}}{E_{\mathrm{d}}}（3）

式中：E_{\mathrm{总}}为钢阻尼器滞回耗能的总能量，即一条地震加速度时程下钢阻尼器的力-位移滞回曲线每圈滞回面积的累加值；E_{\mathrm{d}}为钢阻尼器设计位移u_{\mathrm{d}}幅值下滞回一圈所消耗的能量，即以设计位移为界的钢阻尼器单圈滞回曲线的面积，如图10所示，本文选用钢阻尼器的E_{\mathrm{d}}为49.43 kJ。

基于能量法，利用7条地震加速度时程作用下的钢阻尼器滞回曲线，按公式（3）计算出了等效滞回圈数N，结果如表2所示。

基于表2的数据，图11给出了桥台、桥墩处的钢阻尼器等效滞回圈数与地震动有效持续时间的关系，可以看到，如果按线性拟合，等效滞回圈数与地震动有效持续时间之间为R^{\mathrm{2}}\mathrm{0.5}，即有一定程度的正相关，在相同PGA下，有效持时越长的地震动其等效滞回圈数越长。而且从7条地震动计算的结果可以看出，等效滞回圈数也显著小于规范^［2］所规定的20圈，平均安全系数为4.0。

3.3　基于线性累积损伤法的钢阻尼器低周疲劳需求

本文采用Coffin^［6］和Smith^［7］分别于1953年和1963年提出的等塑性应变幅下材料的低周疲劳寿命预测公式（4）。

\frac{\Delta {\epsilon }_{\mathrm{p}}}{\mathrm{2}}={\epsilon }_{\mathrm{f}}^{\text{'}}{\left(\mathrm{2}{N}_{\mathrm{f}}\right)}^c（4）

式中：\mathrm{\Delta }{\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{p}}表示塑性应变幅，即钢阻尼器加载过程中最大应变和最小应变的差值；{\epsilon }_{\mathrm{f}}^{\text{'}}表示疲劳延性系数（材料单向加载时的破坏应变）；N_{\mathrm{f}}表示疲劳寿命（钢阻尼器加载时发生疲劳破坏时的加载循环圈数），c表示疲劳延性指数。

吴学平^［10］给出了不同牌号钢材对应的疲劳延性指数c和疲劳延性系数的推荐值，本文选用的Q420钢材三角形阻尼器低周疲劳检验时疲劳延性指数c的取值为-0.406 5，疲劳延性系数{\epsilon }_{\mathrm{f}}^{\text{'}}的取值为0.1。

关于公式中的塑性应变幅，可以采用周连绪^［4］提出的位移-应变拟合关系计算。三角形钢板在屈服之前，位移-应变关系符合材料力学基本假定，屈服之后，位移-应变关系与幂函数较为相似，如公式（5）所示。

\epsilon =\left\{\begin{array}{ll}\frac{u\times t}{H^{\mathrm{2}}}& u\le u_{\mathrm{y}}\\ \alpha \left[{\left(\frac{u-u_{\mathrm{y}}}{H}\right)}^{\beta }+\frac{u\times t}{H^{\mathrm{2}}}\right]& u{u}_{\mathrm{y}}\end{array}\right.（5）

式中：\alpha为幂函数系数；\beta为幂函数指数；{\epsilon }_{\mathrm{y}}为屈服应变；u_{\mathrm{y}}为屈服时对应的板顶位移，H为无量纲化处理后的三角形板板高；t为无量纲化处理后的三角形板板厚。

宋爱民^［9］给出了幂函数系数\alpha和幂函数指数\beta计算方式，如公式（6）和（7）所示。

\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}A& C& D\\ E& F& G\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}\frac{t}{H}\\ \frac{B}{H}\\ \mathrm{1}\end{array}\right)（6）

\left(\begin{array}{c}A\\ C\\ D\\ E\\ F\\ G\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}\mathrm{3.851}E+\mathrm{04}& \mathrm{0.01391}& -\mathrm{489.8}& -\mathrm{1.078}& \mathrm{0.4654}\\ -\mathrm{2159}& -\mathrm{0.0008787}& \mathrm{36.47}& \mathrm{0.05262}& -\mathrm{0.1296}\\ \mathrm{1344}& \mathrm{0.0006496}& -\mathrm{32.65}& -\mathrm{0.02361}& \mathrm{0.2011}\\ \mathrm{5.696}E+\mathrm{04}& \mathrm{0.01547}& -\mathrm{630.8}& -\mathrm{1.637}& \mathrm{4.094}\\ -\mathrm{1483}& -\mathrm{0.0001539}& \mathrm{68.96}& -\mathrm{0.02292}& -\mathrm{2.195}\\ \mathrm{1239}& \mathrm{0.0004039}& -\mathrm{98.9}& \mathrm{0.06516}& \mathrm{3.744}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{E}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{2}}\\ f_{\mathrm{y}}\\ E_{\mathrm{r}}\\ E_{\mathrm{r}}\cdot f_{\mathrm{y}}\\ \mathrm{1}\end{array}\right)（7）

根据所给公式，可以计算出\alpha =\mathrm{0.0472}，\beta =\mathrm{0.839}\mathrm{5}，带入公式（5）可以计算出塑性应变幅\mathrm{\Delta }{\epsilon }_{\mathrm{p}}，再根据式（4）计算出疲劳寿命N_{\mathrm{f}}。

对于桥梁在地震作用下往往发生非等幅滞回位移的问题，Miner在1980年提出了线性累积损伤准则，对非等幅位移下钢阻尼器的疲劳检验提供了如式（8）所示的方法。

D=\sum \frac{n_i}{N_{\mathrm{f}i}}（8）

式中：n_i表示第i圈滞回塑性应变幅\mathrm{\Delta }{\epsilon }_{\mathrm{p}}作用次数；N_{\mathrm{f}i}为等应变幅作用下的疲劳寿命；D表示累积损伤度，若D\ge \mathrm{1}表示其已经发生低周疲劳破坏；若D\mathrm{1}则表示还未发生低周疲劳破坏。

根据上式述方法，计算出了7条地震加速度时程作用下各自的疲劳损伤度D，如表3所示。表中，单圈损伤度是根据对应钢阻尼器设计位移u_{\mathrm{d}}计算的塑性应变，再根据以上过程计算的单圈损伤，本文选用的钢阻尼器单圈损伤度为0.028 3。

从表3可以看到，疲劳损伤度D均小于1，说明钢阻尼器并未发生低周疲劳破坏，而且也可以看到等效滞回圈数均小于规范规定的20圈，平均安全系数为5.9。

基于表3的数据，图12给出了通过线性累积损伤计算的等效滞回圈数与地震有效持续时间的R^{\mathrm{2}}接近于0，可以认为没有线性关系。因为累积损伤度D与塑性应变幅大小及出现的次数有关，塑性应变越大、出现的次数越多，累积损伤度D也就越大，所以，虽然7条地震加速度时程的PGA相同，但塑性应变大小及作用次数不同，滞回圈数与地震动有效持续时间没有线性关系。

3.4　两种低周疲劳需求计算方法比较

表4比较了两种分析方法在7条地震加速度时程下钢阻尼器等效滞回圈数的均值。可以看到，基于能量法计算的钢阻尼器等效滞回圈数略大于基于线性累积损伤法计算的钢阻尼器等效滞回圈数，由此可知能量法更加保守。

从计算过程来看，采用能量法计算等效滞回圈数所需要的参数更少，不需要钢阻尼器的塑性应变等难以实测的参数，所以计算更加简单，更适用于工程设计。

另外，基于能量法计算得到的钢阻尼器等效滞回圈数与地震动有效持续时间之间有一定程度的正相关，而基于线性累积损伤法计算的钢阻尼器等效滞回圈数与地震动有效持续时间之间没有明显的相关性。而且，Zhou^［18］结合振动台试验的结果表明，能量法能一定程度地体现地震动有效持续时间，而且也能体现钢阻尼器耗散的能量，更好地反应了钢阻尼器优异的耗能特性。

总体来看，对于实际工程应用，能量法比线性累积损伤法更具有实用性。

4 结 论

本文基于OpenSees开源平台，以一座典型中小跨径小箱梁桥为对象，建立钢阻尼器疲劳寿命分析的有限元模型，输入上海市标准《桥梁抗震设计标准》中规定的7条地震加速度时程，分别采用能量法和线性累积损伤法对钢阻尼器在地震作用下的疲劳寿命需求进行了分析，得出以下结论：

（1） 两种方法计算的钢阻尼器等效滞回圈数均低于规范规定的20圈，表明钢阻尼器在设防地震作用下发生低周疲劳的风险较低。因此，常规小箱梁桥在一次设防地震作用下不会产生低周疲劳问题。

（2） 相较于线性累积损伤法，能量法在计算钢阻尼器等效滞回圈数时具有更简便的计算过程，且其计算结果更加保守。此外，能量法计算的等效滞回圈数与地震的有效持续时间呈正相关。基于本文的分析结果，建议在实际工程设计中优先采用能量法进行钢阻尼器的低周疲劳性能评估。

（3） 线性累积损伤法在计算钢阻尼器等效滞回圈数时，需要依赖塑性应变等难以测量的参数，且其计算结果与地震的有效持续时间之间未表现出明显的线性相关性。

参考文献

[1] 叶爱君，管仲国.桥梁抗震［M］.北京：人民交通出版社，2017.

[2] YE Aijun，GUAN Zhongguo.Seismic design of bridges ［M］.Beijing：China Communications Press，2017.（in Chinese）

[3] 桥梁抗震设计标准：上海市工程建设规范［M］.上海：同济大学出版社，2024.

[4] Standard for seismic design of bridges［M］.Shanghai：Tongji University Press，2024.（in Chinese）

[5] 叶爱君，方家欣，张少为，小箱梁桥横向减震体系及其耗能特性［J］.中国公路学报，2017，30（12）：21-29.

[6] YE Aijun，FANG Jiaxin，ZHANG Shaowei，et al.Transverse damping system of small box girder bridge and its energy dissipation characteristics［J］.China Journal of Highway and Transport，2017，30（12）：21-29.（in Chinese）

[7] 周连绪.大跨度斜拉桥横向减震体系振动台试验研究［D］.上海：同济大学，2017.

[8] ZHOU Lianxu.Experimental study on seismic reduction system of large-span cable-stayed bridge using shaking table test［D］.Shanghai：Tongji University，2017.（in Chinese）

[9] 汪鸿鑫.主余震作用下斜拉桥横向钢阻尼器减震体系抗震性能研究［D］.上海：同济大学，2021.

[10] WANG Hongxin.Seismic performance study of the transverse steel damper seismic reduction system for cable-stayed bridges under mainshock-aftershock sequences［D］.Shanghai：Tongji University，2021.（in Chinese）

[11] COFFIN JR L F.A study of the effects of cyclic thermal stresses on a ductile metal［J］.Transactions of the American Society of Mechanical Engineers，1954，76（6）：931-949.

[12] SMITH R W，HIRSCHBERG M H，MANSON S S.Fatigue behavior of materials under strain cycling in low and intermediate life range［R］.Washungton，D.C.：National Aeronautics and Space Administration，1963.

[13] KOH S K，STEPHENS R I.Mean stress effects on low cycle fatigue for a high strength steel［J］.Fatigue Fracture of Engineering Materials Structures，1991，14（4）：413-428.

[14] 宋爱民.考虑震后功能恢复的中低烈度区中小跨径梁桥减震体系研究［D］.上海：同济大学，2022.

[15] SONG Aimin.Study on the seismic reduction system for small and medium-span beam bridges in low to moderate seismic intensity zones considering post-earthquake functional recovery［D］.Shanghai：Tongji University，2022.（in Chinese）

[16] 吴学平.板式支座梁桥抗震韧性评估方法［D］.上海：同济大学，2023

[17] WU Xueping.Seismic resilience assessment method for beam bridges with elastomeric bearings［D］.Shanghai：Tongji University，2023.（in Chinese）

[18] TONG Xiaoyan，WANG Dejun，XU Hao.Investigation of cyclic hysteresis energy in fatigue failure process［J］.International Journal of Fatigue，1989，11（5）：353-359.

[19] GARUD Y S. A new approach to the evaluation of fatigue under multiaxial loadings［J］.Journal of Engineering Materials and Technology，1981，103（2）：118-125.

[20] 付德龙，张莉，程靳.基于塑性应变能的多轴低周疲劳寿命预测模型［J］.工程力学，2007，24（3）：54-57.

[21] FU Delong，ZHANG Li，CHENG Jin.Multiaxial low cycle fatigue life prediction model based on plastic energy［J］.Engineering Mechanics，2007，24（3）：54-57.（in Chinese）

[22] HASHIN Z. A reinterpretation of the Palmgren-Miner rule for fatigue life prediction［J］.Journal of Applied Mechanics，1980，47（2）：324–328.

[23] 吴斌，欧进萍.软钢屈服耗能器的疲劳性能和设计准则［J］.世界地震工程，1996（4）：8-13.

[24] WU Bin，OU Jinping.Fatigue performance and design criteria of mild steel energy dissipators［J］.World Earthquake Engineering，1996（4）：8-13.（in Chinese）

[25] CAMARA A，CRISTANTIELLI R，ASTIZ M A，et al.Design of hysteretic dampers with optimal ductility for the transverse seismic control of cable‐stayed bridges［J］.Earthquake Engineering Structural Dynamics，2017，46（11）：1811-1833.

[26] XIE Y，ZHENG Q，ROBLEE C，et al.Probabilistic seismic response and capacity models of piles for statewide bridges in California［J］.Journal of Structural Engineering，2021，147（9）：04021127.

[27] ZHOU L，WANG X，YE A.Low cycle fatigue performance investigation on transverse steel dampers for bridges under ground motion sequences using shake-table tests［J］.Engineering Structures，2019，196：109328.

[28] TRIFUNAC M D，BRADY A G.On the correlation of seismic intensity scales with the peaks of recorded strong ground motion［J］.Bulletin of the Seismological Society of America，1975，65（1）：139-162.

[29] 杨当.常规体系梁桥抗震韧性评价［D］.上海：同济大学，2024.

[30] YANG Dang.Seismic resilience evaluation of conventional system beam bridges［D］.Shanghai：Tongji University，2024.（in Chinese）

[31] 沈星.强震下大跨度斜拉桥主塔横向抗震研究［D］.上海：同济大学，2017.

[32] SHEN Xing.Lateral earthquake resistance of main tower of long span cable stayed bridge under strong earthquake［D］.Shanghai：Tongji University，2017.（in Chinese）

[33] KENT D C，Park R.Flexural members with confined concrete［J］.Journal of the Structural Division，1971，97（7）：1969-1990.

基金资助

国家自然科学基金资助项目(52178155)

上海住建委课题(沪建科2024-002-028)