不确定条件下可持续矿石供应链网络建模和优化

Modeling and Optimization of Sustainable Ore Supply Chain Network Under Uncertain Conditions

摘要

在矿产资源需求不确定的背景下，矿石供应链的高效可持续运营面临着严峻挑战。为求解需求不确定性条件下的矿石供应链网络优化问题，实现矿石供应链网络总运营成本的最小化，构建了综合考虑碳税和碳排放限额的鲁棒可能性模糊规划模型。该模型将矿石需求和运输成本建模为梯形模糊数，并通过鲁棒可能性模糊规划方法有效应对供应链运作中的不确定性。同时，提出了一种基于效用度排序的差分进化算法，并结合COPRAS模型对矿石供应链效益进行评估。经工程算例验证，相比传统的基于适应度函数的差分进化算法，基于效用度的差分进化算法在求解效率、计算时间和收敛速度等方面表现更优；与遗传算法、粒子群算法等典型元启发式算法相比，该算法在效用度方面具有显著优势，收敛迭代次数更少，能够更有效地优化矿石供应链网络。

Abstract

In the context of a rapidly evolving global economic landscape and an increasingly complex market environment，the demand for mineral resources has become highly unpredictable.This unpredictability poses significant challenges to the stable operation and optimization of ore supply chain networks.Consequently，the rational design of ore transportation network structures and the optimization of ore flow have emerged as critical issues necessitating urgent attention within the domain of ore supply chain network optimization.To address the complexities associated with optimizing ore supply chains under uncertain demand conditions，this study undertook an in-depth exploration and introduced innovative solutions.A novel robust possibility fuzzy programming model was developed，incorporating considerations of carbon taxes and carbon emission limits.During the model construction process，the uncertainties in ore demand and transportation costs were comprehensively represented using trapezoidal fuzzy numbers.By employing the robust possibility fuzzy programming method，the complex uncertainty problem was transformed into a solvable deterministic form，facilitating the development of a model aimed at minimizing total operating costs.This study establishes a scientifically robust and effective quantitative framework for cost management within the ore supply chain.To efficiently address the proposed model，a differential evolution algorithm incorporating utility degree ranking was introduced.This algorithm integrates the COPRAS model，thereby overcoming the limitations of traditional algorithms that rely exclusively on fitness functions.It assesses the benefits of the ore supply chain across multiple dimensions，including economic costs，environmental impacts，and resource utilization efficiency.By employing utility degree-based population ranking，the algorithm directs iterative processes towards optimal solutions，significantly enhancing its search capabilities and convergence speed.To validate the effectiveness and superiority of the proposed model and algorithm，they were applied to real-world engineering scenarios.The results demonstrated that，in comparison to the traditional differential evolution algorithm based on fitness functions，the utility degree-based differential evolution algorithm achieved superior solution efficiency with substantially reduced computational time.Regarding performance，the proposed approach demonstrated accelerated convergence towards optimal solutions and exhibited more significant optimization effects on the ore supply chain network.Moreover，when compared to conventional meta-heuristic algorithms like genetic algorithms，the utility degree-based differential evolution algorithm outperformed in terms of utility degree metrics.It required fewer iterations to achieve convergence and exhibited enhanced global search capabilities and optimization potential.Consequently，this research offers a solid theoretical foundation and practical technical support for ensuring the efficient operation and sustainable development of ore supply chains within complex and dynamic market environments.

Graphical abstract

关键词

矿石供应链 / 需求不确定 / 差分进化算法 / 鲁棒优化 / 可持续 / 多准则评价

Key words

ore supply chain / demand uncertainty / differential evolution algorithm / robust optimization / sustainability / multi-criteria evaluation

矿业作为经济社会发展的基石，肩负着高效绿色开发和清洁低碳利用矿产资源的重任（王家臣等，2024）。在全球经济一体化和市场环境动态变化的背景下，金属矿产资源需求的不确定性愈发显著，这使得矿石供应链的高效可持续运营成为矿业发展的核心诉求（Leal Gomes Leite et al.，2019；Zhang et al.，2024）。矿石供应链涵盖从矿山开采到终端产品制造的复杂流程，其中基础设施选址、作业协同和矿石流配置等环节均对矿石供应链整体运营效率和稳定性具有关键影响（牛占奎等，2016；Zeng et al.2021；Zhang et al.，2024）。因此，在需求不确定的商业环境下，优化矿石供应链网络结构，尤其是合理配置运输网络和优化矿石流运输，已成为亟待解决的关键问题。

目前，在矿石供应链网络结构优化领域，已有研究采用网络流理论、蚁群算法和多准则评价等方法解决可持续运营问题（Singh et al.，2015；Kusi-Sarpong et al.，2016；Valderrama et al.，2020；马印禹，2023）。然而，矿石供应链具有外生与内生双重不确定性，表现为：外生不确定性源于供应链网络环境中的中断风险，导致需求响应滞后；内生不确定性则因资源赋存信息不透明而引发品位动态变化，进而影响源头产能（Liu，2021；Zeng et al.，2023）。尽管部分研究已考虑这些不确定性因素，通过构建三阶段矿石供应链网络规划模型验证鲁棒优化的有效性（Liu，2021），或综合生产调度与供应链协同优化（Belov et al.，2020；LaRoche-Boisvert et al.，2021；Zhou et al.，2021），但现有研究多数仍集中于确定性条件下的选址—路径优化问题，对生产环境不确定性条件下的综合优化关注较少。此外，矿石供应链网络优化模型通常被建模为混合整数规划问题，属于NP-hard类问题（董海等，2023）。在求解此类问题时，启发式算法展现出一定的优势（Goodarzian et al.，2020），其中差分进化算法因具有局部和全局优化中的高效性和较强的稳健性而被广泛应用（Chaharmahali et al.，2022；史双元等，2024）。然而，传统差分进化算法在供应链网络优化中主要依赖目标函数与约束惩罚相结合的适应度函数来引导种群进化，从而忽略了从多维度对效益进行综合评估的重要性。

总体而言，现有针对矿石运输网络结构优化的研究大多集中于确定性条件下的选址—路径优化问题，而对需求波动等不确定性因素的关注较少，特别是对生产环境不确定性条件下的综合优化研究尚显不足。基于此，本文选择包含矿山、选矿厂、运输中心及港口的矿石供应链网络作为研究对象，构建了以总成本最小化为目标函数的矿石供应链网络优化模型，用于决策网络结构和矿石流运输配置。为应对终端制造企业矿石需求的不确定性，本文引入模糊可能性鲁棒规划方法，构建等价确定型矿石供应链网络优化模型，从而提升最优解在实际矿石供应链中的效益表现，并通过该方法增强优化方案的鲁棒性。此外，鉴于矿石供应链网络优化问题具有NP-hard特性，提出了一种基于效用度排序的差分进化算法进行求解。该算法结合COPRAS模型从经济成本、环境影响和资源利用效率等多个维度综合评估矿石供应链效益，并据此对种群个体进行排序，指导算法迭代过程，从而提高搜索效率。最后，通过算例分析验证了所提模型与算法的可行性和适用性。

1 矿石供应链网络优化模型构建

1.1 问题描述

矿石供应链网络包括矿山、选矿厂、运输中心和港口。其中，矿山是将矿石等矿产资源从地表或地下提取出来的独立经营单位；选矿厂是通过一系列工艺对开采粉碎后的矿石进行精炼加工的单位；运输中心是矿石供应链网络中的中转单位，用于改变运输方式和进行矿石的二次配置等；港口将矿石运输至需求地点。选用的运输方式包括公路和铁路运输。在矿石供应链中，决策者决定建立候选选矿厂和运输中心，并制定运输计划。为实现矿石供应链最优效益，模型以生产和运输成本最小为目标函数。在矿石加工过程中，原矿化学成分会产生一定损失，这种损失因选矿厂而异。原矿经过加工后，转化为符合特定化学成分规格的产品，不同的产品具有不同的规格。加工后的产品经过运输中心运送到港口。

模型假设以下条件成立：

（1）矿石开采和选矿过程是供应链中最具成本效益的环节。据统计，约40%的矿业成本来自这2个环节，故对其进行优化能够显著提升供应链绩效。因此，模型只考虑矿石开采和选矿过程。

（2）每个矿山均有多个开采矿石的盘区，但在矿石供应链中统一为一个节点，同时考虑矿山开采能力有限。

（3）矿山开采的矿石数量按照生产计划取值。

1.2 需求不确定下的优化模型

优化目标如式（1）所示，即最小化矿石运输网络的总成本。经济成本包括选择基础设施的固定成本、运输成本、设施的运营成本以及碳税交易。

\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\sum _{j}C{e}_j{y}_j+\sum _{d,i,v,s}{\widetilde{Ct}}_{div}^{s}su{m}_d+\sum _{i,j,v,s}{\widetilde{Ct}}_{ijv}^s{x}_{ijv}^s+\sum _{i,l,v,s}{\widetilde{Ct}}_{ilv}^s{x}_{ilv}^s\\ +\sum _{j,k,v,s}{\widetilde{Ct}}_{jkv}^s{x}_{jkv}^s+\sum _{i,j,l,v,s,d}C{w}_l(su{m}_d-\sum _{}{x}_{ijv}^s-\sum _{}{x}_{ilv}^s)\\ +\sum _{i,j,v,s}C{p}_j{x}_{ijv}^s+\sum _{i,l,v,s}C{w}_l{x}_{ilv}^s+p{s}^{-}{r}^{-}-p{b}^{+}{r}^{+}\end{array}（1）

式中：d、i、j、k、l和v分别为矿山、选矿厂、运输中心、港口、库存和运输方式的索引；s为情景索引；{\widetilde{Ct}}_{div}^s、{\widetilde{Ct}}_{ijv}^s和{\widetilde{Ct}}_{jkv}^s分别为情景s下设施节点d和i、i和j、j和k之间采用运输方式v的单位运输成本；su{m}_d为矿山d根据采掘计划的出矿量；C{e}_j、C{c}_i、C{p}_j和C{w}_l分别为设施节点j、i、j和l的固定运作成本；p{b}^{+}和p{s}^{-}分别为碳税的购买价格和售出价格。x_{ijv}^s、x_{jkv}^s和x_{ilv}^s为决策变量，分别表示情景s下设施节点d和i、i和j、j和k之间采用运输方式v的矿石数量。y_j为运输中心决策变量，当运输中心j被选择时等于1，否则为0；r^{+}和r^{-}分别为购买和卖出的碳税数量。

模型满足以下约束条件：

（1）碳排放限额约束和污染排放限额约束分别表示为

\sum _{i,j,v}E{t}_{ijv}^s{x}_{ijv}^s+\sum _{j,k,v}E{t}_{jkv}^s{x}_{jkv}^s+\sum _{d}E{c}_{d}su{m}_d\le ECcap（2）

\sum _{i}E{p}_i\left(\sum _{j,v}{x}_{ijv}^s+\sum _{l,v}{x}_{ilv}^s\right)+\sum _{d}E{p}_{d}su{m}_d+\sum _{k}E{p}_k\sum _{j,v}{x}_{jkv}^s\le EPcap（3）

式中：E{t}_{div}^s、E{t}_{ijv}^s和E{t}_{jkv}^s分别为情景s下设施节点d和i、i和j、j和k之间采用运输方式v的运输过程中单位碳排放；E{c}_d为矿山d开采矿石资源造成的碳排放；ECcap和EPcap分别为碳排放限额和污染排放限额；E{p}_d和E{p}_k分别为矿山d开采矿石和运输中心k作业产生的污染排放。

（2）矿山、选矿厂的生产能力约束和运输设备的运输能力约束分别表示为

\sum _{d}su{m}_d-\sum _{j,v}{x}_{ijv}^s-\sum _{l,v}{x}_{ilv}^s\le Sca{p}_i（4）

\sum _{i,v}{x}_{ijv}^s\le Pca{p}_j（5）

\sum _{i,j}max\{w{x}_{ijv}^s\}\le Vca{p}_v（6）

式中：Sca{p}_i、Pca{p}_j和Vca{p}_v分别为选矿厂生产能力约束、运输中心生产能力约束和运输设备能力约束；w为矿石重量。

（3）选矿厂和运输中心的矿石流平衡约束分别如下式所示，即进入节点的矿石量等于流出节点的矿石量。

\sum _{i,j,v}{x}_{ijv}^s=\sum _{j,k,v}{x}_{jkv}^s（7）

\sum _{i,l,v}{x}_{ilv}^s+\sum _{i,j,v}{x}_{ijv}^s\le \sum _{d}su{m}_d（8）

（4）每个港口的需求满足约束表示为

\sum _{j,v}{x}_{jkv}^s\ge {\tilde{D}}_k^s（9）

式中：{\tilde{D}}_k^s为港口k所承担的矿石需求。

（5）矿石品位约束表示为

\sum _{i,j,v}{x}_{ijv}^s\le g\sum _{d}su{m}_d（10）

式中：g为矿石品位。

式（11）和式（12）规范了决策变量的类型。

x_{ijv}^s,x_{jkv}^s,x_{ilv}^s,r^{+},r^{-}\in {\mathbf{R}}^{+}（11）

式中：{\mathbf{R}}^{+}为正实数集。

y_i,y_j,y_l\in \left\{\mathrm{0,1}\right\}（12）

式中：y_i为选矿厂决策变量，当选矿厂i被选择时等于1，否则为0；y_l为库存中心决策变量，若库存中心l被选择时等于1，否则为0。

1.3 等价确定性模型推导

不确定性广泛存在于矿石供应链运营中，需求等参数的不确定导致所构建的矿石供应链网络优化模型不可解。因此，采用不确定建模技术对上述优化模型进行确定性等价模型推导。鲁棒可能性模糊规划已被证实为处理混合不确定性下优化问题的有效方法，并被广泛应用于供应链网络优化领域（Zhang et al.，2009；Yousefi et al.，2017；Ghasemi et al.，2022）。基于问题描述，模型包含的不确定参数为矿石需求{\tilde{D}}_k^s和运输成本[{\widetilde{Ct}}_{div}^s,{\widetilde{Ct}}_{ijv}^s,{\widetilde{Ct}}_{jkv}^s]。首先，将1.2小节中矿石供应链网络结构模型简化为

\left\{\begin{array}{l}\mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{n}Z={\tilde{\mathit{Q}}}^s{x}^s+\mathit{R}y\\ s.t.\\ \mathit{D}x\ge \tilde{A}\\ \mathit{E}{x}^s\le \tilde{F}\\ \mathit{M}{x}^s\le By\\ C{x}^s=\mathrm{0}\\ y\in \left\{\mathrm{0,1}\right\},x^s\ge \mathrm{0}\end{array}\right.（13）

目标函数中，向量\mathit{R}表示不随情景改变的固定成本参数，向量{\tilde{\mathit{Q}}}^s表示情景可变参数。约束条件中，向量\mathit{D}、\mathit{E}和\mathit{M}为资源系数，\tilde{A}和\tilde{F}为情景可变限额系数，B为不随情景改变的固定资源限额系数，C为等式约束的资源系数。x^s为随不确定情景变化的连续变量，y为二元变量。可能性机会约束规划中，目标函数的期望值用于描述不确定性（Quddus et al.，2018；Borajee et al.，2023）。此外，不确定参数在不同需求情景下通常建模为模糊数，包括三角模糊数和梯形模糊数。相比三角模糊数，梯形模糊数刻画不确定参数，能够消除不确定性。因此，模型采用梯形模糊数用于刻画不确定参数，并得出如下可能性机会约束规划模型：

\left\{\begin{array}{l}\mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{n}E\left[Z\mathrm{1}\right]=\left(\frac{Q^{s,\mathrm{1}}+Q^{s,\mathrm{2}}+Q^{s,\mathrm{3}}+Q^{s,\mathrm{4}}}{\mathrm{4}}\right)x^s+\mathit{R}y\\ s.t.\\ \mathit{D}x\ge \left(\mathrm{1}-\alpha \right)A^{\mathrm{3}}+\alpha A^{\mathrm{4}}\\ \mathit{E}{x}^s\le \left(\mathrm{1}-\beta \right)F^{\mathrm{2}}+\beta F^{\mathrm{1}}\\ \mathit{M}{x}^s\le By\\ C{x}^s=\mathrm{0}\\ y\in \left\{\mathrm{0,1}\right\},x^s\ge \mathrm{0}\end{array}\right.（14）

式中：不确定参数{\tilde{Q}}^s采用梯形模糊数(Q^{s,\mathrm{1}},Q^{s,\mathrm{2}},Q^{s,\mathrm{3}}，Q^{s,\mathrm{4}})表示；\alpha和\beta分别为不确定参数的满足度水平，通常根据决策者的决策偏好得到（Nayeri et al.，2020），取0和1之间。 基于风险决策理论，根据决策者的风险偏好，可将决策者划分为保守型、中间型和冒险型。满足度水平越大，意味着决策者的风险态度偏向冒险型，对于约束条件的限制更加严格，以约束条件式（1）为例，右端项越大，约束条件越严格；满足度水平越小，意味着决策者应对风险更加保守，对于约束条件的限制较放松。然而，在情景不确定条件下，目标函数对期望值的偏差敏感，意味着可能性机会约束规划模型不能得到可靠的鲁棒解。情景鲁棒优化通过在目标函数中引入惩罚函数和期望函数，从而消除不确定参数对结果的影响，保证情景不确定下解和模型的鲁棒性。

因此，模型结合情景鲁棒优化和可能性机会约束规划，得到如下确定性等价模型：

\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}\mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{n}Z=E\left[Z\right]+\lambda (Z_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-Z_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}})+{\mu }_{\mathrm{21}}\left[A^{\mathrm{4}}\right.-\left(\mathrm{1}-\alpha \right)A^{\mathrm{3}}-\\ \left.\alpha A^{\mathrm{4}}\right]+{\mu }_{\mathrm{22}}\left[\left(\mathrm{1}-\alpha \right)F^{\mathrm{2}}+\alpha F^{\mathrm{1}}-F^{\mathrm{1}}\right]+\mathit{R}y\end{array}\\ s.t.\\ \mathit{D}x\ge \left(\mathrm{1}-\alpha \right)A^{\mathrm{3}}+\alpha A^{\mathrm{4}}\\ \mathit{E}{x}^s\le \left(\mathrm{1}-\beta \right)F^{\mathrm{2}}+\beta F^{\mathrm{1}}\\ \mathit{M}{x}^s\le By\\ C{x}^s=\mathrm{0}\\ Z_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=Q^{s,\mathrm{4}}x\\ Z_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=Q^{s,\mathrm{1}}x\end{array}\right.（15）

目标函数中，第一部分为期望值，第二部分为目标函数期望值偏差的惩罚函数，第三部分和第四部分均为约束条件违背的惩罚函数值；\lambda为目标函数偏差的权重系数；({\mu }_{\mathrm{11}},{\mu }_{\mathrm{12}},{\mu }_{\mathrm{21}},{\mu }_{\mathrm{22}}）为约束条件违背的惩罚成本。

2 求解算法

矿石供应链网络结构优化模型的求解是一个NP-hard问题，差分进化算法被广泛应用于求解此类问题，并具有优异的求解效率和收敛性能。差分进化算法的优化进程是基于解向量种群（程强等，2023；林剑等，2023）。其引入独特的进化机制，即利用当前种群中的个体差异来构建变异个体的差分方程模型。在差分进化算法中，选择机制是通过比较适应度函数值来进行（王亚东等，2019）。为了全面评估供应链综合效益，算法引入多准则决策方法对种群的供应链经济和环境等效益进行评价，采用效用度对种群的解进行排序，确定效用度最大的个体为当前迭代中的最优解。

2.1 差分进化算法

在差分进化算法中，解空间中的每个向量表示其当前位置的潜在解。搜索过程首先在解空间中随机初始化种群向量，然后通过变异、交叉和选择等进化操作实现种群迭代，即更新这些向量的位置，以找到问题的最优或近似最优解。变异算子用于为群体中的每个个体生成变异向量。在最简单的形式中，变异运算通过以下等式将2个随机选择的向量进行加权差并与第3个随机选择的向量相加来生成变异向量。

（1）差分变异策略

差分变异策略是差分进化算法独有的进化机制，通常有以下6种方式：

\mathrm{D}\mathrm{E}/\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}/\mathrm{1}策略：

h_{i,j}\left(t+\mathrm{1}\right)=x_{r\mathrm{1},j}\left(t\right)+F\left[x_{r\mathrm{2},j}\left(t\right)-x_{r\mathrm{3},j}\left(t\right)\right]（16）

\mathrm{D}\mathrm{E}/\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}/\mathrm{1}策略：

h_{i,j}\left(t+\mathrm{1}\right)=x_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t},j}\left(t\right)+F\left[x_{r\mathrm{1},j}\left(t\right)-x_{r\mathrm{2},j}\left(t\right)\right]（17）

\mathrm{D}\mathrm{E}/\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}/\mathrm{1}策略：

h_{ij}\left(t+\mathrm{1}\right)=x_{i,j}\left(t\right)+F\left[x_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t},j}\left(t\right)-x_{i,j}\left(t\right)\right]+F\left[x_{r\mathrm{1},j}\left(t\right)-x_{r\mathrm{2},j}\left(t\right)\right]（18）

\mathrm{D}\mathrm{E}/\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}/\mathrm{2}策略：

h_{ij}\left(t+\mathrm{1}\right)=x_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t},j}\left(t\right)+F\left[x_{r\mathrm{1},j}\left(t\right)-x_{r\mathrm{2},j}\left(t\right)\right]+

F\left[x_{r\mathrm{3},j}\left(t\right)-x_{r\mathrm{4},j}\left(t\right)\right]（19）

\mathrm{D}\mathrm{E}/\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}/\mathrm{2}策略：

h_{ij}\left(t+\mathrm{1}\right)=x_{r\mathrm{1},j}\left(t\right)+F\left[x_{r\mathrm{2},j}\left(t\right)-x_{r\mathrm{3},j}\left(t\right)\right]+

F\left[x_{r\mathrm{4},j}\left(t\right)-x_{r\mathrm{5},j}\left(t\right)\right]（20）

\mathrm{D}\mathrm{E}/\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}/\mathrm{2}策略：

h_{ij}\left(t+\mathrm{1}\right)=x_{r\mathrm{1},j}\left(t\right)+F\left[x_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t},j}\left(t\right)-x_{i,j}\left(t\right)\right]+

F\left[x_{r\mathrm{2},j}\left(t\right)-x_{r\mathrm{3},j}\left(t\right)\right]+F\left[x_{r\mathrm{4},j}\left(t\right)-x_{r\mathrm{5},j}\left(t\right)\right]（21）

式中：变异策略\mathrm{D}\mathrm{E}/x/y中，\mathrm{D}\mathrm{E}为差分进化，x为变异的向量类型，y为变异向量的数量。h_{ij}\left(t+\mathrm{1}\right)为变异向量；r\mathrm{1},r\mathrm{2},r\mathrm{3},r\mathrm{4},r\mathrm{5}为随机选择变异的向量；F为变异因子，用来衡量差分变异的程度，通常F\in \left[\mathrm{0,1}\right]；x_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t},j}\left(t\right)为当前迭代次数的全局最佳位置。

（2）交叉策略

交叉操作是通过随机交换变异向量h_{ij}\left(t+\mathrm{1}\right)和目标向量x_{ij}\left(t\right)的某一个或多个元素进行，具体计算公式为

v_{ij}\left(t+\mathrm{1}\right)=\left\{\begin{array}{cc}{h}_{ij}\left(t+\mathrm{1}\right),rand{l}_{ij}\le CR& \\ x_{ij}\left(t\right),rand{l}_{ij}>CR& \end{array}\right.（22）

式中：rand{l}_{ij}为0和1之间的随机数，符合正态分布；CR为交叉概率，取值为CR\in \left[\mathrm{0,1}\right]。

（3）选择策略

差分进化算法基本的选择操作是通过比较交叉向量v_i\left(t+\mathrm{1}\right)和目标向量x_i\left(t\right)的适应度函数值来进行，选择适应度函数更好的向量保留到下一次迭代过程。计算公式为

（23）

上述选择操作意味着个体的适应度函数值优异决定了种群的迭代更新。矿石供应链网络结构优化模型将最小化总成本作为目标函数，说明算法的运行和种群的更新是以经济效益为核心进行。然而，在“安全、高效、绿色、经济”等矿业可持续发展范式的背景下，矿石供应链的运营需要综合权衡上述优化目标。因此，算法采用多准则决策方法中的COPRAS模型（Complex Proportional Assessment）代替适应度函数值比较的方法作为选择策略。

COPRAS模型的评估步骤如下：

Step 1：指标规范化表示为

r_{ij}=r_{ij}/\sqrt[]{\sum _i{r}_{ij}^{\mathrm{2}}}（24）

式中：r_{ij}为第i个个体的第j个评价指标的计算值。

Step 2：指标标准化表示为

s_i^p=\sum _j{r}_{+ij},r_{+ij}=\left\{\begin{array}{c}{r}_{ij}(\mathrm{效益}\mathrm{指标})\\ \mathrm{0}(\mathrm{成本}\mathrm{指标})\end{array}\right.,

s_i^c=\sum _j{r}_{-ij},r_{-ij}=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{0}(\mathrm{效益}\mathrm{指标})\\ r_{ij}(\mathrm{成本}\mathrm{指标})\end{array}\right.（25）

Step 3：综合评估值表示为

T_i=s_i^p+\frac{s_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}^c\sum _i{s}_i^c}{s_i^c\sum _i{s}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}^c/s_i^c},s_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}^c=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{s_i^c\right\}（26）

Step 4：效用度计算公式为

U_i=T_i/T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}},T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\underset{i}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left\{T_i\right\}（27）

2.2 改进差分进化算法框架

本研究提出了基于效用度排序的差分进化算法，采用COPRAS模型代替基于适应度函数的选择策略。COPRAS模型根据矿石供应链效益评价指标集，计算出差分进化算法个体的效用度，从而将种群根据效用度进行排序，使得算法迭代向着矿石供应链效益最优的方向进行。算法运行流程如图1所示，计算步骤如下：

Step 1：输入算法参数和模型参数，初始化差分进化算法种群；

Step 2：基于DE/x/y差分变异策略，进行变异操作；

Step 3：采用COPRAS模型评估种群个体的矿石供应链效益，并基于效用度对个体进行排序，效用度值最高的个体为最优个体；

Step 4：判断控制变量是否超过预定义的边界值，若超过，则随机产生新个体，并计算个体的适应度函数值；

重复步骤2、步骤3和步骤4，直至满足算法终止条件，算法采用最大迭代次数作为终止条件。最终，输出矿石供应链效益最优的个体为最优解。

2.3 评估指标

基于矿石供应链网络优化模型和供应链运营效益，提出了基于效用度的差分进化算法所采用的效用度评价指标体系。评价指标体系包括极小化和极大化指标，其中，极小化指标包括总成本、总碳排放和总污染排放，极大化指标包括矿石品位和需求满足度。

极小化指标计算公式如下：

（1）总成本表示为

\sum _{j}C{e}_j{y}_j+\sum _{d,i,v,s}{\widetilde{Ct}}_{div}^{s}su{m}_d+\sum _{i,j,v,s}{\widetilde{Ct}}_{ijv}^s{x}_{ijv}^s+\sum _{i,l,v,s}{\widetilde{Ct}}_{ilv}^s{x}_{ilv}^s

+\sum _{j,k,v,s}{\widetilde{Ct}}_{jkv}^s{x}_{jkv}^s+\sum _{i,j,l,v,s,d}C{w}_l(su{m}_d-\sum _{}{x}_{ijv}^s-\sum _{}{x}_{ilv}^s)

+\sum _{i,j,v,s}C{p}_j{x}_{ijv}^s+\sum _{i,l,v,s}C{w}_l{x}_{ilv}^s+p{s}^{-}{r}^{-}-p{b}^{+}{r}^{+}（28）

（2）总碳排放表示为

\sum _{i,j,v}E{t}_{ijv}^s{x}_{ijv}^s+\sum _{j,k,v}E{t}_{jkv}^s{x}_{jkv}^s+\sum _{d}E{c}_{d}su{m}_d（29）

（3）总污染排放表示为

\sum _{i}E{p}_i\left(\sum _{j,v}{x}_{ijv}^s+\sum _{l,v}{x}_{ilv}^s\right)+\sum _{d}E{p}_{d}su{m}_d+

\sum _{l}E{p}_l\sum _{i,v}{x}_{ilv}^s+\sum _{k}E{p}_k\sum _{j,v}{x}_{jkv}^s（30）

极大化指标计算公式如下：

（1）港口矿石量表示为

\sum _{i,j,v}{x}_{ijv}^s/\sum _{d}su{m}_d（31）

（2）需求满足度水平表示为

\sum _{j,v,k,s}{p}_s\left(x_{jkv}^s/{\tilde{D}}_k^s\right)（32）

3 算例分析

3.1 试验设置

矿石供应链网络结构优化模型的试验设置如下：矿石供应链网络包括3个潜在的矿山、2个潜在的选矿厂、3个潜在的运输中心、3个潜在的库存点和2个港口。铁路和公路运输方式用来在矿石供应链网络中运送矿石。为了量化不确定性情景的影响，模型考虑5个供应链运营情景，发生概率为［0.15，0.15，0.20，0.20，0.30］。不确定参数采用梯形模糊数\left(r_{\mathrm{1}},r_{\mathrm{2}},r_{\mathrm{3}},r_{\mathrm{4}}\right)进行刻画。

3.2 控制参数试验

差分进化算法作为一种元启发式算法，在求解过程中重要的是确定最优的控制参数组合，控制参数包括最大迭代次数、种群规模、交叉因子和规模因子等。因此，采用正交试验对参数的因素和水平进行计算，选择S/N比率（Signal-to-Noise，信噪比）评估参数组合的优劣程度。基于模型复杂程度，表 1给出了差分进化算法控制参数的取值组合。

由表 1可知，差分进化算法的参数试验需要进行5⁴（即625）次试验。将消耗大量计算资源和时间。因此，采用L25正交试验，可将试验次数减少至25次。

在正交试验中，采用S/N比率来分析和评估每次试验的结果，其中，S为响应变量，N为标准差。S/N比率越高，表示算法控制参数组合的性能最好。S/N比率的计算公式为

S/N=-\mathrm{10}\mathrm{l}\mathrm{g}\left(\frac{\mathrm{1}}{n}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{y}_i^{\mathrm{2}}\right)（33）

图2所示为差分进化算法控制参数不同因素水平下的S/N比率值，由此得出模型求解最优的控制参数：最大迭代次数取值为3 000，种群规模取值为1 000，交叉因子取值为0.1，规模因子取值为0.5。

3.3 选择策略试验

首先，算例试验对比分析了基于效用度的差分进化算法和基本差分进化算法在求解矿石供应链网络结构优化模型上的优异。表2所示为模型求解在不同选择策略和不同差分变异策略下的结果比较，其中包括成本、碳排放、污染排放等矿石供应链效益指标，以及效用度、计算时间等算法效益指标。具体结果如下：

（1）所有差分变异策略对于模型求解的运算效益均是可行的，因为在2种选择策略下每种变异策略均能得到较好的解。

（2）图3和图4分别为基于适应度函数和基于效用度选择策略下的算法收敛结果。在每种差分变异策略下，2种选择策略均能在设置的终止条件内收敛。

（3）在基于适应度函数的差分变异策略下，DE/rand/1变异策略收敛速度最快，DE/best/2变异策略收敛速度最慢；在基于效用度的差分变异策略下，DE/best/1变异策略的收敛速度比其余变异策略快，算法性能更优，DE/rand/2变异策略收敛速度更慢。

（4）根据表2中的需求满足度指标，可以看出每种选择策略和差分变异策略组合下的算法得到的需求满足度均大于1，说明每个港口的矿石需求均得到了满足，一定程度上验证了解的可行性。

（5）图 5所示为不同选择策略下不同差分变异策略的效用度比较。通过比较2种策略下的效用度值，在每种差分变异策略下，基于效用度的算法得到的解质量均优于基于适应度函数的算法，说明改进的差分进化算法得到的最优解具有更好的矿石供应链效益。

（6）表2中的计算时间指标说明基于效用度的差分进化算法的运算速度优于基于适应度函数的差分进化算法。

上述试验结果说明基于效用度的差分进化算法优于传统差分进化算法，其原因在于：①模型在求解过程的每次迭代中，种群更新是受效用度最优的解指导；②基于效用度的差分进化算法采用成本和碳排放等矿石供应链效益指标作为种群更新指标，因此算法能够更快向全局最优收敛。

3.4 算法鲁棒性分析

（1）不确定性模型比较。算法鲁棒性分析通过构建确定性模型和机会约束规划模型，与鲁棒可能性模糊规划模型进行比较分析。确定性模型构建通过将不确定参数的标称值定义为梯形模糊数名义值的平均值来完成。模型求解结果见表3。由图6可知，鲁棒可能性模糊规划模型、确定性模型和机会约束规划均能在最大迭代次数内收敛到最优值。然而，3种不确定性模型的差异体现在以下2个方面：①在收敛速度上，确定性模型相比于机会约束规划模型和鲁棒可能性模糊规划模型更快，这是因为确定性模型在求解过程中，不需要计算多个不确定场景的矿石供应链运作。②在最优解上鲁棒可能性规划模型得到的最优解成本相比确定性模型更高，这是因为鲁棒可能性规划模型考虑了不同情景下解的适用性，因此最优解具有鲁棒性，能够适用于供应链运营中发生的所有可能情况。确定性模型最优解得到的成本虽然最低，但是该解在其他可能情景下不是最优，甚至是不可行解。因此，鲁棒可能性规划模型得到的解具有最高的效用度。

（2）惩罚成本。研究惩罚成本系数对所提出的鲁棒可能性模糊规划模型的影响，表4所示为该算法在不同惩罚成本下的性能指标。由图7可知，即使在惩罚成本为1 000和2 000时，该算法达到最大迭代次数也没有收敛，表明过高的惩罚成本可能导致模型过于严格，限制了算法的搜索空间，使其难以找到可行解。此外，当惩罚成本从200增加至800时，算法能够收敛到相近的最优解，但收敛速度逐渐减慢。这是因为随着惩罚成本的增加，模型对约束违背的惩罚力度加大，使得算法在搜索过程中更加谨慎，需要更多的迭代来寻找满足约束条件且成本较低的解。

3.5 智能优化算法比较

对比分析了基于效用度的差分进化算法、经典差分进化算法、遗传算法和粒子群算法在求解矿石供应链网络优化模型上的计算结果。其中，基于效用度的差分进化算法和传统差分进化算法均采用DE/rand/1变异策略，算法参数设置与3.2小节相同。遗传算法参数设置如下：最大迭代次数为3 000，种群规模为1 000，交叉概率为0.4，变异概率为0.05。粒子群算法参数设置如下：最大迭代次数为3 000，种群规模为1 000，惯性权重为0.9，学习因子取值为2。在相同的试验环境下，对4种算法进行多次独立运行求解矿石供应链网络优化模型，统计结果见表5。

由表5可知，基于效用度的差分进化算法在效用度方面明显高于遗传算法和粒子群优化算法，表明本算法能够有效地优化矿石供应链网络，降低运营成本。另外，本算法的平均收敛迭代次数少于其他2种算法，意味着其收敛速度更快，能够更迅速地找到较优解。这是因为基于效用度的差分进化算法独特的进化机制使其在搜索过程中能够更好地平衡全局探索和局部开发，避免陷入局部最优解。而遗传算法在处理过程中，由于交叉和变异操作的随机性较大，容易导致解的波动；粒子群优化算法在后期可能会出现粒子聚集在局部最优区域，难以跳出的情况。

4 结论

（1）针对需求不确定条件下的矿石供应链网络优化问题，成功构建了考虑碳税和碳排放限额的鲁棒可能性模糊规划模型。通过将矿石需求和运输成本建模为梯形模糊数，并采用鲁棒可能性模糊规划方法，有效处理了供应链运作中的不确定性。

（2）提出了基于效用度排序的差分进化算法，通过引入COPRAS模型评估矿石供应链效益，该方法在求解效率和算法性能上优于传统的基于适应度函数的差分进化算法和遗传算法等典型元启发式算法。

（3）合理处理不确定性和采用多准则决策方法优化算法选择策略对于提高矿石供应链网络优化效果至关重要。在不同的不确定性模型比较中，鲁棒可能性模糊规划模型虽然收敛速度稍慢，但解的鲁棒性使其在实际多变的供应链环境中更具应用价值。惩罚成本系数对算法收敛性和最优解具有显著影响，为实际应用中模型参数调整提供了重要参考。

（4）本研究也存在一定局限性，具体表现在：在模型构建方面，虽然考虑了碳税和碳排放限额，但对于政策法规变化和突发地质灾害等其他可能影响矿石供应链的因素，尚未纳入模型，导致模型在极端情况下的预测和优化能力受限；在算法方面，尽管基于效用度的差分进化算法表现较好，但算法的复杂度较高，对于大规模的矿石供应链网络，计算时间可能仍然较长。此外，试验数据的选取无法完全代表所有实际情况，模型和算法的普适性还需要在更多不同类型的矿石供应链案例中进行进一步验证。未来将进一步拓展模型的考虑因素，优化算法效率，增强模型和算法的适用性。

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基金资助

长沙市自然科学基金项目“采动影响下地下巷道岩体结构面智能识别及扩展机制研究”(kq2402209)