基于Copula函数的胸径-树高二元联合分布模拟

Simulation of Bivariate Joint Distribution of Diameter at Breast Height-Tree Height Based on Copula Function

摘要

在林业研究中，胸径-树高二元联合分布多由相同边缘分布构造，而林分的胸径与树高的实际分布状况可能有所差异。为降低这种差异带来的影响，依据佳木斯市孟家岗林场的115块长白落叶松人工林数据，选择适用条件低、适应范围广的Copula函数方法拟合落叶松胸径-树高二元联合分布模型。首先选择威布尔（Weibull）、广义威布尔（G-Weibull）、逻辑斯蒂（Logistic）、轻量逻辑斯蒂（Logit-Logistic）、伽马（Gamma）、对数正态（Log-Normal）6个分布函数作为备选基础模型，根据K-S（kolmogorov smirnov test）检验与半参数估计结果筛选并构建Copula胸径-树高二元联合分布模型，再通过负对数似然（negative log-likelihood，NLL）、Sn拟合优度统计量和似然比检验（likelihood ratio test，LRT）与二元对数logistic分布函数和二元Weibull分布函数进行比较，最后使用雷诺误差指数（error index of Reynolds，EI）对模型预测能力进行评估。结果表明，基于Copula函数的二元分拟合结果与模型（E_I=0.318 4）预估能力皆优于二元Weibull分布（E_I=0.638 1）和二元对数Logistic分布（E_I=0.949 0），说明此方法构建胸径-树高二元联合Copula分布模型能够很好地描述落叶松人工林胸径树高联合分布，以Copula方法构建树高-胸径联合分布是可行的。

Abstract

In forestry research， the bivariate distribution of diameter at breast height （DBH） and tree height is often constructed from identical marginal distributions， yet the actual distributions of DBH and tree height within a forest stand may vary. To mitigate the impact of these differences， based on the data from 115 Larix olgensis stands in Mengjia Gang Forest Farm， Jiamusi City， this study employs the Copula function method， which has low application conditions and a broad range of adaptability， to model the bivariate distribution of DBH and tree height in Larix olgensis plantations. Firstly， we selected six distribution functions-Weibull， G-Weibull， Logistic， Logit-Logistic， Gamma， and Log-Normal- as potential base models. These were then screened and used to construct a Copula-based bivariate distribution model for DBH and tree height， based on the results of the Kolmogorov-Smirnov （K-S） test and semiparametric estimation. The model's fit was further evaluated using the negative log-likelihood （NLL）， the Sn goodness-of-fit statistic， and the likelihood ratio test （LRT）， comparing it with the bivariate logistic distribution function and the bivariate Weibull distribution function. Finally， the predictive capacity of the model was assessed using the Reynolds error index （EI）. The findings indicated that the Copula-based bivariate fitting results and predictive capabilities （E_I=0.318 4） outperformed those of the bivariate Weibull distribution （E_I=0.638 1） and the bivariate logistic distribution （E_I=0.949 0）. This suggests that the Copula method for constructing a bivariate joint distribution model of DBH and tree height can effectively describe the joint distribution in Larix olgensis plantations， making it a viable approach for modeling tree height and DBH distributions.

Graphical abstract

关键词

长白落叶松 / 胸径树高联合分布 / Copula函数 / 雷诺误差指数 / 半参数估计

Key words

Larix olgensis / joint distribution of diameter at breast height-tree height / Copula function / Reynolds error index / semiparametric estimation

0 引言

树高、胸径是林业资源调查中最基本的2个林分因子^［1-2］，其关系一直是林业研究的重点。胸径与树高的概率分布对现代森林经营活动起着重要的指导作用，可以用于预估树木各径阶、树高阶的株数与蓄积变化^［3-4］。目前，已有许多学者对胸径、树高一元概率分布进行研究^［5-8］。刘君然等^［5］使用Weibull函数对落叶松人工林径阶胸径进行建模，得到较好的结果。孟宪宇^［8］也对兴安落叶松林胸径、树高分布进行建模，结果表明，林分胸径分布与树高分布均遵从Weibull分布。但由于树木胸径及树高的生长密不可分，且树木胸径-树高关系能够对林分状况与森林经营有着更为重要的意义，因此越来越多的国内外学者开始使用胸径-树高二元联合分布模型来模拟林分动态。早期胸径-树高的分布函数是由一元分布拓展而来，Johnson^［9］、Schreuder等^［10］的研究发现二元约翰逊有界系统（system bounded，SBB）函数能够较好地描述杉木林胸径与树高的联合分布特征；Li等^［11］则通过二元Beta分布函数研究了林分的胸径与树高分布规律，经检验表明二元Beta函数同样适用于描述胸径与树高的分布特性。在以往的研究中，胸径与树高的二元联合分布模型往往是基于相同的边缘分布来构建的，这种做法没有考虑到胸径和树高各自的分布特性可能存在差异，从而可能导致估计林分胸径-树高分布结构出现不可避免的误差。

随着统计领域Copula理论的发展，应用Copula函数构建联合分布为解决上述问题提供新的方法。多元分布建模的“Copula”方法始于Sklar^［12］和Nelsen^［13］，其研究结果表明多元分布可以完全由其潜在的边际和表征边际变量之间依赖结构的Copula函数来表征。Copula方法能够在给定边缘分布和Copula函数的情况下，直接构造不同的二元Copula联合分布。Mingliang等^［14］应用Copula方法分别使用S_B分布和对数逻辑斯蒂（Logistic）分布作为边缘分布构建了2个二元分布模型，研究结果表明，基于Copula函数的二元约翰逊分布（Johnson Distribution，SB）分布的拟合效果优于对数logistic分布。Bailey等^［15］通过Plackett方法将广泛应用于林业的一元Weibull分布作为边缘分布，成功构建了二元威尔布（Weibull）分布。本研究在以往Copula方法构建胸径-树高联合分布的基础上，利用Copula函数的灵活性，选取拟合效果较好的胸径和树高分布作为边缘分布，构建了Copula二元联合分布模型，以提高模型的准确性。

长白落叶松（Larix olgensis）是我国东北地区的主要造林树种。同时长白落叶松也是我国主要的速生用材之一。其木质坚硬，干材优良，可应用于建筑、船舰、家具及木纤维原料等。因此，准确预测其胸径-树高的自然分布状况对其营林规划具有重要意义。本研究采用Copula方法，结合林业中常用的胸径和树高分布函数以及常见的Copula函数，构建了长白落叶松人工林的胸径-树高二元联合分布模型。该模型能够在遵循胸径-树高的各自分布规律的前提下预测其树木各径阶、树高阶的株数，为预估计其蓄积及生物量变化提供科学依据。

1 材料与方法

1.1 研究区概况

研究区位于黑龙江省佳木斯市桦南县孟家岗林场。林场地处于完达山山脉，地形平缓，以丘陵为主，坡度多处于10°~20°。林分起源以人工针叶林为主，人工林占林地总面积的约77%，其中长白落叶松（Larix olgensis）、樟子松（Pinus sylvestris）、红松（Pinus koraiensis）约占总人工林面积的80%。

1.2 研究数据

本研究在黑龙江省佳木斯市孟家岗林场设立不同立地条件、不同林龄的115块长白落叶松（Larix olgensis）人工林样地，林分平均胸径9.33~27.86 cm，经计算，每块样地胸径与树高的相关性均大于0.90，具有强相关性。林分平均树高为9.21~28.37 m，样地面积为0.09~0.15 hm²，林分年龄为13~64 a，具体数据见表1。

1.3 研究方法

1.3.1 胸径和树高一元边缘分布模型拟合

本研究分别拟合胸径和树高的一元分布，在本研究中选择了Weibull、广义威布尔（G-Weibull）、逻辑斯蒂（Logistic）、轻量逻辑斯蒂（Logit-Logistic）、伽马（Gamma）、对数正态（Log-Normal）6个分布函数作为备选基础模型，见表2。以Kolmogorov-Smirnov（K-S）指数最小、K-S检验通过率最高为目标分别选择最优的胸径、树高一元分布模型用于后续胸径-树高联合分布的构建。

1.3.2 基于Copula函数的胸径-树高二元联合分布构建

n个随机变量的Copula联合分布可分解为各自的边缘分布和1个Copula函数，从而将变量的随机性和耦合性分离，其中边缘分布描述随机性，Copula函数描述耦合性。如果已知联合累积分布函数（H），随机变量的边缘累积分布函数（F和G），则Copula函数表达公式为

C\left(\mu ,\vartheta \right)=H\left(F^{-\mathrm{1}}\left(\mu \right),G^{-\mathrm{1}}\left(\vartheta \right)\right)。（1）

式中，F^{-\mathrm{1}}(\mu )为F(\mu )的反函数，也称逆累积分布函数；\mu、\vartheta为随机变量的累积概率值。

假设X_{\mathrm{1}},X_{\mathrm{2}},\dots ,X_n是n随机变量，各自的边缘分布分别为F_{\mathrm{1}}\left(x_{\mathrm{1}}\right),F_{\mathrm{2}}\left(x_{\mathrm{2}}\right),\dots ,F_n\left(x_n\right)，联合分布为H(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\dots ,x_n)，则存在一个函数C将边缘分布与联合分布连接起来，使得

H\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\dots ,x_n\right)=C\left(F_{\mathrm{1}}\left(x_{\mathrm{1}}\right),F_{\mathrm{2}}\left(x_{\mathrm{2}}\right),\dots ,F_n\left(x_n\right)\right)。

（2）

而根据边缘分布的CDF逆变换（Invertin the cumulative distribution funcfion），即x_i =F_i^{-\mathrm{1}}（μ_i ）（i=1，2，…，n），则可以得到Copula函数的表达形式

C\left({\mu }_{\mathrm{1}},{\mu }_{\mathrm{2}},\dots ,{\mu }_n\right)=H(F_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}(x_{\mathrm{1}}),F_{\mathrm{2}}^{-\mathrm{1}}(x_{\mathrm{2}}),\dots ,F_n^{-\mathrm{1}}(x_n))。（3）

基于上述Coupla函数理论，设D为胸径，H为树高，令\mu =F(D)和\vartheta =G(H)分别为落叶松胸径和树高的边缘分布函数，则对于落叶松胸径-树高联合分布函数P=(D,H)，存在着一个Copula分布函数C，使得

P\left(D,H\right)=C\left[F\left(D\right),G\left(A\right)\right]。（4）

设落叶松胸径树高的二元Copula分布函数和密度函数分别为C(\mu ,\vartheta )和B(\mu ,\vartheta )，则由式（4）得

B\left(\mu ,\vartheta \right)=\frac{\partial C\left(\mu ,\vartheta \right)}{\partial \mu \partial \vartheta }。（5）

令f\left(D\right)=\partial \mu /\partial D为胸径D的边缘概率密度函数， g\left(H\right)=\partial \vartheta /\partial H为树高H的边缘概率密度函数，则落叶松胸径树高的联合概率密度函数p(D,H)为

\begin{array}{c}p\left(D,H\right)=\frac{\partial (D,H)}{\partial D\partial H}=\frac{\partial C\left[F(D),G(H)\right]}{\partial D\partial H}=\\ \frac{\partial C(\mu ,\vartheta )}{\partial \mu \partial \vartheta }\frac{\partial \mu }{\partial D}\frac{\partial \vartheta }{\partial H}=B(\mu ,\vartheta )F(D)G(H)\end{array}。（6）

1.3.3 最优Copula函数选取

Copula联合分布由依赖结构和边缘分布两部分组成，同样这两部分都会影响Copula联合分布描述变量的准确性。在拟合二元Copula联合分布前，使用半参数估计进行预处理，将不适用于近正态随机变量（胸径和树高）的Copula函数排除。半参数估计即使用变量的经验分布或核分布代替边缘分布去进行Copula联合分布的拟合^［14］。使用的半参数估计是使用胸径与树高的经验分布作为边缘分布，即式（6）中f\left(D\right)和g\left(H\right)分布使用胸径、树高的经验分布，通过这种方式构建半参数分布模型，备选Copula函数的具体形式见表3。

通过计算每个Copula半参数模型的负对数似然，来对不同Copula模型的拟合优度进行排序。公式为

L\left(\theta \right)={\displaystyle \prod _{i=\mathrm{1}}^n}p\left(y_i\left|{\mathit{x}}_i\right.;\theta \right)。（7）

N_{\mathrm{L}\mathrm{L}}\left(\theta \right)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}p\left(y_i\left|{\mathit{x}}_i\right.;\theta \right)。（8）

式中：{\mathit{x}}_i是特征向量；y_i是对应的观测结果；\theta为模型参数；L\left(\theta \right)为该模型的似然函数；N_{\mathrm{L}\mathrm{L}}\left(\theta \right)为负对数似然函数。

1.3.4 胸径-树高二元联合分布模型比较

本研究采用基于参数bootstrap方法^［16］的Sn拟合优度检验，以评估二元联合分布模型的拟合效果。Sn统计量的意义在于其比较了数据的经验分布与理论分布模型之间的差异，Sn统计量值（S_n）越接近0，说明模型与数据的匹配度越高。

S_n=\frac{\mathrm{1}}{n}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\left[C\left(u_{\mathrm{i}},v_{\mathrm{i}};\theta \right)-\widehat{C}\left(u_{\mathrm{i}},v_{\mathrm{i}};\widehat{\theta }\right)\right]}^{\mathrm{2}}。（9）

式中：C(u_{\mathrm{i}},v_{\mathrm{i}};\theta )为理论联合分布值；\widehat{C}(u_{\mathrm{i}},v_{\mathrm{i}};\widehat{\theta })为经验分布值。

为进一步比较胸径-树高二元模型的拟合优度，本研究使用似然比检验（Likelihood ratio test，LRT）。该检验通过比较边缘分布与联合分布的对数似然值，计算出似然比统计量。似然比统计量（L_RT）的公式为

L_{\mathrm{R}\mathrm{T}}=-\mathrm{2}\times \left(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{L}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}-\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{L}_{\mathrm{j}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}\right)。（10）

式中：\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{L}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}为2个独立分布的对数似然值；\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{L}_{\mathrm{j}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}为联合分布的对数似然值。

为验证基于Coupla函数的二元分布模型的拟合效果，本研究使用二元Weibull分布与二元对数Logistics分布拟合胸径-树高二元联合分布的拟合效果进行比较。为检验Copula联合分布模型的实际预测效果，本研究采用雷诺误差指数E_I^［17］对直径、树高分布的预测效果进行评估和比较。由于是胸径-树高二元联合分布，使用分径阶和树高阶分别对模型进行检验。公式为

E_{\mathrm{I}\mathrm{j}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}={\displaystyle \sum _{h=\mathrm{1}}^{nh}}{\displaystyle \sum _{d=\mathrm{1}}^{nd}}\left|f-\widehat{f}\right|。（11）

E_{\mathrm{I}h}={\displaystyle \sum _{d=\mathrm{1}}^{nd}}\left|f_d-{\widehat{f}}_d\right|。（12）

E_{\mathrm{I}d}={\displaystyle \sum _{h=\mathrm{1}}^{nh}}\left|f_h-{\widehat{f}}_h\right|。（13）

式中：E_{\mathrm{I}\mathrm{j}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}为联合分布的总误差指数，即块样地的误差指数总和；E_{\mathrm{I}h}为某一树高阶中所有径阶的误差指数总和；E_{\mathrm{I}d}为某一径阶中所有的树高阶的误差指数总和。d和h分别为不同的径阶和树高阶；f_d、 {\widehat{f}}_d分别为d径阶的实测概率和预测概率；f_h、 {\widehat{f}}_h分别为h树高阶的实测概率和预测概率。

1.4 数据处理

使用R4.4.1软件对数据进行统计分析，使用fitdist函数进行胸径、树高一元分布拟合，筛选出最优的胸径、树高边缘分布；使用MATLAB2022b进行Copula函数的半参数分析，筛选出最适合数据的Copula函数；再使用R4.4.1软件中的fitdistrplus、copula、copBasic等R包构建Copula胸径-树高二元联合分布，定义函数计算二元分布的拟合指标与雷诺误差指数（error index of Reynolds，EI），利用ggplot2包作图。

2 结果与分析

2.1 树高、胸径边缘分布拟合结果

通过对这6个分布函数的评价结果（表4）表明，除了G-Weibull以外的5个分布函数的K-S值和均较小且通过率较高，适合用于描述落叶松人工林的胸径与树高分布。同一分布函数在描述胸径分布和树高分布时的效果有所差异。综合K-S值与K-S检验通过率，6个分布函数描述落叶松人工林胸径的适用性排名由大到小为Gamma、Logistic、Log-Logistic、Log-Normal、Weibull、G-Weibull；描述落叶松人工林树高的适用性排名由大到小为Log-Normal、Gamma、Logistic、Weibull、Log-Logistic、G-Weibull。根据此结果，将使用Gamma分布作为描述落叶松人工林胸径的边缘分布，使用Log-Normal分布作为描述落叶松人工林树高的边缘分布来构建Copula胸径树高联合分布。

2.2 Copula函数拟合结果

本研究S-Plus^［18］通过半参数方法将7个Copula函数拟合每块样地的胸径树高联合分布，同时计算每个联合分布的负对数似然来比较Copula函数的性能。表5比较了每个Copula联合分布比其他Copula联合分布负对数似然值高的个数（除了FGM Copula（farlie gumbel morgenstern copula）联合分布），表中数值表示行Copula分布在此数值个数的样地的负对数似然值优于列Copula分布。由表5可知，所有其他6个Copula函数的表现都比FGM模型要好。Plackett Copula函数表现优于所有其他Copula函数，在参与拟合的115块长白落叶松人工林样地中，Plackett Copula函数的负对数似然值高于其他Copula函数的样地数均超过半数。

2.3 胸径-树高Copula二元联合分布的拟合与检验

通过上述比较，最终选取Plackett Copula函数作为本联合分布的依赖结构，选取Gamma分布作为胸径的边缘分布，选取对数正态分布作为树高的边缘分布。查找文献选择二元Weibull分布与二元对数Logistic分布作为对照分布，比较二元Copula胸径树高联合分布与传统二元胸径树高预测精度。表6通过负对数似然（negative log-likelihood，NLL）、Sn拟合优度统计量和似然比检验（likelihood ratio test，LRT）对3个二元联合分布模型进行了比较。二元Copula联合分布模型在NLL和Sn统计量上表现最优，而LRT进一步验证了其复杂性带来的显著改善。可以认为二元Copula联合分布在对落叶松人工林的胸径树高分布有优异的描述效果。

为进一步评估二元Copula胸径树高联合分布的预测能力，使用雷诺误差指数EI分别对总体二元分布、不同径阶和树高阶进行模型检验。表7显示了不同分布模型（Copula，Weibull，对数Logistic）下的联合密度函数的总雷诺误差指数。结果显示二元Copula分布的误差指数为0.318 4，在3个分布模型中最小，表明其在总体预测效果上优于其他2个模型。

图1为不同分布模型在不同径阶下的误差指数。在所有径阶下，二元Copula的误差始终保持较低值。特别是在径阶d=11和径阶d=15下，显著低于Weibull和对数Logistic分布。比较了不同分布模型在不同树高下的误差指数，在不同树高阶下，二元Copula模型的误差指数依然保持最低。尤其是在树高H=15时，其预测效果显著优于其他2个分布。综合3个表展示的预测结果，二元Copula模型的误差在所有区间内均较低，精度较高，在拟合胸径和树高的联合分布时具有显著优势，尤其是在捕捉变量间的复杂依赖结构和尾部依赖性方面。

3 讨论

在过往的林业研究中，常用树高曲线来描述胸径与树高关系，但其并不能反映胸径与树高的分布状况。通过统计学手段考虑2个变量之间的依赖性和随机性，使用胸径-树高联合分布模型来描述胸径-树高关系。过往的二元胸径-树高联合分布所使用的胸径-树高分布为同分布^［9，12］，但是往往胸径-树高的实际分布会有所差异，使用Copula方法构建胸径-树高的联合分布，基于适合样本的一元胸径分布和一元树高分布。

本研究比较了Weibull、Gweibull、Logistic、Log-Logistic、Gamma、Log-Normal这6个分布在拟合落叶松人工林胸径树高分布的表现，经计算，Gamma分布描述胸径分布效果最好，这与Newton的胸径分布研究得到的结果相似^［19］。对数正态分布描述树高分布效果最好K-S（0.064 24）最小，且K-S检验通过率最高。得到胸径与树高的边缘分布后，通过半参数方法筛序常用Copula函数，检验指标为负对数似然值，结果显示Plackket Copula函数对样本数据适配性最好，这与Ogana等^［20］在Frank Copula与Plackket Copula对于胸径树高联合分布比较的得到的结果有所差异，在其研究中多数由Frank Copula构建的联合分布优于构建的联合分布，这种差异可能是与样本样地的树种有关，本研究的样本样地皆为长白落叶松（Larix olgensis）纯林，Ogana等研究样本为海岸松（Pinus pinaster）纯林、蒙达利松（Pinus radiata）纯林，赤桉（Eucalyptus camaldulensis）纯林以及云南石梓（Gmelina arborea）。使用筛选得到的Copula函数和胸径树高的边缘分布，拟合出Copula胸径树高二元联合分布模型，与描述胸径树高表现较好的二元Weibull分布^［13］、二元对数Logistic分布^［12］比较其模型拟合优度和对胸径树高分布的预测能力。通过计算雷诺误差指数（E_I）去评价模型的预测能力，Copula联合分布模型的总（E_I）为0.3184分别小于二元Weibull分布总EI（0.638 2）和二元对数Logistic分布总E_I（0.949 0），在不同径阶的树高分布预测上二元Copula胸径树高分布均优于其他两个分布模型，在不同树高阶的胸径分布预测上也得到了同样的结果，说明二元Copula胸径树高分布模型能够很好地描述落叶松人工林胸径树高联合分布。Gorgoso等^［21］在比较SBB、二元Weibull、二元Logistic在蓝桉的胸径树高分布时，得到由Plackket Copula构建的二元Logistic分布效果最佳，Mingliang等^［14］对胸径树高分布的研究中，拟合效果最好的模型也是通过Plackket Copula函数构建SBB二元分布模型，进一步证实了以Copula方法构建树高-胸径联合分布是可行的。

4 结论

胸径和树高是林业调查中最基本的林分因子，其概率分布对森林生物量估算及现代森林经营活动起着重要的指导作用，可以作为描述林分各径阶、各龄阶株数与蓄积变化的参考依据。在实际应用中，不同林分因子的分布趋势有所不同，故边缘分布相同的联合分布可能导致模型的拟合效果不佳。使用Copula函数构造的联合分布，可以单独优化每个边缘分布，并且通过选择合适的Copula函数去描述边缘分布间的依赖关系，从而构建更准确的联合分布模型。这一灵活性在林业研究中尤其重要，因为树木的生长受立地条件、竞争等多方面因素影响。本研究使用Copula方法能够更灵活地使用边缘分布去构建联合分布，捕捉树木生长的非线性特征，从而提高模型的预测能力，同时也为林业上更为复杂的多元分布研究提供参考价值。

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基金资助

国家重点研发计划(2023YFD2200802)

国家自然科学基金区域创新发展联合基金项目(U21A20244)