基于超螺旋滑模控制线控转向系统路感模拟电机控制

Road Sense Simulation Motor Control of Steering-by-wire System Based on Super Twisting Algorithm

摘要

针对线控转向系统驾驶员无法通过转向盘获取路感的问题，采用路感模拟电机给驾驶员路面反馈信息，使驾驶员获得路感并对车辆加以操控。建立线控转向系统动力学模型，采用魔术公式轮胎模型描述侧偏力，计算各个车轮的侧偏角，并计算出车轮的回正力矩。设计助力力矩、限位力矩、摩擦和阻尼力矩，得到线控转向系统路感反馈力矩，采用超螺旋滑膜（super twisting algorithm，STA）控制对反馈力矩换算的电流进行跟踪控制，设计模拟仿真试验并对试验结果进行分析。研究结果表明，魔术公式轮胎模型计算的回正力矩较为准确，所设计的路感模拟控制算法满足低速转向轻便、高速路感清晰稳定的要求。同时超螺旋滑模控制算法的鲁棒性优于比例积分微分（proportion integration differentiation，PID）控制，相较于普通滑模控制消除了抖振现象。

Abstract

To address the issue that drivers cannot perceive road sense through the steering wheel in a steer-by-wire （SBW） system， a road sense simulation motor is employed to provide feedback on road conditions， enabling the driver to perceive road sense and effectively control the vehicle. This study establishes a dynamic model of the SBW system， utilizing the magic formula tire model to describe lateral force， calculate individual wheel slip angles， and determine the self-aligning torque of the wheels. Assist torque， limit torque， friction torque， and damping torque， are designed to obtain the road sense feedback torque of the SBW system. A super-twisting algorithm （STA） approach is implemented to track the current corresponding to the feedback torque， simulation and experimental tests are conducted to analyze experimental results. The findings indicate that the self-aligning torque calculated using the magic formula tire model is highly accurate. The designed road sense simulation control algorithm meets the requirements of light steering at low speeds and clear， stable road sense at high speeds. Moreover， the robustness of the STA surpasses that of the proportional integration differentiation （PID） control. Compared with conventional sliding mode control， the proposed method effectively eliminates chattering effects.

Graphical abstract

关键词

线控转向系统 / 路感模拟 / 回正力矩 / 超螺旋滑模控制 / 电流跟踪

Key words

Steer-by-wire system （SBW） / road sense simulation / self-aligning torque / super twisting algorithm / current tracking

0 引言

汽车线控转向系统（steering-by-wire，SBW）由转向盘总成、转向执行机构和主控制器构成，通过线控方式实现汽车转向。SBW系统转向盘总成和转向执行器总成之间取消了传统的机械连接，能够降低发生碰撞时对驾驶员的伤害，改善驾驶员操纵条件，尤其在汽车轻量化设计、整车空间优化设计和灵活性设计等方面具有明显的成本优势^［1］。但是SBW无法将路面信息即路感直接传递给驾驶员，而是采用路感模拟的方法，将主控制器计算产生的模拟反馈力矩提供给转向盘总成，再为驾驶员提供相应的路感。因此模拟反馈力矩是影响驾驶员感知路面信息的关键因素，路感模拟方法是SBW设计的关键内容。

目前，路感模拟方法主要有3种，分别为齿条力测量法、动力学模型法、拟合函数法。Shi等^［2］提出了一种基于终端滑模的齿条力观测器，能够实时准确地估计线控转向系统中的齿条力；杨蕊绽^［3］设计了一种基于线性扩张状态观测器来观测齿条力的方法，对比其他观测器，具有观测精度较高和观测算力适中的优点；Choi等^［4］提出基于速度控制的导纳模型来计算路感力矩，通过设计扰动观测器来保证速度控制的鲁棒性；张君等^［5］提出了基于回正力矩半经验模型的反馈力矩计算，设计了主动回正控制算法，提高了车辆的回正性能；谢有浩等^［6］利用电流传感器测得的转向电机电流来等效路面负载，并提出基于扩展卡尔曼滤波的回正控制策略，对路面附着系数进行估计，使所设计的线控转向系统在各种路面上都具有较好的回正性能；Irmer等^［7］提出线控转向系统非线性模型，通过模型归纳开发了线控转向系统的简化模型，可用于路感力矩开发；Zhao等^［8］采用人工神经网络（ANN）和高斯过程回归（GPR）来构建路感反馈力矩模型，之后使用K-Means对训练数据集进行预聚类，此方法能在不牺牲计算效率的情况下显著提高模型的准确性；Kirli等^［9］提出了时滞转向感觉模型来优化相关拟合参数，优化后的路感减轻了驾驶员负担。齿条力测量法需要设计观测器以保证观测精度，且存在传感器安装困难的问题，拟合函数法很难反映路感的实际状况，动力学模型法通过建立合理的动力学模型能准确地计算回正力矩。

在路感电机控制方面，Fahami等^［10］采用线性二次调节器（linear quadratic regulator，LQR）与增益调度（gain scheduling，GS）相结合的控制方法对路感力矩进行控制，相比于传统的LQR控制器，提高了控制的响应速度和准确性；赵含雪等^［11］为了提高回正控制的鲁棒性，采用基于传统滑模控制算法（sliding mode control，SMC）的主动回正控制策略；Kim等^［12］采用自适应滑模控制（adaptive sliding mode control，ASMC）算法来应对各种路面条件，该算法可以有效补偿受到干扰的齿条力。普通的比例积分微分控制（proportion integration differentiation，PID）、LQR控制存在鲁棒性差的缺点，传统的SMC控制提高了鲁棒性但存在抖振现象，自适应算法需要大量计算，参数调节困难。

因此本研究结合车辆线性二自由度动力学模型，采用魔术公式轮胎模型，计算出轮胎回正力矩，并对其进行补偿设计，确保驾驶员在低速时转向轻便与高速时路感清晰；针对传统滑模控制存在抖振问题，采用超螺旋滑模控制（super twisting algorithm，STA）对路感电机电流进行跟踪控制，使转向盘能够迅速准确地将反馈力矩传递给驾驶员。

1 SBW系统模型搭建

通过降阶简化后建立的SBW系统主要由转向盘和转向执行总成构成。

1.1 转向盘总成模型

转向盘输入力矩微分方程表示为

T_{\mathrm{s}\mathrm{w}}=J_{\mathrm{s}\mathrm{w}}{\ddot{\theta }}_{\mathrm{s}\mathrm{w}}+B_{\mathrm{s}\mathrm{w}}{\dot{\theta }}_{\mathrm{s}\mathrm{w}}+k_{\mathrm{s}}({\theta }_{\mathrm{s}\mathrm{w}}-\frac{{\theta }_{\mathrm{r}\mathrm{f}}}{G_{\mathrm{r}\mathrm{f}}})。（1）

式中：T_{\mathrm{s}\mathrm{w}}为转向盘输入转矩；J_{\mathrm{s}\mathrm{w}}、B_{\mathrm{s}\mathrm{w}}分别为转向盘转动惯量和阻尼系数；{\theta }_{\mathrm{s}\mathrm{w}}、{\dot{\theta }}_{\mathrm{s}\mathrm{w}}、{\ddot{\theta }}_{\mathrm{s}\mathrm{w}}分别为转向盘转角、转向盘加速度和转向盘角加速度；k_{\mathrm{s}}为转向管柱扭转刚度；{\theta }_{\mathrm{r}\mathrm{f}}、G_{\mathrm{r}\mathrm{f}}分别为路感电机转角和路感电机的减速器减速比。

路感电机电磁力矩输出方程表示为

T_{\mathrm{r}\mathrm{f}}=J_{\mathrm{r}\mathrm{f}}{\ddot{\theta }}_{\mathrm{r}\mathrm{f}}+B_{\mathrm{r}\mathrm{f}}{\dot{\theta }}_{\mathrm{r}\mathrm{f}}+k_{\mathrm{s}}({\theta }_{\mathrm{s}\mathrm{w}}-\frac{{\theta }_{\mathrm{r}\mathrm{f}}}{G_{\mathrm{r}\mathrm{f}}})/G_{\mathrm{r}\mathrm{f}}。（2）

式中：T_{\mathrm{r}\mathrm{f}}为路感电机电磁力矩；J_{\mathrm{r}\mathrm{f}}、B_{\mathrm{r}\mathrm{f}}分别为路感电机转动惯量和阻尼系数；{\dot{\theta }}_{\mathrm{r}\mathrm{f}}、{\ddot{\theta }}_{\mathrm{r}\mathrm{f}}分别为路感电机角速度和角加速度。

路感电机平衡方程表示为

U_{\mathrm{r}\mathrm{f}}=R_{\mathrm{r}\mathrm{f}}{I}_{\mathrm{r}\mathrm{f}}+L_{\mathrm{r}\mathrm{f}}{\dot{I}}_{\mathrm{r}\mathrm{f}}+k_{\mathrm{r}\mathrm{f}}{\dot{\theta }}_{\mathrm{r}\mathrm{f}}。（3）

式中：U_{\mathrm{r}\mathrm{f}}为路感电机电压；R_{\mathrm{r}\mathrm{f}}为路感电机电阻；L_{\mathrm{r}\mathrm{f}}为路感电机电感；I_{\mathrm{r}\mathrm{f}}和{\dot{I}}_{\mathrm{r}\mathrm{f}}分别为路感电机电流和电流变化率；k_{\mathrm{r}\mathrm{f}}为路感电机反电动势系数。

路感电机输出力矩和电流关系为

T_{\mathrm{r}\mathrm{f}}=k_{\mathrm{i}}{I}_{\mathrm{r}\mathrm{f}}。（4）

式中，k_{\mathrm{i}}为路感电机转矩系数。

1.2 转向执行机构模型

转向电机及减速器的动力学平衡方程表示为

T_{\mathrm{e}\mathrm{m}}=J_{\mathrm{e}\mathrm{m}}{\ddot{\theta }}_{\mathrm{e}\mathrm{m}}+B_{\mathrm{e}\mathrm{m}}{\dot{\theta }}_{\mathrm{e}\mathrm{m}}+k_{\mathrm{f}}(\frac{{\theta }_{\mathrm{e}\mathrm{m}}}{G_{\mathrm{e}\mathrm{m}}}-\frac{X_{\mathrm{r}}}{r_{\mathrm{p}}})/G_{\mathrm{e}\mathrm{m}}。（5）

式中：T_{\mathrm{e}\mathrm{m}}、J_{\mathrm{e}\mathrm{m}}、B_{\mathrm{e}\mathrm{m}}、k_{\mathrm{f}}、{\theta }_{\mathrm{e}\mathrm{m}}、{\dot{\theta }}_{\mathrm{e}\mathrm{m}}、{\ddot{\theta }}_{\mathrm{e}\mathrm{m}}、G_{\mathrm{e}\mathrm{m}}分别为转向执行电机的输出转矩、转动惯量、阻尼系数、扭转刚度、转角、角速度、角加速度、减速器减速比；X_{\mathrm{r}}、M_{\mathrm{r}}、B_{\mathrm{r}}、r_{\mathrm{p}}分别为齿条的位移、质量、阻尼系数和小齿轮半径。

齿条受力与齿条位移的关系式表示为

k_{\mathrm{f}}(\frac{{\theta }_{\mathrm{e}\mathrm{m}}}{G_{\mathrm{e}\mathrm{m}}}-\frac{X_{\mathrm{r}}}{r_{\mathrm{p}}})/r_{\mathrm{p}}=M_{\mathrm{r}}{\ddot{X}}_{\mathrm{r}}+B_{\mathrm{r}}{\dot{X}}_{\mathrm{r}}+\frac{T_{\mathrm{l}\mathrm{w}}}{L_{\mathrm{l}\mathrm{w}}}+\frac{T_{\mathrm{r}\mathrm{w}}}{L_{\mathrm{r}\mathrm{w}}}。（6）

式中：T_{\mathrm{l}\mathrm{w}}、T_{\mathrm{r}\mathrm{w}}、L_{\mathrm{l}\mathrm{w}}、L_{\mathrm{r}\mathrm{w}}分别为左、右前轮回正力矩和转向摇臂长度；{\dot{X}}_{\mathrm{r}}和{\ddot{X}}_{\mathrm{r}}分别为右轮位移速度和加速度。

转向执行电机平衡方程表示为

U_{\mathrm{e}\mathrm{m}}=R_{\mathrm{e}\mathrm{m}}{I}_{\mathrm{e}\mathrm{m}}+L_{\mathrm{e}\mathrm{m}}{\dot{I}}_{\mathrm{e}\mathrm{m}}+K_{\mathrm{e}\mathrm{m}}{\dot{\theta }}_{\mathrm{e}\mathrm{m}}。（7）

T_{\mathrm{e}\mathrm{m}}=k_{\mathrm{j}}{I}_{\mathrm{e}\mathrm{m}}。（8）

式中，U_{\mathrm{e}\mathrm{m}}、R_{\mathrm{e}\mathrm{m}}、L_{\mathrm{e}\mathrm{m}}、I_{\mathrm{e}\mathrm{m}}、{\dot{I}}_{\mathrm{e}\mathrm{m}}、K_{\mathrm{e}\mathrm{m}}、k_{\mathrm{j}}分别为转向执行电机的电压、电阻、电感、电流、电流变化率、反电动势系数、转矩系数。

1.3 整车建模

将车辆动力学仿真软件Carsim中车辆转向系统自带的机械转向模型关闭，在可视化仿真软件Simulink中依据上文公式搭建SBW系统模型接入Carsim中车辆转向系统进行联合仿真。输入到Carsim中的接口参数为左右前轮转角，Carsim输出接口参数为汽车行驶时的车速、左右前轮主销回正力矩。

2 路感模拟力矩设计

线控转向系统的路感力矩主要包括轮胎的回正力矩、汽车行驶过程中的阻尼力矩、转向盘总成的摩擦力矩。由于绝大部分驾驶员已经习惯转向助力系统提供助力后的路感，因此需要设计助力力矩，减轻驾驶员的负担。最后加入限制转向盘转角位置的限位力矩。最终SBW系统路感力矩总成为

T_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{l}}=T_{\mathrm{s}\mathrm{a}}+T_{\mathrm{f}}+T_{\mathrm{d}}+T_{\mathrm{l}}-T_{\mathrm{a}}。（9）

式中：T_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{l}}为路感力矩；T_{\mathrm{s}\mathrm{a}}为轮胎总的回正力矩；T_{\mathrm{f}}为摩擦力矩；T_{\mathrm{d}}为阻尼力矩；T_{\mathrm{l}}为限位力矩；T_{\mathrm{a}}为转向助力系统的助力矩。

2.1 回正力矩计算

计算轮胎回正力矩时，由于气胎拖距等关键变量受轮胎侧偏特性影响难以利用公式求解，为分析轮胎侧偏对转向工况下轮胎动力学特性的影响，须构建合理的轮胎模型。因此选择简单且拟合精度高的魔术轮胎模型来计算出轮胎的回正力矩，该模型通过拟合大量台架试验数据，采用参数化三角函数拟合出方程，可同时表征侧向力、纵向力及回正力矩。根据参考文献［13］魔术公式轮胎模型表示为

Y(x)=D\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{C\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left.\left(Bx-E(Bx-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(Bx)\right)\right\}\right.。（10）

式中：当输出Y(x)为侧向力或回正力矩时，x输入为轮胎侧偏角；B、C、D、E分别为刚度因子、曲线形状因子、峰值因子及曲线曲率因子，决定轮胎特性曲线的形状，可以通过相关计算拟合出轮胎特性曲线^［14］。

将Casim中轮胎侧偏角分别与侧向力和回正力矩的关系曲线数据输出，将各影响因子考虑为和垂直载荷相关的线性函数，利用最小二乘法在Matlab中拟合后的数据见表1和表2。表1为侧向力影响因子参数，其中F_Z 为轮胎的垂直载荷，表2为回正力矩影响因子参数。

轮胎侧偏角无法直接根据车辆现有参数计算获取。为此，搭建二自由度车辆模型对其进行计算，如图1所示，图1中，F_{Y\mathrm{1}}、F_{Y\mathrm{2}}分别为前轴、后轴单个轮胎侧向力；a，b分别为质心到前轴、后轴距离；L为车辆轴距；{\alpha }_{\mathrm{1}}、{\alpha }_{\mathrm{2}}、\beta分别为前后轮胎的侧偏角和质心侧偏角。u、v分别为车辆行纵向和侧向速度；u_{\mathrm{1}}、u_{\mathrm{2}}分别为前后轴相对车身的速度；{\delta }_{\mathrm{f}}为前轮转角；{\omega }_{\mathrm{r}}为横摆角速度。

由车辆静载时的力学关系容易计算出前、后轴单个轮胎的垂直载荷为

\left\{\begin{array}{l}{F}_{z\mathrm{1}}=\frac{b}{\mathrm{2}L}Mg\\ F_{z\mathrm{2}}=\frac{a}{\mathrm{2}L}M\mathrm{g}\end{array}\right.。（11）

式中：F_{z\mathrm{1}}、F_{z\mathrm{2}}分别为前后轴单个轮胎垂直载荷；M为整车质量；g为重力加速度。

轮胎侧向力采用魔术公式去描述，则二自由度模型中后前后轴侧向力可表示为

\left\{\begin{array}{l}{F}_{Y\mathrm{1}}=\mathrm{2}{F}_y({\alpha }_{\mathrm{1}},{F_z}_{\mathrm{1}})\\ F_{Y\mathrm{2}}=\mathrm{2}{F}_y({\alpha }_{\mathrm{2}},{F_z}_{\mathrm{2}})\end{array}\right.。（12）

通过对二自由度车辆模型进行受力分析，并将上式带入可得非线性二自由度车辆模型，即

\mathrm{2}{F}_y({\alpha }_{\mathrm{1}},F_{z\mathrm{1}})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\delta }_f+\mathrm{2}{F}_y({\alpha }_{\mathrm{2}},F_{z\mathrm{2}})=m(\dot{v}+u{\omega }_r)。（13）

\mathrm{2}a{F}_y({\alpha }_{\mathrm{1}},F_{z\mathrm{1}})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\delta }_f-\mathrm{2}b{F}_y({\alpha }_{\mathrm{2}},F_{z\mathrm{2}})=I_z{\dot{\omega }}_r。（14）

根据几何关系可得前后轮胎的侧偏角（α₁、α₂）和质心侧偏角（β）为

{\alpha }_{\mathrm{1}}=\frac{v+a{\omega }_{\mathrm{r}}}{u}-{\delta }_{\mathrm{f}}。（15）

{\alpha }_{\mathrm{2}}=\frac{v-b{\omega }_{\mathrm{r}}}{u}。（16）

\beta =\frac{v}{u}。（17）

使用魔术公式去描述轮胎侧向力，引入非线性特性，该模型依然能够真实地模拟车辆在大侧偏角工况下的动态响应，提高了准确性和可靠性。

2.2 助力力矩设计

传统机械转向通过加入电动助力转向EPS（electric power steering）来保证低速和原地转向时的轻便性。因此通过加入助力力矩使设计出的路感能够更好地满足驾驶员的需求。助力矩特性曲线主要有直线型、折线型和曲线型3种。本研究选择参数少，形式简单便于后续的设计和调整的直线型。具体公式为

。（18）

式中：K_{\mathrm{u}}为助力增益；T_{h\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}和T_{h\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}分别为转向助力的最小临界值和最大临界值。

2.3 阻尼力矩设计

车辆在高速行驶时，如果驾驶员转动转向盘速率过大可能使车辆失去稳定性。因此，转向系统需要加入一定的阻尼力矩来增加汽车在高速行驶时的稳定性。阻尼力矩具体公式为

T_{\mathrm{d}}=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{0},& v\le v_{\mathrm{0}}\\ k_{\mathrm{d}}(v-v_{\mathrm{0}})\cdot {\dot{\theta }}_{\mathrm{s}\mathrm{w}},& v>v_{\mathrm{0}}\end{array}\right.。（19）

式中：k_{\mathrm{d}}为阻尼系数；v为汽车行驶时的车速；v_{\mathrm{0}}为阻尼力矩车速阈值。

2.4 摩擦力矩设计

由于SBW系统结构特殊，因此转向盘与转向轴之间基本没有摩擦力矩。如果转向系统中不存在任何摩擦力矩，车辆在高速行驶时，转向盘可能会不受控制地转动，引发潜在的安全风险。为了确保驾驶员能够更好地适应SBW系统的路感力矩特性，需要进行相应的补偿调整设计。本研究选择了应用较广泛的双曲正切函数来有效补偿SBW系统中的摩擦力矩，即

T_{\mathrm{f}}=k_{\mathrm{f}}\cdot \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}h(c\cdot {\dot{\theta }}_{\mathrm{s}\mathrm{w}})。（20）

式中：k_{\mathrm{f}}为摩擦系数；c为摩擦补偿力矩梯度。

2.5 限位力矩设计

SBW系统中由于机械连接装置的摒弃，转向盘可以没有约束地转动至任意角度。确保这一自由度在安全的范围内，需要对其施加限位控制。当前，转角限位控制主要分为2类：其一，是增加机械限位结构，在转向盘触及限定转角时遏制其继续旋转。其二，是采用算法限位控制，相较于前者，采用算法能节省预算，且能彰显SBW系统的转向灵活性，为车辆操控性能的优化提供了更为广阔的设计空间。设计的限位力矩公式为

T_{\mathrm{l}}=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{0},& \left|{\theta }_{\mathrm{s}\mathrm{w}}\right|\le {\theta }_{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\\ d_{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}(\left|{\theta }_{\mathrm{s}\mathrm{w}}\right|-{\theta }_{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}),& \left|{\theta }_{\mathrm{s}\mathrm{w}}\right|\ge {\theta }_{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}>\mathrm{0}\end{array}\right.。（21）

式中：d_{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}为限位控制调节系数；{\theta }_{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}为转向盘转角极限角度。

3 路感电机控制

路感电机控制是指在计算出期望反馈力矩后，确保路感电机能够按照期望力矩输出的控制方法。由于存在路感电机减速器减速比G_{\mathrm{r}\mathrm{f}}，路感电机的期望输出力矩为

T_{\mathrm{r}\mathrm{f}}=\frac{T_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{l}}}{G_{\mathrm{r}\mathrm{f}}}。（22）

根据式（22）可以看出，路感电机期望电流I_{\mathrm{r}\mathrm{f}}可以根据路感电机输出的期望力矩换算得出，公式为

I_{\mathrm{r}\mathrm{f}}=\frac{T_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{l}}}{G_{\mathrm{r}\mathrm{f}}\cdot k_{\mathrm{i}}}。（23）

因此选择合适的方法使电机输出电流I_{\mathrm{d}}跟踪期望电流I_{\mathrm{r}\mathrm{f}}，就能确保路感电机输出期望反馈力矩。

滑模控制（sliding mode control，SMC），是一种非线性的控制方法。这种方法的非线性体现在控制器的结构会根据系统状态的变化而切换，因此SMC也称为变结构控制。其具有控制响应快速、鲁棒性强和控制器设计简单等优点。但是SMC系统状态会在滑模面两侧来回穿越，控制存在抖振现象。为了解决这一问题，采用超螺旋滑模（STA）控制算法对路感电机的电流进行有效控制。

超螺旋滑模控制是一种高阶的滑模控制技术，其通过使用连续的控制信号来克服传统滑模控制中的抖动问题。取I_{\mathrm{r}\mathrm{f}}为期望电流，I_{\mathrm{d}}为实际输出电流。I_{\mathrm{r}\mathrm{f}}与I_{\mathrm{d}}之间的跟踪误差（e）作为路感电流跟踪控制器的控制输入。公式为

e=I_{\mathrm{r}\mathrm{f}}-I_{\mathrm{d}}。（24）

设滑模面为

s=e=I_{\mathrm{r}\mathrm{f}}-I_{\mathrm{d}}。（25）

将路感电机电流平衡方程式（3）代入式（25）中并对其求导，公式为

\dot{s}=\frac{U_{\mathrm{r}\mathrm{f}}-R_{\mathrm{r}\mathrm{f}}{I}_{\mathrm{r}\mathrm{f}}-k_{\mathrm{r}\mathrm{f}}{\dot{\theta }}_{\mathrm{r}\mathrm{f}}-L_{\mathrm{r}\mathrm{f}}{\dot{I}}_{\mathrm{d}}}{L_{\mathrm{r}\mathrm{f}}}。（26）

求解\dot{s}=\mathrm{0}可得等效控制项，公式为

U_{\mathrm{r}\mathrm{f}}=L_{\mathrm{r}\mathrm{f}}{\dot{I}}_{\mathrm{d}}+R_{\mathrm{r}\mathrm{f}}{I}_{\mathrm{r}\mathrm{f}}+k_{\mathrm{r}\mathrm{f}}{\dot{\theta }}_{\mathrm{r}\mathrm{f}}。（27）

超螺旋滑模控制的特点是在控制率上的改进，通过使用积分来获得实际控制量，使得控制输入更平滑。控制率（U_st）表示为

U_{\mathrm{s}\mathrm{t}}=-\lambda {\left|s\right|}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}\left(s\right)-\phi s+v。（28）

\dot{v}=-\gamma \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(s)。（29）

v=\int \gamma \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(s)\mathrm{d}t。（30）

式中，\lambda、\phi 、\gamma均为常数，且大于0。

结合式（27）—式（30），基于超螺旋滑模的路感电流跟踪控制器可表示为

U=L_{\mathrm{r}\mathrm{f}}{\dot{I}}_{\mathrm{d}}+R_{\mathrm{r}\mathrm{f}}{I}_{\mathrm{r}\mathrm{f}}+k_{\mathrm{r}\mathrm{f}}{\dot{\theta }}_{\mathrm{r}\mathrm{f}}-\lambda |s{|}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(s)-\phi s-\int \gamma sgn(s)dt。（31）

为了进一步减小抖振现象，采用sat（s）函数来替代传统的符号函数sgn（s）。

。（32）

式中，\sigma 为大于0的常数。

定义Lyapunov函数以验证系统的稳定性，公式为

V=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{s}^{\mathrm{2}}。（33）

对其求导，且由于\lambda、\phi、\gamma均大于0，可得公式为

\dot{V}=s\dot{s}=s(-\lambda {\left|s\right|}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(s)-\phi s-\int \gamma \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(s)

\mathrm{d}t)=-s\lambda {\left|s\right|}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(s)-\phi s^{\mathrm{2}}-s\int \gamma \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(s)

\mathrm{d}t=-\lambda {\left|s\right|}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}-\phi s-\int \gamma \left|s\right|\mathrm{d}t\le \mathrm{0}。（34）

因此，可以证明该系统是稳定的。

4 验证与分析

根据上文的数学模型，建立的动力学仿真模型如图2所示。f_r和f_l分别为右前轮转角和左前轮转角；i_sw为转向系统传动比；e₁为车轮期望转角与实际转角的差值；d_theta为路感电机转角的一阶导数。

4.1 回正力矩模型验证

为了验证搭建的回正力矩模型是否可以用于计算路感反馈力矩，分别选择车速为低速（20 km/h）和高度（80 km/h）的双移线工况，将模型回正力矩计算值与Carsim助力转向回正力矩进行对比，仿真结果如图3和图4所示。

由图3和图4可以看出，基于魔术公式轮胎模型算出的前轴总回正力矩与传统机械助力转向系统的回正力矩相比，在低速和高速工况下二者之间的误差较小。这一结果充分表明，本研究设计的轮胎回正力矩模型能够在后续路感力矩的计算过程中得到应用。

4.2 路感特性验证

为了验证路感力矩能否满足路感特性，分别进行低速和高速转向工况试验。低速验证是为了验证驾驶员在操纵汽车原地或低速转向时是否能够更加轻松。因此，将车辆行驶工况设定为低速行驶状态，具体为10 km/h，并采用频率为1/2π、幅值为270°的正弦波形作为转向盘转角输入，旨在评估线控转向系统在低速行驶条件下的路感特性。仿真结果如图5所示。对图5的仿真结果进行对比分析，结果见表3。

在车辆高速行驶的工况下，驾驶员若大幅度操作转向盘，易引发车辆稳定性下降的问题。为准确评估汽车在高速行驶条件下的路感反馈特性，研究选用汽车中心区试验工况进行验证，此工况下转向盘操作幅度及侧向加速度均受到合理限制。依据国家标准GB/T 6323—2014^［15］，将工况设定为车辆以100 km/h的速度行驶，并设定2 m/s²左右的侧向加速度，以模拟此工况。仿真结果如图6所示。

对于中心区转向特性试验，主要有6项评价指标^［16］，其中与转向盘路感反馈力矩相关的主要为以下4个：转向盘路感力矩为0 N·m时的侧向加速度、侧向加速度为0 m/s²处的转向盘路感力矩梯度、侧向加速度为1 m/s²处的转向盘路感力矩梯度、侧向加速度为1 m/s²处的转向盘路感力矩。根据上述评价指标，对图6的仿真结果进行对比分析，结果见表4。

由图5可以看出，线控转向模拟出的路感力矩随转向盘转角的变化趋势与助力转向基本一致，且更加平稳。由表3数据可得，路感力矩在不同的转向盘转角情况下，线控转向的最大路感力矩和平均路感力矩始终小于助力转向，这表明驾驶员在驾驶线控转向汽车时的操作负担要低于助力转向，线控转向在此工况下具有更好的转向轻便性。

由图6和表4的数据可以看出，路感反馈力矩随侧向加速度的增大而增大。SBW系统路感力矩在0 N·m时的侧向加速度小于助力转向，这表明线控转向的回正能力优于助力转向。路感力矩梯度在侧向加速度为0 m/s²和1 m/s²处均大于助力转向，表明SBW系统在转向时有着方向判断力方面的优势。侧向加速度1 m/s²处的路感力矩大于助力转向，说明驾驶者获取的路感更加清晰，提升了整体驾驶的感知精度与安全性。

4.3 限位力矩验证

设置转向盘最大转角540°，速度为10 km/h的工况，验证限位力矩的限位作用。结果如图7所示。由图7可知，当转角接近极限角度540°时，转向盘力矩会从4.46 N·m迅速增加到7.64 N·m，能够很好地提醒驾驶员转向盘已达到最大转角位置。

4.4 路感电机控制验证

为了验证提出的STA算法的有效性，分别将高速低速工况路感电机的实际输出电流与期望电流进行对比，观察STA对路感电机的控制效果。为了验证STA算法抑制抖振的能力，与传统SMC算法的电流跟踪效果进行对比^［17］，结果如图8所示。

由图8可以看出，传统的SMC控制算法存在非常明显的抖振现象，STA控制算法在控制率上采用积分项来获得实际控制量，消除了抖振现象。

为了验证STA算法在鲁棒性上和跟踪准确性上的优势，对路感电机输出电流分别施加一个在幅值处的脉冲干扰和一个随机的噪声干扰^［18-19］，与PID及增加饱和函数的SMC控制对比进行仿真验证。

在表5和表6中，I_{\mathrm{d}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为目标电流最大值，I_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为不同控制方法下电流最大值。由图9、图10及表5可得，在高速脉冲干扰下PID控制电流跟踪与目标电流最大误差比（ΔI_max）为7.94%，噪声干扰下为8.44%，STA控制相较于PID控制分别下降了6.9%和7.4%。由图11、图12及表6可得，在低速脉冲干扰下PID控制电流跟踪与目标电流最大误差比为13.00%，噪声干扰下为10.24%，STA控制相较于PID控制分别下降了11.95%和9.19%。PID控制在面对外界干扰时出现巨大波动，存在鲁棒性差和跟踪准确性差的问题。

在高速工况下，改进SMC控制的最大误差比皆为3.7%，STA控制相较于改进后的SMC控制最大误差比下降了2.66%。在低速工况下，改进SMC控制的最大误差比皆为12.39%，STA控制相较于改进后的SMC控制最大误差比下降了11.34%。改进SMC控制在低速工况下跟踪准确性较差。

综上所述，本研究所提出的STA算法控制路感电机电流在面对外界干扰时有着较高的鲁棒性，能够解决传统SMC控制存在抖振的问题，电流跟踪也存在较高的准确性，能够提供给驾驶员准确的路感反馈力矩。

5 结论

1）本研究基于魔术公式轮胎模型描述轮胎侧偏特性，与二自由车辆模型相结合，对轮胎的回正力矩进行了精确计算。在此基础上，综合考虑了EPS的助力力矩、限位力矩以及摩擦和阻尼力矩的影响，进而设计出合理的路感反馈力矩。

2）通过设置低速正弦工况和高速中心区试验2种工况，验证了搭建的轮胎模型计算回正力矩的准确性，所提出的路感模拟算法在低速时的转向轻便性以及高速时的稳定性，证明了该路感模拟控制策略的可行性。

3）通过设计超螺旋滑模控制器，将路感电机输出电流对目标电流进行跟踪控制。仿真结果显示，STA控制相较于PID控制其鲁棒性更强，且解决了传统滑模存在抖振的问题，在高速和低速工况下，最大误差比分别为1.04 %和1.05 %，电流跟踪精度有着较大优势。

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基金资助

国家自然科学基金项目(52175497)