不同配合比下砂泥岩填料蠕变力学模型

Creep mechanical model of sand and mudstone filler under different mix proportions

摘要

为揭示砂泥岩填料在不同配合比下的蠕变力学特性，开展不同配合比下的砂泥岩填料剪切蠕变试验。试验发现填料等时应力-应变曲线具有明显的非线性特征，由此定义反映不同配合比及载荷时间的黏弹性模量，以此描述填料黏弹性变形，建立非定常弹性体来描述瞬时弹性变形，引入SP元件构建表征黏塑性变形的非定常黏塑性体，得到不同配合比下的砂泥岩填料非线性蠕变力学模型。同时采用新建模型和基础模型模拟填料蠕变试验数据，验证了新建模型的合理性和可行性。研究结论为码头砂泥岩混合填料地基长期稳定性评价提供参考。

关键词

配合比 / 泥岩颗粒含量 / 砂泥岩填料 / 蠕变 / 非线性 / 黏弹性模量 / 力学模型

Key words

mix ratio / mudstone particle content / sand and mudstone fillers / creep / nonlinear / viscoelastic modulus / mechanical model

0 引言

在中国西南地区内河码头建设项目中，由于山区峡谷众多、地势险峻，码头施工作业面窄，岸坡地势高，堆场难找寻，合格填料少且难以运输，给码头施工作业带来巨大的挑战^[1]。陆侧岸坡开挖料处理后回填码头临水侧是一种可行的方法^[2-3]。重庆万州港项目出露岩性主要为三叠系砂岩、泥岩，由于砂、泥岩互层，开挖砂岩后夹杂泥岩，若完全清理掉泥岩会造成工程成本的增加，因此将砂岩、泥岩颗粒以一定比例混合制成填料。

混合填料的蠕变特性关乎码头地基的长期稳定性，关于混合填料的蠕变特性的研究已取得较多成果。ZHOU等^[4]对堆石料蠕变特性进行研究，利用数值分析方法进行蠕变模拟。朱明哲^[5]采用钢渣对泥岩填料进行改良，研究其蠕变力学特性，并通过经验模型进行模拟。刘家光等^[6]探究了循环载荷作用下蠕变应变发展规律。王启云等^[7]通过试验探讨了竖向应力和降雨入渗对粗粒土的影响。郭兴文等^[8]以胶凝材料掺量作为蠕变试验控制变量，进行胶凝砂砾石料单轴压缩蠕变试验，分析不同胶凝材料掺量下混合料的蠕变特性，并将蠕变本构模型植入ANSYS平台进行模拟。

目前针对砂泥岩混合填料蠕变特性的研究较少，因此以重庆万州港砂泥岩混合填料为研究对象，开展不同配合比下的剪切蠕变力学试验。基于试验结果，定义反映不同配合比及载荷时间的黏弹性模量，描述填料黏弹性变形，采用弹性体非定常的方式来描述瞬时弹性变形，同时引入SP元件构建非定常黏塑性体，几者组合得到不同配合比的砂泥岩填料非线性蠕变力学模型。求解模型参数，进行模拟对比，分析初始瞬时弹性模量与配合比之间的经验关系，给出砂泥岩填料在本文及类似条件下的参数取值区间。

1 砂泥岩填料蠕变试验及成果

1.1 试验材料

取重庆万州港项目砂泥岩填料为研究对象，砂岩、泥岩的基本物理力学参数见表1。机械破碎开挖后的互层砂泥岩再初筛，烘干后复筛，得到不同粒径的砂、泥岩料。配置不同配合比的混合料，级配曲线见图1，不均匀系数C _u为7.51，曲率系数C _c为1.84，该级配良好。

1.2 试验方案

万州港码头地基常年浸水，在水的浸润作用下砂泥岩填料蠕变现象明显，将试验的含水设为饱和，饱和含水率取15%。以泥岩颗粒质量分数C _MP来描述配合比，以C _MP作为蠕变试验控制因素，设C _MP为0、20%、40%、60%、80%和100%。采用标准环刀（内径为61.8 mm、高为20 mm）制备试样，见图2。每一种C _MP条件配两组平行样，利用水膜转移法控制含水率为15%，保湿静置1 d以使试样水分均匀扩散。采用ZLB直剪蠕变仪进行剪切蠕变试验，见图3。

正应力设为100 kPa。通过直剪试验确定不同配合比下的最大剪应力，分五级作为加载载荷^[9]，每一级加载持续4 000 min，剪切蠕变试验加载方案见表2。

1.3 试验结果

表2 剪切蠕变试验加载方案

Tab.2 basic physical and mechanical parameters of sandstone and mudstone

试验得到不同C _MP下的砂泥岩填料蠕变曲线，见图4。由图4可看出，不同配合比下的蠕变曲线形态相似，每一级的应变逐渐增长。在同一加载等级下，随着C _MP的增大，应变呈递增趋势，当C _MP为100%时，填料经历四级加载便破坏，而其余配合比的试样均是经历五级加载发生蠕变破坏，说明C _MP的增大促进了蠕变发展。

对图4进行玻尔兹曼线性叠加^[10-11]处理，得到不同剪应力下蠕变曲线，见图5。限于篇幅，仅以C _MP为40%为例。由图5可看出，填料加载瞬间首先表现出瞬时弹性变形，随后进入衰减蠕变，此阶段应变率递减，应变递增。接着进入稳态蠕变阶段，该阶段应变率基本恒定，应变基本稳定。最后一级加载下还发生加速蠕变行为，应变和应变率急剧增长。

基于图5，分别取5 min、500 min、1 000 min、1 500 min、2 000 min、2 500 min、 3 000 min、 3 500 min、4 000 min的蠕变数据点，绘制等时剪应力-应变曲线，见图6。限于篇幅，仅以C _MP为40%和100%为例，通过在图4中取非线性曲线拐点^[12-14]确定长期强度σ _p。

由图6可以看出，5 min时剪应力近似呈线性增长，这是由于此时填料瞬时载荷作用下，表现出弹性的变形关系。500 ~ 4 000 min的剪应力-应变曲线表现出非线性特征。图6中通过取非线性曲线拐点确定长期强度σ _p，C _MP为0、20%、40%、60%、80%和100%时，σ _p分别为63.52 MPa、60.49 MPa、55.74 MPa、44.68 MPa、31.28 MPa和22.86 MPa，可见σ _p随着C _MP的增大而减小。

2 不同配合比下的填料蠕变力学模型

2.1 基础模型的确定

砂泥岩填料的蠕变过程具有明显的黏弹塑性。其中，瞬时弹性变形服从Hooke定律，可用Hooke体描述填料瞬时弹性变形。黏弹性变形由Kelvin模型反映，Kelvin模型由Hooke体和Newton体串联组合而得。在填料加速蠕变过程中，以黏塑性变形为主，可用带开关的黏塑性体来体现。瞬时弹性、黏弹性、黏塑性变形相累加，串联以上模型可得H-H｜N-N｜S结构，即西原模型^[15-16]，其结构见图7。西原模型的蠕变状态方程为线性，无法体现材料蠕变的非线性特征。在西原模型的基础上进行改进，使模型能反映蠕变非线性特征，同时考虑配合比变化，得到能反映不同配合比的非线性蠕变力学模型。

西原模型的蠕变状态方程为

\left\{\begin{array}{l}\sigma ={\sigma }_{\mathrm{1}}={\sigma }_{\mathrm{2}}={\sigma }_{\mathrm{3}}\\ \epsilon ={\epsilon }_{\mathrm{1}}+{\epsilon }_{\mathrm{2}}+{\epsilon }_{\mathrm{3}}\\ {\epsilon }_{\mathrm{1}}={\sigma }_{\mathrm{1}}/E_{\mathrm{1}}\\ {\sigma }_{\mathrm{2}}=E_{\mathrm{2}}{\epsilon }_{\mathrm{2}}+{\eta }_{\mathrm{2}}{\dot{\epsilon }}_{\mathrm{2}}\\ {\sigma }_{\mathrm{3}}={\sigma }_{\mathrm{p}}+{\eta }_{\mathrm{3}}{\dot{\epsilon }}_{\mathrm{3}}\end{array}\right.，（1）

式中：σ为模型应力；ε为模型应变；σ ₁、σ ₂、σ ₃分别为模型第一、第二、第三部分的应力；ε ₁、ε ₂和ε ₃分别为模型第一、第二、第三部分的应变；E ₁为模型第一部分的瞬时弹性模量；η ₂和E ₂分别为模型第二部分的黏性系数和黏弹性模量；η ₃为模型第三部分的黏性系数。

由式（1）可得西原模型的本构方程为

\left\{\begin{array}{l}\epsilon =\frac{\sigma }{E_{\mathrm{1}}}+\frac{\sigma }{E_{\mathrm{2}}}\left(\mathrm{1}-{\mathrm{e}}^{-\frac{E_{\mathrm{2}}}{{\eta }_{\mathrm{2}}}t}\right) \sigma \le {\sigma }_{\mathrm{p}}\\ \epsilon =\frac{\sigma }{E_{\mathrm{1}}}+\frac{\sigma }{E_{\mathrm{2}}}\left(\mathrm{1}-{\mathrm{e}}^{-\frac{E_{\mathrm{2}}}{{\eta }_{\mathrm{2}}}t}\right)+\frac{\sigma -{\sigma }_p}{{\eta }_{\mathrm{3}}}t \sigma >{\sigma }_{\mathrm{p}}\end{array}\right.，（2）

式中，t为时间。

2.2 反映不同配合比的黏弹性模量

当砂泥岩填料未进入加速蠕变阶段时，填料蠕变以黏弹性变形为主，与图6中低于长期强度的曲线相对应^[17]，将此部分曲线的斜率定义为黏弹性模量E_C，不同载荷时间下E_C 与C _MP的关系曲线见图8。

由图8可看出，E_C 与C _MP呈线性递减关系，则

E_C = M C_{\mathrm{M}\mathrm{P}} + N，（3）

式中，M和N为拟合参数。

利用式（3）对图8进行线性拟合，得到拟合参数见表3。由表3可知，R ²的平均值为0.998 9，将M和N与t进行拟合，得到数据分布，见图9。

由图9可看出，M与t线性相关，N与t之间存在对数函数关系。M、N的拟合结果为

\left\{\begin{array}{l}M=at-b\\ N=-c\mathrm{l}\mathrm{n}t+d\end{array}\right.，（4）

式中，a、b、c、d为与砂泥岩填料配合比和时间相关的参数。

将式（4）代入式（3）可得

E_C = ( a t - b ) C_{\mathrm{M}\mathrm{P}} - c \mathrm{l} \mathrm{n} t + d。（5）

式（5）即为考虑不同配合比的填料黏弹性模量，该式可体现砂泥岩填料受配合比和时间影响的蠕变过程。

2.3 非定常弹性体

本文基础模型中，利用Hooke体来描述砂泥岩填料的瞬时弹性变形，其中瞬时弹性模量E ₁是一个定量。实际上，应力水平以及泥岩颗粒含量C _MP的不同会导致填料压缩受载能力的变化，瞬时弹性模量是变化的。文献[18]引入一个非定常弹性体，将瞬时弹性模量表示为

E_{\mathrm{1}t} = E_{\mathrm{0}} {\mathrm{e}}^{-\delta t}，（6）

式中：E ₀为初始瞬时弹性模量；δ为控制弹性模量变化的参数。

取E ₀为5 GPa，分别取δ为1×10^-4、4×10^-4、 9×10^-4，代入式（6）得到E _{1 t} 随t变化曲线，见图10。

由图10可看出，随着t的增大，E _{1 t} 呈指数型衰减，而后趋于平稳，δ控制衰减速率，δ越大，衰减速率越快。

将式（6）代入传统Hooke体的本构方程中，得到非定常弹性体的本构方程为

{\epsilon }_{\mathrm{1}} = \frac{\sigma }{E_{\mathrm{1}t}} = \frac{\sigma }{E_{\mathrm{0}}{\mathrm{e}}^{-\delta t}}。（7）

2.4 非定常黏塑性体

在最后一级加载下，加速蠕变过程中的应变和应变率剧增，而该级应力恒定，说明图7模型中第三部分黏塑性体中的黏滞系数η ₃应为非定常变量，引入文献[19]中的SP元件，其可变黏滞系数为

{\eta }_{\mathrm{3}t} = {\left({\eta }_{\mathrm{0}}-\beta t\right)}^{\mathrm{2}}，（8）

式中：η _{3 t} 为可变黏滞系数；η ₀和β为黏滞参数。

取η ₀为1.5×10⁴，分别取β为0、0.2、0.5、0.8、1，代入式（8）得到η _{3 t} 与t关系曲线，见图11。

由图11可以看出，当β=0时，η _{3 t} 不变；当β=1时，η _{3 t} 先递减再递增；当0<β<1时，η _{3 t} 以不同速率递减。由于加速蠕变过程中，应变率递增，应力恒定，黏滞系数与应变率成反比，黏滞系数递减，因此对β值进行约束，约束区间为(0,1)。

将SP元件代入基础模型第三部分，于是有

\sigma = {\sigma }_{\mathrm{3}} = {\sigma }_{\mathrm{S}\mathrm{P}} + {\sigma }_{\mathrm{s}}，（9）

式中： {\sigma }_{\mathrm{s}}可表示为

{\sigma }_{\mathrm{s}} = \left\{\begin{array}{c}{\sigma }_{\mathrm{3}} {\sigma }_{\mathrm{3}}\le {\sigma }_{\mathrm{p}}\\ {\sigma }_{\mathrm{p}} {\sigma }_{\mathrm{3}}>{\sigma }_{\mathrm{p}}\end{array}\right.；（10）

{\sigma }_{\mathrm{S}\mathrm{P}}为SP元件的应力，可表示为

{\sigma }_{\mathrm{S}\mathrm{P}} = 〈\sigma -{\sigma }_{\mathrm{p}}〉，（11）

其中，当 \sigma - {\sigma }_{\mathrm{p}} \le \mathrm{0}时， 〈\sigma -{\sigma }_{\mathrm{p}}〉 = \mathrm{0}，当 \sigma - {\sigma }_{\mathrm{p}} > \mathrm{0}时， 〈\sigma -{\sigma }_{\mathrm{p}}〉 = \sigma - {\sigma }_{\mathrm{p}}。

将式（8）、式（11）代入基础模型第三部分本构，则非定常黏塑性体为

{\epsilon }_{\mathrm{3}} = \frac{〈\sigma -{\sigma }_{\mathrm{p}}〉t}{{\left({\eta }_{\mathrm{0}}-\beta t\right)}^{\mathrm{2}}}。（12）

2.5 不同配合比下砂泥岩填料蠕变力学模型

在图7所示模型的基础上，将式（5）代入第二部分的Newton体中，用非定常弹性体替换第一部分，非定常黏塑性体替换第三部分，得到新模型，见图12。

根据图12得到不同配合比下的砂泥岩填料非线性蠕变力学模型的本构方程为

\begin{array}{l}\epsilon =\frac{\sigma }{E_{\mathrm{0}}{\mathrm{e}}^{-\delta t}}+\frac{〈\sigma -{\sigma }_p〉t}{({\eta }_{\mathrm{0}}{-\beta t)}^{\mathrm{2}}}+\frac{\sigma }{\left(at-b\right)C_{\mathrm{M}\mathrm{P}}-c\mathrm{l}\mathrm{n}t+d}\\ \end{array}

\left\{\mathrm{1}-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left[-\frac{\left(at-b\right)C_{\mathrm{M}\mathrm{P}}-c\mathrm{l}\mathrm{n}t+d}{{\eta }_{\mathrm{2}}}\right]\right\}。（13）

3 模型参数求解及验证分析

本文建立的不同配合比下的砂泥岩填料蠕变力学模型包含E ₀、δ、a、b、c、d、η ₀、β、η ₂和σ _p，共10个参数，C _MP和t为自变量，其中σ _p通过已蠕变试验确定，初始瞬时弹性模量E ₀通过蠕变试验第一级加载条件求解，其余8个待定参数采用Origin软件基于Levenberg-Marquardt算法模拟求解。利用新建模型对不同配合比下的填料蠕变曲线进行模拟，基础模型作为对比模型，得到模拟结果，见图13，图中94.87 kPa等数据为每一级加载的应力，限于篇幅，仅以C _MP为0、40%、60%和100%为例，模型参数见表4。

由图13可以看出，新建模型具备较强辨识能力，拟合效果较好，平均R ²为0.991 8，能较为准确描述不同配合比下砂泥岩填料的蠕变力学特性。基础模型对最后一级加载之前的蠕变数据的辨识效果尚可，平均R ²为0.970 5，但对最后一级加载的蠕变数据的辨识效果较差，平均R ²为0.897 4。

为验证新建模型的适用性，引用文献[20]中的砂泥岩填料侧限压缩蠕变试验数据，分别利用新建模型和基础模型进行模拟，模拟结果见图14。由图14可以看出，新建模型的辨识效果较好，平均R ²为0.989 4，基础模型的平均R ²为0.972 3。结合图13可知，基础模型的模拟曲线总体上低于试验值，而新建模型始终具备较强的辨识能力，由此证明新建模型的合理性和适用性。

分析表4中初始瞬时弹性模量E ₀与C _MP之间的关系，绘制关系曲线见图15。由图15可看出，E ₀随C _MP的增大而线性递减。随着C _MP的增大，砂泥岩填料初始瞬时弹性模量变小，填料抵抗瞬时变形的能力减弱，变形量增加，C _MP的增大促进瞬时变形发展。根据图15，可得饱和状态下砂泥岩填料正应力为100 kPa时，E ₀与C _MP的关系为

E_{\mathrm{0}} = A C_{\mathrm{M}\mathrm{P}} + B，（14）

式中，A和B为拟合参数。

由图8给出的黏弹性模量E_C 与C _MP的关系曲线，结合表4给出参数a、b、c、d的建议取值范围分别为[0.018, 0.084]、[10.267,54.628]、[0.157,0.497]、[5.794,9.532]。以上取值范围仅适用于砂泥岩填料在本文及类似条件下的参数取值。

4 结论

（1）开展砂泥岩填料在不同配合比下的剪切蠕变试验，发现填料在加载瞬时表现出瞬时弹性变形，随着时间增长出现衰减、稳态蠕变，最后一级加载还表现出加速蠕变行为。随着泥岩颗粒含量的增大，长期强度递减。

（2）通过研究砂泥岩填料的非线性蠕变特征，定义一个反映不同配合比及载荷时间的黏弹性模量，用于描述填料黏弹性变形，考虑弹性体非定常，另引入SP元件，组合得到不同配合比下的砂泥岩填料非线性蠕变力学模型，并给出参数求解方法。

（3）针对本文及相关文献中砂泥岩填料的蠕变试验数据，分别采用新建模型和基础模型进行模拟，验证了新建模型的合理性和适用性。通过分析初始瞬时弹性模量与配合比之间的关系，给出了砂泥岩填料在本文及类似条件下的参数建议取值范围。

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基金资助

山东省自然科学基金项目(ZR2018BEE050)