基于细观力学特性的堆石料三轴数值模拟及尺寸效应研究

Triaxial numerical simulation and size effect of rockfill materials based on meso-mechanical properties

摘要

为阐明玄武岩堆石料受载时力学特性的尺寸效应规律，采用颗粒流数值模拟与室内试验相结合的方法，引入室内单粒压缩试验所得的颗粒强度和弹性模量的尺寸效应规律，依据三轴压缩试验的标定结果调整不同级配料的细观参数，开展原型及缩尺级配堆石料三轴数值模拟。研究结果表明：随着颗粒粒径的增大，试样中易形成应力集中，从而发生破坏，主要表现为剪缩体变。提出邓肯-张E-B模型参数K、K_{\mathrm{b}}、{\phi }_{\mathrm{0}}、\mathrm{\Delta }\phi受粒径尺寸效应影响的修正公式，揭示参数K、K_{\mathrm{b}}、{\phi }_{\mathrm{0}}随颗粒粒径增大而减小、参数\mathrm{\Delta }\phi随颗粒粒径增大而增大的变化规律。研究结果为坝体应力变形预测提供参考。

Abstract

To elucidate the size effect laws governing the mechanical characteristics of basalt rockfill materials under loading, a combined methodology incorporating particle flow numerical simulation and laboratory testing was employed, and by introducing size-dependent patterns of particle strength and elastic modulus derived from single-particle compression tests, mesoscopic parameters of graded aggregates were calibrated based on triaxial compression test results, and numerical simulations of triaxial tests were subsequently conducted for both prototype and scaled gradation rockfill materials. The research resultes demonstrate that increasing particle size promotes stress concentration within specimens, leading to structural failure predominantly manifested as shear shrinkage volumetric deformation; modified formulas were proposed for the Duncan-Chang E-B model parameters K, K_{\mathrm{b}}, {\phi }_{\mathrm{0}} and \mathrm{\Delta }\phi to account for particle size effects, revealing that parameters K, K_{\mathrm{b}} and {\phi }_{\mathrm{0}} exhibit decreasing trends with increasing particle size, while parameter \mathrm{\Delta }\phi shows an inverse correlation. These research outcomes provide valuable references for predicting stress-deformation behavior in dam structures.

Graphical abstract

关键词

堆石料 / 尺寸效应 / 邓肯-张E-B模型 / 三轴数值模拟 / 强度及变形特性 / 颗粒粒径

Key words

rockfill / size effect / Duncan-Chang E-B model / triaxial numerical simulation / strength and deformation characteristics / particle size

0 引言

堆石料的工程力学参数对于土石坝的变形控制至关重要。目前，在国内外堆石料室内土工试验研究中，三轴试验是一种常规的用来标定强度及变形指标的方法^[1]。随着中国土石坝建设步入坝高300 m级时代，筑坝堆石料也向宽级配、大粒径方向发展，最大粒径已达米级，远超常规三轴试验中60 mm的最大颗粒尺寸限制。因此，为近似得到堆石料应力应变特性，需将原型级配堆石料进行缩尺处理后再开展三轴试验，但这种处理方式易引发尺寸效应问题^[2]。

YAN等^[3]开展多组不同粒径和加载速率的单颗粒破碎试验，发现颗粒破碎强度随加载速率的增大而增大，尺寸效应对颗粒破碎强度的影响逐渐减弱。胡沈江等^[4]研究表明堆石料颗粒形状和受力方向对颗粒破碎强度存在显著的尺寸效应。在相同等效粒径下，球状、椭球状、扁平状颗粒的平均破碎特征强度依次降低。杨少博等^[5]采用相似级配法和混合法对弱风化堆石料进行缩尺，制备4种不同最大粒径的堆石料，并以三轴试验缩尺后替代料的应力变形特性为研究对象，分析缩尺方法和最大粒径对堆石料临界状态及临界状态方程的影响。吴帅峰等^[6]建立了变形特性参数尺寸效应理论模型，分析压缩模量与颗粒破碎率的变化规律，并与试验结果对比，验证模型的可行性。ZHAO等^[7]、ZHANG等^[8]研究了堆石料颗粒的细观参数对其破碎特性的影响，认为细观分析及DEM建模是深入研究颗粒破碎行为的有效方法。同时，在堆石料的宏观本构模型方面，张石等^[9]提出了邓肯-张E-B模型参数的经验公式，该公式能较高精度预测不同板岩含量、不同孔隙率砂板岩堆石料的力学特性指标。邵晓泉等^[10]推导得出邓肯-张E-B模型参数的粒径尺寸效应相关性。邹德高等^[11-12]从动力变形特性方面分析超大型三轴试验、常规大型三轴试验得到的沈珠江等效线性模型参数K₁、K₂及{\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}之间的倍数关系，并提出邓肯-张E-B、E-ν模型参数尺寸效应修正系数，为工程动力响应分析及变形预测提供试验与计算依据。

上述研究成果从加载速率、颗粒形状、堆石料缩尺方法、建立特定数值模型及宏细观本构关系模拟等方向，分析了堆石料力学性能的尺寸效应，虽然取得了较多成果，但仍缺乏具体且宏观的堆石料工程力学参数修正方法。目前，工程界广泛采用邓肯-张E-B模型进行土石坝的应力变形预测^[10]。然而，室内试验受尺寸限制，无法准确获取原型级配堆石料的力学参数，如何确定原型级配料力学特性的尺寸效应公式以及强度、变形参数的尺寸效应公式，成为目前亟待解决的问题。本文克服传统连续介质分析方法在研究岩石类非均质材料时的局限性，采用颗粒流数值分析方法^[13]，从细观层面揭示岩石的力学行为。通过三轴数值模拟与室内单粒压缩试验、三轴试验相结合，反演符合堆石料原型级配力学性能的大尺寸颗粒流数值模型，并选择适于模拟岩石材料的平行黏结模型（parallel bond model，PBM）作为细观本构模型，采用离散元碎片替代法（fragment replacement method，FRM）模拟颗粒破碎过程。根据模拟结果，基于邓肯-张E-B模型建立强度、变形参数及颗粒粒径的联系，提出考虑尺寸效应的堆石料宏观本构模型参数的修正方法，为坝体应力变形分析提供理论参考。

1 单粒尺寸效应分析

1.1 单粒压缩试验

以云南省某水电站玄武岩堆石料为研究对象，采用DYQ-1型单粒岩块强度测试仪开展单粒压缩试验。单粒压缩试验仪器及玄武岩颗粒见图1。以单粒直径为分界指标，设置8个粒组，粒径分别为(5,10] mm、(10,15] mm、(15,20] mm、(20,24] mm、(24,28] mm、(28,32] mm、(32,36] mm、(36,40] mm。选取各粒组中形状较规则、饱满的颗粒开展试验，每个粒组样本试验100次，通过Weibull分布求得颗粒的破碎强度。试验前记录颗粒的粒径和质量，以0.25 mm/min的速率进行加载。根据实时输出的轴向载荷与变形曲线，分析玄武岩单颗粒抗压强度和弹性模量的尺寸效应规律。单粒抗压强度分布见图2，单粒弹性模量分布见图3。

开展压缩试验时，颗粒在传力柱的挤压下主要发生劈裂破坏，颗粒破碎强度^[14]为

{\sigma }_{\mathrm{f}}=F_{\mathrm{f}}/d^{\mathrm{2}}，（1）

式中：F_{\mathrm{f}}为颗粒破坏时的轴向载荷，N；d为颗粒粒径，mm。

堆石料的颗粒破碎强度常用Weibull分布来描述，颗粒受压时，未被破碎的概率^[14]为

P_{\mathrm{s}}=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left[-{\left({\sigma }_{\mathrm{f}}/{\sigma }_{\mathrm{0}}\right)}^{m\mathrm{*}}\right]，（2）

式中：{\sigma }_{\mathrm{0}}为特征抗压强度，MPa，即颗粒未被破坏概率为37%时的破碎强度^[15]；m^*为Weibull模量，表征颗粒强度的离散程度。

当对一组一定数量的堆石料开展颗粒压缩试验时，P_s表达式为

P_{\mathrm{s}}=N_{\mathrm{s}}/N，（3）

式中：N为同一粒组颗粒的总数量，取100； N_{\mathrm{s}}为粒组颗粒在压力\sigma下未破坏的颗粒数。

对式（2）等式两边取对数，则有

\mathrm{l}\mathrm{n}\left[\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{1}/P_{\mathrm{s}}\right)\right]=m^{\mathrm{*}}\mathrm{l}\mathrm{n}{\sigma }_{\mathrm{f}}-m^{\mathrm{*}}\mathrm{l}\mathrm{n}{\sigma }_{\mathrm{0}}\mathrm{。}（4）

1.2 单粒强度规律

根据式（2）、式（4）计算得到各粒组的{\sigma }_{\mathrm{0}}和m^*，Weibull拟合参数见表1。由表1可知，m^* 为1.172～2.275。对于同种岩性的颗粒，不同粒组m^* 的平均值可视为该岩性材料的Weibull模量^[16]。因此，取平均Weibull模量m_{\mathrm{v}}^{\mathrm{*}}为1.832，作为本文玄武岩的Weibull模量，用于FRM模拟。

在堆石料的力学试验中，颗粒的抗压及抗拉强度是土石坝变形控制中不可忽略的关键参数。本文通过室内单粒压缩试验获取特征抗压强度，采用巴西劈裂试验数据^[17]作为抗拉强度。玄武岩颗粒抗压、抗拉强度与粒径的关系见图4。

由图4可知，玄武岩的抗压及抗拉强度随着颗粒尺寸的增大而减小，最终趋于稳定。这是由于随着颗粒尺寸的增大，岩石中天然缺陷的数量、贯通性及分布规律对尺寸效应影响显著。参考刘宝琛等^[18]的研究成果，利用式（5）描述玄武岩颗粒强度的尺寸效应，相关拟合参数见表2。

{\sigma }_{\mathrm{p}}\left({\sigma }_{\mathrm{s}}\right)=\alpha \cdot \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\beta d_{\mathrm{t}}\right)+\gamma，（5）

式中：{\sigma }_{\mathrm{p}}、{\sigma }_{\mathrm{s}}分别为颗粒抗压、抗拉强度，MPa；\alpha、\beta和\gamma为拟合参数。

1.3 单粒弹性模量变化规律

弹性模量是计算程序中衡量散体材料抗变形能力的关键参数，对数值模拟结果具有直接影响。颗粒的弹性模量为

E={\sigma }_{\mathrm{0}}/\epsilon，（6）

式中，\epsilon为颗粒发生破碎时的轴向应变。

经检验，颗粒的弹性模量符合正态分布。分析所有颗粒的弹性模量分布规律，颗粒的弹性模量随其尺寸的增大而减小，见图5。各组颗粒弹性模量特征值与粒径的关系可表示为

E=\mathrm{275.760}\mathrm{23}{d_{\mathrm{t}}}^{-\mathrm{0.090}\mathrm{84}}\mathrm{。}（7）

2 三轴试验

2.1 三轴数值模拟

采用FRM法模拟颗粒破碎过程时，需考虑碎片替换模式及颗粒破碎准则两个关键问题。其原理为：当颗粒受力达到预设破碎准则时，删除即将发生破碎的原始颗粒，并在其位置以一组无黏结的小颗粒替代。基于八面体剪应力准则，当八面体剪应力q达到极限值q_lim时，可通过式（8）和式（9）描述任意粒径为d的颗粒破碎状态^[19]，即

q=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\sqrt[]{{\left({\sigma }_{\mathrm{1}}-{\sigma }_{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left({\sigma }_{\mathrm{2}}-{\sigma }_{\mathrm{3}}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left({\sigma }_{\mathrm{1}}-{\sigma }_{\mathrm{3}}\right)}^{\mathrm{2}}},（8）

q_{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}={\tau }_{\mathrm{0}}{\left[-\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{1}-u\right){\left(d_{\mathrm{0}}/d\right)}^{n_{\mathrm{d}}}\right]}^{\frac{\mathrm{1}}{m\mathrm{*}}},（9）

式中：{\sigma }_{\mathrm{1}}、{\sigma }_{\mathrm{2}}、{\sigma }_{\mathrm{3}}分别为作用在颗粒上的大、中、小主应力，MPa；{\tau }_{\mathrm{0}}为颗粒达到63%破碎概率时的强度^[19]，MPa，取标定时的颗粒特征强度；u为随机数，μ∈[0,1]；d₀为参考粒径，取d_t；n_d为强度的尺寸效应参数，取3^[20]。

基于颗粒流程序构建的三轴试样见图6。

图6中，①为柔性圆柱筒（类似橡皮膜），用于施加围压；②、③分别为上下部刚性加载板，用以施加轴向载荷；④、⑤、⑥为碎片替换模式的颗粒破碎模型。将堆石料设为均一介质的圆球颗粒集合体，采用混合法制样，根据级配、孔隙率及各粒组含量生成颗粒。为便于对不同级配堆石料平行黏结模型的细观参数进行赋值，选取平均粒径d₅₀（即d_t）作为各级配的特征粒径，不同级配模型的尺寸参数见表3。

2.2 数值模拟参数标定

试验仪器采用中国电建集团昆明勘测设计研究院有限公司的大型三轴仪。制备试样的材料取自云南省某水电站石料场。试样直径为700 mm，最大粒径为60 mm。采用分层制样法，分7层装填。围压分别取100 kPa、300 kPa、800 kPa、1 600 kPa和3 200 kPa，制样干密度为2.23 g/cm³，相对密度为0.85 g/cm³，开展固结排水剪切试验。剪切速率为1.0 mm/min，剪切过程中利用计算机采集试样的轴向载荷、轴向应变（简称应变）ε₁和体积应变（简称体变）ε_v，并同步绘制应力-应变-体变曲线，直至试样破坏或试样轴向应变达到0.15。不同围压下室内试验结果见表4。

采用“试错法”标定玄武岩堆石料的室内三轴试验曲线，室内试验与数值模拟结果对比见图7。由图7可知，在峰值偏应力和胀缩转换点（即由剪缩到开始发生剪胀的点）对应的体变特征处，数值模拟曲线逐渐偏离室内试验曲线，模拟所得偏应力和体变相对较小。这是由于堆石料颗粒形状较复杂，尽管FRM法可模拟颗粒的受力破碎过程，但颗粒是简化的球体，颗粒之间的咬合力和摩擦阻力较小，影响颗粒的强度和变形行为。整体来看，数值模拟得到的曲线变化趋势与室内试验结果一致性较好，且两者的峰值应力和胀缩转换点处体变差值较小，数值模拟结果较可靠。数值模拟标定的基本细观参数见表5。

2.3 不同尺寸三轴数值模拟

玄武岩颗粒的力学性能受粒径大小的影响，呈现尺寸效应。将表3中不同级配的d₅₀代入式（5）、式（7），得到各级配材料的抗压强度、抗拉强度和弹性模量。与A级配材料相比，分别计算B、C、D级配材料抗压强度、抗拉强度和弹性模量的变化率，见表6。基于表5中标定的基本细观参数，根据表6强度和模量变化率，得到不同级配下的细观参数，见表7。其中，变形参数采用表6的弹性模量变化率进行计算，强度参数中{\overline{\sigma }}_{\mathrm{c}}采用表6的抗拉强度变化率进行计算，其他强度参数采用表6的抗压强度变化率进行计算。

根据表3建立不同最大粒径级配的三轴试样模型，并将表7各尺寸堆石料的细观参数引入相应级配的三轴数值模型中，开展原型及缩尺级配料的三轴数值模拟，结果见图8。

由图8可知，各级配试样的应力-应变曲线均呈先硬化后软化的一般曲线变化规律。同一级配试样，随着围压的增大，峰值强度和对应的轴向应变不断增大。围压一定的条件下，随着颗粒粒径的增大，峰值强度减小，对应的轴向应变增大。同时，体变-应变曲线均呈先剪缩后剪胀的一般曲线变化规律。同一级配下，围压越大，胀缩转换点处应变越大。围压一定的条件下，胀缩转换点处应变随着颗粒粒径的增大而增大。

3 试验结果及尺寸效应分析

3.1 堆石颗粒运动演化分析

颗粒运动速度及方向矢量图见图9。以图9中D级配3 200 kPa围压试样为例，试样端部三角区域几乎仅产生竖向位移，未形成剪切面，属于弹性区域，中间部分颗粒位移呈“X”型分布，主要发生侧向变形，靠近试样中间部分的堆石颗粒更倾向于发生水平方向偏转。堆石颗粒破坏会形成“X”型剪切带，与HALL等^[21]的研究结论相符，表明本文建立的大尺寸模型符合客观试验规律。

3.2 堆石料强度和体变尺寸效应规律

基于图7、图8的数值模拟结果，得到4种级配、5种围压下的峰值强度(σ₁-σ₃)_f和胀缩转换点处体变{\epsilon }_{\mathrm{v}}，见表8。

由表8可知，在固定级配下，随着围压的增大，试样的峰值强度和胀缩转换点处体变均呈增大的变化趋势。当围压一定时，堆石料的峰值强度随颗粒粒径的增大而减小。100 kPa和300 kPa两种低围压条件下，颗粒粒径对体变的影响不显著，其他较高围压条件下，体变量均与颗粒粒径正相关。从堆石料的细观角度分析其变形破坏机理，当围压增大时，颗粒间的密实度增大，相互作用力增强，可抑制内部颗粒破碎的扩展和发育，提高试样整体峰值强度。同时，颗粒之间的空间进一步被压缩，在胀缩转换点附近，颗粒间的相对运动受限较严重，导致体积膨胀幅度较小。当级配中的最大粒径增大时，颗粒之间的接触面积相对减小，相互作用力增强。在压缩过程中，大颗粒更易发生破碎和相对滑动，形成应力集中点，受力后更易达到破坏条件，导致整体强度降低。随着偏应力的增大，颗粒的位置调整和重新排列使颗粒之间的空间被进一步填充，表现为试样主要发生剪缩体变，胀缩转换点处体变增大。利用式（10）和式（11）描述峰值强度、胀缩转换点处体变与粒径d的尺寸效应，即

({\sigma }_{\mathrm{1}}-{\sigma }_{\mathrm{3}}{)}_{\mathrm{f}}=ad+b，（10）

{\epsilon }_{\mathrm{v}}=Ad+B，（11）

式中：a、A分别为峰值强度与粒径所呈线性关系的斜率和截距；b、B分别为胀缩转换点处体变与粒径所呈线性关系的斜率和截距。

式（10）、式（11）中的参数a、b、A、B见表9。由表9可知，随着围压的增大，拟合相关性系数R²逐渐趋于1，表明围压越大，拟合效果越好。

3.3 邓肯-张E-B模型参数尺寸效应分析

邓肯-张E-B模型是分析土石坝应力变形时广泛采用的宏观本构模型^[22]。根据图7、图8中不同级配堆石料的数值模拟结果，整理得到邓肯-张E-B模型参数，见表10。

由表10可知，m、n、R_{\mathrm{f}}均随颗粒粒径的增大发生小幅度波动。整体来看，随着粒径的增大，邓肯-张E-B模型参数并未发生显著变化，因此可认为尺寸效应的影响并不显著。K、K_{\mathrm{b}}、{\phi }_{\mathrm{0}}均随着颗粒粒径的增大而线性减小与粒径d的关系式可表示为

K=-\mathrm{1.499}d+\mathrm{1}\mathrm{603.852}{R}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0.961}，（12）

K_{\mathrm{b}}=-\mathrm{1.874}d+\mathrm{632.872}{R}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0.970}，（13）

{\phi }_{\mathrm{0}}=-\mathrm{0.012}d+\mathrm{50.934}{R}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0.711}\mathrm{。}（14）

随着粒径的增大，\mathrm{\Delta }\phi呈线性增长的变化趋势，其拟合关系式为

\mathrm{\Delta }\phi =\mathrm{0.033}d+\mathrm{11.860}{R}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0.821}\mathrm{。}（15）

式（12）～式（15）即为邓肯-张E-B模型参数受粒径尺寸效应影响的修正公式。与A级配相比，K、K_{\mathrm{b}}、{\phi }_{\mathrm{0}}、\mathrm{\Delta }\phi随粒径的宏观变化率见表11。

4 结论

通过单粒压缩试验、室内三轴试验与三轴数值模拟相结合，研究某玄武岩堆石料三轴试验强度与变形特性的尺寸效应变化规律，得出如下结论。

（1）玄武岩颗粒的抗压强度较好地服从Weibull分布，且粒径为5～40 mm颗粒的Weibull弹性模量为1.172～2.275，可取均值1.832作为玄武岩的Weibull弹性模量。

（2）基于单粒抗压强度、抗拉强度和弹性模量的尺寸效应规律，反演得到不同颗粒粒径的三轴数值模拟细观模型参数。堆石料三轴数值模拟结果与室内试验结果相符，试样破坏剪切带呈“X”型分布。

（3）通过分析原型及缩尺级配堆石料的三轴数值模拟结果，得到峰值偏应力和胀缩转换点处体变的尺寸效应公式。尺寸效应表现为：级配一定时，峰值强度和胀缩转换点处体变随着围压的增大而增大；围压一定时，峰值强度随颗粒粒径的增大而减小，低围压条件下，颗粒粒径对体变影响不显著，高围压条件下，体变量随颗粒粒径的增大而增大。

（4）邓肯-张E-B模型参数受堆石料颗粒大小的影响存在明显的尺寸效应。m、n、R_{\mathrm{f}}对颗粒粒径的变化不敏感，K_{\mathrm{b}}、{\phi }_{\mathrm{0}}随着颗粒粒径的增大而减小，\mathrm{\Delta }\phi随颗粒粒径的增大而增大。提出了随粒径变化的尺寸效应修正公式。

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基金资助

国家自然科学基金项目(42367025)

云南省基础研究计划农业联合专项项目(202301BD070001-191)