基于改进麻雀优化算法的概率积分法参数反演

Parameter inversion of probability integral method based on improved sparrow optimization algorithm

摘要

为解决麻雀优化算法（SSA）在开采沉陷预测模型参数反演计算中收敛速度慢、易陷入局部最优的问题，提出一种改进的麻雀优化算法（ISSA）。该算法在种群初始化过程加入Kent映射，增强种群个体的均匀分布；在发现者位置更新中引入鹦鹉优化算法的觅食行为，并根据适应度调整安全值；融合t扰动分布和透镜反向学习策略，提高算法的性能。分别采用鲸鱼优化算法（WOA）、SSA、ISSA对概率积分法（PIM）的参数进行反演，利用含有反演参数的PIM对实验工作面的沉降值、抗粗差干扰能力、抗随机误差进行仿真实验。研究结果表明：与WOA、SSA相比，采用ISSA反演参数的PIM仿真效果最优。将ISSA应用于工程实例，反演参数的PIM计算值更接近实际值。研究成果为提高沉陷预计精度与矿区灾害检测提供参考。

Abstract

In order to solve the problem that the sparrow optimization algorithm (SSA) has slow convergence speed and is easy to fall into local optimal solution in the parameter inversion calculation of mining subsidence prediction model, an improved sparrow optimization algorithm (ISSA) is proposed. The algorithm adds Kent mapping to the population initialization process to enhance the uniform distribution of population individuals. The foraging behavior of the parrot optimization algorithm is introduced in the location update of the discoverer, and the safety value is adjusted according to the fitness. In order to improve the performance of the algorithm, the t disturbance distribution and the lens reverse learning strategy are combined. WOA, SSA and ISSA are used to invert the parameters of probability integral method (PIM) respectively. The PIM with inversion parameters is used to simulate the sinking value, anti-rough error interference ability and anti-random error of the experimental working face. The results show that compared with WOA and SSA, the PIM simulation effect using ISSA inversion parameters is the best. The ISSA is applied to an engineering example, and the results show that the calculated value of the PIM model using ISSA inversion parameters is closer to the actual value. The research conclusion provides a reference for improving the accuracy of subsidence prediction and mining area disaster detection.

Graphical abstract

关键词

概率积分法 / 麻雀优化算法 / 鹦鹉优化算法 / Kent映射 / 透镜反向学习 / 开采沉陷

Key words

probability integral method / sparrow search algorithm / parrot optimization algorithm / Kent mapping / lens-based reverse / learningmining subsidence

0 引言

煤炭资源是人类生活和国民经济发展的重要资源，对中国经济发展起重要作用^[1]。煤炭开采会引起上覆岩层发生移动和地表沉陷，严重危害开采区附近道路和建筑物的稳定性，给生活和出行带来了困难^[2]。准确预测开采沉陷规律和地表形变有利于矿区经济的持续发展和维护人民的生命财产安全，对减少开采沉陷危害十分重要^[3-4]。

概率积分法（probability integral method，PIM）基于介质理论发展而来，是矿区开采沉陷研究的重要工具^[5-8]。PIM预测变形的准确性依赖于模型参数，不同地质开采环境需针对性地确定参数取值^[9]。目前，随着机器学习的不断发展，智能算法被广泛应用于PIM参数的反演中。王正帅等^[10]利用粒子群优化算法进行PIM参数反演，使PIM的预测准确性有所提升。乔薄庆等^[11]通过改进的蛇优化算法进行PIM参数反演，使PIM的预测精度和准确性均有一定程度提高。孙志豪等^[12]通过加权赋值和自适应模拟退火粒子群算法进行沉陷预测，解决了厚松散层边缘处预测模型的快速收敛问题。花朵授粉法^[13]、狮群优化算法^[14]、蝙蝠算法^[15]、人工鱼群算法^[16]等智能优化算法，在概率积分参数参演中均取得不错效果。以上研究表明，通过智能优化算法反演PIM的参数，提高了PIM模型对地表变形预测的精度。

麻雀优化算法^[17]（sparrow search algorithm，SSA）在参数反演方面具有收敛速度快、寻优能力强等优点。但该算法适应性弱，对种群的初始化敏感，且在高维空间中易陷入局部最优。为解决此问题，本文提出改进的麻雀优化算法（improved sparrow search algorithm，ISSA），对PIM的参数进行优化，通过仿真实验和实际工程验证ISSA算法的可行性和性能优势。

1 概率积分沉陷预测模型

PIM广泛应用于矿区开采沉陷预测。开采区任意一点的沿竖直方向（x方向）的沉降值和水平方向（y方向）的水平位移分别为

W^{\mathrm{0}}(x)=\frac{W_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}}\left[\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\left(\sqrt[]{\mathrm{\pi }}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta /H_{\mathrm{0}}\right)x-\right.

\left.\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\left(\sqrt[]{\mathrm{\pi }}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta /H_{\mathrm{0}}\right)\left(x-l_{\mathrm{3}}\right)\right]，（1）

W^{\mathrm{0}}(y)=\frac{W_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}}\left[\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\left(\sqrt[]{\mathrm{\pi }}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\beta }_{\mathrm{1}}/H_{\mathrm{1}}\right)y-\right.

\left.\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\left(\sqrt[]{\mathrm{\pi }}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\beta }_{\mathrm{2}}/H_{\mathrm{2}}\right)\left(y-l_{\mathrm{1}}\right)\right]，（2）

其中

l_{\mathrm{1}}=\frac{\left(D_{\mathrm{1}}-S_{\mathrm{1}}-S_{\mathrm{2}}\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\theta +\alpha \right)}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta }，（3）

l_{\mathrm{3}}=D_{\mathrm{3}}-S_{\mathrm{3}}-S_{\mathrm{4}}，（4）

式（1）～式（4）中：W₀为最大实际沉降值，m；\beta₁、\beta₂分别为下山、上山方向的主要影响角，°；H为走向方向平均采深，H₁、H₂分别为下山，上山方向的采深，m；D₁、D₃分别为倾向和走向长度，m；S₁、S₂分别为走向左侧和右侧拐点偏移距，m；S₃、S₄分别为下山和上山方向拐点偏移距，m；θ为开采影响传播角，°；\alpha为煤层倾角，°；W(x,y)为实际沉降值，mm。W₀=mqcos\alpha，其中，m为开采厚度，m；q为下沉系数。

实际沉降值为

W(x,y)=\frac{W^{\mathrm{0}}(x)\cdot W^{\mathrm{0}}(y)}{W_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}，（5）

式中，W_max为地表最大下沉值，mm。

2 改进的麻雀优化算法（ISSA）

SSA在寻优调参的计算效果较好^[18-20]，主要包括种群初始化、个体适应度计算、模拟觅食行为、传递信息、危险逃避、更新位置^[21-23]等步骤。

2.1 Kent混沌种群初始化

混沌映射能在特定空间内生成伪随机数序列，经过混沌映射的种群具有多样性，避免了迭代过程陷入局部最优，提高了收敛速度^[24]。Kent混沌映射具有较好的遍历均匀性，可表示为

，（6）

式中：z_n 为区间(0,1)内的随机数；\beta为控制参数取值0.4。

2.2 发现者位置更新

为提高SSA的全局搜索能力，引入鹦鹉优化算法（parrot optimization algorithms，POA）的觅食行为机制，并根据适应度动态调整安全值，避免陷入局部最优。SSA发现者位置可表示为

，（7）

式中：{\mathit{X}}_i^t为当前位置；{\mathit{X}}_i^{t+\mathrm{1}}为更新后的位置；{\mathit{X}}_{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{r}}^t为当前种群的平均位置；Levy\left({\mathit{X}}_i^{}\right)为Levy分布；{\mathit{X}}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}为开始到当前迭代次数搜索的最佳位置；i_maxit为种群最大迭代次数；Q为安全阈值；rand(0,1)为0～1的随机数^[25]，R₂为预警判断因子。

Q=\frac{\left|\overline{f}-f_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right|}{\left|f_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-f_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right|}，（8）

式中： f_min、f_max分别为当前种群适应度的最小、最大值；\overline{f}为当前种群的平均适应度。

\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{y}\left({\mathit{X}}_i^{}\right)=\mathrm{0.01}\times \frac{\mu \sigma }{|\nu {|}^{\mathrm{1}/\gamma }}，（9）

\sigma ={\left[\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\mathrm{1}+\gamma \right)}{{\mathrm{2}}^{\left(\frac{\gamma -\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}\gamma \cdot \mathrm{\Gamma }\left[\left(\mathrm{1}+\gamma \right)/\mathrm{2}\right]}\right]}^{\mathrm{1}/\gamma }，（10）

式中：\mathrm{\Gamma }\left(\mathrm{1}+\gamma \right)=\left(\lambda -\mathrm{1}\right)!；\mu、\nu为服从区间(0,1)均匀分布的随机数；\gamma取1.5。

2.3 引入t扰动和镜像反向学习策略

为了提升算法性能，引入t扰动和镜像反向学习策略。t扰动通过对当前最优适应度施加动态扰动，促使算法跳出局部最优，提高搜索效率。镜像反向学习策略通过生成当前解的镜像空间扩大搜索范围，可更好地跳出局部最优，提高收敛速度和精度。

t扰动的位置更新可表示为

{\mathit{X}}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}^{\mathrm{*}}={\mathit{X}}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}(t)+t\cdot {\mathit{X}}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}(t)，（11）

镜像反向学习策略可表示为

{\mathit{X}}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}^{\mathrm{*}}=\frac{a+b}{\mathrm{2}}+\frac{a+b}{\mathrm{2}n}-\frac{{\mathit{X}}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}}{n}，（12）

n={\left[\mathrm{1}+{\left(k/i_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{t}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}\right]}^{\mathrm{10}}，（13）

式（11）～式（13）中：t为扰动系数；a、b分别为搜索空间的最大值与最小值；k为当前迭代次数；n为随迭代次数变化的调节因子。

使用动态转换概率P对t扰动策略与镜像反向学习策略的自适应选择。每次迭代时，更新rand(0,1)和P值，由此进行策略选择。当P>rand(0,1)时，选择镜像学习策略，反之选择t扰动策略。P的表达式为

P=\mathrm{0.6}-\mathrm{0.1}\times \frac{i_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{t}}-t}{i_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{t}}}。（14）

最后，通过贪婪策略选择是否更新最优位置，可表示为

，（15）

式中：f\left(\tilde{\mathit{X}}\left(t\right)\right)为经过t扰动或者镜像反向学习策略生成的适应度值；f\left({\mathit{X}}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}\left(t\right)\right)为未融合t扰动或者镜像反向学习策略的适应度值。

2.4 SSA的适应度函数

适应度函数为

f=\frac{\mathrm{1}}{{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}\left[{\left(W_{x,y}^{\mathrm{0}}-W_{x,y}^{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(U_{x,y}^{\mathrm{0}}-U_{x,y}^{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{2}}\right]}，（16）

式中：W_{x,y}^{\mathrm{0}}、U_{x,y}^{\mathrm{0}}分别地面观测点的实际下沉值和水平移动值；W_{x,y}^{\mathrm{1}}、U_{x,y}^{\mathrm{1}}分别为优化算法反演得到的下沉值和水平移动值。

2.5 ISSA步骤

ISSA的核心优化步骤如下：①将种群的初始化改为Kent混沌映射；②在种群的发现者中引入POA，并根据适应度动态调整安全值；③引入t扰动分布和镜像反向学习策略，提高算法的寻优性能。ISSA计算流程见图1。

3 仿真实验

3.1 仿真实验

通过不同条件下的仿真实验验证ISSA的可行性。设定如下仿真实验条件：工作面煤层厚度m为3.3 m，煤层倾角\alpha为6.5°，走向长度D₃为780 m，倾向长度D₁为450 m，顶板管理方法采用垮落法。概率积分法的参数设计值和波动范围见表1。

仿真实验工作面设计2条观测线，一条为倾向观测线，另一条为走向观测线。各观测线以30 m为间隔设置观测点，倾向观测线观测点共31个，走向观测线观测点共53个，观测点位置见图2。

3.2 实验过程

在上述实验条件下，分别采用WOA、SSA、ISSA对PIM参数进行反演，每种方法实验10次，取平均值作为最终结果。PIM参数反演结果见表2。利用反演结果进行沉降值预测，并与实测值对比，结果见表3，沉降值预测均的方根误差E_RMSE（RMSE）和稳定性指标R（预测残差最大值与最小值之差）见表4。

由表2和表3可知，WOA、SSA、ISSA反演参数的相对误差最大值分别为4.59%、2.82%、0.68%，最小值分别为0.03%、0.02%、0，3种算法相对误差均较小，对最终沉降结果影响较小。其中ISSA反演参数的相对误差均小于WOA和SSA。除个别点外，采用ISSA反演参数计算的下沉值与实测值的绝对误差小于其他2种算法，可见在3种算法中，ISSA最优。由表4可知， ISSA在走向观测线、倾向观测线，以及整个工作面的RMSE值和R值均优于WOA和SSA，验证了该算法的优越性。

3.3 抗粗差干扰能力

为评估算法在数据异常情况下的稳定性，对工作面走向观测线和倾向观测线的拐点和最大下沉点沉降值增加150 mm误差，分别采用WOA、SSA、ISSA对粗差数据反演，统计反演参数误差、走向和倾向观测线误差，以及工作面下沉拟合误差，见表5、表6。

由表5可知，WOA、SSA、ISSA反演参数的相对误差最大值分别为4.22%、3.22%、-2.24%，最小值分别为0.90%、0.02%、-0.01%，ISSA算法反演参数的相对误差均小于WOA和SSA。

由表4和表6可知，引入粗差后沉降预测的RMSE值和R值均升高，说明粗差的存在对参数反演结果产生不利影响，进而影响沉降值的预测。但加入粗差后，ISSA反演参数的沉降预测效果仍优于WOA和SSA。这是由于t扰动分布和镜像反向学习策略能够基于历史最优解调整个体位置，避免粗差存在对个体位置的错误更新，且POA觅食行为的加入使算法的鲁棒性增强，提高了ISSA的抗粗差干扰能力。

3.4 抗随机误差实验

由于测量的不确定性和环境等因素的影响，测量结果的随机误差不可避免，为验证ISSA模型抗随机误差能力，将走向和倾向观测点下沉值误差增加10 mm，分别采用WOA、SSA、ISSA对进行参数反演，统计反演参数的误差，结果见表7。利用反演参数预测沉降值，沉降值误差见表8。

由表7可知，WOA、SSA、ISSA反演参数的相对误差最大值分别为-5.15%、-3.79%、-1.03%，最小值分别为0.02%、0.02%、0.00%，ISSA反演参数的相对误差均优于WOA和SSA。

由表4和表8可知，加入随机误差后，沉降预测效果有一定下降，但与WOA和SSA相比，采用ISSA反演参数的沉降预测效果较好。

4 工程实例

程寨沟灰坝位于平煤股份一矿三水平丁二下山采区及戊二采区上方。戊8-32080工作面的一部分位于灰坝下，该工作面走向长约1 142 m，倾向长约213 m，煤层厚度为2.1 m，煤层倾角为8°，开采传播角为82°～87°，平均为84.5°，累厚为854.5 m。为保证采煤过程中坝体的安全，对坝体和戊8-32080工作面开展监测。在该工作面布设29个观测点，包括19个走向观测点，7个倾向观测点，以及3个基准点。采集开采1年内和停采后半年内的观测数据，利用ISSA进行分析。。

利用走向、倾向观测线的实测数据，分别采用WOA、SSA、ISSA反演10次，获得PIM参数均值，并将反演参数代入PIM中，预测走向、倾向观测线的沉降值，结果见表9、表10。走向、倾向观测线下沉拟合值与实测下沉值对比见图3、图4。利用3种算法反演参数和PIM计算得到采区工作面三维沉陷情况，见图5。

由图3、图4、表9和表10可知，在反演参数的均方根误差、沉降预测性能方面，ISSA优于WOA和SSA，能满足工程应用。由图5可知，采用WOA、SSA反演参数计算的沉降值最大均为1.170 m，采用ISSA反演参数计算的沉降值最大为1.180 m，更接近实际值（1.482 m），这说明采用ISSA反演参数的预测结果最优。

5 结论

（1）针对SSA的不足，结合实际工程问题，提出ISSA用于反演参数。利用反演参数和PIM预测模拟工作面的沉降值，结果表明预测精度提升显著，验证了ISSA的有效性。

（2）在沉降数据中加入粗差和随机误差进行模拟测试，研究发现沉降预测的精度和稳定性均有所下降。但是相较于WOA和SSA，ISSA反演参数预测的沉降值精度最高，验证了该算法的抗随机误差和抗粗差干扰能力。

（3）ISSA的反演结果受迭代次数、种群个数等参数影响，后续进一步深入研究各参数对算法性能的作用机制，以实现算法性能的全面提升。

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基金资助

国家自然科学基金项目(42401488)