不确定性多态系统三支决策重要度分析与应用

Analysis and application of three-way decision importance for uncertain polymorphic systems

摘要

针对现有多态系统重要度分析法存在模型依赖性强、主观性强及数据不确定性等问题，提出一种适用于不确定性条件下的分析方法。该方法采用三支决策粗糙集理论量化组件不确定性，结合动态空间马尔科夫模型计算状态概率分布区间，构建改进的Griffith重要度模型。为识别系统薄弱环节，引入新距离测度区间排序法对重要度结果进行排序。研究结果表明，该方法可在不确定条件下有效反映组件对系统的重要性，提升分析的科学性与合理性。算例验证进一步证实了该方法的实用性和可行性。研究结论可为复杂系统的可靠性评估、资源配置及维护决策提供参考。

Abstract

The existing importance analysis methods for multi-state systems have problems such as strong model dependence, strong subjectivity and data uncertainty, and mechanical errors. Therefore, a suitable analysis method for uncertain conditions is proposed. This method uses three-way decision rough set theory to quantify component uncertainty, combines dynamic spatial Markov model to calculate state probability distribution interval, and constructs an improved Griffith importance model. To identify weak links in the system, a new distance measurement interval ranking method is introduced to rank the importance results. The results showed that this method can effectively reflect the importance of components to the system under uncertain conditions, enhancing the scientific and rational nature of analysis. The example verification further confirms the practicability and feasibility of the method. The research conclusion can provide reference for reliability assessment, resource allocation, and maintenance decision-making of complex systems.

Graphical abstract

关键词

多态系统 / 重要度分析 / 不确定性 / 三支决策粗糙集 / 动态空间马尔科夫模型 / Griffith重要度

Key words

polymorphic system / importance measure analysis / uncertainty / three-way decision rough set theory / dynamic space Markov model / Griffith importance

0 引言

系统可靠性工程中，重要度理论是评估各组件对系统整体可靠性贡献的核心方法^[1]。该方法通过量化组件在系统中的作用，可识别关键部件与薄弱环节，从而为维修策略优化、资源配置及风险管理提供决策依据。随着工业系统复杂度的不断提高，传统二态系统分析方法在应对多状态、多退化模式以及可维修性等因素时面临挑战。在通信、电力、电子等领域，组件状态往往呈现多态或连续变化的特点，这使得准确评估系统整体可靠性并识别关键组件的需求变得更加迫切^[2-6]。因此，构建能够反映多状态系统特性并适应实际工程需求的重要度评估方法，已成为可靠性工程研究中的关键问题。

关于多态系统组件重要度的研究已取得一定进展，学者将适用于二态系统的组件重要度指标推广至多态和连续状态系统^[7-10]。GRIFFITH^[11]将BIRNBAUM重要度引入多态系统，提出了基于状态退化的建模方法，但该方法主要考虑单一状态转移路径，难以全面描述多状态系统的演化过程。为提升模型的适应性，研究者提出了综合重要度、广义重要度等指标，以此考虑状态间转移概率及系统结构变化^[12-14]。REN^[15]等从任务视角出发，定义基于时间维度的重要度指标，使分析更贴近实际需求。现有方法大多假设组件的可靠性或退化模型已知，未能充分考虑实际系统中存在的不确定性。例如，工程实践中存在的样本数量不足、数据缺失、测量误差及专家主观判断等因素，导致组件可靠性参数难以精确获取^[16]。此外，概率模型本身也是对不确定性的一种近似描述，进一步增加了分析的复杂性，使得传统重要度方法在处理模糊或不完整信息时存在局限性。

三支决策粗糙集理论被广泛应用于不确定性建模。该理论将对象划分为接受、拒绝与延迟三类决策区域，并基于最小风险原则处理不完全信息，具有结构清晰、方法灵活的优势^[17-19]。在复杂系统分析中，采用三支决策理论可有效弥补传统方法在不确定性处理上的不足。基于此，引入动态空间马尔科夫模型进一步对多态系统进行状态概率的区间建模，同时考虑可维修性因素，为系统重要度分析提供更全面的概率表示。在此框架下，可以构建适应不确定性环境的Griffith重要度模型，为关键部件识别、维护决策及资源优化配置提供理论支持，并为多态系统可靠性分析方法的发展提供新的研究视角。

1 组件不确定性量化及状态分析

1.1 理论基础概述

（1）三支决策粗糙集理论

给定决策表S=(U,A,V,f)，其中U为论域，A为条件属性集且A=C\bigcup D，C和D分别为条件属性与决策属性，V为属性阈值，f为隶属度函数。给定阈值(\alpha ,\beta )，满足，对于对象x∈U，其正域POS、负域NEG和边界域BND可表示为

，（1）

式中，P(A|[x])为给定对象x所属等价类[x]的条件下条件属性A的概率变量。

（2）动态空间马尔科夫模型

设多态组件的状态为\{s_{\mathrm{0}},s_{\mathrm{1}},\cdot \cdot \cdot ,s_k\}，s_{\mathrm{0}}为完好态，s_k为失效态。组件状态转移服从非齐次马尔科夫过程，状态转移强度矩阵动态依赖于时间与环境因素，通过求解Kolmogorov方程得到该系统的状态概率分布区间为[p_i^{-}(t),p_i^{+}(t)]，表示在时间t时系统处于状态i的概率下限与上限。

1.2 组件不确定性量化

传统基于大数据及概率的处理方法，在复杂系统重要度分析中难以有效应对部件稳定性分析问题^[20]。为此，引入三支决策粗糙集理论，对部件的不确定性进行有效量化。

定义1 给定决策表S=(U,A,V,f)，且\forall x\subseteq U，给定阈值\left(\alpha ,\beta \right)，满足，得到粗糙集的上、下近似集为

\overline{R}{(A)}_{(\alpha ,\beta )}=\left\{x\in U|P(A|{[x]}_R)>\beta \right\}，（2）

\underline{R}{(A)}_{(\alpha ,\beta )}=\left\{x\in U|P(A|{[x]}_R)\ge \alpha \right\}，（3）

式中：P(A|{[x]}_R)=\frac{|{[x]}_R\bigcap A|}{{[x]}_R}；{[x]}_R为元素x关于关系R的等价类^[21]。

上、下近似质量为

\overline{q}(A)=|\overline{R}{(A)}_{(\alpha ,\beta )}|/|U|，（4）

\underline{q}(A)=|\underline{R}{(A)}_{(\alpha ,\beta )}|/|U|。（5）

因此，可用正域、负域和边界域来表示对象集X相对于某个决策的确定性及不确定性区域。正域是接受决策的确定性区域，负域是拒绝决策的确定性区域，边界域则是不确定性区域。基于这一划分，最终实现对组件不确定性的量化。

1.3 多态系统组件性能建模及分析

在多态系统中，组件的可靠性会随着时间的推移而降低。假设组件有N_C +1个状态，其状态空间可表示为\left\{\mathrm{0,1},\cdots ,N_C\right\}。其中N_C表示系统的完好状态，0表示完全失效状态。组件处于状态k的概率表示为q_{Ck}，因此组件的概率分布可以表示为\left\{q_{C\mathrm{0}},q_{C\mathrm{1}},\cdots ,q_{C(N_C+\mathrm{1})}\right\}。在此基础上，假设多态组件系统满足以下条件：①多态系统中各组件的退化过程相互独立；②组件的更新操作可使其从任何状态立即恢复至初始状态。各组件的更新率相同，为{\mu }_C^{}；③多态组件从状态i到状态j的状态转移强度标称值为{\delta }_C^{ij}，其不确定性偏差用Δ表示，则状态转移强度的上下界分别为

{\overline{\delta }}_C^{ij}={\delta }_C^{ij}+\Delta，

{\underline{\delta }}_C^{ij}={\delta }_C^{ij}-\Delta。

基于以上分析与假设，可采用动态空间马尔科夫模型对可维修多态组件的状态进行建模。该模型能够克服传统马尔科夫模型忽略组件间相互作用的局限性。其状态转移过程见图1。

获得各组件状态转移强度后，利用Kolmogorov微分方程组^[22-23]求解其状态转移概率。在此基础上，将不确定性参数与更新率一并引入模型进行求解。改进的Kolmogorov微分方程组为

，（6）

，（7）

式（6）、式（7）中：{\overline{p}}_C^{N_C}\left(t\right)、{\underline{p}}_C^{N_C}\left(t\right)分别为t时刻组件处于状态N_C 的概率上限和下限；{\overline{p}}_C^i\left(t\right)、{\underline{p}}_C^i\left(t\right)分别为t时刻组件处于状态i的概率上限和下限；{\overline{p}}_C^{\mathrm{0}}\left(t\right)、{\underline{p}}_C^{\mathrm{0}}\left(t\right)分别为t时刻组件处于临界状态的概率上限和下限；{\mu }_C为组件更新率。假设组件在t=0时刻处于完好状态，即

[{\underline{p}}_C^{N_C},{\overline{p}}_C^{N_C}]=[{\underline{p}}_C^k,{\overline{p}}_C^k]=[{\underline{p}}_C^{\mathrm{1}},{\overline{p}}_C^{\mathrm{1}}]=[{\underline{p}}_C^{\mathrm{0}},{\overline{p}}_C^{\mathrm{0}}]=[\mathrm{0,0}]。

联立式（6）、式（7），可得组件在任意时刻处于各个状态的最小和最大概率，概率区间为[{\underline{p}}_C^k(t),{\overline{p}}_C^k(t)]。

依据文献[22]和文献[24]可知，多态组件各状态的概率区间可转换为三支决策的条件概率函数为

。（8）

2 Griffith重要度及排序规则

2.1 基于三支决策粗糙集理论下的Griffith重要度

Birnbaum重要度主要用于评估二态系统中组件的可靠性变化对整体系统的影响，计算公式为

I_{}^{\mathrm{B}\mathrm{M}}(i)=P\left\{\Phi (X)=\mathrm{1}|X_i=\mathrm{1}\right\}-

P\left\{\Phi (X)=\mathrm{1}|X_i=\mathrm{0}\right\}(i=\mathrm{1,2},\cdot \cdot \cdot ,n)，（9）

式中：X_i为组件i的状态，X_i=\mathrm{1}代表组件正常，X_i=\mathrm{0}代表组件失效。\Phi (X)为系统结构函数，值为1表示系统正常，为0代表系统失效。

Griffith重要度是Birnbaum重要度在多态系统中的扩展^[11]，用于评估组件i从状态m到状态m-\mathrm{1}时对系统性能的影响，计算公式为

I_m^G(j)=\sum ({\alpha }_j-a_{j-\mathrm{1}})\left[P(\Phi (m_j,X)\ge j)\right]-

\left[P(\Phi ({(m-\mathrm{1})}_j,X)\ge j)\right]，（10）

式中：\Phi (m_j,X)为系统结构函数，即组件j处于状态m时系统的性能；{\alpha }_j、a_{j-\mathrm{1}}分别为组件处于状态j和状态j-\mathrm{1}的性能水平，可用状态转移强度进行相关运算。

对于多态系统而言，系统正常状态定义为\Phi (X)\ge k_{\mathrm{0}}，结合1.2节的假设条件，对式（10）做归一化处理，得到

I_k^G(j)=\frac{{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{N_C}}({\sigma }_k-{\sigma }_{k_{\mathrm{0}}})\left[P(\Phi (k_j,X)\ge k_{\mathrm{0}}|X_k=N_k)\right]-\left[P(\Phi (k_j,X)\ge k_{\mathrm{0}})\right]}{N-\mathrm{1}}，（11）

式中：\left[P(\Phi (k_j,X)\ge k_{\mathrm{0}})\right]为组件处于临界条件即状态时系统不失效的概率；N为组件状态的总数；{\sigma }_k、{\sigma }_{k_{\mathrm{0}}}为条件信任函数，分别表示状态k和状态k₀时的条件信任值。

基于三支决策模糊集理论，改进的Griffith重要度上下界可由正域和负域求得，设\underline{q}(\Phi (k,X)\ge k_{\mathrm{0}})、\overline{q}(\Phi (k,X)\ge k_{\mathrm{0}})分别为可靠度区间的下界和上界。则考虑不确定性的改进Griffith重要度分析方法为

I_k^G(j)=\frac{{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{N_C}}({\sigma }_k-{\sigma }_{k_{\mathrm{0}}})\left\{\left[\underline{q}(\Phi (k_j,X)\ge k_{\mathrm{0}}|X_k=N_k),\overline{q}(\Phi (k_j,X)\ge k_{\mathrm{0}}|X_k=N_k)\right]-\left[\underline{q}(\Phi (k_j,X)\ge k_{\mathrm{0}}),\overline{q}(\Phi (k_j,X)\ge k_{\mathrm{0}})\right]\right\}}{N-\mathrm{1}}。（12）

2.2 可靠度区间描述及计算

目前，针对系统结构函数未知的情形，通常采用优化方法或条件概率表进行计算^[7]。若系统结构函数已知，则普遍采用通用生成函数（universal generating function，UGF）法^[26]。UGF法能高效求解系统所有状态的区间概率^[23]。计算时只需将组件各状态条件概率代入UGF，便可求得系统的可靠度区间。

系统结构函数定义了系统性能与组件性能的关系，通常表示为最小割集或最小路径集函数^[15]，可表示为

\Phi (N_k(t),X)={\displaystyle \prod _{j=\mathrm{0}}^{N_C}}\left[\mathrm{1}-\prod _{j\in N_C}(\mathrm{1}-N_{kj}(t))\right]，（13）

式中，N_{kj}(t)为t时刻组件的第kj个状态。

采用通用生成函数对式（13）进行求解，各组件性能分布的表达式为

U_i(z)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^{N_C}}{p}_C^k{z_i}^{N_k}，（14）

式中：N_k为组件的状态值；p_C^k为组件对应的状态概率取值；{z_i}^{N_k}为第i个组件在状态N_k 时的性能值。

通过对各部件状态进行组合，可得多态系统总体性能分布的UGF表达式为

U_G(z)={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{N_C}}\cdots {\displaystyle \sum _{j_N=\mathrm{0}}^{N_C}}\left({\displaystyle \prod _{i=\mathrm{1}}^N}{p}_C^{k_j}\right)z^{\Phi (k_j,X)}，（15）

式中，z^{\Phi (k_j,X)}为组件在区间（k_j, X）的可靠度性能值，化简式（15）得

U_G(z)={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{N_C}}{p}_C^{k_j}{z}^{\Phi (k_j,X)}。（16）

对式（16）中的p_C^{k_j}进行求和，得到系统的可靠度为

R={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{N_C}}\left(p_C^{k_j}(t)\zeta (X_{k_j}-\Phi (k_j))\right)，（17）

式中：\zeta (X_k-\Phi (k_j)>\mathrm{0})为示性函数，当X_k>\Phi (k_j)时为1，反之为0；\Phi (k_j)为系统失效时的临界值。

将\underline{q}(\Phi (k,X)\ge k_{\mathrm{0}})\mathrm{、}\overline{q}(\Phi (k,X)\ge k_{\mathrm{0}})代入式（17），得到可靠度区间为\left[\underline{q}(\Phi (k,X)\ge k_{\mathrm{0}}),\overline{q}(\Phi (k,X)\ge k_{\mathrm{0}})\right]。

2.3 排序规则

应用基于三支决策模糊集理论的改进Griffith重要度公式进行计算，所得结果为区间数形式^[25]，需对其排序。现有排序方法包括确定性排序^[26]、可能度排序法^[27]、基于粗糙集的区间排序法^[28]及基于新距离测度的区间排序法^[29-30]等。综合考虑，本文选择计算简单、可靠性高的新距离测度的区间排序法。

设有一组待排序的区间数为{\tilde{a}}_{\mathrm{1}},{\tilde{a}}_{\mathrm{2}},\cdots ,{\tilde{a}}_n，{\tilde{a}}_i^{}可表示为(a_i^{-},a_i^{+}) \left(i=\mathrm{1,2},\cdots ,n\right)，则正、负理想点为

{\tilde{a}}^{+}=\left[\underset{i}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}{a}_i^{-}},\underset{i}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}{a}_i^{+}}\right]，（18）

{\tilde{a}}^{-}=\left[\underset{i}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{a}_i^{-}},\underset{i}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{a}_i^{+}}\right]。（19）

借助区间数距离公式来改进排序策略，其表达式为

d({\tilde{a}}_i,\tilde{a})=\left({\left(\frac{a_i^{-}+a_i^{+}}{\mathrm{2}}-\frac{a_{}^{-}+a_{}^{+}}{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}+\right.

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[{\left(\frac{a_i^{+}-a_i^{-}}{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}-{\left(\frac{a_{}^{+}-a_{}^{-}}{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}\right]-

{\left.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\left[(a_i{\bigcap a)}^{+}-(a_i{\bigcap a)}^{-}\right]\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}，（20）

式中，{\tilde{a}}_i^{}为a_i^{+}或a_i^{-}，分别得到d_{}^{+}或d_{}^{-}。以d_{}^{+}作为排序结果时，则d_{}^{+}数值越大的区间数越大；以d_{}^{-}作为排序结果时，则情况相反。

根据上述方法，对式（12）的计算结果进行区间数排序，可用来判定系统薄弱环节、各个组件的重要程度以及制定相应的资源分配策略等。

3 算例

煤矿通风系统是安全生产的关键，准确分析其薄弱环节至关重要。风门作为井下关键通风设施，受复杂环境影响，运行状态不确定性高。本文将基于三支决策模糊集理论的改进Griffith重要度模型应用于矿井通风系统，分析在不确定性条件下不同位置风门在各运行状态时的重要度，识别通风系统中处于薄弱环节的风门，为矿井通风的日常设施管理提供决策依据。

中煤华晋集团有限公司某矿采用中央分列式通风方式，新鲜风流由主平硐、副平硐及碟子沟进风斜井进入，污风经由碟子沟回风斜井排出。矿井通风采用机械抽出式，总风量约18 561 m³/min。目前有两个采煤工作面正在回采，另设两个备用工作面，年设计生产能力为600 万t。

据统计，全矿共有风门39个，其中防火栅栏门和救灾风门共11个。本文选取12313工作面附近的4个风门FM28、FM25、FM6和FM12为研究对象，分别位于12313回风联巷、12311胶带巷（已停采）、12号联巷和13313胶带回风联巷，具体位置见图2。

由于受到井下环境影响，压差、温度、湿度、开关次数等条件均会影响风门的状态，相关数据见表1。

3.2 应用及分析

威布尔分布函数在构建组件随机退化过程模型方面应用广泛，本文采用两参数的威布尔分布函数F(t)=\mathrm{1}-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[-{(t/\theta )}^{\gamma }] \left(\theta >\mathrm{0}\mathrm{、}\gamma >\mathrm{0}\right)模拟组件的随机退化过程。考虑风门所处环境及使用频率，通过设置尺度参数\theta和形状参数\gamma，来模拟不同风门的退化过程。

多态部件的状态转移强度{\delta }_C^{ij}通常为常数，根据文献[24]，并结合风门所处位置的温度、湿度、压力、开关次数可得出部件的从状态i转移至状态j的转移强度，见表2。本文考虑了风门的4种状态，分别为风门完好、退化不严重能保证正常调风、退化严重需要修缮、风门失效。

将表2中数据代入式（6）和式（7），得到4个风门所有状态的概率区间，代入式（8）中，得到所有状态的条件概率函数M。将临界状态的正、负域函数代入得到的条件概率函数中，得到通风系统可靠度区间，见图3。组件各个状态的正、负域函数代入式（12），即可得到各组件的可靠度区间，见图4。图中的“时间”为算例的计算时间，无量纲。

由图4可知，不考虑不确定性时的重要度值均处于考虑不确定性时的区间范围内，验证了该方法的收敛性。当时间趋近于无穷大时，所有组件终将失效，其重要度也均趋近于0。该结论也符合Griffith重要度的物理含义。

为了辨别通风系统中的薄弱环节，或者判定哪个风门更加重要，可选取任意时刻对风门重要度进行排序，当时间为500时，应用新距离测度区间排序法对4个风门进行重要度排序，结果见表3。

未考虑不确定性时重要度排序为FM28>FM6>FM25>FM12。

由式（18）得正理想点为{\tilde{a}}^{+}=[0.369 2,0.474 0]，再利用式（20）计算每个区间到正理想点的距离为

d_{{}_{\mathrm{F}\mathrm{M}\mathrm{12}}}^{+}=\mathrm{0.048} \mathrm{2}，d_{{}_{\mathrm{F}\mathrm{M}\mathrm{25}}}^{+}=\mathrm{0.047} \mathrm{2}，

d_{{}_{\mathrm{F}\mathrm{M}\mathrm{28}}}^{+}=\mathrm{0.047} \mathrm{1}，d_{{}_{\mathrm{F}\mathrm{M}\mathrm{6}}}^{+}=\mathrm{0.024} \mathrm{3}\mathrm{。}

考虑不确定性时重要度排序为FM12>FM25>FM28>FM6。

通过实例分析可知，考虑与未考虑不确定性所得到的重要度排序结果存在显著区别，表明系统中组件的重要性受到不确定性因素的影响。以组件FM12为例，在未考虑不确定性时其重要度排在末位，而在引入不确定性因素后提升至首位，表明该组件在复杂井下环境中具有更高的失稳风险，需优先予以关注。该排序结果与现场采集的温度、湿度、压强等数据计算后的结果相吻合，进一步验证了本文方法在实际应用中的适用性与敏感性。与传统方法相比，本文的排序策略能够更准确地反映现实条件下系统的风险结构，有效识别系统中的潜在薄弱环节。

3.3 排序方法对比与验证分析

为进一步验证基于新距离测度区间排序法的有效性与合理性，选取可能度排序法与粗糙集排序法作为对比，施加风量扰动，分别从排序结果一致性、扰动稳定性与收敛性趋势3个方面进行验证与分析，对比结果见表4。

由于组件FM12所处环境不确定性较大、失效风险较高，而新距离测度区间排序法将FM12排在首位更符合实际情况，因此排序结果也更为合理。由表4可见，新距离测度区间排序法在施加风量扰动后排序未发生变化，鲁棒性较高。考虑不确定性时，风门FM12在不同时间的重要度见表5。

由表5可知，随着时间推移，重要度区间逐渐趋于0，符合Griffith重要度在t\to \mathrm{\infty }时应收敛的理论要求，同时排序位置保持不变，验证了所提方法的收敛性和一致性。

综上所述，新距离测度区间排序法在处理不确定性数据时不仅计算简便，而且在排序结果的稳定性、收敛性以及工程实用性方面均优于可能度排序法和粗糙集排序法。该方法对数据扰动具有更强的鲁棒性，在系统运行周期延长后仍能保持排序结构一致，因此更适用于复杂系统中关键部件的识别与运维优先级的制定。

4 结论

（1）本文提出了基于三支决策粗糙集与动态空间马尔科夫模型的改进 Griffith 重要度分析方法，能够在不确定性条件下合理刻画组件重要度，克服了传统方法依赖精确退化模型的局限性。

（2）通过引入区间排序方法，实现了对多态系统薄弱环节的有效识别。与传统确定性分析相比，该方法在结果稳定性、敏感性以及鲁棒性方面表现更优，能更真实反映系统在复杂环境中的风险分布。

（3）某煤矿通风系统的实例验证表明，该方法不仅具备可行性与适用性，而且能够为通风设施维护优先级的判定和资源的优化分配提供可靠依据，具有一定的工程应用价值。

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基金资助

内蒙古自治区教育厅基金项目(NJZY22289)