基于动静载荷数据的桥梁贝叶斯有限元模型多目标更新方法

A multi-objective update method for Bayesian finite element models of bridges based on static and dynamic load data

摘要

针对传统有限元模型修正中单目标优化方法预测精度低、工程适用性差的问题，以连续梁桥为研究对象，提出一种基于动静载荷数据的贝叶斯有限元模型多目标更新方法，提升模型在复合载荷作用下对连续梁桥结构响应的模拟能力。通过动载试验获取结构的前三阶频率与振型等全局动力特性参数，并采用多目标非支配排序遗传算法II（NSGA-II）同步优化频率残差与模态置信度准则残差，实现对有限元模型动力特性的精准修正；基于静载试验获得的关键截面挠度数据，建立多级验证体系对修正后的模型进行局部响应校验。研究结果表明：多目标优化方法能有效协调不同目标之间的冲突，修正后模型的响应频率误差范围为0.70%～4.02%；静载试验验证结果表明，模型挠度预测误差范围为2.97%～9.27%。研究结论为同类桥梁结构的健康监测与性能评估提供理论与方法支持。

Abstract

To address the low prediction accuracy and limited engineering applicability of single-objective optimization method in traditional finite element model updating, a multi-objective updating method of Bayesian finite element model based on static and dynamic load data is proposed to improve the simulation ability of the model to the structural response of continuous beam bridge under composite load. The global dynamic characteristic parameters such as the first three frequencies and modes of the structure are obtained by dynamic load test, and the multi-objective non-dominated sorting genetic algorithm II (NSGA-II) is used to synchronously optimize the frequency residual and modal confidence criterion residual, ensuring the accurate calibration of the dynamic characteristics of the finite element model. Based on the deflection data of the key sections obtained from the static load test, a multi-level verification system was established to verify the local response of the modified model. The results show that the proposed multi-objective optimization method can effectively coordinate the conflicts between different objectives, and the response frequency error of the modified model is controlled between 0.70%-4.02%. The static load test shows that the model deflection prediction error range is 2.97%-9.27%, which is at an acceptable level. The research conclusions can provide theoretical and methodological support for health monitoring and performance evaluation of similar bridge structures.

Graphical abstract

关键词

动静载荷 / 贝叶斯理论 / 多目标优化 / 有限元模型 / 模型修正 / 动力特性

Key words

live and dead loads / Bayesian theory / multi-objective optimization / finite element model / model updating / dynamic characteristics

0 引言

土木工程结构在服役期间承受着多种类型载荷的复合作用，其动力响应特性与结构健康状态密切相关。通过对结构在单一或复合载荷作用下的响应特征进行系统分析，可以有效监测其力学性能变化。为量化预测结构行为，通常采用有限元方法建立数值分析模型^[1-2]，但由于边界条件简化、材料本构关系假设以及几何理想化等建模限制，初始模型难以准确反映实际结构的复杂力学行为^[3-5]。因此，需通过试验测定结构特性参数，对数值模型进行迭代修正，并利用有限元模型更新技术，使数值模型与实际结构的力学特性实现动态匹配，提高对结构行为预测的准确性。

近年来，基于贝叶斯理论的模型修正方法受到广泛关注^[6-7]。这类方法通过融合参数先验分布与实测数据，构建不确定参数的后验概率密度函数，实现参数估计^[8-9]。BI等^[10]建立了随机模型修正的理论框架，探讨参数化建模、敏感性分析及替代模型构建等关键技术，并验证其适用性。针对超高层建筑振动分析的难题，CAI等^[11]提出基于经验小波变换与能量算子融合的模态参数估计方法，有效提升了高频段频率识别与阻尼比估算的精度。LI等^[12]构建时域-频域统一的修正框架，将两类问题转化为随机动态系统，实现未知参数的高效反演。在桥梁工程领域，QIN等^[13]开发的自适应克里金模型采用混合采样策略，提高基于环境振动测试的模型修正精度。周柯^[14]针对某实际桥梁工程，通过实测模态数据驱动修正策略，有效解决模态错阶识别与参数强相关性等问题。尽管基于结构响应残差的目标函数已得到广泛应用，但动态模态参数作为全局响应特性，对局部损伤的敏感性较弱，这成为制约其工程应用的关键瓶颈之一。传统有限元模型修正多采用单一目标函数，主要围绕静态或动态响应残差构建。例如，REN等^[15]基于静态位移残差修正了连续箱梁桥模型；CISMASIU等^[16]融合频率残差与模态置信准则（MAC）的对数形式修正了人行桥模型；DENG等^[17]采用静应力与动态频率残差的加权和修正了三跨简支桥模型。然而，单一目标函数难以全面反映结构的多维响应特征。为此，学界发展了多目标优化策略，包括加权求和法及其衍生技术（如最优加权法^[18]、自适应加权法^[19]和理想点法^[20]等），以协同优化不同响应类型的残差，从而提升模型修正的整体精度。

结构模型修正属于一个多维多目标优化问题。待修正参数具有不同的物理意义，对应各异的响应类型，因此目标函数的构建是制约模型修正精度的关键因素^[21]。本文以连续梁桥为研究对象，构建“动载荷数据驱动有限元模型全局修正-静载荷数据支撑局部验证”的技术框架，提出基于NSGA‑II算法的多目标优化方法，并建立分级验证体系以保证修正结果的可靠性。该方法为同类桥梁结构的健康监测与性能评估提供了理论依据与方法支持，具有重要的工程应用价值。

1 理论研究

1.1 贝叶斯理论

贝叶斯模型^[6]更新方法利用测量模态特性矩阵 D （包括自然频率和模态形状）条件下的概率密度函数（PDF），量化模型参数的不确定性，其表达式为

P\left(\mathit{\theta }\left|\mathit{D}\right.\right)=\frac{P\left(\mathit{D}\left|\mathit{\theta }\right.\right)P\left(\mathit{\theta }\right)}{P\left(\mathit{D}\right)}，（1）

P\left(\mathit{D}\right)=\int P\left(\mathit{D}\left|\mathit{\theta }\right.\right)P\left(\mathit{\theta }\right)\mathrm{d}\mathit{\theta }=c。（2）

将式（2）代入式（1）得到后验PDF为

P\left(\mathit{\theta }\left|\mathit{D}\right.\right)=c^{-\mathrm{1}}P\left(\mathit{D}\left|\mathit{\theta }\right.\right)P\left(\mathit{\theta }\right)，（3）

式（1）～式（3）中：P\left(\mathit{D}\right)为证据值，保证P\left(\mathit{D}\left|\mathit{\theta }\right.\right)在所有参数空间内的积分和为1；\mathit{\theta }={\left[{\theta }_{\mathrm{1}},{\theta }_{\mathrm{2}},\cdots ,{\theta }_{N_m}\right]}^{\mathrm{T}}为模型不确定参数的向量；P( θ )为在没有 D 的情况下， θ 的先验PDF^[9]；P( θ / D )为后验概率密度函数；P\left(\mathit{D}\left|\mathit{\theta }\right.\right)为似然函数。其中

P\left(\mathit{\theta }\right)=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}\sigma \left[\Phi \left(\frac{b-\mu }{\sigma }\right)-\Phi \left(\frac{a-\mu }{\sigma }\right)\right]}\times

\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left[-\frac{{\left(\mathit{\theta }-\mu \right)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{\sigma }^{\mathrm{2}}}\right]\mathit{\theta }\in \left[a,b\right]，（4）

式中：\Phi \left(\cdot \right)为高斯分布的累积分布函数；\mu为高斯分布的均值；\sigma为高斯分布的标准差；a为 θ 的上限；b为 θ 的下限。

似然函数P\left(\mathit{D}\left|\mathit{\theta }\right.\right)表达式为

P\left(\mathit{D}\left|\mathit{\theta }\right.\right)={\left(\mathrm{2}\mathrm{\pi }\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}\left(\mathit{D}\right)\right)}^{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\times

\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-{\left[\mathit{D}-\mathit{D}\left(\mathit{\theta }\right)\right]}^{\mathrm{T}}\mathrm{C}\mathrm{o}{\mathrm{v}}^{-\mathrm{1}}\left(\mathit{D}\right)\left[\mathit{D}-\mathit{D}\left(\mathit{\theta }\right)\right]\right\}，（5）

式中：\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}\left(\mathit{D}\right)为协方差； D\left(\mathit{\theta }\right)为理论响应。

将式（4）和式（5）分别代入式（3）中，可得

P\left(\mathit{\theta }\left|\mathit{D}\right.\right)=c_{\mathrm{0}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{\kappa }^{\mathrm{2}}}\left(J\left(\mathit{\theta }\right)\right)\right)，（6）

J\left(\mathit{\theta }\right)={\displaystyle \sum _{a=\mathrm{1}}^r}\left[\left(\frac{{\widehat{f}}_a-f_a\left(\mathit{\theta }\right)}{{\widehat{f}}_a}\right)+\left(\mathrm{1}-{\left|{\widehat{\mathit{\Psi }}}_a^{\mathrm{T}}{\mathit{\Psi }}_a\left(\mathit{\theta }\right)\right|}^{\mathrm{2}}\right)\right]，（7）

式（6）、式（7）中：\kappa为量化预测误差的不确定度参数；c_{\mathrm{0}}为归一化常数；r为测量模数；f_a、{\widehat{f}}_a分别为实际测量和数值计算得到的固有频率；{\mathit{\Psi }}_a和{\widehat{\mathit{\Psi }}}_{\mathit{a}}分别为实际测量和数值模拟的模态形状。

在实际应用中，建模误差与测量噪声的影响往往较为显著，易导致较大的后验不确定性。随着结构模型复杂程度的增加，模型更新问题可能进一步表现为参数不可识别性，此时后验PDF难以用解析形式表达。马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）算法为此类问题提供了一种有效的解决途径。MCMC算法通过对目标分布进行随机抽样，能够有效估计不可识别及可识别问题中不确定参数的后验概率密度函数^[22]。

Metropolis-Hastings（MH）算法是一种广泛应用的马尔可夫链蒙特卡洛方法^[23]。在从后验概率密度函数P\left(\mathit{\theta }\left|\mathit{D}\right.\right)中抽取样本时，该算法首先构造一个建议分布q\left(\mathit{\theta }\left|{\mathit{\theta }}_{t-\mathrm{1}}\right.\right)，并基于前一次迭代得到的参数值{\mathit{\theta }}_{t-\mathrm{1}}生成候选样本{\mathit{\theta }}^{\mathrm{*}}。随后，算法依据接受概率{\alpha }_{\mathrm{M}\mathrm{H}}决定是否接受该候选样本，其表达式为

{\alpha }_{\mathrm{M}\mathrm{H}}\left({\mathit{\theta }}^{\mathrm{*}},{\mathit{\theta }}_{t-\mathrm{1}}\right)=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{\mathrm{1},\frac{P\left({\mathit{\theta }}^{\mathrm{*}}\left|\mathit{D}\right.\right)q\left({\mathit{\theta }}_{t-\mathrm{1}}\left|{\mathit{\theta }}^{\mathrm{*}}\right.\right)}{P\left({\mathit{\theta }}_{t-\mathrm{1}}\left|\mathit{D}\right.\right)q\left({\mathit{\theta }}^{\mathrm{*}}\left|{\mathit{\theta }}_{t-\mathrm{1}}\right.\right)}\right\}。（8）

1.2 灵敏度理论

通过灵敏度指标^[24]确定参数对结构响应的灵敏度，其表达式为

S_D=\frac{\mathrm{1}}{n}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{1}}}\frac{\left[y\left({\mathit{\theta }}_{i+\mathrm{1}}\right)-y\left({\mathit{\theta }}_i\right)\right]/y_{\mathrm{0}}}{\left({\mathit{\theta }}_{i+\mathrm{1}}-{\mathit{\theta }}_i\right)/{\theta }_{\mathrm{0}}}}_{}{}_{}{}_{}{}_{}n>\mathrm{2}，（9）

式中：y\left({\mathit{\theta }}_i\right)为参数发生第i次变化时模型的结构响应；y₀为模型在初始参数时的结构响应；n为测试次数；{\theta }_{\mathrm{0}}为初始参数。

2 有限元模型更新方法的运行流程

基于动静载荷数据的桥梁贝叶斯有限元模型多目标更新方法的流程见图1，具体步骤如下。

步骤1 根据桥梁结构信息确定待更新参数及其取值范围，建立初始有限元模型。通过输入参数样本，计算得到相应的结构固有频率理论值。

步骤2 基于参数样本、理论频率响应以及动态试验实测频率数据，构建贝叶斯更新的目标函数（即后验概率密度函数）。

步骤3 设定参数的均匀先验分布，建立似然函数，并采用Metropolis-Hastings算法对后验分布进行抽样。

步骤4 利用收敛性判据评估马尔可夫链的收敛状况。若未达到收敛标准，则返回步骤1增加样本量重新迭代；若收敛，则进入步骤5。

步骤5 基于后验样本，采用NSGA-Ⅱ多目标遗传算法获取Pareto最优解集，并结合静载试验实测挠度数据对最优解对应的模型进行局部验证。通过误差分析评价模型精度，最终输出更新后的高精度有限元模型。

3 载荷试验

以某四跨连续梁桥为研究对象，该桥全长164 m，按双向6车道设计。主梁采用钢混组合梁结构，桥面宽度为23.5 m，梁高为2.2 m。该桥的详细尺寸与关键构造见图2。由于该四跨连续梁桥结构对称，为清晰表达，图2（a）仅给出其中两跨的立面图。

3.1 静态试验

基于连续梁桥控制截面弯矩的分析结果见图3，确定第一跨0.4L处（截面Ⅰ）和第二跨0.6L处（截面Ⅱ）为弯矩最大位置。由于四跨连续梁桥为对称结构，本次静载试验主要针对第一跨和第二跨开展。试验过程中，对上述两个关键截面分别进行了中载和偏载两种工况的加载测试。依据静力载荷效率计算原则确定等效静载荷参数，并采用分级加载方式实施试验^[25]。加载车辆统一采用8辆标准加载车，每辆总重350 kN（轴重分配为70 kN+140 kN+140 kN），按中载和偏载工况要求进行布置。两种工况下车辆的标准化布置见图4。试验得到中载工况下截面Ⅰ和截面Ⅱ的实测挠度值分别为5.51 mm和4.41 mm；偏载工况下截面Ⅰ和截面Ⅱ的实测挠度值分别为6.42 mm和5.73 mm。

3.2 动态试验

采用环境激振法对连续梁桥进行动力测试，在主梁每跨布设3个竖向加速度传感器，测试结果见图5。采样频率设定为50 Hz，持续采集30 min。根据采样定理，将数据降采样至10 Hz，并采用截止频率为4 Hz（对应10 Hz/2.56）的低通滤波器以消除模态混叠。在此基础上，利用SSI-DATA方法对加速度响应进行分析，通过密度聚类对稳定图数据进行聚类处理，最终提取有效的频率与振型模态参数^[26]，结果见图6和图7。

4 有限元模型

利用Midas Civil软件建立该桥主梁的初始有限元模型（图8），材料参数见表1。建模时，主梁采用梁单元模拟，以准确反映其力学行为。模型坐标系定义为：X轴正向为行车方向，Y轴正向为桥梁横向，Z轴正向为主梁竖向（沿梁高方向）。通过有限元离散化处理，将模型共划分为127个节点和116个单元，以保证对结构力学响应的有效模拟。

5 贝叶斯有限元更新

5.1 参数确定

有限元模型的力学性能受材料参数、截面特性及边界条件等多种因素影响。相关研究显示，在桥梁工程中，结构材料的弹性模量和容重是最常用的修正参数^[17]。因此，选取主梁材料的弹性模量和容重作为关键修正参数，并将其取值范围设定为±20%（见表2），以确保模型修正的准确性与可靠性。

将各修正参数输入Midas Civil有限元模型，采用灵敏度计算公式对模型待更新参数进行敏感性分析，以量化各参数对结构响应的影响程度，结果见图9。E₁、E₂分别为Q345和混凝土C50的弹性模量；D₁、D₂则分别为上述材料的容重。

由图9可知，E₁和D₁对结构前三阶频率的影响较为显著，而E₂、D₂的影响相对较小。具体而言，E₁对响应频率的平均灵敏度为E₂的2.96倍，D₁的平均灵敏度则为D₂的3.35倍。由此可见，在参数敏感性排序中，E₁和D₁占据主导地位，该量化结果可为后续模型修正中更新参数的确定提供依据。

5.2 更新结果

在贝叶斯模型更新中，核心参数主要包括总迭代次数、预烧期和步长。为提高模型更新的精度，增加总迭代次数和预烧期占比（预烧期占总迭代次数的比例），并通过设置步长来控制接受率。具体参数设置为：总迭代次数为20 000、预烧期占比为0.5、步长为0.000 1^[23]。

各参数的后验分布直方图见图10。其中，图10（a）和图10（b）概率密度明显集中，而图10（c）和图10（d）较为分散，说明参数E₁和D₁对连续梁桥的响应影响较E₂和D₂显著。该分布特征与图9中的灵敏度分析结论一致，进一步验证了参数影响的差异性。

在贝叶斯模型更新中，马尔可夫链蒙特卡洛算法通过运行多个独立的链，比较不同链之间的方差与链内方差来评估收敛性。本文采用R-hat统计量量化多个链之间的一致性，结果见图11。可知，各参数的R-hat值均趋近于1，表明多个链的差异很小，链内与链间方差基本一致，即马尔可夫链已收敛至目标分布。

传统的模型更新方法通过加权不同类型的响应残差函数，并使用启发式算法迭代优化该函数来构建单一目标函数。但由于权重因子受多种因素影响，更新结果不确定性大。因此，可引入多目标优化方法以克服上述局限。多目标优化与单目标优化的本质区别在于其目标之间相互制约，不存在唯一的全局最优解，而是一组帕累托最优解。在该解集中，任意一个解至少在某一目标上优于其他解，且所有解共同构成目标空间中的帕累托前沿^[27]。两个目标函数（频率残差与振型残差）对应的帕累托边界见图12，其中曲率最大的点（图12中红点）为协调最优解^[28]。

DEB等^[29]在NSGA算法的基础上提出改进非支配排序遗传算法II（NSGA‑II），该算法具有快速非支配排序、精英保留策略以及不依赖目标函数参数化形式等优点，已在工程优化领域得到广泛应用^[30]。选用NSGA‑II算法求解有限元模型更新的多目标优化问题，结果见表3。

根据表3中更新后的参数对有限元模型进行修正，修正后的模型频率结果见表4。更新前模型频率的平均误差为8.93%，更新后降至2.25%；同时，更新后MAC的最大误差为2.05%。这表明，修正后的模型与实际桥梁的动力特性更为接近。

5.3 更新后模型验证

为验证更新后模型的准确性，基于静载试验中连续梁桥的实测挠度进行对比验证。根据加载车辆的分布（图4），将车辆的前、中、后轴简化为集中力，施加于有限元模型主梁相应位置（以中载工况为例，简化示意见图13）。

计算得到加载截面的挠度，并与现场实测挠度进行对比，结果见表5。可知，更新后模型在简化集中力作用下的挠度预测值与实测值的平均误差为6.37%，各工况误差均低于10%，处于可接受范围内。

6 结论

（1）通过更新参数对结构前三阶频率的灵敏度分析可知，弹性模量的灵敏度指标普遍高于容重，其中钢材弹性模量对响应频率的平均敏感性比混凝土弹性模量高约16.7%。在贝叶斯模型更新中，后验参数直方图显示，E₁和D₁的分布更集中；同时R‑hat统计量接近1，表明MCMC生成的多个独立链已收敛至目标分布，验证了参数更新结果的可靠性。

（2）相较于传统单目标优化方法，多目标优化充分考虑了不同目标之间的相互约束关系。采用NSGA-II算法获得了表征权衡关系的帕累托最优解集。更新后的有限元模型响应频率误差范围缩小至0.70%～4.02%，MAC的最大误差仅为2.05%。

（3）为验证更新后模型的准确性，基于静载试验中连续梁桥的实测挠度数据进行了对比分析。更新后模型在施加简化集中载荷后的挠度计算值与实测值相比，误差范围为2.97%～9.27%。表明修正后的模型能较好反映桥梁的实际力学响应，验证了本文方法在连续梁桥有限元模型更新中的可行性与有效性。

参考文献

[1] 包龙生, 刘欣然, 冯欣然, 等. 大跨径桥梁临时转体墩系统力学性能模拟研究[J]. 沈阳建筑大学学报(自然科学版), 2024, 40(4): 690-696.

[2] BAO Longsheng, LIU Xinran, FENG Xinran, et al. Simulation research on mechanical properties of temporary swivel pier system of long-span bridge[J]. Journal of Shenyang Jianzhu University (Natural Science), 2024, 40(4): 690-696.

[3] SIMOEN E, DE ROECK G, LOMBAERT G. Dealing with uncertainty in model updating for damage assessment: a review[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2015, 56: 123-149.

[4] 许峰, 张增辉, 许伟, 等. 集成装配式盒子建筑连接节点抗震性能研究[J]. 沈阳建筑大学学报(自然科学版), 2024, 40(6): 1012-1020.

[5] XU Feng, ZHANG Zenghui, XU Wei, et al. Research on seismic performance of connections in integrated assembled box buildings[J]. Journal of Shenyang Jianzhu University Natural Science, 2024, 40(6): 1012-1020.

[6] 张彦玲, 李璇, 杨燕龙, 等. 柔性人行悬索桥竖向自振特性及人致振动试验研究[J]. 辽宁工程技术大学学报(自然科学版), 2025, 44(4): 471-480.

[7] ZHANG Yanling, LI Xuan, YANG Yanlong, et al. Experimental research on vertical natural vibration and human-induced vibration of flexible suspension footbridge[J]. Journal of Liaoning Technical University (Natural Science), 2025, 44(4): 471-480.

[8] 刘耀东, 李文涛, 王克兵. 断索对钢-混组合梁斜拉桥力学性能的影响[J]. 辽宁工程技术大学学报(自然科学版), 2024, 43(2): 187-194.

[9] LIU Yaodong, LI Wentao, WANG Kebing. Influence of cable breaking on mechanical properties of steel-concrete composite girder cable-stayed bridge[J]. Journal of Liaoning Technical University (Natural Science), 2024, 43(2): 187-194.

[10] KITAHARA M, KITAHARA T. Sequential and adaptive probabilistic integration for Bayesian model updating[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2025, 223: 111825.

[11] WANG T R, BI S F, ZHAO Y L, et al. Data-driven stochastic model updating and damage detection with deep generative model[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2025, 232: 112743.

[12] BECK J L, KATAFYGIOTIS L S. Updating models and their uncertainties. I: Bayesian statistical framework[J]. Journal of Engineering Mechanics, 1998, 124(4): 455-461.

[13] LI Q, NI P H, DU X L, et al. Bayesian model updating with variational inference and Gaussian copula model[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2025, 438: 117842.

[14] BI S F, BEER M, COGAN S, et al. Stochastic model updating with uncertainty quantification: an overview and tutorial[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2023, 204: 110784.

[15] CAI K, HUANG M F, WANG C H, et al. A combined approach to estimate modal parameters for updating the finite element model of a high-rise building[J]. Structural Control and Health Monitoring, 2024, 2024: 3650202.

[16] LI D, ZHOU J J, HE X H. A unified approach for time-domain and frequency-domain finite element model updating[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2025, 227: 112361.

[17] QIN S Q, HAN S, LIAO S P, et al. Finite element model updating of a bridge using ambient vibration measurements with an improved adaptive Kriging model[J]. Engineering Optimization, 2025, 57(7): 1778-1799.

[18] 周柯. 基于MCMC算法的大跨单索面斜拉桥动力模型修正研究[D]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学, 2022: 1-85.

[19] REN W X, FANG S E, DENG M Y. Response surface-based finite-element-model updating using structural static responses[J]. Journal of Engineering Mechanics, 2011, 137(4): 248-257.

[20] CISMAŞIU C, NARCISO A C, AMARANTE DOS SANTOS F P. Experimental dynamic characterization and finite-element updating of a footbridge structure[J]. Journal of Performance of Constructed Facilities, 2015, 29(4): 04014116.

[21] DENG L, CAI C S. Bridge model updating using response surface method and genetic algorithm[J]. Journal of Bridge Engineering, 2010, 15(5): 553-564.

[22] JIMÉNEZ-ALONSO J F, SUZANA E, DUVNJAK I, et al. Evolutionary game theory-based finite element model updating of a moveable cable-stayed footbridge[J]. Journal of Civil Structural Health Monitoring, 2025, 15(2): 355-370.

[23] TEYMOURI D, SEDEHI O, SONG M M, et al. Hierarchical Bayesian finite element model updating: optimal weighting of modal residuals with application to FINO3 offshore platform[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2024, 211: 111150.

[24] JIANG X Z, YE H X, YU B H, et al. Research on optimization of LCC-S compensation network parameters for rotary ultrasonic machining under varying loads[J]. Measurement, 2025, 256: 118425.

[25] LI H, DING H. Reduction-based model updating of a scaled offshore platform structure[J]. Journal of Engineering Mechanics, 2010, 136(2): 131-142.

[26] LAM H F, YANG J H, AU S K. Bayesian model updating of a coupled-slab system using field test data utilizing an enhanced Markov chain Monte Carlo simulation algorithm[J]. Engineering Structures, 2015, 102: 144-155.

[27] MAO J X, WANG H, LI J. Bayesian finite element model updating of a long-span suspension bridge utilizing hybrid Monte Carlo simulation and Kriging predictor[J]. KSCE Journal of Civil Engineering, 2020, 24(2): 569-579.

[28] QIN S Q, YUAN Y G, HAN S, et al. A novel multiobjective function for finite-element model updating of a long-span cable-stayed bridge using in situ static and dynamic measurements[J]. Journal of Bridge Engineering, 2023, 28: 04022131.

[29] 中华人民共和国交通运输部. 公路桥梁承载能力检测评定规程: JTG/T J21—2011 [S]. 北京: 人民交通出版社, 2011: 33-37.

[30] BAO L S, HAN X, YU L, et al. Automatic identification of dense modals in bridges using a reconstructed Hankel matrix subspace[J]. Structures, 2025, 79: 109564.

[31] SUN H H, CHEN W Z, CAI S Y, et al. Mechanical state assessment of in-service cable-stayed bridge using a two-phase model updating technology and periodic field measurements[J]. Journal of Bridge Engineering, 2020, 25(5): 04020015.

[32] DEB K, GUPTA S. Understanding knee points in bicriteria problems and their implications as preferred solution principles[J]. Engineering Optimization, 2011, 43(11): 1175-1204.

[33] DEB K, PRATAP A, AGARWAL S, et al. A fast and elitist multiobjective genetic algorithm: NSGA-II[C]//IEEE Transactions on Evolutionary Computation. April 30, 2002, IEEE, 2002: 182-197.

[34] ZHANG L, GE H J, MA Y, et al. Multi-objective optimization design of a Notch filter based on improved NSGA-II for conducted emissions[J]. IEEE Access, 2020, 8: 83213-83223.

基金资助

国家重点研发计划项目(2018YFC0809600)

沈阳市科技计划项目(23-407-3-19)

内蒙古自治区自然科学基金项目(2025QN05118)