基于混合策略的苦鱼优化算法

Bitterling Fish Optimization Algorithm Based on Hybrid Strategy

摘要

针对基本苦鱼优化（BFO）算法存在收敛速度较慢和易于陷入局部最优等问题，提出基于混合策略的苦鱼优化（HSBFO）算法。首先，利用Tent-Logistic-Cosine混沌映射初始化提高种群质量；其次，引入双面镜反射理论处理越界个体，解决种群分布不均匀问题；最后，利用高斯柯西差分策略提升算法跳出局部最优解的能力。将HSBFO算法与粒子群优化（PSO）算法、鲸鱼优化算法（WOA）、乌燕鸥优化算法（STOA）、正弦余弦算法（SCA）和基本BFO算法对9个基准测试函数进行寻优实验，实验结果表明HSBFO算法相较于其他4种优化算法寻优精度更好。将HSBFO算法应用于悬臂梁设计问题，实验结果表明HSBFO算法在工程优化方面性能优于基本BFO算法，验证HSBFO算法在处理实际工程问题的可行性。

Abstract

Aiming at the problems of slow convergence speed and easy to fall into local optimum in the basic bitterling fish optimization (BFO) algorithm, a bitterling fish optimization based on hybrid strategy (HSBFO) algorithm is proposed. Firstly, the Tent-Logistic-Cosine chaotic mapping is used to initialize the population quality. Secondly, the double-sided mirror reflection theory is introduced to deal with the cross-border individuals and solve the problem of uneven population distribution. Finally, the Gaussian-Cauchy difference strategy is utilized to enhance the algorithm’s ability to escape from local optima. The HSBFO algorithm is compared with particle swarm optimization (PSO) algorithm, whale optimization algorithm (WOA), seagull optimization algorithm (STOA), sine cosine algorithm (SCA) and basic BFO algorithm to optimize nine benchmark test functions. The experimental results show that the HSBFO algorithm has better optimization accuracy than the other four optimization algorithms. The HSBFO algorithm is applied to the cantilever beam design problem, and the experimental results show that the performance of the HSBFO algorithm is better than the basic BFO algorithm in engineering optimization, which verifies the feasibility of the HSBFO algorithm in dealing with practical engineering problems.

Graphical abstract

关键词

混合策略 / 苦鱼优化算法 / Tent-Logistic-Cosine混沌映射 / 双面镜反射理论 / 高斯柯西差分策略 / 悬臂梁设计问题

Key words

hybrid strategy / bitterling fish optimization algorithm / Tent-Logistic-Cosine chaotic mapping / double-sided mirror reflection theory / Gaussian-Cauchy differential strategy / cantilever beam design problem

当前，金融市场、经济民生、高新科技等领域中涉及复杂优化问题越来越多，需要建立数学模型进行优化分析，从而为其发展提供有效支撑。然而面对约束条件多、变量维度高等实际问题，传统优化算法难以在正常时间内计算出合理结果，甚至无法得出可行解。针对上述问题，研究人员受到自然界生物觅食、群居、竞争等行为启发，通过归纳抽象其中蕴含规律设计各种新型智能优化算法。文献[1]在传统鱼鹰优化算法的基础上引入分种群螺旋振荡和动态因子调整莱维飞行策略，验证其在实例约束优化问题的有效性。文献[2]借助改进Sine混沌映射初始化种群，引入线性权重和自适应加速因子提高算法的寻优精度。文献[3]提出黄金正弦策略实现个体动态搜索，提高算法的遍历性。文献[4]引入双策略随机游走机制解决蚁狮优化算法全局搜索能力较差的问题。文献[5]融入透镜成像学习和外抛交叉随机混合变异策略，帮助算法捕获全局最优解。

苦鱼优化（Bitterling Fish Optimization, BFO）算法^[6]是2024年研究人员模拟苦鱼繁殖机制而提出的一种新型智能优化算法。相较于传统优化算法，BFO算法具有原理简单、易于维护、搜索能力相对较强等优势。然而，BFO算法在种群初始化、位置更新策略等方面存在缺陷，导致收敛速度慢和易于陷入局部最优解。针对上述问题，提出一种基于混合策略的苦鱼优化（Bitterling Fish Optimization Based on Hybrid Strategy, HSBFO）算法。首先，采用Tent-Logistic-Cosine混沌映射（Tent-Logistic-Cosine Chaotic Mapping）初始化种群提高其质量；其次，采用双面镜反射理论（Double-Sided Mirror Reflection Theory）处理越界个体，解决种群分布不均匀问题；最后，引入高斯柯西差分策略（Gaussian-Cauchy Differential Strategy）提高算法跳出局部最优解的可能性。仿真实验结果表明，HSBFO算法在全局搜索和局部开发、收敛速度和跳出局部最优解等方面相较于其他智能优化算法均有所提升。

目前，智能优化算法已经广泛运用于解决各种工程问题。例如：文献[7]使用多种智能优化算法求解两种典型工程问题，并且分析其改进方向和应用前景；文献[8]提出混合策略改进鲸鱼优化算法并验证其在三杆桁架设计和压力弹簧设计问题的有效性；文献[9]提出融合多策略改进灰狼优化算法求解某300 MW级火电机组的汽轮机转子应力监测问题。将本文提出的改进算法应用于求解悬臂梁设计问题（Cantilever Beam Design Problem），实验结果表明相较于基本BFO算法，HSBFO算法具有更高的寻优精度和更快的收敛速度，能够有效求解实际工程问题。

1 基本BFO算法

通常鱼类繁殖期间雄性和雌性鱼类相互靠近，然后将精子和卵子产在水中，因此幼鱼会暴露在各种外部危险中，很容易成为其他动物的猎物。然而，苦鱼以牡蛎为食，通过在牡蛎的壳中产卵减少幼鱼被捕食的风险。基本BFO算法流程包括捕获牡蛎、放弃牡蛎、繁殖苦鱼和捕食苦鱼4个阶段。

1.1 捕获牡蛎阶段

首先苦鱼个体在搜索空间中寻找并捕获牡蛎，将牡蛎的壳作为最优解，如式（1）~式（4）所示：

x_i\left(t+\mathrm{1}\right)=\left\{\begin{array}{c}J(t)\bullet x_i\left(t\right)+\left(x_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}}\left(t\right)-J(t)\bullet x_i\left(t\right)\right)\cdot \delta ,r\le P;\\ J(t)\bullet x_i\left(t\right)+\left(x_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}\left(t\right)-J(t)\bullet x_i\left(t\right)\right)\cdot \delta ,r>P.\end{array}\right.（1）

J\left(t+\mathrm{1}\right)=(J\left(\mathrm{1}\right)-\frac{J\left(\mathrm{1}\right)\bullet t}{T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}})\bullet U\left(t+\mathrm{1}\right)（2）

U\left(t+\mathrm{1}\right)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(t\bullet \mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-\mathrm{1}}(U\left(t\right)))（3）

P=\left|\mathrm{1}-\frac{t}{\sqrt[]{\mathrm{1}+t^{\mathrm{2}}}}\right|+\frac{\alpha }{t^a}（4）

式中：x_i\left(t\right)和x_i\left(t+\mathrm{1}\right)分别表示第t次和第（t+1）次迭代中第i个苦鱼个体位置；x_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}}\left(t\right)表示第t次迭代中对苦鱼种群适应度排序，从靠前的1/3苦鱼种群适应度中随机选择苦鱼个体位置；x_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}\left(t\right)表示第t次迭代中最优苦鱼个体位置；J\left(\mathrm{1}\right)、J\left(t+\mathrm{1}\right)表示第1次、第\left(t+\mathrm{1}\right)次迭代中苦鱼朝牡蛎的移动步长；U\left(t\right)、U\left(t+\mathrm{1}\right)表示第t次、第\left(t+\mathrm{1}\right)次迭代中随机生成序列；\delta 、r、\alpha \mathrm{、}a表示[0,1]范围内的随机数；t表示当前迭代次数；a=\mathrm{0.5}；T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}表示最大迭代次数；P表示朝着随机选择苦鱼个体或最优苦鱼个体移动的概率，该概率随着迭代次数增加而减小。

1.2 放弃牡蛎阶段

此阶段，其他苦鱼个体会朝着该牡蛎移动，同时防止其他苦鱼个体接近该牡蛎，如式（5）~式（6）所示：

x_i\left(t+\mathrm{1}\right)=\left\{\begin{array}{c}J(t)\bullet x_i\left(t\right)+\left(x_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}\left(t\right)-J\left(t\right)\cdot M(t)\right)\cdot \delta ,r\le \mathrm{0.5};\\ B_{\mathrm{L}\mathrm{B}}+\left(B_{\mathrm{U}\mathrm{B}}-B_{\mathrm{L}\mathrm{B}}\right)\cdot \delta ,r>\mathrm{0.5}.\end{array}\right.（5）

M\left(t\right)=\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{x}_i\left(t\right)（6）

式中：M\left(t\right)表示第t次迭代中所有苦鱼个体的平均位置；B_{\mathrm{U}\mathrm{B}}和B_{\mathrm{L}\mathrm{B}}分别表示搜索空间的上界（Upper Bound）和下界（Lower Bound）。

1.3 繁殖苦鱼阶段

雄性苦鱼寻找到牡蛎后，会吸引雌性苦鱼在牡蛎的壳中产卵，然后使卵受精，即在现有苦鱼种群周围繁殖新的幼鱼个体，如式（7）所示：

x_i\left(t+\mathrm{1}\right)=x_i\left(t\right)+R\cdot \beta（7）

式中：R表示幼鱼在壳内的分布半径，即[0,2]范围内的随机数；\beta表示[0,1]范围内的随机数。

1.4 捕食苦鱼阶段

牡蛎的壳中可以养多条苦鱼个体，其中适应度较小的苦鱼个体会被其他动物捕食。苦鱼个体被捕食的概率如式（8）所示：

d\left(x_i\left(t\right)\right)=\frac{f\left(x_i\left(t\right)\right)}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}f\left(x_i\left(t\right)\right)}（8）

式中：d\left(x_i\left(t\right)\right)表示第t次迭代中苦鱼个体被捕食的概率；f\left(x_i\left(t\right)\right)表示第t次迭代中苦鱼个体的适应度。

2 改进算法

2.1 Tent-Logistic-Cosine混沌映射

混沌系统主要用于描述非线性系统产生的非周期性、随机性的复杂混沌现象，主要包括低维混沌和高维混沌。相较而言，高维混沌系统结构复杂且计算复杂度高。低维混度系统结构简单且易于实现，但生成混沌序列呈现非均匀分布。为提高混沌系统效果，将多种低维混沌结合形成新的混沌系统初始化种群，提高其多样性。引入Tent-Logistic-Cosine混沌映射初始化苦鱼种群，如式（9）所示：

x_i\left(t+\mathrm{1}\right)=\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{l}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{\pi }\bullet (\mathrm{2}\bullet r\bullet x_i\left(t\right)+\mathrm{4}\bullet \left(\mathrm{1}-r\right)\bullet x_i\left(t\right)\bullet \right.\\ \left(\mathrm{1}-x_i\left(t\right)\right)-\mathrm{0.5}\left.)\right),x_i\left(t\right)\le \mathrm{0.5};\end{array}\\ \begin{array}{l}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{\pi }\bullet (\mathrm{2}\bullet r\bullet \left(\mathrm{1}-x_i\left(t\right)\right)+\mathrm{4}\bullet \left(\mathrm{1}-r\right)\bullet x_i\left(t\right)\bullet \right.\\ \left(\mathrm{1}-x_i\left(t\right)\right)-\mathrm{0.5}\left.)\right),x_i\left(t\right)>\mathrm{0.5}.\end{array}\end{array}\right.（9）

式中，r表示协调系数，通常取0.7。

2.2 双面镜反射理论

基本BFO算法迭代过程中可能出现苦鱼个体跳出搜索空间的情形，通常将越界个体限制在搜索边界，使得越界个体聚集在边界周围，导致种群分布不均匀，影响算法寻优精度。采用双面镜反射理论^[10-11]处理越界个体，将搜索空间上下界当成两面镜子，光束在双面镜空间内多次反射后，由于中间介质能量损耗会在双面镜空间某处消耗殆尽，如式（10）所示：

（10）

式中：\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}()表示取余操作；x_{i,j}\left(t\right)和x_{i,j}\left(t+\mathrm{1}\right)分别表示第t次和第\left(t+\mathrm{1}\right)次迭代中第i个苦鱼个体第j个维度的值。

采用双面镜反射理论限制越界个体能在一定程度上能够保持种群多样性，避免越界个体聚集于边界处产生分布不均匀问题。

2.3 高斯柯西差分策略

基本BFO算法在全局搜索和局部开发阶段更新位置后会进行贪婪选择，保留适应度更优的苦鱼个体。上述行为使得苦鱼个体不断向最优个体靠近，若该个体是局部最优解，算法会陷入局部最优解。为提高算法跳出局部最优解的可能性，结合差分策略、高斯和柯西分布对苦鱼个体进行变异，从而产生新的苦鱼个体，如式（11）所示：

x_i\left(t+\mathrm{1}\right)=x_i\left(t\right)+\left(x_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}\left(t\right)-x_{r_{\mathrm{1}}}\left(t\right)\right)\bullet F_{\mathrm{g}}+\left(x_{r_{\mathrm{2}}}\left(t\right)-x_{r_{\mathrm{3}}}\left(t\right)\right)\bullet F_{\mathrm{c}}（11）

式中：r_{\mathrm{1}}、r_{\mathrm{2}}、r_{\mathrm{3}}表示互不相同且不为i的3个随机整数；F_{\mathrm{g}}表示服从标准高斯分布随机变量；F_{\mathrm{c}}表示服从标准柯西分布随机变量。

通过高斯柯西差分策略得到变异个体可能差于原有个体，因此采用贪婪选择原则比较新旧个体的适应度，若变异后个体优于原有个体则进行替换，如式（12）所示：

（12）

式中：x_i^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}\left(t\right)表示第t次迭代中第i个变异苦鱼个体的位置；f\left(x_i^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}\left(t\right)\right)表示第t次迭代中第i个变异苦鱼个体的适应度。

2.4 HSBFO算法

首先，采用Tent-Logistic-Cosine混沌映射初始化提高种群质量；其次，采用双面镜反射理论处理越界个体，解决种群分布不均匀的问题；最后，对种群个体采取高斯柯西差分策略进行变异扰动，提升算法跳出局部最优解的可能性。HSBFO算法具体步骤如下。

步骤1：初始化参数，设置算法参数，包括种群数量、搜索空间维度、最大迭代次数等；

步骤2：采用Tent-Logistic-Cosine混沌映射初始化种群；

步骤3：计算苦鱼种群的适应度并对其排序，找出最优适应度的个体及其位置；

步骤4：在捕获牡蛎阶段，根据式（1）~式（4）对苦鱼个体的位置进行更新；

步骤5：在放弃牡蛎阶段，根据式（5）~式（6）对苦鱼个体的位置进行更新；

步骤6：在繁殖苦鱼阶段，根据式（7）对苦鱼个体的位置进行更新；

步骤7：在捕食苦鱼阶段，根据式（8）丢弃适应度较小的苦鱼个体；

步骤8：利用双面镜反射理论式（10）处理越界的苦鱼个体；

步骤9：利用高斯柯西差分策略式（11）生成变异苦鱼个体，若适应度优于原有个体，则利用式（12）进行个体位置更新；

步骤10：判断是否达到迭代循环结束条件，若达到则输出并记录最优结果，否则跳转到步骤3。

3 实验仿真与结果分析

3.1 实验环境

实验环境为Windows 10的64位操作系统，CPU为AMD Ryzen 74800H，主频为2.30 GHz，配备16 GB RAM，所有算法代码均使用MATLAB R2023a软件实现。

3.2 实验参数设置

选取近年来较为新颖的智能优化算法作为对比算法进行实验，分别为粒子群优化 （Particle Swarm Optimization, PSO）算法^[12]、鲸鱼优化算法（Whale Optimization Algorithm, WOA）^[13]、乌燕鸥优化算法（Seagull Optimization Algorithm, STOA）^[14]、正弦余弦算法（Sine Cosine Algorithm, SCA）^[15]和基本BFO算法。将这5种算法与HSBFO算法进行比较，所有算法均独立运行50次，种群规模为30，最大迭代次数设置为300。

3.3 测试函数

为验证HSBFO算法的寻优性能，对9个基准测试函数进行仿真实验，其中：F₁~F₄（Zakharov、Rosenbrock、Schaffer_F6、levy）表示单峰测试函数，用于衡量算法寻优效果；F₅~F₉（Hybrid Function 1、Hybrid Function 2、Composition Function 1、Composition Function 2、Composition Function 3）表示混合函数，具有单个全局最优值和多个局部最优值，用于评估算法的收敛效果。基准测试函数维度为30，范围均为[-100，100]。

3.4 与其他智能算法的对比分析

将HSBFO算法与其他智能算法在前6个基准测试函数上评估寻优性能，平均值反映算法的平均性能，标准差反映算法的稳定性。采用上述两种指标衡量算法的寻优精度，平均值、标准差实验结果分别如表1和表2所示。

从表1和表2可以看出，对于F_{\mathrm{1}}~F_{\mathrm{6}}而言，HSBFO算法的平均值均优于其他算法，除F_{\mathrm{3}}、F_{\mathrm{4}}、F_{\mathrm{6}}外，HSBFO算法的标准差均优于其他算法。不论单峰函数还是多峰函数，HSBFO算法的寻优精度提升效果明显，稳定性具有比较优势。

PSO、WOA、STOA、SCA、BFO和HSBFO等6种算法在6种基准测试函数的收敛曲线如图1所示，横坐标表示算法的迭代次数，纵坐标表示算法的适应度。从基准测试函数F_{\mathrm{1}}~F_{\mathrm{6}}的结果来看，HSBFO算法性能优势较为明显，表明HSBFO算法能够充分搜索空间，并具有优异的全局寻优和局部勘探能力。尤其在F_{\mathrm{2}}~F_{\mathrm{5}}的表现上，HSBFO算法的收敛曲线较为平滑且能快速收敛到最优解，而其他算法的收敛曲线表现出一定程度的振荡特点，表明HSBFO算法的寻优效果超过PSO、WOA、STOA、SCA等算法，具有良好的寻优能力。

3.5 与其他改进策略的BFO算法对比分析

为验证所提3种改进策略的有效性，选择最后3个基准测试函数进行实验，将HSBFO算法与采用Tent-Logistic-Cosine混沌映射初始化的BFO算法（BFO1）、采用双面镜反射理论的BFO算法（BFO2）和引入高斯柯西差分策略的BFO算法（BFO3）进行比较，不同改进策略BFO算法的平均值、标准差实验结果如表3所示，收敛曲线如图2所示。

从表3和图2可以看出，对于F_{\mathrm{7}}，HSBFO算法表现优异，其平均值均优于采用单一策略的苦鱼优化算法，但是标准差略弱于BFO2算法，强于BFO1算法和BFO3算法，这表明单一改进策略提升效果有限，难以保证在不同基准测试函数的寻优效果表现优异。因此，采用HSBFO算法，充分整合不同策略的优势，从而在整体上展现出更为优异的寻优结果。对于F_{\mathrm{8}}和F_{\mathrm{9}}，HSBFO算法的平均值和标准差均优于采用单一策略的苦鱼优化算法，这归因于和其他智能优化算法相比，HSBFO算法种群多样性更为丰富，能够充分搜索空间，有效避免迭代后期苦鱼种群陷入局部最优解的可能性。综上所述，HSBFO算法能够有效提高基本BFO算法在不同维度空间的寻优能力。

3.6 HSBFO算法时间复杂度分析

假设苦鱼种群规模为N、搜索空间维度为D、最大迭代次数为T，则基本BFO算法的时间复杂度为O（NDT）。对于HSBFO算法而言，引入Tent-Logistic-Cosine混沌映射初始化种群的时间复杂度为O（ND），则引入Tent-Logistic-Cosine混沌序列初始化种群的HSBFO算法时间复杂度为O（NDT+ND）=O（NDT）。假设引入双面镜反射理论所需要时间是t₁，因此引入双面镜反射理论的HSBFO算法时间复杂度O（NDT+t₁）=O（NDT）。假设高斯柯西差分策略，更新苦鱼最优个体所需时间是t₂，生成随机变量所需的时间分别为t₃和t₄，因此引入高斯柯西差分算子的HSBFO算法时间复杂度为O（NDT+t₂+t₃+t₄）=O（NDT）。因此，HSBFO算法与基本BFO算法时间复杂度相同。

4 HSBFO算法的工程化应用

工程优化问题是将实际问题转化为数学模型，在满足各种约束条件下利用智能优化算法求出可行解。为验证HSBFO算法在实际工程应用的可行性，选择悬臂梁设计问题进行优化。

4.1 悬臂梁设计问题

悬臂梁设计问题^[16]属于典型非线性规划问题，主要用于方形截面悬臂梁的重量优化，具体描述悬臂块长度约束条件下使悬臂总重量达到最小值。该优化问题包括1个适应度函数、1个不等式约束和5个决策变量，其中x_{\mathrm{1}}、x_{\mathrm{2}}、x_{\mathrm{3}}、x_{\mathrm{4}}、x_{\mathrm{5}}分别表示不同悬臂块的长度，具体公式如式（13）~式（15）所示：

x=\left[x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}},x_{\mathrm{5}}\right]（13）

f\left(x\right)=\mathrm{0.062}\mathrm{24}(x_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{2}}+x_{\mathrm{3}}+x_{\mathrm{4}}+x_{\mathrm{5}})（14）

\frac{\mathrm{61}}{x_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}+\frac{\mathrm{37}}{x_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}}+\frac{\mathrm{19}}{x_{\mathrm{3}}^{\mathrm{3}}}+\frac{\mathrm{7}}{x_{\mathrm{4}}^{\mathrm{3}}}+\frac{\mathrm{1}}{x_{\mathrm{5}}^{\mathrm{3}}}-\mathrm{1}\le \mathrm{0}（15）

式中：\mathrm{0.01}\le x_{\mathrm{1}}\le \mathrm{100}；\mathrm{0.01}\le x_{\mathrm{2}}\le \mathrm{100}；\mathrm{0.01}\le x_{\mathrm{3}}\le \mathrm{100};\mathrm{0.01}\le x_{\mathrm{4}}\le \mathrm{100}；\mathrm{0.01}\le x_{\mathrm{5}}\le \mathrm{100}。

4.2 实验结果与分析

使用基本BFO算法和HSBFO算法分别对悬臂梁设计问题进行优化，平均值、标准差实验结果如表4所示，收敛曲线如图3所示。

从表4可以看出，HSBFO算法在平均值和标准差均优于基本BFO算法，说明HSBFO算法在解决悬臂梁设计问题时获得较好寻优结果。从图3可以看出，两种算法随着迭代次数不断增加，适应度呈现减小的趋势，最终得出满足约束条件的制造悬臂梁费用。相较而言，HSBFO算法收敛速度明显优于基本BFO算法。

5 结束语

首先，采用Tent-Logistic-Cosine混沌映射初始化种群以提高种群质量；其次，采用双面镜反射理论处理越界个体，解决种群分布不均匀的问题；最后，对种群个体采取高斯柯西差分策略进行变异扰动，提升算法跳出局部最优解的可能性。在9个基准测试函数上，与PSO、WOA、STOA、SCA和基本BFO算法进行对比。实验结果表明，本文提出的改进算法在精度和速度方面更为优秀。将该算法应用于求解悬臂梁设计问题，寻优结果优于基本BFO算法，验证该算法在求解实际工程问题的可行性，下一步将继续探索改进算法在高维复杂优化问题的有效性。