面向相干环境的均匀圆阵稳健自适应波束形成方法

Robust Adaptive Beamforming Method for Uniform Circular Arrays in Coherent Environments

摘要

针对多径相干环境导致的均匀圆形阵列（UCA）下自适应波束形成算法失效问题，提出一种高阵列增益的均匀圆形阵列稳健自适应波束形成算法。首先，通过模态空间变换将UCA转换为虚拟均匀线阵（VULA），随之采用平滑的方法达到UCA去相干的目的；其次，通过最小功率投影估计干扰导向矢量，期望信号（SOI）的导向矢量则通过最大输出功率的凸优化方法获得；再次，利用子空间特征向量正交的方法估计干扰信号和噪声的功率；最后，根据估计的参数重构干扰加噪声协方差矩阵（INCM）并计算权向量。理论分析和仿真实验表明：所提算法在不同信噪比（SNR）下的良好输出信干噪比（SINR）证明了其有效性，不同误差条件下的良好输出结果证明了所提算法的鲁棒性。

Abstract

To address the performance degradation of adaptive beamforming algorithms for uniform circular arrays (UCA) in multipath coherent environments, a robust adaptive beamforming algorithm with high array gain is proposed. Firstly, the UCA is transformed into a virtual uniform linear array (VULA) through modal domain transformation, followed by a spatial smoothing technique to achieve decorrelation. Secondly, the interference steering vector is estimated using the minimum power projection method, while the steering vector of the signal of interest (SOI) is obtained via a convex optimization approach that maximizes the output power. Then, the powers of the interference and noise are estimated using the orthogonality of subspace eigenvectors. Finally, the interference-plus-noise covariance matrix (INCM) is reconstructed based on the estimated parameters, and the beamforming weight vector is computed accordingly. Theoretical analysis and simulation results demonstrate that the proposed algorithm achieves favorable output SINR under various SNR conditions, verifying its effectiveness. Furthermore, its robust performance under different model mismatch scenarios confirms the algorithm’s robustness.

Graphical abstract

关键词

相干信号 / 模式空间变换 / 稳健自适应波束形成 / 干扰加噪声协方差矩阵 / 均匀圆阵

Key words

coherent signals / mode space transformation / robust adaptive beamforming / interference-plus-noise covariance matrix / uniform circular arrays (UCA)

自适应波束形成是阵列信号处理领域的一个重要分支，它通过自适应的更新权重来实现增强期望信号（Signal of Interest, SOI）并同时抑制干扰信号的功能。该技术广泛应用于雷达、声纳、地震学、射电天文学、无线通信、医学成像和生物医学工程^[1-3]。然而，由于通信环境的传播是复杂的，通信传播的质量很容易被影响。当信号处于多径环境下时，会产生相干干扰信号，相干信号会导致期望信号抵消，从而造成传统的波束形成器功能失效。

为了解决信号抵消的问题，学者们提出了一系列的解相干算法。蒋林峰等^[4]提出一种面向均匀圆阵（Uniform Circular Arrays, UCA）的MODE-PS-QMUSIC方法，该方法在模式空间对各极化分量实施极化平滑来重构Toeplitz协方差矩阵来解除信源相干。刘长远^[5]在运动平台上对偶数均匀圆阵做多次空间平移，并利用中心对称性构造虚拟阵列，叠加基准阵与虚拟阵的多组协方差矩阵以恢复满秩，从而实现去相干。

圆阵的高增益自适应波束形成方法可以分为以下几类：对角加载（Diagonal Loading, DL）技术，基于特征空间（Eigenspace-Based, ESB）的技术，基于不确定性集的技术和协方差矩阵重构技术。DL是最广泛使用的稳健自适应波束形成（Robust Adaptive Beamforming, RAB）技术之一^[6]，该方法通过对样本协方差矩阵施加一个标度单位矩阵来增加鲁棒性。但在实际应用中，难以选择合适的DL因子。若DL因子选择不当，DL波束形成器的输出性能将受到较大影响。基于特征空间的方法^[7]是另一类RAB技术。该方法通过在样本协方差矩阵的信号和干扰子空间上的投影来修改标定导向矢量，这可以减轻噪声子空间干扰引起的不利影响。然而，由于低信噪比情况下信号子空间与噪声子空间难以分辨，从而导致ESB波束形成器在此条件下的输出性能急剧下降。基于最坏情况性能最优化的算法^[8]也是一类RAB算法，该方法通过对期望信号的导向矢量设置球形或椭圆形不确定性约束来估计期望信号的导向矢量。这类方法也是通过处理样本协方差矩阵来计算波束形成器的权向量，所以样本协方差矩阵中的SOI成分会导致波束形成器的输出性能在高信噪比时急剧下降。近年来，一种新型的RAB算法被提出，该方法通过重构INC矩阵来消除期望信号的影响。Gu等^[9]利用稀疏的方法重构干扰加噪声协方差矩阵。通过两步式压缩感知估计出干扰功率，重构干扰加噪声协方差矩阵后再做MVDR/Capon权重求解，从而规避对角加载选参难、以及样本协方差矩阵中含期望信号而导致的自消问题。文献[10]提出通过稳健Capon波束形成原理和构建二次凸优化问题来估计波束形成器的权向量，该方法可以避免复杂的积分操作来重构干扰加噪声协方差矩阵，具有较低的计算复杂度。

为了解决多径相干环境导致的均匀圆形阵列下自适应波束形成算法失效问题，本文提出了一种新的方法，将模态空间变换（Mode Space Transformation, MST）解相干和稳健干扰加噪声协方差矩阵（Interference-plus-Noise Covariance Matrix, INCM）重构融合，实现了在UCA的接收阵列下抗相干干扰的同时形成稳健自适应波束。理论和仿真结果表明，该方法在高输入信噪比（Signal-to-Noise Ratio, SNR）时可以克服期望信号自消，展现出良好的输出信干噪比（Signal-to-Interference-plus-Noise Ratio, SINR）性能。

1 信号模型和理论基础

1.1 信号模型

在本文中，考虑远场环境下窄带信号的接收数据模型。考虑一个由M个全向传感器组成的UCA，半径为r。阵列接收到来自K个方向的信源入射信号（M>K），信号之间是相干的，入射的角度为{\theta }_i，入射信号为s_i(t)，\mathrm{其中}i=\mathrm{1,2},\cdots ,K。入射方位角为\theta，俯仰角为\phi，则圆阵的接收信号为

\mathit{x}(t)={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}\left[{\mathit{a}}_{\mathrm{U}\mathrm{C}\mathrm{A}}({\theta }_k,{\phi }_k)s_k(t)\right]+\mathit{n}(t)=

{\mathit{A}}_{\mathrm{U}\mathrm{C}\mathrm{A}}s(t)+\mathit{n}(t)（1）

式中：{\mathit{A}}_{\mathrm{U}\mathrm{C}\mathrm{A}}表示均匀圆阵的导向矢量；s(t)表示入射信号；\mathit{n}(t)为高斯白噪声。{\mathit{A}}_{\mathrm{U}\mathrm{C}\mathrm{A}}=\left[{\mathit{a}}_{UCA}({\theta }_{\mathrm{1}},{\phi }_{\mathrm{1}}),\right.{\mathit{a}}_{\mathrm{U}\mathrm{C}\mathrm{A}}({\theta }_{\mathrm{2}},{\phi }_{\mathrm{2}}),\cdots \left.,{\mathit{a}}_{UCA}({\theta }_K,{\phi }_K)\right]\in {\mathbb{C}}^{M\times K}；s(t)=\left[s_{\mathrm{1}}(t),\right.s_{\mathrm{2}}(t),\cdots ,\left.s_K(t)\right]\in {\mathbb{C}}^{K\times \mathrm{1}}。

1.2 最小方差无畸变响应

波束形成器在k时刻的表达式可以表示为

\mathit{y}(k)={\mathit{w}}^{\mathrm{H}}\mathit{x}(k)（2）

式中，\mathit{w}是波束形成器的权向量。本文依据最大信干噪比准则获取权向量，输出信干噪比定义如下：

R_{\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{N}}=\frac{{\sigma }_d^{\mathrm{2}}{\left|{\mathit{w}}^{\mathrm{H}}{\mathit{a}}_{\mathrm{1}}\right|}^{\mathrm{2}}}{{\mathit{w}}^{\mathrm{H}}{\mathit{R}}_{i+n}\mathit{w}}（3）

式中：{\sigma }_d^{\mathrm{2}}是期望信号的功率；{\mathit{R}}_{i+n}是理论的干扰加噪声协方差矩阵；{\mathit{a}}_{\mathrm{1}}是理想期望信号的导向矢量。最大化式（3）带来最小方差无失真响应(MVDR)问题，即：

\underset{\mathit{w}}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{\mathit{w}}^{\mathrm{H}}{\mathit{R}}_{i+n}\mathit{w},\mathrm{s}.\mathrm{t}.{\mathit{w}}^{\mathrm{H}}{\mathit{a}}_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}（4）

通过拉格朗日乘子法计算得到理想的波束形成器权向量为

{\mathit{w}}_{\mathrm{O}\mathrm{P}\mathrm{T}}=\frac{{\mathit{R}}_{i+n}^{-\mathrm{1}}{\mathit{a}}_{\mathrm{1}}}{{\mathit{a}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{H}}{\mathit{R}}_{i+n}^{-\mathrm{1}}{\mathit{a}}_{\mathrm{1}}}（5）

然而，理论的{\mathit{R}}_{i+n}在实际中是不可获得的，故在实际应用中通常用样本协方差矩阵来替代：

\widehat{\mathit{R}}=\frac{\mathrm{1}}{Q}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^Q}\mathit{x}(k){\mathit{x}}^H(k)（6）

式中，Q是采样快拍数。除此之外，实际的SOI导向矢量可以根据已知的阵列流型估计为{\overline{\mathit{a}}}_{\mathrm{0}}。那么，式（5）中的理想权向量表达式可被写为

{\mathit{w}}_{\mathrm{S}\mathrm{M}\mathrm{I}}=\frac{{\widehat{\mathit{R}}}^{-\mathrm{1}}{\overline{\mathit{a}}}_{\mathrm{0}}}{{\overline{\mathit{a}}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{H}}{\widehat{\mathit{R}}}^{-\mathrm{1}}{\overline{\mathit{a}}}_{\mathrm{0}}}（7）

2 所提算法

本节提出了一种在UCA阵列模型下实现解相干的新型 RAB 方法。其基本思想是首先将UCA映射为虚拟的均匀线阵（Virtual Uniform Linear Array, VULA），以便应用退相干算法。在恢复全秩矩阵后，构建了一个广义旁瓣相消（Generalized Sidelobe Canceller, GSC）框架，将导向矢量的估计转化为一个二次约束二次规划问题，以找到最优干扰导向矢量，同时利用截断平均估计噪声功率。随后，利用不同导向矢量之间的正交性估算干扰功率。最后，建立一个最大化输出功率的优化问题，以估计期望信号导向矢量。

2.1 模式空间变换

阵列接收远场入射波，为表示方便，这里只考虑二维方位角方向（水平面）的波达方向(Direction of Arrival, DOA)估计，即仅关注水平面上的角度\theta。假设波长为\lambda，则式（1）中的{\mathit{a}}_{\mathrm{U}\mathrm{C}\mathrm{A}}(\theta ,\phi )被具体定义为

{\mathit{a}}_{\mathrm{U}\mathrm{C}\mathrm{A}}(\theta )={\left[{\mathrm{e}}^{j{k}_{\mathrm{0}}rcos(\theta -{\varphi }_{\mathrm{1}})},{\mathrm{e}}^{j{k}_{\mathrm{0}}rcos(\theta -{\varphi }_{\mathrm{2}})},\cdots ,{\mathrm{e}}^{j{k}_{\mathrm{0}}rcos(\theta -{\varphi }_M)}\right]}^{\mathrm{T}}（8）

式中，k_{\mathrm{0}}=\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }为波数。由于均匀圆阵的阵列流型矩阵{\mathit{a}}_{\mathrm{U}\mathrm{C}\mathrm{A}}(\theta )不符合范德蒙德结构，这导致很多适用于均匀线阵的估计方法不能直接应用于均匀圆阵。依据文献[11]，采用模式空间变换方法转换阵列流型来解决这个问题：

{\mathit{x}}_v(t)={\mathit{T}}^{\mathrm{H}}\mathit{x}(t)（9）

式中，变换矩阵\mathit{T}为

\mathit{T}=\frac{{\mathit{J}}^{-\mathrm{1}}\mathit{F}}{M}（10）

\mathit{F}={\left[{\mathit{W}}_{-k},{\mathit{W}}_{-k+\mathrm{1}},\cdots ,{\mathit{W}}_k\right]}^{\mathrm{H}},k=-h,\cdots ,\mathrm{0},\cdots ,h（11）

\mathit{J}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left\{\frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{j}}^k{J}_k(\beta )}\right\}（12）

式中：{\mathit{W}}_k=[\mathrm{1},{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\mathrm{2}\mathrm{\pi }k/M},\cdots ,{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\mathrm{2}\mathrm{\pi }k(M-\mathrm{1})/M}{]}^{\mathrm{H}}；J_k(\beta )为k阶第一类贝塞尔函数；h\approx \mathrm{2}\mathrm{\pi }r/\lambda为最大模式数。

当阵元数满足M>\left(\mathrm{2}h+\mathrm{1}\right)时，投影变换后的阵列流型可以近似为

{\mathit{A}}_v=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}h{\theta }_{\mathrm{1}}}& \cdots & {\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}h{\theta }_N}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathrm{e}}^{\mathrm{j}h{\theta }_{\mathrm{1}}}& \cdots & {\mathrm{e}}^{\mathrm{j}h{\theta }_N}\end{array}\right]（13）

式中，{\mathit{A}}_{\mathit{v}}为映射后的导向矢量。可以看到，经过模式空间变换，均匀圆阵可以变换为具有范德蒙德结构的虚拟均匀线阵，其特性为平移不变性，从而可以使用解相干算法。

2.2 前后向空间平滑算法

采用前后向空间平滑技术来将虚拟的均匀线阵分成L个相重叠的子阵列，每个子阵有P个单元，记U=\mathrm{2}N+\mathrm{1}，则P=U-L+\mathrm{1}。定义第l个前向子阵的输出为

{\mathit{x}}_{vl}^{\mathrm{f}}(t)=[{\mathit{x}}_{vl}(t),{\mathit{x}}_{vl+\mathrm{1}}(t),\cdots ,{\mathit{x}}_{vl+N-\mathrm{1}}{(t)]}^{\mathrm{T}}=

{\mathit{A}}_v{\mathit{D}}^{l-\mathrm{1}}{\mathit{s}}_T(t)+{\mathit{n}}_{Tl}(t)（14）

式中：{\mathit{A}}_v是U\times K维的方向矩阵,其列为P维的导向矢量{\mathit{a}}_{\mathrm{U}}({\theta }_i)，其中i=\mathrm{1,2},\cdots ,K；下标T、l分别为经过模式空间变换、第l个子阵列；\mathit{D}为对角线矩阵，有：

\mathit{D}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left\{{\mathrm{e}}^{j\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }d}{\lambda }sin{\theta }_{\mathrm{1}}},{\mathrm{e}}^{j\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }d}{\lambda }sin{\theta }_{\mathrm{2}}},\cdots ,{\mathrm{e}}^{j\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }d}{\lambda }sin{\theta }_K}\right\}（15）

所以，第l个前向子阵的协方差矩阵为

{\mathit{R}}_{vl}^{\mathrm{f}}=E\left\{{\mathit{x}}_{vl}^f(t){\mathit{x}}_{vl}^f{(t)}^H\right\}=

{\mathit{A}}_v{\mathit{D}}^{l-\mathrm{1}}{\mathit{R}}_{\mathrm{S}\mathrm{T}}({\mathit{D}}^{l-\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{H}}{\mathit{A}}_v^{\mathrm{H}}+{\sigma }_n^{\mathrm{2}}\mathit{I}（16）

式中，{\mathit{R}}_{\mathrm{S}\mathrm{T}}为模式空间变换后的信号协方差矩阵。定义前向空间平滑协方差矩阵为

{\mathit{R}}_{\mathrm{f}}=\frac{\mathrm{1}}{L}{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^L}{\mathit{R}}_{vl}^{\mathrm{f}}（17）

在此基础上，考察直线阵的倒叙阵。同理可得后向空间平滑的协方差矩阵：

{\mathit{R}}_{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{1}}{L}{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^L}{\mathit{R}}_{vl}^{\mathrm{b}}（18）

式中，{\mathit{R}}_{\mathrm{b}}就是{\mathit{R}}_{\mathrm{f}}的共轭倒序阵列，它们之间的关系就是共轭倒序不变性。因此，可以定义前后向平滑协方差矩阵为

\tilde{\mathit{R}}=\frac{({\mathit{R}}_{\mathrm{f}}+{\mathit{R}}_{\mathrm{b}})}{\mathrm{2}}（19）

式中，\tilde{\mathit{R}}为去除相干信号影响后的协方差矩阵。

2.3 导向矢量估计和协方差矩阵重构

为了重构干扰加噪声协方差矩阵，需要估计所有方向的导向矢量、干扰功率和噪声功率。首先采用Capon功率谱来估计干扰信号的DOA。Capon空间谱被描述为

P(\theta )=\frac{\mathrm{1}}{{\mathit{a}}_{\mathit{v}}^{\mathbf{H}}(\theta ){\tilde{\mathit{R}}}^{-\mathrm{1}}{\mathit{a}}_v(\theta )}（20）

提供谱峰搜索得到的峰值中，可以确定干扰信号的DOA。在获取DOA之后，可以重建干扰信号的导向矢量，记为{\overline{\mathit{a}}}_i(i=\mathrm{2,3},\cdots ,K)，然而，当存在阵列误差时，干扰信号的导向矢量可能会出现误差。为应对这个问题，采用投影约束的形式实现对干扰导向矢量的稳健修正，以有效应对导向矢量失配的问题。为了对导向矢量实施投影，首先构造广义旁瓣相消（Generalized Sidelobe Canceller, GSC）的阻塞矩阵\mathit{B}，满足：

{\mathit{B}}^{\mathrm{H}}{\mathit{a}}_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}（21）

在GSC框架下，稳健导向矢量的估计可以转换为一个最小能量投影优化的问题，即寻找优化后的干扰导向矢量\mathit{a}，满足以下约束的最小化问题：

\underset{\mathit{a}}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{‖{\mathit{B}}^{\mathrm{H}}\mathit{a}‖}^{\mathrm{2}},\mathrm{s}.\mathrm{t}.{‖\mathit{a}-{\overline{\mathit{a}}}_i‖}^{\mathrm{2}}\le \epsilon（22）

式中：{\mathit{B}}^{\mathrm{H}}\mathit{a}是优化目标，代表导向矢量\mathit{a}在阻塞空间的投影能量，最小化它意味着导向矢量\mathit{a}尽可能位于{\overline{\mathit{a}}}_i的信号子空间附近；{‖\mathit{a}-{\overline{\mathit{a}}}_i‖}^{\mathrm{2}}\le \epsilon为稳健性约束，限定了修正导向矢量与原始估计矢量之间的最大偏差，确保稳健性。

然后，建立问题的Lagrange函数：

\mathrm{ℒ}(\mathit{a},\mu )={‖{\mathit{B}}^H\mathit{a}‖}^{\mathrm{2}}+\mu ({‖\mathit{a}-{\overline{\mathit{a}}}_i‖}^{\mathrm{2}}-\epsilon )（23）

式中，\mu \ge \mathrm{0}为\mathrm{ℒ}乘子。对{\mathit{a}}^{\mathrm{H}}求导并令其为0：

{\nabla }_{{\mathit{a}}^{\mathrm{H}}}\mathrm{ℒ}(\mathit{a},\mu )=\mathit{B}({\mathit{B}}^{\mathrm{H}}\mathit{a})+\mu (\mathit{a}-{\overline{\mathit{a}}}_i)=\mathrm{0}（24）

因此，最优解\mathit{a}为

\mathit{a}=\mu (\mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathrm{H}}{+\mu \mathit{I})}^{-\mathrm{1}}{\overline{\mathit{a}}}_i（25）

将式（25）最优解代入约束条件{‖\mathit{a}-{\overline{\mathit{a}}}_i‖}^{\mathrm{2}}=\epsilon中，得到：

{‖(\mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathrm{H}}{+\mu \mathit{I})}^{-\mathrm{1}}{\overline{\mathit{a}}}_i-\frac{{\overline{\mathit{a}}}_i}{\mu }‖}^{\mathrm{2}}=\frac{\epsilon }{{\mu }^{\mathrm{2}}}（26）

通过数值方法解得最优的乘子\mu，记为{\mu }^{\mathrm{*}}。则干扰导向矢量最终修正解为

{\widehat{\mathit{a}}}_i={\mu }^{\mathrm{*}}(\mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathrm{H}}+{\mu }^{\mathrm{*}}{\mathit{I})}^{-\mathrm{1}}{\overline{\mathit{a}}}_i（27）

式（19）可以被书写为由特征值和特征向量表示或信号功率表示的形式：

\tilde{\mathit{R}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^U}{\alpha }_i{\mathit{c}}_i{\mathit{c}}_i^{\mathrm{H}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\sigma }_i^{\mathrm{2}}{\mathit{a}}_i{\mathit{a}}_i^{\mathrm{H}}+{\sigma }_n^{\mathrm{2}}\mathit{I}（28）

式中：{\mathit{c}}_i为特征向量；{\alpha }_i为其对应的特征值。由式（28）可以看出信号功率与协方差矩阵特征分解的特征值存在一定的对应关系，对该式左乘以{\mathit{c}}_j^{\mathrm{H}}并右乘以{\mathit{c}}_j，可以得到：

\left\{\begin{array}{l}{\mathit{c}}_j^{\mathrm{H}}\tilde{\mathit{R}}{\mathit{c}}_j={\mathit{c}}_j^{\mathrm{H}}({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^M}{\alpha }_i{\mathit{c}}_i{\mathit{c}}_i^{\mathrm{H}}){\mathit{c}}_j;\\ {\alpha }_i={\mathit{c}}_j^{\mathrm{H}}({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\sigma }_i^{\mathrm{2}}{\mathit{a}}_i{\mathit{a}}_i^{\mathrm{H}}+{\sigma }_n^{\mathrm{2}}\mathit{I}){\mathit{c}}_j;\\ {\alpha }_j={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\sigma }_i^{\mathrm{2}}{\left|{\mathit{c}}_j^{\mathrm{H}}{\mathit{a}}_i\right|}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_n^{\mathrm{2}}.\end{array}\right.（29）

由式（29）可得，当i和j不等时，{\alpha }_i={\sigma }_n^{\mathrm{2}},N\le i\le U，前N个特征值对应于信号功率，后\left(U-N\right)个特征值对应噪声功率，因此将矩阵特征值分解出的小特征值表示噪声功率。在实际应用中，为了获得更高的精度，对噪声功率进行截断平均处理：

{\widehat{\sigma }}_n^{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{U-N-\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{j=N+\mathrm{2}}^{U-\mathrm{1}}}{\alpha }_j（30）

根据式（28）和式（30）的推导结果，当剔除\tilde{\mathit{R}}中的噪声成分之后，可以得到期望加干扰协方差矩阵为

{\mathit{R}}_{d+i}=\tilde{\mathit{R}}-{\widehat{\sigma }}_n^{\mathrm{2}}\mathit{I}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\sigma }_i^{\mathrm{2}}{\mathit{a}}_i{\mathit{a}}_i^{\mathrm{H}}（31）

对公式（31）左乘以{\mathit{a}}_j^{\mathrm{H}}并且右乘以{\mathit{a}}_j，得到：

{\mathit{a}}_j^{\mathrm{H}}{\mathit{R}}_{d+i}{\mathit{a}}_j={\mathit{a}}_j^{\mathrm{H}}({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\sigma }_i^{\mathrm{2}}{\mathit{a}}_i{\mathit{a}}_i^{\mathrm{H}}){\mathit{a}}_j（32）

考虑到信号从不同方向上入射到接收阵列上，任意两个不同入射角度的导向矢量是正交的({\mathit{a}}_j^{\mathrm{H}}{\mathit{a}}_i\approx \mathrm{0},i\ne j)。这个特性可以通过简单的仿真来证明，假设接收阵列是由M=\mathrm{20}个全向传感器组成的均匀线阵，阵元间距为\lambda /\mathrm{2}，将其中一个DOA变量{\mathit{a}}_j固定在0°，记U_{ji}=\left|{\mathit{a}}_j^{\mathrm{H}}{\mathit{a}}_i\right|/M，该公式反映{\mathit{a}}_j和{\mathit{a}}_i两向量之间是否具有正交性。仿真结果如图1所示，可以看到当DOA大小相距越来越远时，U_{ji}的值也越来越接近0，这可以说明两向量是正交或接近正交的。

因此在这种情况下，可以去除在式（32）中除{\sigma }_i^{\mathrm{2}}{\mathit{a}}_i^{\mathrm{H}}{\mathit{a}}_i{\mathit{a}}_i^{\mathrm{H}}{\mathit{a}}_i(i=j)之外的其余项，那么可以得到：

{\mathit{a}}_i^{\mathrm{H}}{\mathit{R}}_{d+i}{\mathit{a}}_i={\sigma }_i^{\mathrm{2}}{\left|{\mathit{a}}_i^{\mathrm{H}}{\mathit{a}}_i\right|}^{\mathrm{2}}（33）

由式（33）可以得到第i个干扰功率：

{\sigma }_i^{\mathrm{2}}=\frac{{\mathit{a}}_i^{\mathrm{H}}{\mathit{R}}_{d+i}{\mathit{a}}_i}{{\left|{\mathit{a}}_i\right|}^{\mathrm{4}}}（34）

用式（27）估计的干扰导向矢量{\widehat{\mathit{a}}}_i和期望加干扰协方差矩阵({\mathit{R}}_{d+i}=\tilde{\mathit{R}}-{\widehat{\sigma }}_n^{\mathrm{2}}\mathit{I})来代替式（34），可以估计出第i个干扰功率为

{\widehat{\sigma }}_i^{\mathrm{2}}=\frac{{\widehat{\mathit{a}}}_i^{\mathrm{H}}(\tilde{\mathit{R}}-{\widehat{\sigma }}_n^{\mathrm{2}}\mathit{I}){\widehat{\mathit{a}}}_i}{{\left|{\widehat{\mathit{a}}}_i\right|}^{\mathrm{4}}},i=\mathrm{2,3},\cdots ,K（35）

那么，干扰加噪声协方差矩阵{\mathit{R}}_{i+n}可以被重构为

{\widehat{\mathit{R}}}_{i+n}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{2}}^N}{\widehat{\sigma }}_i^{\mathrm{2}}{\widehat{a}}_i{\widehat{a}}_i^{\mathrm{H}}+{\widehat{\sigma }}_n^{\mathrm{2}}I（36）

2.4 SOI 导向矢量估计和权向量的计算

在本文中，遵循最大化输出功率策略来估计期望信号的导向矢量：

\mathit{P}=\frac{\mathrm{1}}{({\mathit{a}}_v({\theta }_{\mathrm{1}}{)+\mathit{e})}^{\mathrm{H}}{\tilde{\mathit{R}}}^{-\mathrm{1}}({\mathit{a}}_v({\theta }_{\mathrm{1}})+\mathit{e})}（37）

式中：\mathit{e}是误差矢量，表示真实导向矢量与估计导向矢量之间的误差；{\mathit{a}}_v({\theta }_{\mathrm{1}})为SOI导向矢量的估计值。优化目标为最大化输出功率，即最小化上式分母。据此，可以采用文献[12]的思想，设置约束条件来防止估计过程收敛至干扰导向矢量。优化问题可以被建模为

\begin{array}{l}\underset{\mathit{e}}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}({\mathit{a}}_v({\theta }_{\mathrm{1}}{)+\mathit{e})}^{\mathrm{H}}{\tilde{\mathit{R}}}^{-\mathrm{1}}({\mathit{a}}_v({\theta }_{\mathrm{1}})+\mathit{e}),\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.({\mathit{a}}_v({\theta }_{\mathrm{1}}{)+\mathit{e})}^{\mathrm{H}}{\widehat{\mathit{R}}}_{i+n}({\mathit{a}}_v({\theta }_{\mathrm{1}})+\mathit{e})\le {\mathit{a}}_v({\theta }_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{H}}{\widehat{\mathit{R}}}_{i+n}{\mathit{a}}_v({\theta }_{\mathrm{1}}).\end{array}（38）

误差矢量\mathit{e}由两部分组成，分别是{\mathit{e}}_{\Vert }和{\mathit{e}}_{\perp }。{\mathit{e}}_{\perp }和{\mathit{a}}_v({\theta }_{\mathrm{1}})正交，{\mathit{e}}_{\Vert }和{\mathit{a}}_v({\theta }_{\mathrm{1}})平行^[9]。因为平行向量{\mathit{e}}_{\Vert }对期望信号导向矢量的估计不产生影响。那么优化问题可以被简化地建模为

\begin{array}{c}\underset{{\mathit{e}}_{\perp }}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}({\mathit{a}}_v({\theta }_{\mathrm{1}})+{\mathit{e}}_{\perp }{)}^{\mathrm{H}}{\tilde{\mathit{R}}}^{-\mathrm{1}}({\mathit{a}}_v({\theta }_{\mathrm{1}})+{\mathit{e}}_{\perp });\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.({\mathit{a}}_v({\theta }_{\mathrm{1}})+{\mathit{e}}_{\perp }{)}^{\mathrm{H}}{\widehat{\mathit{R}}}_{i+n}({\mathit{a}}_v({\theta }_{\mathrm{1}})+{\mathit{e}}_{\perp })\le \\ {\mathit{a}}_v^{\mathrm{H}}({\theta }_{\mathrm{1}}){\widehat{\mathit{R}}}_{i+n}{\mathit{a}}_v({\theta }_{\mathrm{1}}){\mathit{a}}_v^{\mathrm{H}}({\theta }_{\mathrm{1}}){\mathit{e}}_{\perp }=\mathrm{0}.\end{array}（39）

上述二次约束二次规划问题可以借助凸优化工具来解决。接着，就可以得到SOI导向矢量的估计值为

{\widehat{\mathit{a}}}_{\mathrm{1}}={\mathit{a}}_v({\theta }_{\mathrm{1}})+{\mathit{e}}_{\perp }（40）

最终，根据估计的干扰加噪声协方差矩阵{\widehat{\mathit{R}}}_{i+n}和SOI导向矢量的估计值{\widehat{\mathit{a}}}_{\mathrm{1}}计算权向量，所提出的自适应波束形成器可以被表示为

{\mathit{w}}_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}}=\frac{{\widehat{\mathit{R}}}_{i+n}^{-\mathrm{1}}{\widehat{\mathit{a}}}_{\mathrm{1}}}{{\widehat{\mathit{a}}}_{\mathrm{1}}^{\mathbf{H}}{\widehat{\mathit{R}}}_{i+n}^{-\mathrm{1}}{\widehat{\mathit{a}}}_{\mathrm{1}}}（41）

3 实验仿真与分析

在本节中，仿真实验考虑一个由M=\mathrm{20}个全向传感器组成的UCA，半径为\mathrm{3}\lambda /\mathrm{\pi }。假设3个入射信号相干，为表示方便，考虑信源与阵列共面的情况，即俯仰角为90°。设置期望信号的方位角为5°，干扰信号的方位角的来向为25°和45°，入射信号之间相关。信号与干扰频率设定为1.6 GHz，采样频率设定为3.2 GHz。其中每个传感器的干扰与噪声的比值被固定为30 dB，加性噪声被建模为一个均值为0方差为1的复高斯随机过程。当仿真输出SINR与输入SNR的关系曲线时，设置快拍数为30；当仿真输出SINR与快拍数的关系曲线时，设置输入SNR为30 dB。仿真使用的快拍数为10~100，以步长为10变化，仿真结果基于100次独立的蒙特卡洛实验取平均值得到。所提出的波束形成器与最小方差无失真响应MVDR、对角加载的波束形成器DL^[6]、基于特征空间的波束形成器ESB^[7]、基于最坏情况性能最优化的波束形成器WORST-CASE^[8]、基于重构的波束形成器RECONSTRUCTION^[9]和非相干情况下的波束形成器NOCOHERENT^[10]进行了仿真对比。在仿真中，对于文献[9]中的波束形成器，期望信号的角度扇区设为\Theta \in \left[{\theta }_{\mathrm{1}}-\mathrm{5}°,{\theta }_{\mathrm{1}}+\mathrm{5}°\right]，那么\Theta的补集扇区\overline{\Theta }设为\overline{\Theta }\in \left[\left.-\mathrm{180}°,{\theta }_{\mathrm{1}}-\mathrm{5}°\right)\right.\bigcup \left.\left({\theta }_{\mathrm{1}}+\mathrm{5}°,\mathrm{180}°\right.\right]。对于基于对角加载的波束形成器^[6]，设置对角加载系数为10。对于最坏情况性能最优化理论的波束形成器^[8]，参数为\mathrm{0.3}\epsilon。对于所提的波束形成器，边界被设置为\epsilon =\sqrt[]{\mathrm{0.1}}。利用MATLAB的CVX工具箱来解决二次约束二次规划问题。

3.1 DOA出现随机误差

在这个仿真情况下，考虑了DOA方向误差对波束形成器性能的影响。假设入射信号的到达方向随机误差均匀分布于[-5°,5°]，当仿真输出SINR随输入SNR变化时，固定快拍数为30，由图2可以看到，所提算法在低SNR下性能不如传统算法，这是因为随着输入SNR的增大，进而期望信号成分比重变大，对采样协方差矩阵的影响也就增大，这会产生信号相消的情况从而输出性能产生下降。而所提算法回避了期望信号成分的影响，在信噪比较高时展现出良好的输出SINR性能。并且所提算法的输出SINR性能优于文献[9]的重构算法，避免了复杂的积分操作。与非相干情况下的自适应波束形成器的性能进行对比，所提算法的输出SINR性能仅略低2 dB左右，说明所提算法可以有效应对相干环境，实现高阵列增益。图3仿真了输出SINR随快拍数的变化情况。可以看到所提算法的输出SINR性能展现出明显优势，高于传统算法和重构算法，并与非相干环境下的波束形成器的性能相差较小。因此，在DOA估计存在随机误差的情况下，仿真结果验证了所提算法可以有效应对相干环境，并且具有良好的收敛速度。图中，这些算法分别用“MVDR”、“NOCOHERENT^[10]”、“PROPOSED”、“RECONSTRUCTION^[9]”、“DL^[6]”、“ESB^[7]”、“WORST-CASE^[8]”表示。

3.2 传感器位置存在误差时

在该仿真中，研究当出现传感器位置误差时波束形成器的输出信干噪比性能受影响的情况。将第q个导向矢量元素建模为{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }\left[(q-\mathrm{1})d+\mathrm{\Delta }{d}_q\right]\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\theta }_{\mathrm{1}}+\mathrm{\Delta }\theta )}，将传感器的位置误差\mathrm{\Delta }{d}_q的取值范围设在[-\mathrm{0.05},\mathrm{0.05}]（单位为波长），角度误差\mathrm{\Delta }\theta的取值范围设在[-\mathrm{0.5},\mathrm{0.5}]（单位为弧度），其他仿真条件的设置不变。据此，仿真了输出SINR随输入SNR变化的性能曲线如图4所示。

由图4的仿真结果可以看到，所提算法在整个SNR范围内展现出不俗的性能。在低SNR情况下，所提算法性能不如传统算法，但在高SNR情况下，具有更好的输出性能，而且避免了重构算法^[9]复杂的积分操作，更符合实际需求。同时所提算法的输出SINR仅略低于非相干情况时自适应波束形成器的性能，说明所提算法可以有效应对相干环境。图5仿真了输出SINR随快拍数的变化曲线，证明所提算法可以有效应对相干环境，并且在有限训练样本的快拍条件下，仍能保持较好的稳健性。

3.3 幅度和相位存在偏差时

在这个仿真情景下，考虑了幅度和相位偏差对波束形成器的输出SINR性能造成的影响。幅度误差和相位误差分别服从均匀分布，幅度误差范围为±5%，相位误差范围为±3°。图6仿真了固定快拍数时输出SINR随输入SNR的变化曲线，可以看到所提算法的输出SINR性能在低SNR情况下不如传统算法，但在高SNR情况下优于其他算法，相对于重构算法^[9]有10 dB左右的性能提升，同时也解决了传统稳健算法在高SNR下产生的信号自消问题。

所提算法的输出SINR仅略低于非相干情况下的波束形成器2 dB左右，说明所提算法可以有效应对相干环境。图7仿真了在固定输入高SNR时输出SINR随快拍数的变化情况，同样地，所提算法可以有效应对相干环境，并在高快拍数情况下具有更好的输出SINR性能。

3.4 复杂度分析

本文所提算法是通过估计出所有干扰信号的导向矢量和功率以及噪声的功率来重构干扰加噪声协方差矩阵，在所提方法中，计算复杂度主要由导向矢量的估计决定。假设S是干扰子空间内的搜索点数。由于S\gg M其复杂度可以表示为o(M^{\mathrm{2}}S)。期望信号的估计被表述为一个基于最大输出功率准则的二次约束二次规划问题。根据参考文献[9]，其复杂度为o(M^{\mathrm{3.5}})。因此，所提算法的整体复杂度可以表示为o(\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{x}(M^{\mathrm{3.5}},M^{\mathrm{2}}S))。因此，与传统稳健算法对比，所提算法在低SNR下性能不如传统稳健算法，并且具有更高的计算复杂度，但是可以克服传统稳健算法在高SNR下信号自消的问题。矩阵重构算法的复杂度主要由积分操作的样本数来决定，记为N_{\mathrm{0}}。与矩阵重构算法对比，所提算法具有同样高的复杂度，但在输出SINR性能方面所提算法表现更好。所有仿真对比算法的复杂度如表1所示。

4 结束语

本文在UCA的接收阵列模型下提出了一种新的面向相干环境的稳健自适应波束成形方法。在该方法中，通过采用模式空间变换，UCA 被有效映射为具有范德蒙德结构的VULA阵列，进而采用解相干算法使协方差矩阵恢复满秩。经预处理后，推导出一种基于干扰导向矢量和功率估计的INCM，并建立一个新的凸优化问题来估计SOI导向矢量。仿真结果验证了所提出的算法能有效解决相干环境中波束成形器失效的问题，并在DOA估计误差、传感器位置误差和幅度相位失配情况下相较传统稳健算法和基于积分重构算法表现出更好的鲁棒性和输出SINR性能。

参考文献

[1] GERSHMAN A B， NEMETH E， BOHME J F. Experimental performance of adaptive beamforming in a sonar environment with a towed array and moving interfering sources［J］. IEEE Transactions on Signal Processing， 2000，48（1）：246-250.

[2] CHEN S Z， SUN S H， GAO Q B， et al. Adaptive beamforming in TDD-based mobile communication systems： state of the art and 5G research directions［J］. IEEE Wireless Communications， 2016，23（6）：81-87.

[3] KHAN S， HUH J， YE J C. Adaptive and compressive beamforming using deep learning for medical ultrasound［J］. IEEE Transactions on Ultrasonics， Ferroelectrics， and Frequency Control， 2020，67（8）：1558-1572.

[4] 蒋林峰，宁运，柳文，等.均匀圆阵特征矢量重构Root-MUSIC快速解相干算法［J］.湘潭大学学报（自然科学版），2024，46（5）：39-47.

[5] 刘长远.基于运动平台中心对称阵的相干信源DOA估计［J］.太赫兹科学与电子信息学报，2024，22（9）：1029-1037.

[6] LI J， DU L， STOICA P. Fully automatic computation of diagonal loading levels for robust adaptive beamforming［C］∥Proceedings of 2008 IEEE International Conference on Acoustics， Speech and Signal Processing. Piscataway， USA： IEEE， 2008：2325-2328.

[7] JIA W M， JIN W， ZHOU S H， et al. Robust adaptive beamforming based on a new steering vector estimation algorithm［J］. Signal Processing， 2013，93（9）：2539-2542.

[8] HE C， GUO Y C， CHEN X Y， et al. Robust beamforming algorithm based on linear constrained minimum variance and diagonal loading［C］∥Proceedings of the 2015 4th International Conference on Computer， Mechatronics， Control and Electronic Engineering. Dordrecht， Netherland： Atlantis Press， 2015. DOI： 10.2991/iccmcee-15.2015.21 .

[9] GU Y J， GOODMAN N A， HONG S H， et al. Robust adaptive beamforming based on interference covariance matrix sparse reconstruction［J］. Signal Processing， 2014，96：375-381.

[10] TIAN G L， CUI W J， DU Y X， et al. Robust adaptive beamforming for uniform circular arrays based on interference-plus-noise covariance matrix reconstruction［EB/OL］.（2025-06-01）［2025-10-30］.

[11] 高书彦，陈辉，王永良，等.基于均匀圆阵的模式空间矩阵重构算法［J］.电子与信息学报，2007，29（12）：2832-2835.

[12] LUO T， CHEN P， CAO Z X， et al. URGLQ： an efficient covariance matrix reconstruction method for robust adaptive beamforming［J］. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems， 2023，59（5）：5634-5645.

基金资助

国家自然科学基金(62171468)