优选Z互补对构造及其在MIMO雷达抗多普勒波形设计中的应用

Construction of Preferred Z-Complementary Pairs and Their Application to Doppler-Resistant Waveform Design for MIMO Radar

摘要

为提升多输入多输出（MIMO）雷达在多普勒环境下的目标检测性能，提出一种基于优选Z互补对（PZCP）的抗多普勒波形设计框架。首先，定义准对称格雷互补对（QS-GCP）并给出系统化构造；继而采用级联—插值技术生成两类新参数的PZCP。随后，以Z互补对（ZCP）为原型，提出参数灵活的第3类PZCP构造方案，首次实现了12、20、22、28、36、52等现有研究尚未实现的长度，显著扩展PZCP的参数空间。最后，联合等幂和（ESP）集合设计了MIMO雷达发射脉冲串，形成完整的抗多普勒波形。仿真结果表明，所构造的PZCP在PSLR与ISLR指标上均优于传统Z互补对和Golay互补对，为多普勒敏感场景下的MIMO雷达波形设计提供了新思路与新资源。

Abstract

To enhance target-detection performance of multiple-input multiple-output (MIMO) radar in Doppler environments, a Doppler-resistant waveform design framework based on preferred Z-complementary pairs (PZCP) is proposed. First, the quasi-symmetric Golay complementary pairs (QS-GCP) are defined and systematically constructed. Two new classes of PZCP are then generated through cascade-interleaving. Building on Z-complementary pairs (ZCP), a highly flexible third construction is further devised, by which PZCP of previously unavailable lengths such as 12, 20, 22, 28, 36 and 52, are for the first time obtained, and the parameter space is thereby significantly enlarged. Finally, complete Doppler-tolerant pulse trains for MIMO transmission are constructed by combining these sequences with equal-sum-of-powers (ESP) sets. Simulation results show that the proposed PZCP outperform conventional ZCP and GCP in both PSLR and ISLR, offering new insights and resources for waveform design in Doppler-sensitive scenarios.

Graphical abstract

关键词

优选Z互补对 / 准对称格雷互补对 / Z互补对 / MIMO雷达 / 模糊函数

Key words

PZCP / QS-GCP / ZCP / MIMO radar / ambiguity function

相位编码技术通过对脉冲信号实施精心设计的相位调制，可显著压缩距离主瓣、提升测量精度，因而被广泛部署于脉冲压缩、多输入多输出（Multiple-Input Multiple-Output, MIMO）及毫米波等现代雷达系统^[1]。然而，相位编码波形对移动目标的径向速度引起的多普勒频移极为敏感^[2]：频率失配使匹配滤波器输出峰值幅度下降，造成信噪比（SNR）损失；峰值位置偏移带来测距误差；能量向旁瓣泄露则提高了弱目标被掩盖的风险，导致检测概率降低。因此，增强相位编码雷达的多普勒容忍能力已成为波形设计领域亟待解决的关键问题。

Golay互补对（Golay Complementary Pair, GCP）及其推广形式互补码^[3]，凭借理想的非周期自相关和特性，可在零多普勒条件下实现零距离旁瓣，因而被长期视为脉冲压缩波形设计的“黄金标准”。然而，一旦目标存在径向速度，多普勒失配会使其模糊函数迅速恶化，旁瓣电平急剧抬升。为抑制这一退化，Pezeshki等^[4]提出按照Prouhet-Thue-Morse（PTM）序列顺序发射GCP的策略，显著抑制了高的距离旁瓣；Nguyen等^[5]进一步引入等幂和（Equal Sum of Powers, ESP）多天线发射框架，在MIMO雷达中按ESP集合辐射互补码，抗多普勒性能优于PTM方案。尽管GCP理论完备，但经过严格数学证明，二元GCP长度限制为2 ^α 10^β 26 ^γ （其中α、β和γ为非负整数）^[6-7]。为此，Fan等^[8]提出了Z互补对（Z-Complementary Pair, ZCP）的概念，允许在零相关区（Zero Correlation Zone, ZCZ）内实现完美自相关和，同时支持任意偶数长度，为波形设计提供了更大的灵活性。随后，Wang等^[9]将ZCP引入ESP顺序发射，构造出具有多普勒容忍能力的雷达波形。Zhou等^[10]利用零相关区和零奇相关区序列集，在MIMO雷达通信一体化系统中同时实现低旁瓣感知与高精度信道估计。2025年，Liu等^[11]基于传统ZCP和II型ZCP^[12]，利用相位矩阵优化（Phase Matrix Optimization, PMP）生成多普勒弹性波形。此外，Chen等^[13]通过分数规划与高阶多项式优化直接塑造模糊函数形状，提升了多普勒容限与旁瓣抑制性能。Li等^[14]针对MIMO正交频分复用（Frequency Division Multiplexing, OFDM）系统提出了符号级预编码方法，通过抑制距离—多普勒旁瓣平衡感知与通信性能。

尽管GCP和ZCP具有良好的非周期自相关特性，但其设计范式仅关注单序列的自相关，忽视了MIMO雷达多天线同时发射所带来的互相关能量泄漏^[15]。互相关过高会直接导致距离—多普勒平面上模糊函数的峰值旁瓣电平比（Peak Sidelobe Level Ratio, PSLR）和积分旁瓣电平比（Integrated Sidelobe Level Ratio, ISLR）的抬升，其后果容易导致强目标互相关峰可能掩盖邻近弱目标，降低检测概率；旁瓣能量进入多普勒滤波通道，削弱系统多普勒容忍能力。因此，将互相关纳入波形设计并与自相关联合优化，是MIMO雷达实现高灵敏度、高可靠探测的前提。为此，Shen等^[16]于2024年提出优选Z互补对（Preferred Z-Complementary Pair, PZCP），在保持ZCP零相关区的同时，将序列间互相关纳入优化目标，显著改善了MIMO雷达的联合自—互相关特性。然而，文献仅给出了长度为2的幂次或4N、4N+2（N=2 ^α 10^β 26 ^γ ）的构造结果，限制了PZCP在实际抗多普勒波形中的应用。为填补上述空白，本文提出级联—插值联合构造框架，系统地生成了3类PZCP，实现了现有研究无法得到的多种序列长度，显著扩展了参数空间。基于扩展PZCP集合，进一步结合ESP发射顺序，设计出低旁瓣MIMO雷达波形。仿真结果表明，所提方案在PSLR、ISLR及互相关抑制方面均优于传统GCP、ZCP和既有PZCP，为多普勒敏感场景提供了即用型波形资源。

1 预备知识

本文使用的数学符号含义如下：

+和-分别代表1和-\mathrm{1}；\mathit{a}‖\mathit{b}表示序列\mathit{a}=(a_{\mathrm{0}},a_{\mathrm{1}},\cdots ,a_{N-\mathrm{1}})和\mathit{b}=(b_{\mathrm{0}},b_{\mathrm{1}},\cdots ,b_{L-\mathrm{1}})的级联，即\mathit{a}‖\mathit{b}=(a_{\mathrm{0}},\cdots ,a_{N-\mathrm{1}},b_{\mathrm{0}},\cdots ,b_{L-\mathrm{1}})；\otimes表示克罗内克积；N长序列 a 和L长序列 b 的克罗内克积序列为\mathit{a}\otimes \mathit{b}=(a_{\mathrm{0}}\mathit{b},a_{\mathrm{1}}\mathit{b},\cdots ,a_{N-\mathrm{1}}\mathit{b})，长度为NL；\stackrel{⃖}{\mathit{a}}表示序列 a 的倒置。

定义1 两个序列长度为N的复序列\mathit{a}=(a_{\mathrm{0}},

a_{\mathrm{1}},\cdots ,a_{N-\mathrm{1}})与\mathit{b}=(b_{\mathrm{0}},b_{\mathrm{1}},\cdots ,b_{N-\mathrm{1}})，它们的非周期互相关函数（Aperiodic Cross-Correlation Function, ACCF）定义为

（1）

当\mathit{a}=\mathit{b}时，R_{\mathit{a},\mathit{b}}(\tau )称为序列的自相关函数（Aperiodic Auto-Correlation Function, AACF），简写为R_{\mathit{a}}(\tau )。

引理1^[8] 二元等长序列 a 和 b 的AACF和ACCF满足R_{\mathit{a}}(\tau )=R_{\stackrel{⃖}{\mathit{a}}}(\tau )R_{\mathit{b},\mathit{a}}(\tau )=R_{\mathit{a},\mathit{b}}(-\tau )，R_{\mathit{a},\stackrel{⃖}{\mathit{b}}}(\tau )=R_{\mathit{b},\stackrel{⃖}{\mathit{a}}}(\tau )。

定义2^[3] 若(\mathit{a},\mathit{b})为N长二元序列对，组成序列的AACF之和满足以下条件：

R_{\mathit{a}}(\tau )+R_{\mathit{b}}(\tau )=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{2}N,& \tau =\mathrm{0};\\ \mathrm{0},& \tau \ne \mathrm{0}.\end{array}\right.（2）

则称该序列对为GCP。

GCP的核序列对长度分别为2、10和26，见表1。核序列对是GCP的基础构建单元，其长度直接决定后续通过Turyn法^[6]扩展生成的长GCP长度，且序列元素的幅值与相位特性会传递至扩展序列，是长GCP实现低旁瓣、高相关性能的核心前提。表中，K为核序列对的编号，用于区分不同长度的 GCP核序列对。利用GCP的核序列对，通过Turyn法能产生长度2 ^α 10^β 26 ^γ 的GCP，其中α≥1，β、γ≥0。

定义3 若(\mathit{a},\mathit{b})为N长GCP，其元素满足：

（3）

则称(\mathit{a},\mathit{b})为Ⅰ型QS-GCP，其中P表示对称区间长度。Ⅱ型QS-GCP需(\mathit{a},\mathit{b})中元素满足：

（4）

显然，表1中的GCP核序列对是QS-GCP，其中K₂是对称结构，对称区间为1；K₁₀和K₂₆为准对称结构，对称区间分别为4和12。

定义4^[17](\mathit{a},\mathit{b})和(\mathit{c},\mathit{d})为两个N长GCP，若它们的ACCF满足：

R_{\mathit{a},\mathit{c}}(\tau )+R_{\mathit{b},\mathit{d}}(\tau )=\mathrm{0}（5）

则称它们互为互补伴。

引理2 若(\mathit{a},\mathit{b})是GCP，若序列对(\mathit{c},\mathit{d})=\left({\stackrel{⃖}{\mathit{b}}}^{\mathrm{*}},-{\stackrel{⃖}{\mathit{a}}}^{\mathrm{*}}\right)（“∗”表示复数共轭运算），则(\mathit{c},\mathit{d})是(\mathit{a},\mathit{b})的一个互补伴。

定义5^[16] 对于N长序列对(\mathit{a},\mathit{b})，如果它们的AACF和ACCF满足：

R_{\mathit{a}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{b}}\left(\tau \right)=\mathrm{0}， （6）

R_{\mathit{a},\mathit{b}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{b},\mathit{a}}\left(\tau \right)=\mathrm{0}， （7）

则(\mathit{a},\mathit{b})被称为PZCP，记作(N,Z)-\mathrm{P}\mathrm{Z}\mathrm{C}\mathrm{P}，其中Z表示零相关区（Zero Correlation Zone, ZCZ）的长度。如果不考虑式（7），则(\mathit{a},\mathit{b})转化为ZCP^[8]，记作(N,Z)-\mathrm{Z}\mathrm{C}\mathrm{P}。特别地，当Z=N时，则(\mathit{a},\mathit{b})由ZCP转化为GCP。

根据定义5可得出PZCP以下性质。

性质1 若(\mathit{a},\mathit{b})为(N,Z)-\mathrm{P}\mathrm{Z}\mathrm{C}\mathrm{P}，则(-\mathit{a},-\mathit{b})、({\mathit{a}}^{\mathrm{*}},{\mathit{b}}^{\mathrm{*}})、(\stackrel{⃖}{\mathit{a}},\stackrel{⃖}{\mathit{b}})和(\mathit{a},-\mathit{b})也为(N,Z)-\mathrm{P}\mathrm{Z}\mathrm{C}\mathrm{P}。

定义6^[4] 假设雷达在K个脉冲重复间隔（Pulse Repetition Interval, PRI）内依次发射K个调制脉冲序列串\mathit{A}=\{{\mathit{a}}^{\mathrm{0}},{\mathit{a}}^{\mathrm{1}},\cdots ,{\mathit{a}}^{K-\mathrm{1}}\}，脉冲序列{\mathit{a}}^k包含L个码片，，则雷达模糊函数定义为

{\zeta }_{\mathit{A}}\left(\tau ,\theta \right)={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{K-\mathrm{1}}}{R}_{{\mathit{a}}^k}\left(\tau \right){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}k\theta }（8）

式中：时间延迟\tau表示雷达发射信号与回波信号之间的时间差；\theta表示连续PRI之间的多普勒频移。

定义7^[5] 令S=\{S_{\mathrm{0}},S_{\mathrm{1}},\cdots ,S_{P-\mathrm{1}}\}是包含P个子集的非负整数集，如果满足：

\sum _{n\in S_{\mathrm{0}}}{n}^m=\sum _{n\in S_{\mathrm{1}}}{n}^m=\cdots =\sum _{n\in S_{P-\mathrm{1}}}{n}^m（9）

则称S是具有度为M的ESP集，式中，m=\mathrm{1},\mathrm{2},\cdots ,M\mathrm{。}

2 PZCP构造方法

本节采用级联—插值联合框架，系统生成3类新型PZCP。首先，以Turyn方法构造对称区间长度可配置的QS-GCP，并将其作为基元，通过级联—插值得到两类PZCP；随后，以现有ZCP为种子，再次施行级联—插值，获得第3类PZCP。

2.1 Turyn法构造QS-GCP

引理3 令\mathit{A}=(\mathit{a},\mathit{b})为M长GCP，\mathit{B}=(\mathit{c},\mathit{d})为长度N的QS-GCP。利用Turyn法得到长度为L=MN的序列对(\mathit{e},\mathit{f})=\mathrm{T}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{y}\mathrm{n}\left(\mathit{A},\mathit{B}\right)=

\left(\mathit{c}\otimes \frac{(\mathit{a}+\mathit{b})}{\mathrm{2}}-\stackrel{⃖}{\mathit{d}}\otimes \frac{(\mathit{b}-\mathit{a})}{\mathrm{2}},\mathit{d}\otimes \frac{(\mathit{a}+\mathit{b})}{\mathrm{2}}+\stackrel{⃖}{\mathit{c}}\otimes \frac{(\mathit{b}-\mathit{a})}{\mathrm{2}}\right)，那么，(\mathit{e},\mathit{f})的也是一个QS-GCP。

证明：由于 A 和 B 都为GCP，Turyn变换后的(\mathit{e},\mathit{f})也是GCP^[6]，下面考虑其对称性。则(\mathit{e},\mathit{f})=(\mathit{c}\otimes \mathit{U}-\stackrel{⃖}{\mathit{d}}\otimes \mathit{V},\mathit{d}\otimes \mathit{U}-\stackrel{⃖}{\mathit{c}}\otimes \mathit{V})。由克罗内克积定义得：

\mathit{e}=\mathit{c}\otimes \mathit{U}-\stackrel{⃖}{\mathit{d}}\otimes \mathit{V}=c_{\mathrm{0}}\mathit{U}-d_{N-\mathrm{1}}\mathit{V},

c_{\mathrm{1}}\mathit{U}-d_{N-\mathrm{2}}\mathit{V},\cdots ,c_{N-\mathrm{2}}\mathit{U}-d_{\mathrm{1}}\mathit{V},c_{N-\mathrm{1}}\mathit{U}-d_{\mathrm{0}}\mathit{V}（10）

\mathit{f}=\mathit{d}\otimes \mathit{U}-\stackrel{⃖}{\mathit{c}}\otimes \mathit{V}=d_{\mathrm{0}}\mathit{U}-c_{N-\mathrm{1}}\mathit{V},

d_{\mathrm{1}}\mathit{U}-c_{N-\mathrm{2}}\mathit{V},\cdots ,d_{N-\mathrm{2}}\mathit{U}-c_{\mathrm{1}}\mathit{V},d_{N-\mathrm{1}}\mathit{U}-c_{\mathrm{0}}\mathit{V}（11）

若序列对(\mathit{c},\mathit{d})为I型QS-GCP，对称区间长为P，即：

则(\mathit{e},\mathit{f})的元素可表示为

（12）

（13）

可见，(\mathit{e},\mathit{f})的前PM列元素符号相同，后PM列元素符号相反。如果(\mathit{c},\mathit{d})为II型QS-GCP，证明过程类似，不再赘述。综上所述，(\mathit{e},\mathit{f})为一个QS-GCP，对称区间长度为PM。

由引理3可见，若(\mathit{c},\mathit{d})分别为K_{\mathrm{2}}、K_{\mathrm{10}}和K_{\mathrm{26}}，(\mathit{a},\mathit{b})是长度为M的GCP，则(\mathit{e},\mathit{f})是QS-GCP，对称区间分别为M、4M和12M。对于二元序列，QS-GCP覆盖了所有二元GCP的长度。

2.2 基于QS-GCP构造PZCP

利用QS-GCP提出两类新参数PZCP的构造。

定理1 设(\mathit{a},\mathit{b})是对称区间为P的N长QS-GCP，(\mathit{c},\mathit{d})是(\mathit{a},\mathit{b})的互补伴，且(\mathit{c},\mathit{d})=\left({\stackrel{⃖}{\mathit{b}}}^{\mathrm{*}},-{\stackrel{⃖}{\mathit{a}}}^{\mathrm{*}}\right)，若满足以下任意1种情况：1）\mathit{e}=\mathit{a}‖k\mathit{c},\mathit{f}=\mathit{b}‖k\mathit{d}；2）\mathit{e}=\mathit{a}‖k\mathit{d},\mathit{f}=\mathit{b}‖k\mathit{c}。(其中k\in \{\mathrm{1},-\mathrm{1}\})，则(\mathit{e},\mathit{f})为\left(\mathrm{2}N,P+\mathrm{1}\right)-\mathrm{P}\mathrm{Z}\mathrm{C}\mathrm{P}。

证明：首先证明情况1）。

由于(\mathit{a},\mathit{b})和(\mathit{c},\mathit{d})都是GCP，且互为互补伴，所以R_{\mathit{a}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{b}}\left(\tau \right)=R_{\mathit{c}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{d}}\left(\tau \right)=\mathrm{0}，且R_{\mathit{a},\mathit{c}}\left(\tau \right)=R_{\mathit{d},\mathit{b}}\left(\tau \right)。若k=\mathrm{1}时，对于，则序列 e 和 f 的AACF之和为

\begin{array}{l}{R}_{\mathit{e}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{f}}\left(\tau \right)=R_{\mathit{a}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{b}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{c}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{d}}\left(\tau \right)+\\ R_{\mathit{c},\mathit{a}}^{\mathrm{*}}\left(N-\tau \right)+R_{\mathit{d},\mathit{b}}^{\mathrm{*}}\left(N-\tau \right)=\mathrm{0}\end{array}（14）

当时，序列 e 与 f 的ACCF和为

\begin{array}{l}{R}_{\mathit{e}\mathit{f}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{f}\mathit{e}}\left(\tau \right)=R_{\mathit{a},\mathit{b}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{d},\mathit{a}}^{\mathrm{*}}\left(N-\tau \right)+R_{\mathit{c},\mathit{d}}\left(\tau \right)+\\ R_{\mathit{b},\mathit{a}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{c},\mathit{b}}^{\mathrm{*}}\left(N-\tau \right)+R_{\mathit{d},\mathit{c}}\left(\tau \right)=R_{\mathit{a},\mathit{b}}\left(\tau \right)+\\ R_{-\stackrel{⃖}{\mathit{a}},\mathit{a}}^{\mathrm{*}}\left(N-\tau \right)+R_{\stackrel{⃖}{\mathit{b}}-\stackrel{⃖}{\mathit{a}}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{b},\mathit{a}}\left(\tau \right)+R_{\stackrel{⃖}{\mathit{b}},\mathit{b}}^{\mathrm{*}}\left(N-\tau \right)+\\ R_{-\stackrel{⃖}{\mathit{a}},\stackrel{⃖}{\mathit{b}}}\left(\tau \right)=R_{-\stackrel{⃖}{\mathit{a}}\mathit{a}}^{\mathrm{*}}\left(N-\tau \right)+R_{\stackrel{⃖}{\mathit{b}},\mathit{b}}^{\mathrm{*}}\left(N-\tau \right)\end{array}（15）

如果(\mathit{a},\mathit{b})为Ⅰ型的QS-GCP，式（15）可化为

\begin{array}{l}{R}_{\mathit{e},\mathit{f}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{f},\mathit{e}}\left(\tau \right)={\displaystyle \sum _{i=N-\tau }^{N-\mathrm{1}}}-\stackrel{⃖}{a_i}{a}_{i-(N-\tau )}+\\ {\displaystyle \sum _{i=N-\tau }^{N-\mathrm{1}}}\stackrel{⃖}{b_i}{b}_{i-(N-\tau )}={\displaystyle \sum _{i=N-\tau }^{N-\mathrm{1}}}-\stackrel{⃖}{a_i}{a}_{i-(N-\tau )}+\\ {\displaystyle \sum _{i=N-\tau }^{N-\mathrm{1}}}\stackrel{⃖}{a_i}{a}_{i-(N-\tau )}=\mathrm{0}\end{array}（16）

如果(\mathit{a},\mathit{b})为Ⅱ型的QS-GCP，同理可得R_{\mathit{e},\mathit{f}}(\tau )+R_{\mathit{f},\mathit{e}}(\tau )=\mathrm{0}。

当\tau =P+\mathrm{1}时，可得：

R_{\mathit{e},\mathit{f}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{f},\mathit{e}}\left(\tau \right)={\displaystyle \sum _{i=N-P-\mathrm{1}}^{N-\mathrm{1}}}-\stackrel{⃖}{a_i}{a}_{i-(N-\tau )}+{\displaystyle \sum _{i=N-P-\mathrm{1}}^{N-\mathrm{1}}}\stackrel{⃖}{b_i}{b}_{i-(N-\tau )}=-{\stackrel{⃖}{a}}_{N-P-\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{0}}+{\stackrel{⃖}{b}}_{N-P-\mathrm{1}}{b}_{\mathrm{0}}-{\stackrel{⃖}{a}}_{N-\mathrm{1}}{a}_P+{\stackrel{⃖}{b}}_{N-\mathrm{1}}{b}_P+{\displaystyle \sum _{i=N-P}^{N-\mathrm{2}}}-\stackrel{⃖}{a_i}{a}_{i-(N-\tau )}+{\displaystyle \sum _{i=N-P}^{N-\mathrm{2}}}\stackrel{⃖}{b_i}{b}_{i-(N-\tau )}=-{\stackrel{⃖}{a}}_{N-P-\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{0}}+{\stackrel{⃖}{b}}_{N-P-\mathrm{1}}{b}_{\mathrm{0}}-{\stackrel{⃖}{a}}_{N-\mathrm{1}}{a}_P+{\stackrel{⃖}{b}}_{N-\mathrm{1}}{b}_P（17）

无论(\mathit{a},\mathit{b})为Ⅰ型还是Ⅱ型的QS-GCP，式（17）都可得到：

R_{\mathit{e},\mathit{f}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{f},\mathit{e}}\left(\tau \right)=-\mathrm{4}{a}_P{a}_{\mathrm{0}}=\pm \mathrm{4}（18）

综上，当k=\mathrm{1}时，(\mathit{e},\mathit{f})为\left(\mathrm{2}N,P+\mathrm{1}\right)-\mathrm{P}\mathrm{Z}\mathrm{C}\mathrm{P}。当k=-\mathrm{1}时，对于，序列对(\mathit{e},\mathit{f})的组成序列AACF之和为

\begin{array}{l}{R}_{\mathit{e}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{f}}\left(\tau \right)=R_{\mathit{a}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{b}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{c}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{d}}\left(\tau \right)-\\ R_{\mathit{c},\mathit{a}}^{\mathrm{*}}\left(N-\tau \right)-R_{\mathit{d},\mathit{b}}^{\mathrm{*}}\left(N-\tau \right)=\mathrm{0}\end{array}（19）

当\mathrm{0}\le \tau \le P时，(\mathit{e},\mathit{f})的ACCF和为

\begin{array}{l}{R}_{\mathit{e},\mathit{f}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{f},\mathit{e}}\left(\tau \right)=R_{\mathit{a},\mathit{b}}\left(\tau \right)-R_{\mathit{d},\mathit{a}}^{\mathrm{*}}\left(N-\tau \right)+R_{\mathit{c},\mathit{d}}\left(\tau \right)+\\ R_{\mathit{b},\mathit{a}}\left(\tau \right)-R_{\mathit{c},\mathit{b}}^{\mathrm{*}}\left(N-\tau \right)+R_{\mathit{d},\mathit{c}}\left(\tau \right)=\\ -\left({R_{-\stackrel{⃖}{\mathit{a}},\mathit{a}}^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{*}}\left(N-\tau \right)+R_{\stackrel{⃖}{\mathit{b}},\mathit{b}}^{\mathrm{*}}\left(N-\tau \right)\right)=\\ -\left({\displaystyle \sum _{i=N-\tau }^{N-\mathrm{1}}}-\stackrel{⃖}{a_i}{a}_{i-(N-\tau )}+{\displaystyle \sum _{i=N-\tau }^{N-\mathrm{1}}}\stackrel{⃖}{b_i}{b}_{i-(N-\tau )}\right)\end{array}（20）

如果(\mathit{a},\mathit{b})为Ⅰ型QS-GCP，式（20）可化为

R_{\mathit{e},\mathit{f}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{f},\mathit{e}}\left(\tau \right)=-\left({\displaystyle \sum _{i=N-\tau }^{N-\mathrm{1}}}-\stackrel{⃖}{a_i}{a}_{i-(N-\tau )}+{\displaystyle \sum _{i=N-\tau }^{N-\mathrm{1}}}\stackrel{⃖}{a_i}{a}_{i-(N-\tau )}\right)=\mathrm{0}（21）

如果(\mathit{a},\mathit{b})为Ⅱ型QS-GCP，同理可得R_{\mathit{e}\mathit{f}}(\tau )+R_{\mathit{f}\mathit{e}}(\tau )=\mathrm{0}。

当\tau =P+\mathrm{1}时，有：

\begin{array}{l}{R}_{\mathit{e}\mathit{f}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{f}\mathit{e}}\left(\tau \right)=\\ -{\displaystyle \sum _{i=N-P-\mathrm{1}}^{N-\mathrm{1}}}-\stackrel{⃖}{a_i}{a}_{i-(N-\tau )}-{\displaystyle \sum _{i=N-P-\mathrm{1}}^{N-\mathrm{1}}}\stackrel{⃖}{b_i}{b}_{i-(N-\tau )}=\\ {\stackrel{⃖}{a}}_{N-P-\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{0}}-{\stackrel{⃖}{b}}_{N-P-\mathrm{1}}{b}_{\mathrm{0}}+{\stackrel{⃖}{a}}_{N-\mathrm{1}}{a}_P-{\stackrel{⃖}{b}}_{N-\mathrm{1}}{b}_P+\\ {\displaystyle \sum _{i=N-P}^{N-\mathrm{2}}}-\stackrel{⃖}{a_i}{a}_{i-(N-\tau )}-{\displaystyle \sum _{i=N-P}^{N-\mathrm{2}}}\stackrel{⃖}{b_i}{b}_{i-(N-\tau )}=\\ {\stackrel{⃖}{a}}_{N-P-\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{0}}-{\stackrel{⃖}{b}}_{N-P-\mathrm{1}}{b}_{\mathrm{0}}+{\stackrel{⃖}{a}}_{N-\mathrm{1}}{a}_P-{\stackrel{⃖}{b}}_{N-\mathrm{1}}{b}_P\end{array}（22）

由于(\mathit{a},\mathit{b})为\mathrm{{\rm I}}型或Ⅱ型的QS-GCP，则式（22）可化为

R_{\mathit{e},\mathit{f}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{f},\mathit{e}}\left(\tau \right)=\mathrm{4}{a}_P{a}_{\mathrm{0}}=\pm \mathrm{4}（23）

因此，(\mathit{e},\mathit{f})是一个\left(\mathrm{2}N,P+\mathrm{1}\right)-\mathrm{P}\mathrm{Z}\mathrm{C}\mathrm{P}。

类似地，情况2）的证明不再赘述。

举例证明。例1：选取对称区间为4、长度8的Ⅰ型QS-GCP(\mathit{a},\mathit{b})=\left(+++-++-+,+++---+-\right)。

根据定理1可得序列(\mathit{e},\mathit{f})=\left(+++-++-+-+\right.

\left.---+++,+++---+--+--+---\right)。序列对(\mathit{e},\mathit{f})的AACF为\left|R_{\mathit{e}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{f}}\left(\tau \right)\right|=\left(\mathrm{32},{\mathrm{0}}_{\mathrm{15}}\right)，ACCF为R_{\mathit{e},\mathit{f}}

\left|\left(\tau \right)+R_{\mathit{f},\mathit{e}}\left(\tau \right)\right|=\left({\mathrm{0}}_{\mathrm{5},}\mathrm{4},\mathrm{8},\mathrm{4},\mathrm{0},\mathrm{4},\mathrm{8},\mathrm{4},{\mathrm{0}}_{\mathrm{4}}\right)，其中0 _k 表示k个0。(\mathit{e},\mathit{f})的相关函数表示在图1中，可见序列对(\mathit{e},\mathit{f})为(\mathrm{16},\mathrm{5})-\mathrm{P}\mathrm{Z}\mathrm{C}\mathrm{P}。

定理2 设(\mathit{a},\mathit{b})是一个Ⅰ型QS-GCP，(\mathit{c},\mathit{d})是(\mathit{a},\mathit{b})的互补伴，且(\mathit{c},\mathit{d})=\left({\stackrel{⃖}{\mathit{b}}}^{\mathrm{*}},-{\stackrel{⃖}{\mathit{a}}}^{\mathrm{*}}\right)，当分别满足以下两种情况时：1）\mathit{e}=x‖\mathit{a}‖k\mathit{c}‖-x，\mathit{f}=-x‖\mathit{b}‖k\mathit{d}‖-x；2）\mathit{e}=x‖\mathit{a}‖k\mathit{d}‖-x，\mathit{f}=-x‖\mathit{b}‖k\mathit{c}‖-x，(k,x\in \{\mathrm{1},-\mathrm{1}\})，构造的序列对(\mathit{e},\mathit{f})为\left(\mathrm{2}N+\mathrm{2},P+\mathrm{1}\right)-\mathrm{P}\mathrm{Z}\mathrm{C}\mathrm{P}。

证明:首先证明情况1）。

当k=\mathrm{1}时，且，(\mathit{e},\mathit{f})的AACF和为

\begin{array}{l}{R}_{\mathit{e}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{f}}\left(\tau \right)=x{a}_{\mathit{\tau }-\mathrm{1}}+R_{\mathit{a}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{c},\mathit{a}}^{\mathrm{*}}\left(N-\tau \right)+\\ R_{\mathit{c}}\left(\tau \right)-{\mathit{c}}_{N-\tau }{x}^{\mathrm{*}}-x{b}_{\tau -\mathrm{1}}+R_{\mathit{b}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{d},\mathit{b}}^{\mathrm{*}}\left(N-\tau \right)+R_{\mathit{d}}\left(\tau \right)-\\ d_{N-\tau }{x}^{\mathrm{*}}=x{a_{\tau -\mathrm{1}}}^{\mathrm{*}}-c_{N-\tau }{x}^{\mathrm{*}}-x{b_{\tau -\mathrm{1}}}^{\mathrm{*}}-d_{N-\tau }{x}^{\mathrm{*}}=\mathrm{0}\end{array}（24）

当\tau =P+\mathrm{1}时，有：

R_{\mathit{e}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{f}}\left(\tau \right)=x{a}_P^{\mathrm{*}}-c_{N-\mathrm{1}-P}{x}^{\mathrm{*}}-x{b}_P^{\mathrm{*}}-d_{N-\mathrm{1}-P}{x}^{\mathrm{*}}（25）

由于(\mathit{a},\mathit{b})为\mathrm{{\rm I}}型QS-GCP，因此

R_{\mathit{e}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{f}}\left(\tau \right)=\mathrm{4}x{a}_P=\pm \mathrm{4}（26）

当\mathrm{0}\le \tau \le P时，序列对(\mathit{e},\mathit{f})的ACCF和为

\begin{array}{l}{R}_{\mathit{e}\mathit{f}}(\tau )+R_{\mathit{f},\mathit{e}}(\tau )=\\ x_{\mathrm{1}}{b}_{\tau -\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}+R_{\mathit{a},\mathit{b}}(\tau )+R_{\mathit{d},\mathit{a}}^{\mathrm{*}}(N-\tau )+R_{\mathit{c},\mathit{d}}(\tau )+\\ c_{N-\tau }{y}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}+y_{\mathrm{1}}{a}_{\tau -\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}+R_{\mathit{b},\mathit{a}}(\tau )+{R^{\mathrm{*}}}_{\mathit{c},\mathit{b}}(N-\tau )+\\ R_{\mathit{d},\mathit{c}}(\tau )+d_{N-\tau }{x}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}=R_{\mathit{a},\mathit{b}}(\tau )+R_{-\stackrel{⃖}{\mathit{a}},\mathit{a}}^{\mathrm{*}}(N-\tau )+\\ R_{\stackrel{⃖}{\mathit{b}},-\stackrel{⃖}{\mathit{a}}}(\tau )+R_{\mathit{b},\mathit{a}}(\tau )+\\ R_{\stackrel{⃖}{\mathit{b}},\mathit{b}}^{\mathrm{*}}(N-\tau )+R_{-\stackrel{⃖}{\mathit{a}},\stackrel{⃖}{\mathit{b}}}(\tau )=\mathrm{0}\end{array}（27）

因此，(\mathit{e},\mathit{f})满足PZCP的定义。当k=-\mathrm{1}时，证明过程类似，不再赘述。

类似地，情况2）的结论可从以上证明过程中得出，不再重复。综上所述，(\mathit{e},\mathit{f})为一个\left(\mathrm{2}N+\mathrm{2},P+\mathrm{1}\right)-\mathrm{P}\mathrm{Z}\mathrm{C}\mathrm{P}。

例2：选取例1中Ⅰ型QS-GCP(\mathit{a},\mathit{b})，令k=x=\mathrm{1}，根据定理2中的情况1）可得序列对(\mathit{e},\mathit{f})=

(++++-++-+-+---+++-,-+++---+--+--

+----),(\mathit{e},\mathit{f})的相关函数如图2所示。显然，(\mathit{e},\mathit{f})是一个(\mathrm{18},\mathrm{5})-\mathrm{P}\mathrm{Z}\mathrm{C}\mathrm{P}。

与定理2方法类似，基于Ⅱ型QS-GCP也可获得相同参数的PZCP，结论如下。

定理3 设(\mathit{a},\mathit{b})是一个Ⅱ型的QS-GCP，(\mathit{c},\mathit{d})=\left({\stackrel{⃖}{\mathit{b}}}^{\mathrm{*}},-{\stackrel{⃖}{\mathit{a}}}^{\mathrm{*}}\right)，当分别满足以下两种情况时：1）\mathit{e}=x‖\mathit{a}‖k\mathit{c}‖x，\mathit{f}=x‖\mathit{b}‖k\mathit{d}‖-x；2）\mathit{e}=x‖\mathit{a}‖k\mathit{d}‖x，\mathit{f}=x‖\mathit{b}‖k\mathit{c}‖-x，(k,x\in \{\mathrm{1},-\mathrm{1}\})，则序列对(\mathit{e},\mathit{f})为\left(\mathrm{2}N+\mathrm{2},P+\mathrm{1}\right)-\mathrm{P}\mathrm{Z}\mathrm{C}\mathrm{P}。

证明过程与定理2类似，不再赘述。

2.3 基于ZCP构造PZCP

由定理1~定理3可见，基于QS-GCP的构造方法受到GCP长度的限制。为了进一步扩展PZCP参数，本节提出一类基于ZCP的构造方案。

定理4 若(\mathit{a},\mathit{b})为\left(N,Z\right)-\mathrm{Z}\mathrm{C}\mathrm{P}，且a_i=b_i, a_{N-\mathrm{1}-i}

=-b_{N-\mathrm{1}-i},。设(\mathit{c},\mathit{d})=\left({\stackrel{⃖}{\mathit{b}}}^{\mathrm{*}},-{\stackrel{⃖}{\mathit{a}}}^{\mathrm{*}}\right)，令\mathit{e}=\mathit{a}‖\mathit{c}，\mathit{f}=\mathit{b}‖\mathit{d}，则序列对(\mathit{e},\mathit{f})为(\mathrm{2}N,\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{Z+\mathrm{1},P+\mathrm{1}\})

-\mathrm{P}\mathrm{Z}\mathrm{C}\mathrm{P}。

证明：当时，(\mathit{e},\mathit{f})的AACF和为

\begin{array}{l}{R}_{\mathit{e}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{f}}\left(\tau \right)=R_{\mathit{a}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{b}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{c}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{d}}\left(\tau \right)+\\ R_{\mathit{c}\mathit{a}}^{\mathrm{*}}\left(N-\tau \right)+R_{\mathit{d}\mathit{b}}^{\mathrm{*}}\left(N-\tau \right)=\mathrm{0}\end{array}（28）

当\mathrm{0}\le \tau \le P时，(\mathit{e},\mathit{f})的ACCF和为

\begin{array}{l}{R}_{\mathit{e}\mathit{f}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{e}\mathit{f}}\left(\tau \right)=R_{\mathit{a},\mathit{b}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{d},\mathit{a}}^{\mathrm{*}}\left(N-\tau \right)+\\ R_{\mathit{c},\mathit{d}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{b},\mathit{a}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{c},\mathit{b}}^{\mathrm{*}}\left(N-\tau \right)+R_{\mathit{d},\mathit{c}}\left(\tau \right)=\\ R_{-\stackrel{⃖}{\mathit{a}},\mathit{a}}^{\mathrm{*}}\left(N-\tau \right)+R_{\stackrel{⃖}{\mathit{b}},\mathit{b}}^{\mathrm{*}}\left(N-\tau \right)=\mathrm{0}\end{array}（29）

由式（28）和式（29）可知，(\mathit{e},\mathit{f})是一个(\mathrm{2}N,\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}

\{Z+\mathrm{1},P+\mathrm{1}\})-\mathrm{P}\mathrm{Z}\mathrm{C}\mathrm{P}。

例3：选取ZCP(\mathit{a},\mathit{b})=\left(++++-+,++-++-\right)为基序列，其中Z=\mathrm{2}，P=\mathrm{2}。根据定理4，得到序列对(\mathit{e},\mathit{f})=\left(++++-+-++-++,++-++--+-\right.

\left.---\right)，则(\mathit{e},\mathit{f})的AACF和以及ACCF和分别为\left|R_{\mathit{e}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{f}}\left(\tau \right)\right|=(\mathrm{24},\mathrm{0},\mathrm{0},\mathrm{8},{\mathrm{0}}_{\mathrm{8}}),\left|R_{\mathit{e},\mathit{f}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{f},\mathit{e}}\left(\tau \right)\right|=(\mathrm{0},

\mathrm{0},\mathrm{0},{\mathrm{4}}_{\mathrm{7}},{\mathrm{0}}_{\mathrm{2}})。

如图3所示，(\mathit{e},\mathit{f})是一个(\mathrm{12},\mathrm{3})-\mathrm{P}\mathrm{Z}\mathrm{C}\mathrm{P}。

3 PZCP参数比较

表2汇总了定理1~定理4与文献[16]构造的PZCP的完整参数。

如表2所示，文献[16]的定理1和2利用布尔函数实现长度为2 ^m （m ≥ 1）和（2 ^m+1+2） （m ≥ 3）的两类PZCP，定理3和定理4利用拼接法获得长度为4N和（4N+2）的PZCP，其中N为2 ^α 10^β 26 ^γ。相较之下，本文利用级联—插值方法，定理1~定理3以QS-GCP为种子生成长度为2N、（2N+2）型PZCP，定理4再以ZCP为种子进一步扩展参数空间。所有构造结果的ZCZ长度与序列长度的比值保持在1/4左右，但本文方法首次提供了12、20、22、24、28、36、52、54等文献[16]无法覆盖的多种长度，显著扩展可用序列集合。

表3列出了文献[16]所需部分尚不能产生的若干PZCP。其中20和22长序列由10长QS-GCP生成，而12、24、28、36长序列由6、12、14和18长ZCP^[17]生成。上述结果显著扩充了PZCP的参数空间，可为雷达波形设计提供更丰富的候选序列。

4 MIMO雷达抗多普勒波形设计

在MIMO雷达系统中，将PZCP序列按照Nguyen提出的ESP集发射方案在多个天线上顺序发射，形成具有一定抗多普勒频移的波形。下面举例描述波形设计过程。

设非负整数集S=\{\mathrm{0},\mathrm{4},\mathrm{7},\mathrm{11},\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{9},\mathrm{10}\}是由两个分割子集S_{\mathrm{0}}=\{\mathrm{0},\mathrm{4},\mathrm{7},\mathrm{11}\}和S_{\mathrm{1}}=\{\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{9},\mathrm{10}\}组成的ESP集。由于{\mathrm{0}}^m+{\mathrm{4}}^m+{\mathrm{7}}^m+{\mathrm{11}}^m={\mathrm{1}}^m+{\mathrm{2}}^m+{\mathrm{9}}^m+{\mathrm{10}}^m，其中m=\mathrm{1}\mathrm{、}\mathrm{2}\mathrm{、}\mathrm{3}，则S是具有3度的ESP集。由于S中缺少数字3、5、6、8，如果用于雷达连续脉冲序列发射，会导致发射空隙，因此将这些数字加入到S_{\mathrm{0}}和S_{\mathrm{1}}中，得到S_{\mathrm{0}}=\{\mathrm{0},\mathrm{3},\mathrm{4},\mathrm{5},\mathrm{6},\mathrm{7},\mathrm{8},\mathrm{11}\}，S_{\mathrm{1}}=\{\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{4},\mathrm{5},\mathrm{6},\mathrm{8},\mathrm{9},\mathrm{10}\}。显然，S仍然是具有3度的ESP集。

基于序列对（ x, y ），构建MIMO雷达发射的连续脉冲序列串\mathit{T}=\{{\mathit{t}}_{\mathrm{0}},{\mathit{t}}_{\mathrm{1}},\dots ,{\mathit{t}}_{K-\mathrm{1}}\}，其中：

\left\{\begin{array}{lll}{\mathit{t}}_k=\mathit{x},& k\in S_{\mathrm{0}},k\notin S_{\mathrm{1}};& \\ {\mathit{t}}_k=\mathit{y},& k\in S_{\mathrm{1}},k\notin S_{\mathrm{0}};& \\ {\mathit{t}}_k=\mathit{x}+\mathit{y},& k\in S_{\mathrm{0}}\bigcap S_{\mathrm{1}}.& \end{array}\right.

则脉冲串可表示为

\mathit{X}=\{\mathit{x},\mathit{y},\mathit{y},\mathit{x}+\mathit{y},\mathit{x},\mathit{x}+\mathit{y},\mathit{x}+\mathit{y},\mathit{x},\mathit{x}+\mathit{y},\mathit{y},\mathit{y},\mathit{x}\}

式中，组合序列(\mathit{x}+\mathit{y})表示通过在两根天线的相同PRI同时发送 x 和 y，从而保证每根天线上发射能量均衡的信号。

假设发射天线数量为4，发射脉冲序列时序如图4所示。

在第3、5、6和8个PRI处，组合脉冲序列由两根天线同时发射。相应地，发射矩阵可表示为

\mathit{T}=\left[\begin{array}{cccccccccccc}\mathit{x}& \mathit{y}& \mathit{y}& \mathit{x}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathit{y}& \mathit{x}& \mathit{x}& \mathit{y}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathit{y}& \mathit{x}& \mathit{x}& \mathit{y}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathit{x}& \mathit{y}& \mathit{y}& \mathit{x}\end{array}\right]

假设各天线信道响应相同，目标散射系数不变，则雷达模糊函数为

{\zeta }_{\mathit{T}}\left(\tau ,\theta \right)={\zeta }_{{\mathit{T}}_{\mathrm{0}}}\left(\tau ,\theta \right)+{\zeta }_{{\mathit{T}}_{\mathrm{1}}}\left(\tau ,\theta \right){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\mathrm{3}\theta }+{\zeta }_{{\mathit{T}}_{\mathrm{1}}}\left(\tau ,\theta \right){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\mathrm{5}\theta }+

{\zeta }_{{\mathit{T}}_{\mathrm{0}}}\left(\tau ,\theta \right){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\mathrm{8}\theta }+\sum _{k\in \left\{\mathrm{3,5},\mathrm{6,8}\right\}}\left(R_{\mathit{x},\mathit{y}}\left(\tau \right)+R_{\mathit{y},\mathit{x}}\left(\tau \right)\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}k\vartheta }（30）

式中：{\mathit{T}}_{\mathrm{0}}=\{\mathit{x},\mathit{y},\mathit{y},\mathit{x}\}；{\mathit{T}}_{\mathrm{1}}=\{\mathit{y},\mathit{x},\mathit{x},\mathit{y}\}。利用泰勒级数展开{\mathit{T}}_{\mathrm{0}}和{\mathit{T}}_{\mathrm{1}}的自模糊函数可得^[5]：

\begin{array}{l}{\zeta }_{{\mathit{T}}_{\mathrm{0}}}\left(\tau ,\theta \right)+{\zeta }_{{\mathit{T}}_{\mathrm{1}}}\left(\tau ,\theta \right){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\mathrm{3}\theta }+{\zeta }_{{\mathit{T}}_{\mathrm{1}}}\left(\tau ,\theta \right){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\mathrm{5}\theta }+{\zeta }_{{\mathit{T}}_{\mathrm{0}}}\left(\tau ,\theta \right){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\mathrm{8}\theta }=\\ \sum _{k\in S_{\mathrm{0}}\mathrm{或}k\in S_{\mathrm{1}}}{k}^m\left(R_{\mathit{x}}(\tau )+R_{\mathit{y}}(\tau )\right)\end{array}（31）

显然，优化雷达模糊函数需要消除序列 x 与 y 的自相关函数旁瓣和互相关函数。因此，相比于设计中未考量互相关特征的GCP和ZCP，PZCP更适于用作发射序列。

分别将GCP、ZCP和PZCP作为MIMO雷达波形按照相同的ESP集进行发射，其模糊函数对比如图5所示。

图5中，选取了本文的(\mathrm{52,13})-PZCP。由于文献[16]无法生成52长度的PZCP，因此选择了该长度附近的(\mathrm{40,11})-PZCP和(\mathrm{64,17})-PZCP。为方便对比，选取GCP长度为64^[6]，ZCP为(\mathrm{52,28})-\mathrm{Z}\mathrm{C}\mathrm{P}^[17]。由于以上波形的ZCZ范围为11~28，折中考虑将雷达匹配滤波的观测时延范围设为[-\mathrm{15},\mathrm{15}]。多普勒频移选取\theta \in [-\mathrm{0.2},\mathrm{0.2}]，以覆盖主瓣附近绝大部分能量区域。

图6展示了\theta =\mathrm{0.2}处的各波形的二维模糊函数时域相关对比曲线。结合图5可见，GCP、ZCP和(\mathrm{40,11})-\mathrm{P}\mathrm{Z}\mathrm{C}\mathrm{P}^[16]的旁瓣水平和数量明显高于(\mathrm{64,17})-\mathrm{P}\mathrm{Z}\mathrm{C}\mathrm{P}^[16]和本文(\mathrm{52,13})-\mathrm{P}\mathrm{Z}\mathrm{C}\mathrm{P}，其根源在于GCP和ZCP设计未顾及互相关对模糊函数的恶化效应；而(\mathrm{40,11})-\mathrm{P}\mathrm{Z}\mathrm{C}\mathrm{P}因ZCZ范围小于观测时延，导致ZCZ外旁瓣激增。综上，PZCP的多普勒容忍性全面优于GCP和ZCP。

表4汇总了3类PZCP的PSLR和ISLR量化结果：本文52长PZCP较40长序列的PSLR提升25 dB左右，ISLR提升7 dB；与64长PZCP性能相当，却缩短序列长度19%，有效降低雷达时隙资源消耗，为雷达波形库提供了更具竞争力的候选方案。

5 结束语

为提升MIMO雷达在多普勒环境下的探测性能，本文构建PZCP与ESP集联合波形设计框架，优化雷达发射波形设计。针对现有PZCP构造参数稀疏、长度受限的瓶颈，提出级联—插值通用构造范式，通过引入QS-GCP和传统ZCP两类基础序列生成3类新型PZCP，填补了现有研究中PZCP长度覆盖的空白，显著拓展了PZCP的存在空间。仿真结果表明，所构造的PZCP能在相对更短序列长度下，模糊函数仍具有低的PSLR和ISLR，优于同条件下 GCP、ZCP 及已有 PZCP，验证了“以短代长”的波形资源节约潜力。然而，目前 PZCP 的ZCZ宽度与序列长度之比仍受 1/4 上限约束。如何突破该理论界限、实现更大 ZCZ 占比的 PZCP，将是后续研究亟待解决的关键问题。

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基金资助

国家自然科学基金(62471427)

河北省自然科学基金(F2023203066)