OpenSeesPy融合信赖域优化算法的斜拉桥索力优化方法

Method for optimizing cable forces of cable-stayed bridges by integrating OpenSeesPy with trust-region optimization algorithm

摘要

斜拉桥的索力优化是确保桥梁结构受力合理的关键环节。为解决传统有限元软件中索力优化反复迭代、调校操作复杂、计算效率低的问题，该文结合Python和OpenSeesPy开源库，建立考虑施工过程的斜拉桥有限元模型，以结构弯曲能量最小化为目标，采用最小信赖域优化算法，提出一种可自动优化施工过程及成桥索力的方法。以广西最大跨径斜拉桥——武宣黔江特大桥为工程案例，验证该方法的有效性和适用性。结果表明：优化后桥梁索力分布合理，桥梁施工过程中的变形和内力变化均处于可控范围，确保了各施工阶段桥梁的结构安全与稳定性。研究成果为斜拉桥的设计与施工提供了一种新的优化计算技术手段。

Abstract

Cable force optimization is a key step in ensuring a rational force state of cable-stayed bridge structures. To address the repeated iterations, complicated adjustment procedures, and low computational efficiency associated with cable force optimization using traditional finite element software, this paper combined Python with the OpenSeesPy open-source library to establish a finite element model of a cable-stayed bridge that accounted for the construction process. A trust-region optimization algorithm was adopted to minimize structural bending energy, and a method was proposed for automatically optimizing cable forces during construction and in the completed bridge. The effectiveness and applicability of the proposed method were verified through a case study of the Wuxuan Qianjiang Grand Bridge, the largest-span cable-stayed bridge in Guangxi. The results indicate that the optimized cable force distribution is reasonable, and that the variations in deformation and internal forces during bridge construction remain within controllable limits, thus ensuring the structural safety and stability of the bridge at all construction stages. The research results provide a new optimization-based computational technique for the design and construction of cable-stayed bridges.

Graphical abstract

关键词

斜拉桥 / 索力优化 / OpenSeesPy / 最小弯曲能量法 / 信赖域优化算法

Key words

cable-stayed bridge / cable force optimization / OpenSeesPy / minimum bending energy method / trust-region optimization algorithm

0 引言

斜拉桥索力优化是桥梁工程中的一项关键技术，其核心在于通过系统性调节拉索张力，实现结构内力与几何线形的协同控制^［1-6］。随着大跨径桥梁建设的迅猛发展，近年来索力优化计算研究多维度呈现创新发展的良好态势。

肖汝诚等^［7-8］开创性地建立了广义影响矩阵理论框架，为后续的工程应用奠定了坚实的数学基础。在此理论突破的基础上，于玲等^［9］将最优控制理论引入这一领域，显著提高了索力优化的计算精度；王占飞等^［10］提出的二次优化策略，通过线性内插法，显著提升了矮塔斜拉桥的索力计算精度。值得关注的是，赵青等^［11］创新性地将智能算法与影响矩阵融合，解决了传统方法计算复杂度高的问题；陈从春等^［12］研发的混合梁斜拉桥优化算法，实现了有限元分析与影响矩阵的深度融合。针对大跨径桥梁的非线性特征，韩若愚等^［13］的最新研究系统论证了“索力控制法”与“索长控制法”的适用边界，并建立了非线性影响矩阵的构建准则。

在工程实践层面，商业有限元软件的深度应用促进了索力优化走向工程化。Zhang等^［14］、杨德灿等^［15］基于Ansys平台，应用能量最小化准则对混合梁斜拉桥进行双算法优化，成功建立了位移‒索力双约束模型；Sun等^［16］则创新性地将Matlab信赖域算法与Ansys结合，形成了多荷载工况下的组合优化模型；李银山等^［17］研发的连续分段积分法在改善主梁受力方面显示出独特优势；吴霄等^［18］采用Ansys对不同索力配置的结构安全性影响进行了静力分析，验证了优化松弛后的设计合理性；石旷等^［19］采用Ansys建立了独塔非对称斜拉桥的数值模型，并应用JAYA算法进行索力优化，优化后的索力分布更加合理，主梁弯矩分布显著优化；Zhu等^［20］结合影响矩阵与精英遗传算法，利用Ansys和Matlab，实现了斜拉桥的索力优化，优化目标为最小化弯矩，此方法大幅降低了计算量，提高了优化效率，并有效兼顾了主梁与主塔的受力特性，证明了其实用性。在Midas软件应用方面，刘兆丰等^［21］基于Midas与数值程序提高了索力优化效率，在满足预期目标的前提下实现了配索数量最小化；占玉林等^［22］结合Midas Civil软件与响应面法，优化了异形斜拉桥的索力，改善了主梁的内力和弯矩分布。尽管上述研究方法在理论上取得了显著成果，但其优化过程多依赖Ansys和Midas等传统商业有限元软件，需将索力计算转化为数学优化问题，迭代调校过程耗时较长，限制了优化效率的进一步提升。

本研究提出一种基于开源架构的优化新方法，通过Python构建OpenSeesPy开源库，建立考虑施工过程的斜拉桥有限元模型。以最小弯曲能量作为优化目标，结合最小信赖域优化算法，实现斜拉桥成桥索力及施工过程中索力的自动优化，避免了以往研究中反复迭代与调校的过程，大幅节省了数据准备及计算时间。最后，以广西最大跨径斜拉桥——武宣黔江特大桥为算例，验证该方法的有效性及适用性。

1 基本理论

1.1 最小弯曲能量法

1.1.1 基本理论

优化目标是使结构的弯曲能量最小化。对于离散结构，弯曲应变能可以表示为：

U={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}\frac{l_i}{\mathrm{2}{E}_i{I}_i}{M}_i^{\mathrm{2}}（1）

式中：l_i 、E_i 、I_i 、M_i 分别为长度、弹性模量、抗弯惯性矩、弯矩。

将式（1）改写成矩阵形式，可以得到：

U={\{M\}}^{\mathrm{T}}[B]\{M\}（2）

式中：｛M｝为弯矩向量；［B］为系数矩阵，表示单元柔度对单元弯矩的加权矩阵，[B]=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}[b_{\mathrm{1}}{b}_{\mathrm{22}}\dotsb_{mm}],b_{ii}=\frac{l_i}{\mathrm{2}{E}_i{I}_i},i=\mathrm{1,2},\dots ,m。

调索后的弯矩向量可以表示为：

\{M\}=\{M_{\mathrm{0}}\}+[C]\{T\}（3）

式中：[C]、\{T\}、\{M_{\mathrm{0}}\}分别为索力对弯矩的影响矩阵、施调向量以及调索前弯矩向量。

\begin{array}{c}U=c_{\mathrm{0}}+\{M_{\mathrm{0}}{\}}^{\mathrm{T}}[B][C]\{T\}+{\{T\}}^{\mathrm{T}}{[C]}^{\mathrm{T}}[B]\{M_{\mathrm{0}}\}+\\ {\{T\}}^{\mathrm{T}}{[C]}^{\mathrm{T}}[B][C]\{T\}\end{array}（4）

式中：c₀为不包含\{T\}项的常数。

为了求出驻点，令：\frac{\partial U}{\partial T_i}=\mathrm{0}，可得：

{[C]}^{\mathrm{T}}[B][C]\{\mathit{T}\}+{[C]}^{\mathrm{T}}[B]\{M_{\mathrm{0}}\}=\mathrm{0}（5）

通过求解式（5），可得给定条件下结构弯曲能量最小的内力状态及其对应索力。

1.1.2 近似准则推导

根据影响矩阵［C］的定义，可以得到：

\mathrm{2}{[C]}^{\mathrm{T}}[B][C]=[\delta ]；\mathrm{2}{[C]}^{\mathrm{T}}[B][M_{\mathrm{0}}]=[\Delta ]

（6）

式中：［δ］为斜拉索体系柔度矩阵，矩阵内元素记为δ_ij；［Δ］为外荷载引起的索锚固点初始位移向量，向量内分量记为Δ_iP。

矩阵与向量内元素的积分表达式分别为：

{\delta }_{ij}=\sum \int \frac{{\overline{M}}_i(s){\overline{M}}_j(s)}{E_i{I}_i}\mathrm{d}s（7）

{\Delta }_{iP}=\sum \int \frac{\overline{M_i}(s)M_{\mathrm{0}}(s)}{E_i{I}_i}\mathrm{d}s（8）

式中：δ_ij 为柔度系数，代表在第j根斜拉索施加单位拉力时，第i根斜拉索锚固位置沿索向产生的位移；Δ_iP 为调索前仅作用外荷载时，第i根斜拉索锚固位置沿索向产生的初始位移；{\overline{M}}_i(s)、{\overline{M}}_j(s)为单位荷载引起的基本结构弯矩；M_{\mathrm{0}}(s)为调索前外荷载作用下的基本结构弯矩。

将式（6）、式（7）和式（8）代入式（5），可以得到：

\begin{array}{c}\left[\sum \int \frac{{\overline{M}}_i(s){\overline{M}}_j(s)}{E_i{I}_i}\mathrm{d}s\right]\{T\}+\\ \sum \int \frac{{\overline{M}}_i(s)M_{\mathrm{0}}(s)}{E_i{I}_i}\mathrm{d}s=\mathrm{0}\end{array}（9）

作一次落架计算并且忽略剪力的影响后，可得：

\left(\sum \int \frac{{\overline{M}}_i(s){\overline{M}}_j(s)}{E_i{I}_i}\mathrm{d}s+\sum \int \frac{{\overline{N}}_i(s){\overline{N}}_j(s)}{E_i{A}_i}\mathrm{d}s\right)\{T\}+\left\{\sum \int \frac{{\overline{M}}_i(s)M_{\mathrm{0}}(s)}{E_i{I}_i}\mathrm{d}s+\sum \int \frac{{\overline{N}}_i(s)N_{\mathrm{0}}(s)}{E_i{A}_i}\mathrm{d}s\right\}=\mathrm{0}（10）

若人为将各单元抗弯刚度减小至一定程度，轴力项可以忽略不计，力法方程等同于式（9），该状态下对应的弯曲能量最小。

1.2 信赖域优化算法

信赖域优化算法是一种用于求解非线性优化问题的数值方法^［22］。该算法的核心思想是在每次迭代中构造一个局部模型来近似目标函数，并在称为“信赖域”的局部区域内求解该模型的极小值，从而确保算法具有良好的全局收敛性和鲁棒性。

对于一般优化问题：

Z=\mathrm{m}\mathrm{i}{\mathrm{n}}_{x}f(x)（11）

满足以下约束条件：

\left\{\begin{array}{ll}{g}_i(x)\le \mathrm{0},& i=\mathrm{1,2},\dots ,m\\ h_j(x)=\mathrm{0},& j=\mathrm{1,2},\dots ,p\end{array}\right.（12）

式中：g_i(x)、h_j(x)、f(x)分别为不等式约束、等式约束以及目标函数。

在当前点x_k，构造f(x)的二次近似模型：

q_k=f(x_k)+g_k^{\mathrm{T}}d+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{d}^{\mathrm{T}}{G}_{k}d（13）

使式（13）逼近目标函数f(x)，给定第k步的邻域内q_k(d)与目标函数相同，并确定搜索方向d_k。

信赖域的数学模型为：

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{q}_k(s_k)=f(p_k)+g_k^{\mathrm{T}}{s}_k+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{s}_k^{\mathrm{T}}{G}_k{s}_k,\Vert s_k\Vert \le {\Delta }_k（14）

式中：f(p)为目标函数；q(s)为f(p)附近的二次函数；g_k、G_k 分别为梯度矩阵、Hessian矩阵；Δ_k 为信赖域半径；s_k为步长，其中：s_k=p_{k+\mathrm{1}}-p_k。

设损伤识别的目标函数为：

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{f(p)={\{E\}}^{\mathrm{T}}\{E\}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}{e}_i^{\mathrm{2}}\}（16）

式中：e_i为列阵\{E\}中的第i个值。

梯度阵列为：

g_k=\left(\frac{\partial f}{\partial p_{\mathrm{1}}},\frac{\partial f}{\partial p_{\mathrm{2}}},\cdots ,\frac{\partial f}{\partial p_n}\right)=\mathrm{2}[S]\{E\}（17）

S=\left[\frac{\partial E}{\partial {\left\{p\right\}}^{\mathrm{T}}}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial e_{\mathrm{1}}}{\partial p_{\mathrm{1}}}& \dots & \frac{\partial e_{\mathrm{1}}}{\partial p_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial e_m}{\partial p_{\mathrm{1}}}& \dots & \frac{\partial e_m}{\partial p_n}\end{array}\right]（18）

式中：S为E的灵敏度矩阵。

1.3 索力优化模型

1.3.1 求解变量

在优化计算模型中，索力调整量被视为对未知变量进行求解，其中：

\{T_x\}=\{T_{x\mathrm{1}},T_{x\mathrm{2}},\cdots ,T_{xn}{\}}^{\mathrm{T}}（19）

式中： T_{xi}为第i号索的索力调整量。

1.3.2 目标函数

为了优化斜拉桥的索力，可以构建调索后索力与最小弯曲能量法对应索力差值最小作为目标函数。具体来说，目标函数可以表示为索力调整前后目标索力向量差值的平方和，以确保调整后的索力尽可能接近目标索力值，可表示为：

f(x)=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}| \mathrm{\Delta }{T}_i|（20）

式中：

\begin{array}{c}\{\mathrm{\Delta }{T}_i\}=\{\mathrm{\Delta }{T}_{\mathrm{1}}\hspace{1em}\mathrm{\Delta }{T}_{\mathrm{2}}\hspace{1em}\cdots \hspace{1em}\mathrm{\Delta }{T}_n{\}}^{\mathrm{T}}=\\ \{T_{m\mathrm{1}}^l-T_{m\mathrm{1}}\hspace{1em}{T}_{m\mathrm{2}}^l-T_{m\mathrm{2}}\hspace{1em}\cdots \hspace{1em}{T}_{mn}^l-T_{mn}{\}}^{\mathrm{T}}\end{array}（21）

式中：T_{mi}、\mathrm{\Delta }{T}_i分别为目标索力与目标索力差值；T_{mi}^l为迭代调索后的理论索力。

1.3.3 约束条件

在优化过程中，需要考虑结构的线形和索力均匀性作为约束条件，以确保优化结果的合理性和可行性。具体的约束条件可以表示为：

|\mathrm{\Delta }d|\le d_m（22）

T_i>\mathrm{0}（23）

\sigma =\sqrt[]{\frac{\mathrm{1}}{n}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}(T_i{-\mu )}^{\mathrm{2}}}\le r（24）

式中：|\mathrm{\Delta }d|为线形误差；d_m为误差限值；\sigma、\mu、r分别为索力变化的标准差、均值以及容许标准差限值。

1.4 索力优化流程

本文基于结构的材料参数、几何参数及边界条件等，通过Python调用OpenSeesPy开源库，建立了斜拉桥的有限元计算模型。同时，结合工程实际情况，构建了考虑施工阶段影响的矩阵。最后，采用信赖域优化算法，并结合第1.3节中提到的目标函数与约束条件，实现了斜拉桥施工过程及成桥索力的优化计算，索力优化流程如图1所示。

2 仿真算例

为验证优化方法以及优化程序的可靠性，本研究建立了一座全漂浮体系双塔三跨斜拉桥基准模型。该桥梁总长600 m，均匀划分为60个标准节段，每节段长度10 m。桥塔设计高度120 m，采用二期恒载模拟桥面铺装，其荷载集度为72.6 kN/m，模型示意图如图2所示。

索力优化后的计算结果如图3所示。由图3可知：优化后的索力分布呈现出良好的规律性：相邻斜拉索之间的索力偏差控制在500 kN以内，且整体符合“长索索力大，短索索力小”的力学分布特征。图4展示了塔梁内力分布情况，主梁内力呈均匀锯齿状分布，符合结构受力要求。图5为塔梁变形分布图，计算结果表明：主塔最大变形值为42.019 mm，主梁最大变形值为0.089 mm，变形模式符合“梁平塔直”的斜拉桥基本变形规律，验证了优化结果的合理性。

3 工程应用

3.1 项目概述

武宣黔江特大桥是一座主跨长度为618 m的双塔双索面混合梁斜拉桥，如图6所示。主桥中心桩号为K14+675，全长1 000 m，塔高216 m，呈钻石形变截面，桥面宽度31 m，采用钢箱梁结构，边跨使用混凝土梁。主桥纵坡为±1.0%，竖曲线对称布置，中间部分采用凸形竖曲线，半径为35 000 m。索塔基础采用承台接钻孔灌注桩的形式。承台尺寸为43 m×24 m×6 m，浇筑方量为6 192 m³。钢主梁分为43段，每段标准长度为15 m，宽度31 m，质量约为230 t，桥面铺装采用超韧混凝土STC轻型组合结构。

混凝土箱梁采用PK型分离式双边箱截面，梁中心线处梁高3.5 m，全宽31.0 m（含风嘴）。考虑到构造和施工架设等因素，中跨主梁被划分为4种类型：A、B、C和JH，共计43个梁段，每段的标准长度为15 m。考虑到施工期间黔江水位较低，大型浮吊无法靠岸，需要在中跨靠塔侧搭设临时存（移）梁支架，且支架体量较大（最大长度接近100 m），施工工期长、风险较高，因此中跨钢箱梁节段拟采用缆索吊装系统进行吊装。最大起吊质量约为230 t。

3.2 OpenSeesPy有限元建模

3.2.1 有限元模型

本研究采用Python调用OpenSeesPy开源库，建立了武宣黔江特大桥的三维数值模型，通过合理的单元划分策略和边界条件设置，尽可能保证模型的准确性。具体而言：索塔、桥面板和辅助墩采用ElasticTimoshenkoBeam模拟；边跨主梁由于拉索集中且结构复杂，采用加密单元划分；渐变截面采用Displacement-Based Beam-Column Element单元模拟；斜拉索采用Truss Element单元模拟，并基于Ernst公式修正等效模量，以考虑几何非线性。

在边界体系施加方面，采取以下技术措施：主塔及辅助墩基础采用完全固结约束（限制6个空间自由度），以真实反映下部结构的固定边界条件；主塔‒桥面连接界面设置弹性耦合连接机制，释放纵向平动自由度，以符合半漂浮体系力学特性；斜拉索端部与主梁、塔柱的锚固节点采用全自由度耦合连接，确保索力传递路径完整。如图7所示，建立的精细化有限元模型通过合理的单元配置与约束定义，有效模拟了半漂浮体系斜拉桥的复杂结构行为，为后续索力优化研究奠定了基础。

3.2.2 施工阶段划分

施工过程共划分为47个关键阶段，主要包含主塔安装、边跨现浇施工、主梁1~20号段逐段安装及对应拉索B1~B20、Z1~Z20号张拉、压重施加、主跨合龙、压重拆除、支架系统拆除以及二期恒载施加等关键工序，各阶段的具体划分参数如表1所示。

3.3 计算结果分析

3.3.1 斜拉索内力

考虑施工阶段的斜拉索成桥内力分布特征如图8所示。计算结果表明：成桥状态下斜拉索内力分布合理，其中中跨拉索索力呈现“长索索力大、短索索力小”的分布规律，最大索力值为3 707.1 kN；边跨拉索索力呈现“两端大、中间小”的抛物线分布，最大索力达5 546.8 kN，其分布规律与设置边跨辅助墩斜拉桥的力学特性相符。

如图9所示，施工过程中索力变化呈现出明显的阶段性特征。在主梁安装和拉索张拉阶段，索力变化平稳，波动幅度较小，表明施工过程控制良好；在二期恒载施加阶段，索力出现100~500 kN的合理波动，这一变化规律与荷载施加过程相符。整体而言，施工全过程的索力变化曲线连续平滑，未出现异常突变，验证了本文索力优化结果的可靠性。

3.3.2 安装变形

图10、图11展示了武宣黔江特大桥的竖向以及横向成桥变形特征。由图10、图11可知：结构竖向变形最大值为11.202 mm，出现在主跨跨中位置；桥轴向变形最大值为58.210 mm，位于主塔塔顶，其成桥线形符合设计要求，同时也符合“梁平塔直”的典型变形特征。施工中常将计算变形值反向施加于立模指令中，最终保证索塔实测线形控制在《公路工程质量检验评定标准》（JTJ 071—1998）^［23］允许范围内。

图12、图13分别为主梁安装偏位和累计位移的变化规律。由图12、图13可以看出：① 随着施工阶段推进，为实现精确的切向拼装，所需安装预偏量呈现递增趋势，该变化特征与斜拉桥悬臂施工的力学特性吻合；② 累计位移发展过程显示，在施工前期，各梁段位移持续累积；至二期恒载施加前，结构仍保持较大位移量；二期恒载铺装后，位移显著收敛并趋于稳定，证明在该索力条件下，结构体系转换平稳可靠。

3.3.3 成桥内力

图14展示了考虑施工阶段的成桥内力分布特征。可以发现，由于边跨采用一次落架现浇施工工艺，支座处负弯矩分布比较平缓，中跨内力呈均匀锯齿状分布，符合结构受力要求。施工第20阶段主梁内力结果如图15所示。

从图15可以看出：施工第20阶段边跨和中跨的内力值均小于成桥状态，表明施工过程结构受力处于安全可控范围，施工风险较低。

4 结论

本文基于OpenSeesPy平台，结合最小信赖域优化算法，提出一种斜拉桥索力优化计算方法。以广西最大跨径斜拉桥——武宣黔江特大桥为工程实例，验证了该计算方法的适用性。得出以下主要结论：

（1） 将最小弯曲能量法与信赖域优化算法相结合，可显著提升算法的收敛速度。依托信赖域半径自适应调整机制，能够有效克服传统优化方法易陷入局部最优解的不足，显著提升了算法的全局优化能力。

（2） 将该优化方法应用于武宣黔江特大桥进行索力调整，优化后索力分布符合设计要求。桥梁施工过程的变形量及内力变化均处于合理范围，保障了桥梁各施工阶段的安全稳定。

（3） 采用本文方法求解斜拉桥最优索力，能够有效得到对称且平滑的索力优化结果。确认较优的索力值后，桥梁在成桥状态下的变形很小，几何非线性的影响基本可忽略不计。

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基金资助

广西科技重大专项（编号：桂科AA23062022）

交通运输行业重点科技项目(2022ZD6085)

广西科技重点研发计划项目（编号：桂科AB23026101）