扩散项Hölder连续的非自治随机微分方程截断欧拉方法的收敛性

Convergence of the truncated Euler method for non⁃autonomous stochastic differential equations with Hölder continuous diffusion coefficients

摘要

研究了扩散项Hölder连续时一维非自治随机微分方程截断欧拉方法的收敛性，利用Yamada⁃Watanabe逼近方法得到该一维随机微分方程的收敛性。与已有成果相比，我们研究了加入时间变量t且时间变量满足Hölder连续的非自治随机微分方程的收敛性，且收敛速度依赖于Hölder指数。最后给出一个数值算例证明了结论。

Abstract

We studied the convergence of the truncated Euler method for one⁃dimensional non⁃autonomous stochastic differential equations with a Hölder continuous diffusion term and obtained its convergence using the Yamada⁃Watanabe approximation. Compared with earlier work， the main innovation in this paper is to change the type of equation to a non⁃autonomous stochastic differential equation by introducing a time variable “t”， and make both the diffusion term and drift term Hölder continuous with respect to the time variable “t”. We obtained the convergence rate， and proved that it is dependent on the Hölder order of “t”. Finally， a numerical example is given to illustrate the conclusion.

Graphical abstract

关键词

非自治随机微分方程 / Hölder连续 / 收敛性 / 截断欧拉方法

Key words

non⁃autonomous stochastic differential equation / Hölder continuous / convergence / truncated Euler method

引言

近年来，非线性随机微分方程广泛应用于无线通信、金融工程等领域，然而通常情况下非线性随机微分方程几乎很难求取精确解，因此非线性随机微分方程数值解的收敛性得到了越来越多的研究。如Mao^［1］在系数满足局部Lipschitz条件时提出了截断Euler⁃Maruyama （EM）方法，得到了强收敛条件，并进一步研究了其收敛速度^［2］；Lan等^［3］基于文献［1］的截断EM方法提出了修正截断EM逼近，并在更弱的条件下得到了其强收敛速度和相应的渐近指数稳定性^［4］。然而在金融领域，当用随机微分方程刻画利率模型时，其扩散项系数通常并不满足局部Lipschitz条件，而是只满足Hölder连续性条件，因此研究扩散项Hölder连续时对应随机微分方程数值解的收敛性具有重要的意义。

当扩散项Hölder连续时，文献［5］采用Yamada⁃Watanabe逼近方法研究了一维随机微分方程截断欧拉方法的收敛性。文献［6］在文献［5］的基础上放宽对步长的限制，研究了自治的随机微分方程截断欧拉方法的收敛性和稳定性。文献［7］同样采用Yamada⁃Watanabe逼近方法，研究了带有马氏切换的随机微分方程驯服欧拉方法的收敛性。

上述文献中研究的方程均不显含时间变量，而有时系统的状态变化率是依赖于所处时刻的。因此，研究相应的非自治随机微分方程数值解的性质很有必要。基于此，本文采用Yamada⁃Watanabe逼近方法研究扩散项Hölder连续时非自治随机微分方程截断欧拉方法的收敛性，得到了当扩散系数和漂移系数关于时间变量均为Hölder连续时的收敛速度。

1 基本假设与模型描述

设(\mathrm{\Omega },\mathrm{ℱ},P)是一个完备的概率空间，B(t)是定义在上面的标量布朗运动。对于任意的a,b\in \mathbb{R}，a\vee b:=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{a,b\}，a\wedge b:=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{a,b\}。

本文考虑如下非自治随机微分方程

\mathrm{d}X(t)=f(t,X(t))\mathrm{d}t+g(t,X(t))\mathrm{d}B(t)（1）

初值为X(\mathrm{0})=x_{\mathrm{0}}\in \mathbb{R}，f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}是Borel可测函数。本文提出如下假设。

假设1 对任意的R>\mathrm{0}，存在正数L_R，使得

|f(t,x)-f(t,y)|\le L_R|x-y|（2）

对任意的|x|\vee |y|\le R成立。

假设2 g满足Hölder连续条件

|g(t,x)-g(t,y)|\le L_{\mathrm{1}}|x-y{|}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\alpha }（3）

f满足单边Lipschitz条件

(x-y)(f(t,x)-f(t,y))\le {\lambda }_{\mathrm{1}}|x-y{|}^{\mathrm{2}}（4）

式中，\mathrm{0}\le \alpha \le \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}，L_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}，{\lambda }_{\mathrm{1}}\ge \mathrm{0}。且\underset{t\in [\mathrm{0},T]}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}|f(t,\mathrm{0})|\vee。

用C表示与{\lambda }_{\mathrm{1}}\mathrm{、}p\mathrm{、}\alpha \mathrm{、}{L}_{\mathrm{1}}相关的正常数（但与L_R\mathrm{、}R\mathrm{、}步长\Delta、迭代次数k均无关），且C的取值在不同情况下会发生变化。

由假设2可知，对于任意给定的p\ge \mathrm{2}，存在C>\mathrm{0}（与p有关），使得

xf(t,x)+\frac{p-\mathrm{1}}{\mathrm{2}}|g(t,x){|}^{\mathrm{2}}\le C(\mathrm{1}+|x{|}^{\mathrm{2}})（5）

对于所有的x\in \mathbb{R}，t\ge \mathrm{0}均成立。

由文献［5］中引理2.3可得如下引理。

引理1 若假设1和假设2成立，则方程(\mathrm{1})有唯一全局解，并且对于所有的p>\mathrm{0}满足

接下来定义截断欧拉方法。选择严格增连续函数\phi :R_{+}\to R_{+}，使得对任意r\ge \mathrm{1}满足

\underset{|x|\le r}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\frac{|f(t,x)|}{\mathrm{1}+|x|}\le \phi (r)（6）

显然\phi的反函数{\phi }^{-\mathrm{1}}:[\phi (\mathrm{1}),\mathrm{\infty })\to R_{+}为严格增连续函数。对于任意给定的步长\Delta \in (\mathrm{0,1}]和常数K\ge \phi (|x_{\mathrm{0}}|\vee \mathrm{1})，定义{\pi }_{\Delta }:\mathbb{R}\to \mathbb{R}如下。

{\pi }_{\Delta }(x)=\left(|x|\wedge {\phi }^{-\mathrm{1}}(K{\Delta }^{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}})\right)\frac{x}{|x|}

其中，当x=\mathrm{0}时记\frac{x}{|x|}=\mathrm{0}。

进而，对于任意的x\in \mathbb{R}，定义截断函数

f_{\Delta }(t,x)=f(t,{\pi }_{\Delta }(x))

显然，由式（6）得

|f_{\Delta }(t,x)|\le K{\Delta }^{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}(\mathrm{1}+|x|\wedge {\phi }^{-\mathrm{1}}(K{\Delta }^{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}))\leK{\Delta }^{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}(\mathrm{1}+|x|)（7）

另一方面，由假设2易知

|g(x){|}^{\mathrm{2}}\le \mathrm{2}|g(x)-g(\mathrm{0}){|}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}|g(\mathrm{0}){|}^{\mathrm{2}}\le \mathrm{2}{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}|x{|}^{\mathrm{1}+\mathrm{2}\alpha }+

\mathrm{2}|g(\mathrm{0}){|}^{\mathrm{2}}\le C(\mathrm{1}+|x{|}^{\mathrm{2}})（8）

即g满足线性增长条件，因此不需截断。

定义t_k=k\Delta，此时X_{\Delta }(t_k)\approx X(t_k)，设X_{\mathrm{0}}^{\Delta }=x_{\mathrm{0}}，则离散时间截断欧拉方法数值格式定义为

X_{k+\mathrm{1}}^{\Delta }=X_k^{\Delta }+f_{\Delta }(t_k,X_k^{\Delta })\Delta +g(t_k,X_k^{\Delta })\Delta B_k

其中，k=\mathrm{0,1},…,\Delta B_k=B(t_{k+\mathrm{1}})-B(t_k)。

为构造截断欧拉方法的连续格式，首先定义

{\overline{X}}_{\Delta }(t)={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{X}_k^{\Delta }{\mathrm{1}}_{[t_k,t_{k+\mathrm{1}})}(t)，t\ge \mathrm{0}

\tau (t)={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{N\Delta }}{t}_k{\mathrm{1}}_{[t_k,t_{k+\mathrm{1}})}(t)，t\ge \mathrm{0}

进而，定义截断欧拉方法的连续格式如下。

X_{\Delta }(t)=x_{\mathrm{0}}+{\int }_{\mathrm{0}}^t{f}_{\Delta }(\tau (s),{\overline{X}}_{\Delta }(s))\mathrm{d}s+{\int }_{\mathrm{0}}^{t}g(\tau (s),{\overline{X}}_{\Delta }(s))\mathrm{d}B(s)

易知X_{\Delta }(t_k)={\overline{X}}_{\Delta }(t_k)=X_k^{\Delta }对于任意k\ge \mathrm{0}成立。

X_{\Delta }(t)是一个\mathrm{I}\mathrm{t}\widehat{\mathrm{o}}过程且满足如下微分形式

\mathrm{d}{X}_{\Delta }(t)=f_{\Delta }(\tau (t),{\overline{X}}_{\Delta }(t))\mathrm{d}t+g(\tau (t),{\overline{X}}_{\Delta }(t))\mathrm{d}B(t)（9）

则由文献［6］可得如下引理。

引理2 若假设1和假设2成立，则对于所有的\Delta \in (\mathrm{0,1}]，p\ge \mathrm{2}，x\in \mathbb{R}，有

x{f}_{\Delta }(t,x)+\frac{p-\mathrm{1}}{\mathrm{2}}|g(t,x){|}^{\mathrm{2}}\le C(\mathrm{1}+|x{|}^{\mathrm{2}})（10）

定理1　若假设1和假设2成立，则对于任意的\Delta \in (\mathrm{0,1}]，任意的p>\mathrm{0}，有

（11）

\underset{\mathrm{0}\le t\le T}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}E|X_{\Delta }(t)-{\overline{X}}_{\Delta }(t)|\le C{\Delta }^{\frac{p}{\mathrm{2}}}，\forall T>\mathrm{0}（12）

证明： 过程类似文献［6］中的定理2.1，本文不再赘述。

假设3 存在l>\mathrm{0}，L_{\mathrm{2}}>\mathrm{0}，使得

|f(t,x)-f(t,y)|\le L_{\mathrm{2}}(\mathrm{1}+|x{|}^l+|y{|}^l)|x-y|（13）

由于|f(t,\mathrm{0})|关于t有界，由假设3知

|f(t,x)|\le |f(t,x)-f(t,\mathrm{0})+f(t,\mathrm{0})|\le L_{\mathrm{2}}(\mathrm{1}+|x{|}^l)|x|+|f(t,\mathrm{0})|\le \overline{L}(\mathrm{1}+|x{|}^{l+\mathrm{1}})（14）

假设4 存在常数\gamma ,\lambda \in (\mathrm{0,1}],C>\mathrm{0},l>\mathrm{0}，对于任意的t,s\in (\mathrm{0},T],x\in \mathbb{R}，使得

|f(t,x)-f(s,x)|\le C(\mathrm{1}+|x{|}^{l+\mathrm{1}})|t-s{|}^{\gamma }（15）

|g(t,x)-g(s,x)|\le C(\mathrm{1}+|x{|}^{l+\mathrm{1}})|t-s{|}^{\lambda }（16）

成立。

2 主要结果与证明

定理2 若假设1、2、3和4成立，则对于任意的\Delta \in (\mathrm{0,1}]和任意的T>\mathrm{0}，当\alpha =\mathrm{0}时，有

E|X(T)-X_{\Delta }(T)|\le C\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{1}/\Delta )}

当时，有

定理结果表明，对于非自治随机微分方程，其截断欧拉逼近的收敛速度显式依赖于其系数关于时间的连续性，而文献［8］的收敛速度与时间的连续性无关。与文献［5］、［9］相比，本文结果更一般，且收敛结果不受步长限制（只需\Delta \in (\mathrm{0,1}]），与文献［6］相比，在\alpha =\mathrm{0}时得到的收敛速度更简洁。

证明： 证明思想类似于文献［5］、［6］或［10］中的Yamada⁃Watanabe逼近方法。

对任意\delta >\mathrm{1}，\epsilon >\mathrm{0}，令{\int }_{\epsilon /\delta }^{\epsilon }\frac{\mathrm{1}}{x}\mathrm{d}x=\mathrm{l}\mathrm{n}\delta。故存在连续函数{\psi }_{\delta \epsilon }:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}_{+}满足\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}{\psi }_{\delta \epsilon }\subset [\frac{\epsilon }{\delta },\epsilon ]，使得对于任意x>\mathrm{0}，\mathrm{0}\le {\psi }_{\delta \epsilon }(x)\le \frac{\mathrm{2}}{x\mathrm{l}\mathrm{n}\delta }成立。

定义{\varphi }_{\delta \epsilon }(x):={\int }_{\mathrm{0}}^{|x|}{\int }_{\mathrm{0}}^y{\psi }_{\delta \epsilon }(z)\mathrm{d}z\mathrm{d}y,\forall x\in \mathbb{R}。

注意到对于任意的x\in \mathbb{R}，有

|x|\le {\varphi }_{\delta \epsilon }(x)+\epsilon ,\mathrm{0}\le {\varphi }_{\delta \epsilon }^{\mathrm{\text{'}}}(x)\le \mathrm{1}（17）

{\varphi }_{\delta \epsilon }^{″}(x)={\psi }_{\delta \epsilon }(|x|)\le \frac{\mathrm{2}}{|x|\mathrm{l}\mathrm{n}\delta }{\mathrm{1}}_{\{\epsilon /\delta \le |x|\le \epsilon \}}（18）

设e_{\Delta }(t)=X(t)-X_{\Delta }(t)，t\in [\mathrm{0},T]。对任意的R>|x_{\mathrm{0}}|，定义如下两个停时。

{\tau }_R=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{t\ge \mathrm{0}:|X(t)|\ge R\}

{\tau }_R^{\Delta }=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{t\ge \mathrm{0}:|X_{\Delta }(t)|\ge R\}

令{\theta }_R^{\Delta }={\tau }_R\wedge {\tau }_R^{\Delta }，记\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\Phi =\mathrm{\infty }，由引理1和定理1得

\begin{array}{l}{R}^{p}P\{{\theta }_R^{\Delta }\le T\}\le E[|X(t\wedge {\theta }_{\Delta }){|}^p+|X_{\Delta }(t\wedge {\theta }_{\Delta }){|}^p]\le \\ E[\underset{\mathrm{0}\le t\le T}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}(|X(t){|}^p+|X_{\Delta }(t){|}^p)]\le C\end{array}

所以

P\{{\theta }_R^{\Delta }\le T\}\le \frac{C}{R^p}（19）

令{\Omega }_{\mathrm{1}}:=\{\omega :{\theta }_R^{\Delta }>T\}，由Young不等式，得

\begin{array}{l}E|e_{\Delta }(T)|=E(|e_{\Delta }(T)|{\mathrm{1}}_{{\Omega }_{\mathrm{1}}})+E(|e_{\Delta }(T)|{\mathrm{1}}_{{\Omega }_{\mathrm{1}}^c})\le \\ E(|e_{\Delta }(T)|{\mathrm{1}}_{{\Omega }_{\mathrm{1}}})+\frac{{\Delta }^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}}{l+\mathrm{1}}E|e_{\Delta }(T){|}^{l+\mathrm{1}}+\frac{l{\Delta }^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}l}}{l+\mathrm{1}}P\{{\theta }_R^{\Delta }\le T\}\end{array}（20）

由引理1、定理1和式（19）、（20）有

E|e_{\Delta }(T)|\le \frac{C}{l+\mathrm{1}}({\Delta }^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}+\frac{l{\Delta }^{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}l}}}{R^{l+\mathrm{1}}})+E(|e_{\Delta }(T)|{\mathrm{1}}_{{\Omega }_{\mathrm{1}}})（21）

根据式（6）和式（14）可以选取\phi (u)=\overline{L}(\mathrm{1}+u^l)，R={\phi }^{-\mathrm{1}}(K{\Delta }^{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}})\ge {[K/(\mathrm{2}\overline{L})]}^{\frac{\mathrm{1}}{l}}{\Delta }^{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}l}}，代入式（21）得

E|e_{\Delta }(T)|\le C{\Delta }^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}+E|e_{\Delta }(T\wedge {\theta }_R^{\Delta })|

然后利用式（17）和\mathrm{I}\mathrm{t}\widehat{\mathrm{o}}公式有

\begin{array}{l}|e_{\Delta }(t\wedge {\theta }_R^{\Delta })|\le \epsilon +{\varphi }_{\delta \epsilon }(e_{\Delta }(t\wedge {\theta }_R^{\Delta }))\le \epsilon +\\ {\int }_{\mathrm{0}}^{t\wedge {\theta }_R^{\Delta }}{\varphi }_{\delta \epsilon }^{\mathrm{\text{'}}}(e_{\Delta }(s))[f(s,X(s))-f_{\Delta }(\tau (s),{\overline{X}}_{\Delta }(s))]\mathrm{d}s+\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^{t\wedge {\theta }_R^{\Delta }}{\varphi }_{\delta \epsilon }^{\text{'}\text{'}}(e_{\Delta }(s))|g(s,X(s))-g(\tau (s),{\overline{X}}_{\Delta }(s)){|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s+\\ {\int }_{\mathrm{0}}^{t\wedge {\theta }_R^{\Delta }}{\varphi }_{\delta \epsilon }^{\text{'}}(e_{\Delta }(s))[g(s,X(s))-g(\tau (s),{\overline{X}}_{\Delta }(s))]dB(s)=:\\ \epsilon +J_{\mathrm{1}}(t)+J_{\mathrm{2}}(t)+J_{\mathrm{3}}(t)\end{array}（22）

由{\varphi }_{\delta \epsilon }(x)的定义，有\frac{{\varphi }_{\delta \epsilon }^{\mathrm{\text{'}}}(x)}{x}>\mathrm{0},x\ne \mathrm{0}。因此根据\underset{x\in \mathbb{R}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}|{\varphi }_{\delta \epsilon }^{\mathrm{\text{'}}}(x)|\le \mathrm{1}，再利用假设2，对于任意的x,y\in \mathbb{R},并且x\ne y，有

\begin{array}{l}{\varphi }_{\delta \epsilon }^{\mathrm{\text{'}}}(x-y)(f(t,x)-f(t,y))=\\ \frac{{\varphi }_{\delta \epsilon }^{\mathrm{\text{'}}}(x-y)}{x-y}(x-y)(f(t,x)-f(t,y))\le \\ {\lambda }_{\mathrm{1}}\frac{{\varphi }_{\delta \epsilon }^{\mathrm{\text{'}}}(x-y)}{x-y}|x-y{|}^{\mathrm{2}}\le {\lambda }_{\mathrm{1}}\frac{|{\varphi }_{\delta \epsilon }^{\mathrm{\text{'}}}(x-y)|}{|x-y|}|x-y{|}^{\mathrm{2}}\le \\ {\lambda }_{\mathrm{1}}|x-y|\end{array}

若x=y，显然有{\varphi }_{\delta \epsilon }^{\mathrm{\text{'}}}(x-y)(f(t,x)-f(t,y))=\mathrm{0}。

因此，对于任意的x,y\in \mathbb{R}，有

{\varphi }_{\delta \epsilon }^{\mathrm{\text{'}}}(x-y)(f(t,x)-f(t,y))\le {\lambda }_{\mathrm{1}}|x-y|（23）

从而

\begin{array}{l}{J}_{\mathrm{1}}(t)={\int }_{\mathrm{0}}^{t\wedge {\theta }_R^{\Delta }}{\varphi }_{\delta \epsilon }^{\mathrm{\text{'}}}(e_{\Delta }(s))[f(s,X(s))-\\ f_{\Delta }(\tau (s),{\overline{X}}_{\Delta }(s))]\mathrm{d}s\le {\int }_{\mathrm{0}}^{t\wedge {\theta }_R^{\Delta }}{\varphi }_{\delta \epsilon }^{\mathrm{\text{'}}}(e_{\Delta }(s))[f(s,X(s))-\\ f(s,X_{\Delta }(s))]\mathrm{d}s+{\int }_{\mathrm{0}}^{t\wedge {\theta }_R^{\Delta }}{\varphi }_{\delta \epsilon }^{\mathrm{\text{'}}}(e_{\Delta }(s))[f(s,X_{\Delta }(s))-\\ f_{\Delta }(\tau (s),{\overline{X}}_{\Delta }(s))]\mathrm{d}s\le {\lambda }_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^{t\wedge {\theta }_R^{\Delta }}|X(s)-X_{\Delta }(s)|\mathrm{d}s+\\ {\int }_{\mathrm{0}}^{t\wedge {\theta }_R^{\Delta }}{\varphi }_{\delta \epsilon }^{\mathrm{\text{'}}}(e_{\Delta }(s))[f(s,X_{\Delta }(s))-f_{\Delta }(\tau (s),{\overline{X}}_{\Delta }(s))]\mathrm{d}s\end{array}（24）

由{\phi }^{-\mathrm{1}}(K{\Delta }^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}})=R，故对于\forall s\le {\theta }_R^{\Delta },\Delta \in (\mathrm{0,1}]，有|{\overline{X}}_{\Delta }(s)|\le R\le {\phi }^{-\mathrm{1}}(K{\Delta }^{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}})。

此时f_{\Delta }(s,{\overline{X}}_{\Delta }(s))=f(s,{\overline{X}}_{\Delta }(s))。又\underset{x\in \mathbb{R}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}|{\varphi }_{\delta \epsilon }^{\mathrm{\text{'}}}(x)|\le \mathrm{1}，由式（23）、（24）得

J_{\mathrm{1}}(t)\le {\lambda }_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^{t\wedge {\theta }_R^{\Delta }}|e_{\Delta }(s)|\mathrm{d}s+{\int }_{\mathrm{0}}^{t\wedge {\theta }_R^{\Delta }}|f(s,X_{\Delta }(s))-f(s,{\overline{X}}_{\Delta }(s))|\mathrm{d}s+{\int }_{\mathrm{0}}^{t\wedge {\theta }_R^{\Delta }}|f(s,{\overline{X}}_{\Delta }(s))-f(\tau (s),{\overline{X}}_{\Delta }(s))|\mathrm{d}s（25）

对于J_{\mathrm{2}}(t)，由基本不等式和式（18）、假设2、假设4，有

\begin{array}{l}{J}_{\mathrm{2}}(t)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^{t\wedge {\theta }_R^{\Delta }}{\varphi }_{\delta \epsilon }^{\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}}(e_{\Delta }(s))|g(s,X(s))-\\ g(\tau (s),{\overline{X}}_{\Delta }(s)){|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s\le C{\int }_{\mathrm{0}}^{t\wedge {\theta }_R^{\Delta }}{\varphi }_{\delta \epsilon }^{\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}}(e_{\Delta }(s))|g(s,X(s))-g(s,X_{\Delta }(s)){|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s+C{\int }_{\mathrm{0}}^{t\wedge {\theta }_R^{\Delta }}{\varphi }_{\delta \epsilon }^{\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}}(e_{\Delta }(s))|g(s,X_{\Delta }(s))-\\ g(s,{\overline{X}}_{\Delta }(s)){|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s+C{\int }_{\mathrm{0}}^{t\wedge {\theta }_R^{\Delta }}{\varphi }_{\delta \epsilon }^{\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}}(e_{\Delta }(s))|g(s,{\overline{X}}_{\Delta }(s))-\\ g(\tau (s),{\overline{X}}_{\Delta }(s)){|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s\le C{\int }_{\mathrm{0}}^{t\wedge {\theta }_R^{\Delta }}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{l}\mathrm{n}\delta }\frac{{\mathrm{1}}_{[\frac{\epsilon }{\delta },\epsilon ]}(|e_{\Delta }(s)|)}{|e_{\Delta }(s)|}\cdot \\ |e_{\Delta }(s){|}^{\mathrm{1}+\mathrm{2}\alpha }\mathrm{d}s+C\frac{\delta }{\epsilon \mathrm{l}\mathrm{n}\delta }{\int }_{\mathrm{0}}^{t\wedge {\theta }_R^{\Delta }}|X_{\Delta }(s)-{\overline{X}}_{\Delta }(s){|}^{\mathrm{1}+\mathrm{2}\alpha }\mathrm{d}s+\\ C\frac{\delta }{\epsilon \mathrm{l}\mathrm{n}\delta }{\int }_{\mathrm{0}}^{t\wedge {\theta }_R^{\Delta }}(\mathrm{1}+|{\overline{X}}_{\Delta }(s){|}^{l+\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{2}}{\Delta }^{\mathrm{2}\lambda }\mathrm{d}s\end{array}（26）

式（22）两边取期望，得

E|e_{\Delta }(t\wedge {\theta }_R^{\Delta })|\le \epsilon +E{J}_{\mathrm{1}}(t)+E{J}_{\mathrm{2}}(t)（27）

根据Hölder不等式、定理1、假设3和假设4，由式（25）得到

\begin{array}{l}E{J}_{\mathrm{1}}(t)\le C{\int }_{\mathrm{0}}^{t}E|e_{\Delta }(s\wedge {\theta }_R^{\Delta })|\mathrm{d}s+CE{\int }_{\mathrm{0}}^{t\wedge {\theta }_R^{\Delta }}(\mathrm{1}+|X_{\Delta }(s){|}^l+|{\overline{X}}_{\Delta }(s){|}^l)(|X_{\Delta }(s)-{\overline{X}}_{\Delta }(s)|)\mathrm{d}s+CE{\int }_{\mathrm{0}}^{t\wedge {\theta }_R^{\Delta }}(\mathrm{1}+|{\overline{X}}_{\Delta }(s){|}^{l+\mathrm{1}}){\Delta }^{\gamma }\mathrm{d}s\le C{\int }_{\mathrm{0}}^{t}E|e_{\Delta }(s\wedge {\theta }_R^{\Delta })|\mathrm{d}s+\\ C{\int }_{\mathrm{0}}^t[E(\mathrm{1}+|X_{\Delta }(s){|}^l+|{\overline{X}}_{\Delta }(s){|}^l{)}^{\mathrm{2}}{]}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}[E(|X_{\Delta }(s)-{\overline{X}}_{\Delta }{(s)|)}^{\mathrm{2}}{]}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\mathrm{d}s+CE{\int }_{\mathrm{0}}^{t\wedge {\theta }_R^{\Delta }}(\mathrm{1}+|{\overline{X}}_{\Delta }(s){|}^{l+\mathrm{1}}){\Delta }^{\gamma }\mathrm{d}s\le \\ C{\int }_{\mathrm{0}}^{t}E|e_{\Delta }(s\wedge {\theta }_R^{\Delta })|\mathrm{d}s+{\Delta }^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}+{\Delta }^{\gamma }\end{array}（28）

由定理1和式（26）得

E{J}_{\mathrm{2}}(t)\le C\left(\frac{{\epsilon }^{\mathrm{2}\alpha }}{\mathrm{l}\mathrm{n}\delta }+\frac{\delta }{\epsilon \mathrm{l}\mathrm{n}\delta }{\Delta }^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\alpha }+\frac{\delta }{\epsilon \mathrm{l}\mathrm{n}\delta }{\Delta }^{\mathrm{2}\lambda }\right)（29）

将式（式（28）、（29）代入式（27），再由Gronwall不等式得

\begin{array}{l}E|e_{\Delta }(t\wedge {\theta }_R^{\Delta })|\le C(\epsilon +{\Delta }^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}+{\Delta }^{\gamma }+\frac{{\epsilon }^{\mathrm{2}\alpha }}{\mathrm{l}\mathrm{n}\delta }+\\ \frac{\delta }{\epsilon \mathrm{l}\mathrm{n}\delta }{\Delta }^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\alpha }+\frac{\delta }{\epsilon \mathrm{l}\mathrm{n}\delta }{\Delta }^{\mathrm{2}\lambda })\end{array}

若\alpha =\mathrm{0}，令\epsilon =\mathrm{1}/\mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{1}/\Delta )，\delta ={\Delta }^{-\overline{\epsilon }}，有

E|e_{\Delta }(t\wedge {\theta }_R^{\Delta })|\le C(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{1}/\Delta )}+{\Delta }^{\gamma }+{\Delta }^{\mathrm{1}/\mathrm{2}-\overline{\epsilon }}+{\Delta }^{\mathrm{2}\lambda -\overline{\epsilon }})

其中。

当\forall \theta >\mathrm{0}，x\ge \mathrm{1}时，有\mathrm{l}\mathrm{n}x\le \frac{\mathrm{1}}{\theta }{x}^{\theta }。故

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{1}/\Delta )}\ge C({\Delta }^{\gamma }+{\Delta }^{\mathrm{1}/\mathrm{2}-\overline{\epsilon }}+{\Delta }^{\mathrm{2}\lambda -\overline{\epsilon }})

即\alpha =\mathrm{0}时，

E|e_{\Delta }(t\wedge {\theta }_R^{\Delta })|\le C\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{1}/\Delta )}（30）

若，取\epsilon ={\Delta }^{\overline{\epsilon }\mathrm{\text{'}}},\delta =\mathrm{2}，\overline{\epsilon }\mathrm{\text{'}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\wedge \frac{\mathrm{2}\lambda }{\mathrm{2}\alpha +\mathrm{1}}，得

（31）

定理得证。

3 数值例子

考虑以下的一维非自治随机微分方程

\begin{array}{l}\mathrm{d}X(t)=([t{(\mathrm{1}-t)]}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{X}^{\mathrm{2}}(t)-\mathrm{2}{X}^{\mathrm{5}}(t))\mathrm{d}t+\\ [t{(\mathrm{1}-t)]}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}X{(t)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\alpha }\mathrm{d}B(t)\end{array}（32）

式中，t\in [\mathrm{0},T]，T=\mathrm{1}，t_{\mathrm{0}}=\mathrm{0}，x_{\mathrm{0}}=\mathrm{1}。

显然方程系数为

f(t,x)=[t{(\mathrm{1}-t)]}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{x}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{x}^{\mathrm{5}}

和

g(t,x)=[t{(\mathrm{1}-t)]}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{x}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\alpha }

接下来验证假设1~4。

f(t,x)和g(t,x)显然满足假设1和假设2，且有

\begin{array}{l}\underset{|x|\le r}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\frac{f(t,x)}{\mathrm{1}+|x|}=\underset{|x|\le r}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\frac{|[t{(\mathrm{1}-t)]}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{x}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{x}^{\mathrm{5}}|}{\mathrm{1}+|x|}\le \\ \underset{|x|\le r}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\frac{|[t{(\mathrm{1}-t)]}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{x}^{\mathrm{2}}|+\mathrm{2}{x}^{\mathrm{5}}}{\mathrm{1}+|x|}\le \underset{|x|\le r}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\frac{|[t{(\mathrm{1}-t)]}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{x}^{\mathrm{2}}|+\mathrm{2}{x}^{\mathrm{5}}}{|x|}\le \\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}r+\mathrm{2}{r}^{\mathrm{4}}\le \mathrm{3}{r}^{\mathrm{4}}\end{array}

故取\phi (r)=\mathrm{3}{r}^{\mathrm{4}}，则{\phi }^{-\mathrm{1}}(r)=\sqrt[\mathrm{4}]{\frac{r}{\mathrm{3}}}。由微分中值定理，可验证假设3和假设4对于l=\mathrm{4}，\gamma =\lambda =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}成立。

分别令\alpha =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}和\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}，根据本文中定理2的结论，有

E|X(T)-X_{\Delta }(T)|\le C{\Delta }^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}

E|X(T)-X_{\Delta }(T)|\le C{\Delta }^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}

非自治随机微分方程（32）对应的截断欧拉逼近的收敛速率分别是\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}和\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}。选取小步长\Delta ={\mathrm{2}}^{-\mathrm{10}}时的数值解作为精确解，将此精确解与步长\Delta \in \{{\mathrm{2}}^{-\mathrm{9}},{\mathrm{2}}^{-\mathrm{8}},{\mathrm{2}}^{-\mathrm{7}},{\mathrm{2}}^{-\mathrm{6}},{\mathrm{2}}^{-\mathrm{5}}\}时的数值解进行比较，得到误差如表1所示。

再根据本文所得的收敛速率\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}和\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}，画出斜率为\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}和\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}的参考线，利用Matlab作出的ln⁃ln图如图1所示，证明了结论的有效性。

4 结论

本文研究了非自治随机微分方程截断欧拉逼近的收敛性，得到了其收敛速度，结果表明对于非自治随机微分方程，其截断欧拉逼近的收敛速度显式依赖于其系数关于时间的连续性。与已有文献相比本文结果更一般，且收敛结果不受步长限制。另一方面，在\alpha =\mathrm{0}时得到的收敛速度更简洁。

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基金资助

北京市自然科学基金(1192013)