基于人工势场的无人机三维路径规划

3D path planning for unmanned aerial vehicles based on artificial potential fields

摘要

为了解决传统人工势场法在无人机路径规划中存在局部极小值陷阱和目标不可达的问题，提出一种分阶段人工势场策略。首先选择传统人工势场引导，同时融合模拟退火算法的全局寻优特性克服局部极小值；之后，选择增加斥力自适应修正因子的人工势场，处理目标不可达问题；最后提取路径关键节点，利用三次B样条曲线对路径节点进行拟合优化和平滑处理。三维环境下的实验结果表明，所提方法能够解决无人机局部极小值陷阱和目标不可达问题，而且能规划出一条不与障碍物碰撞、相对平滑且安全的路径，面对实际问题具有一定的可行性、有效性和应用价值。

Abstract

To address the problems of local minimum traps and unreachable targets in the traditional artificial potential field method for unmanned aerial vehicle （UAV） path planning， we propose a phased strategy of artificial potential fields. We use the traditional artificial potential field guidance in the early stage， and then integrate the global optimization characteristics of the simulated annealing algorithm to overcome the local minima. Then， at a later stage， we use improved artificial potential field guidance with an increased repulsive adaptive correction factor to address target unreachability. Finally， the key nodes of the path are extracted， and the path nodes are optimized and smoothed using cubic B-spline curves. Experimental results in a 3D environment show that the method can solve the UAV local-minimum trap and unreachable-target problem and plan a relatively smooth and safe path without colliding with obstacle. The results show that our method is feasible， effective and has potential application value.

Graphical abstract

关键词

人工势场 / 局部极小值 / 目标不可达 / 模拟退火 / 斥力自适应 / B样条

Key words

artificial potential field / local minimum / unreachable target / simulated annealing / repulsive adaptation / B-spline

引言

无人机因具有高速、高精度和高效率等优点，在应急救援、物流运输、智慧城市等领域应用广泛。为了使无人机能够较好地完成任务，需要设计高效的算法对无人机的路径进行规划。无人机的路径规划算法指在有障碍物的工作环境中寻找一条从起点到终点，且能够无碰撞地绕过所有障碍物的运动路径^［1］。

目前，路径规划算法有很多，可以分为全局和局部两大类^［2］。前者是根据完整的地图和障碍物信息进行路径规划，代表算法有Dijkstra、A^*、快速随机数（RRT*）算法等^［3］，而后者是针对附近的障碍物进行路径规划，代表算法有人工势场法（APF）和动态窗口法（DWA）等^［4］。每一种算法都存在优势和不足，因此在路径规划过程中除了采用上述提到的算法，还会引入一些智能算法，如模拟退火算法、遗传算法、蚁群算法、粒子群算法等^［5-6］。

人工势场法具有实时性强、物理模型直观、动态避障能力强和路径平滑等优点，同时也存在局部极小值、目标不可达等缺点。模拟退火算法具有全局搜索能力、可适应复杂场景、鲁棒性强和简单灵活等优点。对此，在以人工势场法和模拟退火算法为基础的路径规划方面，研究人员做了一定的工作。针对人工势场的局部极小值问题，文献［7］提出设置临时节点引导机器人的路径规划，文献［8］提出采用模拟退火算法引导机器人逃离局部极小值区域，文献［9］提出右转人工势场法和模拟退火算法相结合的策略，但这些都没有考虑目标不可达问题。针对目标不可达问题，文献［10］通过引入无人机与目标点的斥力场系数解决目标不可达问题，但是没有考虑局部极小值；文献［11］通过相对速度斥力与多层次作用范围改善了传统APF的局部极小值和目标不可达问题，但仍局限于静态或简化场景，缺乏对路径平滑性与动态环境效率的验证；文献［12］针对无人机三维避障提出正六边形引导法结合改进APF，能够在一定程度上解决局部极小值问题，但未涉及路径曲率约束与路径的优化。

为提升无人机在三维复杂环境中的路径规划性能，本文提出一种分阶段规划方法：前期融合模拟退火算法与传统人工势场法，在增强全局搜索能力的同时抑制局部极小值问题；后期引入带有自适应修正因子的改进APF方法，以提升目标可达性并缓解终端振荡。算法基于无人机-目标点距离阈值及局部极小值触发次数，实现前后阶段的自动切换。进一步通过节点精简与B样条曲线优化，提升路径的平滑性与可执行性。仿真实验表明在复杂三维场景下，本文方法在路径长度和计算效率方面均优于文献［11］和文献［12］，为无人机自主导航提供了一种可行且高效的解决方案。

1 人工势场法

人工势场法最早由Khatib^［13］在机器人实时避障研究中系统提出，并在无人机路径规划与避障领域得到广泛应用。其算法思想是构造一个虚拟的人工势场，具体为在障碍物周围构建斥力场，在目标点周围构建引力势场，类似物理学中的电场^［14-15］。

以无人机为例，在构建的人工势场中，无人机受到目标点的引力和周围障碍物的斥力，所受的合力指引着无人机运动，搜索得到一条能够避障的路径，使得无人机避开障碍物点朝向目标点运动。

1.1 引力场

引力势场主要取决于无人机与目标点之间的欧氏距离，距离越大，引力势能越高。随着无人机逐渐接近目标点，引力势能逐渐减小，并在目标位置达到极小值（通常为零）。假设当前目标点的位置为p_goal，无人机的位置为p，引力势能函数为

U_{\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}}(p)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{k}_{\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}}{‖p-p_{\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{l}}‖}^{\mathrm{2}}（1）

式中，U_att（p）为目标点对无人机产生的引力场；k_att为引力增益系数，引力系数越大，目标点对无人机的吸引力就越大；‖p-p_{\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{l}}‖为无人机当前位置与目标点之间的欧式距离。引力场示意图见图1，目标点对无人机的引力可表示为

F_{\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}}(p)=\nabla U_{\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}}=k_{\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}}‖p-p_{\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{l}}‖（2）

1.2 传统的斥力场

斥力场与周围障碍物有关，无人机在航行过程中要防止与障碍物相撞。为避免无人机和障碍物之间的碰撞，假设当前障碍物的位置为p_obs，无人机的位置为p，定义一个斥力场如图2所示，传统的斥力场如下。

U_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{p}}(p)=（3）

式中，k_rep为斥力势场正比例增益因子，‖p - p_obs‖为无人机与障碍物之间的距离，ρ₀为斥力场的影响范围。障碍物对无人机的斥力为斥力场的负梯度，可以表示为

（4）

当无人机所处的位置有n个障碍物时，合势场模型如图3所示。

当无人机所在位置的附近存在n个障碍物时，其总势能由目标点的引力势能与所有障碍物的斥力势能共同组成（图3）。此时，无人机所受到的合力为各分力之和，可表示为

F(p)=F_{\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}}(p)+{\displaystyle \sum _{\mathrm{1}}^n}{F}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{p}}(p)（5）

1.3 改进的斥力场

传统的人工势场中，当空间障碍物距离目标点比较近时，斥力会随着距离的减少而增大，如果斥力过大，无人机将无法到达目标点。为改进此问题，将无人机到目标点的距离因素引入到斥力场函数中，改变斥力场函数，引进斥力自适应修正因子，改进的斥力场函数为

U_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{p}}(p)=

（6）

所受到的斥力F_rep（p）为斥力场函数的负梯度，具体如式（7）。

（7）

改进的斥力场中无人机斥力大小为F_rep，受力分析如图4所示。

F_rep（p）可以分解为F_rep1（p）和F_rep2（p）之和，F_rep1和F_rep2函数具体如下。

\begin{array}{l}{F}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{1}}\left(p\right)=k_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{p}}\left(\frac{\mathrm{1}}{‖p-p_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}‖}-\frac{\mathrm{1}}{{\rho }_{\mathrm{0}}}\right)\frac{\mathrm{1}}{{‖p-p_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}‖}^{\mathrm{2}}}\cdot \\ \frac{\partial ‖p-p_{obs}‖}{\partial p}{‖p-p_{\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{l}}‖}^n\end{array}（8）

F_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{2}}\left(p\right)=-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{k}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{p}}{\left(\frac{\mathrm{1}}{‖p-p_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}‖}-\frac{\mathrm{1}}{{\rho }_{\mathrm{0}}}\right)}^{\mathrm{2}}\frac{\partial {‖p-p_{goal}‖}^n}{\partial p}（9）

式中，n为改进势场的斥力修正因子。改进后势场的斥力函数F_rep（p）会随着无人机和障碍物相对距离‖p - p_obs‖的递减而递减，递减程度与斥力修正因子n有关。理论上n可以取大于零的任意值，都可以满足设计要求，本文n的取值为3。

2 模拟退火算法

无人机在传统的势场中容易陷入局部极小值问题，在局部极小值位置，无人机就像是陷入一个“低谷”陷阱，无法越过周围的障碍物而逃离。此时无人机在人工势场中受到的引力和斥力为零。三维环境局部极小值示意图如图5所示。当无人机陷入局部极小值时，采用融合模拟退火思想，可使得无人机逃离局部极小值陷阱。

模拟退火算法（simulated annealing，SA）最早由Kirkpatrick等^［16］提出，其灵感来源于固体在高温加热后缓慢冷却形成晶体的物理过程。根据退火原理，物质在高温时具有较高的能量状态，内部原子呈无序运动；若冷却过快，原子来不及重新排列，容易形成缺陷结构，对应于优化问题中的局部最优解。模拟退火算法通过在搜索过程中引入“概率跳跃”机制，使解在温度较高时能够以一定概率接受更差的解，从而跳出局部最优陷阱；随着温度逐渐降低，算法会逐步趋于稳定并收敛到接近全局最优的解。因此，SA具备很强的全局搜索能力，能够有效缓解优化过程陷入局部最优的问题^［17］。

模拟退火算法根据Metropolis准则，以一定概率接受新状态。假设系统的前一个状态为x（n），在受到扰动后变成x（n + 1），此时系统能量也由E（n）变成E（n + 1），定义系统状态由x（n）到x（n + 1）转移的概率为P，则P为

（10）

式中，T表示虚拟温度。由式（10）能够得出，如果系统的能量降低，系统的状态转移概率为1；如果系统的能量升高，说明系统距离全局最优位置更远。系统会以一定概率进行选择判断：首先在［0，1］的区间上产生一个均匀分布的随机数r，如果r < P，则接受状态转移，否则拒绝转移，进入下一步。

3 路径优化

上述改进型无人机路径规划算法虽然能够克服局部极小值和目标不可达问题，但规划出的路径节点仍然存在着一些拐点和与障碍物距离比较近的危险路径节点，这些点会导致无人机能耗较高、续航里程减小等。因此，需要对路径节点提取关键节点和采用三次B样条方法进行优化。

3.1 去除冗余节点，提取关键节点

第2节融合模拟退火的人工势场算法在实际过程中虽然能够帮助无人机逃脱局部极小值，最终到达目标点，但是在实际过程中会产生冗余路径节点。为了去除冗余路径节点，获得更优和更短的路径，需要对路径节点进行优化。核心策略是采用递归思想处理路径节点N₁…N_i …N_n，首先连接起始节点和终点，若两点的连线与所有障碍物的距离大于安全距离，删除所有中间节点；否则，保留起始节点，将其下一个节点作为起始节点，依次递归处理路径中所有的节点。冗余节点去除过程如图6所示，最终提取到关键节点P₁…P_i …P_n。

3.2 B样条曲线

B样条曲线是通过逼近一组控制点而产生的数学曲线，它由多个贝塞尔曲线拼接而成，改变贝塞尔曲线的控制点不会对整个曲线造成过多影响^［18-19］。

假设有n个控制点P₁…P_i …P_n，这些控制点用于定义曲线的走向和界限范围，则K阶B样条曲线的定义为

p\left(u\right)=\left[P_{\mathrm{0}}{P}_{\mathrm{1}}\dots P_n\right]\left[\begin{array}{c}{B}_{\mathrm{0},k}\left(u\right)\\ B_{\mathrm{1},k}\left(u\right)\\ \begin{array}{c}⋮\\ B_{n,k}\left(u\right)\end{array}\end{array}\right]={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^n}{P}_i{B}_{i,k}\left(u\right)（11）

式中，B_i，k （u）是第i个K阶B样条基函数，与控制点P_i 相对应，k≥1，u是自变量。基函数的Cox-deBoor递推公式如下。

（12）

为保证路径的动态可行性，在B样条优化中引入曲率约束条件

k\left(s\right)=\frac{\left|x^{\text{'}}\left(s\right)y^{″}\left(s\right)-y^{\text{'}}\left(s\right)x^{″}\left(s\right)\right|}{{\left(x^{\text{'}}{\left(s\right)}^{\mathrm{2}}+y^{\text{'}}{\left(s\right)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{3}/\mathrm{2}}}\le k_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}（13）

式中，k（s）为路径在参数s下的曲率，k_max为无人机的最大允许曲率，取值由其机动特性和最大转弯半径决定。通过该约束，优化后的路径能够在保持平滑性的同时避免出现转弯，从而保证无人机飞行的可行性与安全性。

3.3 参数的选择

本文的关键参数设定具有明确的理论依据。模拟退火算法的初始温度由能量函数的初始扰动大小确定，依据热力学中的平衡原理，保证全局搜索能力，避免陷入局部最优解；退火速率α基于Metropolis准则选择，该准则源自统计物理中的状态转移概率，用于确保算法在搜索过程中逐步收敛，并避免过早收敛于局部最优解；斥力自适应修正因子λ的范围参考了人工势场中势场梯度随障碍物密度变化的规律，理论基础来源于环境中障碍物对机器人运动影响的建模，从而保证在不同环境下能够保持合理的避障性能；B样条平滑优化中的曲率约束系数结合无人机飞行的动力学限制选取，该选取依据无人机运动学模型，考虑了飞行时的速度、加速度等动态约束，确保了路径的平滑性和可行性，避免出现不可行路径。

4 实验分析与讨论

4.1 实验设计与验证

为了验证本文提出的路径规划算法的有效性，在Matlab2021环境下构建三维路径规划的仿真实验，并分别设置具有多个静态障碍物和动态障碍物的混合环境进行算法验证，其中无人机的起点坐标为（0，0，0），终点坐标为（30，30，30）。表1为本文提出的人工势场和模拟退火算法相关参数，图7为融合模拟退火算法实现流程图。

为了验证本文方法的有效性，分别对比了传统APF、文献［11］改进APF、文献［12］改进APF以及本文方法的性能。表2给出了各方法在20次独立实验下平均路径长度和计算时间。

进一步的独立样本t检验结果表明，本文方法与传统APF及文献［11］、文献［12］方法在路径长度和计算时间上的差异在显著性水平p < 0.01下均显著，验证了本文方法在性能改进上的稳定性与鲁棒性。

由表3可见，本文方法在不同参数设置下的性能波动较小，说明方法具有较好的鲁棒性与泛化性。

4.2 局部极小值分析

图8为无人机出现的局部极小值航迹图，图9为融合模拟退火算法后，无人机克服局部极小值的航迹效果图，其中虚线椭圆框内为动态障碍物，其余的为静态障碍物。对比图8和图9能够看出，融合模拟退火算法的人工势场可以有效克服局部极小值陷阱的问题。

为进一步评估模拟退火对局部极小值问题的改进效果，在三维环境中设置20组静态和动态障碍物混合场景，结果表明在融合模拟退火的人工势场中，当出现局部极小值时，逃脱局部极小值成功率能够达到90%。

模拟退火通过概率扰动机制（Metropolis准则）突破了势场梯度限制。当无人机陷入局部极小（图8红点）时，以概率p = e^-ΔE/T 接受非最优解（ΔE为能量变化量，T为退火温度），引导无人机沿非梯度方向移动，显著提升逃脱效率。

4.3 目标不可达分析

图10为无人机出现的目标不可达航迹图，图11为选择改进的人工势场引导无人机克服目标不可达的航迹效果图，其中虚线椭圆框内为动态障碍物，其余的为静态障碍物。对比图10和图11能够看出，增加斥力因子的人工势场可以解决无人机目标点不可达问题。

为进一步评估算法性能，设置20组重复实验进行统计验证。结果表明，在存在目标不可达问题的场景中，本文通过增加斥力因子改进后的人工势场法，能够使无人机成功抵达目标点的比例达到93%。该性能提升主要得益于斥力场函数的改进：目标距离因子的引入使得无人机接近目标时斥力场呈指数级衰减，从而有效抑制了目标点附近的振荡现象，保障了路径的稳定收敛。

4.4 路径节点的优化分析

图12是在图11基础上去除冗余节点，提取关键路径节点的效果，图13是在图12基础上采用三次B样条的效果，其中虚线椭圆框内为动态障碍物，其余的为静态障碍物。对比图11、图12和图13能够验证，优化路径节点可以提升路径的质量。

为进一步验证所提方法的有效性，在相同实验环境下进行了20组重复测试。结果显示，优化后的路径相较于原始路径，在冗余节点数上平均减少10.3%，路径曲率平均降低3.1%，且最大曲率始终低于无人机机动极限k_max，表明路径在几何上具备良好的可跟踪性。此外，优化路径与障碍物之间的最小安全间距始终保持在1 m以上，有效保障了飞行过程中的避障安全性。

5 结论

本文提出了一种融合模拟退火与改进人工势场的分阶段三维路径规划方法。规划初期，将模拟退火机制融入传统人工势场框架，通过引入全局扰动策略与基于能量的接受准则强化搜索空间的探索能力，从根本上缓解了传统方法在复杂环境下易陷入局部极小值的固有问题。规划后期，采用带自适应修正因子的改进势场模型，不仅显著提升了目标可达性，也有效抑制了终端区域的振荡现象。前后两阶段通过距离阈值与局部极小值触发次数实现自适应切换，使整个规划过程在全局探索与局部收敛之间实现了更优的平衡。实验结果表明，该分阶段融合策略能够有效克服传统方法的局部极小值陷阱与终端振荡等关键缺陷，在复杂三维环境中生成更平滑、更安全且更加稳定的无人机飞行路径。综上，本文方法为无人机三维自主路径规划提供了一种高效可靠、结构透明且具有良好工程可实施性的解决方案。

未来的研究工作将基于自主研制的四旋翼无人机平台，结合机载传感器（如激光雷达）与嵌入式计算单元开展实际飞行实验，以进一步验证算法的可行性和应用价值。同时，算法结构将扩展至多无人机协同路径规划场景，以推动其在复杂任务环境中的进一步应用。

参考文献

[1] 魏江， 王建军， 王健， 等. 基于改进蚁群算法的三维航迹规划［J］. 计算机工程与应用， 2020， 56（17）： 217-223.

[2] WEI J， WANG J J， WANG J， et al. 3D path planning based on improved ant colony algorithm［J］. Computer Engineering and Applications， 2020， 56（17）： 217-223. （in Chinese）

[3] 王旭，朱其新，朱永红. 面向二维移动机器人的路径规划算法综述［J］. 计算机工程与应用，2023，59（20）：51-66.

[4] WANG X， ZHU Q X， ZHU Y H. Review of path planning algorithms for mobile robots［J］.Computer Engineering and Applications， 2023， 59（20）： 51-66. （in Chinese）

[5] 康博涵，黄静雯.基于环境复杂度的移动机器人变步长RRT路径规划算法与仿真研究［J］.北京化工大学学报（自然科学版），2023，50（4）：87-93.

[6] KANG B H， HUANG J W. Variable step size rapidly-exploring random tree （RRT） path planning algorithms and simulation of a mobile robot based on environment complexity［J］. Journal of Beijing University of Chemical Technology （Natural Science）， 2023， 50（4）： 87-93.（in Chinese）

[7] 邓冬冬，许建民，孟寒，等.基于蚁群算法与人工势场法融合的移动机器人路径规划［J］.仪器仪表学报， 2025， 46（2）： 1-16.

[8] DENG D D， XU J M， MENG H， et al. Mobile robot path planning based on the fusion of ant colony algorithm and artificial potential field method ［J］. Chinese Journal of Scientific Instrument， 2025，46（2）：1-16. （in Chinese）

[9] 刘鹏超， 池晴佳， 陈威. 基于人工势场-蚁群融合算法的水下航行器声隐蔽航路规划［J］. 哈尔滨工程大学学报， 2025， 46（5）： 858-867.

[10] LIU P C， CHI Q J， CHEN W. Acoustic covert route planning for underwater vehicles based on an artificial potential field-ant colony fusion algorithm［J］. Journal of Harbin Engineering University， 2025， 46（5）： 858-867. （in Chinese）

[11] 谢凯利， 杨海涛， 谢海平. 智能航迹规划算法研究现状与展望［J］. 兵器装备工程学报， 2020， 41（12）： 8-13.

[12] XIE K L， YANG H T， XIE H P. Research status of intelligent track planning algorithm［J］. Journal of Ordnance Equipment Engineering， 2020， 41（12）： 8-13. （in Chinese）

[13] 闫为佳， 杨旗， 黄星卓， 等. 改进人工势场法解决局部最小值路径规划研究［J］. 组合机床与自动化加工技术， 2024（5）： 36-39.

[14] YAN W J， YANG Q， HUANG X Z， et al. Improving the APF to solve local minima research on path planning［J］. Modular Machine Tool & Automatic Manufacturing Technique， 2024（5）： 36-39. （in Chinese）

[15] 赵炳巍， 贾峰， 曹岩， 等. 基于模拟退火算法的人工势场法路径规划研究［J］. 计算机工程与科学， 2022， 44（4）： 746-752.

[16] ZHAO B W， JIA F， CAO Y， et al. Path planning of artificial potential field method based on simulated annealing algorithm［J］. Computer Engineering & Science， 2022， 44（4）： 746-752. （in Chinese）

[17] 倪璇， 时培成， 张荣芸， 等. 基于改进人工势场算法的智能车路径规划方法［J］. 机械设计， 2024， 41（10）： 67-74.

[18] NI X， SHI P C， ZHANG R Y， et al. Method of path planning for intelligent vehicles based on improved artificial potential field algorithm［J］. Journal of Machine Design， 2024， 41（10）： 67-74. （in Chinese）

[19] 丛玉华， 赵宗豪， 邢长达， 等. 基于改进人工势场的无人机动态避障路径规划［J］. 兵器装备工程学报， 2021， 42（9）： 170-176.

[20] CONG Y H， ZHAO Z H， XING C D， et al. Dynamic obstacle avoidance path planning of UAV based on improved artificial potential field［J］. Journal of Ordnance Equipment Engineering， 2021， 42（9）： 170-176. （in Chinese）

[21] 时旭光， 王挺， 邵士亮. 基于改进APF的机器人路径规划［J］. 组合机床与自动化加工技术， 2025（2）： 12-16.

[22] SHI X G， WANG T， SHAO S L. Robot path planning based on improved APF［J］. Modular Machine Tool & Automatic Manufacturing Technique， 2025（2）： 12-16. （in Chinese）

[23] 周兰凤， 孔明月. 基于改进人工势场法的无人机三维避障［J］. 华东师范大学学报（自然科学版）， 2022（6）： 54-67.

[24] ZHOU L F， KONG M Y. 3D obstacle-avoidance for a unmanned aerial vehicle based on the improved artificial potential field method［J］. Journal of East China Normal University （Natural Science）， 2022（6）： 54-67. （in Chinese）

[25] KHATIB O. Real-time obstacle avoidance for manipulators and mobile robots［C］//Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation. St.Louis， 1985： 500–505.

[26] WU Z T， DAI J Y， JIANG B P， et al. Robot path planning based on artificial potential field with deterministic annealing［J］. ISA Transactions， 2023， 138： 74-87.

[27] 孟凡齐. 基于改进势场法和A^*算法的船舶路径规划研究［D］. 大连： 大连海事大学， 2024.

[28] MENG F Q. Research on ship path planning based on improved artificial potential field method and A^* algorithm［D］. Dalian： Dalian Maritime University， 2024. （in Chinese）

[29] KIRKPATRICK S， GELATT C D， VECCHI M P. Optimization by simulated annealing［J］. Science， 1983， 220（4598）： 671–680.

[30] 宁君， 马昊冉， 李铁山. 基于改进人工势场法的船舶路径规划与跟踪控制［J］. 哈尔滨工程大学学报， 2022， 43（10）： 1414-1423.

[31] NING J， MA H R， LI T S. Underactuated surface vessel path planning and following control based on an improved artificial potential field method［J］. Journal of Harbin Engineering University， 2022， 43（10）： 1414-1423. （in Chinese）

[32] 陈振， 李翠芸， 李想. B样条曲面三维扩展目标跟踪算法［J］. 西安电子科技大学学报， 2023， 50（2）： 101-111.

[33] CHEN Z， LI C Y， LI X. Algorithm for tracking the 3D extended target based on the B-spline surface［J］. Journal of Xidian University， 2023， 50（2）： 101-111. （in Chinese）

[34] 陆志国， 王逍. 基于B样条与鲸鱼优化算法的机械臂轨迹规划［J］. 东北大学学报（自然科学版）， 2024， 45（5）： 683-689.

[35] LU Z G， WANG X. Mechanical arm trajectory planning based on B-spline and whale optimization algorithm［J］. Journal of Northeastern University （Natural Science）， 2024， 45（5）： 683-689. （in Chinese）