三次B样条分裂法解五次非线性Schrödinger方程

A cubic B-spline splitting method for the nonlinear Schrödinger equation with a quintic term

摘要

采用三次B样条方法解决五次非线性Schrödinger方程，其中在时间方向上用Strang-type分裂方法进行离散，在空间方向上用三次B样条近似解进行离散，然后证明该格式具有无条件稳定性。最后给出数值实验结果，证明了离散格式下的电荷守恒性，并比较五次非线性Schrödinger方程的精确解和数值解，验证该格式的收敛阶为O({\tau }^{\mathrm{2}}+h^{\mathrm{2}})。

Abstract

In this paper， we use the cubic B-spline splitting method to solve the nonlinear Schrödinger equation with a quintic term. We discretize the time direction using the Strang-type splitting method and the spatial direction using the cubic B-spline approximate solution. It is then shown that the scheme is unconditionally stable. Finally， we show the numerical results， illustrating the charge conservation in discrete form. We also compare the exact solution with the numerical solution， verifying that the convergence order of this format is O({\tau }^{\mathrm{2}}+h^{\mathrm{2}}).

Graphical abstract

关键词

Strang-type分裂法 / 三次B样条 / 非线性Schrödinger方程

Key words

Strang-type splitting method / cubic B-spline / nonlinear Schrödinger equation

引　言

非线性Schrödinger方程最初用来研究非均匀介质中非线性波的传播，随后被广泛应用于量子场与非线性光学中^［1］。学者们最早考虑的主要是带有二次项的非线性方程，这些方程可以用来描述许多物理系统中的非线性波动，如光纤中的光脉冲传播。后来，研究者们开始探索更复杂的系统，这些系统中的非线性效应需要用更高次项来描述，例如，在考虑到光学中的克尔效应的高阶近似时，需要在方程中引入四次项、五次项等。其中带五次项非线性Schrödinger方程在物理学和工程学的多种应用中，特别是在描述复杂的波动现象的高阶非线性动态系统时能更精确地模拟现实中的非线性动态行为。同时，解这类复杂方程的需求推动了数值方法的发展，如谱方法、时间分裂法、有限差分法、有限元方法等^［2-5］。

Strang-type时间分裂法最早由Strang^［6］在1968年提出。之后，Knott^［7］提出B样条方法，该方法具有局部支撑性、几何不变性等优良特性。姜珊珊等^［8］使用高阶紧致分裂法求解确定性和随机性Schrödinger方程。Wang等^［9］使用时间分裂法和三次B样条法求解带有Neumann边值条件的非线性Schrödinger方程。魏新新^［10］使用分裂步紧致差分法求解带五次项非线性Schrödinger方程。丁聪等^［11］使用差分格式求解五维三次-五次非线性Schrödinger方程。Wang^［12］使用时间分裂法和五次B样条法求解非线性Schrödinger方程。

目前国内外对于Schrödinger方程的研究已颇为深入，但很少有对带五次项非线性Schrödinger方程的研究。本文考虑如下带五次项的非线性Schrödinger方程

\mathrm{i}{u}_t+\alpha u_{xx}-\beta \left({\left|u\right|}^{\mathrm{2}}+{\left|u\right|}^{\mathrm{4}}\right)u=f\left(x,t\right)u\left(x,t\right)（1）

其初值条件为

u\left(x,\mathrm{0}\right)=u_{\mathrm{0}}\left(x\right),x\in \left[a,b\right]（2）

其边界条件为周期性边界条件

u\left(a,t\right)=u\left(a+L,t\right)（3）

式中，α、β是实值参数，u=u(x,t)是未知复值函数，\left|u\right|是复值函数u的模， f\left(x,t\right)是给定的实值函数，L是周期长度。该方程满足电荷守恒律^［13］，即满足

\begin{array}{l}\forall t\in \left[\mathrm{0},T\right],Q\left(t\right)={\int }_a^b{\left|u\left(x,t\right)\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x=\\ {\int }_a^b{\left|u\left(x,t_{\mathrm{0}}\right)\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x=Q(t_{\mathrm{0}})\end{array}（4）

本文使用时间分裂法将带五次项的非线性Schrödinger方程问题转化为一个线性子问题和一个非线性子问题，然后再分别解决这两个子问题，其中使用三次B样条方法解决线性子问题，使得该方法在时间方向和空间上均具有二阶精度。

1 三次B样条方法

设空间步长为h，时间步长为\tau，空间网格数和时间网格数分别为J和M。记{\Omega }_h=\left\{x_j\left|\mathrm{0}\le j\le J\right|\right.\}为空间网格节点，{\Omega }_{\tau }=\left\{t_m|\mathrm{0}\le m\le M\}\right.为时间网格节点，有{\Omega }_h^{\tau }={\Omega }_h\times {\Omega }_{\tau }，其中x_j=x_{\mathrm{0}}+jh,j=\mathrm{0,1},\dots ,J-\mathrm{1}，t_i=m\tau ,m=\mathrm{0,1},\dots ,M-\mathrm{1}。

记

f_j^{m+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}=\frac{f_j^{m+\mathrm{1}}+f_j^m}{\mathrm{2}}

B样条方法^［14］是对函数做如下多项式近似

u\left(x,t\right)={\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{1}}^{J+\mathrm{1}}}{B}_i\left(x\right)c_i\left(t\right)（5）

其中，

B_i\left(x\right)=\frac{\mathrm{1}}{h^{\mathrm{3}}}\left\{\begin{array}{ll}(x-x_i{)}^{\mathrm{3}},& x\in [x_i,x_{i+\mathrm{1}}]\\ (x-x_i{)}^{\mathrm{3}}-\mathrm{4}{\left(x-x_{i+\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{3}},& x\in [x_{i+\mathrm{1}},x_{i+\mathrm{2}}]\\ (x_{i+\mathrm{4}}{-x)}^{\mathrm{3}}-\mathrm{4}{\left(x_{i+\mathrm{3}}-x\right)}^{\mathrm{3}},& x\in [x_{i+\mathrm{2}},x_{i+\mathrm{3}}]\\ (x_{i+\mathrm{4}}{-x)}^{\mathrm{3}},& x\in [x_{i+\mathrm{3}},x_{i+\mathrm{4}}]\\ \mathrm{0},& \mathrm{其他}\end{array}\right.

是B样条基函数，c_i\left(t\right)是待求系数。于是在空间节点x_j上有

\left\{\begin{array}{l}u\left(x_j,t\right)=c_{j-\mathrm{1}}\left(t\right)+\mathrm{4}{c}_j\left(t\right)+c_{j+\mathrm{1}}\left(t\right)\\ \frac{\partial u}{\partial x}\left(x_j,t\right)=-\frac{\mathrm{3}}{h}{c}_{j-\mathrm{1}}\left(t\right)+\frac{\mathrm{3}}{h}{c}_{j+\mathrm{1}}\left(t\right)\\ \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}u}{\partial x^{\mathrm{2}}}\left(x_j,t\right)=\frac{\mathrm{6}}{h^{\mathrm{2}}}{c}_{j-\mathrm{1}}\left(t\right)-\frac{\mathrm{12}}{h^{\mathrm{2}}}{c}_j\left(t\right)+\frac{\mathrm{6}}{h^{\mathrm{2}}}{c}_{j+\mathrm{1}}\left(t\right)\end{array}\right.(\mathrm{6})

三次B样条方法具有局部支撑性、局部控制特性、几何不变性以及与其他曲线的兼容性等优点^［7，14］。

2 数值格式

将式（1）写为

\mathrm{i}\frac{\partial u\left(x,t\right)}{\partial t}=\left(\tilde{L}+\tilde{N}\right)u\left(x,t\right)（7）

式中，\tilde{L}=-\alpha \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial x^{\mathrm{2}}}是线性算子，\tilde{N}=\beta \left({\left|u\right|}^{\mathrm{2}}+{\left|u\right|}^{\mathrm{4}}\right)+f\left(x,t\right)是非线性算子。式（7）通过两步分裂法^［6］可以得到如下线性子问题和非线性子问题。

\mathrm{i}\frac{\partial u\left(x,t\right)}{\partial t}=\tilde{L}u\left(x,t\right)（8）

\mathrm{i}\frac{\partial u\left(x,t\right)}{\partial t}=\tilde{N}u\left(x,t\right)（9）

式（8），（9）的解满足

u\left(x,t+\tau \right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\tilde{L}\tau }u(x,t)

u\left(x,t+\tau \right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\tilde{N}\tau }u(x,t)

应用Strange-type时间分裂法^［6］，式（7）可分解为

\left\{\begin{array}{l}\mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\beta \left({\left|u\right|}^{\mathrm{2}}+{\left|u\right|}^{\mathrm{4}}\right)+f\left(x,t\right)\right]u\left(x,t\right)=\mathrm{0}\\ \mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial t}+\alpha u_{xx}=\mathrm{0}\\ \mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\beta \left({\left|u\right|}^{\mathrm{2}}+{\left|u\right|}^{\mathrm{4}}\right)+f\left(x,t\right)\right]u\left(x,t\right)=\mathrm{0}\end{array}\right.(\mathrm{10})

则式（7）的解可以写为

u\left(x,t+\tau \right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\tilde{N}\tau }{\mathrm{2}}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\tilde{L}\tau }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\tilde{N}\tau }{\mathrm{2}}}u\left(x,t\right)+O({\tau }^{\mathrm{2}})

引入中间量u^{*},u^{**}，在每一时间层上具体算法如下。

1） 对j=\mathrm{0,1},\dots ,J，方程组（10）中第一式有显式解

u_j^{*}=u_j^m{\mathrm{e}}^{-\frac{\mathrm{i}\tau }{\mathrm{2}}\left[\beta \left({\left|u_j^m\right|}^{\mathrm{2}}+{\left|u_j^m\right|}^{\mathrm{4}}\right)+f_j^{m+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right]}（11）

2） 对j=\mathrm{1,2}，\dots ,J-\mathrm{1}，对于方程组（10）中的第二式，首先应用Crank-Nicolson方法得到

\mathrm{i}\frac{u_j^{**}-u_j^{*}}{\tau }+\frac{\alpha }{\mathrm{2}}\left({\left(u_j^{**}\right)}_{xx}+{\left(u_j^{*}\right)}_{xx}\right)=\mathrm{0}（12）

根据式（6），需要先在左右端点外侧分别引入一个虚拟节点x_{-\mathrm{1}}和x_{J+\mathrm{1}}，再使用三次B样条方法，把式（6）代入到方程（12）中，得到

\left(\mathrm{i}+\frac{\mathrm{3}\alpha \tau }{h^{\mathrm{2}}}\right)c_{j-\mathrm{1}}^{**}+\left(\mathrm{4}\mathrm{i}-\frac{\mathrm{6}\alpha \tau }{h^{\mathrm{2}}}\right)c_j^{**}+

\left(\mathrm{i}+\frac{\mathrm{3}\alpha \tau }{h^{\mathrm{2}}}\right)c_{j+\mathrm{1}}^{**}=\left(\mathrm{i}-\frac{\mathrm{3}\alpha \tau }{h^{\mathrm{2}}}\right)c_{j-\mathrm{1}}^{*}+\left(\mathrm{4}\mathrm{i}+\frac{\mathrm{6}\alpha \tau }{h^{\mathrm{2}}}\right)c_j^{*}+

\left(\mathrm{i}-\frac{\mathrm{3}\alpha \tau }{h^{\mathrm{2}}}\right)c_{j+\mathrm{1}}^{*},j=\mathrm{0,1},\mathrm{2},\dots ,J（13）

根据边值条件，当 j=\mathrm{0},J时，分别有

\left\{\begin{array}{l}{c}_{-\mathrm{1}}^{*}\left(t\right)+\mathrm{4}{c}_{\mathrm{0}}^{*}\left(t\right)+c_{\mathrm{1}}^{*}\left(t\right)=\mathrm{0}\\ c_{J-\mathrm{1}}^{*}\left(t\right)+\mathrm{4}{c}_J^{*}\left(t\right)+c_{J+\mathrm{1}}^{*}\left(t\right)=\mathrm{0}\end{array}\right.（14）

\left\{\begin{array}{l}{c}_{-\mathrm{1}}^{**}\left(t\right)+\mathrm{4}{c}_{\mathrm{0}}^{**}\left(t\right)+c_{\mathrm{1}}^{**}\left(t\right)=\mathrm{0}\\ c_{J-\mathrm{1}}^{**}\left(t\right)+\mathrm{4}{c}_J^{**}\left(t\right)+c_{J+\mathrm{1}}^{**}\left(t\right)=\mathrm{0}\end{array}\right.（15）

结合式（13）~（15），则有\mathit{L}{\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}=\mathit{R}{\mathit{C}}^{\mathrm{*}}，其中\mathit{L},\mathit{R}均为\left(J+\mathrm{3}\right)阶矩阵

\mathit{L}={\left(\begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\mathrm{1}& \mathrm{4}\\ a_{\mathrm{1}}& a_{\mathrm{2}}\\ & a_{\mathrm{1}}\end{array}& \begin{array}{cc}\mathrm{1}& \\ a_{\mathrm{1}}& \\ a_{\mathrm{2}}& a_{\mathrm{1}}\end{array}\end{array}& \cdots & \mathrm{0}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \mathrm{0}& \cdots & \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}{a}_{\mathrm{1}}& a_{\mathrm{2}}\\ & a_{\mathrm{1}}\\ & \mathrm{1}\end{array}& \begin{array}{cc}{a}_{\mathrm{1}}& \\ a_{\mathrm{2}}& a_{\mathrm{1}}\\ \mathrm{4}& \mathrm{1}\end{array}\end{array}\end{array}\right)}_{J+\mathrm{3}}

式中，a_{\mathrm{1}}=\mathrm{i}+\frac{\mathrm{3}\alpha \tau }{h}， a_{\mathrm{2}}=\mathrm{4}\mathrm{i}-\frac{\mathrm{6}\alpha \tau }{h}。

\mathit{R}={\left(\begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\mathrm{1}& \mathrm{4}\\ b_{\mathrm{1}}& b_{\mathrm{2}}\\ & b_{\mathrm{1}}\end{array}& \begin{array}{cc}\mathrm{1}& \\ b_{\mathrm{1}}& \\ b_{\mathrm{2}}& b_{\mathrm{1}}\end{array}\end{array}& \cdots & \mathrm{0}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \mathrm{0}& \cdots & \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}{b}_{\mathrm{1}}& b_{\mathrm{2}}\\ & b_{\mathrm{1}}\\ & \mathrm{1}\end{array}& \begin{array}{cc}{b}_{\mathrm{1}}& \\ b_{\mathrm{2}}& b_{\mathrm{1}}\\ \mathrm{4}& \mathrm{1}\end{array}\end{array}\end{array}\right)}_{J+\mathrm{3}}

式中，b_{\mathrm{1}}=\mathrm{i}-\frac{\mathrm{3}\alpha \tau }{h}，b_{\mathrm{2}}=\mathrm{4}\mathrm{i}+\frac{\mathrm{6}\alpha \tau }{h}\mathrm{。}{\mathit{C}}^{\mathrm{*}},{\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}是 (J+\mathrm{3})阶向量

{\mathit{C}}^{\mathrm{*}}=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{l}{c}_{-\mathrm{1}}^{*}\\ c_{\mathrm{0}}^{*}\end{array}\\ ⋮\\ \begin{array}{l}{c}_J^{*}\\ c_{J+\mathrm{1}}^{*}\end{array}\end{array}\right),{\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{l}{c}_{-\mathrm{1}}^{**}\\ c_{\mathrm{0}}^{**}\end{array}\\ ⋮\\ \begin{array}{l}{c}_J^{**}\\ c_{J+\mathrm{1}}^{**}\end{array}\end{array}\right)

根据式（6），通过{\mathit{U}}^{\mathrm{*}}={\mathit{R}}_{\mathrm{0}}{\mathit{C}}^{\mathrm{*}}计算{\mathit{C}}^{\mathrm{*}}，其中

{\mathit{U}}^{\mathrm{*}}=\left(\begin{array}{c}(u_x^{*}{)}_{\mathrm{0}}\\ \begin{array}{l}{u}_{\mathrm{0}}^{*}\\ ⋮\\ u_J^{*}\end{array}\\ (u_x^{*}{)}_J\end{array}\right)

{\mathit{R}}_{\mathrm{0}}={\left(\begin{array}{ccc}\begin{array}{c}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-\frac{\mathrm{3}}{h}& \mathrm{0}\end{array}& \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{3}}{h}& \end{array}& \end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\mathrm{1}& \mathrm{4}\end{array}& \begin{array}{cc}\mathrm{1}& \end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}& \begin{array}{cc}\mathrm{4}& \mathrm{1}\end{array}\end{array}\end{array}& \cdots & \mathrm{0}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \mathrm{0}& \cdots & \begin{array}{c}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\mathrm{1}& \mathrm{4}\end{array}& \begin{array}{cc}\mathrm{1}& \mathrm{0}\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}& \mathrm{1}\end{array}& \begin{array}{cc}\mathrm{4}& \mathrm{1}\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}& -\frac{\mathrm{3}}{h}\end{array}& \begin{array}{cc}\mathrm{0}& \frac{\mathrm{3}}{h}\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\right)}_{J+\mathrm{3}}

同理，有{\mathit{U}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}={\mathit{R}}_{\mathrm{1}}{\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}，其中{\mathit{R}}_{\mathrm{1}}为\left(J+\mathrm{1}\right)\times \left(J+\mathrm{3}\right)\mathrm{阶矩}\mathrm{阵}

{\mathit{R}}_{\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{ccc}\begin{array}{c}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\mathrm{1}& \mathrm{4}\end{array}& \begin{array}{cc}\mathrm{1}& \end{array}\end{array}\\ \begin{array}{c}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}& \begin{array}{cc}\mathrm{4}& \mathrm{1}\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}& \begin{array}{cc}\mathrm{1}& \mathrm{4}\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}& \cdots & \begin{array}{c}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}& \end{array}& \begin{array}{cc}& \end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cc}& \begin{array}{cc}\mathrm{0}& \end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}& \end{array}& \begin{array}{cc}& \end{array}\end{array}\end{array}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \begin{array}{c}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}& \end{array}& \begin{array}{cc}& \end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}& \mathrm{0}\end{array}& \begin{array}{cc}& \end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}& \end{array}& \begin{array}{cc}& \end{array}\end{array}\end{array}& \cdots & \begin{array}{c}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\mathrm{4}& \mathrm{1}\end{array}& \begin{array}{cc}& \end{array}\end{array}\\ \begin{array}{c}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\mathrm{1}& \mathrm{4}\end{array}& \begin{array}{cc}\mathrm{1}& \end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}& \mathrm{1}\end{array}& \begin{array}{cc}\mathrm{4}& \mathrm{1}\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\right)

{\mathit{U}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}=\left(\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{0}}^{**}\\ ⋮\\ u_J^{**}\end{array}\right)

3）对j=\mathrm{0,1},\dots ,J，方程组（10）中第三式有显式解

u_j^{m+\mathrm{1}}=u_j^{**}{\mathrm{e}}^{-\frac{\mathrm{i}\tau }{\mathrm{2}}\left[\beta \left({\left|u_j^{**}\right|}^{\mathrm{2}}+{\left|u_j^{**}\right|}^{\mathrm{4}}\right)+f_j^{m+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right]}（16）

代入初值，重复上述步骤1）~3），直至计算到目标时间层，得到数值解。

3 理论证明

3.1 稳定性证明

定理1 离散格式（11）、（13）、（16）是无条件稳定的。

证明 显然，式（11）、（16）具有无条件稳定性^{［6，13，15］}。下证式（13）具有无条件稳定性。

在第m时间层上，对j=\mathrm{0,1},\mathrm{2}\dots ,J，有

\left(\mathrm{i}+\frac{\mathrm{3}\alpha \tau }{h^{\mathrm{2}}}\right)c_{j-\mathrm{1}}^{**}+\left(\mathrm{4}\mathrm{i}-\frac{\mathrm{6}\alpha \tau }{h^{\mathrm{2}}}\right)c_j^{**}+\left(\mathrm{i}+\frac{\mathrm{3}\alpha \tau }{h^{\mathrm{2}}}\right)c_{j+\mathrm{1}}^{**}=

\left(\mathrm{i}-\frac{\mathrm{3}\alpha \tau }{h^{\mathrm{2}}}\right)c_{j-\mathrm{1}}^{*}+\left(\mathrm{4}\mathrm{i}+\frac{\mathrm{6}\alpha \tau }{h^{\mathrm{2}}}\right)c_j^{*}+\left(\mathrm{i}-\frac{\mathrm{3}\alpha \tau }{h^{\mathrm{2}}}\right)c_{j+\mathrm{1}}^{*}（17）

令c_j^{*}={\xi }^m{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega h},c_j^{**}={\xi }^{m+\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega jh}代入式（17），其中{\xi }^m\mathrm{是第}m\mathrm{层时}\mathrm{间的}\mathrm{振幅}，\omega \mathrm{是波}\mathrm{动数}，\mathrm{i}=\sqrt[]{-\mathrm{1}}，得到

\left(\mathrm{i}+\frac{\mathrm{3}\alpha \tau }{h^{\mathrm{2}}}\right){\xi }^{m+\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega (j-\mathrm{1})h}+\left(\mathrm{4}\mathrm{i}-\frac{\mathrm{6}\alpha \tau }{h^{\mathrm{2}}}\right){\xi }^{m+\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega jh}+

\left(\mathrm{i}+\frac{\mathrm{3}\alpha \tau }{h^{\mathrm{2}}}\right){\xi }^{m+\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega (j+\mathrm{1})h}=\left(\mathrm{i}-\frac{\mathrm{3}\alpha \tau }{h^{\mathrm{2}}}\right){\xi }^m{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega (j-\mathrm{1})h}+

\left(\mathrm{4}\mathrm{i}+\frac{\mathrm{6}\alpha \tau }{h^{\mathrm{2}}}\right){\xi }^m{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega jh}+\left(\mathrm{i}-\frac{\mathrm{3}\alpha \tau }{h^{\mathrm{2}}}\right){\xi }^m{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega \left(j+\mathrm{1}\right)h}（18）

整理式（18），有

\begin{array}{l}{\xi }^{m+\mathrm{1}}\left(\left(\mathrm{i}+\frac{\mathrm{3}\alpha \tau }{h^{\mathrm{2}}}\right)\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega h}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega h}\right)+\left(\mathrm{4}\mathrm{i}-\frac{\mathrm{6}\alpha \tau }{h^{\mathrm{2}}}\right)\right)=\\ {\xi }^m\left(\left(\mathrm{i}-\frac{\mathrm{3}\alpha \tau }{h^{\mathrm{2}}}\right)({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega h}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega h})+\left(\mathrm{4}\mathrm{i}+\frac{\mathrm{6}\alpha \tau }{h^{\mathrm{2}}}\right)\right)\end{array}（19）

因为\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\omega h\right)=\frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega h}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega h}}{\mathrm{2}}，若记\omega \in \left[-\mathrm{\pi },\mathrm{\pi }\right],则增长因子

G=\frac{{\xi }^{m+\mathrm{1}}}{{\xi }^m}=\frac{\left(\mathrm{2}\left(\mathrm{i}-\frac{\mathrm{3}\alpha \tau }{h^{\mathrm{2}}}\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\omega h\right)+\left(\mathrm{4}\mathrm{i}+\frac{\mathrm{6}\alpha \tau }{h^{\mathrm{2}}}\right)\right)}{\left(\mathrm{2}\left(\mathrm{i}+\frac{\mathrm{3}\alpha \tau }{h^{\mathrm{2}}}\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\omega h\right)+\left(\mathrm{4}\mathrm{i}-\frac{\mathrm{6}\alpha \tau }{h^{\mathrm{2}}}\right)\right)}

则，即式（13）具有无条件稳定性。

因此，式（6）、（10）具有无条件稳定性。

3.2 离散格式守恒性证明

定理2 在格式（10）下，具有周期性边界条件的五次非线性Schrödinger方程（1）满足离散格式下的电荷守恒，即

Q^m=h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^J}{\left|u_j^m\right|}^{\mathrm{2}}=h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^J}{\left|u_j^{\mathrm{0}}\right|}^{\mathrm{2}}=Q^{\mathrm{0}},m=\mathrm{0,1},\mathrm{2},\dots ,M（20）

引理1 对一个n阶实对称矩阵\mathit{C}和n阶复向量\mathit{z}=(z_{\mathrm{1}},z_{\mathrm{2}},\dots ,z_n)，都有\mathit{z}\mathit{C}{\mathit{z}}^H是实数，其中，{\mathit{z}}^H是\mathit{z}的共轭转置。

证明 记实对称矩阵\mathit{C}为

\left(\begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}{c}_{\mathrm{1,1}}& c_{\mathrm{1,2}}\\ c_{\mathrm{2,1}}& c_{\mathrm{2,2}}\end{array}& \cdots & \begin{array}{cc}{c}_{\mathrm{1},n-\mathrm{1}}& c_{\mathrm{1},n}\\ c_{\mathrm{2},n-\mathrm{1}}& c_{\mathrm{2},n}\end{array}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \begin{array}{cc}{c}_{n-\mathrm{1,1}}& c_{n-\mathrm{1,2}}\\ c_{n,\mathrm{1}}& c_{n,\mathrm{2}}\end{array}& \cdots & \begin{array}{cc}{c}_{n-\mathrm{1},n-\mathrm{1}}& c_{n-\mathrm{1},n}\\ c_{n,n-\mathrm{1}}& c_{n,n}\end{array}\end{array}\right)

则

\mathit{z}\mathit{C}{\mathit{z}}^H={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\mathit{z}}_{\mathit{i}}{c}_{\mathit{i}\mathit{j}}\overline{z}

注意到\overline{z_i{c}_{ij}\overline{z_j}}=\overline{z_i}{c}_{ji}{z}_j,z_i{c}_{ij}\overline{z_j}+z_j{c}_{ji}\overline{z_i}\in \mathbb{R}和 z_i{c}_{ii}\overline{z_i}\in \mathbb{R}，则\mathit{z}\mathit{C}{\mathit{z}}^H\in \mathbb{R}\mathrm{。}证毕。

下面证明定理2。

证明 由式（11）可知

h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^J}{\left|u_j^{*}\right|}^{\mathrm{2}}=h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^J}{\left|u_j^m{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}\tau }{\mathrm{2}}\left[\beta \left({\left|u_j^m\right|}^{\mathrm{2}}+{\left|u_j^m\right|}^{\mathrm{4}}\right)-f_j^{m+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right]}\right|}^{\mathrm{2}}=

h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^J}{u}_j^m{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}\tau }{\mathrm{2}}\left[\beta \left({\left|u_j^m\right|}^{\mathrm{2}}+{\left|u_j^m\right|}^{\mathrm{4}}\right)-f_j^{m+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right]} ×{\overline{u}}_j^m{\mathrm{e}}^{-\frac{\mathrm{i}\tau }{\mathrm{2}}\left[\beta \left({\left|u_j^m\right|}^{\mathrm{2}}+{\left|u_j^m\right|}^{\mathrm{4}}\right)-f_j^{m+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right]}=

h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^J}{\left|u_j^m\right|}^{\mathrm{2}}（21）

同理，

h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^J}{\left|u_j^{**}\right|}^{\mathrm{2}}=h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^J}{\left|u_j^{m+\mathrm{1}}\right|}^{\mathrm{2}}（22）

由式（21）和（22），现只需证

{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^J}{\left|u_j^{*}\right|}^{\mathrm{2}}={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^J}{\left|u_j^{**}\right|}^{\mathrm{2}}（23）

即

[{\mathit{u}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}({\mathit{u}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}{)}^H-{\mathit{u}}^{\mathrm{*}}({\mathit{u}}^{\mathrm{*}}{)}^H]=\mathrm{0}

其中，{\mathit{u}}^{\mathrm{*}}=\left(\begin{array}{ccc}{u}_{\mathrm{0}}^{*}& u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\dots & u_J^{*}\end{array}\right),{\mathit{u}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}=\left(\begin{array}{ccc}{u}_{\mathrm{0}}^{**}& u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}\dots & u_J^{**}\end{array}\right)\mathrm{。}

将式（6）代入式（12）中，并写成以下形式。

\mathrm{i}\mathit{A}({\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}-{\mathit{C}}^{\mathrm{*}})+\frac{\alpha \tau }{\mathrm{2}{h}^{\mathrm{2}}}\mathit{B}({\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}+{\mathit{C}}^{\mathrm{*}})=\mathrm{0}（24）

根据周期性边界条件（3），取j=\mathrm{0}\mathrm{和}J，有

c_{-\mathrm{1}}\left(t\right)+\mathrm{4}{c}_{\mathrm{0}}\left(t\right)+c_{\mathrm{1}}\left(t\right)=c_{J-\mathrm{1}}\left(t\right)+\mathrm{4}{c}_J\left(t\right)+c_{J+\mathrm{1}}\left(t\right)（25）

-\frac{\mathrm{3}}{h}{c}_{-\mathrm{1}}\left(t\right)+\frac{\mathrm{3}}{h}{c}_{\mathrm{1}}\left(t\right)=-\frac{\mathrm{3}}{h}{c}_{J-\mathrm{1}}\left(t\right)+\frac{\mathrm{3}}{h}{c}_{J+\mathrm{1}}\left(t\right)（26）

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{6}}{h^{\mathrm{2}}}{c}_{-\mathrm{1}}\left(t\right)-\frac{\mathrm{12}}{h^{\mathrm{2}}}{c}_{\mathrm{0}}\left(t\right)+\frac{\mathrm{6}}{h^{\mathrm{2}}}{c}_{\mathrm{1}}\left(t\right)=\frac{\mathrm{6}}{h^{\mathrm{2}}}{c}_{J-\mathrm{1}}\left(t\right)-\\ \frac{\mathrm{12}}{h^{\mathrm{2}}}{c}_J\left(t\right)+\frac{\mathrm{6}}{h^{\mathrm{2}}}{c}_{J+\mathrm{1}}\left(t\right)\end{array}（27）

根据式（25）~（27），有

c_{-\mathrm{1}}\left(t\right)=c_{J-\mathrm{1}}\left(t\right),c_{\mathrm{0}}\left(t\right)=c_J\left(t\right),c_{\mathrm{1}}\left(t\right)=c_{J+\mathrm{1}}\left(t\right)（28）

因此式（24）中\mathit{A}，\mathit{B}均为J\times J\mathrm{阶矩}\mathrm{阵}

\begin{array}{c}\mathit{A}={\left(\begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}\mathrm{4}& \begin{array}{cc}\mathrm{1}& \mathrm{0}\end{array}\\ \mathrm{1}& \begin{array}{cc}\mathrm{4}& \mathrm{1}\end{array}\end{array}& \cdots & \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}& \mathrm{1}\\ \begin{array}{cc}\mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}& \mathrm{0}\end{array}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \begin{array}{cc}\mathrm{0}& \begin{array}{cc}\mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\\ \mathrm{1}& \begin{array}{cc}\mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\end{array}& \cdots & \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\mathrm{1}& \mathrm{4}\end{array}& \mathrm{1}\\ \begin{array}{cc}\mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}& \mathrm{4}\end{array}\end{array}\right)}_J\end{array}（29）

\mathit{B}\begin{array}{c}={\left(\begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}-\mathrm{12}& \begin{array}{cc}\mathrm{6}& \mathrm{0}\end{array}\\ \mathrm{6}& \begin{array}{cc}-\mathrm{12}& \mathrm{6}\end{array}\end{array}& \cdots & \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}& \mathrm{6}\\ \begin{array}{cc}\mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}& \mathrm{0}\end{array}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \begin{array}{cc}\mathrm{0}& \begin{array}{cc}\mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\\ -\mathrm{12}& \begin{array}{cc}\mathrm{6}& \mathrm{0}\end{array}\end{array}& \cdots & \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\mathrm{6}& -\mathrm{12}\end{array}& \mathrm{1}\\ \begin{array}{cc}\mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}& \mathrm{6}\end{array}\end{array}\right)}_J\end{array}（30）

{\mathit{C}}^{\mathrm{*}},{\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}是 J阶向量

{\mathit{C}}^{\mathrm{*}}=\left(\begin{array}{c}{c}_{\mathrm{0}}^{*}\\ ⋮\\ \begin{array}{l}{c}_J^{*}\\ c_{J+\mathrm{1}}^{*}\end{array}\end{array}\right)

{\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}=\left(\begin{array}{c}{c}_{\mathrm{0}}^{**}\\ ⋮\\ \begin{array}{l}{c}_J^{**}\\ c_{J+\mathrm{1}}^{**}\end{array}\end{array}\right)

用[\mathit{A}({\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}+{\mathit{C}}^{\mathrm{*}}{)]}^H左乘式（24），得到

\mathrm{i}({\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}+{\mathit{C}}^{\mathrm{*}}{)}^H{\mathit{A}}^H\mathit{A}({\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}-{\mathit{C}}^{\mathrm{*}}）+\frac{\alpha \tau }{\mathrm{2}{h}^{\mathrm{2}}}({\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}+{\mathit{C}}^{\mathrm{*}}{)}^H{\mathit{A}}^H\mathit{B}·

({\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}+{\mathit{C}}^{\mathrm{*}})=\mathrm{i}({{\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}}^H{\mathit{A}}^H\mathit{A}{\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}+{\mathit{C}}^{\mathrm{*}}{\mathit{A}}^H\mathit{A}{\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}-

{{\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}}^H{\mathit{A}}^H\mathit{A}{\mathit{C}}^{\mathrm{*}}-{{\mathit{C}}^{\mathrm{*}}}^H{\mathit{A}}^H\mathit{A}{\mathit{C}}^{\mathrm{*}})+\frac{\alpha \tau }{\mathrm{2}{h}^{\mathrm{2}}}({\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}+{\mathit{C}}^{\mathrm{*}}{)}^H{\mathit{A}}^H\mathit{B}·

({\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}+{\mathit{C}}^{\mathrm{*}})（31）

由于{\mathit{C}}^{\mathrm{*}H}{\mathit{A}}^H\mathit{A}{\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}=({\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}H}{\mathit{A}}^H\mathit{A}{\mathit{C}}^{\mathrm{*}}{)}^H，则

\mathrm{R}\mathrm{e}({\mathit{C}}^{\mathrm{*}H}{\mathit{A}}^H\mathit{A}{\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}-{{\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}}^H{\mathit{A}}^H\mathit{A}{\mathit{C}}^{\mathrm{*}})=\mathrm{0}（32）

另外{\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}H}{\mathit{A}}^H=(\mathit{A}{\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}{)}^H，因此

{{\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}}^H{\mathit{A}}^H\mathit{A}{\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}=(\mathit{A}{\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}{)}^H\mathit{A}{\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}={\mathit{u}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}\mathit{H}{\mathit{u}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}（33）

同理，

{\mathit{C}}^{\mathrm{*}H}{\mathit{A}}^H\mathit{A}{\mathit{C}}^{\mathrm{*}}={{\mathit{u}}^{\mathrm{*}}}^H{\mathit{u}}^{\mathrm{*}}（34）

根据式（25）、（27）、（28）有

\begin{array}{l}\mathrm{i}({\mathit{u}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}H}{\mathit{u}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}-{\mathit{u}}^{\mathrm{*}H}{\mathit{u}}^{\mathrm{*}}+{\mathit{C}}^{\mathrm{*}H}{\mathit{A}}^H\mathit{A}{\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}-{\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}H}{\mathit{A}}^H\mathit{A}{\mathit{C}}^{\mathrm{*}}）+\\ \frac{\alpha \tau }{\mathrm{2}{h}^{\mathrm{2}}}({\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}+{\mathit{C}}^{\mathrm{*}}{)}^H{\mathit{A}}^H\mathit{B}({\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}+{\mathit{C}}^{\mathrm{*}})=\mathrm{0}\end{array}（35）

取等式（35）左边虚部，有

\begin{array}{l}\mathrm{R}\mathrm{e}({\mathit{u}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}H}{\mathit{u}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}-{\mathit{u}}^{\mathrm{*}H}{\mathit{u}}^{\mathrm{*}}+{\mathit{C}}^{\mathrm{*}H}{\mathit{A}}^H\mathit{A}{\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}-{\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}H}{\mathit{A}}^H\mathit{A}{\mathit{C}}^{\mathrm{*}})+\\ \mathrm{I}\mathrm{m}\left[\frac{\alpha \tau }{\mathrm{2}{h}^{\mathrm{2}}}（{\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}+{\mathit{C}}^{\mathrm{*}}{）}^H{\mathit{A}}^H\mathit{B}（{\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}+{\mathit{C}}^{\mathrm{*}}）\right]\end{array}（36）

由引理1，有

\mathrm{I}\mathrm{m}[({\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}+{\mathit{C}}^{\mathrm{*}}{)}^H{\mathit{A}}^H\mathit{B}({\mathit{C}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}+{\mathit{C}}^{\mathrm{*}})]（37）

根据式（31）~（36），有

\mathrm{R}\mathrm{e}({\left|{\mathit{u}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}\right|}^{\mathrm{2}}-{\left|{\mathit{u}}^{\mathrm{*}}\right|}^{\mathrm{2}})={\left|{\mathit{u}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}\right|}^{\mathrm{2}}-{\left|{\mathit{u}}^{\mathrm{*}}\right|}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0}

因此，在格式（10）下，具有周期性边界条件的五次非线性Schrödinger方程（1）满足离散格式下的电荷守恒。

4 数值实验

算例1 方程

\left\{\begin{array}{l}\mathrm{i}{u}_t+u_{xx}-\left({\left|u\right|}^{\mathrm{2}}+{\left|u\right|}^{\mathrm{4}}\right)u=f\left(x,t\right)u\left(x,t\right)\\ f\left(x,t\right)=\mathrm{4}{(x-\mathrm{2}t)}^{\mathrm{2}}-{\mathrm{e}}^{\left(-\mathrm{2}{\left(x-\mathrm{2}t\right)}^{\mathrm{2}}\right)}-{\mathrm{e}}^{\left(-\mathrm{4}{\left(x-\mathrm{2}t\right)}^{\mathrm{2}}\right)}\\ u\left(x,\mathrm{0}\right)={\mathrm{e}}^{\left(-x^{\mathrm{2}}+\mathrm{i}x\right)}\\ u\left(-\mathrm{60},t\right)=u\left(\mathrm{60},t\right)=\mathrm{0}\end{array}\right.

有精确解

u\left(x,t\right)={\mathrm{e}}^{(-{\left(x-\mathrm{2}t\right)}^{\mathrm{2}}+\mathrm{i}(x-\mathrm{3}t))}

首先验证其电荷守恒性，使用如下公式计算电荷量误差。

e(Q)=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left(h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^J}{\left|u_j^m\right|}^{\mathrm{2}}-h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^J}{\left|u_j^{\mathrm{0}}\right|}^{\mathrm{2}}\right),m=\mathrm{1,2},\dots ,M式中，e\left(Q\right)表示电荷误差。分别取空间步长h为\mathrm{0.4}、\mathrm{0.2}、\mathrm{0.1}、\mathrm{0.05}，时间步长τ为\mathrm{0.02}，结果如表1所示。表1反映时间步长为\mathrm{0.02}时不同空间步长下的电荷误差。图1反映空间步长为0.025、时间步长为1/600时的电荷量变化情况。

然后验证其收敛性，误差收敛阶由下式给出。

order=\frac{\mathrm{l}\mathrm{g}\left[\frac{{‖\mathit{e}\left(h_{\mathrm{2}},{\tau }_{\mathrm{2}}\right)‖}_{\mathrm{2}}}{{‖\mathit{e}\left(h_{\mathrm{1}},{\tau }_{\mathrm{1}}\right)‖}_{\mathrm{2}}}\right]}{\mathrm{l}\mathrm{g}\left(\frac{h_{\mathrm{2}}}{h_{\mathrm{1}}}\right)}

式中，\mathit{e}(\mathit{h},\mathit{\tau })=(e_{\mathrm{0}}{e}_{\mathrm{1}}...e_{J-\mathrm{1}}{e}_J{)}^{\mathrm{T}}， e_j=u\left(x_j,t_M\right)-u_j^M,{‖·‖}_{\mathrm{2}}是2-范数。分别取空间步长为\mathrm{0.4,0.2,0.1,0.05}，并对应取时间步长\tau =h/\mathrm{20}，结果如表2、图2所示。表2反映了该方法数值模拟的误差和收敛阶数，表明该方法在空间上是二阶精度。图2反映了该格式以{‖·‖}_{\mathrm{2}}收敛，且收敛阶为O({\tau }^{\mathrm{2}}+h^{\mathrm{2}})，其中虚线是以空间步长为0.05、收敛精度为2的直线，实线是以2为斜率的直线。图3与图4分别反映了空间步长为0.05、时间步长为1/600时的精确解与数值解，表明模拟效果良好。

5 结束语

本文将时间分裂法和三次B样条法相结合对五次非线性Schrödinger方程建立数值格式，并进行数值模拟。该格式收敛阶为O(h^{\mathrm{2}}+{\tau }^{\mathrm{2}})，满足无条件稳定性以及离散的电荷守恒性质。数值实验结果验证了理论的正确性。

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