一维非混相van der Waals型两相流初边值问题的全局强解

Global strong solutions to an initial-boundary value problem for one-dimensional immiscible two-phase flow with the van der Waals equation of state

摘要

讨论了一维可压缩Navier-Stokes-Allen-Cahn系统在van der Waals状态方程下的初边值问题，克服了压力函数的非凸性及密度奇异性的困难，针对初始密度无真空且满足严格上下界条件、速度与相变量具有高阶正则性的初值，通过能量估计与极值原理等方法，证明了该初边值问题全局强解的存在唯一性。

Abstract

The initial-boundary value problem for a one-dimensional compressible Navier-Stokes-Allen-Cahn system with the van der Waals equation of state has been investigated in this work. By addressing the challenges posed by the non-convexity of the pressure function and the singularity in density， we have established the global existence and uniqueness of strong solutions for initial data with non-vacuum density satisfying strict upper and lower bounds， as well as higher regularity conditions on the velocity and phase variables. The proof is based on energy estimates and maximum principles.

关键词

Navier-Stokes-Allen-Cahn系统 / van der Waals状态方程 / 全局强解 / 相变模型 / 非凸压力

Key words

Navier-Stokes-Allen-Cahn system / van der Waals equation of state / global strong solution / phase transition model / non-convex pressure

引言

气液两相流的数学建模与分析是流体力学与材料科学交叉领域的核心问题。经典Sharp-Interface模型难以描述界面拓扑变化（如液滴合并与破裂），而扩散界面模型通过相场变量刻画界面动力学，成为解决这一问题的有效工具。Blesgen^［1］首次将可压缩Navier-Stokes方程与Allen-Cahn方程耦合，提出描述气液流动的扩散界面模型（NSAC模型）；Feireisl等^［2］在三维空间中证明了NSAC模型初边值问题弱解的存在性；Ding等^［3］研究了一维初边值问题在无真空初值下的全局强解和经典解的存在唯一性以及弱解存在性；Chen等^［4］在一维情况下证明了热传导系数依赖温度时非等熵可压缩两相流全局强解的存在唯一性；Zhang^［5］研究了一维可压缩NSAC系统在不包含真空情形下的全局解的存在性和正则性。以上研究中考虑的压力项均为理想气体状态方程的形式，而对于非理想气体形式，如van der Waals状态方程，因其能准确描述亚临界温度下的气液相变行为，被广泛应用于非理想流体建模。近年来对于单相流模型，He等^［6］针对van der Waals流体提出修正模型，并给出其数值分析结果；陈肖等^［7］证明了具有Bird-Carreau型非线性黏性的van der Waals流体周期解在大黏性条件下初值位于稳定区域或亚稳定区域时的渐近稳定性；Hong^［8］证明了在van der Waals状态方程下具有毛细管效应的可压缩流体模型在初值小扰动情形下的全局光滑解的存在性，并给出了解的唯一性和密度的大时间行为。

基于前人的研究，本文探讨了一维van der Waals型气液两相流的全局强解问题，其主要挑战在于非凸压力项的能量控制与密度上下界的控制。通过压力项的适当变换，克服了压力函数的非凸性及密度奇异性的困难，得到了全局强解的存在唯一性。

1　问题的提出及主要定理

本文考虑一维有界区间I=\left(\mathrm{0,1}\right)的Navier-Stokes-Allen-Cahn系统如下。

\left\{\begin{array}{l}{\rho }_t+{\left(\rho u\right)}_x=\mathrm{0}\\ \rho u_t+\rho u{u}_x+p{\left(\rho \right)}_x={\left(\nu u_x\right)}_x-\frac{\delta }{\mathrm{2}}{\left({\chi }_x^{\mathrm{2}}\right)}_x\\ \rho {\chi }_t+\rho u{\chi }_x=-\mu \\ \rho \mu =-\delta {\chi }_{xx}+\frac{\rho }{\delta }\left({\chi }^{\mathrm{3}}-\chi \right)\end{array}\right.（1）

式中，(x,t)\in \left(\mathrm{0,1}\right)\times (\mathrm{0},+\mathrm{\infty })，\rho 、u、\chi分别表示流体混合物的总密度、平均速度和浓度差，\mu表示化学势，黏性系数\nu >\mathrm{0}，两相界面厚度\delta >\mathrm{0}。本文考虑如下初边值条件。

{\left.\left(\rho ,u,\chi \right)\right|}_{t=\mathrm{0}}=\left({\rho }_{\mathrm{0}},u_{\mathrm{0}},{\chi }_{\mathrm{0}}\right),x\in \left(\mathrm{0,1}\right)（2）

{\left.\left(u,{\chi }_x\right)\right|}_{x=\mathrm{0,1}}=\left(\mathrm{0,0}\right),t\ge \mathrm{0}（3）

热力学压力p由以下van der Waals状态方程给出

（4）

其中\epsilon为任意小的正常数，\theta为临界温度。有以下关于压力p的性质。

（i） 当\theta \ge \mathrm{1}时，p\left(\rho \right)是单调递增函数，与理想气体情况相同。当时，存在两个正密度 \alpha ,\beta \in (\mathrm{0,3}-\epsilon )，使得p\left(\rho \right)在(\mathrm{0},\alpha ]和[\beta ,\mathrm{3}-\epsilon )上递增，而在\left(\alpha ,\beta \right)上递减。

（ii） 当时，存在一个正密度，使得p\left(\overline{\rho }\right)=p\left(\alpha \right)。令

易得G\left(\rho \right)\ge \mathrm{0}。边界为\partial I=\{\mathrm{0,1}\}，对于T>\mathrm{0}，定义时空区域Q_T=I\times \left[\mathrm{0},T\right]。为简单起见，假设\nu =\delta =\mathrm{1}，并根据方程组（1）中第一式和边界条件（3），假设{\int }_I\rho \mathrm{d}x={\int }_I{\rho }_{\mathrm{0}}\mathrm{d}x:=\mathrm{1}。记H _k 为经典Sobolev空间W ^k，2（k\inN）。

本文主要结论如下。

定理1 当时，如果{\rho }_{\mathrm{0}}\in {\mathrm{H}}^{\mathrm{1}}\left(I\right)，存在一个任意小的正常数\epsilon >\mathrm{0}，满足，且u_{\mathrm{0}}\in {\mathrm{H}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(I\right),{\chi }_{\mathrm{0}}\in {\mathrm{H}}^{\mathrm{2}}\left(I\right)，则问题（1）~（3）存在唯一的全局强解\left(\rho ,u,\chi \right)，并且对于任意T>\mathrm{0}，满足

\begin{array}{l}u\in {\mathrm{L}}^{\mathrm{\infty }}\left(\mathrm{0},T;{\mathrm{H}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(I\right)\right)\bigcap {\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{0},T;{\mathrm{H}}^{\mathrm{2}}\left(I\right)\right)\\ u_t\in {\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{0},T;{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}\left(I\right)\right)\end{array}

\begin{array}{l}\chi \in {\mathrm{L}}^{\mathrm{\infty }}\left(\mathrm{0},T;{\mathrm{H}}^{\mathrm{2}}\left(I\right)\right)\bigcap {\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{0},T;{\mathrm{H}}^{\mathrm{3}}\left(I\right)\right)\\ {\chi }_t\in {\mathrm{L}}^{\mathrm{\infty }}\left(\mathrm{0},T;{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}\left(I\right)\right)\bigcap {\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{0},T;{\mathrm{H}}^{\mathrm{1}}\left(I\right)\right)\end{array}

2　主要定理的证明

定理1的证明从构造方程组局部解出发，利用经典的不动点定理来证明，而后运用能量估计等方法得到强解的一致估计，进而延拓到全局强解。下面给出局部解的存在性结果。

命题1 假设{\rho }_{\mathrm{0}}\in {\mathrm{H}}^{\mathrm{1}}\left(I\right)，且存在一个正常数c_{\mathrm{0}}>\mathrm{0}，满足，且u_{\mathrm{0}}\in {\mathrm{H}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(I\right)，{\chi }_{\mathrm{0}}\in {\mathrm{H}}^{\mathrm{2}}\left(I\right)，则存在一个仅依赖于{\rho }_{\mathrm{0}}\mathrm{、}{u}_{\mathrm{0}}\mathrm{、}{\chi }_{\mathrm{0}}的小时间T_{*}>\mathrm{0}，使得初边值问题（1）~（3）存在唯一的强解\left(\rho ,u,\chi \right):I\times [\mathrm{0},T_{*})\to {\mathbb{R}}_{+}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}满足

\begin{array}{l}u\in {\mathrm{L}}^{\mathrm{\infty }}\left(\mathrm{0},T_{*};{\mathrm{H}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(I\right)\right)\bigcap {\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{0},T_{*};{\mathrm{H}}^{\mathrm{2}}\left(I\right)\right)\\ u_t\in {\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{0},T_{*};{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}\left(I\right)\right)\end{array}

\begin{array}{c}\chi \in {\mathrm{L}}^{\mathrm{\infty }}\left(\mathrm{0},T_{*};{\mathrm{H}}^{\mathrm{2}}\left(I\right)\right)\bigcap {\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{0},T_{*};{\mathrm{H}}^{\mathrm{3}}\left(I\right)\right)\\ {\chi }_t\in {\mathrm{L}}^{\mathrm{\infty }}\left(\mathrm{0},T_{*};{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}\left(I\right)\right)\bigcap {\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{0},T_{*};{\mathrm{H}}^{\mathrm{1}}\left(I\right)\right)\end{array}

上述定理可以由标准压缩映射原理得到，具体参考文献［3］，此处省去证明细节。

为了将该局部强解延拓到全局强解，接下来将证明以下先验估计（引理1~5）。

引理1 假定\left(\rho ,u,\chi \right)是问题（1）~（3）的强解，对于任意，有恒等式

{\int }_I\left(\frac{\rho u^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+G\left(\rho \right)+\frac{\rho {\left({\chi }^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}+\frac{{\chi }_x^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\right)\left(t\right)+

{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_I(u_x^{\mathrm{2}}+{\mu }^{\mathrm{2}})=E_{\mathrm{0}}（5）

其中 E_{\mathrm{0}}={\int }_I\left(\frac{{\rho }_{\mathrm{0}}{u}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+G\left({\rho }_{\mathrm{0}}\right)+\frac{{\rho }_{\mathrm{0}}{\left({\chi }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}+\frac{{\chi }_{\mathrm{0}x}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{。}

证明 将{\left(\mathrm{1}\right)}_{\mathrm{2}}（表示方程组（1）的第二式，下同）乘以u，在I上积分，将{\left(\mathrm{1}\right)}_{\mathrm{3}}乘以\mu并在I上积分，再将{\left(\mathrm{1}\right)}_{\mathrm{1}}和{\left(\mathrm{1}\right)}_{\mathrm{4}}两式相加，得到

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}}{\hspace{0.25em}\mathrm{d}t}{\int }_I\left(\frac{\rho u^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+G\left(\rho \right)+\frac{\rho {\left({\chi }^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}+\frac{{\chi }_x^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\right)+\\ {\int }_I\left(u_x^{\mathrm{2}}+{\mu }^{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0}\end{array}（6）

对于任意t\in [\mathrm{0},T)，将式（6）在\left(\mathrm{0},t\right)上积分，则式（5）成立。引理1得证。

引理2 假定\left(\rho ,u,\chi \right)是问题（1）~（3）的强解，对于任意T>\mathrm{0}，则有

{‖\chi ‖}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{\infty }}\left(I\times \left(\mathrm{0},T\right)\right)}\le C\left(E_{\mathrm{0}}\right)

证明 从式（5）可以看出

{\int }_I\rho {\left({\chi }^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}\le C\left(E_{\mathrm{0}}\right)

因此可得{\int }_I\rho {\chi }^{\mathrm{4}}\le C\left(E_{\mathrm{0}}\right)，进一步可得

{\int }_I\rho \chi \le {\int }_I\rho {\chi }^{\mathrm{4}}+{\int }_I\rho \le C\left(E_{\mathrm{0}}\right)\left(\mathrm{7}\right)

注意到{\int }_I\rho \left(t\right)={\int }_I{\rho }_{\mathrm{0}}且\rho >\mathrm{0}对于任意\left(x,t\right)\in I\times \left(\mathrm{0},T\right)，利用式（7）可以得到

\begin{array}{l}\left|\chi \left(x,t\right)\right|=\left|\chi \left(x,t\right){\int }_I\rho \left(y,t\right)\mathrm{d}y\right|\le \\ \begin{array}{l}\left(\left|{\int }_I\rho \left(y,t\right)\left(\chi \left(x,t\right)-\chi \left(y,t\right)\right)\mathrm{d}y\right|\right.+\\ \left.\left|{\int }_I\rho \left(y,t\right)\chi \left(y,t\right)\mathrm{d}y\right|\right)\le \end{array}\\ \left|{\int }_I\rho \left(y,t\right)\left({\int }_y^x{\chi }_{\xi }\left(\xi ,t\right)\mathrm{d}\xi \right)\mathrm{d}y\right|+C\left(E_{\mathrm{0}}\right)\le \\ {\int }_I\left|{\chi }_x\right|{\int }_I\rho \left(y,t\right)\mathrm{d}y+C\left(E_{\mathrm{0}}\right)\le {\left({\int }_I{\chi }_x^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}+\\ C\left(E_{\mathrm{0}}\right)\le C\left(E_{\mathrm{0}}\right)\end{array}

引理2得证。

引理3 假定\left(\rho ,u,\chi \right)是问题（1）~（3）的强解，对于任意T>\mathrm{0}，则有

{\int }_{\mathrm{0}}^T{\int }_I{\chi }_{xx}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\le C

证明 从引理1可以看出

\underset{t\in \left[\mathrm{0},T\right]}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\int }_{I}G\left(\rho \right)\mathrm{d}x\le E_{\mathrm{0}}

根据引理1和式（4）的定义，可得到

\underset{\epsilon \to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}\{\left(x,t\right)\in I\times \left[\mathrm{0},T\right]\left|\rho \left(x,t\right)\ge \mathrm{3}-\epsilon \}=\mathrm{0}\right.

因此有

另外，根据{\left(\mathrm{1}\right)}_{\mathrm{4}}和引理2，得到

{\int }_{\mathrm{0}}^T{\int }_I{\chi }_{xx}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x={\int }_{\mathrm{0}}^T{\int }_I{\left(\rho \left({\chi }^{\mathrm{3}}-\chi \right)-\rho \mu \right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\le C

引理3得证。

引理4 假定\left(\rho ,u,\chi \right)是问题（1）~（3）的强解，对于任意T>\mathrm{0}，则有

\underset{t\in \left[\mathrm{0},T\right]}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left({\rho }_x\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}\le C

{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{\infty }}\left(I\times \left[\mathrm{0},T\right]\right)}\le C

证明 根据质量守恒方程{\left(\mathrm{1}\right)}_{\mathrm{1}}，有

\begin{array}{ll}{u}_{xx}=-{\left[\frac{\mathrm{1}}{\rho }\left({\rho }_t+{\rho }_{x}u\right)\right]}_x={\left[{\left(-\mathrm{l}\mathrm{n}\rho \right)}_t+\rho u{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_x\right]}_x=& \\ {\left[-{\left(\mathrm{l}\mathrm{n}\rho \right)}_x\right]}_t+{\left[\rho u{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_x\right]}_x={\left[\rho {\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_x\right]}_t+{\left[\rho u{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_x\right]}_x=& \\ \rho {\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_{xt}+\rho u{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_{xx}+\left[{\rho }_x{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_t+{\left(\rho u\right)}_x{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_x\right]=& \\ \rho {\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_{xt}+\rho u{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_{xx}-\frac{{\rho }_x}{{\rho }^{\mathrm{2}}}\left[{\rho }_t+{\left(\rho u\right)}_x\right]=& \\ \rho {\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_{xt}+\rho u{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_{xx}& (\mathrm{8}）\end{array} 将式（8）代入动量方程{\left(\mathrm{1}\right)}_{\mathrm{2}}，再乘以{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_x，并在I上积分，得到

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_I\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\rho {\left|{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_x\right|}^{\mathrm{2}}-\rho u{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_x\right)\mathrm{d}x+{\int }_I\frac{p^{\mathrm{\text{'}}}\left(\rho \right)}{{\rho }^{\mathrm{2}}}{\rho }_x^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x=

-{\int }_I\rho u{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_{xt}\mathrm{d}x+{\int }_I{\left(\rho u^{\mathrm{2}}\right)}_x{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_x\mathrm{d}x+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\int }_I{\left({\chi }_x^{\mathrm{2}}\right)}_x{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_x\mathrm{d}x=

{\int }_I\left({\left(\rho u\right)}_x\left(-\frac{{\rho }_t}{{\rho }^{\mathrm{2}}}\right)+{\left(\rho u^{\mathrm{2}}\right)}_x\left(-\frac{{\rho }_x}{{\rho }^{\mathrm{2}}}\right)\right)\mathrm{d}x+{\int }_I{\chi }_x{\chi }_{xx}{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_x\mathrm{d}x=

{\int }_I{u}_x^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x+{\int }_I{\chi }_x{\chi }_{xx}{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_x\mathrm{d}x\le {\int }_I{u}_x^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x+

\left({‖\frac{\mathrm{1}}{\rho }‖}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{\infty }}}+{\int }_I\rho {\left|{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_x\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\right){‖{\chi }_{xx}‖}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}（9）

根据中值定理，存在a\left(t\right)\in I满足\rho \left(a\left(t\right),t\right)={\int }_I{\rho }_{\mathrm{0}}\mathrm{d}x，因此

\frac{\mathrm{1}}{\rho \left(x,t\right)}=\frac{\mathrm{1}}{\rho \left(x,t\right)}-\frac{\mathrm{1}}{\rho \left(a\left(t\right),t\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\rho \left(a\left(t\right),t\right)}=

{\int }_{a\left(t\right)}^x{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho \left(y,t\right)}\right)}_y\mathrm{d}y+\mathrm{1}\le {\int }_I\left|\frac{{\rho }_x\left(x,t\right)}{{\rho }^{\mathrm{2}}\left(x,t\right)}\right|\mathrm{d}x+\mathrm{1}\le

{\left({\int }_I\frac{\mathrm{1}}{\rho }\mathrm{d}x\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\left({\int }_I\frac{{\rho }_x^{\mathrm{2}}\left(x,t\right)}{{\rho }^{\mathrm{3}}\left(x,t\right)}\mathrm{d}x\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}+\mathrm{1}\le \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{‖\frac{\mathrm{1}}{\rho }‖}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{\infty }}}+

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\int }_I\rho {\left|{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_x\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x+\mathrm{1}

于是得到关于\frac{\mathrm{1}}{\rho }的Sobolev不等式

{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{\infty }}}\le {\int }_I\rho {\left|{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_x\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x+\mathrm{2}\left(\mathrm{10}\right)

将表达式（10）代入不等式（9），得到

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_I\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\rho {\left|{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_x\right|}^{\mathrm{2}}-\rho u{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_x\right)\mathrm{d}x+{\int }_I\frac{p^{\mathrm{\text{'}}}\left(\rho \right)}{{\rho }^{\mathrm{2}}}{\rho }_x^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\le \\ {\int }_I{u}_x^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x+\mathrm{2}{\int }_I\rho {\left|{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_x\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x+\mathrm{2}{\left({\chi }_{xx}\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}\end{array}(\mathrm{11})

将式（11）乘以\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}，并结合式（5），得到

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_I\left(\frac{\rho }{\mathrm{4}}{\left|{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_x\right|}^{\mathrm{2}}-\frac{\rho u}{\mathrm{2}}{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_x+\frac{\rho u^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+G\left(\rho \right)+\right.\frac{\rho {\left({\chi }^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}\left.+\frac{{\chi }_x^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}x+{\int }_I\frac{\mathrm{24}\theta }{{\left(\mathrm{3}-\rho \right)}^{\mathrm{2}}{\rho }^{\mathrm{2}}}{\rho }_x^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x+\\ {\int }_I\left({\mu }^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{u}_x^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}x\le \left({\int }_I\rho {\left|{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_x\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x+\frac{\mathrm{1}}{{\int }_I{\rho }_{\mathrm{0}}\mathrm{d}x}\right){‖{\chi }_{xx}‖}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}+\\ {\int }_I\frac{\mathrm{6}{\rho }_x^{\mathrm{2}}}{\rho }\mathrm{d}x\le \left({\int }_I\rho {\left|{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_x\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x+\frac{\mathrm{1}}{{\int }_I{\rho }_{\mathrm{0}}\mathrm{d}x}\right){‖{\chi }_{xx}‖}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}+\\ C{\int }_I\rho {\left|{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_x\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\end{array}（12）

将不等式（12）在\left[\mathrm{0},T\right]上积分，应用引理2、3并结合Gronwall不等式，得到

\begin{array}{l}{\int }_I\left(\rho {\left|{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_x\right|}^{\mathrm{2}}+\rho u^{\mathrm{2}}+G\left(\rho \right)+\rho {\left({\chi }^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}+{\chi }_x^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}x+\\ {\int }_{\mathrm{0}}^T{\int }_I\left({\mu }^{\mathrm{2}}+u_x^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}x\le C\end{array}

根据式（10），结合{\int }_I\rho {\left|{\left(\frac{\mathrm{1}}{\rho }\right)}_x\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\ge\frac{\mathrm{1}}{{‖\rho ‖}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{3}}}^{\mathrm{3}}}{\int }_I{\rho }_x^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x，引理4的证明完成。

引理5 假定\left(\rho ,u,\chi \right)是问题（1）~（3）的强解，对于任意T>\mathrm{0}，则有

\begin{array}{l}\underset{t\in \left[\mathrm{0},T\right]}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\left({\left({\chi }_t\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}+{\left({\chi }_{xx}\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}\right)+\\ {\int }_{\mathrm{0}}^T{\int }_I\left({\chi }_{xt}^{\mathrm{2}}+{\chi }_t^{\mathrm{2}}+{\chi }_{xxx}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}t\le C\end{array}

\underset{t\in \left[\mathrm{0},T\right]}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left(u_x\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}+{\int }_{\mathrm{0}}^T{\int }_I\left(u_t^{\mathrm{2}}+u_{xx}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}t\le C

证明 作如下变换v=\frac{\mathrm{1}}{\rho }，并考虑拉格朗日坐标系

y={\int }_{\mathrm{0}}^x\rho \left(s,t\right)\mathrm{d}s, t=t

则系统（1）可以简化为

\left\{\begin{array}{l}{v}_t-u_y=\mathrm{0}\\ u_t+p_y={\left(\frac{u_y}{v}\right)}_y-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\left(\frac{{\chi }_y^{\mathrm{2}}}{v^{\mathrm{2}}}\right)}_y\\ {\chi }_t=-v\left({\chi }^{\mathrm{3}}-\chi \right)+v{\left(\frac{{\chi }_y}{v}\right)}_y\\ {\left.\left(v,u,\chi \right)\right|}_{t=\mathrm{0}}=\left(v_{\mathrm{0}},u_{\mathrm{0}},{\chi }_{\mathrm{0}}\right),y\in I\\ {\left.\left(u,{\chi }_y\right)\right|}_{\partial I}=\left(\mathrm{0,0}\right),t>\mathrm{0}\end{array}\right.（13）

由{\left(\mathrm{13}\right)}_{\mathrm{3}}，有

{\chi }_t=-v\left({\chi }^{\mathrm{3}}-\chi \right)+{\chi }_{yy}-\frac{{\chi }_y{v}_y}{v}\left(\mathrm{14}\right)

则由式（14）和引理1~4以及G\left(\rho \right)的定义可得

{\int }_I\left(u^{\mathrm{2}}+v_y^{\mathrm{2}}+v^{\mathrm{2}}+{\chi }_y^{\mathrm{2}}+{\left({\chi }^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}y+

{\int }_{\mathrm{0}}^T{\int }_I\left({\mu }^{\mathrm{2}}+u_y^{\mathrm{2}}+{\chi }_t^{\mathrm{2}}+{\chi }_{yy}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}y\le C（15）

\left(\mathrm{16}\right)

以及

{\int }_I{\chi }_{yy}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}y\le C\left({\int }_I{\chi }_t^{\mathrm{2}}\mathrm{d}y+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{17}\right)

对式（14）关于t求导，得到

{\chi }_{tt}=-v_t\left({\chi }^{\mathrm{3}}-\chi \right)-v\left(\mathrm{3}{\chi }^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}\right){\chi }_t+v_t{\left(\frac{{\chi }_y}{v}\right)}_y+

v{\left(\frac{{\chi }_y}{v}\right)}_{yt}\left(\mathrm{18}\right)

将式（18）乘以{\chi }_t，并在\left[\mathrm{0,1}\right]上对y积分，得到

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_I{\chi }_t^{\mathrm{2}}\mathrm{d}y+{\int }_I{\chi }_{yt}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}y=

-{\int }_I\left(\left({\chi }^{\mathrm{3}}-\chi \right)u_y{\chi }_t+v\left(\mathrm{3}{\chi }^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}\right){\chi }_t^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}y+

{\int }_I{u}_y{\left(\frac{{\chi }_y}{v}\right)}_y{\chi }_t\mathrm{d}y-{\int }_I{v}_y{\left(\frac{{\chi }_y}{v}\right)}_t{\chi }_t\mathrm{d}y+

{\int }_I\frac{\mathrm{1}}{v}{\chi }_y{u}_y{\chi }_{yt}\mathrm{d}y=I_{\mathrm{1}}+I_{\mathrm{2}}+I_{\mathrm{3}}+I_{\mathrm{4}}（19）

根据Sobolev不等式和引理1~4以及式（15）~（17），可以推导出

\left|I_{\mathrm{1}}\right|\le C_{\mathrm{1}}\left({\left(u_y\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}+{\left({\chi }_t\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{20}\right)

\left|I_{\mathrm{2}}\right|\le C\left({\int }_I\left|u_y{\chi }_{yy}{\chi }_t\right|\mathrm{d}y+{\int }_I\left|u_y{\chi }_y{v}_y{\chi }_t\right|\mathrm{d}y\right)\le

C\left({\left({\chi }_t\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{\infty }}}{\left(u_y\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}{\left({\chi }_{yy}\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}+{\left({\chi }_t\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{\infty }}}{\left({\chi }_y\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{\infty }}}{\left(u_y\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}{\left(v_y\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}\right)\le

C\left({\left({\chi }_t\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}{\left(u_y\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}+{\left({\chi }_t\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}{\left(u_y\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}^{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}}+{\left({\chi }_t\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}}{\left(u_y\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}+\right.

\left.{\left({\chi }_t\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}^{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}}{\left(u_y\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}^{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}}+{\left({\chi }_t\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}{\left(u_y\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}+{\left({\chi }_t\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}^{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}}{\left(u_y\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}^{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{\left({\chi }_{yt}\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}（21）

\left|I_{\mathrm{3}}\right|+\left|I_{\mathrm{4}}\right|\leC{\int }_I\left(\left|v_y{\chi }_{yt}{\chi }_t\right|+\left|v_y{\chi }_y{u}_y{\chi }_t\right|+\left|{\chi }_y{u}_y{\chi }_{yt}\right|\right)\mathrm{d}y\le

C\left({\left({\chi }_t\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}{\left(u_y\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}+{\left({\chi }_t\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{\left({\chi }_{yt}\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}（22）

将不等式（20）~（22）代入式（19），应用Gronwall不等式，得到

{\int }_I{\chi }_t^{\mathrm{2}}\mathrm{d}y+{\int }_{\mathrm{0}}^T{\int }_I{\chi }_{yt}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}y\le C

结合式（17），得到

{\int }_I{\chi }_{yy}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}y\le C

因此有

{\int }_I\left({\chi }_t^{\mathrm{2}}+{\chi }_{yy}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}y+{\int }_{\mathrm{0}}^T{\int }_I\left({\chi }_{yt}^{\mathrm{2}}+{\chi }_t^{\mathrm{2}}+{\chi }_{yy}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}y\le C

可得

\underset{t\in \left[\mathrm{0},T\right]}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\left({\left({\chi }_t\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}+{\left({\chi }_{xx}\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}\right)+{\int }_{\mathrm{0}}^T{\int }_I\left({\chi }_{xt}^{\mathrm{2}}+{\chi }_t^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}t\le C（23）

将{\left(\mathrm{13}\right)}_{\mathrm{2}}乘以-u_{yy}，在\left[\mathrm{0,1}\right]上分部积分，利用Sobolev不等式、引理1~4和式（22），得到

\begin{array}{l}{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\int }_I{u}_y^{\mathrm{2}}\mathrm{d}y\right)}_t+{\int }_I\frac{u_{yy}^{\mathrm{2}}}{v}\mathrm{d}y={\int }_I{u}_{yy}{\left(p\right)}_v^{\mathrm{\text{'}}}{v}_y\mathrm{d}y+\\ {\int }_I\frac{u_{yy}{u}_y{v}_y}{v^{\mathrm{2}}}\mathrm{d}y+{\int }_I\frac{\mathrm{2}{\chi }_y{\chi }_{yy}{u}_{yy}}{v^{\mathrm{2}}}\mathrm{d}y-{\int }_I\frac{\mathrm{2}{\chi }_y^{\mathrm{2}}{v}_y{u}_{yy}}{v^{\mathrm{3}}}\mathrm{d}y\le \\ C\left({\left(u_y\right)}^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\int }_I\frac{u_{yy}^{\mathrm{2}}}{v}\mathrm{d}y\end{array}

因此有

{\int }_I{u}_y^{\mathrm{2}}\mathrm{d}y+{\int }_{\mathrm{0}}^T{\int }_I{u}_{yy}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}y\le C

可得

\underset{t\in \left[\mathrm{0},T\right]}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left(u_x\right)}_{{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}+{\int }_{\mathrm{0}}^T{\int }_I{u}_{xx}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}t\le C

利用u_t=-{\left(p\right)}_y+{\left(\frac{u_y}{v}\right)}_y-{\left(\frac{{\chi }_y^{\mathrm{2}}}{v^{\mathrm{2}}}\right)}_y，得到

{\int }_{\mathrm{0}}^T{\int }_I{u}_t^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}t\le C

回到欧拉坐标，结合{\chi }_{xxx}=\mathrm{2}\rho {\rho }_x{\chi }_t+{\rho }^{\mathrm{2}}{\chi }_{xt}+\mathrm{2}\rho {\rho }_{x}u{\chi }_x+{\rho }^{\mathrm{2}}{u}_x{\chi }_x+{\rho }^{\mathrm{2}}u{\chi }_{xx}+{\rho }_x\left({\chi }^{\mathrm{3}}-\chi \right)+\rho \left(\mathrm{3}{\chi }^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}\right){\chi }_x，有

{\int }_{\mathrm{0}}^T{\int }_I{\chi }_{xxx}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}t\le C

至此，引理5的证明完成。定理1的证明完成。

3　结束语

本文考虑了非理想的扩散界面模型，克服了非凸压力项和密度上下界控制的困难，得到了一维非混相van der Waals型两相流模型的全局强解存在唯一性，并通过能量估计方法给出了密度、速度及相场的高阶正则性，为后续研究复杂多相流动力学问题的数值分析提供了理论支撑。

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基金资助

国家自然科学基金(12471207)