接触热阻对高速滚珠丝杠副温升特性的影响

Influence of contact thermal resistance on temperature rise characteristics of high⁃speed ball screw

摘要

基于MB分形理论确定了滚道接触表面的接触热阻，并建立了考虑接触热阻的高速滚珠丝杠副热分析有限元模型；通过仿真计算，分析了不同接触热阻下的滚珠丝杠副温升特性。结果表明：丝杠的最高温度集中在前轴承处和滚珠滚道接合处，滚珠和螺母的峰值温度集中在滚道中部。接触热阻值的变化对滚珠和螺母的稳态温度影响较为显著；随着接触热阻值的增大，滚珠和螺母的稳态温度均存在明显上升，上述工作为研究高速滚珠丝杠的温升控制和冷却润滑方法提供了理论基础。

Abstract

Based on the MB fractal theory， the contact thermal resistance of the raceway contact surface was determined， and a finite element model for thermal analysis of high-speed ball screw pairs considering contact thermal resistance was established. The temperature rise characteristics of ball screw pairs under different contact thermal resistances were analyzed through simulation calculations. The results indicate that the highest temperature of the screw is concentrated at the joint between the front bearing and the ball raceway， while the peak temperature of the ball and nut is concentrated in the middle of the raceway. The change in contact resistance has a significant impact on the steady-state temperature of the ball and nut. As the contact resistance increases， the steady-state temperatures of the ball and nut both increase significantly. The above work provides a theoretical basis for studying the temperature rise control and cooling lubrication methods of high-speed ball screws.

Graphical abstract

关键词

机械工程 / 滚珠丝杠副 / 接触热阻 / 有限元分析

Key words

mechanical engineering / ball screw / contact thermal resistance / finite element analysis

0 引　言

滚珠丝杠副具有定位精确、传动效率高的优点，广泛应用于数控机床进给驱动中^［1］。在进给系统高速工作过程中，支撑轴承和滚珠丝杠的摩擦热效应导致进给系统温升、产生热膨胀变形，进而降低其定位精度^［2］。因此，对高速滚珠丝杠副工作过程中的温升特性进行仿真分析具有重要意义。

滚珠丝杠副工作时产生的摩擦热主要通过滚珠-螺母/滚珠-丝杠的途径传递至外界并进行热交换，因此，滚道接触面的接触热阻对滚珠丝杠副是极为重要的热边界条件。目前，国内外学者们均对滚珠丝杠副的温升特性仿真和接触热阻计算进行了研究。

夏军勇等^［3］和Su等^［4］基于有限元分析分别探究了静态和瞬态滚珠丝杠受热源影响时产生的温度响应，但两者并未考虑不同接触面之间接触热阻的存在对温升的影响。Wang等^［5］基于集总热容法分别对丝杠各个部分进行了分解建模，但是并未给出其各节点的接触热阻具体计算过程，同时在集总热容模型中，其等效质量的确定也较为复杂。

大多数学者仍选用有限元法对滚珠丝杠热特性进行分析，张义民等^［6］基于赫兹接触计算了滚珠与内、外滚道之间的接触热阻，并将其作为边界条件对滚珠丝杠副有限元模型进行了热特性分析，但其在计算热阻时并未考虑接触面的微观特征。Gao等^［7，8］基于MB分形理论，在考虑接触表面微观特征的情况下获得了滚珠丝杠的接触热阻并建立有限元模型，分析了分形参数和轴向力对接触热阻的影响。但以上研究仅针对低速工况进行温升分析，未考虑接触热阻值变化对滚珠丝杠及内部滚珠温升特性的影响。

在考虑机床接合面的接触热阻值计算方面，Yang等^［9］采用热结构有限元法分析了不同进给速度下机床的瞬态热变形和温度场。然而，在计算中没有给出接触热阻值的具体计算方法，直接设定机床接合面的接触热阻值为8 650 m²·K/W。Min等^［10］通过考虑轴承与其壳体之间的接触热阻分析滚珠丝杠副的温度分布。其中，轴承外圈与外壳之间的接触热阻基于Bossmanns等^［11］的理论进行计算，通过建立与温度相关的间隙配合函数，计算相配合的两接合面之间的接触热阻值，但其模型中的参数难以精确确定，且接触热阻模型的有效性并未得到验证。

本文将通过MB分形理论确定滚珠与丝杠和螺母之间的接触热阻，基于高速滚珠丝杠工况计算得到加载边界条件，建立并验证滚珠丝杠副热分析模型的有效性。同时，基于ANSYS Workbench软件对丝杠、螺母及滚珠的温度场进行仿真计算，通过改变滚动体与滚道之间的接触热阻值，分析接触热阻对滚珠丝杠副温升特性的影响。

1 滚珠丝杠副热边界条件的求解

1.1　基于分形理论的接触热阻计算方法

存在于机械结构中的接合面本质上都是不同粗糙程度的粗糙表面接触，实际接触只发生在接触面的较高微凸峰上^［12］。因此，两接合面之间必然存在一定间隙，在热量传递过程中，热量在通过接合面时产生温度降，进而对后续热分析产生影响。基于MB分形理论，对于两粗糙接触面，其表面上的接触热阻可表示为：

R=\frac{A_{\mathrm{r}}^{\mathrm{*}}}{L_{\mathrm{g}}}\frac{\mathrm{2}{k}_A{k}_B}{k_A+k_B}（1）

式中：k_A和k_B为两接触面的热传递系数；L_{\mathrm{g}}为空隙空间厚度，m。

L_{\mathrm{g}}=\mathrm{2}[z-{\psi }^{(D-\mathrm{2})(\mathrm{2}-D)/\mathrm{4}}{G}^{(D-\mathrm{1})}{\left(\frac{\mathrm{4}-\mathrm{2}D}{D}\right)}^{(\mathrm{2}-D)/\mathrm{2}}

(A_{\mathrm{r}}^{\mathrm{*}}{)}^{(\mathrm{2}-D)/\mathrm{2}}L{u}^{\mathrm{2}-D}]（2）

式中：p为接合面上的压强，Pa；a_{\mathrm{c}}^{\mathrm{*}}为无量纲临界接触面积，a_{\mathrm{c}}^{\mathrm{*}}=\mathrm{2}{a}_{\mathrm{c}}/L{u}^{\mathrm{2}}；Lu为微凸峰的高度，mm；A_{\mathrm{r}}^{\mathrm{*}}为无量纲接触面积。

（1）当时，

A_{\mathrm{r}}^{\mathrm{*}}={\left(\frac{\mathrm{3}\sqrt[]{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}}{\mathrm{4}}\right)}^{\mathrm{2}/(\mathrm{3}-D)}{\left(\frac{Lu}{G}\right)}^{(\mathrm{2}D-\mathrm{2})/(\mathrm{3}-D)}·

g_{\mathrm{4}}(D){\left(\frac{p}{E}\right)}^{\mathrm{2}/(\mathrm{3}-D)}（3）

（2）当D=\mathrm{1.5}时，

A_{\mathrm{r}}^{\mathrm{*}}=\frac{D}{A(\mathrm{4}-\mathrm{2}D)}{\psi }^{(\mathrm{2}-D)/\mathrm{2}}({a_{\mathrm{l}}}^{D/\mathrm{2}}{a_{\mathrm{c}}}^{(\mathrm{2}-D)/\mathrm{2}}+a_{\mathrm{l}})（4）

式中：a_{\mathrm{c}}=G^{\mathrm{2}}/{(H/\mathrm{2}E)}^{\mathrm{2}(D-\mathrm{1})}；H为接合面较低的材料硬度；E为弹性模量，MPa；a_{\mathrm{l}}由式（5）可得：

p=\sqrt[]{\mathrm{\pi }}{G}^{\mathrm{0.5}}E{a_{\mathrm{l}}}^{\mathrm{0.75}}\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{a_{\mathrm{l}}}{a_{\mathrm{c}}}+\mathrm{3}k{\sigma }_y{a_{\mathrm{l}}}^{\mathrm{0.75}}{a}_{\mathrm{c}}^{\mathrm{0.25}}（5）

\psi为域扩展因子，可表示为^［13］：

{\psi }^{\frac{\mathrm{2}-D}{\mathrm{2}}}-{\left(\mathrm{1}-{\psi }^{-\frac{D}{\mathrm{2}}}\right)}^{-\frac{\mathrm{2}-D}{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{2}-D}{\mathrm{2}}（6）

（3）当D>\mathrm{1.5}时，

A_{\mathrm{r}}^{\mathrm{*}}=[g_{\mathrm{3}}{(D)]}^{-\mathrm{2}/D}{\left(\frac{p}{E}\right)}^{\mathrm{2}/D}

\left\{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}\sqrt[]{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}}\right.{\left(\frac{G}{Lu}\right)}^{D-\mathrm{1}}\left\{\frac{H}{E}\right.g_{\mathrm{2}}(D)\times

{\left.\left.\frac{}{}(a_{\mathrm{c}}^{\mathrm{*}}{)}^{(\mathrm{2}-D)/\mathrm{2}}-g_{\mathrm{1}}(D)(a_{\mathrm{c}}^{\mathrm{*}}{)}^{(\mathrm{3}-\mathrm{2}D)/\mathrm{2}}\right]\right\}}^{-\mathrm{2}/D}（7）

g_{\mathrm{1}}(D)=[{(\mathrm{2}-D)/D]}^{D/\mathrm{2}}D/(\mathrm{3}-\mathrm{2}D)（8）

g_{\mathrm{2}}(D)=[D/{(\mathrm{2}-D)]}^{(\mathrm{2}-D)/\mathrm{2}}（9）

g_{\mathrm{3}}(D)={\mathrm{2}}^{D/\mathrm{2}}{\psi }^{(\mathrm{4}-\mathrm{4}D+D^{\mathrm{2}})/\mathrm{4}}（10）

g_{\mathrm{4}}(D)=[g_{\mathrm{1}}(D)g_{\mathrm{3}}(D){\psi }^{(D-\mathrm{2})(\mathrm{3}-\mathrm{2}D)/\mathrm{4}}{]}^{\mathrm{2}/(D-\mathrm{3})}

[D/{(\mathrm{4}-\mathrm{2}D)]}^{(\mathrm{3}-\mathrm{2}D)/(\mathrm{3}-D)}（11）

式中：D\mathrm{、}G均为接触面的分形参数，m。

1.2　滚珠丝杠副发热功率求解

滚珠丝杠副的温升主要包括滚珠与内外滚道之间的摩擦生热以及轴承摩擦力矩生热。同时，滚珠丝杠与外界空气接触也存在着对流换热。如何计算这些热源和换热，对轴承的温升特性分析起着极为重要的作用。

1.2.1　轴承摩擦热

滚动轴承摩擦热主要由滚动体与套圈之间的摩擦力及润滑剂的流体动力损耗产生，其发热功率Q_{\mathrm{b},\mathrm{f}}的计算公式为^［14］：

Q_{\mathrm{b},\mathrm{f}}=\mathrm{1.047}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{4}}nM（12）

式中：n为轴承转速，\mathrm{r}/\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}；M为摩擦力矩，\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}\mathrm{m}，M=M_{\mathrm{1}}+M_{\mathrm{2}}，其中，M_{\mathrm{1}}为与轴承负荷有关的项，反映弹性滞后和局部差动滑动的摩擦损耗。

M_{\mathrm{1}}=f_{\mathrm{1}}{P}_{\mathrm{1}}{d}_{\mathrm{m}}（13）

式中：f_{\mathrm{1}}为与轴承类型及承受载荷有关的系数；P_{\mathrm{1}}为轴承工作时所受的载荷，N；d_{\mathrm{m}}为轴承节圆，mm。

M_{\mathrm{2}}与速度有关，主要由润滑剂的黏度和轴承转速确定，可表示为：

（14）

式中：v为工作温度下润滑剂的运动黏度，\mathrm{m}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}；f_{\mathrm{0}}为与轴承类型和润滑有关的系数。

1.2.2　滚珠丝杠副摩擦热

滚珠丝杠副摩擦热的产生原理与轴承摩擦热基本相同，即丝杠和螺母分别相当于轴承的内圈和外圈，同时也应考虑由预紧力产生的附加摩擦力矩M_{\mathrm{3}}，其计算公式为：

Q_{\mathrm{g},\mathrm{f}}=\mathrm{1.047}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{4}}n(M_{\mathrm{1}}+M_{\mathrm{2}}+M_{\mathrm{3}})（15）

其中，附加摩擦力矩计算公式为：

M_{\mathrm{3}}=\frac{F_{\mathrm{p}}L}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }\eta }(\mathrm{1}-{\eta }_{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}})（16）

式中：F_{\mathrm{p}}为预紧力，\mathrm{N}；L为导程，m；{\eta }_{\mathrm{s}}为丝杠的传动效率。

1.2.3　电机发热

伺服电机的发热主要包括电损耗、机械损耗以及附加损耗等，其发热功率可由下式计算：

Q=\frac{Mn}{\mathrm{9}\mathrm{550}}(\mathrm{1}-{\eta }_{\mathrm{m}})（17）

式中：M为伺服电机的输出扭矩，\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}\mathrm{m}；{\eta }_{\mathrm{m}}为伺服电机的机械效率。

1.3　滚珠丝杠副对流换热系数的求解

在考虑滚珠丝杠副时，由于丝杠、螺母、轴承以及轴承座部分会与空气产生对流换热，因此，螺母内侧和丝杠表面接收的滚珠摩擦产生热量将会通过与空气的对流换热传递至空气中。

由努谢尔准则可知，当周围空气流体静止时，即滚珠丝杠转速较慢时，可认为滚珠丝杠在工作过程中与外界空气进行自然对流换热。此时滚珠丝杠可简化为水平轴的自然对流热力学模型，在室温条件下空间自然对流的试验关联式为：

\left\{\begin{array}{l}Nu=c{(Gr\cdot Pr)}^n\\ Gr=\frac{g\alpha d^{\mathrm{3}}\mathrm{\Delta }t}{v_{\mathrm{a}}^{\mathrm{2}}}\\ h=\frac{Nu\cdot \lambda }{d}\end{array}\right.（18）

式中：Nu为自然对流努谢尔系数；c为空气的比热容；Pr为普朗特数；\alpha为空气的体积膨胀系数；\lambda为空气的导热系数，\mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})；v_{\mathrm{a}}为空气的运动黏度，\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}；d为滚珠丝杠的当量直径，m；g为重力加速度；h为对流换热系数。

当主轴以一定的转速旋转时，与空气间的对流换热系数可由下式计算：

\left\{\begin{array}{l}Nu\text{'}=\mathrm{0.133}R{e}^{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}}P{r}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}\\ Re=\omega \cdot d^{\mathrm{2}}/v\end{array}\right.（19）

式中：Nu\text{'}为强制对流换热努谢尔系数；Re为雷诺数；\omega为滚珠丝杠的角速度，\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s}；对于丝杠表面与空气对流传热系数，d为丝杠外径；对于液冷丝杠内表面对流传热系数，d为丝杠内径。

根据所给出的边界条件计算公式，可以计算出相应的温度边界条件，并将其加载至有限元边界上，从而进行稳态温度场分析。

2 滚珠丝杠模型验证及分析

2.1　中空液冷丝杠模型

中空液冷丝杠采用W5010-647，此次仿真加载数值采用文献［15］的数值，轴承采用一端固定、一端支撑形式。液冷丝杠采用五号主轴，油为散热介质，丝杠最大外径为50 mm，内径为20 mm，丝杠总长度为807 mm。当轴向负载为10 kN、冷却液流速为0.2 m/s、丝杠转速为1 000 r/min时，计算丝杠表面的温度场分布。

对丝杠模型进行网格划分，有限元建模采用Solid186实体单元，经过整体网格划分后，由图1可知，两侧轴承接合面处网格划分的质量较差。

因此，对两侧轴承部分进行再次网格细化，基于Face Meshing进行局部尺寸控制以改善部分结构的表面网格质量，最终网格划分结果如图2所示。节点数为216 742，单元数为118 122。

2.2　仿真结果验证及分析

中空液冷丝杠稳态温度场分布如图3所示，丝杠前、后轴承由于轴承摩擦热的影响均存在较大的温升。丝杠中部加载滚珠摩擦生热，因此温升较大，而由于空气对流换热和冷却液对流换热的影响，温度沿轴向向两侧递减。丝杠整体峰值温度发生在丝杠右侧前轴承处，温度峰值为53.07 ℃。

选取滚珠丝杠中间螺母行程段进行分析，得到丝杠的表面温度随轴向距离变化的温度曲线（见图4），其中，丝杠最左侧和最右侧表面温度分为29.382和34.201 ℃，随后沿着轴向向中间逐渐递减至23.497 ℃，而后达到丝杠峰值温度42.03 ℃。经过对比计算可知，丝杠两侧稳态温度、峰值温度以及峰值温度分布位置均与文献［15］相符，同时本文仿真结果与文献［15］计算结果误差在1.2%以内，因此，可认为本文建模方法具有良好的准确性和适用性。

3 考虑接触热阻的模型仿真及分析

3.1　滚珠丝杠参数及边界条件

本文所研究的丝杠副为DGZ4020-4型实心滚珠丝杠副，建模如图5所示，丝杠外径为40 mm，丝杠总长度为1 590 mm，丝杠导程为20 mm，螺母总长度为90 mm，螺母外径为70 mm，滚珠球径为6.35 mm。为了保证结构整体的刚度，丝杠整体材料选用轴承钢，其主要材料参数见表1。

当轴向负载为3 kN、丝杠转速为3 000 r/min时，通过式（12）~（19）可以求得边界条件的加载数值，将发热功率转换为发热率加载至丝杠螺母接合面和丝杠两端。滚珠丝杠副热边界加载条件如表2所示。

通过式（1）~（12）对5个不同滚道接触表面的接触热阻值进行计算，求解的滚珠滚道接触热阻值如表3所示，其中，求解出的接触热阻的倒数即为加载热导率。

3.2　稳态温度场结果分析

选择Workbench的稳态仿真模块Steady-State Thermal对滚珠丝杠副进行温度仿真分析。其中，前、后轴承的生热选择加载至丝杠两侧。滚珠的摩擦热是由滚珠与丝杠滚道和螺母内圈滚道相互摩擦而产生，因此，将滚珠摩擦生热率加载至滚珠与内外滚道接合面处（见图6）。

由于在工作时，滚珠丝杠副中螺母和丝杠接合部分与空气接触面积十分有限，所以对流换热仅加载至螺母和丝杠外侧，螺母和丝杠接合部分不考虑对流换热。仿真时间设置为20 s，此时滚珠丝杠副温度达到稳态，不再发生改变。其中，热导率设置为3 110 \mathrm{W}/({\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}\cdot °\mathrm{C})时，滚珠丝杠副、丝杠、螺母和滚珠的稳态温度场如图7~图9所示。

由图7~图9可知，由于轴承热和滚珠摩擦热的影响，丝杠的最高温度集中在前轴承处和滚珠滚道接合处，螺母的最高温度集中在内部滚道接合处。而滚珠的温升在中间最高，且越靠近两侧温升越低。这是由于，外侧滚珠与丝杠和螺母两端距离较近，因此，产生的热量更容易传递至螺母和丝杠两端，并与外界空气进行对流换热，从而导致温升较低。

3.3　接触热阻对滚珠丝杠副温升的影响分析

当改变滚珠与内外滚道接合面的接触热阻值时，滚珠丝杠副整体温度场也发生了改变，因此，需要对丝杠各部分温升进行定量分析。选取滚珠丝杠中间螺母工作段进行温度分析，得到丝杠表面温度从前轴承到后轴承随轴向距离变化的曲线，如图10所示。通过比较分析可知，当选用接触面3，即接触热阻值为3.215×10^-4({\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}\cdot °\mathrm{C})/\mathrm{W}时，丝杠的温度在中间存在峰值为39.933 ℃。同时，分别位于前轴承处和后轴承处的温度由于轴承摩擦热的影响，温度分别达到41.575 ℃和37.393 ℃。其中，最高温度总是出现在前轴承处，这是由于电机和轴承生热叠加，导致温升较大。但由于丝杠与空气的接触面积较大，热对流较为明显，因此，丝杠温升随接触热阻值的变化在0.05 ℃以内，温升变化较小。

对接合面处滚珠每隔4个滚珠进行编号，如图11所示，对12组滚珠的峰值温度进行对比分析，结果如图12所示。

仿真结果表明：滚珠峰值温度通常出现在第36个滚珠附近，因此，滚珠在中部温升较大，当接触热阻值增加，即热导率降低时，滚珠温度存在明显上升。峰值温度也从45.307 ℃提升至75.819 ℃，这是由于，接触热阻会阻碍热量从滚珠传递至螺母和丝杠，进而与空气对流换热，因此，滚珠摩擦热较多地积累在滚珠与内外滚道处，从而导致滚珠温度升高；而不考虑接触热阻时，滚珠摩擦热能够更有效地传递至外界，此时滚珠与滚道接触面不存在温度差，其峰值温度为41.449 ℃。

选取螺母中间段温升进行分析，得到螺母内表面温度沿轴向距离变化的曲线（见图13）。可见：螺母的峰值温度出现在螺母轴向长度分别为20 mm和40 mm附近；而由于螺母法兰一侧与空气接触面积较大，因此，其温升相较于另一侧较低，温度相差4.39~4.436 ℃。同时，当接触热阻值提升时，由于滚珠温度明显升高，也导致了螺母的轴向峰值温度从40.17 ℃提升至40.267 ℃。

3.4　滚珠丝杠热变形结果分析

通过上文分析可知，丝杠存在3个峰值温度，如图14所示，丝杠在0、700、1 500 mm位置处由于较高的温升，其热变形也较大增加。但由于丝杠与空气的热对流较为明显，因此丝杠随接触热阻值的温升变化较小，这也导致其热变形随接触热阻的变化较小。

4 结　论

（1）通过对丝杠的稳态温度场进行仿真计算，可知丝杠的最高温度集中在前轴承处和滚珠滚道接合处，螺母的最高温度集中在内部滚道接合处。而滚珠的温升在中间部分最高，且越靠近两侧温升越低。

（2）丝杠和螺母在各轴向位置的温升存在较大不同，丝杠表面温度场存在3个峰值，分别位于前、后轴承和螺母处，而螺母内表面温度场存在2个峰值，同时由于螺母法兰一侧与空气接触面积较大，其温升也相较另一侧较低。

（3）当接触热阻值增大时，丝杠由于对流换热面积大和轴承摩擦热的影响，其温升和热变形变化较小。螺母的整体温度存在一定上升，滚珠整体温度也存在明显上升，这将导致丝杠内部润滑状态恶化。因此，在考虑丝杠退化性能时，需要十分注重接触热阻的影响。

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基金资助

国家自然科学基金项目(U22B2081)