多支点测力平台维间耦合误差建模与精度分配

Modeling and accuracy allocation of inter-dimensional coupling errors in multi pivot force measurement platforms

摘要

针对多传感器布置的测力平台耦合误差成因不明、难以削减的问题，以压电式六维测力平台为研究对象，从传感器耦合、装配误差、标定装置全环节分析耦合成因。基于测量原理，建立包含34个影响因素的维间耦合模型，采用敏感性算法筛选并量化各因素影响程度，以耦合误差≤5%量程为目标进行精度容差分配。采样仿真结果表明，分配后各项耦合误差的99%置信上限均满足要求。实验表明，满足容差下平台力输出耦合误差≤3.64%量程，力矩输出耦合误差≤4.80%量程，验证了精度范围的有效性和在耦合误差控制上的实用性。

Abstract

In response to the causes of unclear and difficult reduction of coupling errors in force measurement platforms arranged with multiple sensors， this article takes the piezoelectric six axis force measurement platform as the research object， analyzes the coupling causes from the entire process of sensor coupling， assembly error and calibration device. Based on measurement principles， establish an inter dimensional coupling model containing 34 influencing factors， use sensitivity algorithms to screen and quantify the degree of influence of each factor， and accuracy tolerance allocate is performed with a coupling error ≤ 5% of the range as the target. The sampling simulation shows that the 99% confidence upper limit of each coupling error after allocation meets the requirements. Experiment shows that the coupling error of platform force output is ≤ 3.64% of the range under tolerance， and the coupling error of torque output is ≤ 4.80% of the range， which verify the effectiveness of the accuracy range and their applicability in coupling error control.

Graphical abstract

关键词

精密仪器及机械 / 维间耦合 / 测量误差 / 大量程六维力 / 敏感性分析

Key words

precision instrument and machinery / inter-dimensional coupling / measurement error / large range six-axis force / sensitivity analysis

0 引 言

力和力矩的监测是机器人控制^［1］、装备性能测试^［2，3］和切削质量控制^［4］的关键。从拉压力传感器到六维测力平台，再到如今兴起的十二维传感器（力、加速度）^［5］，力学测试仪器不断向多维化、集成化发展，并力求小型化与智能化。随着维度增多，由于敏感材料^［6］、仪器结构^［7］等因素，测试中不可避免地出现维间耦合现象（又称交叉灵敏度、串扰），严重制约多维力测试精度提升。

针对维间耦合问题，主要从算法与结构两方面解决。算法方面，从传统线性解耦^［8］，逐渐发展为非线性解耦和机器学习算法，以适应越发复杂的耦合问题。陈望隆等^［9］设计了一种二次项拟合补偿算法，提高了六维力传感器的解耦精度。孙世政等^［7］采用改进极限学习机对传感器进行解耦，有效提高了解耦效率。结构方面，主要是改进传感结构以削弱变形带来的耦合。张海霞等^［10］在传感器敏感梁上开槽和孔以降低耦合，宋逸等^［11］设计了轮辐式组合梁结构的传感器，二者都有效削弱了传感器耦合程度。算法解耦专注于后端数据补偿，在处理复杂问题时，计算量越发庞大；结构解耦则追求越发精巧的结构，设计上越发复杂，多局限于单个传感器。

随着测量面域与量程增大，传感器多点系统布置是必然趋势^［12］，同时耦合原因也越发复杂。维间耦合特性需要通过多维力标定装置获取，而装置机械偏差^{［13，14］}同时会叠加到耦合特性中。对于多维力测试，目前研究较多谈及力间耦合^［7，15］，而力与力矩、力矩间耦合则较少。综上，维间耦合呈现出多环节、多物理量杂糅的趋势。基于此，本文以多支点测力平台为研究对象，从尽可能多的视角研究耦合成因。基于测量原理建立维间耦合传递模型，对各环节因素的精度进行分配，并开展仿真与实验验证。最终目的是建立针对多传感器系统的多环节耦合模型，以同时涵盖多物理量耦合、装配偏差、标定偏差等问题，达到控制维间耦合并提高多维力测试精度的目的。

1 误差建模与分析方法

1.1　平台结构与测量原理

平台工作面域为300 mm×300 mm，F_z 量程为15 kN，F_x /F_y 量程为7.5 kN，三向力矩量程均为800 N·m。平台由预紧螺栓、底板、传感器、中板与上板构成，如图1所示，其中，中板具有隔热功能。根据力与力矩平衡方程，通过4个三维力传感器输出的12路力信号解算六维力。设上表面为参考面，用f_o表示传感器单个方向输出的力，f_o1x 表示传感器输出的x方向的力。刚体假设下，测量原理如图2和式（1）所示。

\mathit{F}=\mathit{A}{\mathit{F}}_{\mathbf{o}}（1）

其中：

\mathit{F}=[F_x,F_y,F_z,M_x,M_y,M_z{]}^{\mathrm{T}}

{\mathit{F}}_{\mathbf{o}}=[f_{\mathrm{o}\mathrm{1}x},f_{\mathrm{o}\mathrm{1}y},f_{\mathrm{o}\mathrm{1}z},f_{\mathrm{o}\mathrm{2}x},\dots ,f_{\mathrm{o}\mathrm{4}x},f_{\mathrm{o}\mathrm{4}y},f_{\mathrm{o}\mathrm{4}z}{]}^{\mathrm{T}}

矩阵 A 如下，其中h为传感器距上板顶面高度，2a与2b为传感器两个方向上的布置跨距：

\mathit{A}=\left[\begin{array}{cccccccccccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\\ \mathrm{0}& -h& a& \mathrm{0}& -h& a& \mathrm{0}& -h& -a& \mathrm{0}& -h& -a\\ h& \mathrm{0}& -b& h& \mathrm{0}& b& h& \mathrm{0}& b& h& \mathrm{0}& -b\\ -a& b& \mathrm{0}& -a& -b& \mathrm{0}& a& -b& \mathrm{0}& a& b& \mathrm{0}\end{array}\right]

1.2　维间耦合模型建立

维间耦合成因主要有以下几点：首先，耦合特性需要通过多维力加载装置获取，而一般标定力源并非理想单向力，因受力或机械结构存在角度偏差，会在其他维产生分力，叠加给仪器耦合特性。其次，在装配过程中，传感器具有力敏方向，预紧力施加时传感器不可避免地发生转动，导致实际测量方向与受力方向不共线，非测量方向与受力方向不垂直，感受到分力进而产生耦合输出。最后，作为测量元件，力传感器本身带有一定的维间耦合特性。

用f_I表示理想标定输入力，f_o表示实际输出力，各环节矩阵影响分别用 C、R、K 表示，则维间耦合的影响与传递如图3所示。

将式（1）中 F_o 拆成4个传感器，改写为：

\mathit{F}=\mathit{A}[{\mathit{f}}_{\mathbf{o}\mathrm{1}};{\mathit{f}}_{\mathbf{o}\mathrm{2}};{\mathit{f}}_{\mathbf{o}\mathrm{3}};{\mathit{f}}_{\mathbf{o}\mathrm{4}}]（2）

按图3，理想输出力f_Ii 与实际输出力f_oi 关系为：

{\mathit{f}}_{\mathbf{o}\mathit{i}}={\mathit{K}}_{\mathit{i}}{\mathit{R}}_{\mathit{i}}{\mathit{C}}_{\mathit{i}}{f}_{\mathbf{I}\mathit{i}}（3）

式中：f_oi 为第i个传感器实际输出的三向力；f_Ii 为第i个传感器无偏差下的理想输出力。

{\mathit{f}}_{\mathbf{o}\mathit{i}}=[f_{\mathrm{o}ix},f_{\mathrm{o}iy},f_{\mathrm{o}iz}{]}^{\mathrm{T}},{\mathit{f}}_{\mathbf{I}\mathit{i}}=[f_{\mathrm{I}ix},f_{\mathrm{I}iy},f_{\mathrm{I}iz}{]}^{\mathrm{T}}

以k_ab 表示a向受力时b向输出的耦合系数，建立传感器耦合矩阵 K；以r表示传感器转角，建立偏转矩阵 R；文献［14］已经证明，标定偏差矩阵可表示为 C，l_a 表示该方向的主向加载系数，θ_ab 表示加载耦合系数，近似等于装置两个方向间的偏角弧度值。

{\mathit{K}}_i=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& k_{yxi}& k_{zxi}\\ k_{xyi}& \mathrm{1}& k_{zyi}\\ k_{xzi}& k_{yzi}& \mathrm{1}\end{array}\right],\mathit{C}=\left[\begin{array}{ccc}{l}_x& {\theta }_{xy}& {\theta }_{xz}\\ {\theta }_{yx}& l_y& {\theta }_{yz}\\ {\theta }_{zx}& {\theta }_{zy}& l_z\end{array}\right],

{\mathit{R}}_i=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& r_i& \mathrm{0}\\ -r_i& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]

对于 f_Ii，如果假设4个传感器受力均匀，可通过反推矩阵 A 得到，以传感器1为例，有：

\left\{\begin{array}{l}{f}_{\mathrm{I}\mathrm{1}x}=\frac{F_x}{\mathrm{4}}-\frac{a{M}_z}{\mathrm{4}(a^{\mathrm{2}}+b^{\mathrm{2}})}\\ f_{\mathrm{I}\mathrm{1}y}=\frac{F_y}{\mathrm{4}}+\frac{b{M}_z}{\mathrm{4}(a^{\mathrm{2}}+b^{\mathrm{2}})}\\ f_{\mathrm{I}\mathrm{1}z}=\frac{F_z}{\mathrm{4}}+\frac{h{F}_x}{\mathrm{4}b}+\frac{h{F}_y}{\mathrm{4}a}+\frac{M_x}{\mathrm{4}a}-\frac{M_y}{\mathrm{4}b}\end{array}\right.（4）

式（2）~式（4）为维间耦合模型，理想的总标定力是假定可读的。从式（4）可以推导每个传感器的理想受力 f_Ii，式（3）涵盖了各类影响因素，可以通过计算得出传感器的实际输出f_oi，最后通过式（2）矩阵 A 计算六维力 F，在 F 中去除理论加载方向输出的值，剩余方向上输出的即耦合误差。

不同方向的力、力矩及互相作用下的维间耦合误差共有30对。模型因素包括4个传感器自身耦合系数、4个传感器装配转角与标定角度偏差等共34个参数，每个维间耦合误差都是这些因素的函数。当F_x 加载标定时，F_y 输出维间耦合为：

\mathit{\delta }{F}_y=F_{x}f(r_{\mathrm{1}},\dots ,r_{\mathrm{4}},k_{yx\mathrm{1}},\dots ,k_{yz\mathrm{4}},{\mathit{\theta }}_{xy},\dots ,{\mathit{\theta }}_{zy})（5）

标准力值F_x 可以通过标准力传感器读出，其余34个影响参数之间互不影响且未知，是传感器制作、平台组装与标定台加载移动等产生的随机误差。虽然建立显式模型，但因未知变量众多，采用解析法正向难以分析。考虑以维间耦合≤5%量程为目标限制，采用算法反推各因素精度容差范围，会更加方便。

1.3　敏感性分析方法

利用基于统计学的敏感性分析方法^［16-19］，通过采样计算获取各因素敏感性权重。其中，定性方法如Morris筛选法、Delta Test法等，计算较快，但无法量化敏感性；定量方法如Sobol法、EFAST法等，计算成本较高，但可量化敏感性大小。为了节约计算成本，先用Morris法筛选各因素，排除影响较小的因素，再用Sobol法量化敏感性，提供影响权重。

Morris法^［17］首先将m个因素的各自变化范围归一化到［0，1］区间，并按照级别n进行离散化，取值范围为\left\{\frac{\mathrm{1}}{n-\mathrm{1}},\frac{\mathrm{2}}{n-\mathrm{1}},\dots ,\frac{n-\mathrm{2}}{n-\mathrm{1}}\right\}。整个采样空间形成m维，每维n级网格的超立方体，每次采样时各参数初值随机选择取值范围中的一个值，记录输出；下次采样时将某个参数增加或减少步长∆，∆也是取值范围中某一值，步长的取值需确保采样不超出超立方空间。

定义某一变量x_i 对关注变量的基本效应如下：

EE=\frac{f(x_{\mathrm{1}},\dots ,x_i\pm \Delta ,\dots ,x_m)-f(x_{\mathrm{1}},\dots ,x_i,\dots ,x_m)}{\Delta }（6）

关注量即耦合误差，变量为上文提到的34个因素。算法进行r次采样，每次步长随机，计算基本效应，其均值表示输出变量对输入变量的敏感性强弱，标准差表示不同输入变量间相互作用强弱。

Sobol法^［18］基于输入变量与关注量方差的关系来评判影响灵敏度，当m个参数的取值空间已经被归一化成超立方体后，可以将响应函数分解成常数、单变量函数与多变量函数的组合，见式（8），且当分解各子项对任一变量积分为0时，分解式唯一。

f(X)=f_{\mathrm{0}}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}{f}_i(x_i)+\dots +f_{\mathrm{1,2},\cdots ,m}(x_{\mathrm{1}},\dots ,x_m)（7）

故总方差也可表示单参数或多参数产生的方差组合，定义敏感性系数为方差之比，最终可得某一变量对关注量的总敏感性指数为

S_i=\mathrm{1}-\frac{D_{~i}}{D}（8）

（9）

式中：D为总方差；D_i 为参数x_i 产生的方差；D_ij 为x_i 和x_j 互相作用产生的方差；以此类推，D_ij 为除x_i 外其他所有参数作用产生的方差和；S_i 为x_i 的敏感性系数。

2 权重分析与精度分配

2.1　影响权重分析

敏感性分析的前提是给定变量的预计分布状态。传感器的最大耦合系数一般≤5%，装配时通过凸台找正，转角最大估计为1°；基于前期测量，力源偏斜一般不会超过2°。将各分布类型设为均值为0的正态分布，将\mathrm{3}\sigma设为上述值，换算后如表1所示。

首先采用Morris法筛选参数，默认采样4次，划分步长为6区间。考虑维间耦合对数太多，以F_x 作用下其他维力耦合输出举例，标定力为7500 N全量程，根据式（4），b为90 mm，h为47 mm。

\left\{\begin{array}{l}{f}_{\mathrm{I}\mathrm{1}x}=f_{\mathrm{I}\mathrm{2}x}=f_{\mathrm{I}\mathrm{3}x}=f_{\mathrm{I}\mathrm{4}x}=\mathrm{1}\mathrm{875}\mathrm{N}\\ f_{\mathrm{I}\mathrm{1}\mathit{z}}=f_{\mathrm{I}\mathrm{4}\mathit{z}}=\mathrm{1}\mathrm{875}\frac{h}{b}\\ f_{\mathrm{I}\mathrm{2}z}=f_{\mathrm{I}\mathrm{3}z}=-\mathrm{1}\mathrm{875}\frac{h}{b}\end{array}\right.（10）

作为理想输入力值，代入式（2）~式（4）建立维间耦合模型，按式（6）进行敏感性分析。以F_x 对F_y 、M_x 耦合输出为例，Morris结果如图4所示。以筛选后均值与标准差的最大值为标准，小于二者5%的因素视为影响很小，予以舍去，标准线亦在图4中标出，得到筛选结果见表2。对于表2，继续采用式（7）~式（9）的Sobol法定量分析影响程度，将计算阈值设为0.001（低于此值敏感性为0），归一化（敏感性总和缩放为1）后，结果见图5，得到具体影响比例。

2.2　因素精度分配

考虑建立的误差模型与数控机床各部件间的误差传递^{［20，21］}形式相似，主要由旋转矩阵构成，建立精度分配目标函数^［22］为：

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}Q={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}{K}_i(a_i{)}^{-b}， {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}{K}_i=\mathrm{1}（11）

式中：a_i 为第i个误差参数允许变化的半带宽；K_i 为敏感性权重，其值由误差参数的影响比例确定；b为特征指数，常用为负二次方，b=2。

以F_x 作用下F_y 的耦合输出为例，将式（11）具体化，有目标函数式（12），最小化该式，即可求各参数最大半带宽，即一半变化范围。

\begin{array}{l}{Q}_{Fy}=\mathrm{0.009}\mathrm{4}{r}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{2}}+\mathrm{0.009}\mathrm{4}{r}_{\mathrm{2}}^{-\mathrm{2}}+\mathrm{0.009}\mathrm{4}{r}_{\mathrm{3}}^{-\mathrm{2}}+\\ \mathrm{0.009}\mathrm{4}{r}_{\mathrm{4}}^{-\mathrm{2}}+\mathrm{0.599}\mathrm{6}{\theta }_{yx}^{-\mathrm{2}}+\mathrm{0.071}\mathrm{3}{k}_{xy\mathrm{1}}^{-\mathrm{2}}+\\ \mathrm{0.071}\mathrm{3}{k}_{xy\mathrm{2}}^{-\mathrm{2}}+\mathrm{0.071}\mathrm{3}{k}_{xy\mathrm{3}}^{-\mathrm{2}}+\mathrm{0.071}\mathrm{3}{k}_{xy\mathrm{4}}^{-\mathrm{2}}+\\ \mathrm{0.019}\mathrm{4}{k}_{zy\mathrm{1}}^{-\mathrm{2}}+\mathrm{0.019}\mathrm{4}{k}_{xy\mathrm{2}}^{-\mathrm{2}}+\mathrm{0.019}\mathrm{4}{k}_{xy\mathrm{3}}^{-\mathrm{2}}+\\ \mathrm{0.019}\mathrm{4}{k}_{xy\mathrm{4}}^{-\mathrm{2}}\end{array}（12）

常用耦合误差限制标准为≤5%量程，将式（10）代入耦合模型，排除无影响因素后约束条件有：

\begin{array}{l}\delta Fy=\mathrm{187}\mathrm{5}(k_{xy\mathrm{1}}+k_{xy\mathrm{2}}+k_{xy\mathrm{3}}+k_{xy\mathrm{4}}-r_{\mathrm{1}}-r_{\mathrm{2}}-\\ r_{\mathrm{3}}-r_{\mathrm{4}})+\mathrm{979.17}(k_{zy\mathrm{1}}-k_{zy\mathrm{2}}-k_{zy\mathrm{3}}+k_{zy\mathrm{4}})+\\ \mathrm{187}\mathrm{5}{\theta }_{yx}(r_{\mathrm{1}}{k}_{xy\mathrm{1}}+r_{\mathrm{2}}{k}_{xy\mathrm{2}}+r_{\mathrm{3}}{k}_{xy\mathrm{3}}+r_{\mathrm{4}}{k}_{xy\mathrm{4}}+\mathrm{4})\le \\ \mathrm{0.05}\times \mathrm{7}\mathrm{500}=\mathrm{375}\end{array}（13）

参数有正有负，为了防止分配中正负抵消，进而放大精度容差范围，故人为调整了带宽正负，使其趋向最大。以式（13）第一项为例，令k_xy 均为正，r均为负。同时，标定装置单方向加载系数平方和应在1附近，以满足勾股定理，有约束式（14）：

\sqrt[]{{l_j}^{\mathrm{2}}+{{\theta }_{jm}}^{\mathrm{2}}+{{\theta }_{jn}}^{\mathrm{2}}}=\mathrm{1}(j,m,n=x,y,z)（14）

再以F_x 下M_x 耦合为例，将式（11）具体化：

\begin{array}{l}{Q}_{Mx}=\mathrm{0.004}\mathrm{3}(r_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{2}}+r_{\mathrm{2}}^{-\mathrm{2}}+r_{\mathrm{3}}^{-\mathrm{2}}+r_{\mathrm{4}}^{-\mathrm{2}})+\\ \mathrm{0.293}\mathrm{5}{\theta }_{yx}^{-\mathrm{2}}+\mathrm{0.034}\mathrm{9}(k_{xy\mathrm{1}}^{-\mathrm{2}}+k_{xy\mathrm{2}}^{-\mathrm{2}}+\\ k_{xy\mathrm{3}}^{-\mathrm{2}}+k_{xy\mathrm{4}}^{-\mathrm{2}})+\mathrm{0.128}\mathrm{0}(k_{xz\mathrm{1}}^{-\mathrm{2}}+k_{xz\mathrm{2}}^{-\mathrm{2}}+\\ k_{xz\mathrm{3}}^{-\mathrm{2}}+k_{xz\mathrm{4}}^{-\mathrm{2}})+\mathrm{0.009}\mathrm{5}(k_{zy\mathrm{1}}^{-\mathrm{2}}+k_{zy\mathrm{2}}^{-\mathrm{2}}+\\ k_{zy\mathrm{3}}^{-\mathrm{2}}+k_{zy\mathrm{4}}^{-\mathrm{2}})\end{array}（15）

其耦合误差量程限制为：

\begin{array}{l}\delta Mx=\mathrm{88.125}[r_{\mathrm{1}}+r_{\mathrm{2}}+r_{\mathrm{3}}+r_{\mathrm{4}}-k_{xy\mathrm{1}}-k_{xy\mathrm{2}}-\\ k_{xy\mathrm{3}}-k_{xy\mathrm{4}}-{\theta }_{yx}(r_{\mathrm{1}}{k}_{xy\mathrm{1}}+r_{\mathrm{2}}{k}_{xy\mathrm{2}}+r_{\mathrm{3}}{k}_{xy\mathrm{3}}+\\ r_{\mathrm{4}}{k}_{xy\mathrm{4}}+\mathrm{4})]+\mathrm{168.75}[k_{xz\mathrm{1}}+k_{xz\mathrm{2}}-k_{xz\mathrm{3}}-\\ k_{xz\mathrm{4}}+{\theta }_{yx}(r_{\mathrm{1}}{k}_{xz\mathrm{1}}+r_{\mathrm{2}}{k}_{xz\mathrm{2}}-r_{\mathrm{3}}{k}_{xz\mathrm{3}}-r_{\mathrm{4}}{k}_{xz\mathrm{4}})]+\\ \mathrm{46.02}(k_{zy\mathrm{3}}+k_{zy\mathrm{4}}-k_{zy\mathrm{1}}-k_{zy\mathrm{4}})\le \\ \mathrm{800}\times \mathrm{0.05}=\mathrm{40}\end{array}（16）

至此，目标函数与约束条件建立完成，设计变量为筛选后变量的半带宽a_i。求解算法采用基于序列二次规划优化的SNOPT算法（可集成于COMSOL等软件），其处理大规模问题时效率比一般智能算法高^{［23，24］}，故在工程中广泛应用。

使用算法最小化Q以求解各变量的半带宽，当所有变量连续3次迭代差值小于阈值0.000 1时，即判定收敛，求解完成，分配结果如表3、表4所示。

F_x 下剩余F_z 、M_y 、M_z 的分配过程略去。相同流程还要在其他五维力上完成，最后会得到30对耦合误差每对影响因素的半带宽，将所有半带宽取交集，作为单边变化上限，可得最终精度容差：

\begin{array}{l}\left|r_{\mathrm{1}~\mathrm{4}}\right|\le \mathrm{0.0079},\left|k_{yx\mathrm{1}~\mathrm{4}}\right|\le \mathrm{0.0156},\left|k_{zx\mathrm{1}~\mathrm{4}}\right|\le \mathrm{0.0110},\\ \left|k_{xy\mathrm{1}~\mathrm{4}}\right|\le \mathrm{0.0156},\left|k_{zy\mathrm{1}~\mathrm{4}}\right|\le \mathrm{0.0110},\left|k_{xz\mathrm{1}~\mathrm{4}}\right|\le \mathrm{0.0255},\\ \left|k_{yz\mathrm{1}~\mathrm{4}}\right|\le \mathrm{0.0252},\left|{\theta }_{xy}\right|\le \mathrm{0.0200},\left|{\theta }_{xz}\right|\le \mathrm{0.0140},\\ \left|{\theta }_{yx}\right|\le \mathrm{0.0200},\left|{\theta }_{yz}\right|\le \mathrm{0.0140},\left|{\theta }_{zx}\right|\le \mathrm{0.0327},\\ \left|{\theta }_{zy}\right|\le \mathrm{0.0327}\end{array}

3 仿真与实验验证

3.1　仿真验证

采用蒙特卡洛抽样验证精度容差，步骤如下：

（1）将单边容差上限作为3\sigma，34个变量以正态分布代入耦合模型；

（2）对30对维间耦合均进行1 000次采样，计算得到分布图；

（3）计算99%置信分布区间。

以F_x 作用下F_y 、M_x 的耦合输出结果为例，维间耦合蒙特卡洛模拟图如图6所示，其他分布图略。最终维间耦合99%置信区间如表5所示，可见精度容差范围下置信区间均能有效满足≤5%量程的要求，可知范围合理。

3.2　实验验证

对此测力平台标定中各因素进行测量，看其是否位于精度容差内，同时获取其维间耦合特性。

传感器标定时也面临装置角度偏差问题，通过文献［14］方法可有效避免其引入偏差，经灵敏度归一化处理，选用满足容差的传感器耦合参数如表6所示。

首先采用倾角仪与千分表进行标定装置偏差测量，装置由两个水平加载力源与一个垂直加载力源组成，如图7所示，测量方法同文献［14］。以测量其中一个力源偏角为例：当倾角仪 1 为 0 时，读取倾角仪 2 示数为0.35 °，读出一方向偏角；另一方向将百分表打在测量处，加载杆向前移动29mm，千分表示值变化0.5 mm，通过反正切可得偏角为0.017 2 rad。标定力矩时需要两个力源形成力臂加载，两个角度进行合成，故只有一个方向向另两个方向的偏角，结果见表7。

除{\theta }_{yx}和{\theta }_{yz}超出容差范围不到1 m·rad，其他角度偏差均在精度容差范围内，基本认为标定装置满足要求。除了传感器转角不可知外，其他因素均已测量。现进行测力平台标定，为了多维力标定方便与形成力臂需要，在平台上方布置一标定块，通过16个螺栓紧固在平台上表面，传递力与力矩。标定中分别进行六维力单向阶梯加载，同时记录维间耦合输出情况。平台标定实验见图8，每维力单独加载下其他维间耦合输出见图9。

由图9可知，大部分维间耦合呈现线性，由于多因素影响，少部分维间耦合呈现波动，依据满量程点数据，30对维间耦合均基本满足≤5%的要求。根据Z向15 000 N、X向和Y向7 500 N、力矩800 N·m量程来看，力输出耦合误差≤3.64%量程，力矩输出耦合误差≤4.80%量程，证明精度容差范围具有一定可应用性。

4 结束语

本文针对多传感器布置的测力平台维间耦合问题，归纳出传感器耦合、装配转角偏差、标定装置偏差等原因，结合旋转矩阵与测量原理建立了维间耦合模型。采用敏感性算法量化因素权重， 发现不同维间耦合的主要影响因素不同。参考数控机床模型建立了目标函数，结合优化算法，以维间耦合≤5%量程为标准，反推34个因素的精度容差。仿真模拟结果表明，参数范围设置合理，容差下平台力输出耦合误差≤3.64%量程，力矩输出耦合误差≤4.80%量程。

本文提出多传感器系统的耦合分析办法，包括力与力矩、力矩间的耦合，形成了制作-组装-标定一体化模型，为仪器高性能精细化设计提供参考。本文还存在部分问题：模型较线性理想；无法测得内部转角，缺少正向代入验证；实验样本和采样点数较少。现有标准多是一维力对另一维影响≤5%，实际多维力作用时耦合会叠加，叠加后标准下容差必然会更加苛刻，也会对器件与装置提出更高要求。

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基金资助

国家自然科学基金项目(52075097)

国家自然科学基金项目(5217052316)

国家科技重大专项项目(J2019-V-0011-0106)