基于双滑模面的变轨距列车悬挂系统控制方法

Control method of suspension system of variable⁃gauge train based on double sliding surfaces approach

摘要

为了改善高速变轨距列车在不同轨距线路上的运行性能，采用基于双滑模面的滑模半主动控制方法，调节二系悬挂中空气弹簧和磁流变阻尼器的阻尼力。搭建1/4车分数阶天棚阻尼控制的滑模参考模型，设计双滑模面滑模控制器，将半主动控制方法应用于二系空气弹簧和横向磁流变阻尼器；构建变轨距列车悬挂系统半主动控制的整车联合仿真模型，分析1 435 mm/1 520 mm轨距下变轨距车辆对轨道不平顺激励的响应性能，验证整车半主动控制方法的有效性。

Abstract

To enhance the operational performance of high-speed variable-gauge trains on different gauge lines，a semi-active control method based on double sliding surfaces was used to adjust the damping force of air springs and magnetorheological （MR） dampers in the secondary suspension.Based on double sliding surfaces，a quarter-vehicle fractional-order skyhook damping control reference model was established，and a double sliding surface controller was designed.The semi-active controller was applied to secondary air springs and transverse magnetorheological dampers.Finally，a joint simulation model of the whole vehicle for the variable-gauge train suspension system was constructed.The response performance to track irregularity excitation on 1 435 mm/1 520 mm gauges is analyzed to verify the effectiveness of the semi-active control method on whole vehicle.

Graphical abstract

关键词

铁路运输 / 变轨距列车 / 悬挂系统 / 双滑模面控制 / 动力学性能

Key words

railway transport / variable-gauge trains / suspension system / double sliding surfaces control / dynamic performance

0 引 言

随着我国“一带一路”和“交通强国”政策的推行，跨国以及跨地区间客流和货运需求迅速增长，但我国与大部分周边国家采用不同的轨距线路，严重阻碍了国际联运发展^［1］。采用变轨距列车解决不同轨距联运问题，具有成本低、效率高、经济收益好等显著优势，且更符合国家运输发展的战略需求。自20世纪40年代西班牙Talgo公司申请首个变轨距专利开始，波兰、德国、日本、俄罗斯、瑞士等国家先后开展变轨距技术研究^［2-4］。

变轨距列车在变轨距前后的运行稳定性、运行品质和运行平稳性都有一定的变化，对悬挂系统提出了更高的要求。采用可变悬挂系统可有效改善变轨距列车变轨前后的运行性能。可变悬挂系统的控制方式主要包括主动、半主动和被动控制，半主动控制以其能量消耗小、方便改进等特点，得到业界和学界的普遍重视。Yang等^［5］提出并应用了一种位移-速度和天棚阻尼-速度的控制策略，用于磁流变阻尼器；Nguyen等^［6］基于自适应神经模糊推理系统、滑模控制和不确定性观测器提出了一种悬挂系统半主动控制策略；廖英英等^［7］提出了一种线性连续型天棚-加速度阻尼控制算法，用于提高半主动悬架在中高频区域内的振动控制效果；金天贺等^［8］基于H_∞控制算法设计了可抑制列车车体横向共振的控制策略，使随机激励的车辆乘坐舒适性水平从C级提高到B级。

以上文献中提及的半主动控制方法大多局限于在固定轨距下运行的轨道车辆，针对变轨距列车悬挂系统的半主动控制策略研究较少；而传统半主动控制策略存在一定局限性，控制效果有待进一步提高。因此，本文针对高速变轨距列车，提出了双滑模面的滑模半主动控制方法，旨在进一步改善高速变轨距列车半主动悬挂系统的控制效果。

1 变轨距转向架模型搭建

1.1　1/4车半主动悬挂系统模型

轨道车辆悬挂系统是安装于列车车体与车轮之间，用于支撑和连接车体与车轮的复杂振动系统。为了使分析过程便捷可靠，首先建立1/4车半主动悬挂系统模型，如图1所示。该1/4车辆模型只保留车体与转向架间二系弹簧和二系阻尼器，以及转向架与车轮间一系弹簧的关键结构和性能参数，并简化了系统的输入。模型中，m_{\mathrm{1}}、m_{\mathrm{2}}分别为1/2构架质量和1/4车体质量；z_{\mathrm{0}}为轨道不平顺激励；z_{\mathrm{1}}、z_{\mathrm{2}}分别为构架和车体的垂向位移；c_{\mathrm{1}}为二系悬挂垂向减振器阻尼；k_{\mathrm{1}}、k_{\mathrm{2}}分别为一、二系悬挂垂向弹簧刚度；f为半主动控制可调阻尼力。

由图1及牛顿第二定律可以得到悬挂系统的动力学方程为：

\left\{\begin{array}{l}{m}_{\mathrm{2}}{\ddot{z}}_{\mathrm{2}}=-c_{\mathrm{1}}({\dot{z}}_{\mathrm{2}}-{\dot{z}}_{\mathrm{1}})-k_{\mathrm{2}}(z_{\mathrm{2}}-z_{\mathrm{1}})-f\\ m_{\mathrm{1}}{\ddot{z}}_{\mathrm{1}}=c_{\mathrm{1}}({\dot{z}}_{\mathrm{2}}-{\dot{z}}_{\mathrm{1}})+k_{\mathrm{2}}(z_{\mathrm{2}}-z_{\mathrm{1}})-k_{\mathrm{1}}(z_{\mathrm{1}}-z_{\mathrm{0}})+f\end{array}\right.（1）

将动力学方程写成状态方程的形式，设x_{\mathrm{p}\mathrm{1}}=z_{\mathrm{1}}-z_{\mathrm{0}}，x_{\mathrm{p}\mathrm{2}}={\dot{z}}_{\mathrm{1}}，x_{\mathrm{p}\mathrm{3}}=z_{\mathrm{2}}-z_{\mathrm{1}}，x_{\mathrm{p}\mathrm{4}}={\dot{z}}_{\mathrm{2}}，选取系统的状态变量{\mathit{X}}_{\mathrm{p}}为：

{\mathit{X}}_{\mathrm{p}}={\left[x_{\mathrm{p}\mathrm{1}},x_{\mathrm{p}\mathrm{2}},x_{\mathrm{p}\mathrm{3}},x_{\mathrm{p}\mathrm{4}}\right]}^{\mathrm{T}}（2）

将式（1）（2）表示成系统状态空间模型：

{\dot{\mathit{X}}}_{\mathrm{p}}={\mathit{A}}_{\mathrm{p}}{\mathit{X}}_{\mathrm{p}}+{\mathit{B}}_{\mathrm{p}}{\mathit{U}}_{\mathrm{p}}（3）

式中：{\mathit{A}}_{\mathrm{p}}=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ -\frac{k_{\mathrm{1}}}{m_{\mathrm{1}}}& -\frac{c_{\mathrm{1}}}{m_{\mathrm{1}}}& -\frac{k_{\mathrm{2}}}{m_{\mathrm{1}}}& \frac{c_{\mathrm{1}}}{m_{\mathrm{1}}}\\ \mathrm{0}& -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\\ \mathrm{0}& \frac{c_{\mathrm{1}}}{m_{\mathrm{2}}}& -\frac{k_{\mathrm{2}}}{m_{\mathrm{2}}}& -\frac{c_{\mathrm{1}}}{m_{\mathrm{2}}}\end{array}\right]；{\mathit{B}}_{\mathrm{p}}=\left[\begin{array}{c}{\mathit{B}}_{\mathrm{p}\mathrm{1}},{\mathit{B}}_{\mathrm{p}\mathrm{2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{0}& -\mathrm{1}\\ -\frac{\mathrm{1}}{m_{\mathrm{1}}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \frac{\mathrm{1}}{m_{\mathrm{2}}}& \mathrm{0}\end{array}\right]；{\mathit{U}}_{\mathrm{p}}={\left[f,{\dot{z}}_{\mathrm{0}}\right]}^{\mathrm{T}}。

1.2　基于天棚阻尼控制的参考模型

选取理想天棚阻尼控制作为半主动控制的参考对象，在簧载质量m_{\mathrm{2}}与天空惯性系之间模拟一个理想减振器，根据悬架及车体的速度变化，通过调整阻尼系数c_{\mathrm{s}\mathrm{r}}的大小调节控制力，使簧载质量的绝对速度最小^［9］。图2为理想天棚阻尼模型，其中z_{\mathrm{1}\mathrm{r}}、z_{\mathrm{2}\mathrm{r}}分别为簧下质量m_{\mathrm{1}}和簧载质量m_{\mathrm{2}}的垂向位移。

由图2及牛顿第二定律可得天棚阻尼系统动力学方程为：

\left\{\begin{array}{c}{m}_{\mathrm{2}}{\ddot{z}}_{\mathrm{2}\mathrm{r}}=-c_{\mathrm{1}}({\dot{z}}_{\mathrm{2}\mathrm{r}}-{\dot{z}}_{\mathrm{1}\mathrm{r}})-k_{\mathrm{2}}(z_{\mathrm{2}\mathrm{r}}-z_{\mathrm{1}\mathrm{r}})+c_{\mathrm{s}\mathrm{r}}{\dot{z}}_{\mathrm{2}\mathrm{r}}\\ m_{\mathrm{1}}{\ddot{z}}_{\mathrm{1}\mathrm{r}}=c_{\mathrm{1}}({\dot{z}}_{\mathrm{2}\mathrm{r}}-{\dot{z}}_{\mathrm{1}\mathrm{r}})+k_{\mathrm{2}}(z_{\mathrm{2}\mathrm{r}}-z_{\mathrm{1}\mathrm{r}})-k_{\mathrm{1}}(z_{\mathrm{1}\mathrm{r}}-z_{\mathrm{0}})\end{array}\right.（4）

半主动控制阻尼器的控制思想是当({\dot{z}}_{\mathrm{2}r}-{\dot{z}}_{\mathrm{1}\mathrm{r}}){\dot{z}}_{\mathrm{2}\mathrm{r}}>\mathrm{0}时，阻尼器的可调阻尼力与簧载质量的绝对速度成正比；当({\dot{z}}_{\mathrm{2}\mathrm{r}}-{\dot{z}}_{\mathrm{1}\mathrm{r}}){\dot{z}}_{\mathrm{2}\mathrm{r}}\le \mathrm{0}时，采用最小阻尼力，即天棚阻尼力f_{\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{y}}满足：

f_{\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{y}}=\left\{\begin{array}{l}-c_{\mathrm{s}\mathrm{r}}{\dot{z}}_{\mathrm{2}\mathrm{r}},({\dot{z}}_{\mathrm{2}\mathrm{r}}-{\dot{z}}_{\mathrm{1}\mathrm{r}}){\dot{z}}_{\mathrm{2}\mathrm{r}}>\mathrm{0}\\ \mathrm{0},({\dot{z}}_{\mathrm{2}\mathrm{r}}-{\dot{z}}_{\mathrm{1}\mathrm{r}}){\dot{z}}_{\mathrm{2}\mathrm{r}}\le \mathrm{0}\end{array}\right.（5）

为了提高天棚阻尼控制的效果，使其能够任意调整控制力的大小和相位，引入分数阶微积分理论。用簧载质量的位移分数阶导数D_t^{\alpha }代替式（5）中的{\dot{z}}_{\mathrm{2}\mathrm{r}}，即天棚阻尼力为：

f_{\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{y}}=\left\{\begin{array}{l}-c_{sr}{D}_t^{\alpha }{\dot{z}}_{\mathrm{2}r},({\dot{z}}_{\mathrm{2}r}-{\dot{z}}_{\mathrm{1}r})D_t^{\alpha }{\dot{z}}_{\mathrm{2}r}>\mathrm{0}\\ \mathrm{0},({\dot{z}}_{\mathrm{2}r}-{\dot{z}}_{\mathrm{1}r})D_t^{\alpha }{\dot{z}}_{\mathrm{2}r}\le \mathrm{0}\end{array}\right.（6）

分数阶天棚阻尼系统动力学方程可描述为：

\left\{\begin{array}{l}{m}_{\mathrm{2}}{\ddot{z}}_{\mathrm{2}\mathrm{r}}=-c_{\mathrm{1}}({\dot{z}}_{\mathrm{2}\mathrm{r}}-{\dot{z}}_{\mathrm{1}\mathrm{r}})-k_{\mathrm{2}}(z_{\mathrm{2}\mathrm{r}}-z_{\mathrm{1}\mathrm{r}})+c_{\mathrm{s}\mathrm{r}}{D}_t^{\alpha }{\dot{z}}_{\mathrm{2}\mathrm{r}}\\ m_{\mathrm{1}}{\ddot{z}}_{\mathrm{1}\mathrm{r}}=c_{\mathrm{1}}({\dot{z}}_{\mathrm{2}\mathrm{r}}-{\dot{z}}_{\mathrm{1}\mathrm{r}})+k_{\mathrm{2}}(z_{\mathrm{2}\mathrm{r}}-z_{\mathrm{1}\mathrm{r}})-k_{\mathrm{1}}(z_{\mathrm{1}\mathrm{r}}-z_{\mathrm{0}})\end{array}\right.（7）

式中：D_t^{\alpha }为m_{\mathrm{2}}的位移{\dot{z}}_{\mathrm{2}\mathrm{r}}的\alpha阶分数阶导数，参考文献［10］，本文取值为0.25。

将式（7）写成状态方程的形式，设x_{\mathrm{r}\mathrm{1}}=z_{\mathrm{1}\mathrm{r}}-z_{\mathrm{0}}，x_{\mathrm{r}\mathrm{2}}={\dot{z}}_{\mathrm{1}\mathrm{r}}，x_{\mathrm{r}\mathrm{3}}=z_{\mathrm{2}\mathrm{r}}-z_{\mathrm{1}\mathrm{r}}，x_{\mathrm{r}\mathrm{4}}={\dot{z}}_{\mathrm{2}\mathrm{r}}，选取系统的状态变量{\mathit{X}}_{\mathrm{r}}为：

{\mathit{X}}_{\mathrm{r}}={\left[x_{\mathrm{r}\mathrm{1}},x_{\mathrm{r}\mathrm{2}},x_{\mathrm{r}\mathrm{3}},x_{\mathrm{r}\mathrm{4}}\right]}^{\mathrm{T}}（8）

将式（7）（8）表示成系统状态空间模型，则分数阶天棚阻尼系统{\dot{\mathit{X}}}_{\mathrm{r}}可表示为：

{\dot{\mathit{X}}}_{\mathrm{r}}={\mathit{A}}_{\mathrm{r}}{\mathit{X}}_{\mathrm{r}}+{\mathit{B}}_{\mathrm{r}}{\mathit{U}}_{\mathrm{r}}（9）

式中：{\mathit{A}}_{\mathrm{r}}=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ -\frac{k_{\mathrm{1}}}{m_{\mathrm{1}}}& -\frac{c_{\mathrm{1}}}{m_{\mathrm{1}}}& -\frac{k_{\mathrm{2}}}{m_{\mathrm{1}}}& \frac{c_{\mathrm{1}}}{m_{\mathrm{1}}}\\ \mathrm{0}& -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\\ \mathrm{0}& \frac{c_{\mathrm{1}}}{m_{\mathrm{2}}}& -\frac{k_{\mathrm{2}}}{m_{\mathrm{2}}}& -\frac{c_{\mathrm{1}}+c_{\mathrm{s}\mathrm{r}}{D}_t^{\alpha }}{m_{\mathrm{2}}}\end{array}\right]；

{\mathit{B}}_{\mathrm{r}}=\left[\begin{array}{c}-\mathrm{1}\\ \mathrm{0}\\ \mathrm{0}\\ \mathrm{0}\end{array}\right]；{\mathit{U}}_r=\left[{\dot{z}}_{\mathrm{0}}\right]。

2 基于双滑模面的半主动悬挂系统滑模控制

2.1　常规滑模控制器设计

滑模变结构控制属于自动控制中一种特殊的非线性控制方法，可随系统偏差及其各阶导数的动态变化不断调整，保证系统在预定轨迹上运动^［11］。模型参考控制问题归结为设计控制\mathit{u}，使跟踪误差\mathit{e}满足：①\underset{t\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathit{e}(t)=\mathrm{0}；②\mathit{e}(t)具有良好的动态品质。

设切面函数\mathit{s}为：

\mathit{s}=\mathit{C}\mathit{e}（10）

式中：\mathit{C}为常系数矩阵；\mathit{e}={\mathit{X}}_{\mathrm{r}}-{\mathit{X}}_{\mathrm{p}}为跟踪误差。则跟踪滑模动态方程可表示为：

\dot{\mathit{e}}={\dot{\mathit{X}}}_{\mathrm{r}}-{\dot{\mathit{X}}}_{\mathrm{p}}={\mathit{A}}_{\mathrm{r}}\mathit{e}+({\mathit{A}}_{\mathrm{r}}-{\mathit{A}}_{\mathrm{p}}){\mathit{X}}_{\mathrm{p}}+{\mathit{B}}_{\mathrm{r}}{\mathit{u}}_{\mathrm{r}}-{\mathit{B}}_{\mathrm{p}}{\mathit{u}}_{\mathrm{p}}（11）

为使跟踪问题有解，可将方程简化为：

\dot{\mathit{e}}=[\mathit{I}-{\mathit{B}}_{\mathrm{p}}(\mathit{C}{\mathit{B}}_{\mathrm{p}}{)}^{-\mathrm{1}}\mathit{C}]{\mathit{A}}_{\mathrm{r}}\mathit{e}（12）

式中：\mathit{I}为单位矩阵。

取变换矩阵\mathit{T}为：

\mathit{T}=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \frac{m_{\mathrm{2}}}{m_{\mathrm{1}}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]（13）

令{\tilde{\mathit{B}}}_{\mathrm{p}\mathrm{1}}=\mathit{T}{\mathit{B}}_{\mathrm{p}\mathrm{1}}，则式（12）变为：

{\dot{\tilde{\mathit{e}}}}_{\mathrm{1}}={\tilde{\mathit{A}}}_{\mathrm{r}\mathrm{11}}{\tilde{\mathit{e}}}_{\mathrm{1}}+{\tilde{\mathit{A}}}_{\mathrm{r}\mathrm{12}}{\tilde{\mathit{e}}}_{\mathrm{2}}（14）

式中：\tilde{\mathit{e}}=\mathit{T}\mathit{e}；{\tilde{\mathit{A}}}_{\mathrm{r}\mathrm{11}}=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \frac{-k_{\mathrm{1}}}{m_{\mathrm{1}}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\end{array}\right]；{\tilde{\mathit{A}}}_{\mathrm{r}\mathrm{12}}=\left[\begin{array}{c}\frac{m_{\mathrm{2}}}{m_{\mathrm{1}}}\\ \frac{c_{\mathrm{s}\mathrm{r}}}{m_{\mathrm{1}}}\\ -\frac{m_{\mathrm{2}}}{m_{\mathrm{1}}}+\mathrm{1}\end{array}\right]；{\tilde{\mathit{B}}}_{\mathrm{p}\mathrm{1}}=\mathit{T}{\mathit{B}}_{\mathrm{p}\mathrm{1}}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ {\tilde{\mathit{B}}}_{\mathrm{P}\mathrm{12}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ \mathrm{0}\\ \mathrm{0}\\ -\frac{\mathrm{1}}{m_{\mathrm{2}}}\end{array}\right]。

{\tilde{\mathit{B}}}_{\mathrm{p}\mathrm{12}}为非奇异矩阵，则有：

\mathit{s}=\mathit{C}\mathit{e}=\tilde{\mathit{C}}\mathit{T}\mathit{e}=\left({\tilde{\mathit{C}}}_{\mathrm{1}},{\tilde{\mathit{C}}}_{\mathrm{2}}\right)\tilde{\mathit{e}}（15）

当系统运动到滑模面上时，滑动模态方程为

{\dot{\tilde{\mathit{e}}}}_{\mathrm{1}}=\left({\tilde{\mathit{A}}}_{\mathrm{r}\mathrm{11}}-{\tilde{\mathit{A}}}_{\mathrm{r}\mathrm{12}}{\tilde{\mathit{C}}}_{\mathrm{2}}^{-\mathrm{1}}{\tilde{\mathit{C}}}_{\mathrm{1}}\right){\tilde{\mathit{e}}}_{\mathrm{1}}（16）

对系统进行极点配置，设有矩阵\mathit{K}={\tilde{\mathit{C}}}_{\mathrm{2}}^{-\mathrm{1}}{\tilde{\mathit{C}}}_{\mathrm{1}}，使方程\left|\left[\lambda \mathit{I}-({\tilde{\mathit{A}}}_{\mathrm{r}\mathrm{11}}-{\tilde{\mathit{A}}}_{\mathrm{r}\mathrm{12}}k)\right]\right|=\mathrm{0}的根均在复数平面的左半面。由极点配置得到矩阵\mathit{K}后，即可得到滑模系数矩阵：

\tilde{\mathit{C}}=\left[\begin{array}{cc}{\tilde{\mathit{C}}}_{\mathrm{1}}& {\tilde{\mathit{C}}}_{\mathrm{2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\tilde{\mathit{C}}}_{\mathrm{2}}\mathit{K}& {\tilde{\mathit{C}}}_{\mathrm{2}}\end{array}\right]={\tilde{\mathit{C}}}_{\mathrm{2}}\left[\begin{array}{cc}\mathit{K}& \mathit{I}\end{array}\right]（17）

取\tilde{\mathit{C}}=\mathit{I}，从而得到等效控制力为：

{\mathit{u}}_{\mathrm{e}\mathrm{q}}=(\mathit{C}{\mathit{B}}_{\mathrm{p}\mathrm{1}}{)}^{-\mathrm{1}}\mathit{C}\left[{\mathit{A}}_{\mathrm{r}}\mathit{e}+({\mathit{A}}_{\mathrm{r}}-{\mathit{A}}_{\mathrm{p}}){\mathit{X}}_{\mathrm{p}}\right]（18）

切换滑模采用一般趋近律中的等速趋近律，则有：

\dot{\mathit{s}}=\mathit{C}\dot{\mathit{e}}=-\epsilon \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\mathit{s}),\epsilon >\mathrm{0}（19）

可得切换控制律：

{\mathit{u}}_{\mathrm{s}\mathrm{w}}=(\mathit{C}{\mathit{B}}_{\mathrm{p}\mathrm{1}}{)}^{-\mathrm{1}}\epsilon \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\mathit{s})（20）

因此，参考滑模控制器的总控制律为：

\mathit{u}={\mathit{u}}_{\mathrm{e}\mathrm{q}}+{\mathit{u}}_{\mathrm{s}\mathrm{w}}（21）

则相应的系统滑模控制律为：

{\mathit{f}}_{\mathrm{d}}=\mathit{u}=(\mathit{C}{\mathit{B}}_{\mathrm{p}\mathrm{1}}{)}^{-\mathrm{1}}\mathit{C}\left[{\mathit{A}}_{\mathrm{r}}\mathit{e}+({\mathit{A}}_{\mathrm{r}}-{\mathit{A}}_{\mathrm{p}}){\mathit{X}}_{\mathrm{p}}\right]+(\mathit{C}{\mathit{B}}_{\mathrm{p}\mathrm{1}}{)}^{-\mathrm{1}}\epsilon \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\mathit{s})（22）

综上可得半主动悬挂的控制阻尼力为：

{\mathit{F}}_{\mathrm{d}}=\left\{\begin{array}{l}{\mathit{f}}_{\mathrm{d}},\\ \mathrm{0},\end{array}\right.\begin{array}{c}\\ \end{array}\begin{array}{l}u(t)({\dot{z}}_{\mathrm{2}}-{\dot{z}}_{\mathrm{2}\mathrm{r}})>\mathrm{0}\\ u(t)({\dot{z}}_{\mathrm{2}}-{\dot{z}}_{\mathrm{2}\mathrm{r}})\le \mathrm{0}\end{array}（23）

2.2　双滑模面控制器设计

传统滑模控制器设计采用单一滑模面，通过滑模面参数的自适应调整，对不确定性影响进行一定的补偿，但对于更为严重的测量不确定性，补偿作用有限。双滑模面控制方法由第2滑模面自动补偿测量不确定性和干扰对系统的影响，第1滑模面保证系统误差收敛特性，采用等速趋近律描述滑模面趋近运动，并采用双曲正切函数抑制滑模抖振，以提升控制过程的稳定性。

定义滑模控制器的第2滑模面\mathit{\eta }为：

\mathit{\eta }=\mathit{s}+{\mathit{K}}_{\mathrm{0}}{\int }_{\mathrm{0}}^{t}sgn(\mathit{s})\mathrm{d}\tau（24）

第2滑模面通过对第一滑模面的符号函数积分得到。对式（24）求导，可得：

\dot{\mathit{\eta }}=\dot{\mathit{s}}+{\mathit{K}}_{\mathrm{0}}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\mathit{s})（25）

采用等速趋近率描述趋近运动，可得：

\dot{\mathit{\eta }}=-\epsilon \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\mathit{\eta })（26）

将式（19）代入式（25），结合式（26）可得：

\mathit{C}\dot{\mathit{e}}=-\epsilon \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\mathit{\eta })-{\mathit{K}}_{\mathrm{0}}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\mathit{s})（27）

将式（11）代入式（27），可得系统滑模控制律为：

\begin{array}{l}\mathit{U}=(\mathit{C}{\mathit{B}}_{\mathrm{p}\mathrm{1}}{)}^{-\mathrm{1}}\left\{\mathit{C}\left[{\mathit{A}}_{\mathrm{r}}\mathit{e}+({\mathit{A}}_{\mathrm{r}}-{\mathit{A}}_{\mathrm{p}}){\mathit{X}}_{\mathrm{p}}\right]-\right.\\ \left.\epsilon \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\mathit{\eta })-{\mathit{K}}_{\mathrm{0}}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\mathit{s})\right\}\end{array}（28）

由于式（28）中的符号函数可能使系统在稳态时产生抖振，为了减小稳态抖振，本文采用双曲正切函数\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(\eta /p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}})和\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(\mathit{s}/p_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}})代替符号函数\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\mathit{\eta })和\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\mathit{s})，即用平滑函数代替不连续函数，其中p_{\mathrm{1}}、p_{\mathrm{2}}为转移因子。则系统控制律变为：

\begin{array}{l}\mathit{U}=(\mathit{C}{\mathit{B}}_{\mathrm{p}\mathrm{1}}{)}^{-\mathrm{1}}\left\{\mathit{C}\left[{\mathit{A}}_{\mathrm{r}}\mathit{e}+({\mathit{A}}_{\mathrm{r}}-{\mathit{A}}_{\mathrm{p}}){\mathit{X}}_{\mathrm{p}}\right]-\right.\\ \left.\epsilon \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(\mathit{\eta }/p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}})-{\mathit{K}}_{\mathrm{0}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(\mathit{s}/p_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}})\right\}\end{array}（29）

当p_{\mathrm{1}}、p_{\mathrm{2}}取较小值时，能够保证函数\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(\mathit{\eta }/p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}})和\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(\mathit{s}/p_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}})接近\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\mathit{\eta })和\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\mathit{s})，具有较好的动态性能；当p_{\mathrm{1}}、p_{\mathrm{2}}取较大值时，可有效消除抖振，因此应综合具体要求确定p_{\mathrm{1}}、p_{\mathrm{2}}值。

3 变轨距列车半主动悬挂系统仿真

为了研究变轨距列车采用双滑模面滑模半主动悬挂系统在高速运行时的鲁棒性和有效性，本文选取不同速度等级，对2种轨距状态（1435mm/1 520 mm）下变轨距车辆的动力学性能进行了分析。

3.1　仿真模型的搭建

选取车辆参数：1/4车体质量m_{\mathrm{2}}为11 000 kg，1/2构架质量m_{\mathrm{1}}为1 307.5 kg，一系悬挂刚度k_{\mathrm{1}}为1 MN/m，二系悬挂刚度k_{\mathrm{2}}为0.335 MN/m，二系基础阻尼c_{\mathrm{0}}为20 kN·s/m，天棚阻尼c_{\mathrm{s}\mathrm{r}}为8 kN·s/m。如图3和图4所示，分别搭建了1/4车半主动悬挂控制系统模型和基于双滑模面滑模半主动控制模型。

进一步构建半主动悬挂系统Simpack与Matlab联合仿真模型（见图5），分别在Simulink中建立磁流变阻尼器和半主动空气弹簧阻尼力模型与双滑模面滑膜控制器。Simpack将车辆动力学状态变量封装在Simat模块中并与Matlab/Simulink进行数据交互，控制系统根据接收到的动力学信息运行控制程序并计算，再将控制结果通过Simat模块传回Simpack，使车辆状态朝着预期目标发展，最终达到车辆平稳运行的目的。

空气弹簧安装在车体与转向架之间，其半主动控制主要通过调节主气室与附加气室之间节流孔直径控制输出阻尼力，进而改善轨道车辆运行的垂向平稳性；磁流变阻尼器安装在构架与车体之间作为二系横向半主动控制装置，通过控制输入电流或电压达到系统控制阻尼力的目的。

联合仿真控制模型，采用本课题组设计的高速变轨距车辆作为仿真试验的原型车^［12］。按照《机车车辆动力学性能评定及试验鉴定规范》（GB/T 5599—2019）^［13］要求，分别设计直线、大半径曲线、小半径曲线、直向通过道岔和侧向通过道岔5种试验区段，车轮踏面采用LMA型踏面^［14］，轮轨型面采用CHN60钢轨型面^［15］，轨道不平顺激励采用德国高速线路轨道谱^［16］。其中，小曲线半径区段设置圆曲线半径为400 m，曲线超高150 mm；大曲线半径区段设置圆曲线半径为7 000 m，曲线超高150 mm。分别采样之后，分析双滑模面滑模半主动控制列车的运行稳定性、运行品质和运行平稳性。

3.2　运行稳定性

动车组运行稳定性采用脱轨系数、轮重减载率、轮轴横向力、横向稳定性等指标进行评价。其中，横向稳定性采用转向架构架横向振动加速度峰值≥8 m/s²的次数进行评价，若次数≥6，判定转向架横向失稳。图6为仿真环境下，不同控制方式、不同轨距下变轨距列车的运行稳定性指标情况。

由图6可知，采用基于分数阶天棚阻尼的双滑模面滑模半主动控制方法使变轨距列车在不同轨距下运行时的最大脱轨系数、轮轴横向力、横向加速度峰值超过8 m/s²的次数均有所降低，同时导致车辆的轮重减载率小幅增大，但仍在规范规定的安全限值（≤0.65）内。可见，双滑模面滑模半主动控制方法使变轨距列车的横向稳定性得到改善。

3.3　运行品质

采用不同的控制方法，选取不同速度等级，对2种轨距状态下运行的变轨距车辆车体振动的横向加速度a_{ty}和垂向加速度a_{tz}进行测试。仿真仍然采用德国高速轨道谱，车辆的基本悬挂参数不变，仿真结果如图7、图8及表1、表2所示。

从图7和表1可以看出：在1 435 mm轨距状态不同车速下运行时，双滑模面滑模半主动控制悬挂系统相较于被动控制，车身垂向和横向振动加速度明显降低，其横向运行品质改善率达24.1%~32.7%；垂向改善率达30.2%~32.0%；相较于单滑模面控制也有明显改善，且在400 km/h速度等级范围内，车辆垂、横向运行品质均满足规范要求。

从图8和表2可以看出：在1 520 mm轨距状态不同速度等级下运行时，双滑模面滑模半主动悬挂系统相较于被动控制，车身垂向和横向振动加速度明显降低，其横向运行品质改善率可达28.1%~35.3%；垂向改善率可达28.0%~31.8%；相较于单滑模面控制也有明显改善，且在400 km/h速度内，车辆垂、横向运行品质均满足规范要求。

3.4　运行平稳性

对400 km/h速度下不同控制方式、不同轨距的车体加速度频域和功率谱密度进行对比分析，具体结果如图9和图10所示。

由图9可知，车体振动频段主要集中在5 Hz以内；由图10可知，基于分数阶天棚阻尼的双滑模面滑模控制的车辆振动加速度功率谱密度小于被动控制下的功率谱密度，特别是在人体敏感的0.5~6 Hz频段内减振效果明显。因此，在车体振动的主要频段内，双滑模面滑模控制方法具有良好的控制效果，有效改善了车辆平稳性能。

平稳性指标计算公式为：

W=\mathrm{3.57}\sqrt[\mathrm{10}]{\frac{A^{\mathrm{3}}}{f_{\mathrm{0}}}F(f_{\mathrm{0}})}（30）

式中：A为振动加速度；f_{\mathrm{0}}为振动频率；F(f)为频率修正系数。

不同速度等级和不同轨距下的运行平稳性指标如表3和表4所示。

从表3和表4可以看出：当车辆运行在不同速度等级下时，双滑模面滑模半主动悬挂系统相较于被动控制，车身垂向和横向平稳性指标有明显改善。1 435 mm轨距下，平稳性改善率为7.8%~12.2%；1 520 mm轨距下，平稳性改善率为7.1%~9.2%。相较于单滑模面控制，1 435 mm轨距下，平稳性改善率为2.2%~4.9%；1 520 mm轨距下，平稳性改善率为2.4%~3.5%，也有明显改善。变轨距列车在400 km/h内运行时，无论1 435 mm还是1 520 mm轨距，采用双滑模面滑模半主动控制策略，相比被动悬挂系统，列车运行平稳性等级均由2级提高到1级，使变轨距列车在不同轨距下能够同时具有良好的平稳性和舒适性。

4 结束语

采用基于分数阶天棚阻尼参考模型的双滑模面滑模半主动控制方法，建立Simpack/Matlab联合仿真模型，对高速变轨距列车的二系空气弹簧和横向磁流变阻尼器进行半主动控制。仿真结果表明，双滑模面滑模半主动控制列车在面对阶跃激励响应和轨道不平顺激励响应时的运行品质、稳定性和平稳性均有所提高，在人体敏感的0.5~6 Hz频段内减振效果明显。双滑模面滑模半主动控制的变轨距列车有效降低了车体的垂向及横向振动，在1 435 mm标准轨矩和1520 mm宽轨距上运行时，在最高设计速度范围内的平稳性指标达到1级水平，保证了变轨距列车在不同轨距下均具有良好的运行平稳性。

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基金资助

吉林省自然科学基金项目(20220101199JC)

吉林省产业核心技术攻关项目(20240302061GX)

吉林省智能制造重大科技专项项目(20210301006GX)