设置柔性横隔板的曲线波形钢腹板钢箱组合梁畸变效应

Distortion effect of supported curved steel box composite girders with corrugated webs and flexible diaphragms

摘要

为准确分析设置柔性横隔板的曲线波形腹板钢箱组合梁（CSBCG-CSWs）的畸变效应，本文基于畸变翘曲位移、弯扭耦合位移与梁体内力的关系，建立CSBCG-CSWs的畸变翘曲位移模式，并导出由弯扭耦合效应引起的附加畸变框架挠曲势能；应用虚功原理求解柔性横隔板的抗畸变刚度；基于能量变分法建立畸变微分方程，分析CSBCG-CSWs畸变效应的影响因素。研究结果表明：本文解析解与实验值、Abaqus数值解吻合良好；与未设置实腹式跨内横隔板的结果相比，当设置1~2道实腹式跨内横隔板时，跨内最大畸变双力矩分别降低77.7%、85.6%；与设置X型、K型横隔板的结果相比，当设置实腹式横隔板时，跨内最大畸变双力矩降低25%；集中荷载引起的畸变效应主要受加载点是否设置横隔板影响；均布荷载更能反映设置跨内横隔板曲梁的整体畸变效应；当波形腹板钢箱组合梁畸变应力比分别控制在10%、5%以内时，直线钢箱组合梁横隔板间距需满足分别<8 、6 m，曲线钢箱组合梁横隔板间距需满足分别<6 、5 m，且计入自重荷载可降低畸变应力比；当跨内实腹式横隔板厚度>6mm时，增加厚度对直线、曲线波形腹板钢箱组合梁畸变效应的抑制效果无明显提升；当圆心角从0°增加至28°时，CSBCG-CSWs 1/4跨和1/2跨截面畸变翘曲正应力分别增加74.6%和87.4%。

Abstract

In order to accurately analyze distortion effect of supported curved steel box composite girders with corrugated webs （CSBCG-CSWs） and flexible diaphragms， in this paper the distortion warping displacement mode of CSBCG-CSWs was established based on the relationship between distortional warping displacement， bending-torsion coupled displacement and internal force of composite girder， and the potential energy of the additional distortion frame deflection caused by the bending-torsion coupled effect was derived. The anti-distortion stiffness of flexible diaphragms was solved by using virtual work principle. The distortion differential equation was established based on the energy variational method， and the influencing factors of CSBCG-CSWs distortion effect were analyzed. The results if the study show that the analytical solution in this paper was in good agreement with the experimental value and Abaqus numerical solution. Compared with the results without the intermediate diaphragm of plate-type， the maximum distortion bi-moment is reduced by 77.7%， 85.6% respectively when 1~2 passes intermediate diaphragm of plate-type are set. Compared with the results of setting intermediate diaphragms of X-type and K-type， the maximum distortion bi-moment is reduced by 25% when diaphragm of plate-type is set. The distortion effect caused by concentrated load is mainly affected by the presence or absence of diaphragms at the loading point. The uniform load can better reflect the overall distortion effect of the composite box girder with intermediate diaphragm. When the distortion stress ratio of the steel box composite girder with corrugated webs is controlled within 10% and 5% respectively， the intermediate diaphragm spacing needs to be satisfied： the straight steel box composite girder is less than 8m and 6m， and the curved steel box composite girder is less than 6m and 5m respectively，and distortion stress ratio can be reduced when the self-gravity load is taken into account. The increase of intermediate diaphragm thickness has no obvious enhance on suppressing effect the distortion effect of the straight and curved steel box composite girder with corrugated web when the thickness of the intermediate diaphragm of plane-type is more than 6mm. When the central angle increases from 0° to 28°， the distortional warping normal stresses of 1/4-span and 1/2-span cross-setions of CSBCG-CSWs increase by 74.6% and 87.4%， respectively.

Graphical abstract

关键词

桥梁工程 / 波形钢腹板组合梁 / 变分法 / 畸变 / 横隔板刚度

Key words

bridge engineering / composite girder with corrugated steel web / variation calculus / distortion / diaphragm rigidity

0 引 言

曲线波形腹板钢箱组合梁（Curved steel box composite girders with corrugated webs，CSBCG-CSWs）可避免服役期受拉底板开裂，在我国西部高速公路建设中得到广泛应用^［1］。由于CSBCG-CSWs存在弯扭复合受力特性，即使在自重（对称荷载）作用下，也会产生畸变效应^［2，3］，其畸变特性较直线箱梁复杂很多。

近年来，国内外学者通过引入不同的分析模型、简化假设和求解方法，发展了箱梁畸变效应解析理论。张元海^［4］基于跨内横隔板位置的畸变变形协调关系，提出了带刚性横隔板的直线箱梁畸变效应解析理论；Wang等^［5］采用能量变分原理分析了曲线波形腹板组合箱梁的弯扭耦合性能。结果表明：径跨比、弯扭刚度比对梁体弯扭性能影响较大，而波形钢腹板剪切变形对梁体弯扭性能影响甚小。许立言等^［6］通过曲线波形腹板组合箱梁静力实验修正了精细有限元模型，以此分析了其弯扭特性；Zhu等^［7］提出了一种考虑曲线钢箱组合梁剪力滞、弯扭、畸变耦合效应的有限梁单元，并通过缩尺模型实验验证了有限梁单元求解的正确性；张元海等^［8］通过建立直线混凝土箱梁弯曲、约束扭转、畸变等位移函数，基于能量变分法求解了翘曲应力；Ren等^［9，10］基于广义坐标法提出了求解混凝土箱梁畸变与约束扭转耦联效应的解析法，并给出了该解析法的初参数解；尼颖升等^{［11，12］}基于空间网格理论，分析了波形钢腹板组合箱梁桥的剪力分配及剪力滞效应，为该类桥梁的精细化设计提供了新思路；邓文琴等^［13］采用模型实验、数值模拟和解析理论，研究了直线波形腹板组合箱梁在弯曲、约束扭转及畸变荷载作用下的应力特性。结果表明：约束扭转和畸变产生的翘曲正应力可达弯曲应力的24%~26%，其畸变效应比混凝土箱梁更为突出。综上，CSBCG-CSWs的畸变效应尚需进一步深入研究。

文献［4，7］假设横隔板位置的畸变角为0，以无限刚性横隔板假设考虑跨内横隔板的抗畸变作用。但在实际工程中，跨内横隔板的抗畸变刚度会随隔板尺寸、挖空率等条件的不同而变化，因此按刚性横隔板假设求解的畸变效应解析解与实际服役条件下的真实数值存在偏差，且难以分析不同形式、不同厚度横隔板对CSBCG-CSWs畸变效应的影响。

本文通过引入弯扭复合受力导致的附加荷载势能和柔性横隔板假设，建立跨内横隔板抗畸变刚度计算式，应用能量变分原理导出曲线箱梁畸变控制微分方程，并分析设置柔性横隔板的简支CSBCG-CSWs的畸变效应。

1 基本假设与等效截面

1.1　基本假设

（1）假设曲线组合箱梁的径宽比R/b>10。

（2）忽略闭口箱梁剪心与形心不重合的影响。

（3）忽略组成箱梁的各板件中面剪切变形^［5］。

（4）忽略钢梁和混凝土板之间的相对滑移和竖向掀起。

1.2　等效截面

板厚为t_w的标准节段波形钢腹板如图1所示，其中a_w、b_w、c_w分别为节段直板长度、斜板投影长度、斜板长度，α为波折角。

可将波形钢腹板等效为比拟正交异性板^［14］，比拟正交异性板的等效剪切模量G_e和等效弹性模量E_e表达式分别为^［15］：

G_{\mathrm{e}}=\frac{a_{\mathrm{w}}+b_{\mathrm{w}}}{a_{\mathrm{w}}+c_{\mathrm{w}}}{G}_{\mathrm{s}}， E_{\mathrm{e}}=\frac{a_{\mathrm{w}}+b_{\mathrm{w}}}{\mathrm{3}{a}_{\mathrm{w}}+c_{\mathrm{w}}}{(\frac{t_{\mathrm{w}}}{h_{\mathrm{w}}})}^{\mathrm{2}}{E}_{\mathrm{s}}（1）

式中：G_s、E_s分别为钢材的剪切模量、弹性模量。

CSBCG-CSWs横截面如图2（a）所示，其中t_c为桥面板厚度；a、b分别为悬臂桥面板、箱室桥面板的长度；h为桥面板与钢底板中心线间的距离；t_w、t_s分别为波形钢腹板、钢底板的厚度；R、R₁、R₂分别为主梁中心、内侧波形腹板、外侧波形腹板的曲率半径。依据截面合力不变、弯曲应变相同及桥面板面外抗弯刚度不变条件将图2（a）所示横截面分别转换为如图2（b）所示的抗弯特性等效截面及如图2（c）所示的约束扭转和畸变特性等效截面。等效桥面板厚度t_cs和等效桥面宽度c的计算公式分别为：

t_{\mathrm{c}\mathrm{s}}=\frac{t_{\mathrm{c}}}{n_E}， c=\frac{(a+b/\mathrm{2})}{n_E}（2）

式中：n_E =E_s/E_c，为弹模比，其中E_c为混凝土弹性模量。

设点O、S分别为波形腹板钢箱组合梁截面的形心、剪心，y_s为点O与点S的竖向距离。以形心O为原点，建立流动右手直角坐标系O-xyz：x轴为曲梁径向，指向曲率平面内侧为正；y轴垂直于曲梁平面，向下为正；z轴为梁轴切线方向。

2 畸变荷载作用模式

当沿x、y、z轴作用均布外荷载p_x 、p_y 、p_z，且作用相对于剪心曲轴的均布扭矩m_t时，相距dz=Rdφ的曲线梁段左、右截面内力分布如图3所示。梁段左侧截面的内力包括：作用于剪心的径向剪力Q_x 、竖向剪力Q_y，作用于形心的竖向弯矩M_x 、横向弯矩M_y 、轴力N、扭矩T。相应地，右侧截面的内力分别为Q_x +dQ_x 、Q_y +dQ_y 、M_x +dM_x 、M_y +dM_y 、N+dN、T+dT。

由曲杆结构力学理论可知，曲梁弯矩M_x 、M_y 的表达式分别为^［16］：

M_x=-E_{\mathrm{s}}{I}_x(v^{″}-\frac{\theta }{R})， M_y=-E_{\mathrm{s}}{I}_y(u^{″}+\frac{u}{R^{\mathrm{2}}})（3）

式中：I_x 、I_y 分别为等效截面在竖直面、水平面内的抗弯惯性矩；\theta为腹板转角，以逆时针转动为正。

依据曲线梁段x轴的平衡条件\sum F_x=\mathrm{0}及梁段右截面点S处梁曲轴切线的平衡条件\sum M_z=\mathrm{0}，可分别得到如式（4）（5）所示的内力平衡方程：

Q_x^{\text{'}}+\frac{N}{R}+P_x=\mathrm{0}（4）

T^{\text{'}}-\frac{\mathrm{1}}{R}(M_x-N{y}_{\mathrm{s}})+m_{\mathrm{t}}=\mathrm{0}（5）

2.1　畸变翘曲位移模式

设当CSBCG-CSWs发生畸变变形时，截面形心O沿x、y、z轴正向的径向位移、竖向位移、轴向位移分别为u_d、v_d、w_d，则箱梁的正应变ε_zs 和剪切应变γ_zs 分别为：

{\epsilon }_{zs}=\frac{\partial w_{\mathrm{d}}}{\partial z}（6）

{\gamma }_{zs}=\frac{\partial w_{\mathrm{d}}}{\partial s}+\frac{\partial v_{\mathrm{d}}}{\partial z}（7）

式中：s为箱壁中面切向坐标，以逆时针方向为正，且s坐标原点取箱梁顶板与y轴交点处。

令曲线箱梁畸变竖向位移v_d满足如下关系：

v_{\mathrm{d}}={\gamma }_{\mathrm{d}}{\rho }_{\mathrm{D}}（8）

式中：{\gamma }_{\mathrm{d}}为截面畸变角；{\rho }_{\mathrm{D}}为截面畸变中心至计算点的垂直距离（当箱梁发生畸变变形时，各板件切向位移共同对应的转动中心为畸变中心，由畸变应力自平衡条件确定）。

由假设（3）可知{\gamma }_{zs}=0，联立式（6）~（8），并结合纵向翘曲位移连续性条件，可得：

w_{\mathrm{d}}={{\gamma }_{\mathrm{d}}}^{\mathrm{\text{'}}}{\omega }_{\mathrm{D}}（9）

式中：{\omega }_{\mathrm{D}}={\int }_{\mathrm{0}}^s{\rho }_{\mathrm{D}}\mathrm{d}s，为畸变翘曲位移函数，其分布如图4所示，其中，-{\omega }_{\mathrm{D}\mathrm{A}}、{\omega }_{\mathrm{D}\mathrm{B}}分别为曲线内侧波形钢腹板顶部、底部的畸变翘曲位移函数值，β=ω_DB/ω_DA。

将式（9）代入式（6），可得CSBCG-CSWs畸变正应变{\epsilon }_{zs}的计算式为：

{\epsilon }_{zs}={\gamma }_{\mathrm{d}}^{″}{\omega }_{\mathrm{D}}=\frac{-f}{E_{\mathrm{s}}}{\omega }_{\mathrm{D}}（10）

式中：f=-E_{\mathrm{s}}{\gamma }_{\mathrm{d}}^{″}，为广义畸变翘曲位移。

CSBCG-CSWs的畸变变形如图5所示，其中u_u、v₁分别为角点A的水平位移、竖向位移；u_b为角点B水平位移；v₂为角点D竖向位移；γ₁、γ₂分别为角点B处腹板、底板的畸变转角，均以顺时针转动为正。需说明的是，曲梁内侧腹板畸变转角γ₁的方向与式（3）中腹板转角θ的方向相反。

取角点B处腹板与底板的夹角改变量作为畸变角γ_d，以该夹角减小为正方向，则存在如下关系：

{\gamma }_{\mathrm{d}}={\gamma }_{\mathrm{1}}+{\gamma }_{\mathrm{2}}=\frac{u_{\mathrm{u}}+u_{\mathrm{b}}}{h}+\frac{v_{\mathrm{1}}+v_{\mathrm{2}}}{b}（11）

式中：{\gamma }_{\mathrm{1}}=\frac{u_{\mathrm{u}}+u_{\mathrm{b}}}{h}， {\gamma }_{\mathrm{2}}=\frac{v_{\mathrm{1}}+v_{\mathrm{2}}}{b}。

若将组合梁各组成板件视作具有不同曲率的独立板梁，则可将曲梁内侧、外侧腹板的面内位移v₁、v₂，以及顶板和底板的面内位移u_u、u_b分别代入式（3），求解曲梁内侧、外侧腹板的竖向弯矩M_x1、M_x2，以及桥面板、钢底板的水平弯矩M_y1、M_y2。

以曲线组合梁内侧腹板为例，其竖向弯矩M_{x\mathrm{1}}的表达式为：

M_{x\mathrm{1}}=-E_{\mathrm{s}}{I}_{xw}(\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{v}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{d}{z_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}}+\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{R_{\mathrm{1}}})（12）

式中：I_xw 为腹板面内抗弯惯性矩；z₁为曲梁内侧腹板曲率半径R₁对应的纵向坐标。

由于\mathrm{d}\phi =\frac{\mathrm{d}z}{R}=\frac{\mathrm{d}{z}_{\mathrm{1}}}{R_{\mathrm{1}}}，有\mathrm{d}{z}_{\mathrm{1}}=\frac{R_{\mathrm{1}}}{R}\mathrm{d}z，因此，

\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{v}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{d}{z_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}}=\frac{R^{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{v}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{d}{z}^{\mathrm{2}}}=\frac{R^{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{v}_{\mathrm{1}}^{″}，则式（12）可转化为：

M_{x\mathrm{1}}=-E{I}_{xw}(\frac{R^{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{v}_{\mathrm{1}}^{″}+\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{R_{\mathrm{1}}})（13a）

同理，可得M_x2、M_y1、M_y2的计算公式分别为：

M_{x\mathrm{2}}=-E{I}_{xw}(\frac{R^{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{v}_{\mathrm{2}}^{″}-\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{R_{\mathrm{2}}})（13b）

M_{y\mathrm{1}}=-E{I}_{y\mathrm{1}}(\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{u}}}{\mathrm{d}{z}^{\mathrm{2}}}+\frac{u_{\mathrm{u}}}{R^{\mathrm{2}}})（13c）

M_{y\mathrm{2}}=-E{I}_{y\mathrm{2}}(\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{b}}}{\mathrm{d}{z}^{\mathrm{2}}}+\frac{u_{\mathrm{b}}}{R^{\mathrm{2}}})（13d）

式中：I_y1、I_y2分别为桥面板、钢底板的面内抗弯惯性矩。

此外，各板梁的面内弯矩可分别通过曲梁内侧腹板角点A、B处的畸变翘曲位移函数表示，具体如下：

M_{x\mathrm{1}}=M_{x\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{t}_{w}hf({\omega }_{\mathrm{D}\mathrm{A}}+{\omega }_{\mathrm{D}\mathrm{B}})(\frac{h}{\mathrm{2}}-\frac{h}{\mathrm{3}})（14a）

M_{y\mathrm{1}}=t_{\mathrm{c}\mathrm{s}}bf{\omega }_{\mathrm{D}\mathrm{A}}(\frac{b}{\mathrm{2}}-\frac{b}{\mathrm{3}})（14b）

M_{y\mathrm{2}}=t_{\mathrm{s}}bf{\omega }_{\mathrm{D}\mathrm{B}}(\frac{b}{\mathrm{2}}-\frac{b}{\mathrm{3}})（14c）

对式（11）求二阶导数，联立式（13）（14），并利用图2（a）的几何关系(\frac{R_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+R_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{R^{\mathrm{2}}})=\mathrm{2}+\frac{b^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{R}^{\mathrm{2}}}\approx \mathrm{2}，可得畸变角γ_d的二阶导数为：

{\gamma }_{\mathrm{d}}^{″}=\frac{\mathrm{2}f{\omega }_{\mathrm{D}\mathrm{A}}(b+c)(\beta b+c)}{h{b}^{\mathrm{2}}c}（15）

结合式（10）（15），解得角点A、B处畸变翘曲位移函数{\omega }_{\mathrm{D}\mathrm{A}}、{\omega }_{\mathrm{D}\mathrm{B}}的计算式分别为：

{\omega }_{\mathrm{D}\mathrm{A}}=\frac{bh}{\mathrm{4}(\mathrm{1}+\beta )}， {\omega }_{\mathrm{D}\mathrm{B}}=\frac{\beta bh}{\mathrm{4}(\mathrm{1}+\beta )}（16）

定义B_{\mathrm{d}}=-E{I}_{\omega \mathrm{d}}{\gamma }_{\mathrm{d}}^{″}为畸变双力矩，结合式（10），可得畸变翘曲正应力{\sigma }_{\mathrm{d}}的表达式为：

{\sigma }_{\mathrm{d}}=\frac{B_{\mathrm{d}}}{I_{\omega \mathrm{d}}}{\omega }_{\mathrm{D}}（17）

式中：I_{\omega \mathrm{d}}={\int }_A{\omega }_{\mathrm{D}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}A=\frac{b^{\mathrm{2}}{h}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{48}(\mathrm{1}+\beta )}[A_{\mathrm{b}}\beta +A_{\mathrm{w}}(\mathrm{2}\beta -\mathrm{1})]，为畸变翘曲惯性矩；A_b、A_w分别为钢底板、单侧波形钢腹板的面积。

综上，CSBCG-CSWs的畸变翘曲应变能U_{\sigma }为：

U_{\sigma }={\int }_V\frac{{\sigma }_{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{E}_{\mathrm{s}}}\mathrm{d}V=\frac{E_{\mathrm{s}}{I}_{\omega \mathrm{d}}}{\mathrm{2}}{\int }_l({\gamma }_{\mathrm{d}}^{″}{)}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}z（18）

2.2　畸变框架挠曲

根据薄壁箱梁微元体的纵向平衡条件，可得：

\frac{\partial q_{\mathrm{d}}}{\partial s}+\frac{\partial {\sigma }_{\mathrm{d}}}{\partial z}t=\mathrm{0}（19）

将式（17）代入式（19），可得：

\frac{\partial q_{\mathrm{d}}}{\partial s}=-\frac{\partial {\sigma }_{\mathrm{d}}}{\partial z}t=-\frac{{B_{\mathrm{d}}}^{\mathrm{\text{'}}}}{I_{\omega \mathrm{d}}}\omega t=-\frac{M_{\mathrm{d}}}{I_{\omega \mathrm{d}}}\omega t（20）

式中：M_{\mathrm{d}}=-E_{\mathrm{s}}{I}_{\omega \mathrm{d}}{\gamma }^{‴}，为畸变矩荷载。

将式（20）对s坐标积分，并由畸变翘曲剪力流不合成扭矩，可得：

q_{\mathrm{d}}=-\frac{M_{\mathrm{d}}}{I_{\omega \mathrm{d}}}{\tilde{S}}_{\omega \mathrm{d}}（21）

式中：{\tilde{S}}_{\omega \mathrm{d}}=S_{\omega \mathrm{d}}-\frac{\oint S_{\omega \mathrm{d}}{\rho }_{\mathrm{d}}\mathrm{d}s}{\Omega }，为广义扇性静距，其中S_{\omega \mathrm{d}}={\int }_{\mathrm{0}}^s{\omega }_{\mathrm{D}}t\mathrm{d}s为主扇性静距，{\rho }_{\mathrm{d}}为等效横截面扭转中心至剪力流q_{\mathrm{d}}计算点处的垂直距离。

定义单位宽度波形腹板上剪力流q_{\mathrm{d}}的合力为V_{\mathrm{w}}、桥面板和钢底板剪力流q_{\mathrm{d}}的合力为V_{\mathrm{u}}，解得：

V_{\mathrm{w}}={\int }_{\mathrm{0}}^h{q}_{\mathrm{d}}\mathrm{d}s=\frac{M_{\mathrm{d}}}{b}， V_{\mathrm{u}}={\int }_{\mathrm{0}}^b{q}_{\mathrm{d}}\mathrm{d}s=\frac{M_{\mathrm{d}}}{h}（22）

采用力法求解V_{\mathrm{w}}、V_{\mathrm{u}}作用下框架单元的横向弯矩，各角点横向弯矩分别为：

M_A=-M_D=k_{\mathrm{1}}{\gamma }_{\mathrm{d}}， M_B=-M_C=k_{\mathrm{2}}{\gamma }_{\mathrm{d}}（23）

式中：k_{\mathrm{1}}=\frac{hbX}{\mathrm{2}{\delta }_{\mathrm{1}}}、k_{\mathrm{2}}=\frac{(Xb-h)h}{\mathrm{2}{\delta }_{\mathrm{1}}}，其中X和{\delta }_{\mathrm{1}}分别为等效截面顶板作用水平单位荷载时，其中点处竖向剪力和顶板的水平位移。

综上，CSBCG-CSWs的畸变框架挠曲应变能U_R为：

U_{\mathrm{R}}={\int }_{\mathrm{0}}^l{\int }_s\frac{M^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{E}_{\mathrm{s}}{I}_i}\mathrm{d}s\mathrm{d}z=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^l{K}_{\mathrm{R}}{\gamma }_{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}z（24）

式中：K_{\mathrm{R}}=\frac{\mathrm{24}E{I}_{\mathrm{w}}}{{\eta }_{\mathrm{0}}h}，其中{\eta }_{\mathrm{0}}=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}\frac{b}{h}+\mathrm{3}\frac{I_{\mathrm{e}\mathrm{u}}+I_{\mathrm{d}}}{I_{\mathrm{e}\mathrm{w}}}}{\frac{I_{\mathrm{e}\mathrm{u}}+I_{\mathrm{d}}}{I_{\mathrm{e}\mathrm{w}}}+\mathrm{6}\frac{h}{b}\frac{I_{\mathrm{e}\mathrm{u}}{I}_{\mathrm{d}}}{I_{\mathrm{e}\mathrm{w}}^{\mathrm{2}}}}（I_{\mathrm{e}\mathrm{u}}=\frac{t_{\mathrm{c}}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{12}{n}_E}为混凝土桥面板等效面外抗弯惯性矩，I_{\mathrm{e}\mathrm{w}}=\frac{\mathrm{3}{a}_{\mathrm{w}}{t}_{\mathrm{w}}{h}_{\mathrm{w}}^{\mathrm{2}}+t_{\mathrm{w}}{h}_{\mathrm{w}}^{\mathrm{3}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha }{\mathrm{12}(a_{\mathrm{w}}+b_{\mathrm{w}})}为波形钢腹板面外抗弯惯性矩，I_{\mathrm{d}}=\frac{t_{\mathrm{s}}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{12}}为钢底板面外抗弯惯性矩）。

2.3　附加畸变荷载效应

由式（4）（5）可知，受曲率影响，CSBCG-CSWs的轴力（N/R）和弯矩（Mx/R）分别相当于作用于径向（x轴）的等效均布荷载p_x 和等效均布扭矩m_t。dz长度曲线梁段在竖向弯矩M_x 作用下，沿截面周边单位长度的轴力n_z 表达式为：

n_z=\frac{M_{x}yt}{I_x}（25）

式中：I_x为组合梁板件平面内抗弯惯性矩；t为板件厚度。

竖向弯矩M_x 引起的dz长度CSBCG-CSWs框架受力如图6所示。竖向弯矩M_x 在顶部、底部板平面内产生的径向合力S_u、S_b，以及两侧腹板中曲面yz上单位面积线性分布力S_w的计算式分别为：

S_{\mathrm{u}}=\frac{M_x{h}_{\mathrm{u}}{A}_{\mathrm{u}}}{I_{x}R}， S_{\mathrm{b}}=\frac{M_x{h}_{\mathrm{b}}{A}_{\mathrm{b}}}{I_{x}R}， S_{\mathrm{w}}=\frac{M_{x}y{t}_{\mathrm{w}}}{I_{x}R}（26）

式中：h_u、h_b分别为顶板、底板至中性轴的距离；A_u为等效截面顶板的横截面面积。

由式（5）可知，单位长度曲线箱梁的弯矩（M_x/R）与扭矩T^{\text{'}}产生的效应一致，则沿横截面周边单位长度的切向力S_T 如图6所示，其计算式为：

S_T=\frac{T^{\text{'}}}{\Omega }=\frac{M_x}{R\Omega }（27）

式中：\Omega为2倍的组合箱梁截面面积。

将作用于箱梁框架单元顶杆、底杆的径向力S_u、S_b与其相应杆件的切向力S_T 叠加，解得由曲率引起的顶杆、底杆附加力F_u、F_b分别为：

F_{\mathrm{u}}=S_{\mathrm{u}}-b{S}_T=\frac{M_x{h}_{\mathrm{u}}{A}_{\mathrm{u}}}{I_{x}R}-\frac{M_{x}b}{R\Omega }（28）

F_{\mathrm{b}}=S_{\mathrm{b}}-b{S}_T=\frac{M_x{h}_{\mathrm{b}}{A}_{\mathrm{b}}}{I_{x}R}-\frac{M_{x}b}{R\Omega }（29）

附加力F_u、F_b引起的CSBCG-CSWs框架单元横向受力如图7所示，其中\frac{M_{x}h}{R\Omega }\mathrm{为}扭矩作用下腹板的附加力。

采用力法求解图7所示框架单元的弯矩图，并计算顶板水平位移{\delta }_{\mathrm{r}}，从而可得曲线箱梁附加畸变角{\gamma }_{\mathrm{r}}为：

{\gamma }_{\mathrm{r}}=\frac{{\delta }_{\mathrm{r}}}{h}=\frac{\rho M_x}{K_{\mathrm{R}}R}（30）

式中：\rho ={\eta }_{\mathrm{1}}-\frac{{\eta }_{\mathrm{2}}}{{\eta }_{\mathrm{0}}}，其中{\eta }_{\mathrm{1}}=\frac{(\mathrm{7}{h}_{\mathrm{u}}-\mathrm{3}{h}_{\mathrm{b}})A_{\mathrm{w}}h}{\mathrm{10}{I}_x}+\frac{A_{\mathrm{u}}{h}_{\mathrm{u}}h}{I_x}-\mathrm{0.5}，{\eta }_{\mathrm{2}}=\frac{A_{\mathrm{w}}}{\mathrm{15}{I}_x}\left[\frac{(\mathrm{3}{h}_{\mathrm{u}}-\mathrm{2}{h}_{\mathrm{b}})(b+\mathrm{3}h\frac{I_{\mathrm{d}}}{I_{\mathrm{e}\mathrm{w}}})}{(\frac{I_{\mathrm{e}\mathrm{u}}+I_{\mathrm{d}}}{I_{\mathrm{e}\mathrm{w}}}+\mathrm{6}\frac{h}{b}\frac{I_{\mathrm{e}\mathrm{u}}{I}_{\mathrm{d}}}{I_{\mathrm{e}\mathrm{w}}^{\mathrm{2}}})}\right.+\left.\frac{(\mathrm{3}{h}_{\mathrm{d}}-\mathrm{2}{h}_{\mathrm{u}})(b+\mathrm{3}h\frac{I_{\mathrm{e}\mathrm{u}}}{I_{\mathrm{e}\mathrm{w}}})}{(\frac{I_{\mathrm{e}\mathrm{u}}+I_{\mathrm{d}}}{I_{\mathrm{e}\mathrm{w}}}+\mathrm{6}\frac{h}{b}\frac{I_{\mathrm{e}\mathrm{u}}{I}_{\mathrm{d}}}{I_{\mathrm{e}\mathrm{w}}^{\mathrm{2}}})}\right]。则附加畸变矩M_{\mathrm{r}}和附加荷载势能V_{\mathrm{r}}分别为：

M_{\mathrm{r}}={\gamma }_{\mathrm{r}}{K}_{\mathrm{R}}=\frac{\rho M_x}{R}（31）

V_{\mathrm{r}}=-{\int }_l\frac{\rho M_x}{R}\gamma \mathrm{d}z（32）

2.4　畸变微分方程

在分布扭矩荷载m_t作用下，CSBCG-CSWs发生如图5所示的畸变变形。若角点B、C不产生垂直于曲率平面的相对位移，则顶板沿曲梁径向的水平位移为{\gamma }_{\mathrm{d}}h，因此畸变外荷载势能V_m 为：

V_m=-{\int }_{\mathrm{0}}^l{P}_{\mathrm{1}}{\gamma }_{\mathrm{d}}h\mathrm{d}z=-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^l{m}_{\mathrm{t}}{\gamma }_{\mathrm{d}}\mathrm{d}z（33）

将畸变翘曲应变能U_{\sigma }、畸变框架应变能U_{\tau }、附加荷载势能V_{\mathrm{r}}、畸变外荷载势能V_m叠加，可得CSBCG-CSWs的畸变总势能\prod为：

\begin{array}{l}\prod =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}[E_{\mathrm{s}}{I}_{\omega \mathrm{d}}{\int }_{\mathrm{0}}^l({\gamma }_{\mathrm{d}}^{″}{)}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}z+K_{\mathrm{d}}{\int }_{\mathrm{0}}^l{{\gamma }_{\mathrm{d}}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}z-\\ \begin{array}{cc}& \end{array}{\int }_{\mathrm{0}}^l{m}_{\mathrm{t}}{\gamma }_{\mathrm{d}}\mathrm{d}z]-{\int }_{\mathrm{0}}^l\frac{\rho {\gamma }_{\mathrm{d}}{M}_x}{R}\mathrm{d}z\end{array}（34）

对式（34）进行一阶变分运算，可得：

\begin{array}{l}\delta \prod ={\int }_{\mathrm{0}}^l(E_{\mathrm{s}}{I}_{\omega \mathrm{d}}{{\gamma }_{\mathrm{d}}^{″}}^{″}+K_{\mathrm{d}}{\gamma }_{\mathrm{d}}-\frac{\rho M_x}{R}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{m}_{\mathrm{t}})\delta {\gamma }_{\mathrm{d}}\mathrm{d}z\\ \begin{array}{ccc}& & \end{array}+E_{\mathrm{s}}{I}_{\omega \mathrm{d}}{\gamma }_{\mathrm{d}}^{″}\delta {\gamma }_{\mathrm{d}}^{\text{'}}{|}_{\mathrm{0}}^l-E_{\mathrm{s}}{I}_{\omega \mathrm{d}}{{\gamma }_{\mathrm{d}}^{″}}^{\text{'}}\delta {\gamma }_{\mathrm{d}}{|}_{\mathrm{0}}^l\end{array}（35）

依据最小势能原理，由δΠ=0导出畸变微分方程为：

E_{\mathrm{s}}{I}_{\omega \mathrm{d}}{{\gamma }_{\mathrm{d}}^{″}}^{″}+K_{\mathrm{d}}{\gamma }_{\mathrm{d}}-\frac{\rho M_x}{R}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{m}_{\mathrm{t}}=\mathrm{0}（36）

式（36）中竖向弯矩M_x 依据曲杆结构力学求解^［17］。

2.5　横隔板抗畸变刚度

以X型横隔板为例，跨内横隔板平行和垂直于曲率平面的畸变框架内力V_u和V_w如图8所示。

V_u和V_w采用式（22）求解。当发生畸变变形时，斜压杆13、斜拉杆24的轴力值N均为：

N=\frac{l{V}_{\mathrm{u}}}{\mathrm{2}b}（37）

式中：l为X型横隔板斜杆的长度。

在单位畸变框架内力作用下，斜压杆13、斜拉杆24的轴力值均为\frac{l}{\mathrm{2}b}。由虚功原理可得设置X型横隔板组合梁的畸变角{\gamma }_{\mathrm{D}}为：

{\gamma }_{\mathrm{D}}=\frac{\delta }{h}=\frac{V_{\mathrm{u}}{l}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}{E}_{\mathrm{s}}A{b}^{\mathrm{2}}h}（38）

式中：A为X型横隔板斜杆的横截面面积。

横隔板抗畸变力矩{\gamma }_{\mathrm{D}}{K}_{\mathrm{D}\mathrm{X}}与组合梁畸变框架内力矩V_{\mathrm{u}}h相等，则X型横隔板的抗畸变刚度K_DX为：

K_{\mathrm{D}\mathrm{X}}=\frac{V_{\mathrm{u}}h}{{\gamma }_{\mathrm{D}}}=\frac{\mathrm{2}{E}_{\mathrm{s}}A{b}^{\mathrm{2}}{h}^{\mathrm{2}}}{l^{\mathrm{3}}}（39）

同理，解得K型横隔板和实腹式横隔板的抗畸变框架刚度K_{\mathrm{D}\mathrm{K}}、K_{\mathrm{D}\mathrm{F}}分别为：

K_{\mathrm{D}\mathrm{K}}=\frac{E_{\mathrm{s}}{A}_{\mathrm{K}}{b}^{\mathrm{2}}{h}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{l}^{\mathrm{3}}}， K_{\mathrm{D}\mathrm{F}}=G_{\mathrm{s}}{t}_{\mathrm{D}}bh（40）

式中：A_K为K型横隔板杆件的横截面面积；G_{\mathrm{s}}为实腹式横隔板的剪切刚度；t_{\mathrm{D}}为横隔板厚度。

结合式（39）（40），采用弹性地基梁比拟法求解式（36），弹性地基梁的比拟过程详见文献［18］，求解流程如下：

（1） 将梁体划分为若干段，在给定荷载作用下，根据梁体起始端E端已知的边界条件（y_E=M_E=0，其中y、M分别为弹性地基梁的挠度和弯矩），假定其未知边界值（假定V_E=ψ_E=0，其中V、ψ分别为剪力和斜率），逐段运算直至求解出梁体末端F端边界值（y_BP，ψ_BP ）。

（2） 移除外荷载，假定\overline{V_{\mathrm{E}}}=\mathrm{1}作用于E端，且y_E、M_E、ψ_E均为零，递推求解F端的挠度y_{\mathrm{F}\overline{V}}和斜率{\phi }_{\mathrm{F}\overline{V}}。

（3） 假定\overline{{\phi }_{\mathrm{E}}}=\mathrm{1}作用于E端，且y_E、M_E、ψ_E均为零，递推求解F端的挠度y_{\mathrm{F}\overline{\phi }}和斜率{\phi }_{\mathrm{F}\overline{\phi }}。

（4） 依据变形协调条件，需满足：

\left\{\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{E}}{y}_{\mathrm{F}\overline{V}}+{\phi }_{\mathrm{E}}{y}_{\mathrm{F}\overline{\phi }}+y_{\mathrm{F}P}=\mathrm{0}\\ V_{\mathrm{E}}{\phi }_{\mathrm{F}\overline{V}}+{\phi }_{\mathrm{E}}{\phi }_{\mathrm{F}\overline{\phi }}+{\phi }_{\mathrm{F}P}=\mathrm{0}\end{array}\right.（41）

求解式（41）即可得到V_E、ψ_E，利用V_E、ψ_E修正步骤（1）的原递推值，继而采用叠加原理求解截面弯矩、挠度，并将其分别类比为畸变双力矩、畸变角。本文依据上述流程，采用Matlab编程完成求解。

3 实验验证与算例分析

3.1　实验验证

文献［19］的实验梁如图9所示，其计算跨径为4.7 m，梁轴半径为9.4 m。波形钢腹板形状如图1所示，各参数分别为：t_w=3 mm，a_w=64 mm，c_w=47.5 mm，h_w=41 mm，α=60°。曲梁两端设置厚度为25 cm的端横隔板，梁体内部设置两道厚度为10 cm的跨内横隔板，横隔板布置如图9（a）所示，梁体横断面如图9（b）所示。

横隔板、底板、桥面板均采用C40混凝土，波形腹板采用Q355钢材。在跨中截面曲线外侧桥面板与波形腹板交接点处，施加数值为40 kN、偏心距为0.2 m的偏心集中荷载。跨中截面畸变角采用位移传感器读取，实验测试过程详见文献［19］。

表1列出了跨中截面畸变角的本文解析解、文献［4］解析解、文献［19］Abaqus数值解与实验值。图10对比了跨中截面畸变翘曲正应力的本文解析解和文献［19］数值解，其中带括号数据为本文解析解，括号外数据为文献［19］数值解。

由图10和表1可知，本文提出的跨中截面畸变翘曲正应力和畸变角解析解与实验值、数值解总体吻合良好，验证了本文解析理论的正确性。同时，本文解析解与文献［4］解析解的偏差仅为3.07%，表明10 cm厚的跨内混凝土横隔板面内剪切变形甚小。

3.2　算例分析

CSBCG-CSWs的跨径为30 m、梁轴半径为72m，梁端设置厚度为22 mm的端横隔板，跨中设置厚度为14 mm实腹式横隔板。梁体横截面如图2（a）所示，各参数分别为：a=3 m，b=1.5m，h=1.5 m，t_c=0.25 m，t_s=0.02 m。桥面板采用C50混凝土，钢底板、波形钢腹板分别采用Q420、Q355钢材，CSBG-CSWs的自重为56kN/m。偏心距为1.5 m的公路一级车道荷载作用于曲梁轴外侧，且P_k=320 kN的集中活载作用于跨中截面曲梁轴线外侧腹板与桥面板的交接处。波形钢腹板为1 600型，形状如图1所示，各参数分别为：t_w=0.014 m，a_w=0.43 m，b_w=0.37 m，c_w=0.43 m，h_w=0.22 m，α=30°。

3.2.1　荷载形式及跨内横隔板间距

为考察荷载形式及跨内横隔板对CSBG-CSWs畸变效应的影响，基于本文解析法，分别计算当跨内设置0~2道实腹式横隔板时，梁体在自重、集中偏心活载和均布偏心活载作用下的畸变双力矩沿曲梁跨径分布曲线，结果如图11所示。

由图11可以看出，与未设置跨内横隔板结果相比，当设置1~2道跨内横隔板时，由自重和偏心车道荷载引起的总畸变双力矩分别降低77.7%、85.6%。当集中荷载加载截面未设置横隔板时（对应2道横隔板布置方案），该截面的畸变双力矩显著增大，从而导致畸变翘曲应力显著增加。当集中荷载加载位置设置横隔板时（对应1道横隔板布置方案），由集中荷载和均布荷载产生的畸变双力矩沿曲径方向的分布趋于吻合。

图12为波形腹板钢箱组合梁在车道荷载单独作用、自重单独作用及车道荷载和自重耦合作用下，畸变应力比随跨内横隔板间距的变化曲线。

由图12可以看出，曲线箱梁在自重和活载共同作用下的畸变应力比与直线箱梁在活载单独作用下的畸变应力比相当，活载作用下曲线箱梁畸变应力比最大，自重作用下曲线箱梁畸变应力比最小。当CSBG-CSWs的活载畸变应力比分别控制在10%、5%以内时，横隔板间距需满足：直线箱梁分别<8、6 m，曲线箱梁分别<6、5 m；计入自重的畸变效应可降低CSBG-CSWs畸变应力比。

3.2.2　跨内横隔板形式

表2列出了采用本文公式和公路钢桥规公式^［20］计算的实腹式、X型及K型横隔板抗畸变刚度值。

由表2可以看出，依据公路钢桥规公式计算的3类横隔板刚度值均为本文公式计算值的4倍，这表明公路板规给出的横隔板刚度计算公式有待进一步商榷。

图13为设置跨内实腹式、X型及K型横隔板的曲线钢箱组合梁在自重（恒载）作用下畸变双力矩沿跨径的分布曲线，可以看出，设置跨内X型及K型横隔板的曲线钢箱组合梁畸变双力矩沿跨径方向分布曲线基本重合，表明这两种类型横隔板的抗畸变能力相当。在自重荷载作用下，与设置X型、K型横隔板的结果相比，设置实腹式横隔板的组合梁跨内最大畸变双力矩降低25%。

3.2.3　跨内横隔板厚度

图14给出了30 m跨径直线、曲线波形腹板钢箱组合梁z=4.5 m和z=15 m截面角点A处畸变翘曲应力随实腹式横隔板厚度变化的曲线，可以看出，当横隔板厚度<3 mm时，直线组合梁z=4.5 m、z=15 m截面和曲线组合梁z=15 m截面角点A处的畸变翘曲应力均随横隔板厚度增加而减小，而曲线组合梁z=4.5 m截面畸变翘曲应力则随横隔板厚度增加而增大。当横隔板厚度>6mm时，增加横隔板厚度对直线、曲线组合梁畸变效应的抑制效果无明显提升。

3.2.4　曲率半径

图15为R_{\phi }=\mathrm{30} m的曲线钢箱组合梁在偏心均布活载作用下，1/4跨和1/2跨截面角点B处畸变翘曲正应力随圆心角变化的曲线。由图15可知，当跨径一定时，CSBCG-CSWs畸变翘曲正应力随曲率半径的增大（圆心角减小）逐渐减小，且该变化趋势呈现明显线性特征，且横隔板位置处（1/2跨）的畸变翘曲应力与1/4跨截面的畸变翘曲应力符号相反。当圆心角从0°增加至28°时（对应曲率半径从859m减小至61 m），波形腹板钢箱组合梁1/4跨和1/2跨截面畸变翘曲正应力分别增加74.6%和87.4%。

4 结 论

（1） 本文通过考虑跨内柔性横隔板的抗畸变刚度及弯扭耦合效应，基于能量变分原理提出了曲线波形腹板钢箱组合梁畸变效应解析理论，并通过模型实验值和Abaqus数值解验证了该解析法的正确性

（2） 与未设置跨内横隔板的结果相比，当设置1~2道跨内横隔板时，由自重和偏心车道荷载引起的总畸变双力矩分别降低77.7%、85.6%；由集中荷载引起的畸变效应主要受加载点是否设置横隔板影响，均布荷载更能反映设置跨内横隔板CSBG-CSWS的整体畸变效应；与设置X型和K型横隔板的结果相比，设置实腹式横隔板CSBCG-CSWs的最大畸变双力矩降低25%。

（3） 当波形腹板组合梁的活载畸变应力比分别控制在10%、5%以内时，横隔板间距需满足：直线箱梁分别<8、6 m，曲线箱梁分别小于6、5m；计入自重的畸变效应可降低梁体的畸变应力比。

（4） 本文导出的不同形式跨内横隔板刚度值为公路钢桥规给出的相应横隔板刚度值的1/4，表明公路钢桥规计算的横隔板刚度有待商榷；当跨内实腹式横隔板厚度>6 mm时，增加其厚度对直线、曲线波形腹板钢箱组合梁畸变效应的抑制效果无明显提升；当圆心角从0°增加至28°时，CSBCG-CSWs 1/4跨和1/2跨截面的畸变翘曲正应力分别增加74.6%和87.4%。

（5） 本文研究成果可为CSBCG-CSWs的跨内横隔板设计提供参考，工程实践中可保证横隔板厚度满足最小刚度要求，以其间距作为单一变量进行设计控制。

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基金资助

国家自然科学基金项目(51968040)

国家自然科学基金项目(52368020)

兰州交通大学基础研究拔尖人才计划项目(2022JC17)