梭形双重约束防屈曲支撑的整体稳定性设计方法

Global stability design method of shuttle-shaped double-restrained buckling-restrained brace

摘要

为研究新型梭形双重约束防屈曲支撑（SDR-BRB）的整体稳定性能及其设计方法，首先，采用平衡法推导了两端铰接的SDR-BRB弹性屈曲荷载和约束比计算公式；然后，考虑构件整体初始几何缺陷的影响，构建了SDR-BRB侧向变形和弯矩分布函数，并基于外围构件截面边缘纤维屈服准则，得到了SDR-BRB 3类约束比限值计算公式；在此基础上，建立了经试验验证的ABAQUS有限元模型，分别对其单调加载下的承载性能和往复加载下的滞回性能进行了弹塑性有限元数值分析；最后，结合理论推导与数值分析，提出了基于约束比限值的SDR-BRB整体稳定性的设计方法。结果表明：约束比对SDR-BRB的整体稳定性能、弹塑性承载性能和滞回性能影响显著；基于3类约束比限值，SDR-BRB可分为延迟屈曲构件、承载型BRB和耗能型BRB；本文提出的设计方法可准确预测SDR-BRB承载性能与滞回性能的屈曲行为，并具有良好的适用性，可将其作为SDR-BRB整体稳定设计的准则。

Abstract

To study the global stability and design method of a novel shuttle-shaped double-restrained buckling-restrained brace （SDR-BRB）， this article first uses the equilibrium method to derive the calculation formula for the elastic buckling load and the restraining ratio of SDR-BRB with hinged ends. Then， the distribution function of lateral deformation and bending moment of SDR-BRB is constructed considering the influence of global initial geometric imperfections， and based on the yielding criteria of the outmost fiber for the restraining member section， the calculation formula of the three types of the restraining ratio requirement of SDR-BRB is obtained. On this basis， the ABAQUS finite element model verified by experiments is established， and the elastic-plastic finite element numerical analysis of its load-carrying capacity under monotonic loading and hysteretic performance under cyclic loading is carried out respectively. Finally， the global stability design method of SDR-BRB based on the restraining ratio requirement is proposed. The results show that the restraining ratio has a significant effect on the global stability， load-carrying capacity， and hysteretic performance of SDR-BRB. Based on the three types of the restraining ratio requirement， SDR-BRB can be divided into delayed buckling member， load-carrying BRB， and energy-consuming BRB. The design method proposed in this article can accurately predict the buckling behavior of the load-carrying capacity and hysteretic performance of SDR-BRB， and has good applicability， which can be used as the global stability design criterion of SDR-BRB.

Graphical abstract

关键词

结构加固 / 梭形双重约束防屈曲支撑 / 整体稳定性 / 约束比限值 / 承载性能 / 滞回性能

Key words

structural reinforcement / shuttle-shaped double-restrained buckling-restrained brace / global stability / restraining ratio requirement / load-carrying capacity / hysteretic performance

0 引　言

普通钢支撑在受压状态下易发生屈曲失稳，导致支撑的刚度和承载力急剧下降，显著降低结构的延性。防屈曲支撑（Buckling-restrained brace， BRB）通过在内核构件的外围设置约束构件来抑制其受压屈曲，在小震作用下提供稳定的抗侧刚度和承载能力，在中震或大震作用下先于主体结构屈服并耗散地震输入能量，显著提高结构的抗震韧性^［1，2］。由于BRB具有良好的力学性能和可观的经济效益，目前已成为最具吸引力的耗能装置之一，在美国、日本、新西兰和中国等地震频发国家取得了大量的工程实践^［3-5］。

近年来，随着工程建设对BRB多样化需求的增加，BRB应用范围不断扩展，逐步趋于轻量化、超长尺寸和复杂功能的方向发展^［6，7］。由于传统BRB一般采用等截面型式，其截面不够展开，约束效率较低，用于超长BRB中易出现截面尺寸和自重过大以及屈曲失稳等问题。为解决上述问题，本文提出一种新型轻量化梭形双重约束防屈曲支撑^［8］（SDR-BRB），SDR-BRB内核构件采用等截面圆钢管，端部通过焊接加劲肋板和加劲环板进行加强，外围约束构件由外约束筒、侧向钢板和外钢套筒组成。SDR-BRB通过在传统全钢型BRB外部增加梭形钢管形成双重约束作用，不仅可以有效提升整体抗弯刚度和约束性能，而且采用梭形钢管替代典型的圆形钢管可以显著降低构件重量和初始挠度，特别适用于超长BRB的设计。

整体稳定控制是保证SDR-BRB有效发挥工作性能的关键。目前，国内外学者对BRB整体稳定性研究已较为深入，相关设计理论主要有2种：一种是强度-刚度法，另一种是约束比法。前者如Inoue等^［9，10］研究成果，该方法明确了BRB整体稳定与外围约束强度和刚度的相关性，但未考虑内核初始挠度和间隙等因素的影响，无法准确反映BRB整体失稳破坏机理；后者以Fujimoto等^［11］研究成果为典型代表，通过限制BRB约束比不低于某一特定值进行设计，由于该方法概念清晰，计算简便，至今仍被广泛使用，如Kimura等^［12］、Tada等^［13］、Zhou等^［14］对各类型BRB约束比限值进行了研究。然而，对于不同截面组成和连接型式的BRB，约束比限值的规定也不尽相同，虽然约束比法难以确定各类型BRB统一的下限值，但在工程初步设计阶段，该方法仍可为BRB设计参数选取提供可靠的依据。采用约束比法设计SDR-BRB时，若约束比设计不当，可能会使SDR-BRB因刚度不足而提前失效，导致支撑不能达到预期的作用，但过于保守的设计又会徒增材料用量，无法使经济效益最大化，因此，合理的约束比设计至关重要。此外，由于SDR-BRB独特的构造特点与受力机制，使得外围约束构件的受力行为与传统等截面型式BRB相比有较大区别，传统BRB约束比限值公式已不再适用。为推动SDR-BRB的实际应用，亟须研究其整体失稳破坏机理并建立相应的设计方法。

鉴于此，本文对两端铰接的SDR-BRB受力特点与破坏机理进行理论推导和数值研究，以外围构件截面边缘纤维屈服为弹性极限准则，建立SDR-BRB 3类约束比限值计算公式，通过大量弹塑性有限元分析进行数值验证，并提出SDR-BRB整体稳定性设计方法，以期为该类新型BRB的实际应用提供设计参考。

1 SDR-BRB约束比限值理论推导

1.1　弹性屈曲荷载理论推导

SDR-BRB内核构件如图1所示。约束比定义为外围约束构件弹性屈曲荷载与内核构件全截面屈服荷载的比值，反映了外围约束构件对内核侧向变形的约束能力，目标是保证SDR-BRB不发生整体屈曲。因此，建立弹性屈曲荷载的计算公式是研究SDR-BRB整体稳定性设计方法的基础。SDR-BRB弹性屈曲荷载的理论推导基于以下几点假设：①忽略内核构件和外围约束构件之间的摩擦力；②内核构件和外围约束构件的侧向位移相同，而纵向位移相互独立；③内核构件和外围约束构件的长度相同，忽略内核外伸段的长度。

如图2所示，采用平衡法推导两端铰接的SDR-BRB弹性屈曲荷载。对于内核构件，除承受轴向荷载P外，还承受侧向分布荷载q(z)，而外围约束构件不承受轴向荷载P，因此，内核构件、外围约束构件以及整体构件在z截面的弯矩平衡方程分别为：

\left\{\begin{array}{l}P{w}_{\mathrm{1}}+{\int }_{\mathrm{0}}^{z}q(t)(z-t)\mathrm{d}t=-E_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}}\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{w}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{d}{z}^{\mathrm{2}}}\\ -{\int }_{\mathrm{0}}^{z}q(t)(z-t)\mathrm{d}t=-E_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{w}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{d}{z}^{\mathrm{2}}}-E_{\mathrm{e}}{I}_{\mathrm{e}}(z)\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{w}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{d}{z}^{\mathrm{2}}}\\ (E_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}}+E_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}+E_{\mathrm{e}}{I}_{\mathrm{e}}(z))\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}w}{\mathrm{d}{z}^{\mathrm{2}}}+Pw=\mathrm{0}\end{array}\right.（1）

通过求解整体构件的弯矩平衡方程，可得到SDR-BRB弹性屈曲荷载为：

P_{\mathrm{c}\mathrm{r}}=\frac{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}(E_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}}+E_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}+E_{\mathrm{e}}{I}_{\mathrm{e}}(z))}{l^{\mathrm{2}}}（2）

式中：E_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}}、E_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}和E_{\mathrm{e}}{I}_{\mathrm{e}}(z)分别为内核构件、外约束筒和外钢套筒的抗弯刚度；其中，E_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}}和E_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}均为常数，而E_{\mathrm{e}}{I}_{\mathrm{e}}(z)是关于纵坐标z的函数，需要单独求解。

外钢套筒包含中部等截面和端部变截面两部分，中部等截面部分的平衡微分方程为：

E_{\mathrm{e}}{I}_{\mathrm{e}\mathrm{2}}\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{w}_{\mathrm{e}\mathrm{1}}(z)}{\mathrm{d}{z}^{\mathrm{2}}}+P_{\mathrm{e}}{w}_{\mathrm{e}\mathrm{1}}(z)=\mathrm{0}（3）

端部变截面部分的平衡微分方程为：

E_{\mathrm{e}}{I}_{\mathrm{e}}(z)\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{w}_{\mathrm{e}\mathrm{2}}(z)}{\mathrm{d}{z}^{\mathrm{2}}}+P_{\mathrm{e}}{w}_{\mathrm{e}\mathrm{2}}(z)=\mathrm{0}（4）

式（4）为变系数微分方程，基于Bessel函数可得外钢套筒的弹性屈曲荷载为：

P_{\mathrm{e}}=\frac{K{E}_{\mathrm{e}}{I}_{\mathrm{e}\mathrm{2}}}{l^{\mathrm{2}}}（5）

式中：E_{\mathrm{e}}{I}_{\mathrm{e}\mathrm{2}}为外钢套筒中部等截面的抗弯刚度，I_{\mathrm{e}\mathrm{2}}=\mathrm{\pi }{t}_{\mathrm{e}}(l_{\mathrm{0}}^{\text{'}}+(l-l_{\mathrm{1}}{)/\mathrm{2})}^{\mathrm{3}}\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{\mathrm{3}}\alpha，t_{\mathrm{e}}和\alpha分别为外钢套筒的壁厚和梭形角度的一半；K为外钢套筒的稳定系数。

K=\frac{\mathrm{4}{\gamma }^{\mathrm{2}}{U}^{\mathrm{2}}}{(l_{\mathrm{0}}^{\text{'}}+(l-l_{\mathrm{1}})/\mathrm{2}){(\mathrm{1}+\gamma )}^{\mathrm{2}}{(\mathrm{1}-\lambda )}^{\mathrm{2}}}（6）

式中：γ为外钢套筒的楔率，\gamma =(d_{\mathrm{e}\mathrm{2}}-d_{\mathrm{e}\mathrm{1}})/d_{\mathrm{e}\mathrm{1}}，d_{\mathrm{e}\mathrm{1}}和d_{\mathrm{e}\mathrm{2}}分别为端部变截面和中部等截面的外径；λ为外钢套筒的长度比，\lambda =l_{\mathrm{1}}/l，l_{\mathrm{1}}和l分别为中部等截面和全截面的长度；l_{\mathrm{0}}^{\text{'}}为端部变截面与其相交点的垂直距离；U为导出方程的根，U^{\mathrm{2}}=P_{\mathrm{e}}/E_{\mathrm{e}}\mathrm{\pi }{t}_{\mathrm{e}}\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{\mathrm{3}}\alpha。

将式（5）代入式（2），可得：

P_{\mathrm{c}\mathrm{r}}=\frac{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}(E_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}}+E_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}+K{E}_{\mathrm{e}}{I}_{\mathrm{e}\mathrm{2}})}{l^{\mathrm{2}}}（7）

由于内核构件进入全截面屈服后刚度会发生退化，因此可以忽略内核构件对SDR-BRB整体抗弯刚度的贡献，则SDR-BRB约束比的计算公式为：

\zeta =\frac{P_{\mathrm{c}\mathrm{r}}}{P_{\mathrm{y}}}=\frac{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}(E_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}+K{E}_{\mathrm{e}}{I}_{\mathrm{e}\mathrm{2}})}{l^{\mathrm{2}}{f}_{\mathrm{y},\mathrm{c}}{A}_{\mathrm{1}}}（8）

式中：P_{\mathrm{y}}、f_{\mathrm{y},\mathrm{c}}和A_{\mathrm{1}}分别为内核构件的全截面屈服荷载、屈服强度和横截面面积。

1.2　外围约束跨中最大弯矩

外围约束构件只对内核构件提供侧向支承，并不直接承受轴力，其本质上是受弯构件，因此抗弯承载力是外围约束构件设计的控制因素。对于全钢型SDR-BRB，以外围约束构件截面边缘纤维屈服为弹性极限准则，进而可推导外围约束构件跨中最大弯矩M_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}。

外围约束构件跨中最大弯矩推导需考虑初始几何缺陷的影响，研究初始几何缺陷的影响常采用一致缺陷法^［15］，即对SDR-BRB施加与其一阶弹性屈曲模态成比例的初始几何缺陷分布模式。因此，设计了3组不同计算长度的数值分析算例（详细建模过程见下文），如表1所示，采用特征值屈曲分析法得到了SDR-BRB在轴向荷载作用下的一阶弹性屈曲模态。

由图3可知，SDR-BRB一阶弹性屈曲模态为单波对称形式，与正弦曲线吻合良好。因此，假设SDR-BRB初始几何缺陷按正弦曲线分布，缺陷幅值为{\nu }_{\mathrm{0}}，即u_{\mathrm{0}}(z)={\nu }_{\mathrm{0}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{\pi }z/l)。因此，考虑整体初始几何缺陷的影响后，根据式（1）可得到构件的弯矩平衡方程为：

(E_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}+E_{\mathrm{e}}{I}_{\mathrm{e}}(z))\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{w}_{\mathrm{0}}(z)}{\mathrm{d}{z}^{\mathrm{2}}}+P(w_{\mathrm{0}}(z)+

u_{\mathrm{0}}(z))=\mathrm{0}（9）

式中：w_{\mathrm{0}}(z)和u_{\mathrm{0}}(z)分别为在轴向荷载P和初始几何缺陷作用下SDR-BRB的侧向变形。

定义k_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}=\frac{P}{E_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}+E_{\mathrm{e}}{I}_{\mathrm{e}}(z)}，并设置如下坐标系转换：

x=l/\mathrm{2}-z（10）

因此，方程式（9）可改写为：

\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{w}_{\mathrm{0}}(x)}{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{2}}}+k_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{w}_{\mathrm{0}}(x)=-k_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{0}}(x)（11）

基于Timoshenko的经典弹性理论^［16］，可得方程式（11）通解为：

w_{\mathrm{0}}(x)=A_{\mathrm{0}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{k}_{\mathrm{1}}x+B_{\mathrm{0}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{k}_{\mathrm{1}}x+

\frac{\mathrm{1}}{\frac{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}}{k_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{l}^{\mathrm{2}}}-\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{0}}(x)（12）

代入外围约束构件的几何边界条件：

w_{\mathrm{0}}(\mathrm{0})=\mathrm{0}，w_{\mathrm{0}}(l)=\mathrm{0}（13）

将边界条件代入式（12），可得：

A_{\mathrm{0}}=\mathrm{0}，B_{\mathrm{0}}=\mathrm{0}（14）

因此，轴向荷载P引起的侧向变形为：

w_{\mathrm{0}}(x)=\frac{u_{\mathrm{0}}(x)}{P_{\mathrm{c}\mathrm{r}}/P-\mathrm{1}}=\frac{{\nu }_{\mathrm{0}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{\pi }x/l)}{(P_{\mathrm{2}}+P_{\mathrm{e}})/P-\mathrm{1}}（15）

将轴向荷载引起的侧向变形w_{\mathrm{0}}(x)与初始缺陷引起的侧向变形u_{\mathrm{0}}(x)相加，可得SDR-BRB总侧向变形为：

w(x)=w_{\mathrm{0}}(x)+u_{\mathrm{0}}(x)=\frac{{\nu }_{\mathrm{0}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{\pi }x/l)}{\mathrm{1}-P/(P_{\mathrm{2}}+P_{\mathrm{e}})}（16）

对表1中3组算例进行轴压承载力分析，将有限元得到的SDR-BRB总侧向变形曲线与式（16）计算的总侧向变形曲线进行对比，如图4所示，理论结果与有限元结果吻合良好，两者误差在5%以内。

由式（16）可得SDR-BRB整体所受弯矩沿长度方向的分布函数为：

M(x)=P(w_{\mathrm{0}}(x)+u_{\mathrm{0}}(x))=\frac{P{\nu }_{\mathrm{0}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{\pi }x/l)}{\mathrm{1}-P/(P_{\mathrm{2}}+P_{\mathrm{e}})}（17）

当轴向荷载达到内核屈服荷载P_y时，得到SDR-BRB跨中最大弯矩为：

M_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=M(l/\mathrm{2})=\frac{P_{\mathrm{y}}{\nu }_{\mathrm{0}}}{\mathrm{1}-P_{\mathrm{y}}/(P_{\mathrm{2}}+P_{\mathrm{e}})}（18）

1.3　3类约束比限值理论推导

内核构件决定了SDR-BRB对结构抗侧刚度和耗能能力的贡献，而外围约束构件主要为内核构件提供足够的约束以满足内核“屈服而不屈曲”的要求，同时又不能太过浪费，这一设计目标主要通过约束比限值来实现。SDR-BRB约束比应大于其约束比限值：

\zeta =\frac{P_{\mathrm{c}\mathrm{r}}}{P_{\mathrm{y}}}\ge \left[\zeta \right]（19）

根据中国钢结构设计规范^［17］对受弯构件抗弯强度的规定，外围约束构件的截面抗弯承载力M_{\mathrm{u}}可表示为：

M_{\mathrm{u}}={\gamma }_{\mathrm{1}}{f}_{\mathrm{y},\mathrm{e}}{W}_{\mathrm{e}}（20）

式中：{\gamma }_{\mathrm{1}}为截面塑性发展系数，可取{\gamma }_{\mathrm{1}}=\mathrm{1.0}；f_{\mathrm{y},\mathrm{e}}和W_{\mathrm{e}}分别为外围约束构件的屈服强度和截面模量。

基于外围约束构件边缘纤维不发生屈服的条件，令，根据式（18）~（20）可得到SDR-BRB的第1类约束比限值计算公式为：

\zeta \ge \left[{\zeta }_{\mathrm{1}}\right]=\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}{f}_{\mathrm{y},\mathrm{e}}{W}_{\mathrm{e}}}{{\gamma }_{\mathrm{1}}{f}_{\mathrm{y},\mathrm{e}}{W}_{\mathrm{e}}-P_{\mathrm{y}}{\nu }_{\mathrm{0}}}（21）

在进行SDR-BRB设计时，内核构件与外围约束构件之间通常需要预留一定的间隙g，若考虑间隙对支撑整体受力性能的影响，则有：

\zeta \ge \left[{\zeta }_{\mathrm{1}}\right]=\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}{f}_{\mathrm{y},\mathrm{e}}{W}_{\mathrm{e}}}{{\gamma }_{\mathrm{1}}{f}_{\mathrm{y},\mathrm{e}}{W}_{\mathrm{e}}-P_{\mathrm{y}}({\nu }_{\mathrm{0}}+g)}（22）

当SDR-BRB约束比\zeta大于第1类约束比限值\left[{\zeta }_{\mathrm{1}}\right]，此时由于内核材料强化效应明显，导致轴向压力P不断增，大直至加载结束。因此，在式（22）的基础上考虑内核材料应力强化系数{\eta }_{\mathrm{1}}，可得到SDR-BRB的第2类约束比限值计算公式为：

\zeta \ge \left[{\zeta }_{\mathrm{2}}\right]=\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}{\eta }_{\mathrm{1}}{f}_{\mathrm{y},\mathrm{e}}{W}_{\mathrm{e}}}{{\gamma }_{\mathrm{1}}{f}_{\mathrm{y},\mathrm{e}}{W}_{\mathrm{e}}-{\eta }_{\mathrm{1}}{P}_{\mathrm{y}}({\nu }_{\mathrm{0}}+g)}（23）

上述推导的第1类和第2类约束比限值均是针对单调荷载下SDR-BRB弹塑性承载性能，而对于往复荷载下SDR-BRB弹塑性滞回性能所对应的约束比限值要求更为严格。本文将SDR-BRB滞回耗能能力转变为使其极限承载力达到{\eta }_{\mathrm{2}}{P}_{\mathrm{y}}，其中{\eta }_{\mathrm{2}}为往复荷载下内核构件的材料应力强化系数。此外，往复加载下外围约束构件反复进入屈服也会大大削弱其约束刚度，应对外围约束构件材料强度进行折减，以考虑滞回加载对其造成的不利影响。综上，进一步推导可得SDR-BRB第3类约束比限值计算公式为：

\zeta \ge \left[{\zeta }_{\mathrm{3}}\right]=\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}{\alpha }_{\mathrm{1}}{\eta }_{\mathrm{2}}{f}_{\mathrm{y},\mathrm{e}}{W}_{\mathrm{e}}}{{\gamma }_{\mathrm{1}}{\alpha }_{\mathrm{1}}{f}_{\mathrm{y},\mathrm{e}}{W}_{\mathrm{e}}-{\eta }_{\mathrm{2}}{P}_{\mathrm{y}}({\nu }_{\mathrm{0}}+g)}（24）

式中：{\alpha }_{\mathrm{1}}为外围约束构件材料强度折减系数，根据相关试验结果可取{\alpha }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.9}^［18］。

2 SDR-BRB分类与约束比限值的关系

基于上述推导的3类约束比限值计算公式，可以得到SDR-BRB类型与不同约束比限值之间的对应关系，如图5所示。

由图可知，当SDR-BRB约束比\zeta<\left[{\zeta }_{\mathrm{1}}\right]时，在内核构件达到全截面屈服之前，支撑发生整体失稳破坏，此时P<P_y，属于延迟屈曲构件；当SDR-BRB约束比\left[{\zeta }_{\mathrm{1}}\right]≤\zeta<\left[{\zeta }_{\mathrm{2}}\right]时，内核构件可以达到全截面屈服，但不能满足既定的加载要求，外围约束构件将产生塑性变形，支撑发生整体失稳破坏；而当SDR-BRB约束比\left[{\zeta }_{\mathrm{2}}\right]≤\zeta<\left[{\zeta }_{\mathrm{3}}\right]时，内核构件可以达到全截面屈服，同时满足既定的加载要求，在加载全过程中支撑不发生整体失稳破坏，可以认为是满足延性要求的承载型BRB；进一步地，当SDR-BRB约束比\zeta \ge \left[{\zeta }_{\mathrm{3}}\right]时，此时支撑不仅可以提高结构的刚度和承载力，而且具有足够的累积塑性变形能力和耗能能力，可以认为是满足延性要求的耗能型BRB。对于承载型和耗能型SDR-BRB，可依据工程设计需要区分使用，既保证了构件的使用功能，又节省了制作成本。

3 弹塑性有限元分析与理论公式验证

3.1　有限元模型的建立与验证

采用通用软件ABAQUS对SDR-BRB进行有限元分析，如图6（a）所示。内核钢管、外约束筒、侧向钢板和外钢套筒均采用C3D8R单元模拟，该单元适合弹塑性接触分析。钢材本构采用Chaboche混合强化模型，该模型包含了非线性随动强化部分和非线性等向强化部分，可以很好地模拟钢材的滞回性能，模型中强化参数选取文献［19］提供的数据。内核钢管与外约束筒之间的接触关系设置为面面接触，接触面法向作用采用硬接触，切向作用采用摩擦因数为0.1的罚函数。此外，在有限元模型跨中位置将内核钢管与外约束筒的z方向位移进行耦合，消除两者之间的轴向相对位移，以此模拟中间限位卡的作用。对于加载和边界条件，有限元模型两端铰接，轴向荷载P仅施加在内核左部。有限元模型采用结构化网格，网格划分考虑模型的收敛性与结果的准确性，采用试算法进行网格尺寸的选取，整体结构尺寸采用60 mm网格划分，以获得更好的计算效率。考虑SDR-BRB在实际生产与安装过程中存在误差，对有限元模型施加与其一阶屈曲模态一致的初始几何缺陷，缺陷幅值取支撑总长度的1/500，以考虑初始缺陷的不利影响。

为检验本文有限元模型建模方法的合理性，开展了SDR-BRB抗震性能试验（如图6（b）所示），试验与有限元模拟的滞回曲线对比如图6（c）所示。两者的滞回曲线形状基本吻合，误差在5%以内，验证了采用该方法建立SDR-BRB有限元模型的正确性和有效性。

3.2　单调加载下约束比限值公式验证

为验证单调加载下推导的SDR-BRB约束比限值计算公式的正确性，设计了4组共计60个有限元模型进行数值验证，如表2所示。4组模型约束比ζ取0.81~2.72，可以覆盖工程中常用约束比限值的取值范围。SDR-BRB弹塑性承载性能分析模型与前述有限元模型基本相同，但在材料本构上有所差异。单调加载采用的材料本构模型为双线性随动强化模型，服从von Mises屈服准则。内核构件选用Q235钢材，屈服强度为235 MPa，外围约束构件选用Q345钢材，屈服强度为345 MPa，所有钢材的泊松比均为0.3，弹性模量均为206 GPa，材料屈服后的切线模量取弹性模量的2%。根据中国建筑抗震设计规范^［20］规定，框架结构在大震作用下的层间位移角至少要达到1/50，因此有限元分析中对SDR-BRB施加的最大内核轴向压应变为ε_max=2%。

图7给出了表2中4组数值算例的轴向荷载-轴向应变曲线。由图7可知，SDR-BRB在单调加载下的破坏模式根据约束比可分为3类。当SDR-BRB约束比较小，在内核构件还未达到全截面屈服时，外围约束构件刚度不足，导致支撑过早发生整体失稳破坏，这是第1类破坏类型，如算例SDR-10-1.13；随着外围约束构件楔率的增大，截面的抗弯刚度增大，即SDR-BRB约束比也增大，此时内核构件能达到全截面屈服但不能满足ε=2%的加载要求，由于内核强化效应导致内核轴向压力增大，外围约束构件产生塑性变形，支撑发生整体失稳破坏，这是第2类破坏类型，如算例SDR-10-1.61；第3类情况则是当SDR-BRB约束比足够大时，内核能达到全截面屈服且满足ε=2%的加载要求，支撑不发生整体失稳破坏，如算例SDR-10-2.15。显然，第3类SDR-BRB为满足延性要求的承载型BRB。

根据单调加载分析结果可得出内核材料应力强化系数η₁=1.75，由此计算出SDR-BRB第1类和第2类约束比限值，图8给出了3个典型算例von Mises应力分布与变形图。

图8（a）中算例SDR-10-1.13约束比小于其第1类约束比限值\left[{\zeta }_{\mathrm{1}}\right]=\mathrm{1.16}，此时SDR-BRB在内核屈服前发生整体失稳破坏，出现与初始缺陷变形相似的单波对称破坏模式；图8（b）算例SDR-10-1.61约束比大于其第1类约束比限值\left[{\zeta }_{\mathrm{1}}\right]=\mathrm{1.12}，但小于第2类约束比限值\left[{\zeta }_{\mathrm{2}}\right]=\mathrm{2.16}，此时内核构件和外围约束构件均已达到屈服，在轴向压应变ε未达到2%时，SDR-BRB发生整体失稳破坏；图8（c）算例SDR-10-2.15约束比大于其第2类约束比限值\left[{\zeta }_{\mathrm{2}}\right]=\mathrm{2.07}，此时内核构件达到全截面屈服，外围约束构件基本保持弹性，SDR-BRB在加载过程中不发生整体失稳破坏。

图9给出了单调加载下有限元计算结果与设计系数ζ/［ζ₂］之间的关系，图中实心圆形表示模型在加载过程中保持整体稳定，而空心圆形对应于发生屈曲失稳的模型。由图可知，随着外围约束构件楔率γ增大，设计系数ζ/［ζ₂］在不断增大，SDR-BRB由屈曲失稳模式逐渐转变为整体稳定模式，当ζ/［ζ₂］≥1.00时，所有模型保持整体稳定不变。可以看出，单调加载下推导的约束比限值公式计算结果与有限元分析结果保持一致，可以准确预测SDR-BRB承载性能的屈曲行为，并且适用于不同计算长度和截面尺寸的SDR-BRB。

3.3　往复加载下约束比限值公式验证

为进一步验证往复加载下推导的SDR-BRB约束比限值计算公式的正确性，同样设计了4组共计60个有限元模型进行数值验证，如表3所示。在SDR-BRB弹塑性滞回性能分析中，根据文献［19］建议的加载制度，有限元最大加载位移取为2.00%l，设定6级位移加载水平：±0.25%l，±0.50%l，±0.75%l，±1.00%l，±1.50%l和±2.00%l，每级位移水平进行一次拉压循环加载。

图10给出了表3中部分数值算例在往复加载下的典型滞回曲线。由图10可知，SDR-BRB依据滞回曲线性能可分为3类模式。其一，构件滞回曲线捏拢现象明显且承载力退化程度严重，此时SDR-BRB耗能能力低下，不能作为耗能构件使用，如图10（a）、（d）和（g）；其二，构件可以完成低阶滞回加载，随后滞回曲线开始捏拢，无法达到既定加载要求的耗能能力，此时SDR-BRB仅具有一定的耗能性能，用于承载型构件没有问题，但不能作为耗能构件使用，如图10（b）、（e）和（h）；其三，构件可以完成既定的加载要求，且滞回曲线饱满光滑，表现出良好的耗能性能，此时SDR-BRB可作为耗能构件使用，如图10（c）、（f）和（i）。显然，第3类SDR-BRB为满足延性要求的耗能型BRB。

根据往复加载分析结果可得出内核材料应力强化系数η₂=2.15，由此计算出SDR-BRB第3类约束比限值，图11给出了3个典型算例von Mises应力分布与变形图。图11（a）算例SDR-15-1.93约束比远小于其第3类约束比限值\left[{\zeta }_{\mathrm{3}}\right]=\mathrm{2.39}，此时外围约束构件跨中区域产生较大塑性变形，导致SDR-BRB过早发生整体失稳破坏；图11（b）算例SDR-15-2.30约束比大于其第2类约束比限值\left[{\zeta }_{\mathrm{2}}\right]=\mathrm{2.02}，但小于第3类约束比限值\left[{\zeta }_{\mathrm{3}}\right]=\mathrm{2.33}，此时SDR-BRB在单调加载过程中不发生整体失稳破坏，而在往复加载过程中，当轴向压应变ε还未达到2%时，支撑发生整体失稳破坏，这与数值分析结果一致；图11（c）算例SDR-15-2.46约束比大于其第3类约束比限值\left[{\zeta }_{\mathrm{3}}\right]=\mathrm{2.31}，此时外围约束构件在加载过程中保持弹性，最大von Mises应力为240 MPa，内核达到全截面屈服且满足ε=2%的加载要求，SDR-BRB不发生整体失稳破坏。

图12给出了往复加载下有限元计算结果与设计系数ζ/［ζ₃］之间的关系，图中实心圆形和空心圆形分别表示模型整体稳定和屈曲失稳。由图可知，设计系数ζ/［ζ₃］随着外围约束构件楔率γ的增大而增大，使得SDR-BRB由屈曲失稳模式逐渐转变为整体稳定模式，当ζ/［ζ₃］≥1.00时，所有模型保持整体稳定不变。可以看出，往复加载下推导的约束比限值公式计算结果与有限元分析结果保持一致，同样可以准确预测SDR-BRB滞回性能的屈曲行为，并且在不同计算长度和截面尺寸的SDR-BRB中仍具有良好的适用性。

4 SDR-BRB整体稳定性设计方法

通过上述理论推导和数值研究，本文提出了基于约束比限值的SDR-BRB整体稳定性设计方法，如图13所示，具体可分为以下6个设计步骤：

（1）确定基本设计参数。根据SDR-BRB目标需求确定基本设计参数，包括构件设计长度l、轴向极限荷载P_u和初始几何缺陷v₀。

（2）确定内核构件尺寸。根据SDR-BRB轴向极限荷载P_u计算内核构件的屈服强度f_y，c和强化系数η，进而确定内核构件的截面面积和尺寸。

（3）确定外围约束构件尺寸。根据内核构件尺寸设计外围约束构件，包括外围约束构件的截面面积和尺寸、钢材屈服强度f_y，e和内外管之间的间隙g。

（4）求解约束比系数。通过式（6）求解外钢套筒的稳定系数K，进而计算SDR-BRB弹性屈曲荷载P_cr和约束比系数\zeta。

（5）求解约束比限值。通过式（22）求解SDR-BRB第1类约束比限值\left[{\zeta }_{\mathrm{1}}\right]，进而计算第2类约束比限值\left[{\zeta }_{\mathrm{2}}\right]和第3类约束比限值\left[{\zeta }_{\mathrm{3}}\right]。

（6）检验约束比要求。如果，则表明SDR-BRB为承载型BRB，可用于提高结构的抗侧刚度和承载能力，但不能用于结构的抗震耗能设计；如果\zeta≥\left[{\zeta }_{\mathrm{3}}\right]，则表明SDR-BRB为耗能型BRB，可同时用于提高结构的承载能力和耗能能力，兼具承载与耗能双重作用；否则，返回至步骤（3）重新设计外围约束构件尺寸。

5 结　论

（1）SDR-BRB一阶弹性屈曲模态为正弦单波形式，考虑正弦分布的整体初始几何缺陷影响后，构建了SDR-BRB侧向变形和弯矩分布函数，其计算结果与数值分析结果吻合良好，两者误差在5%以内。

（2）约束比是影响SDR-BRB整体稳定性能和失效破坏模式的重要因素。当约束比较小，外围约束刚度不足时，SDR-BRB出现跨中屈曲失稳的单波对称破坏模式；当约束比较大时，SDR-BRB既能满足内核全截面屈服又具有一定的塑性变形和强化能力。

（3）SDR-BRB根据外围约束能力和构件耗能性能可分为承载型BRB和耗能型BRB，前者可用于调整结构的抗侧刚度和承载能力，后者可用于结构的抗震耗能设计。建议承载型SDR-BRB和耗能型SDR-BRB约束比限值分别取2.1和2.5。

（4）本文提出的SDR-BRB整体稳定性设计方法准确度高、实用性强且适用性广，采用该方法可准确预测SDR-BRB在单调加载和往复加载下的受力性能，可将其作为SDR-BRB整体稳定设计准则，同时也可为其他类型BRB设计提供参考。

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基金资助

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重庆市技术创新与应用发展专项重点项目(CSTB2022TIAD-KPX0205)

中国中铁重大课题（2022-重大-11）

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