基于改进VME算法和mRVM的滚动轴承小样本复合故障诊断

Small sample rolling bearing compound fault diagnosis based on improved VME and mRVM

摘要

针对传统信号分离算法难以高效、准确分析具体故障的问题，提出了一种结合变分模态分解（VMD）、拉普拉斯能量指标（LE）和变分模态提取（VME）的信号提取方法，并采用多分类相关向量机（mRVM）及DS证据理论进行智能故障诊断，该方法专注于小样本数据情境。首先，采用VMD-LE-VME方法从故障信号中提取有效故障信息，并获得多域特征。其次，将多域特征输入mRVM进行故障识别。最后，通过DS证据理论融合分类结果，得到最终的诊断结果。实验结果验证了本文方法在处理小样本数据时的有效性和优越性。

Abstract

To address the problem that traditional signal separation algorithms cannot efficiently and accurately analyze specific faults, a signal extraction method combining Variational Mode Decomposition (VMD), Laplacian Energy (LE) and Variational Mode Extraction (VME) was proposed, and multi-class Relevance Vector Machine (mRVM) together with Dempster-Shafer (DS) evidence theory was adopted for intelligent fault diagnosis. This method is dedicated to the small-sample data scenario. First, the VMD-LE-VME method is used to extract effective fault information from fault signals and obtain multi-domain features. Second, the multi-domain features are input into the mRVM for fault identification. Finally, the classification results are fused by means of DS evidence theory to derive the final diagnosis results. Experimental results verify the effectiveness and superiority of the proposed method in handling small-sample data.

Graphical abstract

关键词

故障诊断 / 变分模态分解 / 拉普拉斯能量指标 / 变分模态提取 / 多分类相关向量机 / DS证据理论

Key words

fault diagnosis / variational mode decomposition / Laplacian energy / variational mode extraction / multiclass relevance vector machine / Dempster-Shafer evidence theory

0 引 言

滚动轴承作为大型自动化机械设备的重要部件之一，广泛应用于多种场景。当滚动轴承应用于航空发动机时，在长时间、高强度的使用过程中，其不同部位容易发生不同程度的损坏并相互影响，进而引发复合故障。一旦发生故障，将导致整个传动系统瘫痪，造成严重的损失和事故^［1］。为了解决这一问题，许多研究者对滚动轴承的故障信号进行时频域分析和故障诊断。然而，现有的滚动轴承复合故障研究与单一故障研究存在较大差异，复合故障的特征提取远比单一故障困难。同时，为了提高故障诊断效率，通常需要采用小样本数据，但这会导致故障特征代表性不足、诊断模型过拟合、单一信息源得到的诊断结果可靠性欠佳等问题。因此，建立适用于小样本数据的滚动轴承复合故障诊断模型具有重要意义^［2］。

为了解决故障特征无法充分表征原始故障信号的问题，需要对采集到的复合故障信号进行预处理，目的是使故障信号中的干扰信息与实际轴承信号分离，得到有效的故障信息。常用的信号预处理方法包括EMD^［3］、LMD^［4］、SVD^［5］等。崔玲丽等^［6］通过EMD对复合故障进行分解，得到基本模式分量集合，再结合独立分量分析方法对选取的模式分量进行处理，实现了复合故障特征的分离。杨斌等^［7］将ELMD与MCKD相结合，实现了轴承复合故障的分解与特征提取。然而，上述方法存在模态混叠、对噪声敏感等问题。为了从故障信号中提取更多的有效信息，本文采用VMD^［8］和LE^［9］对故障信号进行预处理，再通过VME^［10］提取处理后信号的中心频段。

目前，随着机器学习的发展，传统信号处理方法与机器学习方法的结合已应用于故障诊断领域，故障诊断也被视为典型的模式识别问题。常用的机器学习方法有K近邻法^［11］、SVM^［12］、CNN^［13］等。这些方法可以准确识别滚动轴承的故障类型，但当输入为小样本数据时，诊断模型存在过拟合风险。为避免出现该问题，并使故障诊断结果在处理小样本数据时具有较高的准确率和稳定性，本文采用多分类相关向量机（Multiclass relevance vector machine，mRVM）^［14］。Gao等^［15］提出了基于贝叶斯优化算法的多核相关向量机（Bayesian optimization algorithm-based multi-kernel relevance vector machine，BOA-MKRVM），并将其应用于轴承可靠性评估。Dong等^［16］将IPSO-VMD与RVM相结合用于离心泵故障识别，实验结果显示识别准确率达到97.87%。由此可见，mRVM在故障诊断领域具有广泛应用。

当不同种类的特征输入mRVM时，会得到每一类特征对应的分类结果。为了提高诊断结果的可靠性，本文采用DS证据理论^［17］对不同特征输入对应的准确率进行决策级融合。

通过上述分析，本文提出的故障诊断方法旨在解决复合故障信号有效故障信息难以提取、小样本故障数据诊断效果不佳等问题。首先，在提取复合故障信息时，提出基于VMD、LE和VME的提取方法，该方法可以提取包含大量故障信息的频段。其次，求出频段的多域特征，这些特征能从多个方面表征原始信号，并且不受测试设备速度和负载的影响。最后，将多域特征按类别输入mRVM进行故障分类，通过DS证据理论对得到的分类结果进行融合，得到最终诊断结果。本文方法在复合故障信息提取、信息融合、小样本数据处理等方面具有显著的创新性，相比于目前主流的“端对端”故障诊断方法，能够更高效、准确地实现滚动轴承复合故障诊断。

1 理论知识

1.1　变分模态分解（VMD）

VMD算法是一种信号分解技术，其核心思想是将原始信号分解为不同频率成分的本征模态函数（Intrinsic mode function，IMF），每个IMF对应信号中的一个特定频率分量。该算法可降低高复杂度时间序列的非平稳性，得到不同频率尺度的平稳子序列。其原理为通过频域迭代法将给定信号自适应地匹配到各模态的最优中心频率。VMD算法的目标是最小化以下目标函数：

\underset{c_k\left(t\right),{\omega }_k}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}} {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^N}{\left(x\left(t\right)-{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^N}{c}_k\left(t\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\omega }_{k}t}\right)}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+

\mu {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^N}{\left({\omega }_k-{\omega }_{k-\mathrm{1}}\right)}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}（1）

式中：x(t)为原始信号；N为IMF分量的数量；c_k(t)为IMF的系数；{\omega }_k为频率；\mu为正则化参数。该目标函数的第1项用于衡量分解后的IMF与原始信号之间的差异，第2项通过限制相邻IMF中心频率的变化，保证信号分解的平滑性。通过迭代求解该最小化问题，可得分解后的IMF及对应的频率，从而实现信号分解。

1.2　拉普拉斯能量指标（LE）

LE是一种用于图分割和特征提取的指标，其计算基于图信号拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量。通过分析拉普拉斯矩阵的特征值，可得图信号的结构信息，进而实现图信号的特征选择。

在计算LE指标时，首先设图信号的邻接矩阵为\mathit{A}，度对角矩阵为\mathit{D}。其中\mathit{D}表示节点的度数，即与该节点相连的边的数量。计算图信号的拉普拉斯矩阵\mathit{L}，计算公式为：

\mathit{L}=\mathit{D}-\mathit{A}（2）

其次，对\mathit{L}进行特征值分解，得到对应的特征值{\lambda }_{\mathrm{1}}，{\lambda }_{\mathrm{2}}，…，{\lambda }_n和特征向量{\mathit{V}}_{\mathrm{1}}，{\mathit{V}}_{\mathrm{2}}，…，{\mathit{V}}_n。最后将所得特征值相加便得到LE指标，即：

\mathrm{L}\mathrm{E}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n} {\lambda }_i（3）

1.3　变分模态提取（VME）

VME是由Nazari等^［10］提出的，该算法可以自适应地提取信号中的频段，已应用于旋转机械故障诊断领域。在该算法中，原始信号f\left(t\right)被分解为两部分，具体表达式为：

f\left(t\right)=u_{\mathrm{d}}\left(t\right)+f_{\mathrm{r}}\left(t\right)（4）

式中：f\left(t\right)为原始信号；u_{\mathrm{d}}\left(t\right)为所需的主模态分量；f_{\mathrm{r}}\left(t\right)为残差信号。

为了准确提取所需的模态分量u_{\mathrm{d}}\left(t\right)，需确保其紧凑围绕中心频率分布，可以通过最小化约束找到所需的模态分量。

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{}_{u_{\mathrm{d}},{\omega }_{\mathrm{d}},f_{\mathrm{r}}}\left\{\alpha ‖{\partial }_t\left[\left(\delta (t)+\frac{\mathrm{j}}{\mathrm{\pi }t}\right)u_d(t)\right]·\right.

{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}{\omega }_{\mathrm{d}}t}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+\left.{‖\beta (t)·f_r(t)‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\right\}（5）

式中：\alpha为平衡因子；\beta (t)为滤波器的脉冲响应，由式（6）所示的频率响应方程表示。

\beta (t)=\frac{\mathrm{1}}{\alpha (\omega -{\omega }_{\mathrm{d}}{)}^{\mathrm{2}}}（6）

采用增广拉格朗日函数解决上述最小化约束问题，其表达式为：

L\left(u_{\mathrm{d}},{\omega }_{\mathrm{d}},f_{\mathrm{r}},\lambda \right)≔\alpha {‖{\partial }_t\left[\left(\delta \left(t\right)+\frac{\mathrm{j}}{\mathrm{\pi }t}\right)·u_{\mathrm{d}}\left(t\right)\right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}{\omega }_{\mathrm{d}}t}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+

{‖\beta \left(t\right)·f_r\left(t\right)‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{‖f\left(t\right)-\left(u_{\mathrm{d}}\left(t\right)+f_{\mathrm{r}}\left(t\right)\right)‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+

〈\lambda \left(t\right),f\left(t\right)-\left(u_{\mathrm{d}}\left(t\right)+f_{\mathrm{r}}\left(t\right)\right)〉（7）

式中：\lambda为拉格朗日乘子；{\partial }_t为t的一阶微分算子；\delta \left(t\right)为狄拉克冲激函数；\mathrm{j}为虚数单位。

采用交替方向乘子法（Alternating direction method of multipliers，ADMM），通过一系列迭代优化解决最小化约束问题。经过n次迭代更新后，{\widehat{u}}_{\mathrm{d}}^{n+\mathrm{1}}(\omega )、{\omega }_{\mathrm{d}}^{n+\mathrm{1}}和{\widehat{\lambda }}^{n+\mathrm{1}}(\omega )的表达式分别为：

{\widehat{u}}_{\mathrm{d}}^{n+\mathrm{1}}(\omega )=\frac{\widehat{f}(\omega )+{\alpha }^{\mathrm{2}}(\omega -{\omega }_{\mathrm{d}}^n{)}^{\mathrm{4}}{\widehat{u}}_{\mathrm{d}}^n(\omega )+\frac{\widehat{\lambda }(\omega )}{\mathrm{2}}}{[\mathrm{1}+{\alpha }^{\mathrm{2}}(\omega -{\omega }_{\mathrm{d}}^n{)}^{\mathrm{4}}][\mathrm{1}+\mathrm{2}\alpha (\omega -{\omega }_{\mathrm{d}}^n{)}^{\mathrm{2}}]}（8）

{\omega }_{\mathrm{d}}^{n+\mathrm{1}}=\frac{{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\omega \left|{\widehat{u}}_{\mathrm{d}}^{n+\mathrm{1}}(\omega ){\mid }^{\mathrm{2}}\right.\mathrm{d}\omega }{{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\left|{\widehat{u}}_{\mathrm{d}}^{n+\mathrm{1}}(\omega ){\mid }^{\mathrm{2}}\right.\mathrm{d}\omega }（9）

{\widehat{\lambda }}^{n+\mathrm{1}}(\omega )={\widehat{\lambda }}^n+\tau [\widehat{f}(\omega )-(({\widehat{u}}_{\mathrm{d}}(\omega )+{\widehat{f}}_{\mathrm{r}}^n(\omega ))（10）

式中：\tau为\lambda的更新参数。

关于VME的更多细节参考文献［18］。

1.4　多分类相关向量机（mRVM）

RVM是由Tipping^［19］提出的一种具有高稀疏度的贝叶斯监督学习方法，作为支持向量机的一种变形，用于解决分类和回归问题。mRVM是由Psorakid等^［14］提出的一种层次贝叶斯模型，其通过引入辅助变量将RVM扩展到多分类场景，并使用多项概率似然提供输出成员的概率。其基本原理如下：

假设有N个训练样本、M个类别，mRVM的模型表达式为：

y\left(x\right)={\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^M} {\mathit{w}}_m\mathit{\varphi }\left(x\right)（11）

式中：x为输入样本；{\mathit{w}}_m为与类别M相关的权重向量；\mathit{\varphi }(x)为输入样本的特征向量。

mRVM的训练过程通过最大化后验概率估计相关向量的权重及噪声方差。后验概率的表达式为：

p\left(w,\beta |t\right)=\frac{p\left(t|w,\beta \right)p\left(w|\beta \right)}{p\left(t|\beta \right)}（12）

式中：t为训练标签；\beta为噪声方差。

最大化对数似然函数\mathrm{l}\mathrm{n}p(t|w,\beta )用于估计权重{\mathit{w}}_m，最大化对数边缘似然函数\mathrm{l}\mathrm{n}p(t|\beta )用于估计\beta的最大后验。对于新的输入样本x，预测其所属类别时，可通过计算其在每个类别相关向量{\mathit{w}}_m上的投影选择投影距离最近的类别作为预测结果。

mRVM在故障诊断中具有稀疏性和高效性、支持不确定性估计、可避免过拟合、能够处理非线性关系、适用于多分类场景，以及在小样本数据上仍有高诊断精度等特点。因此，在本文提出的复合故障诊断方法中，选择mRVM作为分类器。

2 本文故障诊断方法

针对滚动轴承复合故障信号复杂、有效故障信息难以提取，以及小样本故障数据无法得到较高准确率的问题，本文首先采用VMD对复合故障信号进行分解，并将其转换为图信号，进而计算各图信号的LE指标。其次，选取最小LE指标对应的IMF，采用VME提取其中心频率附近的信号，得到包含更多故障信息的频段。再次，求出该频段的多域特征——时域特征、频域特征及熵值特征，将所求多域特征分为两类输入mRVM，得到分类准确率。最后，制定DS证据理论的融合规则，对两类特征的准确率进行信息融合，得到最终准确率，从而完成滚动轴承的故障诊断。本文方法流程图如图1所示。

2.1　滚动轴承复合故障提取

为了准确提取滚动轴承复合故障信号中的有效信息，本文提出结合VMD-LE与VME的信号处理方法，其思路框图如图2所示。首先，采用VMD将复合故障信号分解为4层不同频率的IMF，VMD分解时的参数设置如下：带宽限制为2 000；噪声容忍度为0；分解模态数为4；容忍度参数为1×10^-7。其次，通过图信号处理（Graph signal processing，GSP）将IMF转化为图信号，计算各图信号的LE指标。由于LE指标用于评估信号的平滑度，其值越小表示信号平滑度越高、空间连续性越强，因此选择最小LE指标的IMF。最后，采用VME对最优IMF中心频率附近的频段进行提取。为了确保VME算法有效收敛，设置更新步长\tau=0、收敛容差\epsilon=\mathrm{1}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{6}}、惩罚参数\alpha=1 000^［20］。

2.2　多域特征提取

复合故障信号经过上述方法处理后，虽然能得到包含有效故障信息的频段，但不同故障类型的信号仍然存在一定的关联性。若将提取的信号频段直接输入mRVM模型进行分类，则无法得到有效的分类结果。而信号的一些特征可以提供与故障相关的多种信息，有助于后续mRVM模型更好地理解信号的性质。因此，本文求出了故障信号的时域特征、频域特征及熵值特征，具体特征如表1所示。其中，熵值特征反映了信号的结构特性和统计信息，时域特征反映了信号在时间维度上的动态特性，频域特征反映了信号的能量分布和频率分布。不同类型特征反映的信息不同，为了得到更准确的诊断结果，将上述特征分为两类：时域频域特征和熵值特征，在后续实验中对这两类特征分别进行处理。

2.3　mRVM参数设置

在使用mRVM进行故障诊断时，需要设置如下参数：收敛准则采用最小化对数边缘似然；标准化参数选择不对训练数据进行标准化处理；输入标志使用自定义的训练数据和标签训练模型；最大迭代次数设为训练样本数目；收敛准则为达到最大迭代次数实现收敛。

2.4　DS证据理论融合规则的确定

通过mRVM得到分类准确率后，使用DS证据理论对其进行融合，将两类特征的分类准确率融合为最终准确率。这样可得到更准确、更综合的信息，使分类结果更可靠。本文制定的DS证据理论融合规则的建立步骤如图3所示。

3 实验验证及结果分析

3.1　实验数据集介绍

实验所用数据均来自航空发动机转子-滚动轴承试验台，实验装置由可调电机、主轴、转子盘、齿轮箱、滚动轴承和集成电子控制系统组成。实验中，将加速度传感器放置于水平和垂直位置，用于测量加速度振动信号，同时在电机一侧安装传感器，用于测量转动速度，如图4所示。该实验装置在较复杂的环境下可以很好地模拟滚动轴承的复合故障。实验涉及的滚动轴承复合故障共有4类，包括外圈和内圈复合故障、外圈和滚动体复合故障、内圈和滚动体复合故障及外圈内圈和滚动体复合故障，如图5所示。

在本次实验中，使用采样频率为10 kHz、转速为1 500 r/min的复合故障数据验证所提方法的有效性。对故障数据进行选择，从每种故障类型的振动数据中随机选取100个样本，4种故障类型共400个样本；每个样本包含1 024个数据点，4种故障类型共409 600个数据点。

3.2　VMD-LE-VME方法效果验证

本书以滚动轴承内圈和滚动体复合故障信号为例，该信号包含204 800个数据点。采用VMD对故障信号进行分解，分解层数为4层，得到的IMF分量如图6所示。通过图信号处理将IMF转化为图信号，并求出对应的LE指标，见表2。

由表2可以看出，第3层图信号的LE指标最小，结合前文分析，选择IMF3作为最优局部振动模态。观察IMF3的频谱图（见图7），可知最高谱峰对应的频率为2 906.25 Hz。在采用VME方法提取IMF3的主模态分量时，将其设置为初始中心频率，提取结果如图8所示。由图8可见，经过VME方法提取的信号可以充分表征原始信号，包含有效的故障信息。

3.3　VMD-LE-VME在故障诊断中的效果验证

本节验证了VMD-LE-VME方法与mRVM、DS证据理论相结合在滚动轴承复合故障诊断中的优越性，并与其他几种常用的信号分解算法进行对比。对不同的分解算法进行标注，方便后续实验。方案A：本文提出的VMD-LE-VME方法；方案B：EMD；方案C：LMD；方案D：SVD；方案E：VMD；方案F：不进行信号处理。按上述方案对故障信号进行处理，求出上文提及的时域频域特征及熵值特征。400个样本可以求出14×400个时域频域特征及5×400个熵值特征。将两组特征数值按照训练集与测试集8∶2的比例分割（数据无重叠），并分别输入mRVM中。每种方案进行5次实验，取平均准确率作为最终结果。在不同的特征输入下，6种对比实验方案的故障诊断结果如表3所示。

采用前文制定的融合规则，基于DS证据理论对求出的准确率进行融合，计算综合置信度。该综合置信度便是mRVM故障诊断的最终准确率，具体结果如表4所示。

由上述结果可以看出，方案C采用的LMD方法和方案E采用的VMD方法在处理复杂复合故障信号时，无法准确确定适当的分解模态数目，导致分解的信号中包含无效信息。相比之下，方案B采用的EMD方法和方案D采用的SVD方法，在准确率方面虽有所提升，但同样存在一定程度的信息损失。本文所提方案A的性能优于其他5种方法，经DS证据理论融合后，诊断准确率达到99%，与未进行信号分解处理的方案F相比，诊断准确率提高了18.12%。上述实验结果充分证明，本文提出的VMD-LE-VME方法在提取复合故障信号的故障信息时具有优越性。

为了更直观了展示本文方法的诊断结果，对表4中方案A的测试样本经过mRVM故障诊断的结果进行可视化，根据前文5次实验的分类结果创建混淆矩阵，如图9所示。其中，当输入时域频域特征时，5次诊断准确率分别为100%、100%、95%、100%、95%；当输入熵值特征时，5次诊断的准确率皆为100%。

3.4　mRVM模型对小样本复合故障数据适用性分析

为了验证mRVM在小样本故障数据下仍具有良好的适用性，更改训练集与测试集的比例，将比例设置为6∶4、5∶5、4∶6、3∶7和2∶8。采用前文提出的信号提取方法处理故障信号，将求出的多域特征数据按上述比例分别输入mRVM中，得到的诊断准确率如表5所示。

由表5可以看出，更改训练集与测试集比例后，输入时域频域特征时诊断准确率维持在86.25%以上，输入熵值特征时间诊断准确率保持在90%以上。并且，随着训练集比例的减小，诊断准确率没有发生剧烈的变化，而是保持在一定范围内。这说明mRVM对小样本数据具有良好的适用性，也进一步证明了前文提出的VMD-LE-VME方法在提取故障信息方面的优越性。

3.5　mRVM模型故障诊断性能分析

本节验证了mRVM在故障诊断中的性能，将其与SVM、LSSVM、ELM、RBF、CNN进行比较。实验中，训练集与测试集的比例设为8∶2，使用与前文相同的数据，并采用VMD-LE-VME方法对信号进行处理，求出时域频域特征和熵值特征。每种模型重复进行5次实验，以5次实验的平均值作为评价指标，实验结果如表6所示。

基于DS证据理论对求出的两组特征对应的准确率进行信息融合，融合后的不同诊断模型的最终准确率如表7所示。

由上述结果可以看出，本文使用的mRVM模型在不同的机器学习和神经网络模型中诊断准确率最高。在这些模型中，RBF的诊断效果最差，其在处理小样本数据时会出现过拟合现象，难以准确分类复合故障。CNN在分解算法没有提取主要特征信息的情况下，不能很好地分析故障特征，诊断准确率与mRVM相差14.6%。与传统机器学习方法SVM相比，LSSVM和ELM的诊断准确率有所提高，但仍比mRVM低12.75%和10.37%。由此可见，mRVM在处理小样本复合故障数据时具有良好的性能。

4 结束语

本文提出了一种基于VMD-LE-VME、mRVM和DS证据理论的小样本滚动轴承复合故障诊断方法。首先，对复合故障信号进行VMD-LE-VME处理，提取有效的故障信息并求出其多域特征。其次，将多域特征分为两类，分别输入mRVM进行故障诊断，结合DS证据理论得到最终的诊断结果。最后，在航空发动机转子-滚动轴承试验台上进行实验，验证本文方法的有效性，并与其他经典方法相比。实验结果表明，本文方法在提取复合故障信号的故障信息方面具有优越性，进行复合故障诊断时具有较高的检测精度，并且对于小样本数据具有良好的适用性。

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基金资助

国家自然科学基金项目(51605309)