融合遗传算法和递推最小二乘法的半挂车稳定性参数估计

Semi⁃trailer stability parameter estimation based on genetic algorithm and recursive least squares method

摘要

采用遗传算法与递推最小二乘法相结合的方法估计半挂车的稳定性参数，从而解决轮胎侧偏刚度、车辆侧倾刚度、车身侧倾阻尼等参数难以通过传感器直接测量的问题。该方法有效弥补了传统离线辨识方法在工况适应能力方面的不足。相较于一般商用车，半挂车的结构更加复杂且使用工况多样，因此在确保车辆安全性和品质的过程中，必须更加关注半挂车的稳定性控制。实现这一目标的前提是建立高精度、高置信度的半挂车动力学理论模型。在此基础上，理论模型可作为跟随目标，以实车或商用软件车辆模型与理论模型的输出状态差值作为控制量进行调节。本文通过Trucksim与Simulink的联合仿真，在特定输入和工况条件下，对比Trucksim软件模型与理论模型的输出重合情况。结果表明，基于本文方法识别的侧倾刚度等参数所建立的理论模型，在工况适应性和精度方面均优于传统离线辨识方法，估计误差降低约6%。该成果为后续基于该理论模型开展的半挂车稳定性控制研究奠定了基础。

Abstract

A combination of genetic algorithm and recursive least squares method was used to estimate the stability parameters of a semi-trailer， solving the problem that parameters such as tire cornering stiffness， vehicle roll stiffness and body roll damping are difficult to directly measure through sensors. In terms of adaptability to working conditions， the shortcomings of traditional offline identification methods are effectively made up for via this method. Compared with general commercial vehicles， semi-trailers have a more complex structure and diversified operating conditions. Therefore， in the process of ensuring vehicle safety and quality， greater attention must be paid to the stability control of semi-trailers. The prerequisite for achieving this goal is to establish a high-precision and high-confidence theoretical model of semi-trailer dynamics. On this basis，the theoretical model can be used as a following target， and the difference between the output state of the actual vehicle or commercial software vehicle model and the output state of the theoretical model is used as the control variable for adjustment. Joint simulation of Trucksim and Simulink is used in this paper to compare the output overlap between the Trucksim software model and the theoretical model under specific input and working conditions. Results show that the theoretical model established based on the parameters such as roll stiffness indentifled by the method proposed in this paper is superior to traditional offline identification method in terms of operating condition adaptability and accuracy， the estimation error is reduced by about 6%. This result lays the foundation for subsequent semi-traller stability control research based on this theoretical model.

Graphical abstract

关键词

车辆工程 / 半挂车稳定性 / 参数估计 / 遗传算法 / 递推最小二乘法

Key words

vehicle engineering / semi-trailer stability / parameter estimation / genetic algorithm / recursive least squares method

0 引 言

半挂车是由牵引车与挂车通过鞍座铰接组成的车辆系统。由于半挂车载重更大，且多运营在高速长途运输工况下，一旦发生事故，将造成更为严重的经济损失和人员伤亡^［1］。因此，有必要对半挂车的稳定性控制展开详细研究。建立准确可信的半挂车动力学模型是开展稳定性控制的前提。根据已有研究，常见半挂车动力学模型有考虑牵引车和半挂车侧向运动、横摆运动的四自由度模型，以及在此基础上增加两车侧倾方向的六自由度模型等^［2］。建立准确的动力学模型需以精确的参数为支撑。部分参数可通过用台架实验或传感器测出，而轮胎和悬架等部件或系统的侧偏、侧倾参数则无法利用常规手段获取。

1989年，美国Bolhasani等^［3］以前轮转角为输入，以车辆侧倾角、横摆角速度和侧向加速度为输出，估计了单体车三自由度质心位置、侧偏刚度等参数，该研究被业界认为是利用算法估计车辆参数的先河；2004年，Bolhasani等^［4］又提出一种估计三自由度车辆稳定性参数的无导数优化方法，并引入遗传算法对估计结果与实际结果进行误差最小化优化；2008年，法国Baffet等^［5］提出利用扩展卡尔曼滤波估计轮胎侧偏角和侧偏刚度，通过对比估计值与实验数据，验证了该方法辨识结果的准确性。2014年前后，吉林大学宗长富等^［6］基于Trucksim仿真数据，采用遗传算法离线估计了单体商用车前后轴侧偏刚度、车辆侧倾刚度等参数。2019年，浙江大学王杰^［7］利用扩展卡尔曼滤波辨识单体车前后轴轮胎侧偏刚度，并在NI平台上对算法进行了实时性验证^［8］。

当前车辆稳定性参数辨识方法主要包括两大类：一类是基于智能优化算法的离线辨识方法；另一类是基于扩展卡尔曼滤波等技术的在线辨识方法。离线辨识方法可以实现全局最优，可将估计结果绘制成Map，实际应用时只需查表即可，但存在辨识结果工况适应性差、实时性差等不足；在线辨识方法常用于估计轮胎侧偏刚度，较少用于估计车身侧倾刚度和阻尼系数，且需已知观测矩阵^［9］。为此，本文提出将遗传算法（Genetic algorithm，GA）与带遗忘因子的递推最小二乘法（Recursive least square，RLS）融合进行车辆稳定性参数估计，以解决离线辨识结果适应性差的问题。随后，基于Simulink建立半挂车动力学理论模型；在Trucksim中搭建半挂车实际车辆模型，以40 km/h正弦输入作为初始辨识场景，以30 km/h、70 km/h、角阶跃输入、正弦输入作为验证工况。通过对比融合方法与单一遗传算法的估计结果，验证所提方法的有效性。本文研究对于提升半挂车动力学建模精度、准确获取车辆稳定性参数有参考价值。

1 半挂车动力学建模

1.1　半挂车四自由度动力学建模

研究对象为牵引车两轴，挂车等效简化为单轴结构，如图1所示。为降低模型复杂程度，忽略部分次要因素，作如下假设：①不考虑转向系统的影响，认为方向盘转角和前轮转角呈线性关系，以前轮转角\delta和纵向车速u作为模型输入；②牵引车和挂车的纵向车速相同且保持恒定；③车辆正常行驶时铰接角较小，可忽略不计；④轮胎处于线性侧偏区间内；⑤不考虑路面坡度和附着条件。

半挂车横摆运动和侧向运动的示意图如图2所示，其中，m_{\mathrm{1}}为牵引车质量；m_{\mathrm{2}}为挂车质量；d_{\mathrm{1}}为牵引车质心到前轴的距离；d_{\mathrm{2}}为牵引车质心到后轴的距离；d_{\mathrm{3}}为挂车质心到铰接点的距离；d_{\mathrm{4}}为挂车质心到挂车轴的距离；d_{\mathrm{5}}为牵引车质心到铰接点的距离；{\beta }_{\mathrm{1}}为牵引车质心侧偏角；{\beta }_{\mathrm{2}}为挂车质心侧偏角；\delta为前轮转角；\gamma为铰接角（因数值较小可忽略不计）；{\psi }_{\mathrm{1}}为牵引车横摆角；{\psi }_{\mathrm{2}}为挂车横摆角。

牵引车的侧向运动学方程为：

m_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{1}}({\dot{\psi }}_{\mathrm{1}}+{\dot{\beta }}_{\mathrm{1}})=k_{\mathrm{1}}{\alpha }_{\mathrm{1}}+k_{\mathrm{2}}{\alpha }_{\mathrm{2}}-F（1）

挂车的侧向运动学方程为：

m_{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{2}}({\dot{\psi }}_{\mathrm{2}}+{\dot{\beta }}_{\mathrm{2}})=k_{\mathrm{3}}{\alpha }_{\mathrm{3}}+F（2）

式中：k_{\mathrm{1}}、k_{\mathrm{2}}、k_{\mathrm{3}}分别为牵引车前轴轮胎等效侧偏刚度、牵引车后轴轮胎等效侧偏刚度和挂车轴轮胎等效侧偏刚度；{\alpha }_{\mathrm{1}}、{\alpha }_{\mathrm{2}}、{\alpha }_{\mathrm{3}}为三轴轮胎侧偏角；F为铰接点作用力；{\dot{\psi }}_{\mathrm{1}}为牵引车横摆角速度；{\dot{\psi }}_{\mathrm{2}}为挂车横摆角速度；{\dot{\beta }}_{\mathrm{1}}为牵引车质心侧偏角速度；{\dot{\beta }}_{\mathrm{2}}为挂车质心侧偏角速度；u_{\mathrm{1}}、u_{\mathrm{2}}分别为牵引车、挂车车速，两者相同且恒定。

牵引车的横摆运动学方程为：

d_{\mathrm{1}}{k}_{\mathrm{1}}{\alpha }_{\mathrm{1}}-d_{\mathrm{2}}{k}_{\mathrm{2}}{\alpha }_{\mathrm{2}}+d_{\mathrm{5}}F=I_{\mathrm{1}zz}{\ddot{\psi }}_{\mathrm{1}}（3）

挂车的横摆运动学方程为：

d_{\mathrm{3}}F-d_{\mathrm{4}}{k}_{\mathrm{3}}{\alpha }_{\mathrm{3}}=I_{\mathrm{2}zz}{\ddot{\psi }}_{\mathrm{2}}（4）

式中：I_{\mathrm{1}zz}为牵引车绕z轴的转动惯量；I_{\mathrm{2}zz}为挂车绕z轴的转动惯量；{\ddot{\psi }}_{\mathrm{1}}为牵引车横摆角加速度；{\ddot{\psi }}_{\mathrm{2}}为挂车横摆角加速度。

轮胎采用线性轮胎模型，三轴轮胎侧偏角{\alpha }_{\mathrm{1}}、{\alpha }_{\mathrm{2}}、{\alpha }_{\mathrm{3}}的计算公式分别为：

{\alpha }_{\mathrm{1}}=-\left(\delta -\frac{v_{y\mathrm{1}}+d_{\mathrm{1}}{\dot{\psi }}_{\mathrm{1}}}{u}\right)=-\delta +{\beta }_{\mathrm{1}}+\frac{d_{\mathrm{1}}{\dot{\psi }}_{\mathrm{1}}}{u}（5）

{\alpha }_{\mathrm{2}}=\frac{v_{y\mathrm{1}}-d_{\mathrm{2}}{\dot{\psi }}_{\mathrm{1}}}{u}={\beta }_{\mathrm{1}}-\frac{d_{\mathrm{2}}{\dot{\psi }}_{\mathrm{1}}}{u}（6）

{\alpha }_{\mathrm{3}}={\beta }_{\mathrm{1}}-\frac{(d_{\mathrm{3}}+d_{\mathrm{4}}+d_{\mathrm{5}}){\dot{\psi }}_{\mathrm{1}}}{u}-\gamma -\frac{(d_{\mathrm{3}}+d_{\mathrm{4}})\dot{\gamma }}{u}（7）

1.2　半挂车六自由度动力学建模

在上述四自由度模型基础上，增加牵引车侧倾和挂车侧倾两个方向的自由度。半挂车侧倾运动示意图如图3所示。

牵引车的侧倾运动学方程为：

\begin{array}{l}{\ddot{\varphi }}_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}xx}+m_{\mathrm{1}\mathrm{s}}{h}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\ddot{\varphi }}_{\mathrm{1}}-{\ddot{\psi }}_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}xz}=m_{\mathrm{1}\mathrm{s}}{h}_{\mathrm{1}}g{\varphi }_{\mathrm{1}}+\\ K_{\mathrm{12}}({\varphi }_{\mathrm{2}}-{\varphi }_{\mathrm{1}})-k_{\mathrm{r}\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}-c_{\mathrm{1}}{\dot{\varphi }}_{\mathrm{1}}+\\ m_{\mathrm{1}\mathrm{s}}{h}_{\mathrm{1}}(u{\dot{\beta }}_{\mathrm{1}}+u{\dot{\psi }}_{\mathrm{1}}+h_{\mathrm{1}}{\ddot{\varphi }}_{\mathrm{1}})-F{h}_{\mathrm{c}}\end{array}（8）

挂车的侧倾运动学方程为：

\begin{array}{l}{\ddot{\varphi }}_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}xx}+m_{\mathrm{2}\mathrm{s}}{h}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{\ddot{\varphi }}_{\mathrm{2}}-{\ddot{\psi }}_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}xz}=m_{\mathrm{2}\mathrm{s}}{h}_{\mathrm{2}}g{\varphi }_{\mathrm{2}}-\\ K_{\mathrm{12}}({\varphi }_{\mathrm{2}}-{\varphi }_{\mathrm{1}})-k_{\mathrm{r}\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{2}}-c_{\mathrm{2}}{\dot{\varphi }}_{\mathrm{2}}+\\ m_{\mathrm{2}\mathrm{s}}{h}_{\mathrm{2}}(u{\dot{\beta }}_{\mathrm{2}}+u{\dot{\psi }}_{\mathrm{2}}-h_{\mathrm{2}}{\ddot{\varphi }}_{\mathrm{2}})-F{h}_{\mathrm{c}}\end{array}（9）

式中：I_{\mathrm{1}xx}为牵引车绕x轴的转动惯量；I_{\mathrm{2}xx}为挂车绕x轴的转动惯量；I_{\mathrm{1}xz}为牵引车簧载质量绕x轴和z轴的惯量积；I_{\mathrm{2}xz}为挂车簧载质量绕x轴和z轴的惯量积；{\varphi }_{\mathrm{1}}为牵引车侧倾角；{\varphi }_{\mathrm{2}}为挂车侧倾角；m_{\mathrm{1}\mathrm{s}}为牵引车簧载质量；m_{\mathrm{2}\mathrm{s}}为挂车簧载质量；k_{\mathrm{r}\mathrm{1}}为牵引车等效侧倾刚度；k_{\mathrm{r}\mathrm{2}}为挂车等效侧倾刚度；c_{\mathrm{1}}为牵引车侧倾阻尼；c_{\mathrm{2}}为挂车侧倾阻尼；K_{\mathrm{12}}为铰接点侧倾刚度；h_{\mathrm{1}}为牵引车质心高度；h_{\mathrm{2}}为挂车质心高度；h_{\mathrm{c}}为铰接点距地面距离。

由于铰接点的存在，牵引车与挂车之间的运动满足如下约束条件：

{\beta }_{\mathrm{1}}={\beta }_{\mathrm{2}}+{\psi }_{\mathrm{2}}-{\psi }_{\mathrm{1}}+\frac{h_{\mathrm{c}}{\dot{\varphi }}_{\mathrm{1}}-h_{\mathrm{c}}{\dot{\varphi }}_{\mathrm{2}}+d_{\mathrm{5}}{\dot{\psi }}_{\mathrm{1}}+d_{\mathrm{3}}{\dot{\psi }}_{\mathrm{2}}}{u}（10）

为提升模型可信性，方便后续验证环节对比自建理论模型与商用软件中的车辆模型，本文建模所用车辆结构参数来源于Truckism库模型，具体参数如表1所示。

将半挂车六自由度动力学方程整理为状态空间表达式，如式（11）所示。选取牵引车质心侧偏角{\beta }_{\mathrm{1}}、横摆角速度{\dot{\psi }}_{\mathrm{1}}、侧倾角{\varphi }_{\mathrm{1}}、侧倾角速度{\dot{\varphi }}_{\mathrm{1}}，挂车质心侧偏角{\beta }_{\mathrm{2}}、横摆角速度{\dot{\psi }}_{\mathrm{2}}、侧倾角{\varphi }_{\mathrm{2}}和侧倾角速度{\dot{\varphi }}_{\mathrm{2}}共8个状态变量作为观测量；系统输入为前轮转角\delta和车速u。

\left\{\begin{array}{l}\mathit{A}\dot{\mathit{X}}+\mathit{B}\mathit{X}=\mathit{C}\delta \\ \mathit{X}=[{\beta }_{\mathrm{1}},{\dot{\psi }}_{\mathrm{1}},{\varphi }_{\mathrm{1}},{\dot{\varphi }}_{\mathrm{1}},{\beta }_{\mathrm{2}},{\dot{\psi }}_{\mathrm{2}},{\varphi }_{\mathrm{2}},{\dot{\varphi }}_{\mathrm{2}}{]}^{\mathrm{T}}\end{array}\right.（11）

式中：\mathit{A}、\mathit{B}、\mathit{C}为系数矩阵。

将系统状态方程整理为标准形式，如下所示：

\left(\begin{array}{l}\mathit{P}=-{\mathit{A}}^{-\mathrm{1}}\mathit{B}\\ \mathit{Q}={\mathit{A}}^{-\mathrm{1}}\mathit{C}\end{array}\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\dot{\mathit{X}}=\mathit{P}\mathit{X}+\mathit{Q}\delta \\ \mathit{Y}=\mathit{M}\mathit{X}+\mathit{N}\delta \end{array}\right.（12）

式中： M 为8×8单位对角矩阵； N 为8×8零矩阵。至此，六自由度理论模型建立完成，系数矩阵\mathit{P}和\mathit{Q}中包含8个未知数，分别为：三轴轮胎等效侧偏刚度k_{\mathrm{1}}、k_{\mathrm{2}}、k_{\mathrm{3}}；牵引车车身侧倾刚度k_{\mathrm{r}\mathrm{1}}、侧倾阻尼c_{\mathrm{1}}；挂车车身侧倾刚度k_{\mathrm{r}\mathrm{2}}、侧倾阻尼c_{\mathrm{2}}；铰接点侧倾刚度K_{\mathrm{12}}。

只有准确获取这些未知参数，建立的理论模型才具有实际应用价值。

2 遗传算法稳定性参数估计

2.1　遗传算法离线辨识稳定性参数

遗传算法是智能优化算法的一种，利用优化算法估计参数一般包括以下步骤：①确定待优化的目标函数，将需要辨识的参数作为函数自变量；②将理论数据与实车或试验数据的误差作为因变量；③根据参数类型和参数意义划定约束边界；④利用算法在可行域内对待估计参数进行搜索优化，直至目标误差函数达到最小值或满足设定的误差下限。本文将自建理论模型与Trucksim车辆模型的状态变量差值平方和作为目标函数，具体表达式为：

\begin{array}{l}J={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}[{\beta }_{\mathrm{1}}(i)-{\beta }_{\mathrm{1}}^{*}{(i)]}^{\mathrm{2}}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}[{\dot{\psi }}_{\mathrm{1}}(i)-{\dot{\psi }}_{\mathrm{1}}^{*}{(i)]}^{\mathrm{2}}+\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}[{\varphi }_{\mathrm{1}}(i)-{\varphi }_{\mathrm{1}}^{*}{(i)]}^{\mathrm{2}}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}[{\dot{\varphi }}_{\mathrm{1}}(i)-{\dot{\varphi }}_{\mathrm{1}}^{*}{(i)]}^{\mathrm{2}}+\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}[{\beta }_{\mathrm{2}}(i)-{\beta }_{\mathrm{2}}^{*}{(i)]}^{\mathrm{2}}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}[{\dot{\psi }}_{\mathrm{2}}(i)-{\dot{\psi }}_{\mathrm{2}}^{*}{(i)]}^{\mathrm{2}}+\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}[{\varphi }_{\mathrm{2}}(i)-{\varphi }_{\mathrm{2}}^{*}{(i)]}^{\mathrm{2}}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}[{\dot{\varphi }}_{\mathrm{2}}(i)-{\dot{\varphi }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}{(i)]}^{\mathrm{2}}\end{array}（13）

根据文献［2］，8个待估计参数的边界范围为：

\begin{array}{l}[k_{\mathrm{1}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}},k_{\mathrm{2}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}},k_{\mathrm{3}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}},k_{\mathrm{r}\mathrm{1}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}},c_{\mathrm{1}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}},k_{\mathrm{r}\mathrm{2}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}},c_{\mathrm{2}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}},K_{\mathrm{12}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}]=\\ [-{\mathrm{10}}^{\mathrm{5}},-{\mathrm{10}}^{\mathrm{5}},-{\mathrm{10}}^{\mathrm{5}},{\mathrm{10}}^{\mathrm{7}},{\mathrm{10}}^{\mathrm{6}},{\mathrm{10}}^{\mathrm{6}},{\mathrm{10}}^{\mathrm{6}},{\mathrm{10}}^{\mathrm{7}}]\\ [k_{\mathrm{1}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}},k_{\mathrm{2}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}},k_{\mathrm{3}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}},k_{\mathrm{r}\mathrm{1}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}},c_{\mathrm{1}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}},k_{\mathrm{r}\mathrm{2}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}},c_{\mathrm{2}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}},K_{\mathrm{12}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}]=\\ [-{\mathrm{10}}^{\mathrm{6}},-{\mathrm{10}}^{\mathrm{6}},-{\mathrm{10}}^{\mathrm{6}},{\mathrm{10}}^{\mathrm{6}},{\mathrm{10}}^{\mathrm{5}},{\mathrm{10}}^{\mathrm{5}},{\mathrm{10}}^{\mathrm{5}},{\mathrm{10}}^{\mathrm{6}}]\end{array}

遗传算法通过模仿生物物种进化过程求解实际寻优问题。可行解集类比生物学中的种群，每个单解对应生物个体。生物学中个体的独特性体现在不同个体染色体的差异，而染色体由多组基因构成。在本文研究场景下，个体对应不同的参数估计结果，8个待估计参数则对应8组基因。该算法模仿自然界优胜劣汰法则，通过选择、交叉、变异3个步骤，使适应度高的个体得以保留。定义的参数包括种群个数、进化代数、选择和变异的概率等。通过调研文献［10］，这些参数并没有统一的选择标准，而是根据实际问题和经验选取，种群个数一般为几十个，进化代数在100至1 000代之间。本文设定种群规模为10个，进化代数为500代，采用实数编码方式。算法目标函值越数小，个体适应度越大；选择概率越高，变异概率越小，详细流程如图4所示。

最终得到目标函数J与遗传代数的关系曲线，如图5所示。

由图5可知，随着遗传代数的增加，目标函数J逐渐递减，这表明自建理论模型输出的8个状态变量与Trucksim软件输出的状态变量愈发趋近重合。最终估计得到的8个稳定性参数结果如表2所示。

2.2　遗传算法离线辨识结果验证

将遗传算法辨识结果代入自建半挂车四自由度模型和六自由度模型中，工况为车速40 km/h、前轮转角正弦输入，模型输出状态与Trucksim软件仿真输出状态对比结果如图6所示。

由图6可知，在当前工况下，将遗传算法辨识的结果代入理论模型后，其输出状态变量的整体曲线趋势与Trucksim软件输出的基本吻合，但存在局部峰值偏差过大和滞后现象，特别是针对半挂车而言。尽管在车速40 km/h、前轮转角正弦输入工况下，利用估计结果构建的理论模型与Trucksim模型吻合相对较好，但无法保证遗传算法离线辨识的结果在其他工况下仍然具有较高的准确性。为此，本文修改了验证工况：第1次车速提升至70 km/h，前轮转角正弦输入不变；第2次采用方向盘角阶跃输入，车速保持40 km/h不变；第3次车速调整为30 km/h，采用前轮角阶跃输入。以此验证估计结果的工况适应性，以牵引车和半挂车的质心侧偏角为例，验证结果如图7所示。

由图7可知，当修改测试工况后，40 km/h正弦输入工况下辨识的参数代入理论模型，其输出结果与Trucksim实际输出结果的差距开始变大。这表明单一采用遗传算法离线估计车辆稳定性参数存在工况适应性差的问题，辨识工况下得到的参数结果无法适用于其他工况场景，致使理论模型精度下降，无法实时在线使用。为此，本文提出将遗传算法的估计结果作为初始值，代入带遗忘因子的RLS中进行在线修正。最终检验融合估计方法是否能弥补单一遗传算法估计结果工况适应性差的不足。

3 基于RLS方法的稳定性参数估计

3.1　基于遗传算法初值的RLS辨识稳定性参数

带遗忘因子的RLS由传统最小二乘法（Least squares，LS）改进而来^［11］。最小二乘法的应用场景可概括为两类：一类是辨识含噪声系统中的未知量；另一类是求解矩阵不满秩的方程问题^［12］，如下所示：

\mathit{B}=\left\{\begin{array}{l}\mathit{A}\mathit{x}+\mathit{\theta }\\ \mathit{A}\mathit{x}\end{array}\right.（14）

式中：\mathit{\theta }为噪声；\mathit{A}不满秩。

估计轮胎侧偏刚度属于第一类情况，估计车身侧倾系数属于第二类情况。以三轴轮胎等效侧偏刚度k_{\mathrm{1}}、k_{\mathrm{2}}、k_{\mathrm{3}}为例，轮胎侧偏角\alpha可通过式（5）~式（7）计算得到，侧向力F_y 可由Trucksim软件输出接口得到，实际应用中也可通过传感器测取。由于系统存在噪声干扰，本文利用侧偏角\alpha和侧向力F_y 估计三轴轮胎等效侧偏刚度。在该估计问题中，侧偏刚度k对应最小二乘法中的未知数\mathit{x}，侧向力F_y 对应已知矩阵 B，侧偏角\alpha对应已知矩阵 A。最小二乘法的目标是找到最优\mathit{x}，使目标函数取最小值，如下所示：

J=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{‖\mathit{A}\mathit{x}-\mathit{B}‖}^{\mathrm{2}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}(\mathit{A}{\mathit{x}}_i-{\mathit{B}}_i{)}^{\mathrm{2}})（15）

利用数学求极值方法，对目标函数J关于\mathit{x}求偏导并令其等于0，得到\mathit{x}结果如下：

\frac{\partial {‖\mathit{A}\mathit{x}-\mathit{B}‖}^{\mathrm{2}}}{\partial \mathit{x}}=\mathrm{0}\Rightarrow \mathit{x}={\left({\mathit{A}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\right)}^{-\mathrm{1}}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}\mathit{B}（16）

上述计算得到的\mathit{x}即为最优结果，但在实际问题中，矩阵 A 和 B 均随时间变化，且随着时间推移会不断新增元素，因此传统最小二乘法无法在线使用。此外，传统最小二乘法每新增一组数据均需重新计算矩阵乘法，非常耗费时间和算力。为此，本文采用RLS解决实时估计问题，具体步骤如下：

\begin{array}{l}{\mathit{A}}_k=\left[\begin{array}{c}{\mathit{A}}_{k-\mathrm{1}}\\ {\mathit{\alpha }}_k\end{array}\right],{\mathit{B}}_k=\left[\begin{array}{c}{\mathit{B}}_{k-\mathrm{1}}\\ {\mathit{b}}_k\end{array}\right]\\ \stackrel{\mathrm{常规}\mathrm{最小}\mathrm{二乘}\mathrm{法}}{\to }{\mathit{x}}_k=({\mathit{A}}_k^{\mathrm{T}}{\mathit{A}}_k{)}^{-\mathrm{1}}{\mathit{A}}_k^{\mathrm{T}}{\mathit{B}}_k\\ \left\{\begin{array}{l}{\mathit{A}}_k^{\mathrm{T}}{\mathit{A}}_k=\left[\begin{array}{cc}{\mathit{A}}_{k-\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}& {\mathit{a}}_k^{\mathrm{T}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathit{A}}_{k-\mathrm{1}}\\ {\mathit{a}}_k\end{array}\right]={\mathit{A}}_{k-\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}{\mathit{A}}_{k-\mathrm{1}}+{\mathit{a}}_k^{\mathrm{T}}{\mathit{a}}_k\\ {\mathit{A}}_k^{\mathrm{T}}{\mathit{B}}_k=\left[\begin{array}{cc}{\mathit{A}}_{k-\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}& {\mathit{a}}_k^{\mathrm{T}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathit{B}}_{k-\mathrm{1}}\\ {\mathit{b}}_k\end{array}\right]={\mathit{A}}_{k-\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}{\mathit{B}}_{k-\mathrm{1}}+{\mathit{a}}_k^{\mathrm{T}}{\mathit{b}}_k\end{array}\right.\\ \stackrel{\mathrm{代入}{x}_k\mathrm{中}}{\to }{\mathit{x}}_k={\mathit{x}}_{k-\mathrm{1}}+({\mathit{A}}_k^{\mathrm{T}}{\mathit{A}}_k{)}^{-\mathrm{1}}{\mathit{a}}_{k-\mathrm{1}}({\mathit{b}}_k-{\mathit{a}}_{k-\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}{\mathit{x}}_{k-\mathrm{1}})\\ \stackrel{\mathrm{令}{\mathit{P}}_k=({\mathit{A}}_k^{\mathrm{T}}{\mathit{A}}_k{)}^{-\mathrm{1}}}{\to }{\mathit{P}}_k=\left[\mathit{I}-\frac{{\mathit{P}}_{k-\mathrm{1}}{\mathit{a}}_{k-\mathrm{1}}{\mathit{a}}_{k-\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}}{\mathit{I}+{\mathit{a}}_{k-\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}{\mathit{P}}_{k-\mathrm{1}}{\mathit{a}}_{k-\mathrm{1}}}\right]{\mathit{P}}_{k-\mathrm{1}}\end{array}（17）

最优{\mathit{x}}_k由上一时刻{\mathit{x}}_{k-\mathrm{1}}、初始矩阵 A 与新增元素{\mathit{\alpha }}_k、{\mathit{b}}_k递推得到，先计算增益{\mathit{P}}_k，再代入{\mathit{x}}_k递推公式中即可得到最优解。改进的RLS可以实时估计上述未知稳定性结构参数。但随着时间推移，数据会逐渐递增，而RLS等价考虑所有数据影响，容易出现数据饱和问题。实际上，应该对新增加的数据给予较高的考虑权重，对存在较久的旧数据给予较低权重。为此，本文引入遗忘因子\mathit{\lambda }对目标函数进行修正，具体计算方法与最终递推公式如下：

\begin{array}{l}J={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}{\mathit{\lambda }}^{k-i}{‖\mathit{A}{\mathit{x}}_k-{\mathit{B}}_k‖}^{\mathrm{2}}\\ {\mathit{A}}_k^{\mathrm{*}}={\left[\begin{array}{ccc}{\sqrt[]{\mathit{\lambda }}}^{k-\mathrm{1}}{\mathit{a}}_{\mathrm{1}}& {\sqrt[]{\mathit{\lambda }}}^{k-\mathrm{2}}{\mathit{a}}_{\mathrm{2}}& ...\end{array}\begin{array}{cc}{\sqrt[]{\mathit{\lambda }}}^{\mathrm{1}}{\mathit{a}}_{k-\mathrm{1}}& {\sqrt[]{\mathit{\lambda }}}^{\mathrm{0}}{\mathit{a}}_k\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}\\ {\mathit{B}}_k^{\mathrm{*}}={\left[\begin{array}{ccc}{\sqrt[]{\mathit{\lambda }}}^{k-\mathrm{1}}{\mathit{b}}_{\mathrm{1}}& {\sqrt[]{\mathit{\lambda }}}^{k-\mathrm{2}}{\mathit{b}}_{\mathrm{2}}& ...\end{array}\begin{array}{cc}{\sqrt[]{\mathit{\lambda }}}^{\mathrm{1}}{\mathit{b}}_{k-\mathrm{1}}& {\sqrt[]{\mathit{\lambda }}}^{\mathrm{0}}{\mathit{b}}_k\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}\\ \stackrel{\mathrm{按照}\mathrm{递推}\mathrm{公式}}{\to }{\mathit{x}}_k={\mathit{x}}_{k-\mathrm{1}}+({\mathit{A}}_k^{\mathrm{*}\mathrm{T}}{\mathit{A}}_k^{\mathrm{*}}{)}^{-\mathrm{1}}{\mathit{a}}_k^{\mathrm{T}}({\mathit{b}}_k-{\mathit{a}}_k{\mathit{x}}_{k-\mathrm{1}})\\ \stackrel{\mathrm{令}{\mathit{P}}_k^{\mathrm{*}}=({\mathit{A}}_k^{\mathrm{*}\mathrm{T}}{\mathit{A}}_k^{\mathrm{*}}{)}^{-\mathrm{1}}}{\to }{\mathit{P}}_k^{\mathrm{*}}=\left[\mathit{I}-\frac{{\mathit{P}}_{k-\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}{\mathit{a}}_{k-\mathrm{1}}{\mathit{a}}_{k-\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}}{\mathit{I}+{\mathit{a}}_{k-\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}{\mathit{P}}_{k-\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}{\mathit{a}}_{k-\mathrm{1}}}\right]{\mathit{P}}_{k-\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\end{array}（18）

所有未知参数的估计均按上述步骤进行，本文设定遗忘因子\mathit{\lambda }=0.95，将遗传算法的估计结果为初值代入RLS算法中，仍以车速40 km/h、前轮转角正弦输入为辨识工况。图8（a）为三轴轮胎等效侧偏刚度的估计结果，与遗传算法的估计结果相比，可以发现RLS辨识的等效侧偏刚度最终趋于波动，而非精确不变的具体数值，但波动并不发散而是趋于较为稳定区间。以牵引车前轴轮胎等效侧偏刚度k₁为例，将结果放大后发现其波动范围大致围绕在遗传算法估计结果-\mathrm{2.96}\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{5}}附近。这表明RLS在线估计方法的实时性较好，能够在遗传算法估计结果的基础上，根据车辆状态和外界环境实时调整参数估计值。其余待估计参数均与之类似，如图8所示。

3.2　基于遗传算法初值的RLS法辨识结果验证

为检验融合遗传算法与RLS的估计方法是否有效，能否解决遗传算法离线辨识工况适应性差和实时性不足的问题。将RLS的估计结果实时传输到半挂车四自由度和六自由度模型中，并与Trucksim软件的输出状态结果进行比对验证。采用与遗传算法相同的测试工况，即车速70 km/h、正弦输入，车速40 km/h、角阶跃输入，车速30 km/h、角阶跃输入。由于涉及工况和状态变量较多，图9仅以牵引车和挂车横摆角速度为例展示测试结果。

由图9可知，遗传算法与RLS相融合的估计方法具有更好的工况适应能力，理论模型与实际Trucksim仿真结果的重合度比单一遗传算法估计更高。为定量对比两种方法的估计精度，分别计算两种方法的残差指标\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}，计算公式如式（19）所示。其中上角标带有星号的数据为Trucksim结果，下角标1为牵引车状态，角标2为挂车状态。MSE的含义是辨识结果代入理论模型得出的状态数据与Trucksim仿真数据的相对误差平方根，数值越小表明理论模型与仿真数据误差越小，辨识结果的准确性越高。

\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}=\sqrt[]{\frac{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1},j=\mathrm{1,2}}^n}\left[{\left({\beta }_j-{\beta }_j^{\mathrm{*}}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left({\dot{\psi }}_j-{\dot{\psi }}_j^{\mathrm{*}}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left({\varphi }_j-{\varphi }_j^{\mathrm{*}}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left({\dot{\varphi }}_j-{\dot{\varphi }}_j^{\mathrm{*}}\right)}^{\mathrm{2}}\right]}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1},j=\mathrm{1,2}}^n}({{\beta }_j^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{2}}+{{\dot{\psi }}_j^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{2}}+{{\varphi }_j^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{2}}+{{\dot{\varphi }}_j^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{2}})}}（19）

表3为两种估计方法下状态变量\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}的平均值。采用单一遗传算法离线辨识的残差指标平均值为0.196，采用带遗忘因子RLS融合辨识的残差指标平均值为0.077，误差降低6%。该结果证明，本文方法可以提升稳定性参数估计的工况适应性和准确性。

两种辨识方法下状态变量的残差结果如图10所示。

考虑到成本、安全性及实验室设备条件，为了验证本文方法的科学性和有效性，以商用软件模型在相同工况下的输出结果作为对标对象，并与其他科研团队的仿真测试数据进行对比^［10］。结果显示，本文方法的参数估计结果均处于合理范围内。基于本文方法建立的挂车动力学模型，可为后续稳定性控制的研发奠定基础。

4 结 论

（1）融合遗传算法与RLS的辨识方法工况适应性更强，单一遗传算法离线辨识的结果仅在辨识工况下与商用软件仿真结果较吻合，在其他工况下两者差距较大。

（2）融合遗传算法与RLS的辨识方法估计精度更高，所得理论模型与软件仿真结果的误差更小，残差平均值为0.077，比单一遗传算法残差平均值降低约6%，提升了挂车动力学建模的精确性。

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基金资助

吉林省自然科学基金自由探索项目(YDZJ202101ZYTS159)

潍柴股份有限公司开放课题项目(skleps-sq-2023-003)