基于椭球模型动车组转向架构架可靠性分析

Reliability analysis of high-speed train bogie structure based on ellipsoidal model

摘要

考虑转向架构架生产制造中尺寸参数的不确定性，以及参数的数据信息不足，概率可靠性分析方法无法使用时的情况，将椭球集合非概率可靠性分析方法应用到动车组转向架构架的可靠性分析中。根据相关标准，计算出10种超常载荷，通过静强度分析，确定了影响结构最大应力值的设计参数变量，并进行拉丁超立方试验设计。利用含交叉项的二次多项式响应面法拟合出构架结构响应面表达式，并对其拟合精度进行检验，拟合系数为0.997 1。定义椭球模型的数字特征，构建一般高维椭球模型和构架椭球集合的可靠性分析模型；推导出原始空间与标准区间下的椭球模型可靠性指标的优化模型，介绍高维椭球模型可靠度的计算公式并计算出构架的结构可靠度为99.27%。推导出灵敏度的计算公式，完成构架灵敏度分析，得出构架横梁圆管的厚度对结构应力影响最大。

Abstract

Considering the uncertainty in dimensional parameters during the manufacturing and production of bogie frames， as well as the insufficient data information for these parameters when probabilistic reliability analysis methods cannot be applied， the ellipsoidal set non-probabilistic reliability analysis method was applied to the reliability analysis of EMU （Electric Multiple Unit） bogie frames. According to relevant standards， ten types of exceptional loads were calculated. Through static strength analysis， design parameter variables affecting the maximum structural stress values were identified， and Latin hypercube experimental design was conducted. A quadratic polynomial response surface method with cross terms was employed to fit the response surface expression of the frame structure， and its fitting accuracy was verified with a fitting coefficient of 0.9971. The numerical characteristics of the ellipsoidal model were defined， and both general high-dimensional ellipsoidal models and frame ellipsoidal set reliability analysis models were constructed. Optimization models for reliability indices of ellipsoidal models in both original space and standard interval were derived. The calculation formula for reliability of high-dimensional ellipsoidal models was introduced， and the structural reliability of the frame was calculated as 99.27%. Sensitivity calculation formulas were derived， and frame sensitivity analysis was completed. The results showed that the thickness of the frame crossbeam circular tube has the greatest influence on structural stress.

Graphical abstract

关键词

转向架构架 / 静强度 / 拉丁超立方试验设计 / 响应面法 / 椭球模型可靠性分析

Key words

bogie frame / static strength / latin hypercube experimental design / response surface methodology / reliability analysis of ellipsoidal model

0 引 言

由于动车组列车的速度越来越快，对车辆可靠性的要求也越来越高，转向架构架作为动车组列车走行部的主要承重部件，既是各零件安装之基，也是各种交变载荷的承受者和传递者^［1］。充分考虑转向架构架受载情况的复杂性，对转向架构架进行可靠性分析尤为重要。

我国转向架构架可靠性分析的发展相比于其他国家起步较晚，大多依靠概率可靠性分析方法进行的。然而，对于动车组转向架构架而言，结构复杂程度较高、实际运行环境复杂，结构尺寸和载荷的统计数据缺乏导致获取不确定变量的统计特征较为困难^［2，3］，正是由于这些局限性的存在，部分学者将目光转移到了非概率的集合模型。1998年，Pantelides等^［4］提出了椭球凸集合模型的建模方法，并将其应用于工程实际问题中。邱志平和顾元宪^［5］将非概率凸模型理论与有限元摄动理论相结合，提出了求解有界不确定参数结构静力位移上下界的摄动数值算法。Jiang等^［6，7］创建了一种考虑变量相关性的高维椭球模型的构建方法并应用到复杂结构可靠性分析中。Luo等^［8］基于超椭球凸模型从数学上定义了一种新的可靠性指标并应用于拓扑优化。Kang等^［9］提出了一种衡量概率与超椭球凸模型共存的可靠性指标并应用于结构优化。

本文就是在构架尺寸参数变量的概率分布情况未知的条件下，利用非概率椭球凸模型方法将不确定变量进行量化，定量地给出构架结构响应边界。对于椭球模型中的可靠性指标常被定义为标准空间下原点到极限状态函数的优化问题，原始椭球空间下指标定义较为困难，本文详细推导了椭球原始空间到标准空间可靠性指标优化模型的转换过程，从而更加容易得构造出可靠性指标优化模型。传统的椭球模型灵敏度计算公式是较为复杂的^［10］，本文分析可靠性指标的近似表达式，利用矩阵法推导出可靠性指标对各变量灵敏度的计算公式，进一步提高了灵敏度计算效率。本文首次将椭球非概率可靠性分析方法应用到转向架构架可靠性分析中，弥补了构架概率可靠性分析方法在描述不确定性问题上的不足。同时，在一定程度上拓宽了构架可靠性分析的范围，为构架可靠性分析^［11］提供了一种新的手段。

1 转向架构架参数

1.1　构架结构

利用三维建模软件Creo对转向架构架进行建模。构架为双H型钢板压型焊机结构^［12］。主要由侧梁、横梁管、横向止挡座以及各种安装座等组成。具体结构如图1所示。

1.2　材料参数

该转向架构架采用S355J2G低合金高强度耐候钢作为转向架构架材料。材料的密度为7.85×10^-9 t/mm²，泊松比为0.28，弹性模量为2.06×10⁵ MPa，屈服强度为355 MPa，抗拉强度为470 MPa。一系弹簧的纵向、横向和垂向刚度分别为919.8 N/mm，919.8 N/mm和886.5 N/mm。转臂节点纵向刚度为120 000 N/mm，横向刚度为12 500 N/mm。

2 转向架构架静强度分析

2.1　有限元模型的建立

单元大多数采用四边形网格，少数采用三角形网格，单元类型为shell181；实体单元全部采用四面体网格，单元类型为soild185；轴箱弹簧采用combin14弹簧单元模拟，车轴和转臂采用beam188梁单元模拟，悬挂设备重心点以及安装座中心利用mass单元模拟，并用rb3单元和ce单元进行连接。

整个构架共离散为396 205个单元，199 842个节点，模型见图2、图3所示。

2.2　超常载荷的计算

充分考虑构架的受载情况，并根据UIC 615-4标准和EN 13749标准的超常载荷计算公式和构架的计算参数，计算出转向架构架受到的10种超常载荷，其中部分载荷数据较实际线路测得载荷数据更大，其可靠性分析结果会趋于保守。其载荷类型和载荷大小详情见表1。载荷的施加位置和方向，以及约束位置见图4。

2.3　静强度分析

将hypermesh的有限元模型导入到Ansys中进行静强度计算。构架在静强度分析中，图5展示了构架的von Mises应力云图，最大应力值为225.625 MPa，应力最大位置发生在横向止挡板座与横梁的连接处，详情如图6所示。

构架材料的屈服强度为355 MPa，相关标准中的安全系数为1.5，其许用应力值为237 MPa，构架的最大von Mises应力值未超过许用应力，因此构架静强度满足相关标准中的要求。但从数值来看，构架的von Mises应力值较为接近材料的许用应力。从结构可靠性的角度来看，考虑到实际工程中尺寸参数不确定因素的影响^［13］，有必要对构架进行可靠性分析。

3 椭球非概率可靠性模型的构建

3.1　定义椭球模型的数字特征

定义1　定义变量中心和椭球中心点X^c=（X^L+X^R）/2，其中X^L为变量的下界，X^R为变量的上界。方差D（X^I）=（X^r）²=［（X^R-X^L）/2］²表示区间相对于中心的偏离程度，X^r表示区间半径。X^c=0，D（X^I）=1为标准区间。

定义2　定义两个不确定的参数X₁、X₂的类协方差：

\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(X_{\mathrm{1}},X_{\mathrm{2}})=\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta }{\mathrm{1}-\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\theta }(D(X_{\mathrm{1}}^{\mathrm{I}})-D(X_{\mathrm{1}}^{\mathrm{I}}))（1）

式中：θ为旋转角，椭圆的长轴和短轴与水平X轴之间的夹角，\theta \in (-\mathrm{45}°,\mathrm{45}°)。

定义3　定义两个不确定参数X₁、X₂的相关系数：

{\rho }_{X_{\mathrm{1}}{X}_{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(X_{\mathrm{1}},X_{\mathrm{2}})}{\sqrt[]{D(X_{\mathrm{1}}^{\mathrm{I}})}\sqrt[]{D(X_{\mathrm{2}}^{\mathrm{I}})}}（2）

式中：{\rho }_{X_{\mathrm{1}}{X}_{\mathrm{2}}}为不确定性的线性相关度，无量纲。

定义4　定义两个变量的类协方差矩阵为：

\mathit{C}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(X_{\mathrm{1}},X_{\mathrm{1}})& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(X_{\mathrm{1}},X_{\mathrm{2}})\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(X_{\mathrm{2}},X_{\mathrm{1}})& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(X_{\mathrm{2}},X_{\mathrm{2}})\end{array}\right]（3）

定义两个变量的相关系数矩阵为：

\mathit{\rho }=\left[\begin{array}{cc}{\rho }_{X_{\mathrm{1}}{X}_{\mathrm{1}}}& {\rho }_{X_{\mathrm{1}}{X}_{\mathrm{2}}}\\ {\rho }_{X_{\mathrm{2}}{X}_{\mathrm{1}}}& {\rho }_{X_{\mathrm{2}}{X}_{\mathrm{2}}}\end{array}\right]（4）

对于标准区间，类协方差矩阵可以写为：

\begin{array}{l}\mathit{C}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(X_{\mathrm{1}},X_{\mathrm{1}})& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(X_{\mathrm{1}},X_{\mathrm{2}})\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(X_{\mathrm{2}},X_{\mathrm{1}})& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(X_{\mathrm{2}},X_{\mathrm{2}})\end{array}\right]=\\ \left[\begin{array}{cc}D(X_{\mathrm{1}})& {\rho }_{X_{\mathrm{1}}{X}_{\mathrm{2}}}\sqrt[]{D(X_{\mathrm{1}}^{\mathrm{I}})}\sqrt[]{D(X_{\mathrm{2}}^{\mathrm{I}})}\\ {\rho }_{X_{\mathrm{1}}{X}_{\mathrm{2}}}\sqrt[]{D(X_{\mathrm{1}}^{\mathrm{I}})}\sqrt[]{D(X_{\mathrm{2}}^{\mathrm{I}})}& D(X_{\mathrm{2}})\end{array}\right]\end{array}（5）

上述公式是由 C =diag（ X^r） ρ diag（ X^r）得到的。diag（ X^r）为以 X^r为元素的n维对角阵。

3.2　高维椭球模型的构建

在n维空间中，非概率椭球可靠性模型可以表示为：

{\Gamma }_X=\left\{\mathit{X}{\left|(\mathit{X}-{\mathit{X}}^{\mathrm{c}})\right.}^{\mathrm{T}}{\mathit{C}}^{-\mathrm{1}}(\mathit{X}-{\mathit{X}}^{\mathrm{c}})\le \mathrm{1},\mathit{X}\in {\mathbf{R}}^n\right\}（6）

式中： X 表示椭球变量集合； X^c 表示变量中心； C^-1为协方差矩阵的逆矩阵。

将 C^-1用特征矩阵 Ω_X表示。由此可得椭球模型的另一种形式：

{\Gamma }_X=\left\{\mathit{X}{\left|(\mathit{X}-{\mathit{X}}^{\mathrm{c}})\right.}^{\mathrm{T}}{\mathit{\Omega }}_X(\mathit{X}-{\mathit{X}}^{\mathrm{c}})\le \mathrm{1},\mathit{X}\in {\mathbf{R}}^n\right\}（7）

3.3　椭球模型可靠性指标计算公式的推导

X^c为椭球集合 X 的中点， C 为类协方差矩阵。存在可逆矩阵 T，满足把变量相关的标准球集合随机列向量\widehat{\mathit{X}}转换为变量不相关的椭球集合随机列向量 X，即\mathit{X}=\mathit{T}\widehat{\mathit{X}}+{\mathit{X}}^{\mathrm{c}}。

其中\mathit{T}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\mathit{X}}^{\mathrm{r}})\mathit{Y}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\sqrt[]{\lambda })， X^r为椭球集合变量的区间半径， λ 为相关系数矩阵 ρ 的特征值， Y 为相关系数矩阵的特征向量组成的矩阵，即 Y diag（ λ ） Y^T = ρ，其中 ρ 为n维的相关系数矩阵。由此可得：

\begin{array}{c}\mathit{T}{\mathit{T}}^{\mathrm{T}}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\mathit{X}}^{\mathrm{r}})\mathit{Y}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\sqrt[]{\mathit{\lambda }})\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\sqrt[]{\mathit{\lambda }}){\mathit{Y}}^{\mathrm{T}}\times \\ \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\mathit{X}}^{\mathrm{r}})=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\mathit{X}}^{\mathrm{r}})\mathit{\rho }\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\mathit{X}}^{\mathrm{r}})\end{array}（8）

因此，\mathit{T}{\mathit{T}}^{\mathrm{T}}=\mathit{C}={\mathit{\Omega }}_X^{-\mathrm{1}}，将此式和\mathit{X}=\mathit{T}\widehat{\mathit{X}}+{\mathit{X}}^{\mathrm{c}}代入椭球集合方程中：

\left\{\begin{array}{l}(\mathit{X}-{\mathit{X}}^{\mathrm{c}}{)}^{\mathrm{T}}{\mathit{\Omega }}_X(\mathit{X}-{\mathit{X}}^{\mathrm{c}})\le \mathrm{1}\\ {(\mathit{T}\widehat{\mathit{X}})}^{\mathrm{T}}(\mathit{T}{\mathit{T}}^{\mathrm{T}}{)}^{-\mathrm{1}}\mathit{T}\widehat{\mathit{X}}\le \mathrm{1}\\ {\widehat{\mathit{X}}}^{\mathrm{T}}{\mathit{T}}^{\mathrm{T}}({\mathit{T}}^{\mathrm{T}}{)}^{-\mathrm{1}}{\mathit{T}}^{-\mathrm{1}}\mathit{T}\widehat{\mathit{X}}\le \mathrm{1}\\ {\widehat{\mathit{X}}}^{\mathrm{T}}\widehat{\mathit{X}}\le \mathrm{1}\end{array}\right.（9）

多维椭球集合被转化到中心为原点、半径为1的标准球集合。非概率椭球模型可靠性指标β就可以定义为标准空间下原点到失效面g(\widehat{\mathit{X}})=\mathrm{0}的最短距离^［14］。此优化问题可以表示为：

\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}‖\widehat{\mathit{X}}‖\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.g(\widehat{\mathit{X}})=\mathrm{0}\end{array}\right.（10）

式中：‖\widehat{\mathit{X}}‖表示\widehat{\mathit{X}}的2范数。

‖\widehat{\mathit{X}}‖=\sqrt[]{{\widehat{\mathit{X}}}^{\mathrm{{\rm T}}}\widehat{\mathit{X}}}=\sqrt[]{(\mathit{X}-{\mathit{X}}^{\mathrm{c}}{)}^{\mathrm{{\rm T}}}{\mathit{\Omega }}_X(\mathit{X}-{\mathit{X}}^{\mathrm{c}})}（11）

可靠性指标的优化模型可以写成另一种形式：

\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\sqrt[]{(\mathit{X}-{\mathit{X}}^{\mathrm{c}}{)}^{\mathrm{T}}{\mathit{\Omega }}_X(\mathit{X}-{\mathit{X}}^{\mathrm{c}})}\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\begin{array}{cc}g(\mathit{X})=\mathrm{0}& \begin{array}{cc}& \end{array}\end{array}\end{array}\right.（12）

3.4　椭球模型可靠度计算公式

在三维标准球空间中（见图7），极限状态函数将便准标准球分为两部分，阴影部分体积为A₁，标准球总体积为A，可靠度公式就可以定义为：

R=\mathrm{1}-\frac{A_{\mathrm{1}}}{A}（13）

在多维标准球空间中，极限状态函数将n维标准球分割为阴影部分A₁，具体计算公式如下：

A_{\mathrm{1}}=\left\{\frac{{\mathrm{\pi }}^{\frac{n-\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}}{\Gamma (\frac{n-\mathrm{1}}{\mathrm{2}})}\frac{(n-\mathrm{1})!!}{n!!}B\right\}（14）

当n>3为奇数时：

B=\mathrm{1}-\beta \left[\mathrm{1}+{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\frac{n-\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}}\frac{(\mathrm{2}k-\mathrm{1})!!}{(\mathrm{2}k)!!}(\mathrm{1}-{\beta }^{\mathrm{2}}{)}^k\right]（15）

当n>3为偶数时：

B=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{1}-{\beta }^{\mathrm{2}}\right)-\beta \times

\left[{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\frac{n}{\mathrm{2}}}}\frac{(\mathrm{2}k-\mathrm{1})!!}{\left(\mathrm{2}k\right)!!}{\left(\mathrm{1}-{\beta }^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}k-\mathrm{1}}\right]（16）

式中：\Gamma (n)=(n-\mathrm{1})!为伽马函数。

n维标准球的总体积为：

A=\frac{{\mathrm{\pi }}^{\frac{n}{\mathrm{2}}}}{\Gamma \left(\frac{n+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}（17）

3.5　椭球模型灵敏度计算公式的推导

通过线性逆变换\mathit{X}=L^{-\mathrm{1}}\left(\widehat{\mathit{X}}\right)得到设计点 X^*，并根据拉格朗日乘子法^［15］可靠性指标可以近似写为：

\beta =\frac{\nabla g\left({\mathit{X}}^{*}\right)\left({\mathit{X}}^{\mathrm{c}}-{\mathit{X}}^{*}\right)}{\sqrt[]{\nabla g\left({\mathit{X}}^{*}\right){\mathit{\Omega }}_X^{-\mathrm{1}}\nabla g^{\mathrm{T}}\left({\mathit{X}}^{*}\right)}}（18）

其中：{\mathit{\Omega }}_X^{-\mathrm{1}}=\mathit{C}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left({\mathit{X}}^{\mathrm{r}}\right)\mathit{\rho }\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left({\mathit{X}}^{\mathrm{r}}\right)； \left({\mathit{X}}^{\mathrm{c}}-{\mathit{X}}^{*}\right)=\left[\begin{array}{cccc}{X}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{c}}-X_{\mathrm{1}}^{*}& X_{\mathrm{1}}^c-X_{\mathrm{1}}^{*}& \cdots & X_{\mathrm{1}}^{\mathrm{c}}-X_{\mathrm{1}}^{*}\end{array}\right]；\nabla g\left({\mathit{X}}^{*}\right)=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial g\left({\mathit{X}}^{*}\right)}{\partial X_{\mathrm{1}}}& \frac{\partial g\left({\mathit{X}}^{*}\right)}{\partial X_{\mathrm{2}}}& \cdots & \frac{\partial g\left({\mathit{X}}^{*}\right)}{\partial X_n}\end{array}\right]。

可靠性指标也可以写成：

\beta =\frac{\nabla g\left({\mathit{X}}^{*}\right)\left({\mathit{X}}^{\mathrm{c}}-{\mathit{X}}^{*}\right)}{\sqrt[]{\nabla g\left({\mathit{X}}^{*}\right)\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left({\mathit{X}}^{\mathrm{r}}\right)\mathit{\rho }\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left({\mathit{X}}^{\mathrm{r}}\right)\nabla g^{\mathrm{T}}\left({\mathit{X}}^{*}\right)}}（19）

从可靠性指标公式可以看出，β与中点 X^c、半径 X^r和相关系数 ρ 有关，分别对其求偏导，可以得到。

指标对中点 X^c的灵敏度为：

\frac{\partial \beta }{\partial {\mathit{X}}^{\mathrm{c}}}=\frac{\nabla g\left({\mathit{X}}^{*}\right)}{\sqrt[]{\nabla g\left({\mathit{X}}^{*}\right)\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left({\mathit{X}}^{\mathrm{r}}\right)\mathit{\rho }\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left({\mathit{X}}^{\mathrm{r}}\right)\nabla g^{\mathrm{T}}\left({\mathit{X}}^{*}\right)}}（20）

可靠性指标对半径 X^r的灵敏度为：

\frac{\partial \beta }{\partial {\mathit{X}}^{\mathrm{r}}}=

\frac{-\nabla g\left({\mathit{X}}^{*}\right)\left({\mathit{X}}^{\mathrm{c}}-{\mathit{X}}^{*}\right)\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left(\nabla g\left({\mathit{X}}^{*}\right)\right)\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left({\mathit{X}}^{\mathrm{r}}\right)\mathit{\rho }\nabla g^{\mathrm{T}}\left({\mathit{X}}^{*}\right)}{{\left[\nabla g\left({\mathit{X}}^{*}\right)\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left({\mathit{X}}^{\mathrm{r}}\right)\mathit{\rho }\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left({\mathit{X}}^{\mathrm{r}}\right)\nabla g^{\mathrm{T}}\left({\mathit{X}}^{*}\right)\right]}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}}}（21）

可靠性指标对相关系数 ρ 的灵敏度为：

\frac{\partial \beta }{\partial \mathit{\rho }}=\frac{-\nabla g\left({\mathit{X}}^{*}\right)\left({\mathit{X}}^{\mathrm{c}}-{\mathit{X}}^{*}\right)\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left({\mathit{X}}^{\mathrm{r}}\right)\nabla g^{\mathrm{T}}\left({\mathit{X}}^{*}\right)\nabla g\left({\mathit{X}}^{*}\right)\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left({\mathit{X}}^{\mathrm{r}}\right)}{\mathrm{2}{\left[\nabla g\left({\mathit{X}}^{*}\right)\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left({\mathit{X}}^{\mathrm{r}}\right)\mathit{\rho }\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left({\mathit{X}}^{\mathrm{r}}\right)\nabla g^{\mathrm{T}}\left({\mathit{X}}^{*}\right)\right]}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}}}（22）

4 构架椭球模型可靠性分析

4.1　转向架构架输入变量的确定

在构架进行结构可靠性分析时，还需要建立构架的参数变量与结构应力之间的关系表达式。通过构架的静强度分析，并将侧梁的上下盖板、内外侧腹板和内部筋板的厚度，横梁圆管的厚度，横向止挡座两种不同立板的厚度作为构架尺寸参数的不确定变量，其取值范围见表2，变量的具体位置如图8所示。

4.2　构架结构响应面函数的拟合

在工程中，响应面的多项式经常是利用含交叉项的二次多项式来作为原始表达式，如下：

g(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_n)=b_{\mathrm{0}}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{b}_i{x}_i+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{b}_{ij}{x}_i{x}_j（23）

数目最少为(n+\mathrm{1})\times (n+\mathrm{2})/\mathrm{2}个。表3是通过拉丁超立方抽样，并结合有限元计算结果得到的一组实验数据。将其拟合成矩阵表达式：

S=\mathit{T}\mathit{A}{\mathit{T}}^{\mathrm{T}}+\mathit{B}{\mathit{T}}^{\mathrm{T}}+\mathrm{381.0843}（24）

其中：变量矩阵 T 为：

T=\left[\begin{array}{cccccccc}{T}_{\mathrm{1}}& T_{\mathrm{2}}& T_{\mathrm{3}}& T_{\mathrm{4}}& T_{\mathrm{5}}& T_{\mathrm{6}}& T_{\mathrm{7}}& T_{\mathrm{8}}\end{array}\right]

系数矩阵 A ×100为：

A ×100=\left[\begin{array}{cccccccc}\begin{array}{l}-\mathrm{20.65}\\ \mathrm{34.12}\\ -\mathrm{5.88}\\ \mathrm{4.43}\\ \mathrm{9.12}\\ -\mathrm{3.52}\\ -\mathrm{39.76}\\ -\mathrm{5.36}\end{array}& \begin{array}{l}\mathrm{34.12}\\ -\mathrm{33.58}\\ -\mathrm{9.80}\\ \mathrm{3.55}\\ -\mathrm{6.66}\\ -\mathrm{6.29}\\ \mathrm{9.00}\\ -\mathrm{7.88}\end{array}& \begin{array}{l}-\mathrm{5.88}\\ -\mathrm{9.8}\\ -\mathrm{8.62}\\ -\mathrm{9.24}\\ \mathrm{2.15}\\ \mathrm{0.02}\\ -\mathrm{15.12}\\ \mathrm{21.17}\end{array}& \begin{array}{l}\mathrm{4.43}\\ \mathrm{3.55}\\ -\mathrm{9.24}\\ \mathrm{5.55}\\ -\mathrm{10.45}\\ -\mathrm{17.48}\\ -\mathrm{12.50}\\ -\mathrm{8.14}\end{array}& \begin{array}{l}\mathrm{9.12}\\ -\mathrm{6.66}\\ \mathrm{2.15}\\ -\mathrm{10.45}\\ \mathrm{153.71}\\ -\mathrm{13.80}\\ -\mathrm{135.42}\\ -\mathrm{35.17}\end{array}& \begin{array}{l}-\mathrm{3.52}\\ -\mathrm{6.29}\\ \mathrm{0.02}\\ -\mathrm{17.48}\\ -\mathrm{13.80}\\ -\mathrm{13.01}\\ \mathrm{25.99}\\ \mathrm{68.17}\end{array}& \begin{array}{l}-\mathrm{39.76}\\ \mathrm{9.00}\\ -\mathrm{15.12}\\ -\mathrm{12.50}\\ -\mathrm{135.42}\\ \mathrm{25.99}\\ \mathrm{229.91}\\ \mathrm{40.03}\end{array}& \begin{array}{l}-\mathrm{5.36}\\ -\mathrm{7.88}\\ \mathrm{21.17}\\ -\mathrm{8.14}\\ -\mathrm{35.17}\\ \mathrm{68.17}\\ \mathrm{40.03}\\ -\mathrm{78.9}\end{array}\end{array}\right]

系数矩阵 B 为：

B=\left[\begin{array}{cccccccc}\mathrm{4.027}\mathrm{3}& \mathrm{3.951}\mathrm{4}& \mathrm{7.965}\mathrm{8}& \mathrm{11.647}\mathrm{1}& -\mathrm{29.837}\mathrm{6}& \mathrm{0.340}\mathrm{4}& \mathrm{5.436}\mathrm{8}& \mathrm{2.517}\mathrm{2}\end{array}\right]

4.3　构架结构响应面函数的拟合评估

式（24）为拟合的转向架构架的结构响应面表达式，为检验其拟合精度，引入拟合优度统计量确定系数R²，计算公式见式（25）。

R^{\mathrm{2}}=\mathrm{1}-\frac{\sum {(Y-\widehat{Y})}^{\mathrm{2}}}{\sum {(Y-\overline{Y})}^{\mathrm{2}}}（25）

式中：\widehat{Y}为模型预测值；Y为实际观测值；\overline{Y}为整体均值。R²取值范围为0~1，值越接近1说明直线对观测值的拟合程度越好^［16］。

拟合出响应面函数的精度曲线，计算R²等于0.997 1。从图9可以看出试验值与预测值基本保持一致，且R²接近于1说明表达式拟合程度较高。

图10是残差与实验的运行顺序图。它检查在实验过程中可能影响响应的潜伏变量。每次残差都在控制线范围波动，没有异常点，表示拟合的模型较为准确。

图11给出了变量T₅、T₆与响应值S之间的3D响应面。准确的结构表达式和椭球非概率可靠性模型为构架的可靠性分析提供理论依据。

4.4　构架的椭球模型构建

椭球变量矩阵 T 计算如下：

T=\left[\begin{array}{cccccccc}{T}_{\mathrm{1}}& T_{\mathrm{2}}& T_{\mathrm{3}}& T_{\mathrm{4}}& T_{\mathrm{5}}& T_{\mathrm{6}}& T_{\mathrm{7}}& T_{\mathrm{8}}\end{array}\right]

变量中心矩阵 T^c 计算如下：

T^c=\left[\begin{array}{cccccccc}\mathrm{14}& \mathrm{12}& \mathrm{14}& \mathrm{18}& \mathrm{20}& \mathrm{14}& \mathrm{10}& \mathrm{10}\end{array}\right]

变量半径矩阵 T^r 计算如下：

T^r =［2.163 1.845 2.163 2.871

3.09 2.163 1.545 1.545］

本文不考虑变量之间的相关性，因此构架变量的相关系数矩阵 ρ 为单位矩阵。由式 C =diag（ T^r ） ρ diag（ T^r ）求得协方差矩阵 C，并求出 C^-1。

令矩阵 A 为：

A= ［0.213 7 0.293 8 0.213 7 0.129 3

0.104 7 0.213 7 0.418 9 0.418 9］

构架的特征矩阵为 C^-1={\mathit{\Omega }}_{\mathit{T}}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\mathit{A})；构架的椭球集合方程为：

(\mathit{T}-{\mathit{T}}^{\mathrm{c}}{)}^{\mathrm{T}}{\mathit{\Omega }}_T(\mathit{T}-{\mathit{T}}^{\mathrm{c}})\le \mathrm{1}（26）

4.5　构架椭球模型可靠性分析

根据椭球可靠性指标和可靠度的计算公式，求解转向架构架在不同安全系数下的可靠性指标和可靠度。从表4的计算结果来看，构架在安全系数为1.3时，构架的结构可靠度才能达到99.27%。相关标准中构架的安全系数大多为1.5，在复杂工况下，构架的安全系数可以适当调低，因此，椭球模型的可靠度计算结果是比较保守和安全的，可以应用到实际工程中复杂结构可靠度的计算。

为验证可靠性指标计算的准确性，利用4种智能优化算法：CPA食肉植物优化算法，IA免疫算法，GWO狼群算法，CSA变色龙算法，求解构架在安全系数为1.3的可靠性指标。由图12可以看出，4种优化算法的可靠指标都趋近于0.993 5，说明可靠性指标优化模型建立准确，可靠性指标计算结果准确。

4.6　构架椭球模型灵敏度分析

根据椭球模型灵敏度的计算公式，计算出构架在安全系数为1.3时的灵敏度，计算结果见表5。从图13中可以看出，构架的输入变量T₅横梁圆管的厚度对构架的可靠性指标的影响最大，可以作为可靠度优化设计中的重点变量，并且变量的相关系数灵敏度>中值灵敏度>区间半径灵敏度。因此，研究变量相关性对结构可靠性分析尤为重要。

5 结 论

（1）利用椭球模型的数字特征定量给出构架变量的取值范围，克服了概率分布情况匮乏的问题，对于复杂结构的可靠性分析具有指导意义。

（2）可靠性指标的推导过程建立了椭球原始空间到标准球空间之间的切换联系，从而更易建立出可靠性指标优化模型。通过构架可靠性分析可知，椭球模型可靠度计算结果相对保守和安全。

（3）推导出基于矩阵法的可靠性指标对各变量的灵敏度计算公式，使得灵敏度计算更加便捷，提高了非概率可靠性灵敏度分析效率。

（4）当前研究以有限元仿真为核心，结合试验数据与智能算法形成闭环优化路径，未来将更注重多学科融合与标准化体系的完善。

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基金资助

国家自然科学基金项目(51775078)

辽宁省教育厅科学研究项目(JDL2020011)