全啮合高压缩比阿基米德螺线涡旋型线圆弧修正方法

Full-meshing high-compression-ratio Archimedean spiral scroll profiles modified by circular arcs

摘要

针对阿基米德螺线生成的涡旋型线在齿头部分存在尖点或不完整的现象，导致齿头型线不能完全啮合，且压缩比偏低的问题，提出了一种通过圆弧修正阿基米德螺线以构建全啮合高压缩比涡旋型线的方法。该方法基于阿基米德螺线与圆弧曲线的一阶连续光滑连接边界条件，推导了修正后阿基米德螺线涡旋齿的内外壁型线方程，并建立了其几何性能的数学模型。通过分析修正极角对型线参数及涡旋齿几何性能的影响，研究了修正前后阿基米德螺线涡旋齿的工作腔容积及流场压力的变化。结果表明，该修正方法生成的阿基米德螺线涡旋齿能够实现完全啮合，并显著提高涡旋压缩机的压缩比。当修正极角t₀=100°时，排气容积降低了43.53%，排气压力提高了54.27%，压缩比提高了54.39%。

Abstract

To address the issue of sharp points or incomplete profiles at the wrap tip in scroll profiles generated by the Archimedean spiral， which results in incomplete meshing and a low compression ratio， this paper proposes a method to enhance the scroll profile by modifying the Archimedean spiral with arc segments. This approach enables the creation of fully meshed， high-compression-ratio scroll profiles. By applying first-order continuous smooth connection boundary conditions between the Archimedean spiral and the arc curve， equations for the inner and outer wall profiles of the modified Archimedean spiral scroll wraps are derived， and a mathematical model for their geometric properties is established. The effects of the modification angle on profile parameters and the geometric properties of the scroll wraps are analyzed， along with changes in the working chamber volume and flow field pressure before and after modification. Results indicate that the proposed method enables the modified Archimedean spiral scroll wraps to achieve full meshing， significantly boosting the compression ratio of the scroll compressor. When the modification angle t₀=100°， the discharge volume decreases by 43.53%， the discharge pressure increases by 54.27%， and the compression ratio improves by 54.39%.

Graphical abstract

关键词

机械设计 / 全啮合型线 / 高压缩比 / 阿基米德螺线 / 圆弧修正 / 涡旋压缩机

Key words

mechanical design / fully meshing profile / high-compression-ratio / Archimedean spiral / circular modification / scroll compressor

0 引 言

复杂型面零件在航空、船舶、化工等各个领域里起着至关重要的作用，其设计和加工受到广泛关注^［1-4］。涡旋压缩机作为能量转化和动力提供的重要设备，广泛应用于空调制冷、医疗器械和工业废热回收等多种领域^［5-8］。其工作原理是通过螺旋形薄壁动涡旋齿围绕静涡旋齿运动，形成一系列月牙形腔体，以实现气体的吸入、压缩和排出。在此过程中，动、静涡旋齿必须在压缩腔内完全啮合且无干涉，因此，涡旋型线的设计对涡旋齿能否完全啮合起着关键作用。常用的型线包括圆渐开线和阿基米德螺线等。

圆渐开线因其良好的几何和力学性能，被广泛应用于涡旋机械。然而，在其加工过程中，由于与刀具的干涉，所形成的动、静涡旋齿无法实现无干涉全啮合，导致较大余隙容积和较低的容积比，故需要对涡旋齿头型线进行修正。现有的齿头修正型线有对称双圆弧、双圆弧加直线、非对称双圆弧、三角函数以及贝塞尔曲线加强等^［9，10］。Shaffer等^［11］利用曲率半径推导了涡旋齿头型线修正方法，并根据型线修正参数计算了涡旋齿头体积。Wang等^［12-14］研究了单涡旋齿和双涡旋齿的齿头型线修正，分析了几何参数对压缩机性能的影响。王国梁^［15］研究了单元组合型线涡旋齿头的型线修正，分析了其工作腔随转角的变化关系及内容积比和排气截面的工作特性。彭斌等^［16］研究了双涡圈涡旋压缩机双圆弧加直线修正的优化模型。上述研究为圆渐开线涡旋型线的设计和参数优化提供了参考。

阿基米德螺线因其数学描述简明和便于加工等优点，在机械设计和工程应用中具有较大优势。然而，利用阿基米德螺线生成的涡旋型线在齿头部分存在尖点或不完整现象，导致齿头型线不能完全啮合，且压缩比较小。为了解决上述问题，本文提出了一种用圆弧修正阿基米德螺线构建全啮合高压缩比涡旋型线的方法。修正后的阿基米德螺线涡旋型线，减小了排气腔容积，提高了排气压力，从而有效提升了压缩比。此方法为采用阿基米德螺线涡旋型线的涡旋压缩机设计及优化提供了理论基础。

1 求解阿基米德螺线涡旋齿修正型线

1.1　未修正的阿基米德螺线涡旋型线

未经修正的阿基米德螺线涡旋型线如图1所示，图1中R_or是主轴的回转半径。从图1（a）和（b）可以看出，未修正的阿基米德螺线生成的涡旋型线由于起始极角的不同，可能会出现齿头型线交叉或不完整的情况。如果去除图1（a）中的交叉曲线，可得到闭合的涡旋齿头曲线，如图1（c）所示，但这种方法得到的动、静涡旋齿头之间存在间隙，不能完全啮合，导致压缩比较低，不能满足工业生产及应用的需求。因此，需要对阿基米德螺线涡旋齿的齿头部分进行修正以提高其性能。

1.2　修正型线求解过程

本文利用圆弧曲线对阿基米德螺线涡旋齿的母线进行修正，阿基米德螺线为极角表示的曲线，圆弧为渐开角表示的曲线。根据修正型线和基体型线一阶连续光滑连接边界条件，求解修正型线参数，建立修正后的涡旋齿数学模型。

图2是利用圆弧修正后的阿基米德螺线涡旋齿型线。

图2中，母线C₁的方程为：

\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{1}}=(a+bt)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}t\\ y_{\mathrm{1}}=(a+bt)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}t\end{array}\right.,t\in [t_{\mathrm{0}},t_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}]（1）

母线C₂的方程为：

\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{2}}=-(a+bt)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}t\\ y_{\mathrm{2}}=-(a+bt)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}t\end{array}\right.,t\in [t_{\mathrm{0}},t_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}]（2）

式中：a为阿基米德螺线极角为0时的极径；b为螺线系数；t₀为涡旋齿修正极角；t为曲线极角；t_max为曲线终端极角。

图2（a）为型线修正的微分几何示意图。其中，阿基米德螺线涡旋型线的齿端用修正圆弧替代，修正圆弧OA和OB为过原点O的中心对称曲线，C和E为两修正圆弧圆心。母线C₁和修正圆弧OA的连接点A、OA和OB的连接点以及修正圆弧OB和母线C₂的连接点B都应满足一阶连续光滑连接边界条件。图2（b）为修正后涡旋齿在公转中心位置处的母线及涡旋齿，O'A'和O'B'为动涡旋齿的齿头外壁曲线和内壁曲线，O''B''和O''A''为静涡旋齿的齿头外壁曲线和内壁曲线。

在图2（a）中，φ₀为修正点渐开角，p₀为修正点法截距。r_m为修正圆弧半径，λ为修正圆弧中心角。修正型线的求解过程包括修正型线参数求解和修正圆弧曲线方程求解，其求解过程如下。

（1） 修正点渐开角φ₀：在母线C₁和修正圆弧OA的连接点A处，由\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}({\phi }_{\mathrm{0}})=\frac{\mathrm{d}{y}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{d}{x}_{\mathrm{1}}}，得：

{\phi }_{\mathrm{0}}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(-\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(t_{\mathrm{0}})(a+b{t}_{\mathrm{0}})+b\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(t_{\mathrm{0}})}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(t_{\mathrm{0}})(a+b{t}_{\mathrm{0}})-b\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(t_{\mathrm{0}})}\right)（3）

（2） 修正点法截距p₀：要使得基体型线和修正型线在修正点一阶连续光滑连接，则在连接点A处，修正圆弧与阿基米德螺线的法线必共线，将坐标原点到法线的垂直距离OD定义为修正点法截距p₀。

p_{\mathrm{0}}=\sqrt[]{{(a+bt)}^{\mathrm{2}}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\phi }_{\mathrm{0}}-t_{\mathrm{0}})（4）

（3） 修正圆弧中心角\lambda：由\mathrm{\angle }COA=\mathrm{\angle }CAO，\mathrm{\angle }COA=({\phi }_{\mathrm{0}}-t_{\mathrm{0}})-\left(\lambda -\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}\right)，\mathrm{\angle }CAO=\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}-({\phi }_{\mathrm{0}}-t_{\mathrm{0}})。

\lambda =\mathrm{2}({\phi }_{\mathrm{0}}-t_{\mathrm{0}})（5）

（4） 修正圆弧半径r_m：由\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{\angle }OCD=OD/OC得

r_{\mathrm{m}}=\frac{p_{\mathrm{0}}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{\pi }-\lambda )}（6）

（5） 修正圆弧的圆心：由图2得圆心C点坐标：x_{\mathrm{m}\mathrm{1}}=r_{\mathrm{m}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\phi }_{\mathrm{0}}-\mathrm{\angle }DOC)，y_{\mathrm{m}\mathrm{1}}=r_{\mathrm{m}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\phi }_{\mathrm{0}}-\mathrm{\angle }DOC)。E点和C点是关于原点O的中心对称坐标，即修正圆弧OA的圆心C(x_{\mathrm{m}\mathrm{1}},y_{\mathrm{m}\mathrm{1}})：

\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{m}\mathrm{1}}=r_{\mathrm{m}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left({\phi }_{\mathrm{0}}-\lambda +\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}\right)\\ y_{\mathrm{m}\mathrm{1}}=r_{\mathrm{m}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\phi }_{\mathrm{0}}-\lambda +\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}\right)\end{array}\right.（7）

修正圆弧OB的圆心E(x_{\mathrm{m}\mathrm{2}},y_{\mathrm{m}\mathrm{2}})：

\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{m}\mathrm{2}}=-r_{\mathrm{m}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left({\phi }_{\mathrm{0}}-\lambda +\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}\right)\\ y_{\mathrm{m}\mathrm{2}}=-r_{\mathrm{m}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\phi }_{\mathrm{0}}-\lambda +\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}\right)\end{array}\right.（8）

（6） 修正圆弧的曲线方程：联立（1）~（8）式求解，可得修正圆弧的方程。

修正圆弧OA的曲线方程：

\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{r}\mathrm{1}}=x_{\mathrm{m}\mathrm{1}}+r_{\mathrm{m}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\phi \right)\\ y_{\mathrm{r}\mathrm{1}}=y_{\mathrm{m}\mathrm{1}}+r_{\mathrm{m}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\phi \right)\end{array}\right.（9）

式中：\phi \in \left[{\phi }_{\mathrm{0}}+\frac{\mathrm{3}\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}-\lambda ,{\phi }_{\mathrm{0}}+\frac{\mathrm{3}\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}\right]。

修正圆弧OB的曲线方程：

\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{r}\mathrm{2}}=x_{\mathrm{m}\mathrm{2}}-r_{\mathrm{m}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\phi \right)\\ y_{\mathrm{r}\mathrm{2}}=y_{\mathrm{m}\mathrm{2}}-r_{\mathrm{m}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\phi \right)\end{array}\right.（10）

式中：\phi \in \left[{\phi }_{\mathrm{0}}+\frac{\mathrm{3}\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}-\lambda ,{\phi }_{\mathrm{0}}+\frac{\mathrm{3}\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}\right]，\phi为修正圆弧的渐开角。

1.3　修正后阿基米德螺线涡旋齿的曲线方程

联立式（1）、（2）、（9）和（10），利用法向等距线法可得到动、静涡旋齿的内壁和外壁曲线方程。

静涡旋齿外壁曲线：

\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{f}\mathrm{1},\mathrm{o}}=x_{\mathrm{m}\mathrm{2}}-\left(r_m-\frac{R_{\mathrm{o}\mathrm{r}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\phi \right)\\ y_{\mathrm{f}\mathrm{1},\mathrm{o}}=y_{\mathrm{m}\mathrm{2}}-\left(r_m-\frac{R_{\mathrm{o}\mathrm{r}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\phi \right)\end{array}\right.（11）

\phi \in \left[{\phi }_{\mathrm{0}}+\frac{\mathrm{3}\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}-\lambda ,{\phi }_{\mathrm{0}}+\frac{\mathrm{3}\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}\right]

\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{l}{x}_{\mathrm{f}\mathrm{2},\mathrm{o}}=-(a+bt)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}t+\\ \frac{R_{\mathrm{o}\mathrm{r}}}{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(t-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\frac{b}{a+bt}\right)\right)\end{array}\\ \begin{array}{l}{y}_{\mathrm{f}\mathrm{2},\mathrm{o}}=-(a+bt)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}t+\\ \frac{R_{\mathrm{o}\mathrm{r}}}{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(t-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\frac{b}{a+bt}\right)\right)\end{array}\end{array}\right.\\ t\in [t_{\mathrm{0}},t_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}]\end{array}（12）

静涡旋齿内壁曲线：

\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{f}\mathrm{1},\mathrm{i}}=x_{\mathrm{m}\mathrm{1}}+(r_{\mathrm{m}}+\frac{R_{\mathrm{o}\mathrm{r}}}{\mathrm{2}})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\phi \right)\\ y_{\mathrm{f}\mathrm{1},\mathrm{i}}=y_{\mathrm{m}\mathrm{1}}+(r_{\mathrm{m}}+\frac{R_{\mathrm{o}\mathrm{r}}}{\mathrm{2}})\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\phi \right)\end{array}\right.（13）

\phi \in \left[{\phi }_{\mathrm{0}}+\frac{\mathrm{3}\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}-\lambda ,{\phi }_{\mathrm{0}}+\frac{\mathrm{3}\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}\right]

\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{l}{x}_{\mathrm{f}\mathrm{2},\mathrm{i}}=(a+bt)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}t+\\ \frac{R_{\mathrm{o}\mathrm{r}}}{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(t-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\frac{b}{a+bt}\right)\right)\end{array}\\ \begin{array}{l}{y}_{\mathrm{f}\mathrm{2},\mathrm{i}}=(a+bt)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}t+\\ \frac{R_{\mathrm{o}\mathrm{r}}}{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(t-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\frac{b}{a+bt}\right)\right)\end{array}\end{array}\right.\\ t\in [t_{\mathrm{0}},t_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-\mathrm{\pi }]\end{array}（14）

动涡旋齿外壁曲线：

\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{m}\mathrm{1},\mathrm{o}}=x_{\mathrm{m}\mathrm{1}}+\left(r_m-\frac{R_{\mathrm{o}\mathrm{r}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\phi \right)\\ y_{\mathrm{m}\mathrm{1},\mathrm{o}}=y_{\mathrm{m}\mathrm{1}}+\left(r_m-\frac{R_{\mathrm{o}\mathrm{r}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\phi \right)\end{array}\right.（15）

\phi \in \left[{\phi }_{\mathrm{0}}+\frac{\mathrm{3}\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}-\lambda ,{\phi }_{\mathrm{0}}+\frac{\mathrm{3}\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}\right]

\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{l}{x}_{\mathrm{m}\mathrm{2},\mathrm{o}}=(a+bt)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}t-\\ \frac{R_{\mathrm{o}\mathrm{r}}}{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(t-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\frac{b}{a+bt}\right)\right)\end{array}\\ \begin{array}{l}{y}_{\mathrm{m}\mathrm{2},\mathrm{o}}=(a+bt)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}t-\\ \frac{R_{\mathrm{o}\mathrm{r}}}{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(t-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\frac{b}{a+bt}\right)\right)\end{array}\end{array}\right.\\ t\in [t_{\mathrm{0}},t_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}]\end{array}（16）

动涡旋齿内壁曲线：

\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{m}\mathrm{1},\mathrm{i}}=x_{\mathrm{m}\mathrm{2}}-\left(r_m+\frac{R_{\mathrm{o}\mathrm{r}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\phi \right)\\ y_{\mathrm{m}\mathrm{1},\mathrm{i}}=y_{\mathrm{m}\mathrm{2}}-\left(r_m+\frac{R_{\mathrm{o}\mathrm{r}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\phi \right)\end{array}\right.（17）

\phi \in \left[{\phi }_{\mathrm{0}}+\frac{\mathrm{3}\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}-\lambda ,{\phi }_{\mathrm{0}}+\frac{\mathrm{3}\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}\right]

\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{l}{x}_{\mathrm{m}\mathrm{2},\mathrm{i}}=-(a+bt)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}t-\\ \frac{R_{\mathrm{o}\mathrm{r}}}{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(t-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\frac{b}{a+bt}\right)\right)\end{array}\\ \begin{array}{l}{y}_{\mathrm{m}\mathrm{2},\mathrm{i}}=-(a+bt)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}t-\\ \frac{R_{\mathrm{o}\mathrm{r}}}{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(t-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\frac{b}{a+bt}\right)\right)\end{array}\end{array}\right.\\ t\in [t_{\mathrm{0}},t_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-\mathrm{\pi }]\end{array}（18）

2 几何性能

几何性能是评判涡旋压缩机优劣的一个重要因素，涡旋压缩机的主要几何性能指标有行程容积、排气容积、压缩比以及泄漏线长度等。图3为主轴转角θ =0时修正后动静涡旋齿啮合剖面图，其中，D为涡旋齿端板直径。

2.1　行程容积

修正后阿基米德螺线涡旋齿的行程容积为：

V_{\mathrm{s}}=\mathrm{2}h{R}_{\mathrm{o}\mathrm{r}}{L}_{\mathrm{2}}(\theta )（19）

式中：

L_{\mathrm{2}}(\theta )={\int }_{t_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-\mathrm{3}\mathrm{\pi }}^{t_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-\mathrm{\pi }}\sqrt[]{x_{\mathrm{1}}^{\text{'}}{\left(t\right)}^{\mathrm{2}}+y_{\mathrm{1}}^{\text{'}}{\left(t\right)}^{\mathrm{2}}}\mathrm{d}t（20）

2.2　排气容积

修正后的阿基米德螺线涡旋齿由阿基米德螺线和修正圆弧构成，其排气容积为：

V_{\mathrm{d}}=\mathrm{2}h{R}_{\mathrm{o}\mathrm{r}}\left(L_{\mathrm{1}}\left(\theta \right)+L_{\mathrm{m}}\left(\theta \right)\right)（21）

式中：

L_{\mathrm{1}}(\theta )={\int }_{t_{\mathrm{0}}}^{t_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-\mathrm{5}\mathrm{\pi }}\sqrt[]{x_{\mathrm{1}}^{\text{'}}{\left(t\right)}^{\mathrm{2}}+y_{\mathrm{1}}^{\text{'}}{\left(t\right)}^{\mathrm{2}}}dt（22）

L_{\mathrm{m}}(\theta )={\int }_{{\phi }_{\mathrm{0}}+\frac{\mathrm{3}\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}-\lambda }^{{\phi }_{\mathrm{0}}+\frac{\mathrm{3}\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}}\sqrt[]{x_{\mathrm{r}\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}{\left(\phi \right)}^{\mathrm{2}}+y_{\mathrm{r}\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}{\left(\phi \right)}^{\mathrm{2}}}\mathrm{d}\phi（23）

式中：L₁和L₂为阿基米德螺线母线；L_m为修正圆弧母线。

2.3　压缩比

压缩比是衡量涡旋压缩机几何性能的重要指标，其计算公式为：

\nu ={\left[\frac{V_{\mathrm{s}}(\mathrm{0})}{V_{\mathrm{d}}({\theta }^{\mathrm{*}})}\right]}^{\kappa },\kappa =\mathrm{1.2}（24）

式中：κ为气体等熵指数；{\theta }^{\mathrm{*}}为开始排气时主轴转角。

2.4　径向泄漏线长度

泄漏线长度对涡旋压缩机的效率影响极大。其中，切向泄漏由涡旋齿的高度决定，相对简单；径向泄漏的泄漏量远大于切向泄漏，其泄漏线长度为涡旋型线的母线长度。即：

L=\mathrm{2}{L}_{\mathrm{m}}(\theta )+\mathrm{2}L(\theta )（25）

式中：

L(\theta )={\int }_{t_{\mathrm{0}}}^{t_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-\mathrm{\pi }}\sqrt[]{x^{\text{'}}{(t)}^{\mathrm{2}}+y^{\text{'}}{(t)}^{\mathrm{2}}}\mathrm{d}t（26）

3 修正极角的影响

为了研究修正型线参数对修正后阿基米德螺线涡旋型线的影响，本文采用定量分析法，在a=3 mm，b=2，修正极角t₀=\mathrm{60}°，\mathrm{70}°，\mathrm{80}°，\mathrm{90}°，\mathrm{100}°，回转半径R_or=3 mm、齿高h=25 mm和母线最大极角t_max=6π的条件下，重点分析修正极角t₀对涡旋型线的母线、涡旋齿、修正型线参数、径向泄漏线长度、排气容积以及压缩比的影响。

3.1　修正极角对涡旋型线母线和涡旋齿的影响

修正后阿基米德螺线涡旋齿的母线和齿形变化如图4（a）（b）所示。可以看出，随着修正极角的增大，阿基米德螺线涡旋齿的齿头厚度增加，意味着涡旋齿的齿头强度得到增强。

3.2　修正极角对径向泄漏线长度的影响

涡旋齿径向泄漏线长度随修正极角的变化如表1所示。结果表明，随着修正极角的增大，涡旋齿的径向泄漏线长度逐渐减小。因此，为了减少涡旋压缩机的泄漏，在满足其他设计条件的前提下，阿基米德螺线涡旋齿的修正极角应尽量选择较大值。

3.3　修正极角对排气容积和压缩比的影响

修正后阿基米德螺线涡旋压缩机的排气容积和压缩比变化如图5所示。由于修正设计仅针对涡旋齿的齿头部分，阿基米德螺线涡旋齿的行程容积保持不变。随着修正极角的增大，排气容积逐渐减小，导致压缩比逐渐增大。因此，在齿头修正设计时，为提高压缩比，在满足其他设计条件的情况下，应尽量选择较大的修正极角。

3.4　修正极角对修正圆弧中心角和修正圆弧半径的影响

修正圆弧中心角λ和修正圆弧半径r_m随修正极角的变化如图6所示。可以看出，随着修正极角的增大，修正圆弧中心角λ和修正圆弧半径r_m均逐渐增大，即修正极角与修正圆弧中心角和修正圆弧半径呈正相关关系。

4 修正前后阿基米德螺线涡旋齿的工作腔容积及流场压力变化

在阿基米德螺线涡旋型线a=3 mm，b=2，h=30 mm，R_or=3 mm，t_max=6π，修正极角t₀=100°的情况下，采用定量分析研究修正前后阿基米德螺线涡旋齿的工作腔容积和流场压力分布情况，表2是计算得到的修正前后涡旋齿的性能参数。图7是计算得到的阿基米螺线涡旋齿修正前后从吸气开始到压缩终了时工作腔容积的变化曲线。

从图7和表2中可以看出，修正后阿基米德螺线涡旋齿开始排气时的工作腔容积比修正前的小，排气压力比修正前的大。假设修正前阿基米德螺线涡旋齿啮合齿头不会发生泄漏，经计算修正后涡旋齿比未修正涡旋齿的排气容积降低了43.53%，压缩比提升了54.39%。

图8（a）（b）是利用Pumplinx软件仿真得到的修正前、后阿基米德螺线涡旋齿的工作腔内部压力分布云图。图8（c）则是修正前后涡旋齿在相同啮合位置处压力随时间的变化曲线。假设工作腔内的气体为理想气体，并且涡旋压缩机的进出口为压力边界，修正前、后涡旋齿的吸气压力均为101 325 Pa，转速设定为3 000 r/min。在相同啮合位置处，以静涡旋齿底盘中心为坐标原点，对修正前后的涡旋齿在同一坐标位置进行压力分析并进行对比。结果表明，修正前、后的排气口压力分别为900 212 Pa和1 388 720 Pa，排气压力提高了54.27%。

从图8中可以看出，在相同的啮合位置下，修正后的阿基米德螺线涡旋齿排气腔压力明显高于修正前，而吸气腔的压力变化较小。因此，修正后的阿基米德螺线涡旋齿能够有效提高涡旋压缩机的压缩比。

5 结 论

（1） 本文利用圆弧对阿基米德螺线涡旋齿的齿头型线进行修正，基于一阶连续光滑连接边界条件，详细推导了修正型线方程，获得了全啮合涡旋型线。

（2） 研究了修正极角对修正型线参数和修正后涡旋齿几何性能的影响。研究结果表明：随着修正极角的增大，修正后的阿基米德螺线涡旋齿的排气容积变小，径向泄漏线长度变小，压缩比增大；修正极角与修正圆弧中心角和修正圆弧半径成正相关，因此在进行阿基米德螺线涡旋齿的设计制造时，在满足其他条件的情况下，涡旋型线的修正极角应尽量取较大值以获得更好的几何性能。

（3） 修正后的阿基米德螺线涡旋型线，减小了排气腔容积，提高了排气压力，从而有效提升了压缩比。经计算，当修正极角t₀=100°时，排气容积降低了43.53%，压缩比提升了54.39%，排气压力提高了54.27%。

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基金资助

国家自然科学基金项目(52265034)