基于切比雪夫对立的二进制蝙蝠算法的特征选择多目标优化生物启发式方法

Bio-Inspired approach for multi-objective optimization of feature selection using chebyshev opposite-based binary bat algorithm

摘要

设计了一个多目标优化函数以共同优化分类准确率和所选特征的数量，并通过线性加权方法构建了一个单目标适应度函数。提出了一种切比雪夫对立二进制蝙蝠算法（COBBA）以缓解蝙蝠算法（BA）在优化中的种群多样性不足对最优解质量的影响，从而提高特征选择的性能。具体地，本文使用混沌映射生成混沌序列以确保初始解的多样性，而后采用对立学习技术进一步优化初始解，最后通过使用切比雪夫多项式调整参数提高最优解的质量。仿真实验在15个经典数据集上进行，结果表明：COBBA在平均适应度、分类准确率和所选特征数量方面优于各类常用的群体智能算法。

Abstract

A multi-objective optimization function is designed to optimize the classification accuracy and the number of selected features jointly， and a single-objective fitness function is constructed by employing the linear weighting method. Then， a Chebyshev opposite-based binary bat algorithm （COBBA） is proposed to mitigate the shortcomings of the bat algorithm （BA） in optimization， such as the lack of population diversity， thereby improving the performance of feature selection. Specifically， a chaotic sequence is generated using a chaotic map to ensure greater diversity in the initial solutions. Additionally， opposite-based learning techniques are used to optimize the initial solutions further and obtain a set of solutions closer to the optimal solution. Chebyshev polynomials are used to improve the quality of the optimal solution by tuning the parameters. Finally， the experiments are conducted on 15 classical datasets. The results show that COBBA outperforms several commonly used swarm intelligence algorithms in average fitness， classification accuracy， and the number of selected features.

Graphical abstract

关键词

多目标优化 / 特征选择 / 群体智能算法 / 蝙蝠算法

Key words

multi-objective optimization / feature selection / swarm intelligence algorithm / bat algorithm

0 引 言

特征选择是一种解决高维数据问题的有效方法，在机器学习模型的开发中起着关键作用^［1］。它通过消除无关特征、保留有价值的特征来减少数据集的维度^［2］，从而降低计算负担、提升算法性能，提高机器学习模型的效率。因此在文本和图像分类^［3，4］等领域特征选择得到了广泛应用。

特征评估是确定最佳特征子集的重要步骤，主要有3类方法：过滤法、包装法和嵌入法^［5］。过滤法为每个特征分配相关性评分，衡量特征的区分能力，但由于通常不考虑特征之间的相关性，准确性相对较低。包装法与机器学习算法结合，利用适应度函数和预测模型计算和评估每个特征子集的适应度值，尽管分类准确性更高，但消耗计算资源更多。嵌入法将寻找最优特征子集与分类器的构建整合为一个单一的优化问题。然而，嵌入方法往往在未考虑所选特征相关性的情况下生成特征子集，导致冗余^［6］。

单目标的特征选择算法往往只考虑了准确率或选择的特征数目，而没有考虑它们的权衡，因此多目标优化特征选择成为近年的研究热点。元启发式算法，如遗传算法^［7］、新型鲸鱼优化算法^［8］，在解决多目标特征选择问题方面获得了显著关注^［9］。与过滤法、包装法和嵌入法不同，此类算法基于生物系统，模拟鸟类、鱼类或昆虫等生物的集体行为，在特征空间中进行全局搜索，找到有效的解决方案。

蝙蝠算法（Bat algorithm，BA）模拟蝙蝠的回声定位行为，蝙蝠通过发出声波并听取回声来定位猎物^［10］。蝙蝠算法在优化过程中存在一些缺陷，例如局部收敛和全局搜索能力不足，原始形式的蝙蝠算法难以解决离散优化问题 ^［11］，和易于过早陷入局部最优解^［12］。因此，研究和改进蝙蝠算法，使其更适合特征选择问题，具有重要的理论和实际意义。本文面向改进蝙蝠算法，用以解决特征选择问题。本文主要贡献如下：

（1）将特征选择问题转化为多目标优化问题，设计一个增强的线性加权适应度函数，旨在同时减小特征子集和提高分类准确率。

（2）提出了一种基于切比雪夫反向的二进制蝙蝠算法（Chebyshev opposite-based binary bat algorithm，COBBA），用于解决所制定的适应度函数。COBBA引入了混沌映射、反向学习技术，并通过切比雪夫多项式调整参数。此外，它还结合了S型函数，将连续解空间转化为离散空间，以适应特征选择任务。

（3）为验证提出方法的有效性，选择了15个来自加州大学欧文分校（UC Irvine，UCI）机器学习库的经典数据集进行实验评估。从适应度值、分类准确率和选择的特征数量等方面，进行了与其他几种元启发式算法的比较分析。

1 预备知识

1.1　蝙蝠算法

蝙蝠算法是Yang等^［13］提出的元启发式算法，通过模拟自然界蝙蝠利用自身回声定位系统寻找最佳解决方案。由于所需参数少且精度高，蝙蝠算法得到了广泛应用，如社区检测^［14］和垃圾邮件检测^［15］。

蝙蝠算法由于收敛速度过快，无法全面探索整个搜索空间，探索能力较弱，无法确定全局最优解。Seetharaman等^［16］提出贪婪交叉的二进制蝙蝠算法（Binary bat algorith，BBA），解决了获取高分类准确度的简化基因特征的多目标问题。然而，上述工作采用单一的准确性目标衡量性能，这导致了两个不足之处。一方面，特征选择结果倾向于高维解决方案，可能导致过拟合；另一方面，模型的泛化能力较差，所选特征集不稳定。

根据无免费午餐（No free lunch，NFL）定理^［17］，尽管蝙蝠算法在各种优化问题中得到广泛应用，但不存在一种单一算法能解决所有优化问题。因此，针对特定优化问题不断提出新的改进蝙蝠算法，成为当前领域的一项新挑战。

1.2　特征选择中的挑战

在寻找使模型预测能力最大化的最优特征子集时，如何最小化选取特征的数量，成为特征选择中的关键。

在特征评估中，过滤方法根据数据集的内在属性评估所选特征子集。该方法计算速度较快，但分类准确性较低，因此理论研究和实际应用显著落后于包装方法。嵌入方法将特征的选择过程直接整合到模型训练阶段。尽管嵌入方法有效地平衡了效率和模型特定的相关性，但由于依赖特定模型和实现复杂性等问题，稳健性和普适性可能受到限制。包装方法利用分类器识别最能代表原始特征集的子集，实现更高的分类准确性。大多数包装方法采用群体智能算法作为学习机制^［18］。

综上所述，蝙蝠算法具有较强的潜力，但在特征选择中的应用仍存在一些局限性，如需参数调优、对初始种群多样性敏感，以及容易陷入局部最优解。这促使了新算法的开发，旨在利用蝙蝠算法的优势并提升特征选择的性能。

2 特征选择模型

2.1　问题描述

针对特征选择问题，本文主要关注两个主要目标：特征子集大小和分类错误率。特征子集的大小表示从原始集合选择的特征数量，分类错误率通过计算误分类样本与总样本数量的比率来量化特征子集的性能。这两个目标本质上是相互冲突的。减少特征子集的大小可能导致重要信息的丢失，从而降低分类准确性。包含更多特征则会增加模型的复杂性和潜在的过拟合风险。

给定维度为N的特征空间，可能的特征子集数量为2^N-1，因为搜索空间的呈指数增长，寻找最优解将是一个NP难题^［19］。接下来，将对本文中的优化目标进行量化。

优化目标一：特征子集大小，表示为：

f_{\mathrm{1}}(S)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^D}{s}_i（1）

式中：S为可行解；D为原始数据的维度，即特征的总数；s_i 为二进制变量，表示第i个特征是否被选择（s_i =1）或未被选择（s_i =0）。

优化目标二：分类错误率，表示为：

f_{\mathrm{2}}(S)=\frac{\mathrm{1}}{k}{\displaystyle \sum _{\mathrm{1}}^k}\frac{N_{\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{r}}}{N_{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}}}（2）

式中：N_err为分类错误的数量；N_all为所有分类样本的总数；k为交叉验证参数。

2.2　模型构建

特征选择问题是一个多目标优化问题，优化过程中通常需要使用帕累托解集，以有效平衡各目标^［20］。然而，在实际应用中，从帕累托前沿选择最优解通常需要耗费大量计算资源。因此，将多目标优化问题转化为单目标问题通常更为务实。

线性加权法通过将多个目标组合成一个单一目标函数，简化多目标优化问题，并根据各个目标的重要性分配权重。本文采用了一种将多目标优化问题转化为单目标问题的线性加权函数。目标函数可以表示为：

Z=a_{\mathrm{1}}{f}_{\mathrm{1}}(S)+a_{\mathrm{2}}{f}_{\mathrm{2}}(S)（3）

式中：a₁为权重值，a₁=1-a₂，且a₁，a₂∈［0，1］，通过调整目标的权重，动态平衡它们的重要性。

3 算 法

本节提出了一种改进的二进制蝙蝠算法，以解决特征选择问题。首先，介绍传统蝙蝠算法，并讨论其工作过程和基本原理；其次，描述把蝙蝠算法的连续解空间转化为离散解空间的方法，以满足特征选择的需求；最后，详细介绍所提出的COBBA及其具体改进因素。

3.1　传统蝙蝠算法

蝙蝠算法是一种有效的全局最优解搜索方法。该算法模拟蝙蝠利用回声定位进行优化的觅食过程。在优化过程中，首先生成一组初始解，然后迭代确定最优解。通过在最优解附近随机飞行生成新的局部解。类似于其他群体智能算法，对于D维优化问题，每个蝙蝠的位置和速度分别由变量x_i 和v_i 表示。设x_min和x_max分别为维度空间D的下界和上界。在初始化蝙蝠种群时，通过以下公式随机生成初始解：

x_j^i(\mathrm{0})=x_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}+\phi (x_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-x_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}})（4）

i\in [\mathrm{1,2},\dots ,n];j\in [\mathrm{1,2},\dots ,d]

式中：x_{\mathrm{j}}^{\mathrm{i}}（0）为第i个个体在第j维度的位置信息；\phi \in［0，1］为随机取样的值。

在蝙蝠算法的优化过程中，每个蝙蝠在D维搜索空间中的位置x_i （t）和速度v_i （t）在迭代t时更新。位置更新公式如下：

x^i(t)=x^i(t-\mathrm{1})+v^i(t)（5）

蝙蝠的速度和更新频率可计算如下：

f_i=f_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}+(f_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-f_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}})\beta（6）

v^i(t)=v^i(t-\mathrm{1})+(x^i(t-\mathrm{1})-x^{\mathrm{*}})f_i（7）

式中：β∈［0，1］为随机向量；x^* 为当前的全局最优解；f_i ∈［f_min，f_max］为随机选择的频率值。

此外，每个蝙蝠在当前最佳解决方案附近飞行以生成新的局部最优解。随机飞行执行如下：

x_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}=x_{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}+\epsilon A_t（8）

式中：ε∈［-1，1］为随机值；x_old为当前的全局最优解；A_t 为迭代t的平均响度。

3.2　二进制蝙蝠算法

蝙蝠算法设计用于连续搜索空间，而特征选择问题涉及离散优化。为适应特征选择问题，必须将连续搜索空间转化为二进制搜索空间。这一转变通过S形转移函数实现，该函数将连续值映射为二进制值，具体如下：

num(v_j^i(t+\mathrm{1}))=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}{v}_j^i(t+\mathrm{1})}}（9）

接下来，计算第i个粒子在第j维度的二进制新位置：

（10）

3.3　COBBA算法

本节提出了一种基于切比雪夫对立的二进制蝙蝠算法（COBBA），用于解决特征选择问题。COBBA引入了3个改进因素：用于种群初始化的混沌映射、基于反向学习的技术以及用于参数调优的切比雪夫多项式，旨在提升传统二进制蝙蝠算法的有效性。所提出COBBA的伪代码见算法1。

算法 1 基于切比雪夫对立的二进制蝙蝠算法

初始化：解维度数量D，种群规模N，适应度函数Z和最大迭代次数t_max。

（1） for n = 1 to N do

（2） 使用混沌映射公式（11）（12）生成种群。

（3） end for

（4） 根据适应度值，选择规模为N种群。

（5） for t = 1 to t_max do

（6） for i = 1 to N do

（7） 使用公式（4）更新位置。

（8） 使用切比雪夫多项式优化的参数公式（4）~（7），（13）~（14）更新速度。

（9） 使用S形函数公式（9）（10）更新位置。

（10） if rand > r then

（11） 选择最优个体随即飞行。

（12） end if

（13） 更新并计算种群新适应度值。

（14） if rand < A and f（new） < f（x^*） then

（15） 接受新解并更新响度。

（16） 排序并找到当前最优解x^*。

（17） end if

（18） end for

（19） return x^*

（20） end for

3.3.1　混沌映射用于种群初始化

在计算应用中，特别是在初始化种群时，混沌映射发挥着重要作用^［21］。该技术确保每个个体在问题维度上的唯一初始位置分布，从而覆盖更广泛的搜索空间，这增加了找到全局最优解的可能性。因此，利用切比雪夫映射^［22］初始化种群，切比雪夫映射通过递归关系定义。设n∈Z^*为整数，变量x∈［-1，1］。第n阶的切比雪夫多项式T_n （x）由［-1，1］上的余弦函数给出：

T_n(x)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\cdot \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x（11）

当n≥2时，等价的递归迭代可表示为：

\left\{\begin{array}{l}{T}_{\mathrm{0}}(x)=\mathrm{1}\\ T_{\mathrm{1}}(x)=x\\ T_n(x)=\mathrm{2}x{T}_{n-\mathrm{1}}(x)-T_{n-\mathrm{2}}(x)\end{array}\right.（12）

该映射确保初始解的分布最大化多样性和覆盖搜索空间，从而增强优化算法的整体能力。

3.3.2　切比雪夫多项式调参

在蝙蝠算法中，β是随机生成的，这可能导致算法过早收敛到次优解，从而降低准确性、减缓收敛速度并降低精度。因此，采用一种混沌映射方法，使用切比雪夫多项式重新制定随机的β，旨在防止过早收敛并加快收敛速度。对于m∈Z^*，∀k∈［-1，1］，通过m阶切比雪夫多项式更新β：

{\beta }_m(k)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}m\cdot \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}k（13）

当m≥2时，等价的递归迭代定义为：

{\beta }_m(k)=\mathrm{2}k{\beta }_{m-\mathrm{1}}(k)-{\beta }_{m-\mathrm{2}}(k)（14）

式中：β₀（k）=1，β₁（k）=k。

3.3.3　基于对立学习的技术

在传统蝙蝠算法中，搜索过程始于随机生成的初始种群，并在经过若干次迭代后可能会收敛到最优解。这种随机初始化的种群可能包含非最优解，导致搜索偏向次优区域。为解决该问题，引入了基于对立学习的技术，同时考虑其解及其对立解，以提升搜索效率。这种双重考虑有效加速了收敛过程，确保搜索向解决方案空间中更有潜力的区域移动。基于对立学习的相对点概念用于生成对立解，从而系统性提升算法的效率和收敛率。对于每个x∈［a，b］，其相对点\widehat{x}可表示为：

\widehat{x}=a+b-x（15）

4 实验设计及结果分析

本节对提出的COBBA进行了全面评估，以验证其在特征选择中的有效性。首先，将介绍用于评估的数据集。接下来，将对COBBA与多个基准算法进行比较。最后，将分析改进因素对算法性能的有效性。

4.1　实验设置

本文引入了15个典型的UCI机器学习库数据集，每个数据集的80%用于训练，20%用于测试。这15个数据集包含高维和低维特征，不同的特征和样本数量代表了各种问题，数据集的主要信息如表1所示。

4.2　仿真结果

本节主要关注所提的COBBA及其他比较算法在4个关键指标上的实验结果，包括：函数收敛速度、平均适应度、平均分类准确率、平均选择特征数量，以全面评估COBBA算法的能力和优势。为符合特征选择问题，对比算法二进制蝙蝠算法（BBA）、二进制蜻蜓算法（Binary Dragonfly algorithm， BDA）^［23］、二进制粒子群优化算法（Binary Particle swarm optimization， BPSO）^［24］、二进制灰狼算法（Binary Grew wolf optimizer， BGWO）^［25］均通过式（9）（10）映射为二进制值，关键参数如表2所示。

图1展示了COBBA与其他比较算法在6个代表性数据集上的收敛过程。尽管COBBA的初始收敛速度并不总是最快，但它在大多数数据集上达到了最低的适应度值。相比之下，其他算法初始收敛速度较快，但最终收敛于较高的适应度值，表明其为次优解。

特别地，与BBA相比，COBBA通常收敛于显著更优的解。这一优势主要归因于其改进因素，与BBA所采用的简单策略相比，COBBA的对立学习方法扩展了搜索空间，提高了搜索效率，从而导致更快的收敛。通过平衡探索和利用，COBBA更有效地细化搜索过程，最终实现了优越的整体性能。

表3展示了COBBA与其他比较算法在15个数据集上取得的平均适应度。分析显示，COBBA在12个数据集上取得了最佳实验结果。尤其是在高维数据集上，COBBA分别取得了0.305和0.005的适应度值，显著优于其他算法。

4.3　结果比较与分析

适应度函数由准确度与特征数量两部分构成。在对比各算法性能时，发现COBBA在11个数据集的平均分类准确率方面超越了其他算法。而在特征数量方面，COBBA在所有算法中，达到了次低。虽然COBBA并不总是选择最少的特征，但它始终保持了特征减少与分类准确率之间的平衡。例如在BreastEW数据集中，COBBA选择了最少的4.33个平均特征，同时维持了最高的准确率0.961。尽管在某些情况下，COBBA选择的特征数量超过了其他方法，但在最大化特征信息量方面表现优异，从而增强了模型的预测能力。

4.4　改进因子有效性分析

为证明改进因子有效性，对COBBA进行消融实验，具体而言，共考虑3个版本的BBA，每个版本在原始BBA上仅添加一个改进因子，分别为：①具有对立学习因子的BBA-O；②带有初始化因子的BBA-I；③带有切比雪夫多项式因子的BBA-C。将这3种版本的BBA和原始BBA在4个数据集上进行比较，并使用准确率、选择的特征数量和适应度值的平均值来评估它们的性能，具体的消融实验结果如表4所示。

在消融实验中，3个改进因子均显著提升了BBA的性能。具体来说，具有对立学习因子的BBA-O在Arrhythmia和HeartEW数据集上准确率分别提升至0.697和0.844，表明对立学习因子在提升全局搜索能力和避免局部最优方面具有重要作用。带有初始化因子的BBA-I在Arrhythmia和Krvskp数据集上，尽管在准确率未达到最优，但适应度值达到最低，证明其能够探索起始解空间，提供候选解，以避免局部最优。带有切比雪夫多项式因子的BBA-C则通过动态调整参数，在Krvskp和Wine数据集上选择了最少的特征数量。消融实验结果说明，COBBA引入多项优化，在保持与传统BBA相同时间复杂度的同时，显著提升了性能。

5 结束语

本文研究旨在提高分类性能和减少数据维度的特征选择问题。首先，对特征选择问题进行了表述；然后，使用线性加权方法将包含特征子集大小和分类错误率的多目标优化问题转换为单目标问题，该转换问题被用作适应度函数；其次，提出了一种COBBA算法来解决特征选择问题，在COBBA中引入了混沌映射进行种群初始化，以增加多样性；同时，采用对立学习技术来提高效率和收敛速度；此外，利用切比雪夫多项式对β进行精细初始化，从而改善探索与开发之间的平衡，导致更高效的搜索和更高质量的解；同时，结合了S形函数，将连续解空间映射到离散解空间，使其适合特征选择问题；最后，进行了仿真实验以评估所提出的COBBA的有效性。结果表明：COBBA优于其他对比算法，未来计划使用更真实的数据集进一步评估COBBA的性能。

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基金资助

吉林省科技发展计划项目(20220101101JC)

吉林省科技发展计划项目(20240302079GX)