多策略改进核搜索算法及其应用

Multi-strategy improved kernel search algorithm and its applications

摘要

针对核搜索算法（KSO）易陷入局部最优的不足，提出了一种多策略改进的核搜索算法（MSKSO）。首先，引入融合Tent混沌映射与量子计算的种群初始化策略，增强了种群的多样性和随机性；然后，提出了一种动态精英反向学习策略，进一步扩展种群的全局搜索范围；最后，采用灰狼优化算法的搜索机制，增强了种群的局部寻优能力。通过使用CEC2017测试函数集，验证了MSKSO具有更优的寻优性能和鲁棒性，并将MSKSO应用于实际的经济排放调度问题中，进一步验证了该算法的有效性和鲁棒性。

Abstract

Addressing the shortcomings and deficiencies of the Kernel Search Optimization （KSO） algorithm， a multi-strategy improved Kernel Search Optimization （MSKSO） algorithm was proposed. Firstly， a population initialization strategy that integrates Tent chaotic mapping with quantum computing was introduced， enhancing the diversity and randomness of the population. Secondly， a dynamic elite opposition-based learning strategy was proposed to further expand the global search range of the population. Finally， the search mechanism of the Grey Wolf Optimizer （GWO） was utilized to strengthen the local optimization capability of the population. Superior optimization performance and robustness of MSKSO are verified via the CEC2017 test function set. The universality and effectiveness of the algorithm are also validated through its application to practical economic emission dispatch problems.

Graphical abstract

关键词

计算机应用 / 群智能优化 / 核搜索算法 / 混沌映射 / 量子计算 / 动态精英反向学习 / 灰狼算法 / 经济排放调度

Key words

computer application / swarm intelligence optimization / kernel search algorithm / chaotic mapping / quantum computing / dynamic elite opposition-based learning / grey wolf optimizer / economic emission dispatch

0 引 言

伴随现今科技的快速进步，当前的工程问题^［1］愈发复杂，基于传统数学原理的优化方法^［2］已经很难再找到全局最优解。并且还存在收敛性差，容易陷入局部最优和处理问题的方案单一等诸多问题。为了满足当下实际问题的需求，基于仿生学的元启发算法^［3］备受广大研究学者的青睐。这些模拟自然规律的元启发算法有着通用性强、效率高和操作简单等优点，被广泛应用在图像处理^［4］，车间调度^［5］，电力系统^［6］和物流优化^［7］等应用领域中。近些年提出的优秀算法主要有：粒子群优化算法（Particle swarm optimization，PSO）^［8］、灰狼优化算法（Grey wolf optimizer，GWO）^［9］、螯虾优化算法（Crayfish optimization algorithm，COA）^［10］、貂藻优化算法（Waterweed optimization algorithm，WWPA）^［11］、黑翅鸢优化算法（Black kite algorithm，BKA）^［12］以及鹅群优化算法（Goose optimization algorithm，GOOSE）^［13］。这些算法都有着很好的寻优性能，被广泛地应用在各种实际工程问题中。

核搜索算法^［14］（KSO）是于2019年提出的新型元启发算法。与其他模拟群体动物行为的传统群智能算法不同，它是基于纯数学理论的元启发算法。针对不同的实际工程问题，一般的群智能算法需要调节各种重要的超参数，才能搜索到最优值。然而KSO算法不需要调节任何超参数，有着很强的自适应搜索性能。因此使用KSO算法解决实际工程问题会变得相当简单，这是KSO算法不同于其他算法的优势。

虽然KSO算法具有操作简单、效率高和全局寻优能力强的优点，但是在处理一些复杂优化问题时，会出现寻优精度低和容易陷入局部最优的问题。为解决上述问题，针对KSO自身的缺陷和不足，许多学者对该算法进行多种改进优化^［15-18］。本文提出了一种多策略改进核搜索算法（Multi-strategy kernel search optimization，MSKSO）提高KSO的寻优性能。MSKSO采取3种策略改进KSO算法。为了获得更高质量的初始种群，引入了融合Tent混沌映射和量子计算的种群初始化策略，以便于得到更优的候选解，进而提高种群收敛性能；为了跳出局部最优，本文提出了动态精英反向学习策略，扩大种群的搜索范围；为了提高算法的收敛速度和寻优精度，融合了灰狼算法的搜索机制。最后MSKSO通过CEC2017测试实验和经济排放调度实际工程问题的优化结果，证明了MSKSO算法的优越性和有效性。

1 KSO算法

KSO算法是从核映射^［19］的数学原理中获得灵感的。核映射指的是将非线性的数据映射到更高维的线性空间，这一过程与元启发算法的非线性搜索过程类似。核搜索算法可以通过核映射机制将复杂的非线性问题转化为线性问题，使其算法的搜索过程更具有效率性，更易于获得全局最优解。核函数与非线性目标函数近似拟合，经过种群多次迭代，核函数的最优值会越来越近似于目标函数的最优值，从而最终得到目标函数的最优值。

根据核映射原理，将非线性函数y=f(x)，通过u=\phi (x)映射可得：

\begin{array}{l}y=f(x)={\mathit{\omega }}^{\mathrm{T}}• \mathit{u}+b=\phi (a)•\\ \phi (x)+b=K(a,x)+b\end{array}（1）

式中：y为输出值；x为输入值；\mathit{\omega }为权重向量；\mathit{u}为映射后的特征向量；f(·)、\phi (·)分别为非线性函数、映射函数；b为偏置项；K(a,x)为核函数。

高维空间的线性函数不易直接进行求解，但可以直接求解其对应的拟合核函数。核函数的种类繁多，本文采用的是径向基核函数（Radial basis function，RBF）^［20］，公式如下所示：

\begin{array}{l}y=f(x)=K(a,x)+b=\\ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\frac{{‖x-a‖}^{\mathrm{2}}}{\sigma }\right)+b\end{array}（2）

式（2）只是借鉴了RBF核函数的思想，所以不需要严格要求。在核搜索算法进行种群迭代时，其核函数的解会愈发逼近原目标函数的理论解。故只要得到式（2）的最小值，便可得到目标函数的最小值。式（2）取得最小值的所有情况如下：

（3）

式中：x_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}为当前最优解；x_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}、x_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}分别为搜索空间的下界和上界。

从式（3）可以看出，明确了\sigma和a的值便可以得到x_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}的大小，因此求解\sigma和a便格外关键。\sigma和a的值可分别通过下式得到^［14］：

a_i=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[x_i+x_i^{\text{'}}-\sigma \mathrm{l}\mathrm{n}\left(\frac{y-b}{y{\text{'}}_i-b}\right)/(x_i-x_i^{\text{'}})\right]（4）

\sigma =\frac{x_j^{\text{'}}-x_j^{″}}{\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\frac{y-b}{y_j^{\text{'}}-b}\right)/\left(x_j-x_j^{\text{'}}\right)-\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\frac{y-b}{y_j^{″}-b}\right)/\left(x_j-x_j^{″}\right)}（5）

根据式（4）（5）求解出的\sigma和a的值只可获得本次迭代过程中的近似值x_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}的大小。因此需要通过多次迭代更新以无限逼近于真正的目标最优值，从而获得理论的目标最优值。KSO算法的迭代公式为：

（6）

式中：x_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}为迭代后的新位置；x_{g\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}为全局最优解；\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}为0到1之间的随机数。

2 多策略改进的KSO算法

针对KSO算法的不足，本文采用了3个系列的改进策略提高其性能，分别是融合Tent混沌映射和量子计算的种群初始化策略、动态精英反向学习策略和灰狼搜索策略。

2.1　种群初始化策略

原始KSO算法使用随机分布伪随机生成初始种群，这样可能会导致初始种群个体不够随机，影响种群的收敛速度。如果能够采用某种策略，以更随机、更均匀的方式生成初始个体，那么初始解的质量将得到显著提高，算法的收敛速度也会加快。为了获得质量更好的初始种群，本文提出了一种融合Tent混沌映射和量子计算的种群初始化策略。

2.1.1　Tent混沌映射

由于混沌序列^［21］具有较强的随机性和遍历性，可以在种群初始化阶段生成更均匀的种群个体，被广泛用作群体智能种群初始化阶段的改进策略。混沌映射有很多种类型，包括Circle混沌映射、Logistic混沌映射、Sine混沌映射和Tent混沌映射。不同的混沌序列使用不同的函数公式，使用不同的混沌映射方法进行种群初始化所获得的效果也不同。本文采用Tent混沌映射方法进行种群初始化。

Tent混沌映射，又称帐篷映射，是一种分段线性映射。它是一种一维混沌映射，广泛应用于混沌加密系统（图像加密），也常用于混沌扩频码的生成、混沌加密系统的构建、混沌优化算法的实现等方面。混沌映射将函数映射到区间［0，1］，如下所示：

y_{i+\mathrm{1}}=f(y_i)=\left\{\begin{array}{l}\frac{y_i}{\alpha },\hspace{1em}{y}_i\in [\mathrm{0},\alpha )\\ \frac{\mathrm{1}-y_i}{(\mathrm{1}-\alpha )},y_i\in [\alpha ,\mathrm{1}]\end{array}\right.（7）

式中：y_i为i次迭代后的混沌数；\alpha为（0，1）之间的可自定义参数，当\alpha =\mathrm{0.5}时，系统会呈现周期状态，将不会具有随机性，因此\alpha不能取值0.5，经过多次测试，本文取\alpha =\mathrm{0.7}。

经过改进后的种群初始化公式为：

x_{i,j}=b_{\mathrm{l}}+(b_{\mathrm{u}}-b_{\mathrm{l}})\times y_i（8）

式中：b_{\mathrm{u}}、b_{\mathrm{l}}分别为搜索空间的上、下界。

2.1.2　量子计算理论

本文利用量子计算^［22］中量子比特叠加态的特点，在初始化种群阶段引入量子计算理论，可以得到更加多样化的种群个体，进而提高初始种群的质量。

比特是经典计算机的一个基本概念，是组成信息的最小单元。在量子计算中也有类似的概念，即量子比特。经典比特有0和1两个互斥状态，量子比特则以\left|\mathrm{0}>\right.和\left|\mathrm{1}>\right.作为两个基本计算基态，量子比特可以是这两个基本基态的任意线性组合，其数学表示形式为：

\left|\phi >=\alpha \right|\mathrm{0}>+\left|\beta >\right.（9）

{\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}=\mathrm{1}（10）

式中：\phi为叠加的量子态；\alpha和\beta分别为处于两种状态的概率幅度。

将量子比特转换为基于概率幅度以正弦和余弦矩阵的形式表示，如下所示：

|\phi >={[\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta ,\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta ]}^{\mathrm{T}}（11）

式中：\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta =\alpha和\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta =\beta。

将上述量子理论原理应用在KSO算法的种群中，用量子比特构造初始种群个体，用概率幅度表示种群的个体的起始位置。初始种群个体在量子空间的状态表达式为：

|x_i>=\left[\begin{array}{c}{x}_{i,\mathrm{c}}\\ x_{i,\mathrm{s}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{i,\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{i,\mathrm{2}}\dots \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{i,D}\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{i,\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{i,\mathrm{2}}\dots \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{i,D}\end{array}\right]（12）

式中：x_{i,\mathrm{c}}为余弦位置；x_{i,\mathrm{s}}为正弦位置；{\theta }_{i,j}为第i行j列种群个体旋转角度。

量子比特个体的取值为［-1，1］，而正式的种群个体为［b_{\mathrm{l}}，b_{\mathrm{u}}］，将量子空间线性映射到解空间的数学表达式如下：

x_{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}((\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta +\mathrm{1})(b_{\mathrm{u}}-b_{\mathrm{l}}))+b_{\mathrm{l}}（13）

x_{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}((\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta +\mathrm{1})(b_{\mathrm{u}}-b_{\mathrm{l}}))+b_{\mathrm{l}}（14）

式中：x_{\mathrm{c}}为余弦解；x_{\mathrm{s}}为正弦解。

将式（13）（14）推导变化为：

{\theta }_{\mathrm{c}}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{\mathrm{2}(x_{\mathrm{c}}-b_{\mathrm{l}})}{b_{\mathrm{u}}-b_{\mathrm{l}}}-\mathrm{1}\right)（15）

{\theta }_{\mathrm{s}}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{\mathrm{2}(x_{\mathrm{s}}-b_{\mathrm{l}})}{b_{\mathrm{u}}-b_{\mathrm{l}}}-\mathrm{1}\right)（16）

假设经过Tent混沌映射获得的种群个体为量子态的某一状态，通过式（15）（16）可以得到旋转角\theta，基于所获得的旋转角\theta计算对应于另一状态的位置。这两个位置构成初始量子比特的两个状态比特。

此外，还可以使用量子突变获得更多量子比特。在量子计算中，量子逻辑门是另外一个重要的基本概念。量子逻辑门是用于量子态逻辑转换的量子器件，是量子计算最基本的控制单元。常见的量子门包括Pauli门、Hadamard门和交换门。本文采用动态量子旋转门，其数学表达式如下：

\mathit{R}({\theta }_r)=\left[\begin{array}{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_r-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_r\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_r\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_r\end{array}\right]（17）

其中\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{4}}\le {\theta }_r\le \frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}使用动态量子旋转门的突变更新过程如下：

\left[\begin{array}{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }^{\text{'}}\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }^{\text{'}}\end{array}\right]=\mathit{R}({\theta }_r)\left[\begin{array}{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \end{array}\right]（18）

再利用式（18）计算得到突变后的正余弦位置，接着将初始的正余弦位置与之比较后，选取位置最优的种群个体作为初始种群。

2.2　动态精英反向学习策略

反向学习^［23］策略可以增强种群的开发程度，扩大种群的搜索范围，因此广泛应用于群智能策略改进。反向学习方法的核心思想是通过引入对立性的概念提高算法的探索能力和收敛性能。通过计算当前位置的反向解，其数学表达式一般如下：

X_{\mathrm{0}}(t)=b_{\mathrm{l}}+b_{\mathrm{u}}-X(t)（19）

传统的反向学习是以零点为基准点获得当前位置的反向解，由于基准点固定，缺乏随机性，种群个体仍然容易陷入局部最优。现引入“精英”个体的概念，将当前全局最优点作为基准点。这样既可以获得动态的基准点，而且还可以充分利用这些精英个体的特性，在精英个体附近更大概率能够搜索到全局最优解。其数学表达式为：

X_{\mathrm{0}}(t)=\mathrm{2}{X}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}(t)-X(t)（20）

然而，式（20）仍然存在一定的局限性，在后期搜索阶段，当前局部最优解会趋于稳定，即在后期搜索阶段会缺乏一定的随机性，可能导致搜索空间内的种群多样性无法有效增加。现引入动态精英反向学习策略，提高种群的多样性和搜索的随机性，以便于扩大种群搜索范围，从而提高找到全局最优解的概率，改进后的公式为：

\begin{array}{l}{X}_{\mathrm{0}}(t)=X(t)+w·r_{\mathrm{1}}·((r_{\mathrm{2}}·(\mathrm{2}{X}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}(t)-\\ X(t)))-X(t))\end{array}（21）

式中：r_{\mathrm{1}}和r_{\mathrm{2}}均为［0，1］间的随机数；w为加权系数，本文w取值为1.2。

利用动态精英反向学习策略获得更优个体，进入下次种群更新迭代。

2.3　灰狼搜索策略

灰狼搜索策略来源于灰狼优化算法（GWO）^［24］。GWO算法具有搜索效率高、局部寻优能力强、收敛精度高等特点。因此，引入灰狼搜索机制可以有效弥补KSO算法局部寻优能力差的缺点。

灰狼是社会性动物，具有高度结构化的社会等级。灰狼的社会等级金字塔由4个等级组成，从高到低依次为α、β、δ、ω。GWO算法对灰狼的社会等级体系进行数学建模，模仿灰狼的掠食行为。将当前种群中排名前三的个体定义为α、β和δ。它们引导种群中的其他个体向猎物逼近，而剩余的个体则定义为ω。ω通过围绕灰狼排行前三的个体α、β和δ调整自己的方位。灰狼包围猎物的数学模型如下：

\mathit{D}=\left|\begin{array}{c}\mathit{C}\cdot {\mathit{X}}_p\left(t\right)-\mathit{X}\left(t\right)\end{array}\right|（22）

\mathit{X}\left(t+\mathrm{1}\right)={\mathit{X}}_p\left(t\right)-\mathit{A}\cdot \mathit{D}（23）

式中：t为当前迭代次数；{\vec{X}}_p为猎物的位置向量；\mathit{X}为灰狼的位置向量；\mathit{A}和\mathit{C}均为系数向量。

\mathit{A}=\mathrm{2}a\cdot {\mathit{r}}_{\mathrm{1}}-a（24）

\mathit{C}=\mathrm{2}\cdot {\mathit{r}}_{\mathrm{2}}（25）

式中：{\mathit{r}}_{\mathrm{1}}和{\mathit{r}}_{\mathrm{2}}均为模数在［0，1］范围内的随机数向量；a为收敛因子，随着迭代次数的增加，\vec{a}从2线性减小到0。

式（22）表示灰狼个体与猎物之间的距离，式（23）为灰狼位置的更新公式。

当灰狼包围猎物时，它们需要识别猎物的位置。排行前三的解决方案α、β和δ表示个体对猎物的潜在位置有更好的了解。因此，利用这3个个体的位置信息，就可以确定猎物的大致位置。同时，ω灰狼个体在α、β、δ的引导下逐渐接近猎物。灰狼找到猎物位置后，会跟踪并捕获猎物，其公式如下：

\left\{\begin{array}{c}{\mathit{D}}_{\alpha }=|{\mathit{C}}_{\mathrm{1}}\cdot {\mathit{X}}_{\alpha }-\mathit{X}|\\ {\mathit{D}}_{\beta }=|{\mathit{C}}_{\mathrm{2}}\cdot {\mathit{X}}_{\beta }-\mathit{X}|\\ {\mathit{D}}_{\delta }=|{\mathit{C}}_{\mathrm{3}}\cdot {\mathit{X}}_{\delta }-\mathit{X}|\end{array}\right.（26）

\left\{\begin{array}{c}{\mathit{X}}_{\mathrm{1}}={\mathit{X}}_{\alpha }-{\mathit{A}}_{\mathrm{1}}•({\mathit{D}}_{\alpha })\\ {\mathit{X}}_{\mathrm{2}}={\mathit{X}}_{\beta }-{\mathit{A}}_{\mathrm{2}}•({\mathit{D}}_{\beta })\\ {\mathit{X}}_{\mathrm{3}}={\mathit{X}}_{\delta }-{\mathit{A}}_{\mathrm{3}}•({\mathit{D}}_{\delta })\end{array}\right.（27）

\mathit{X}(t+\mathrm{1})=\frac{{\mathit{X}}_{\mathrm{1}}+{\mathit{X}}_{\mathrm{2}}+{\mathit{X}}_{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}（28）

式中：{\mathit{D}}_{\alpha }、{\mathit{D}}_{\beta }、{\mathit{D}}_{\delta }分别为当前灰狼个体到α、β、δ狼的距离向量；{\mathit{X}}_{\mathrm{1}}、{\mathit{X}}_{\mathrm{2}}、{\mathit{X}}_{\mathrm{3}}分别为当前灰狼个体根据α、β、δ狼的位置信息计算出的更新位置向量；{\mathit{A}}_{\mathrm{1}}、{\mathit{A}}_{\mathrm{2}}、{\mathit{A}}_{\mathrm{3}}均为系数向量，用于控制灰狼个体在搜索过程中的步长和方向，由式（24）计算得出。

式（26）分别表示ω灰狼个体与α、β、δ灰狼个体之间的距离。式（27）定义了狼群中ω个体向α、β和δ移动的步长和方向。式（27）为ω个体的最终更新公式。KSO算法的局部搜索能力较弱。引入灰狼搜索机制可以显著提高KSO算法的局部搜索能力和收敛精度。

2.4　MSKSO算法流程

以上详细介绍了MSKSO的三大改进机制，综合后的算法流程如下。首先，利用种群初始化机制，获得随机性、均匀性更强、候选解质量更好的初始种群；然后，利用动态精英反向学习策略，获得更优的精英个体以进行下一次迭代；最后，使用KSO算法进行全局搜索。如果KSO算法无法找到更好的解，则切换到使用灰狼搜索策略进行局部搜索。这个过程一直持续，直到找到期望解或种群迭代结束，标志着算法的结束。MSKSO的流程图如图1所示。MSKSO算法的伪代码如下所示。

{\mathrm{f}}_{\mathrm{g}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}={\mathrm{f}}_{\mathrm{p}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}} and {\mathrm{x}}_{\mathrm{g}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}={\mathrm{x}}_{\mathrm{p}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}

end if

根据式（6）更新{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}的值

if then

{\mathrm{f}}_{\mathrm{g}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}=\mathrm{f}({\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}) and {\mathrm{x}}_{\mathrm{g}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}={\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}

else

使用灰狼搜索策略更新{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}的值

end if

\mathrm{T}=\mathrm{T}+\mathrm{1}

end while

return {\mathrm{x}}_{\mathrm{g}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}} and {\mathrm{f}}_{\mathrm{g}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}

end

3 CEC2017基准函数测试实验

3.1　测试函数和参数设置

为了进一步验证MSKSO的有效性和优越性，本文采用CEC2017基准测试函数对MSKSO的性能进行了评估。CEC2017是一个非常经典的基准测试函数集，常被用于测试和评估群体智能算法的性能。总共有30个测试函数，本文选取部分函数进行实验。CEC2017测试函数的信息描述如表1所示。CEC2017基准函数包括：单峰函数、多峰函数，混合函数和组合函数。单峰函数只有一个全局最优解，用于测试MSKSO的局部寻优能力；多峰函数拥有多个局部最优解，用于测试MSKSO的全局寻优能力；混合函数和组合函数有着复杂的目标函数，可模拟现实世界中复杂的实际工程问题，用于测试MSKSO处理复杂问题的能力。所有函数的输入范围为［-100，100］，空间维度为30。

此外，为了更好地展示MSKSO算法的优化能力，将其与其他6种优秀的群智能算法进行了比较。这些算法包括：核搜索优化（Kernel search optimization，KSO）、粒子群优化（PSO）、螯虾优化算法（COA）、貂藻优化算法（WWPA）、黑翅鸢算法（BKA）和鹅群优化算法（Goose swarm optimization，GOOSE）。为保证实验的有效性和可靠性，所选算法不仅包括2010年之前的经典群智能算法，还包括2023年和2024年新提出的群智能算法。这6种算法的参数均源于各自文献中的推荐值。具体参数设置如表2所示。本文的实验环境：2.50 GHz的第12代Intel（R） Core（TM） i5-12500H处理器，16.0 GB RAM， Windows 11操作系统，Matlab R2020a仿真平台。

3.2　实验结果分析

为了确保实验的客观性和公正性，统一设置群智能算法的实验参数：种群规模N=\mathrm{30}，总迭代次数T=\mathrm{500}。每个算法在CEC2017函数上独立运行30次，并记录数据。然后，计算平均值（mean）、最优值（best）和标准差（std），作为算法的性能评估指标。平均值和最优值表现了算法的收敛精度和优化性能，而标准差则反映算法在优化过程中的稳定性。7种算法的实验结果如表3所示，其中，加粗数据表示每个函数的最佳值，后文同。

从表3可以看出：无论是平均值、最优值还是标准差，MSKSO算法的数据都明显全面优于KSO算法，表明了本文改进机制的有效性。在7种群智能优化算法的15组比较数据中，MSKSO算法获得的最小平均值次数为15次，最小最优值次数10次，说明MSKSO算法具有更高的收敛精度和更强的寻优性能。另外，还取得了13次最小标准差，说明MSKSO算法在优化过程中有着更强的鲁棒性。

为了直观地体现MSKSO的优化能力，图2为各算法在CEC2017上的收敛曲线（彩图参见电子版）。MSKSO在单峰函数（F1、F2和F3）和多峰函数（F8、F9和F10）收敛曲线均在其他算法的最下方，其收敛速度和收敛精度均优于其他算法。说明MSKSO拥有更强的局部和全局搜索能力。在混合函数（F11、F12、F13和F19）和组合函数（F23、F24、F25、F26和F30）中，虽然MSKSO在F11和F25函数上的后期收敛精度与PSO等一些算法差距很小，但是MSKSO前期的收敛速度优于这些算法。除了F12和F25以外，MSKSO在混合函数和组合函数的收敛速度和收敛精度优于其他算法，体现了MSKSO在处理复杂问题上的能力更强。

为了进一步验证MSKSO算法的性能，对MSKSO算法与其他6种算法进行Wilcoxon符号秩检验。Wilcoxon符号秩检验是一种非参数统计检验，用于比较两个相关样本或配对数据之间的中位数差异。它特别适用于不遵循正态分布的小样本或数据。本实验中的Wilcoxon符号秩检验的显著性水平p为0.05。当p的值小于0.05时表示MSKSO算法于其对比算法的优化结果有着显著性差异，值越小则差异越大。“+”表示MSKSO算法优化结果要优于其对比算法，“-”则表示MSKSO算法的优化结果要更差，“=”则表示两者结果相似。Wilcoxon符号秩检验统计结果如表4所示。表4的最后一行分别列出测试结果为“+”、“=”、“-”的次数总和。可以明显地看到，显著水平p均小于0.05，说明MSKSO算法与其他算法相比都存在着显著的差异。此外，测试函数三种情况+\=\-的总数均为15/0/0，说明其在测试函数上的性能也远优于其他算法，证明了MSKSO算法性能的优越性。

为了更直观地展示数据分布情况，图3给出了每种算法的箱线图，在该图中，横坐标Groups代表参与对比的不同优化算法组别（如MSKSO、KSO、PSO等）；纵坐标Values则表示目标函数值，反映了各算法在各测试函数上求得的结果大小，其数值越小表明算法的寻优性能越好。箱线图是一种用于显示数据分布的统计图表，包含5个关键统计特征：最小值、最大值、中位数、第一四分位数和第二四分位数。此外，它可以指示异常值，并提供对数据集分布的整体形状的见解。从图3中可以明显看出，MSKSO的箱线图更窄，且更靠近x轴，这表明它的5个数据统计特征均更小。与图中其他算法的箱线图相比，MSKSO的寻优精度更高，稳定性更强。

综上可得，MSKSO的综合性能比KSO有了显著的提升。然而，当MSKSO和KSO具有相同的迭代次数和种群大小时，MSKSO的时间消耗略高于KSO。这是因为MSKSO引入了3种改进策略，增加了额外的计算负荷量以加快算法的收敛速度。但总体而言，与KSO相比，MSKSO在基本相同的时间消耗下显著提高了算法的优化性能和鲁棒性。

4 经济排放调度实验

4.1　经济排放调度的目标函数

经济排放调度问题是一个多目标优化^［25］的实际工程问题，将各组发电机的输出功率作为输入，在满足电力系统各种约束的前提条件下，使燃料成本C和污染物排放量E均最小。其燃料消耗成本函数表达式为：

\begin{array}{l}C={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}[a_i+b_i{P}_i+c_i{P}_i^{\mathrm{2}}+\\ \left|e_i\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(f_i(P_i^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}-P_i))\right|]\end{array}（29）

式中：C为燃料的经济成本；a_i、b_i和c_i为每台发电机对应的燃油消耗系数；e_i和f_{\mathrm{i}}为阀点效应系数；P_i为第i台发电机的输出功率；N为发电机总数。

有害污染物排放的函数表达式为：

E={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}[{\alpha }_i+{\beta }_i{P}_i+{\gamma }_i{P}_i^{\mathrm{2}}+{\eta }_i\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}({\delta }_i{P}_i)]（30）

式中：E为有害污染物排放量；{\alpha }_i\mathrm{、}{\beta }_i\mathrm{、}{\gamma }_i\mathrm{、}{\eta }_i\mathrm{和}{\delta }_i均为排放系数。

该多目标问题直接求解较为困难，本文使用加权求和法将多目标的经济调度问题转化为单目标问题，便于直接求解，转化后的单目标函数为：

F=wC+\gamma (\mathrm{1}-w)E（31）

式中：w为求和权重因子；γ为比例因子。

一般来说，电力系统有很多约束条件。本文主要考虑以下两种主要的约束：发电机容量约束和功率平衡约束。

发电机容量约束是指所有发电机组输出功率都应该在系统最小功率下限和最大功率上限的范围区间，其表达式如下：

P_i^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le P_i\le P_i^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}（32）

式中：P_i^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}为第i组发电机的输出功率最小值下限；P_i^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为第i组发电机的输出功率最大值上限。

功率平衡约束是指发电机的总输出功率需等同于负荷需求与系统损耗之和，其表达式为：

\left\{\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{P}_i=P_D+P_L\\ P_L={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^N}{P}_i{B}_{ij}{P}_j+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{B}_{i\mathrm{0}}{P}_i+B_{\mathrm{00}}\end{array}\right.（33）

式中：B_{i,j}为电力网损系数；P_L为电力网络损耗；P_D为有功功率负载总量；B_{i\mathrm{0}}为一阶线性网损系数；B_{\mathrm{00}}为常数网损项。

发电机容量约束条件较易满足，直接在种群初始化阶段设置上下限区间即可，然而功率平衡约束却难以满足，本文使用迭代逼进法满足功率平衡约束条件，具体步骤如下所示。

根据前N-\mathrm{1}台发电机的输出功率，确定第N台发电机的初始输出功率如下：

P_N^{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}=P_D-{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{N-\mathrm{1}}}{P}_i（34）

若系统负载为P_D，则第N台发电机的新输出功率为：

P_N^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}=P_D-{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{N-\mathrm{1}}}{P}_i-P_L^{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}（35）

最后，计算出\epsilon =\left|P_N^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}-P_N^{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}\right|。若满足容差，则确定P_N=P_N^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}。这就满足等式约束（32）。但由此得到的P_N虽然满足等式约束（32），却未必会满足不等式约束（33）。可以引入惩罚机制惩罚超出其允许范围的值，确保P_N保持在可行的范围内。那么最终的目标函数为：

\begin{array}{l}\tilde{F}=F+\lambda [\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(P_N^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}-P_N,\mathrm{0})+\\ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(P_N-P_N^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}},\mathrm{0})]\end{array}（36）

式中：\lambda为惩罚因子。此时，最终目标函数可以直接使用群智能优化算法进行优化求解。

4.2　MSKSO在IEEE-30节点系统的优化结果

本节将MSKSO算法应用在经济排放调度IEEE-30节点系统的经典案例上。IEEE-30节点系统需要考虑阀点效应，其总功率负荷P_D为283.4 MW（对应基准功率100 MW下的标幺值2.834 pu），，工程数据可从文献［16］中获得。MSKSO算法参数设置为：种群数量N=\mathrm{30}，最大迭代次数T=\mathrm{1}\mathrm{000}。最终优化结果为MSKSO独立运行30次后的最佳优化结果。

表5给出了MSKSO在IEEE-30节点系统上的最终优化结果，其中w从0依次递增到1，步长为0.1。P_{\mathrm{1}}~P_{\mathrm{6}}分别为6个发电机的输出功率；V=\left|{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{P}_i-P_D-P_L\right|表示功率平衡约束的违反程度；P_{\mathrm{L}}为电网损耗。

为了直观地表现MSKSO在IEEE-30节点系统的优化效果，将燃料成本C作为横坐标以及污染排放E作为纵坐标共同构成了帕累托解集，并与其他著名算法的最优复合解作比较，最终效果图如图4所示。若其他算法在帕累托解集曲线的上方，说明MSKSO的优化效果更好，且距离帕累托解集曲线越远，说明MSKSO的性能更佳；反之，说明其他算法的优化效果更好。由图4可知，NSGA^［26］，NPGA^［27］和MOPSO^［28］的最优复合解明显在MSKSO曲线的右上方，说明MSKSO的优化结果要远优于这些算法。而NSGA-^［29］，NSBF^［30］，MOISMA^［31］和MBFA^［32］的最优复合解位于MSKSO曲线略微偏上的位置，比较接近MSKSO曲线，说明MSKSO的优化结果要略微优于这些算法。最后，SMODE^［29］，MOEA/D^［24］，MOSMA^［31］和NGPSO^［33］的最优复合解刚好位于MSKSO曲线上，说明MSKSO优化结果与这些算法的表现相当。

当权重因子w=0时，此时电力系统的污染排放量最小，当w=1时，此时电力系统的燃料成本最小。表6为在IEEE-30中，MSKSO和其他算法最小燃料成本和最小污染排放的最终对比结果。由表6可以看出，虽然所有算法的优化结果都相差不大，只有微小差别，但是细微的提升更能体现算法的优化性能。在最小燃料成本结果对比中，MSKSO取得了最小值，并且明显小于KSO的数据。同时，在最小污染排放结果中，虽然MSKSO和KSO均取得了最小值，但是MSKSO的燃料成本更小。综上，MSKSO在IEEE-30上的应用具有更好的优化效果。

5 结束语

本文针对KSO算法的缺陷和不足，提出了多策略改进的核搜索算法（MSKSO）。该算法引入3种改进策略，分别是融合Tent混沌映射和量子计算的种群初始化策略、动态精英反向学习策略和灰狼搜索策略。详细描述了3种改进策略和MSKSO运行机制。使用CEC2017基准测试函数和Wilcoxon符号秩检验对MSKSO算法的性能进行评估测试，结果证明了MSKSO算法性能的优越性和其改进策略的有效性。最后，将MSKSO算法应用在经济排放调度问题的IEEE-30经典案例中，结果证明了MSKSO在工程应用方面的可行性和发展潜力。

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基金资助

吉林省自然科学基金项目(YDZJ202201ZYTS555)

吉林省教育厅科学技术项目(JJKH20220244KJ)