变时宽OCDM-IM通信系统设计及性能分析

Variable time width OCDM-IM communication system design and performance analysis

摘要

为了提升正交线性调频分复用索引调制（OCDM-IM）系统的隐蔽性，提出了一种变时宽变索引映射方法，构建了VT-OCDM-IM系统。该系统通过同一组伪随机序列选取时宽和索引映射方法，打乱信号周期性，提高系统在检测信号周期性特征场景下的隐蔽性能。仿真和实验结果表明：在变时宽的同时改变系统的子载波数量，特定环境下拥有更高的可靠性，同时能够在保证系统传输速率的优势下提升系统隐蔽性能。

Abstract

To enhance the covertness of the Orthogonal Chirp Division Multiplexing with Index Modulation （OCDM-IM）， a variable time-width and index mapping scheme is proposed to construct the corresponding VT-OCDM-IM system. By selecting time-width and index mapping methods using the same pseudorandom sequences， the system disrupts signal periodicity and enhances covert performance in scenarios where detecting signal periodicity features is critical. Simulation and experimental results show that altering the number of subcarriers alongside variable time-width improves reliability under certain conditions while enhancing covert performance without compromising the system's transmission rate advantage.

Graphical abstract

关键词

通信与信息系统 / 隐蔽通信 / 正交线性调频分复用 / 索引调制 / 变时宽

Key words

communication and information systems / covert communication / orthogonal chirp division multiplexing / index modulation / variable time width

0 引 言

扩频通信作为隐蔽通信的核心技术之一，普遍应用于信息安全领域。线性调频信号作为扩频宽带信号，具有抗衰落能力强、频域能量不集中等特点，在隐蔽通信领域受到关注^［1，2］。以线性调频扩频（Chirp spread spectrum， CSS）为代表的信号调制技术在通信系统和雷达中占据着重要地位^［3-6］。正交频分复用（Orthogonal frequency division multiplexing， OFDM）^［7］和Chirp信号的抗干扰抗多普勒性能结合，发展出OFDM-Chirp系统^［8］，但由于系统带宽利用率低下未得到广泛应用。正交线性调频分复用（Orthogonal chirp division multiplexing， OCDM）是当今多载波通信调制的新兴研究热点，OCDM由欧阳等人于文献［9］提出，单个子载波占据全部带宽，频谱利用率高，在衰落信道对比OFDM表现出更强的可靠性^［10］，在水下通信和光通信等多领域得到广泛应用^［11-13］。

基于OCDM架构的研究在不同的方向均有突破，例如文献［14］改进了OCDM均衡，提出了新型低复杂度均衡算法，获得了更高的性能优势；文献［15］提出了一种基于叠加导频分量的信道估计方法对系统进行补偿，证明了导频设计在最小化信道估计的均方误差方面的最优性；文献［16］进一步优化信道估计，提出新型收发器设计，证明了OCDM的循环卷积特性在多普勒频散下部分保持不变；文献［17］提出了将索引调制（Index modulation， IM）^［18］和OCDM结合的方法，提高了系统的传输效率，证明了OCDM-IM系统在高速水声通信上的优势。OCDM-IM将频域IM转为菲涅尔域IM，不直接改变波形，通过载波序号传递信息，传输的索引比特不额外消耗能量，同速率可取得性能上的优势。然而，上述文献均未涉及分析线性调频信号在隐蔽通信中的性能，文献［2］在分数阶傅立叶变换的基础上进行时宽变换，证明了参数跳变线性调频信号在隐蔽通信上的优势。

本文以上述文献为基础，为提高系统在隐蔽性能上的优势，同时考虑到OCDM-IM在相同误码率下传输速率更高的特点，提出了变时宽正交线性调频分复用索引调制（Variable time width orthogonal chirp division multiplexing with index modulation， VT-OCDM-IM）系统，该系统符号时宽和对应映射方式跳变，打破信号周期性，增强信号随机性，隐蔽性能得到提升，OCDM框架带来更强的抗衰落能力，索引调制优化系统性能，在高信噪比下拥有更好的误码率。对比OCDM-IM，拥有周期性弱、检测特征不明显和抗截获能力强等特点。

1 系统模型

VT-OCDM-IM在活动指数组合（Active indices combinations， AICs）的基础上进行映射变换，采用伪随机序列控制时宽与索引映射，时宽与载波总数呈正相关，根据当前映射关系在激活子载波上传输常规比特。VT-OCDM-IM系统原理框图如图1所示。

该系统以离散菲涅尔变换（Discrete fresnel transform， DFnT）^［9，19］为核心，生成对应时刻的VT-OCDM-IM信号。接收端经DFnT可得携带信息的峰值，由IM检测器判断当前AICs并解调数据。

1.1　发送端模块

VT-OCDM-IM变时宽的同时改变子载波总数，保证信息传输速率的一致性。定义第n跳传输符号的子载波总数为N_n，被位分配器划分为G_n组，每组由L个子载波构成。N_{b,n}位数据被分为G_n组，每组数据有b位。

N_n=G_n\cdot L（1）

N_{b,n}=G_n\cdot b（2）

定义\mathit{P}为单个子块传输的比特数据，比特被分类为{\mathit{P}}_{\mathrm{I}}和{\mathit{P}}_{\mathrm{M}}，分别表示索引比特和常规比特。

{\mathit{P}}_{\mathrm{I}}=\left[d_{\mathrm{1}};d_{\mathrm{2}};\dots ;d_{b_{\mathrm{1}}}\right]（3）

{\mathit{P}}_{\mathrm{M}}=\left[d_{b_{\mathrm{1}}+\mathrm{1}};d_{b_{\mathrm{1}}+\mathrm{2}};\dots ;d_{b_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{2}}}\right]（4）

\mathit{P}=\left[{\mathit{P}}_{\mathrm{I}};{\mathit{P}}_{\mathrm{M}}\right]（5）

式中：b_{\mathrm{1}}和b_{\mathrm{2}}分别为索引比特和常规比特的比特位数；K为单个子块中被激活的子载波数。

b_{\mathrm{1}}=⌊\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{𝒞}\left(L,K\right)\right)⌋（6）

式中：⌊·⌋为向下取整运算。

用{\mathrm{ℐ}}_i表示AICs中的第i个子载波组合：

{\mathrm{ℐ}}_i=\left\{c_i^{\mathrm{1}},c_i^{\mathrm{2}},\dots ,c_i^K\right\}（7）

式中：c_i^k为被激活的子载波的第k个索引。

以L为4、K为2作为条件，AICs数量为6，对应索引数为Z=\mathrm{0,1},\cdots ,\mathrm{𝒞}\left(L,K\right)-\mathrm{1}，单个子块通过IM传输的索引比特最多为2位，对应子块状态为4种，伪随机序列控制映射变换，其中一种映射方式如表1所示，其中I_g为对应索引的子块状态，不同时宽对应不同映射模式，根据映射变换方式不同，子块状态占比发生改变，均匀分布占比以保证同一映射不会多次重复出现。常规比特选择M\mathrm{-}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}符号映射，在被激活的子载波上传输，常规比特位数b_{\mathrm{2}}和符号映射数M之间的关系为：

b_{\mathrm{2}}=K\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_{\mathrm{2}}\left(M\right)（8）

所选符号可以表示为：

\mathcal{X}=\left[{\mathrm{𝒳}}_{\mathrm{1}},{\mathrm{𝒳}}_{\mathrm{2}},\dots ,{\mathrm{𝒳}}_K\right]（9）

\mathit{{\rm M}}=\left[m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}},\dots ,m_M\right]（10）

式中：{\mathrm{𝒳}}_k\in \mathit{M}，\mathit{M}为M\mathrm{-}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}的符号集合，激活子载波映射到相应符号，非激活子载波由“0”填充，构成单个子块的映射。

完成符号的所有子块的AICs选择和M\mathrm{-}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}映射后，该符号表达式\mathit{x}为：

\mathit{x}={\left[x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\dots ,x_{N_n}\right]}^{\mathrm{T}}（11）

经过离散菲涅尔逆变换（Inverse discrete fresnel transform， IDFnT）输出VT-OCDM-IM符号时域波形：

\mathbf{s}={\mathit{\Phi }}^{\mathrm{H}}\mathbf{x}（12）

式中：{\mathit{\Phi }}^{\mathrm{H}}的是大小为N_n\times N_n的IDFnT矩阵。

\Phi \left(m,v\right)=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{N_n}}{\mathrm{e}}^{\left(-\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{4}}\right)}\times \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{N_n}{\left(m-v\right)}^{\mathrm{2}}\right)},N_n\equiv \mathrm{0}\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{2}\right)\\ {\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{N_n}{\left(m+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}-v\right)}^{\mathrm{2}}\right)},N_n\equiv \mathrm{1}\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{2}\right)\end{array}\right.（13）

此过程可由IFFT^［9］附加二次相位快速实现：

\mathit{s}={\mathit{\Phi }}^{\mathrm{H}}\mathit{x}={\mathit{\Theta }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{H}}{\mathbf{F}}^{\mathrm{H}}{\mathit{\Theta }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{H}}\mathit{x}（14）

式中：\mathit{F}为DFT矩阵；{\mathit{\Theta }}_{\mathrm{1}}和{\mathit{\Theta }}_{\mathrm{2}}为两个附加相位的对角矩阵。

{\mathit{\Theta }}_{\mathrm{1}}\left(m\right)={\mathrm{e}}^{\left(-\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{4}}\right)}\times \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{N_n}{m}^{\mathrm{2}}\right)},N_n\equiv \mathrm{0}\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{2}\right)\\ {\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{4}{N}_n}\right)}{\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{N_n}\left(m^{\mathrm{2}}+m\right)\right)},N_n\equiv \mathrm{1}\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{2}\right)\end{array}\right.（15）

{\mathrm{\Theta }}_{\mathrm{2}}\left(m\right)=\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{N_n}{m}^{\mathrm{2}}\right)},N_n\equiv \mathrm{0}\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{2}\right)\\ {\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{N_n}\left(m^{\mathrm{2}}-m\right)\right)},N_n\equiv \mathrm{1}\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{2}\right)\end{array}\right.（16）

经过IDFnT变换后是一组占据同样带宽的正交Chirp信号，第l个Chirp信号的表达式为：

{\psi }_l\left(t\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{4}}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }{N}_n}{{T_n}^{\mathrm{2}}}{\left(t-l\frac{T_n}{N_n}\right)}^{\mathrm{2}}},\mathrm{0}\le t\le T_n（17）

映射方式根据当前伪随机序列进行跳变，相同数据在不同映射方式下波形不同，两种不同映射关系如图2所示。

图2中，k_f为控制当前符号映射的状态序号，同时控制时宽和DFnT大小，且子载波总数和时宽等比变换，发送端完成调制后将不同时宽的VT-OCDM-IM信号拼接成完整的信号发送至信道。

1.2　接收端模块

IDFnT调制后在符号间插入循环前缀（Cyclic prefix， CP），当CP的长度大于信道的延迟扩展时，接收信号表示为：

\mathit{r}=\mathit{H}\mathit{s}+\mathit{n}=\mathit{{\rm H}}{\mathit{\Phi }}^{\mathrm{H}}\mathit{x}+\mathit{n}（18）

式中：\mathit{n}为加性高斯白噪声（Additive white gaussian noise， AWGN）向量；\mathit{H}为信道脉冲响应（Channel impulse response， CIR）矩阵。\mathit{H}是循环矩阵，第一列为\mathit{h}={\left[h\left(\mathrm{0}\right),h\left(\mathrm{1}\right),\dots ,h\left(L_H-\mathrm{1}\right),\mathrm{0},\dots ,\mathrm{0}\right]}^{\mathrm{T}}，其中h\left(l\right),(l=\mathrm{0},\dots ,L_H-\mathrm{1})是CIR系数，L_H-\mathrm{1}是最大的延迟扩展。对接收信号直接做DFnT处理可得：

{\mathit{r}}^{\text{'}}=\mathit{\Phi }\mathit{r}=\mathit{\Phi }\mathit{H}\mathit{s}+\mathit{\Phi }\mathit{n}（19）

由DFnT循环卷积特性可得：

{\mathit{r}}^{\text{'}}=\mathit{\Phi }\mathit{H}{\mathit{\Phi }}^{\mathbf{H}}\mathit{x}+\mathit{\Phi }\mathit{n}=\mathit{H}\mathit{x}+\mathit{\Phi }\mathit{n}（20）

IDFnT矩阵被抵消，且\mathit{\Phi }是酉的，\mathit{\Phi }\mathit{n}仍然是AWGN。面对复杂的多径信道环境时，需要对VT-OCDM-IM信号进行均衡，首先将接收信号执行DFT处理^［20］：

\mathit{y}=\mathit{F}\mathit{r}=\mathit{F}\mathit{H}{\mathit{\Phi }}^{\mathbf{H}}\mathit{x}+\mathit{F}\mathit{n}（21）

式中：\mathit{F}为归一化的DFT矩阵。

根据性质\mathit{I}={\mathit{F}}^{\mathrm{H}}\mathit{F}可得：

\begin{array}{l}\mathit{y}=\mathit{F}\mathit{H}{\mathit{F}}^{\mathit{H}}\mathit{F}{\mathit{\Phi }}^{\mathbf{H}}{\mathit{F}}^{\mathbf{H}}\mathit{F}\mathit{x}+\mathit{F}\mathit{n}\\ =\mathit{\Lambda }{\mathit{\Gamma }}^{\mathit{H}}\mathit{F}\mathit{x}+\mathit{F}\mathit{n}\end{array}（22）

式中：\mathit{\Lambda }=FH{F}^{\mathbf{H}}是信道频率响应（Channel frequency response， CFR）矩阵，{\mathit{\Gamma }}^{\mathbf{H}}=\mathit{F}{\mathit{\Phi }}^{\mathbf{H}}{\mathit{F}}^{\mathbf{H}}是系数矩阵。

\Gamma \left(v\right)=\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{e}}^{\left(-\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{N_n}{v}^{\mathrm{2}}\right),N_n\equiv \mathrm{0}\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{2}\right)}\\ {\mathrm{e}}^{\left(-\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{N_n}v\left(v-\mathrm{1}\right)\right)},N_n\equiv \mathrm{1}\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{2}\right)\end{array}\right.（23）

基于对角矩阵乘积的交换定律，式（22）进一步可得：

\mathit{y}={\mathit{\Gamma }}^{\mathbf{H}}\mathit{F}\mathit{\Lambda }\mathit{x}+\mathit{F}\mathit{n}（24）

抵消\mathit{\Gamma }后，通过信道均衡矩阵\mathit{G}消除CFR矩阵\mathit{\Lambda }：

{\mathit{y}}^{\text{'}}=\mathit{G}\mathit{\Gamma }\mathit{y}=\mathit{G}\mathit{\Lambda }\mathit{F}\mathit{x}+\mathit{G}\mathit{\Gamma }\mathit{F}\mathit{n}（25）

式中：\mathit{G}为对角线矩阵，在不同的均衡技术下有不同的表达形式，迫零均衡（Zero-Forcing， ZF）准则下其公式为：

G_{ZF}\left(v\right)={\Lambda }^{-\mathrm{1}}\left(v\right)（26）

在最小均方误差（Minimum mean square error， MMSE）下为：

{\mathrm{G}}_{\mathrm{M}\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}}\left(v\right)=\frac{{\Lambda }^{\mathrm{*}}\left(v\right)}{{\left|\Lambda \left(v\right)\right|}^{\mathrm{2}}+{\rho }^{-\mathrm{1}}}（27）

式中：\rho为信噪比（Signal-to-noise ratio， SNR）。

对信号进行IDFT变换，恢复所传输的信息：

{\mathit{x}}_{ZF}^{\text{'}}=\mathit{x}+{\mathit{F}}^H{\mathit{\Lambda }}^{-\mathrm{1}}\mathit{\Gamma }\mathit{F}\mathit{n}（28）

\begin{array}{l}{\mathbf{x}}_{MMSE}^{\text{'}}=\left({\mathit{F}}^{\mathbf{H}}\frac{{\mathit{\Lambda }}^{\mathbf{H}}\mathit{\Lambda }}{{\mathit{\Lambda }}^{\mathbf{H}}\mathit{\Lambda }+{\rho }^{-\mathrm{1}}\mathit{I}}\mathit{F}\right)\mathit{x}+\\ {\mathit{F}}^{\mathrm{H}}\frac{{\mathit{\Lambda }}^{\mathbf{H}}}{{\mathit{\Lambda }}^{\mathbf{H}}\mathit{\Lambda }+{\rho }^{-\mathrm{1}}\mathit{I}}\mathit{\Gamma }\mathit{F}\mathit{n}\end{array}（29）

MMSE均衡器可以有效地平衡噪声增强和信道补偿。均衡后检测{\mathit{x}}^{\text{'}}的AICs，收端根据伪随机序列决定AICs解映射关系，同时进行星座解调。最大似然（Maximum likely， ML）接收和对数似然比（Log-likelihood ratio， LLR）检测根据不同的算法对信号进行处理。

1.2.1　ML接收

ML接收需要知悉索引集，对接收信号与索引集中所有可能的索引进行判决，判决公式为：

\left[{\stackrel{⌢}{\mathit{I}}}_{\beta },{\stackrel{⌢}{\mathcal{X}}}_{\beta }\right]=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\underset{{\mathrm{ℐ}}_{\beta },{\mathcal{X}}_{\beta }}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}\left|x_{\beta }^{\text{'}}\left(c_{\beta ,k}\right)-{\mathrm{𝒳}}_{\beta }\left(k\right)\right|}^{\mathrm{2}}（30）

式中：{\mathit{x}}_{\beta }^{\text{'}}\left(\xi \right)（\xi =\mathrm{1,2},\dots ,L）为子块\beta的接收信号。

ML接收考虑所有可能的情况，在高准确性的同时也牺牲了接收端复杂度。

1.2.2　LLR检测

LLR拥有更低的复杂度，降低了检测精度。算法考虑幅值是否非零，计算符号后验概率比的对数：

{\lambda }_{\beta }\left(\alpha \right)=\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^M}P\left(x_{\beta }\left(\alpha \right)=m_i\left|x_{\beta }^{\text{'}}\left(\alpha \right)\right.\right)}{P\left(x_{\beta }\left(\alpha \right)=\mathrm{0}\left|x_{\beta }^{\text{'}}\left(\alpha \right)\right.\right)}（31）

{\lambda }_{\beta }\left(\alpha \right)值与\alpha（\alpha =\mathrm{1,2},\dots ,L）是接收信号索引所在位置的可能性成正比，基于贝叶斯公式，式（31）可表示为：

\begin{array}{l}{\lambda }_{\beta }\left(\alpha \right)=\mathrm{l}\mathrm{n}\left(K\right)-\mathrm{l}\mathrm{n}\left(L-K\right)+\frac{{\left|x_{\beta }^{\text{'}}\left(\alpha \right)\right|}^{\mathrm{2}}}{N_{\mathrm{0}}}+\\ \mathrm{l}\mathrm{n}\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^M}exp\left(-\frac{\mathrm{1}}{N_{\mathrm{0}}}{\left|x_{\beta }^{\text{'}}\left(\alpha \right)-m_i\right|}^{\mathrm{2}}\right)\right)\end{array}（32）

式中：N_{\mathrm{0}}为噪声方差；对{\lambda }_{\beta }\left(\alpha \right)按值排序，得到最可能的数据，按位解调。

2 系统性能分析

VT-OCDM-IM系统中时宽和IDFnT矩阵大小同时跳变，接收端采样频率不变，不同时宽符号比特速率不变。对VT-OCDM-IM符号孤立分析，相同信息速率下理论误码率与OCDM-IM一致。

2.1　AWGN信道

接收端对经过AWGN信道的信号进行解调：

\mathit{y}=\mathit{\Phi }{\mathit{r}}_{\mathrm{A}\mathrm{W}\mathrm{G}\mathrm{N}}=\mathit{x}+\mathit{\Phi }\mathit{n}（33）

由于\mathit{\Phi }是酉矩阵，所以\mathit{\Phi }\mathit{n}仍然是AWGN，则接收端判决结果的概率为：

P\left(\mathit{x}\to \stackrel{⌢}{\mathit{x}}\right)=Q\left(\sqrt[]{\frac{\delta }{\mathrm{2}{N}_{\mathrm{0}}}}\right)（34）

式中：\stackrel{⌢}{\mathit{x}}为预估符号，且\delta ={‖\mathit{x}-\stackrel{⌢}{\mathit{x}}‖}^{\mathrm{2}}。

Q函数表达式为：

Q\left(x\right)=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}}{\int }_x^{\mathrm{\infty }}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{t^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}t（35）

误码数为所有\left(\mathit{x}\to \stackrel{⌢}{\mathit{x}}\right)判决的错误比特数和判决概率之积相加，与对应比特数之比可得误码率：

P_b=\frac{\mathrm{1}}{\left(b_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{2}}\right)N_{\stackrel{⌢}{x}}}\sum _x\sum _{\stackrel{⌢}{x}}P\left(\mathit{x}\to \stackrel{⌢}{\mathit{x}}\right)e\left(\mathit{x}\to \stackrel{⌢}{\mathit{x}}\right)（36）

式中：\stackrel{⌢}{\mathit{x}}有N_{\stackrel{⌢}{\mathit{x}}}种可能，e\left(\mathit{x}\to \stackrel{⌢}{\mathit{x}}\right)是对应的误码数。

2.2　多径瑞利信道

令信道脉冲响应矩阵\mathit{H}由复高斯随机数生成，且h\left(l\right)\sim \mathrm{𝒞}\mathrm{𝒩}\left(\mathrm{0},\frac{\mathrm{1}}{L_H-\mathrm{1}}\right)，由其时频域关系{\mathit{h}}_F=\mathit{F}\mathit{h}可得h_F\left(l\right)\sim \mathrm{𝒞}\mathrm{𝒩}\left(\mathrm{0,1}\right)。由此计算条件成对错误概率：

P\left(\mathit{x}\to \stackrel{⌢}{\mathit{x}}\left|H\right.\right)=Q\left(\sqrt[]{\frac{\delta }{\mathrm{2}{N}_{\mathrm{0}}}}\right)（37）

式中：\delta ={‖\mathit{H}\left(\mathit{x}\to \stackrel{⌢}{\mathit{x}}\right)‖}^{\mathrm{2}}。

由\mathit{\Lambda }=\mathit{F}\mathit{H}{\mathit{F}}^{\mathrm{H}}可得：

\begin{array}{l}\delta ={\left(\mathit{x}\to \stackrel{⌢}{\mathit{x}}\right)}^{\mathrm{H}}{\mathit{H}}^{\mathrm{H}}\mathit{H}\left(\mathit{x}\to \stackrel{⌢}{\mathit{x}}\right)=\\ {\left(\mathit{x}\to \stackrel{⌢}{\mathit{x}}\right)}^{\mathrm{H}}{\mathit{F}}^{\mathrm{H}}{\mathit{\Lambda }}^{\mathrm{H}}\mathit{\Lambda }\mathit{F}\left(\mathit{x}\to \stackrel{⌢}{\mathit{x}}\right)\end{array}（38）

令\mathit{e}=\mathit{F}\left(\mathit{x}\to \stackrel{⌢}{\mathit{x}}\right)，对式（38）进行化简：

\delta ={\mathit{e}}^{\mathrm{H}}{\mathit{\Lambda }}^{\mathrm{H}}\mathit{\Lambda }\mathbf{e}={\mathit{h}}_F^{\mathrm{H}}{\mathit{E}}^{\mathrm{H}}\mathit{E}{\mathit{h}}_F={\mathit{h}}_F^{\mathrm{H}}\mathit{A}{\mathit{h}}_F（39）

式中：\mathit{E}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left(\mathit{e}\right)，\mathit{A}={\mathit{E}}^{\mathrm{H}}\mathit{E}。

推导过程使用Q\left(x\right)的近似^［18］：

Q\left(x\right)\cong \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{\mathrm{e}}^{-\frac{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}}}（40）

计算式（37）的期望得到无条件成对错误概率：

P\left(\mathit{x}\to \stackrel{⌢}{\mathit{x}}\right)=E_{{\mathit{h}}_F}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}{\mathrm{e}}^{-\frac{\delta }{\mathrm{4}{N}_{\mathrm{0}}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{\mathrm{e}}^{-\frac{\delta }{\mathrm{3}{N}_{\mathrm{0}}}}\right]（41）

\mathit{H}为不满秩矩阵，令{\mathit{h}}_F=\mathit{Q}\mathit{u}，其中\mathit{u}为\mathit{h}的前L_H个元素。令\mathit{K}=E\left[{\mathit{h}}_F{\mathit{h}}_F^{\mathrm{H}}\right]为{\mathit{h}}_F的相关矩阵，同时设{\mathit{K}}_{\mathit{u}}=\left[\mathit{u}{\mathit{u}}^{\mathrm{H}}\right]：

\mathit{K}=\mathit{Q}{\mathit{K}}_u{\mathit{Q}}^{\mathrm{H}}（42）

此时复高斯随机向量\mathit{u}的概率密度函数可表示为：

f\left(\mathit{u}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{\pi }}^{L_H-\mathrm{1}}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left({\mathit{K}}_{\mathbf{u}}\right)}{\mathrm{e}}^{\left(-{\mathbf{u}}^H{\mathbf{K}}_{\mathbf{u}}^{-\mathrm{1}}\mathbf{u}\right)}（43）

条件成对错误概率的计算结果由式（43）代入式（41）得到，推导结果由文献［17，18］给出：

P\left(\mathit{x}\to \stackrel{⌢}{\mathit{x}}\right)=\frac{\mathrm{1}/\mathrm{12}}{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\mathit{I}+\mathit{K}\mathit{A}/\mathrm{4}{N}_{\mathrm{0}}\right)}+\frac{\mathrm{1}/\mathrm{4}}{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\mathit{I}+\mathit{K}\mathit{A}/\mathrm{3}{N}_{\mathrm{0}}\right)}（44）

3 仿真结果

3.1　误码率性能仿真

多径瑞利信道下本文提出的VT-OCDM-IM与OFDM-IM（L=\mathrm{4},K=\mathrm{1}）性能对比如图3所示，其中参数设置参照文献［17］，如表2所示。

在多径瑞利信道中本文提出的VT-OCDM-IM作为Chirp基信号传输系统与OFDM-IM相比有更强的鲁棒性^［21］。MMSE均衡条件下，VT-OCDM-IM误码率性能显著优于OFDM-IM，误码率在{\mathrm{10}}^{-\mathrm{2}}时VT-OCDM-IM比OFDM-IM提高了9dB左右。ZF均衡低信噪比下，系统性能无明显差距，信噪比大于8 dB后，VT-OCDM-IM误码率更低。ZF均衡计算时仅考虑消除信道特征，导致噪声被放大，信噪比减小，降低系统的误码率性能。MMSE算法优化了噪声和信道的关系，信道特征没有被完全抵消，同时噪声增强程度小，提高了系统整体性能。

VT-OCDM-IM（L=\mathrm{4},K=\mathrm{1}）与两种不同速率的OCDM（N=\mathrm{64}/\mathrm{128}）性能对比仿真如图4所示。OCDM（N=\mathrm{128}）与VT-OCDM-IM（L=\mathrm{4},K=\mathrm{1}）比特速率相同，MMSE中OCDM与VT-OCDM-IM相比，需要多4 dB信噪比达到误码率{\mathrm{10}}^{-\mathrm{3}}。同条件下VT-OCDM-IM比OCDM（N=\mathrm{64}）高出近一倍的传输速率，在误码率{\mathrm{10}}^{-\mathrm{5}}处有大约1 dB的性能优势。ZF算法下VT-OCDM-IM误码率性能略差于OCDM。在AWGN信道同速率下VT-OCDM-IM激活更少的子载波，单个子载波能量更高，则单位激活子载波信噪比更大，故抗噪性能更好。

在L=\mathrm{4}\mathrm{、}K=\mathrm{1}，信息传输速率相同条件下，VT-OCDM-IM与OCDM-IM性能仿真如图5所示。VT-OCDM-IM在变时宽的同时改变DFnT矩阵大小，单个符号内激活子载波数与当前时宽成正比，带宽相同，时域信息密度相同，传输速率一致时VT-OCDM-IM与OCDM-IM性能相同。时宽跳变模块增加了VT-OCDM-IM的复杂度，对系统要求更高。

3.2　隐蔽性能仿真

通常用倒谱来检测信号周期性，并对可疑信号存在的周期部分进行提取分析，解析获得源信号的周期特征。图6给出了VT-OCDM-IM和OCDM-IM的倒谱仿真图。

分析图6可知，VT-OCDM-IM谱线无特殊规律，变时宽破坏了信号的周期特征。由OCDM-IM倒谱仿真可观测到周期明显的峰值特征，能轻易分析出有用信号特征。在不同SNR下对整段信号倒谱特征处理分析，得到信号倒谱检测概率如图7所示。其中，白噪声曲线是对无信息的噪声以相同阈值进行捕获，可视为虚警概率。相同信噪比下，VT-OCDM-IM拥有更强的抗倒谱检测能力。

循环谱用于分析循环平稳信号，分析时引入参数循环频率\alpha^［22］，反映信号周期性结构的频率偏移。高斯白噪声的循环谱仅在\alpha =\mathrm{0}处存在单峰，对信号循环谱\alpha \ne \mathrm{0}峰值进行特征分析。VT-OCDM-IM与OCDM-IM幅值归一化循环谱如图8所示。

循环谱于f=f_{\mathrm{0}}截面如图9所示，\alpha =\mathrm{0}以外区域信号存在多处峰值，Chirp信号作为宽带信号，能量在频域分散。VT-OCDM-IM变时宽变映射打乱信号周期性，对比OCDM-IM有着更低的特征峰值，相同功率下特征峰值下降36%。

图10对不同信噪比下f=f_{\mathrm{0}}加噪截面进行分析。在AWGN信道下，图10（a）的特征峰值淹没在噪声中，此时信号特征被捕获概率低，图10（b）的峰值明显，信号的特征峰值能够被捕获。同信噪比下VT-OCDM-IM有着更低的特征峰值，隐蔽性能更强。

在不同SNR下分析整段信号循环谱特征，图11给出了循环谱f=f_{\mathrm{0}}时检测概率。检测概率为30%时，VT-OCDM-IM相较于OCDM-IM有2dB的信噪比优势。白噪声曲线可视为虚警概率。仿真结果证明，VT-OCDM-IM抗循环谱检测能力优于OCDM-IM。

4 结束语

本文提出了基于DFnT的变时宽OCDM索引调制通信系统，通过时宽跳变的索引调制Chirp基信号，取得OCDM抗多径优势的同时，利用非激活子载波传递信息达到同速率下更好的误码率性能，变时宽打破信号周期性，系统隐蔽性能得到提高。

可靠性上，本文提出的VT-OCDM-IM在MMSE均衡下相较于OFDM-IM有更强的抗衰落能力，且同条件下VT-OCDM-IM性能显著优于OCDM，高信噪比下在有更高比特速率的同时保证误码率低于OCDM。隐蔽性能上，VT-OCDM-IM系统倒谱无明显周期谱线，与OCDM-IM相比拥有更强的抗倒谱检测能力，循环谱在与OCDM-IM的对比中取得了更低的特征峰值，在检测概率曲线上表现出更强的抗截获能力，具有较好的隐蔽性能。

未来将继续研究子块间索引激活跳变对信号隐蔽性能的影响，期望获得更好的随机性以及在不同变换域下的抗捕获能力。

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基金资助

国家自然科学基金项目(62001139)

先进船舶通信与信息技术工业和信息化部重点实验室项目(AMCIT2101-05)