一种基于遗传算法的单弹光调制高速椭偏技术

A High Speed Ellipsometry Technology for Single Photoelastic Modulation Based on Genetic Algorithm

摘要

针对单弹光椭偏测量技术需锁相多个周期信号、 无法快速获得样品光学椭偏参数和薄膜厚度等问题， 提出一种基于弹光调制器（PEM）偏振调制和单调制周期遗传算法参数提取的高速单弹光调制椭偏测量方法， 该方法的时间分辨率可达μs量级。为保证算法的精度与稳定性， 利用系统输出单个调制周期干涉信号的极值对系统PEM的相位延迟幅值（{\delta }_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}}）进行校准并且确定样品的光学椭偏参数范围。通过该校准方法可以确定待测参数范围， 大幅缩短计算时间， 提升计算精度。对空气以及61.4 nm和100 nm厚度的硅上镀二氧化硅样片进行测量， 实验表明该系统PEM的静态相位延迟（{\delta }_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}}）在测量范围内稳定波动， 最大偏差为0.007 3 rad， 标准差为0.003 3 rad， {\delta }_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}}与FPGA输出信号的占空比线性拟合系数R^{\mathrm{2}}为0.999 5； 样品薄膜测量厚度与其真值的相对误差小于0.1%且偏差在1 nm以内， 椭偏参量测量所需调制信号时间为8.3 μs， 较传统弹光锁相椭偏方法快1~2数量级。该方法实现的高速单弹光调制椭偏测量技术具有较高的精度和稳定性， 为后续研究高速多弹光调制椭偏技术奠定基础。

Abstract

A high-speed single photoelastic modulation （PEM） ellipsometry measurement method based on polarization modulation of PEM and parameter extraction of single modulation period genetic algorithm is proposed to address the issues of phase locking multiple period signals and inability to quickly obtain sample optical ellipsometric parameters and thin film thickness in single PEM measurement technology. The time resolution of this method can reach up to μs level. To ensure the accuracy and stability of the algorithm， the phase delay amplitude （δ_peak） of the PEM system is calibrated by the extremum of the interference signal within a modulation period of the system and the optical ellipsometry parameter range of the sample is determined. This calibration method can significantly shorten the calculation time and improve the calculation accuracy. By measuring the air and samples （made of silicon dioxide coated on silicon with thicknesses of 60 nm and 100 nm）， the experiment shows that the static phase delay （δ_static） of the PEM system fluctuates stably within the measurement range. The maximum deviation of δ_static is 0.007 3 rad， and the standard deviation is 0.003 3 rad. The linear fitting coefficient R² of the duty cycle between δ_peak and FPGA output signals is 0.999 5. The experiments show that the relative error between the measured thickness of the sample film and its true value is less than 0.1% and the deviation is within 1 nm. The required modulation signal time for ellipsometric parameter measurement is 8.3 μs， which is 1~2 orders of magnitude faster than traditional PEM phase-locked ellipsometry methods. The results show that the high-speed single PEM ellipsometry measurement technology achieved by this method has high accuracy and stability， and lays the foundation for subsequent research on high-speed multi-PEM ellipsometry technology.

Graphical abstract

关键词

高速椭偏测量 / 弹光调制 / 遗传算法 / 图像拟合仿真

Key words

high-speed ellipsometry measurement / photoelastic modulation / genetic algorithm / image fitting simulation

0 引　言

随着以光刻侵蚀和超精密加工技术为代表的加工技术和工艺的快速发展， 微纳米薄膜因其优异的性能在半导体、 微电子、 生物医学、 新材料等领域发挥着重要的作用。这类薄膜通常采用纳米级材料， 其物理性能和化学特性会受到薄膜本身的光学常数、 尺寸大小和表面结构等影响， 各参数的微小变化会对薄膜物理化学性能产生巨大影响^［1‐3］。其中， 光学常数和薄膜厚度影响最大， 因此对于各种薄膜厚度参数的精确测量与溯源性分析是保证器件质量、 提高生产效率的重要手段^［4‐5］。

扫描电子显微镜和原子力显微镜等扫描探针式显微技术主要采用探针扫描样品表面， 具有超高分辨率、 能够显示样品表面单原子层深度的局部表面结构和构建样品实空间中表面三维图像等特点， 但不满足工业生产中对实时在线监测的需求^［6‐7］。椭圆偏振法是一种利用偏振光的振幅和相位等偏振特性的测量手段。偏振光在经过不同介质的相互作用界面时会发生反射和透射， 光线的偏振特性会改变。椭圆偏振法通过测量光线经过待测薄膜样品前后的P分量和S分量的幅值比和相位差， 然后经算法拟合求得待测薄膜样品的折射率和膜厚等参数。这种椭偏测量技术的优点包括速度快、 操作简单、 非接触， 可以实现工业制造上的实时在线监测^［8‐10］。

现有的旋转椭偏测量技术可以准确测量出样品参数， 但由于采用机械旋转补偿器， 时间分辨率低（秒级）， 无法满足实际生产中对在线原位检测等对高速测量的需求^{［11‐12］}。基于弹光调制器的多弹光调制系统可以实现高速实时在线测量样品参数， 但在实际控制中由于弹光晶体的温漂现象难以实现多个弹光晶体同时稳定工作^{［13‐15］}。单弹光的椭偏测量系统在忽略弹光晶体的静态延迟量对晶体相位延迟幅值的影响下， 由于频率信号的单一还是无法直接准确求解出样品的光学椭偏参数和薄膜厚度^{［16‐17］}。

因此， 本文基于弹光调制器（Photoelastic Modulation， PEM）偏振调制和遗传算法参数提取， 提出一种在单个调制周期内的高速单弹光调制椭偏测量方法， 使用单个弹光调制器并使其调制相位幅值位于区间， 解决单弹光系统无法快速获得待测样品的光学椭偏参数和薄膜厚度问题， 并且具有测量速度更快、 精度高、 稳定性好等特点。

1 椭偏测量装置与原理

椭偏测量仪是一种通过测量光束经样品反射或透射后入射光束偏振态变化情况， 然后根据计算分析等方法求解样品光学参数和薄膜厚度等物理参数的仪器。椭偏仪测量过程主要分为两个部分， 一是光学测量部分： 根据偏振光学理论， 建立合适样品的光学椭偏参数等物理参数以及光路入射角、 偏振元器件之间的理论光强穆勒矩阵， 从而设计符合要求的光路进行试验测量； 二是后续数据处理部分： 根据搭建好的椭偏测量系统得到的光强信号， 与理论模型构建的光强信号进行匹配， 在符合精度要求下提取样品的椭偏参数。

椭偏测量系统的光路如图 1 所示。系统以x轴0°为参考基准， 激光发出的光束依次经过由透光轴为90°的起偏器， 快轴为45°、 谐振频率为60 kHz的PEM， 以及快轴为0°的1/4波片所组成的起偏系统， 再经待测样品反射后进入检偏系统中， 检偏系统由透光轴为-45°的检偏器组成， 最后在探测器测得出射光强的干涉信号。

利用Stokes矢量描述光信号的偏振态变化， 入射光和出射光的偏振态变化可以表示为

{\mathit{S}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}=\left[\begin{array}{cccc}I& Q& U& V\end{array}\right],

{\mathit{S}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}={\mathit{M}}_{\mathrm{A}}{\mathit{M}}_{\mathrm{x}}{\mathit{M}}_{\mathrm{W}}{\mathit{M}}_{\mathrm{P}\mathrm{E}\mathrm{M}}{\mathit{M}}_{\mathrm{p}}{\mathit{M}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}},（1）

式中： S_in和 S_out分别为光束在进入起偏系统前和经过检偏系统后的偏振态； M_p、 M_PEM、 M_w、 M_x和 M_A分别为起偏器、 PEM、 1/4波片、 待测样品和检偏器的穆勒矩阵； 各偏振器件的穆勒矩阵表达式为

\begin{array}{c}{\mathit{M}}_{\mathrm{P}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{1}& -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ -\mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right],\\ {\mathit{M}}_{\mathrm{w}}=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\mathrm{1}& \mathrm{0}\end{array}\right],\end{array}

\begin{array}{c}{\mathit{M}}_{\mathrm{A}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& -\mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right],\\ {\mathit{M}}_{\mathrm{P}\mathrm{E}\mathrm{M}}=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\omega & \mathrm{0}& -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\omega \\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\omega & \mathrm{0}& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\omega \end{array}\right]，\end{array}

{\mathit{M}}_{\mathbf{x}}=\left[\begin{array}{cccc}\begin{array}{c}\mathrm{1}\\ -\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\psi \right)\\ \mathrm{0}\\ \mathrm{0}\end{array}& \begin{array}{c}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\psi \right)\\ \mathrm{1}\\ \mathrm{0}\\ \mathrm{0}\end{array}& \begin{array}{c}\mathrm{0}\\ \mathrm{0}\\ C\\ -D\end{array}& \begin{array}{c}\mathrm{0}\\ \mathrm{0}\\ D\\ C\end{array}\end{array}\right],（2）

式中： C=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}\psi \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\Delta \right)； D=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}\psi \right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\Delta \right)；\omega ={\delta }_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\omega }_{\mathrm{0}}t\right)+{\delta }_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}}， {\delta }_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}}为PEM的相位延迟幅值， {\delta }_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}}为PEM的静态相位延迟幅值且只与PEM中晶体的性质有关， {\omega }_{\mathrm{0}}为PEM上外驱动力的角频率； \psi \left(\mathrm{0}\le \psi \le {\mathrm{90}}^{°}\right)为经过样品反射光的P分量和S分量的幅值比， \Delta \left(\mathrm{0}\le \Delta \le {\mathrm{180}}^{°}\right)为P分量和S分量相位差。且\psi和\Delta满足

\frac{r_p}{r_s}=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\psi {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\Delta },（3）

式中： r_p和r_s分别为P分量和S分量的反射系数。考虑到环境的杂光影响和探测器对光强信号的增幅， FPGA最终接收到的光强信号为

I_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}=A\left[\mathrm{1}+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\omega \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\psi \right)+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\omega \right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}\psi \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\Delta \right)\right]+B,（4）

式中： A为对光信号的增幅系数； B为对光信号的杂光系数。按照传统方法对输出光强进行傅里叶展开和贝塞尔级数展开求解样品参数， 存在频谱泄露或故意忽略其他谐波所携带的信息现象， 而且由于单PEM测量频率信号的形式单一， 通过傅里叶展开方法不能准确求解出样品的椭偏参数， 于是引入遗传算法， 通过拟合输出光强的干涉信号来提取求解样品的椭偏参数。

2 遗传算法介绍

实际测量的光强信号（I_out）与理论模型求解出的光强信号（I）应相等， 但由于弹光晶体长时间工作后的温漂现象和测量系统误差等问题的存在， 使得实际实验中测得的输出光强信号（I_out）与理论光强（I）之间存在一定的系统偏差， 对样品的椭偏参数求解等价于使实际光强信号与理论值的总偏差即总残差最小。因此， 对样品的椭偏参数的求解问题可以视为一个求解最小值的问题。所以， 采用最小二乘法进行拟合， 其中待拟合参数包括样品的振幅比（\psi）和相位差（\Delta）两个椭偏参数、 弹光晶体的延迟幅值（{\delta }_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}}）和静态延迟量（{\delta }_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}}）以及环境影响系数A和B， 则理论计算出的光强（I）可以表示为

\left\{\begin{array}{l}\omega ={\delta }_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\omega }_{\mathrm{0}}t\right)+{\delta }_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}},\\ I_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}=A\left[\mathrm{1}+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\omega \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\psi \right)+\right.\\ \left.\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\omega \right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}\psi \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\Delta \right)\right]+B\mathrm{。}\end{array}\right.（5）

因此， 遗传算法的目标函数为理论计算出来的光强值（I）与实际测量光强值（I_out）的残差平方和，

{\chi }^{\mathrm{2}}=\varphi \left({\mu }_j\right)=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left[{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{mn}}{\left(I_i-I_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}i}\right)}^{\mathrm{2}}\right]=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}f,（6）

式中： mn为拟合一组信号的所有光强信号点个数； j为待求解参数的个数。根据最小二乘法， 利用优化算法对目标函数进行求解， 最终得到满足光强最小残差平方和时对应的参数组； 然后提取参数组中样品椭偏参数的振幅比（\psi）和相位差（\Delta）， 根据样品模型和菲涅尔方程求解得到样品的薄膜厚度（d）。

遗传算法（Genetic Algorithm， GA）是进化计算技术的一种， 广泛应用于解决优化和搜索问题， 其灵感来源于自然界的进化过程。遗传算法具有较好的鲁棒性、 自适应性和并行搜索能力， 能够自动求解提取和指导优化解空间， 不需要确定的规则。该算法通过模拟自然界中的自然选择、 遗传、 交叉和突变等生物学机制进行优化问题解决方案， 流程图如图 2 所示。

2.1 种群初始化

假设初始解个体数为NP， 那么待拟合参数对应的可能解的数量为M， 则初始解集X为

x_i^k=\left[x_{i,\mathrm{1}}^k,x_{i,\mathrm{2}}^k,x_{i,\mathrm{3}}^k,\dots ,x_{i,M}^k\right],i=\mathrm{1,2},\dots ,NP,（7）

式中： x_i^k表示第i个个体的第k次迭代， 当k等于零时， 可认定为待拟合参数的初代个体是在每个个体的解空间中随机生成的一组解， 即

x_i^{\mathrm{0}}=B_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}+ran{d}_i\left(\mathrm{0,1}\right)\left(B_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-B_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right)。（8）

在遗传算法的解空间中存在约束条件， 公式中B_min和B_max分别为每个待求解参数在解空间的下限和上限。

2.2 选择算子

从群体中选择合适的个体， 淘汰不合适个体的操作叫选择操作， 其目的是把合适的个体（或解）直接遗传到子代或通过配对交叉的方式产生新的个体再遗传到子代。文中选用选择概率P(i)的选择操作， 即从种群中挑选个体， 用个体选择概率P(i)来代替个体适应度值的概率选择。此种选择操作不需要对种群按照一定规律进行排序， 个体x_i 被选择的概率服从二项分布

P\left(i,k\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)P{\left(i\right)}^k{\left(\mathrm{1}-P\left(i\right)\right)}^{n-k}，（9）

式中： n为种群数量； k为从种群中选出的自带个体的数目， 实现概率服从二项分布的选择器的运行复杂度为O(n+\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(n))。

2.3 交叉算子

交叉操作是遗传算法中的一个关键操作， 它通过组合两个父代个体的染色体片段生成新的后代。这种模拟生物进化的过程能够保留父代个体的优良特征， 并通过交叉产生多样性， 有助于在搜索空间中更快地找到最优解。文中采用多点交叉操作中的算术交叉操作， 用于从两个父代（P_{\mathrm{1}}^k和P_{\mathrm{2}}^k）中产生两个子代（C_{\mathrm{1}}^{k+\mathrm{1}}和C_{\mathrm{2}}^{k+\mathrm{1}}）。随机混合量的选择： 代码通过rand函数Q生成一个随机数a， 这个随机数范围在（0，1）之间， 其将决定如何混合两个父代来生成子代。当随机数a小于交叉算子P_cr， 满足交叉条件， 则生成新的子代： 子代C_{\mathrm{1}}^{k+\mathrm{1}}和C_{\mathrm{2}}^{k+\mathrm{1}}是父代P_{\mathrm{1}}^k和P_{\mathrm{2}}^k的加权平均， 其中C_{\mathrm{1}}^{k+\mathrm{1}}的权重由a和(\mathrm{1}-a)决定， C_{\mathrm{2}}^{k+\mathrm{1}}的权重和C_{\mathrm{1}}^{k+\mathrm{1}}正好相反， 即

\left\{\begin{array}{l}a=rand,\\ C_{\mathrm{1}}^{k+\mathrm{1}}=P_{\mathrm{1}}^{k}a+P_{\mathrm{2}}^k\left(\mathrm{1}-a\right),\\ C_{\mathrm{2}}^{k+\mathrm{1}}=P_{\mathrm{1}}^k\left(\mathrm{1}-a\right)+P_{\mathrm{2}}^{k}a\mathrm{。}\end{array}\right.（10）

2.4 突变算子

在遗传算法中， 突变操作是指在遗传个体基因型中引入随机变动的过程， 其作用是维持种群的多样性， 防止算法陷入局部最优解。突变算子P_mu 是用于判定父代个体是否发生突变操作的阈值， 介于0~1之间。文中采用均匀突变操作， 是指分别用符合某一范围内均匀分布的随机数， 以一个很小的概率来替换父代个体编码串上原有的基因值。操作过程： 1） 依次指定个体编码串中的每个基因点为突变点； 2） 对于每一个突变点， 按照突变算子概率P_mu， 从对应基因的取值范围内任意取一个数字来替换原有基因值， 表示为： 设父代个体为X=［x_{\mathrm{1}}，x_{\mathrm{2}}，x_{\mathrm{3}}，…，x_i，…，x_m］， 若x_i为突变点， 其取值范围为［U_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}^i，U_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}^i］， 对个体X在该点进行均匀突变操作后， 得到一个新的子代个体X^{\mathrm{\text{'}}}=\left[x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}},\dots ,{x_i}^{\mathrm{\text{'}}},\dots ,x_m\right]， 其中突变点的新基因值为

x_i^{\mathrm{\text{'}}}=U_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}^i+r\left(U_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}^i-U_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}^i\right),（11）

式中： r为0~1范围内符合均匀概率分布的一个随机数。

3 实验及数据分析

3.1 数据采集与预处理

在时域空间为了方便研究PEM相位延迟幅值和待测样品光学椭偏参数分别对干涉信号的影响， 可以将式（3）简写为

I_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}=\mathrm{1}+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\omega \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\psi \right)+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\omega \right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}\psi \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\Delta \right)\mathrm{。}（12）

根据式（5）， 利用Matlab对干涉信号I仿真可知， 在{\delta }_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}}>\frac{P_{\mathrm{m}\mathrm{u}}}{\mathrm{2}}时， I_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}会出现4个极值， 如图 3 所示。

4个极值分别为M_x， M_n， M_{\mathrm{1}}和M_{\mathrm{2}}， 令M_x>M_{\mathrm{1}}>M_{\mathrm{2}}>M_n。

通过干涉信号的导函数找到输出光强的几个极值， 干涉信号的导函数为

\dot{I_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}}=A{\omega }_{\mathrm{0}}{\delta }_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left({\omega }_{\mathrm{0}}t\right)\left[\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}\psi \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\Delta \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\omega \right)-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\psi \right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\omega \right)\right]\mathrm{。}（13）

令式（13）等于零， 可以得到极值点条件为

\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\omega =\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}\psi \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\Delta \right),\mathrm{或者}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left({\omega }_{\mathrm{0}}t\right)=\mathrm{0}\mathrm{。}（14）

在\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}\le {\delta }_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}}\le \frac{\mathrm{3}\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}时， 将式（14）代入式（4）， 易得A_{\mathrm{1}}>A_{\mathrm{3}}>A_{\mathrm{4}}>A_{\mathrm{4}}， 则有

\left\{\begin{array}{l}A\left[\mathrm{1}+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\psi \right)\sqrt[]{\mathrm{1}+\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}\psi \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\left(\Delta \right)}^{\mathrm{2}}}\right]+B=M_x,\\ A\left[\mathrm{1}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\psi \right)\sqrt[]{\mathrm{1}+\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}\psi \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\left(\Delta \right)}^{\mathrm{2}}}\right]+B=M_n,\\ A\left[\mathrm{1}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}\psi \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\Delta \right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\delta }_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}}+{\delta }_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}}\right)+\right.\\ \left.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\psi \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left({\delta }_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}}+{\delta }_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}}\right)\right]+B=M_{\mathrm{1}},\\ A\left[\mathrm{1}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}\psi \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\Delta \right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\delta }_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}}-{\delta }_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}}\right)+\right.\\ \left.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\psi \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left({\delta }_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}}-{\delta }_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}}\right)\right]+B=M_{\mathrm{2}}\mathrm{。}\end{array}\right.（15）

令\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta =\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}\psi \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\Delta \right)， 则有

\left\{\begin{array}{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta =\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}\psi \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\Delta \right)}{\sqrt[]{\mathrm{1}+{\left(\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}\psi \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\Delta \right)\right)}^{\mathrm{2}}}},\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta =\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{1}+{\left(\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}\psi \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\Delta \right)\right)}^{\mathrm{2}}}}\mathrm{。}\end{array}\right.（16）

然后对式（16）求解变化可以得到

\left\{\begin{array}{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\delta }_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}}-\left(\theta -{\delta }_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}}\right)\right]=\frac{\mathrm{2}{M}_{\mathrm{1}}-M_x-M_n}{M_x-M_n},\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\delta }_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}}+\left(\theta -{\delta }_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}}\right)\right]=\frac{\mathrm{2}{M}_{\mathrm{2}}-M_x-M_n}{M_x-M_n}\mathrm{。}\end{array}\right.（17）

令

\left\{\begin{array}{c}M=\frac{\mathrm{2}{M}_{\mathrm{1}}-M_x-M_n}{M_x-M_n},\\ N=\frac{\mathrm{2}{M}_{\mathrm{2}}-M_x-M_n}{M_x-M_n}\mathrm{。}\end{array}\right.（18）

联立式（17）和式（18）， 根据\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}\le {\delta }_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}}\le \mathrm{\pi }可以得到

{\delta }_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}}=\frac{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(MN+\sqrt[]{\left(\mathrm{1}-M^{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{1}-N^{\mathrm{2}}\right)}\right)}{\mathrm{2}}\mathrm{。}（19）

根据图像极值大小不仅可以初步确定样品和光学系统各参数之间的关系和数值大小， 还可以将这些关系和数值代入图像拟合的遗传算法中， 作为拟合参数的上下限的参考范围选择指标， 缩小参数的范围从而提高算法的精度和减少大量算法拟合所耗时间。

3.2 系统PEM校准与空采

让系统进行空采（等效测量空气）时， 由于空气的椭偏参数\psi和\Delta分别为45°和0°， 所以FPGA最终接收到的光强信号可以表示为

I_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{⁃}\mathrm{k}\mathrm{q}}=A\left(\mathrm{1}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\omega \right)+B\mathrm{。}（20）

此时干涉信号的极值处大小为

\left\{\begin{array}{l}{M}_x=\mathrm{2}A+B,\\ M_n=B,\\ M_{\mathrm{1}}=A\left[\mathrm{1}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\delta }_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}}+{\delta }_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}}\right)\right]+B,\\ M_{\mathrm{2}}=A\left[\mathrm{1}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\delta }_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}}-{\delta }_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}}\right)\right]+B\mathrm{。}\end{array}\right.（21）

根据3.1节内容， 此时可以求得增幅系数A和杂光系数B， 即

\left\{\begin{array}{l}B=M_n,\\ A=\frac{M_x-M_n}{\mathrm{2}},\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}{\delta }_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}}\right)=\sqrt[]{\left(\mathrm{1}-{\left(\frac{M_{\mathrm{1}}-A-B}{A}\right)}^{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{1}-{\left(\frac{M_{\mathrm{2}}-A-B}{A}\right)}^{\mathrm{2}}\right)-\frac{\left(M_{\mathrm{1}}-A-B\right)\left(M_{\mathrm{1}}-A-B\right)}{A^{\mathrm{2}}}\mathrm{。}}\end{array}\right.（22）

结合式（20）和式（22）初步计算出此时系统中样品的光学椭偏参数， 将此参数代入遗传算法进行优化处理， 结果如图 4 所示。

图 4 为测量空气时， 通过极值法（图（a）、 图（c））和遗传算法优化（图（b）、 图（d））两种方法得到的参数拟合图像与测量原始图像之间的比较， 其中， X为拟合曲线和原始数据曲线的残差平方和。可以发现在相同条件下， 极值法和遗传算法优化得到的两组PEM相位延迟幅值之间偏差优于0.8%。因此， 可以认为在测量空气样品时， 利用波形的极值可以初步准确得到晶体的震动情况。

为得到PEM在实时测量样品厚度时全工作范围的调制状态， 将FPGA输出方波的占空比从0.13~0.36以0.01步进调节， 从而间接调节弹光晶体两端的驱动电压大小， 实现对晶体在工作范围内延迟幅值变化测量， 结果如图 5 所示。可以发现PEM的相位延迟幅值（{\delta }_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}}）与占空比（D）存在线性关系， 其R^{\mathrm{2}}为0.999 5； 在占空比为零时{\delta }_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}}不为零， 是由于PEM晶体从静止到共振需要一段稳定时间， 所以当占空比为零时弹光晶体会保持较小的振动， 可以使PEM更快地达到共振稳定状态。{\delta }_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}}在测量范围内稳定在0.035 4 rad左右波动， 最大偏差小于0.007 3 rad， 标准差在0.003 3 rad左右， 可认为{\delta }_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}}不随占空比即驱动电压的变化而变化， 这证实了{\delta }_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}}只与PEM中晶体的性质有关。

3.3 标准样品数据处理

样品选用北京量拓公司的标定厚度为61.4 nm和100 nm硅上镀二氧化硅薄膜样品， 根据3.1节中式（14）和式（19）可知不能直接准确求出样品的光学椭偏参数， 所以在相同调制条件下通过测量空气得到增幅系数A和杂光系数B， 对样品光学椭偏参数进行范围选定， 然后将计算结果代入遗传算法中， 计算拟合结果如图 6 所示。

图 6（a） 为原始干涉信号曲线， 图 6（b） 为放大图 6（a） 中虚线框周期的曲线， 图 6（c） 和图 6（d） 为利用遗传算法对图（a）中第一个时间周期的曲线拟合过程及结果。可以看到拟合计算过程所需调制信号时间为8.3 μs， 比传统弹光锁相椭偏方法快1~2个数量级， 而且拟合曲线和原始曲线的残差平方和χ收敛到最小值0.003 7， 验证了方法的时间分辨率低、 可行性和准确性。利用所提方法测量2个样品的结果如图 7 所示。可以看出， 拟合信号与干涉信号之间的残差平方和都小于0.015， 拟合计算的薄膜厚度d与样品实际厚度相对误差优于0.1%， 最大偏差在1 nm以内。所以， 遗传算法计算的样品光学椭偏参数即为样品的实际光学椭偏参数。

4 结　论

本文基于遗传算法的特性和高速单弹光调制技术， 设计了一种新型光谱椭偏测量方法， 成功实现了单弹光测量系统中对样品薄膜厚度及光学椭偏参数的高效求解。为满足在大延迟变化范围内对纳米级薄膜厚度进行高精度和高灵敏度的在线测量需求， 进一步提出了一种通过识别单个调制周期内干涉信号的极值来确定参数范围的策略， 以确保遗传算法能够得出唯一解。实验表明， 该方法在建立驱动信号占空比与{\delta }_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}}之间的线性关系时表现出色； 实测得出{\delta }_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}}稳定在0.035 4 rad左右， 最大偏差仅为0.007 3 rad， 标准差为0.003 3 rad； 此外， 通过遗传算法的参数拟合与提取， 测得薄膜厚度与真值的相对误差优于0.1%， 且其偏差在1 nm以内。综上所述， 该方法不仅弥补了传统单弹光系统在实时在线测量方面的不足， 能够同时精确获取样品的光学椭偏参数和薄膜厚度， 而且还展示出优异的测量准确性和稳定性， 为相关领域的研究提供了强有力的技术支持。

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基金资助

国家自然科学基金资助项目(62105302)