基于低秩模型和残差模型的图像降噪

Image Denoising Based on Low Rank Model and Residual Model

摘要

现有基于组稀疏表示的图像恢复方法大多利用非局部自相似先验特性， 相似的小块聚类成组， 对每组系数施加稀疏度， 从而有效保留图像纹理信息。然而， 这些方法只对组中每个单独的块施加了简单稀疏性， 而忽略了其他有益的图像属性。基于此， 提出了一种基于低秩模型和残差模型的图像去噪算法， 不仅利用了每组相似块的稀疏性和低秩性， 还利用残差学习方法来自动估计图像块的真实稀疏表示。实验结果表明所提算法充分考虑了块之间的关系， 将块的相关性和特异性结合， 有效实现了图像去噪， 从而得到高质量的恢复图像。同时， 实验还表明所提算法的峰值信噪比平均增益比块匹配三维协同滤波（Block-Matching and 3D Filtering， BM3D）算法提高0.34 dB， 比非局部集中稀疏表示（Non-Local Centralized Sparse Representation， NCSR）提高0.48 dB， 比低秩正则联合稀疏（Low-Rank Regularized Joint Sparsity， LRJS）提高0.2 dB， 比低秩引导的组稀疏表示（Low-Rankness Guided Group Sparse Representation， LGSR）和GSR_SRLR提高0.04 dB， 且平均结构相似性值达到次高， 足以证明其优于许多流行或先进的去噪算法。

Abstract

Most existing group sparse representations based image restoration methods utilize the non-local self-similarity prior property to cluster similar small blocks into groups and apply sparsity to each group of coefficients， which effectively preserves image texture information. However， these methods only apply simple sparsity to each individual block in the group， but ignore other beneficial image attributes. Based on this， an image-denoising algorithm based on a low-rank model and a residual model is proposed. It not only utilizes the sparsity and low rank of each group of similar blocks， but also uses residual learning methods to automatically estimate the true sparse representation of image blocks. The experimental results show that the proposed algorithm fully considers the relationship between blocks，combines the correlation and specificity of blocks and then effectively performs image denoising to obtain high-quality restored images. The experimental results also show that the PSNR average gain of the proposed algorithm was 0.34 dB higher than BM3D， 0.48 dB higher than NCSR， 0.2 dB higher than LRJS， 0.04 dB higher than LGSR and GSR-SRLR， and the average SSIM value reached the second highest， which is sufficient to prove that it is superior to many popular or state-of-the-art denoising algorithms.

Graphical abstract

关键词

图像去噪 / 稀疏表示 / 非局部自相似 / 交替最小化

Key words

image denoising / sparse representation / nonlocal self-similarity / alternating minimization

0 引　言

尽管现代成像设备性能不断提升， 但图像采集过程中由传感器噪声、 光照不足等因素导致的图像退化仍不可避免， 这使得图像去噪成为计算成像领域长期存在的关键问题之一^［1‐2］。从数学模型角度， 图像去噪可表述为从含噪观测图像\mathit{Y}中恢复潜在干净图像\mathit{X}的逆问题， 其关系通常建模为

\mathit{Y}=\mathit{X}+\mathit{E},（1）

式中： \mathit{E}为加性高斯白噪声， 其标准差为{\sigma }_{\mathit{E}}。由于该问题具有严重的不适定性， 研究者常通过引入图像先验模型对解空间进行正则化约束^［3‐4］。

而基于局部图像块的稀疏表示先验因其对自然图像统计特性的强表征能力， 自20世纪90年代以来逐渐成为主流方向。例如， Elad等^［5］提出K奇异值分解（K-Singular Value Decomposition， K-SVD）算法， 通过过完备字典学习将图像块表示为稀疏线性组合， 显著提升了去噪性能。然而， 此类方法以独立处理单个图像块为基本单元， 虽能有效抑制噪声， 却忽视了图像中广泛存在的非局部相似性（Non-local Self-Similarity， NSS）结构^［6］， 导致对纹理细节和全局结构保持不足， 尤其在复杂边缘区域易产生过度平滑或伪影^［5］。

针对上述局限， Buades等^［1］开创性地提出NSS先验理论， 强调自然图像中相似结构在非局部区域的重复性特征。基于此， Dabov等^［7］提出的块匹配三维协同滤波（Block-Matching 3D Filtering， BM3D）算法， 通过构建三维相似块组并进行协同稀疏变换， 首次将NSS先验与稀疏表示相结合， 在去噪性能上取得突破性进展。受此启发， 研究者进一步提出组稀疏表示（Group Sparse Representation， GSR）模型^［8］， 通过联合约束相似块组的稀疏性以增强表征能力。然而， 传统GSR模型未充分考虑相似块组间的内在低维流形特性， 导致对噪声敏感。为此， Yuan等^［9］设计加权低秩稀疏表示模型， 将卷积稀疏编码与非局部统计建模相结合， 进一步提升了局部平滑性与全局结构一致性； Zha等^［10］提出低秩引导的组稀疏表示（Low-Rankness Guided GSR， LGSR）模型， 通过低秩约束挖掘相似块组的子空间结构。尽管如此， 上述方法在噪声干扰下仍难以准确恢复真实稀疏表示， 尤其在噪声水平较高时易产生基字典偏移问题。

为解决该问题， 残差学习框架被引入稀疏表示模型。Dong等^［11］指出相似块组的真实表示与学习表示间应存在可建模的残差关系。基于此， 非凸结构稀疏性残差约束（Nonconvex Structural Sparsity Residual Constraint， NSSRC）^［12］将结构稀疏表示和非凸稀疏性残差约束集成在一起来估计真稀疏编码。Zha等^［13］在GSR模型中引入结构残差约束， 通过显式分离噪声成分提升恢复精度； Cai等^［14］进一步提出基于组稀疏表示与残差学习的自适应模型， 以数据驱动方式逼近真实表示。然而， 现有方法多侧重对块间相关性（如低秩约束）或特异性（如残差建模）的单一利用， 未能有效协同二者优势， 过度强调低秩性可能导致局部特征丢失， 而独立残差约束则可能忽略块间结构关联性。

针对这一核心挑战， 本文提出一种融合低秩模型与残差模型的图像去噪算法。通过构建分层优化框架， 在低秩约束下保持相似块组的全局相关性， 同时利用残差学习自适应捕捉个体块的特异性差异， 实现稀疏表示精度与结构一致性的均衡优化。实验表明， 该方法在纹理保持与噪声抑制方面较现有方法具有显著优势。

1 相关工作

1.1 组稀疏表示

基于组的稀疏表示方法^［8］通常引入图像块分组策略 。通过这种块分组策略， GSR可以利用图像的非局部自相似性显著提升对纹理和边缘结构的保持能力。具体来说， 就是给定一个图像\mathit{y}\in {\mathbb{R}}^N， 它被分割成n个大小为\sqrt[]{b}\times \sqrt[]{b}的重叠块{\mathit{y}}_{\mathit{i}}。对每个示例块{\mathit{y}}_{\mathit{i}}， 在一个局部窗口L\times L内执行k最近邻（k Nearest Neighbor， KNN）算法的一个变体^［15］， 以搜索m个最相似的块。之后， 选定的m个相似块构成一个组矩阵{\mathit{Y}}_{\mathit{i}}\in {\mathbb{R}}^{b\times m}， 即{\mathit{Y}}_{\mathit{i}}=\{{\mathit{y}}_{\mathit{i},\mathrm{1}},{\mathit{y}}_{\mathit{i},\mathrm{2}},\dots ,{\mathit{y}}_{\mathit{i},\mathit{m}}\}， 其中{\mathit{Y}}_{\mathit{i}}中的每一列{\mathit{y}}_{\mathit{i},\mathit{j}}表示与示例块{\mathit{y}}_{\mathit{i}}相似的第j个块（j=\mathrm{1},\dots ,m）。因此， 具有相似结构的块组成的矩阵{\mathit{Y}}_{\mathit{i}}被称为一个组。一般来说， GSR模型从每个组{\mathit{Y}}_{\mathit{i}}中学习一个字典{\mathit{D}}_{\mathit{i}}。通过学习到的字典{\mathit{D}}_{\mathit{i}}， 每个组{\mathit{Y}}_{\mathit{i}}可以通过解决以下最小化问题来稀疏表示^［4］，

{\widehat{\mathit{A}}}_{\mathit{i}}=\underset{{\mathit{A}}_{\mathit{i}}}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Vert {\mathit{Y}}_{\mathit{i}}-{\mathit{D}}_{\mathit{i}}{\mathit{A}}_{\mathit{i}}{\Vert }_F^{\mathrm{2}}+\lambda \Vert {\mathit{A}}_{\mathit{i}}{\Vert }_p\right),\forall i,（2）

式中： {‖\cdot ‖}_F表示Frobenius范数； ||\cdot |{|}_p表示{\mathrm{𝓁}}_p范数， 它施加在{\mathit{A}}_{\mathit{i}}的每一列上； \lambda为一个非负常数。通过解决式（2）获得了所有组稀疏系数\{{\widehat{\mathit{A}}}_{\mathit{i}}{\}}_{\mathit{i}=\mathrm{1}}^{\mathit{n}}， 就可以通过\widehat{\mathit{x}}=\mathit{D}\widehat{\mathit{A}}重构出潜在的期望图像\widehat{\mathit{x}}， 其中， \mathit{D}和\widehat{\mathit{A}}分别为\{{\mathit{D}}_{\mathit{i}}{\}}_{\mathit{i}=\mathrm{1}}^{\mathit{n}}和\{{\widehat{\mathit{A}}}_{\mathit{i}}{\}}_{\mathit{i}=\mathrm{1}}^{\mathit{n}}集合。

1.2 低秩模型

基于1.1节中的组构建过程， {\mathit{Y}}_{\mathit{i}}由许多非局部相似块构成， 被认为具有低秩（Low Rank， LR）性^［16］。受这一关键属性的启发， 低秩近似方法被广泛应用于各种图像恢复任务， 最具代表性的是核范数最小化（Nuclear Norm Minimization， NNM）。具体来说， 对一个矩阵{\mathit{Y}}_{\mathit{i}}\in {\mathbb{R}}^{b\times m}， NNM的目标是获得一个秩为r\ll \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(b,m)的低秩矩阵{\mathit{L}}_{\mathit{i}}， NNM形式如下

{\widehat{\mathit{L}}}_{\mathit{i}}=\underset{{\mathit{L}}_{\mathit{i}}}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Vert {\mathit{Y}}_{\mathit{i}}-{\mathit{L}}_{\mathit{i}}{\Vert }_F^{\mathrm{2}}+\lambda \Vert {\mathit{L}}_{\mathit{i}}{\Vert }_{\mathrm{*}}\right),\forall i,（3）

式中： ||\cdot |{|}_{\mathrm{*}}为核范数。潜在的期望图像\widehat{\mathit{x}}可通过聚合所有低秩矩阵\{{\widehat{\mathit{L}}}_{\mathit{i}}{\}}_{\mathit{i}=\mathrm{1}}^{\mathit{n}}来重构。

1.3 残差模型

稀疏表示学期望{\mathit{Y}}_{\mathit{i}}学得的稀疏系数{\mathit{A}}_{\mathit{i}}应尽可能接近对应图像块组的真实表示， 然而， 由于{\mathit{Y}}_{\mathit{i}}上的各种退化（如噪声、 压缩等）， 式（2）中的系数矩阵{\mathit{A}}_{\mathit{i}}可能偏离对应块组的真实表示。因此， Dong等^［11］在式（2）中加入残差约束， 即

{\mathit{R}}_{\mathit{i}}={‖{\mathit{A}}_{\mathit{i}}-{\mathit{B}}_{\mathit{i}}‖}_F^{\mathrm{2}}\forall i,

式中： {\mathit{B}}_{\mathit{i}}为真实表示。显然， 该约束迫使学习到的稀疏表示{\mathit{A}}_{\mathit{i}}尽可能接近真实表示{\mathit{B}}_{\mathit{i}}， 即最小化残差{\mathit{R}}_{\mathit{i}}。

为解决这个问题， 传统方法通常假设同一块组内所有图像块共享相同的真实表示。具体地， 通过线性加权融合稀疏系数矩阵{\mathit{A}}_{\mathit{i}}的列向量， 构造全局共享的真实表示\mathit{b}\in {\mathbb{R}}^d， 即

\mathit{b}=\frac{\mathrm{1}}{m}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^m}{w}_j{\mathit{A}}_{\mathit{i},\mathit{j}},（4）

式中： w_j为第j个块与组中心的欧氏距离权重； {\mathit{A}}_{\mathit{i},\mathit{j}}为{\mathit{A}}_{\mathit{i}}的第j列。真实表示设置为{\mathit{B}}_{\mathit{i}}=[\mathit{b},\cdots ,\mathit{b}]。然而， 这种全局共享机制完全忽略了块间特异性差异， 导致对局部细节的适应性不足。

为了克服这个问题， Cai等^［14］提出了改进的残差模型， 假设对于每个块组{\mathit{Y}}_{\mathit{i}}， 学习到的表示和真实表示之间存在密切关系， 即{\mathit{B}}_{\mathit{i}}可以从{\mathit{A}}_{\mathit{i}}中学习。具体来说， 就是真实表示{\mathit{B}}_{\mathit{i}}可由{\mathit{A}}_{\mathit{i}}线性表示， 即

{\mathit{B}}_{\mathit{i}}={\mathit{A}}_{\mathit{i}}{\mathit{W}}_{\mathit{i}},（5）

式中： {\mathit{W}}_{\mathit{i}}\in {\mathbb{R}}^{m\times m}是一个权重矩阵。由于期望{\mathit{A}}_{\mathit{i}}与学习到真实表示足够接近， 因此需要确定权重{\mathit{W}}_{\mathit{i}}。Cai等^［14］通过对{\mathit{W}}_{\mathit{i}}施加核范数约束来学习合适的{\mathit{W}}_{\mathit{i}}， 具体为

\begin{array}{c}{\widehat{\mathit{W}}}_{\mathit{i}}=\underset{{\mathit{W}}_{\mathit{i}}}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\Vert {\mathit{W}}_{\mathit{i}}{\Vert }_{\mathrm{*}}+\frac{\gamma }{\mathrm{2}}\Vert {\mathit{A}}_{\mathit{i}}-{\mathit{A}}_{\mathit{i}}{\mathit{W}}_{\mathit{i}}{\Vert }_F^{\mathrm{2}}\\ \hspace{1em}\mathrm{s}.\mathrm{t}.{\mathit{W}}_{\mathit{i}}=\mathit{W}{\mathbf{\text{'}}}_{\mathit{i}},\forall i\mathrm{。}\end{array}（6）

式（6）可以看作是在式（2）的基础上对{\mathit{A}}_{\mathit{i}}施加自表示模型^［17］的约束， 期望通过学习好的权重来获得块的真实表示。

2 本文去噪算法

2.1 恢复模型

如前所述， 现有的GSR模型大多利用非局部相似块的强相关性来有效地保留图像纹理信息。然而， 他们只对群体中的单个块施加简单的稀疏性， 忽略了其他有益的图像属性， 从而限制了恢复效果。因此， 考虑到分组后的非局部相似块组具有低秩性， 以及偏离真实表示的稀疏系数会影响去噪效果。本文将低秩模型与基于自表示的残差模型相结合， 提出算法的总体目标函数表述为

\begin{array}{c}\underset{\{{\mathit{A}}_{\mathit{i}},{\mathit{L}}_{\mathit{i}},\mathit{W},\mathit{X}\}}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Vert \mathit{Y}-\mathit{X}{\Vert }_F^{\mathrm{2}}+\frac{\alpha }{\mathrm{2}}\sum _{\mathit{i}}\Vert {\mathit{Q}}_{\mathit{i}}\mathit{Y}-{\mathit{D}}_{\mathit{i}}{\mathit{A}}_{\mathit{i}}{\Vert }_F^{\mathrm{2}}+\\ \beta \sum _i\Vert {\mathit{A}}_{\mathit{i}}{\Vert }_p+\frac{\rho }{\mathrm{2}}\sum _i{‖{\mathit{D}}_{\mathit{i}}{\mathit{A}}_{\mathit{i}}-{\mathit{L}}_{\mathit{i}}‖}_F^{\mathrm{2}}+{\tau }_{\mathrm{1}}\sum _i{‖{\mathit{L}}_{\mathit{i}}‖}_{\mathrm{*}}+\\ \frac{\gamma }{\mathrm{2}}\sum _i\Vert {\mathit{A}}_{\mathit{i}}-{\mathit{A}}_{\mathit{i}}{\mathit{W}}_{\mathit{i}}{\Vert }_F^{\mathrm{2}}+{\tau }_{\mathrm{2}}\sum _i\Vert {\mathit{W}}_{\mathit{i}}{\Vert }_{\mathrm{*}}\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.{\mathit{W}}_{\mathit{i}}={{\mathit{W}}^{\text{'}}}_{\mathit{i}},\forall i\in \{\mathrm{1,2},\dots ,n\}，\end{array}（7）

式中： \alpha ,\rho ,\gamma为使解可行的平衡因子； \beta ,{\tau }_{\mathrm{1}},{\tau }_{\mathrm{2}}为正则化参数； {\mathit{Q}}_{\mathit{i}}为从\mathit{X}中提取第i个补丁组的矩阵算子， 即{\mathit{Q}}_{\mathit{i}}\mathit{Y}={\mathit{Y}}_{\mathit{i}}； {\mathit{L}}_{\mathit{i}}为低秩矩阵。

2.2 算法优化

本节通过交替最小化策略解决式（7）中提出的图像去噪问题。

2.2.1 {\mathit{L}}_{\mathit{i}}子问题

更新矩阵{\mathit{L}}_{\mathit{i}}： 固定{\mathit{A}}_{\mathit{i}},{\mathit{W}}_{\mathit{i}},\mathit{X}， 去除不相关的项， 式（7）中的目标函数等同于关于{\mathit{L}}_{\mathit{i}}的以下形式

{\widehat{\mathit{L}}}_{\mathit{i}}=\underset{{\mathit{L}}_{\mathit{i}}}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Vert {\mathit{D}}_{\mathit{i}}{\mathit{A}}_{\mathit{i}}-{\mathit{L}}_{\mathit{i}}{\Vert }_F^{\mathrm{2}}+\frac{{\tau }_{\mathrm{1}}}{\rho }\Vert {\mathit{L}}_{\mathit{i}}{\Vert }_{\mathrm{*}},\forall i,（8）

式中： \Vert {\mathit{L}}_{\mathit{i}}{\Vert }_{\mathrm{*}}=\sum _j{\delta }_{i,j},\forall j=\mathrm{1},\dots ,d， 且{\delta }_{i,j}为矩阵{\mathit{L}}_{\mathit{i}}的第j个奇异值。基于奇异值阈值（Singular Value Thresholding， SVT）算法^［18］， 可以得到式（8）的闭式解为

{\widehat{\mathit{L}}}_{\mathit{i}}={\mathit{U}}_{\mathit{i}}Soft\left({\mathit{\Delta }}_{\mathit{i}},\frac{{\tau }_{\mathrm{1}}}{\rho }\right){\mathit{V}}_{\mathit{i}}^{\mathrm{T}},\forall i,（9）

式中： {\mathit{D}}_{\mathit{i}}{\mathit{A}}_{\mathit{i}}={\mathit{U}}_{\mathit{i}}{\mathit{\Delta }}_{\mathit{i}}{\mathit{V}}_{\mathit{i}}^{\mathrm{T}}为对重构组{\mathit{D}}_{\mathit{i}}{\mathit{A}}_{\mathit{i}}的奇异值分解， 并且软阈值处理被应用于奇异值矩阵{\mathit{\Delta }}_{\mathit{i}}的对角元素上。

2.2.2 {\mathit{W}}_{\mathit{i}}子问题

更新权重矩阵{\mathit{W}}_{\mathit{i}}： 固定{\mathit{A}}_{\mathit{i}},{\mathit{L}}_{\mathit{i}},\mathit{X}， 去除不相关的项， 式（7）中的目标函数等同于关于{\mathit{W}}_{\mathit{i}}的以下形式

\begin{array}{c}{\widehat{\mathit{W}}}_{\mathit{i}}=\underset{{\mathit{W}}_{\mathit{i}}}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\gamma }{\mathrm{2}}\Vert {\mathit{A}}_{\mathit{i}}-{\mathit{A}}_{\mathit{i}}{\mathit{W}}_{\mathit{i}}{\Vert }_F^{\mathrm{2}}+{\tau }_{\mathrm{2}}\Vert {\mathit{W}}_{\mathit{i}}{\Vert }_{\mathrm{*}}\\ \hspace{1em}\hspace{1em}s.t.{\mathit{W}}_{\mathit{i}}={\mathit{W}}_{\mathit{i}}^{\mathrm{\text{'}}},\forall i\mathrm{。}\end{array}（10）

式（10）也可以通过矩阵{\mathit{A}}_{\mathit{i}}的奇异值分解来有效求解， 即{\mathit{A}}_{\mathit{i}}={\mathit{U}}_{\mathit{i}}{\mathit{\Lambda }}_{\mathit{i}}{\mathit{V}}_{\mathit{i}}^{\mathrm{\text{'}}}。根据文献［17］， 式（9）的最优解可以表示为

{\widehat{\mathit{W}}}_{\mathit{i}}={\mathit{V}}_{\mathit{i}}{\mathit{P}}_{{\tau }_{\mathrm{2}}/\gamma }\left({\lambda }_i\right){{\mathit{V}}^{\text{'}}}_{\mathit{i}}，（11）

其中， {\mathit{P}}_{{\tau }_{\mathrm{2}}/\gamma }定义为

{\mathit{P}}_{{\tau }_{\mathrm{2}}/\gamma }\left({\lambda }_i\right)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{1}-\frac{{\tau }_{\mathrm{2}}}{\gamma {\lambda }_i^{\mathrm{2}}},& {\lambda }_i>\sqrt[]{{\tau }_{\mathrm{2}}/\gamma },\\ \mathrm{0},& \mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{。}\end{array}\right.（12）

2.2.3 {\mathit{A}}_{\mathit{i}}子问题

更新组稀疏表示{\mathit{A}}_{\mathit{i}}： 固定{\mathit{W}}_{\mathit{i}},{\mathit{L}}_{\mathit{i}},\mathit{X}， 去除不相关的项， 式（7）中关于{\mathit{A}}_{\mathit{i}}的目标函数可以近似表述为

{\widehat{\mathit{A}}}_{\mathit{i}}=\underset{{\mathit{A}}_{\mathit{i}}}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\alpha }{\mathrm{2}}\Vert {\mathit{Q}}_{\mathit{i}}\mathit{Y}-{\mathit{D}}_{\mathit{i}}{\mathit{A}}_{\mathit{i}}{\Vert }_F^{\mathrm{2}}+\frac{\rho }{\mathrm{2}}\Vert {\mathit{D}}_{\mathit{i}}{\mathit{A}}_{\mathit{i}}-{\mathit{L}}_{\mathit{i}}{\Vert }_F^{\mathrm{2}}+\frac{\gamma }{\mathrm{2}}\Vert {\mathit{A}}_{\mathit{i}}-{\mathit{A}}_{\mathit{i}}{\mathit{W}}_{\mathit{i}}{\Vert }_F^{\mathrm{2}}+\beta \Vert {\mathit{A}}_{\mathit{i}}{\Vert }_p=

\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{‖{\mathit{G}}_{\mathit{i}}-{\mathit{D}}_{\mathit{i}}{\mathit{A}}_{\mathit{i}}‖}_F^{\mathrm{2}}+

\frac{\gamma }{\mathrm{2}}\Vert {\mathit{A}}_{\mathit{i}}-{\mathit{A}}_{\mathit{i}}{\mathit{W}}_{\mathit{i}}{\Vert }_F^{\mathrm{2}}+\beta \Vert {\mathit{A}}_{\mathit{i}}{\Vert }_p,\forall i，（13）

式中： {\mathit{G}}_{\mathit{i}}=(\alpha {\mathit{Q}}_{\mathit{i}}\mathit{X}+\rho {\mathit{L}}_{\mathit{i}})/(\alpha +\rho )。为了更好地适应图像局部结构， Zha等^［10］从每组{\mathit{G}}_{\mathit{i}}中使用主成分分析学习字典{\mathit{D}}_{\mathit{i}}， 并使用广义软阈值（Generalized Soft Thresholding， GST）算法^［19］求解式（13）。具体地， {\mathit{A}}_{\mathit{i}}的更新规则表述为

{\mathit{A}}_{\mathit{i}}=GST({\mathit{S}}_{\mathit{i}},\mu ,p,t)\mathrm{。}（14）

根据Cai等^［14］提出的残差模型， {\mathit{S}}_{\mathit{i}}和\mu定义为

\left\{\begin{array}{l}{\mathit{S}}_{\mathit{i}}=\left({\mathit{A}}_{\mathit{i}}-{\mathit{D}}_{\mathit{i}}^{\mathrm{T}}{\mathit{X}}_{\mathit{i}}\right)+\gamma {\mathit{A}}_{\mathit{i}}\left(\mathit{I}-{\mathit{W}}_{\mathit{i}}-{\mathit{W}}_{\mathit{i}}^{\mathrm{\text{'}}}+{\mathit{W}}_{\mathit{i}}{\mathit{W}}_{\mathit{i}}^{\mathrm{\text{'}}}\right),\\ \mu =\frac{\beta }{\mathrm{1}+\gamma \Vert \mathit{I}-{\mathit{W}}_{\mathit{i}}{\Vert }^{\mathrm{2}}},\end{array}\right.

式中： t为迭代次数。

2.2.4 \mathit{X}子问题

更新恢复图像矩阵\mathit{X}： 固定矩阵{\mathit{A}}_{\mathit{i}},{\mathit{W}}_{\mathit{i}},{\mathit{L}}_{\mathit{i}}， 图像的恢复可以表述为

\widehat{\mathit{X}}=\underset{\mathit{X}}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Vert \mathit{Y}-\mathit{X}{\Vert }_F^{\mathrm{2}}+\frac{\alpha }{\mathrm{2}}\sum _i\Vert {\mathit{Q}}_{\mathit{i}}\mathit{X}-{\mathit{D}}_{\mathit{i}}{\mathit{A}}_{\mathit{i}}{\Vert }_F^{\mathrm{2}}\mathrm{。}（15）

该问题具有唯一的闭合解， 通过将\mathit{X}的偏导数设置为零， 式（15）的封闭形式解推导为

\widehat{\mathit{X}}={\left(\mathit{I}+\alpha \sum _i{\mathit{Q}}^{\text{'}}{\mathit{Q}}_{\mathit{i}}\right)}^{-\mathrm{1}}\left(\mathit{Y}+\alpha \sum _i{\mathit{Q}}_{\mathit{i}}^{\text{'}}{\mathit{D}}_{\mathit{i}}{\mathit{A}}_{\mathit{i}}\right)，（16）

式中： {\mathit{D}}_{\mathit{i}}{\mathit{A}}_{\mathit{i}}为已经去噪的图像相似块组， {\mathit{Q}}_{\mathit{i}}^{\mathrm{\text{'}}}为将恢复后的块放回原始图像的操作符。实际上， 图像\widehat{\mathit{X}}是通过稀疏表示重建图像和噪声图像\mathit{Y}加权平均而来。

2.3 参数选择

在所提模型式（7）中有6个超参数， 即\alpha ,\beta ,\gamma ,\rho ,{\tau }_{\mathrm{1}},{\tau }_{\mathrm{2}}， 通常根据经验选择固定值。但是， 这不能保证整个算法的稳定性。因此， 本文采用自适应参数调整策略， 使所提算法更具鲁棒性和实用性。首先， 使用迭代正则化策略^［20］来更新噪声方差{\sigma }_{\mathit{E}}^{\mathrm{2}}，

{\sigma }_{\mathit{E}}^{(k)}={\mathit{c}}_{\mathrm{0}}\sqrt[]{\left({\sigma }_{\mathit{E}}^{\mathrm{2}}-\Vert \mathit{Y}-{\widehat{\mathit{X}}}^{(k)}{\Vert }_F^{\mathrm{2}}\right)},（17）

式中： k为第k次迭代； c_{\mathrm{0}}为一个正数。此外， Cai等^［14］ 假设稀疏编码{\mathit{A}}_{\mathit{i}}服从超拉普拉斯分布^［21］， 稀疏残差{\mathit{R}}_{\mathit{i}}遵循高斯分布， 则

\beta =\frac{({\sigma }_{\mathit{E}}^{(k)}{)}^{\mathrm{2}}}{{\delta }_i+\epsilon },（18）

\gamma =\frac{({\sigma }_{\mathit{E}}^{(k)}{)}^{\mathrm{2}}}{{\delta }_i^{\mathrm{2}}+\epsilon }\mathrm{。}（19）

在每次迭代中， 正则化参数{\tau }_{\mathrm{2}}根据LR惩罚进行自适应调整^［22］，

{\tau }_{\mathrm{2}}=\frac{({\sigma }_{\mathit{E}}^{(k)}{)}^{\mathrm{2}}}{{\theta }_i+\epsilon }，（20）

式中： {\delta }_{\mathit{i}}和{\theta }_{\mathit{i}}分别为{\widehat{\mathit{A}}}_{\mathit{i}}和{\widehat{\mathit{\Delta }}}_{\mathit{i}}的标准方差； \epsilon为一个非常小的常数， 避免除以零。

此外， 动态地调整参数\alpha ,\rho ,{\tau }_{\mathrm{1}}，

\alpha =c_{\mathrm{1}}({\sigma }_{\mathit{E}}^{(k)}{)}^{\mathrm{2}},（21）

\rho =c_{\mathrm{2}}({\sigma }_{\mathit{E}}^{(k)}{)}^{\mathrm{2}},（22）

{\tau }_{\mathrm{1}}=c_{\mathrm{3}}{\delta }_i,（23）

式中： c_{\mathrm{1}},c_{\mathrm{2}},c_{\mathrm{3}}为预定义的正数。这意味着参数\alpha ,\rho和\tau分别与噪声方差({\sigma }_{\mathit{E}}^{(k)}{)}^{\mathrm{2}}和{\mathit{A}}_{\mathit{i}}的标准方差{\delta }_i成比例。

2.4 算法流程

本文图像去噪算法通过构建分层交替优化框架实现， 其核心在于对稀疏表示、 低秩约束与残差学习的协同迭代更新。算法流程如表 1 所示。

3 实验结果与分析

图 1 所示为图像去噪中广泛使用的12幅测试图像。用所提图像去噪算法对这12张测试图像测试， 同时选择2个经典的去噪算法（BM3D^［7］和非局部集中稀疏表示^［11］（Non-Local Centralized Sparse Representation， NCSR））和3个先进的去噪算法（低秩正则联合稀疏（Low-rank Regularized Joint Sparsity， LRJS）^［3］， LGSR^［10］和GSR_SRLR^［14］）作比较。

实验中使用6个噪声水平{\sigma }_{\mathit{E}}=20、 30、 40、 50、 75和100， 在测试图像中加入不同噪声水平的加性高斯白噪声来生成噪声图像。本文去噪方法的参数设置为： 当{\sigma }_{\mathit{E}}\le \mathrm{30}， 和时， 块大小分别为\mathrm{7}\times \mathrm{7}， \mathrm{8}\times \mathrm{8}和\mathrm{9}\times \mathrm{9}。一组中相似块的数量根据不同的{\sigma }_{\mathit{E}}进行设置， 当{\sigma }_{\mathit{E}}\le \mathrm{30}，， ， 和时， 块数量分别为60、 70、 80、 90和100。参数p也根据{\sigma }_{\mathit{E}}的不同范围设置， 当{\sigma }_{\mathit{E}}\le \mathrm{30}、 和时， p为0.8、 0.85和0.9。

本文使用峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio， PSNR）和结构相似性（Structural Similarity， SSIM）^［23］对图像恢复效果进行评估。表 2 列出了本文算法和所有比较算法在不同噪声水平下这12幅测试图像的PSNR和SSIM的平均值， 以及每个算法在不同噪声水平下12幅图像的PSNR和SSIM与相应平均PSNR和SSIM之间的绝对值最大误差。由表 2 所见， 本文算法的平均PSNR在噪声水平{\sigma }_{\mathit{E}}分别为20、 30、 40、 50和75时达到最高， 在噪声水平{\sigma }_{\mathit{E}}为100时仅次于LGSR， 并且在所有噪声水平下的平均PSNR也达到最高。特别是， 本文算法PSNR的平均增益比BM3D高0.34 dB， 比NCSR高0.48 dB， 比LRJS高0.2 dB， 比LGSR和GSR_SRLR高0.04 dB。同时由表 2 可见， 本文算法的平均SSIM在噪声水平{\sigma }_{\mathit{E}}分别为20和40时达到最高， 在噪声水平{\sigma }_{\mathit{E}}分别为30和75时达到次高， 在噪声水平{\sigma }_{\mathit{E}}分别为50和100时达到第3， 并在所有噪声水平下的平均SSIM值达到次高。这充分说明了本文算法的先进性。

图 2~图 7 分别展示了在不同噪声水平下部分图像的去噪效果。

从图 2~图 7 可以看出， BM3D恢复的图像存在模糊或过平滑的问题， NCSR恢复的图像存在不理想的视觉伪影， LRJS、 LGSR和GSR_SRLR都倾向于过度平滑图像， 而本文算法不仅比其他方法更有效地降低了噪声， 而且能有效克服这些缺陷并保留图像的边缘和纹理等细节。同时， 本文算法在图 2~图 7 图像的去噪PSNR值都达到最大， 在图2、 图 4~图 6 图像的去噪SSIM值都达到最大， 而在图 3 和图 7 图像的去噪SSIM值上仅低于LGSR算法。

本文算法不仅在PSNR和SSIM值上具有显著优势， 在视觉效果上也不输于目前流行和先进的去噪算法。

此外， 还记录了本文算法对不同噪声水平下12幅测试图像处理的平均运行时间（单位为s）， 并与其他算法进行对比。统计结果如表 3 所示， 由于BM3D算法通过块匹配和三维变换实现去噪， 步骤简洁且易于并行化， 计算量较少。相比之下， 本文算法及其他对比算法依赖于复杂的稀疏表示和字典学习过程， 通常需要大量的矩阵运算和迭代优化， 导致计算复杂度和处理时间较高。因此， 在运行时间对比上， 本文不考虑BM3D算法。

从表 3 数据来看， 虽然本文算法将多个正则化项组合起来增加了计算复杂度， 使得运行时间高于NCSR和LRJS， 但本文算法的运行时间在各个噪声水平下也表现较好。特别是在较高的噪声水平（如{\sigma }_{\mathit{E}}=100）时， 相较于LGSR和GSR_SRLR， 本文算法的运行时间仅为1 228.33 s， 比LGSR（5 140.48 s）和GSR_SRLR（1 417.64 s）要低很多， 显示出在处理高噪声图像时， 本文算法能较快地完成运算任务， 提高了处理速度。此外， 即使在较低的噪声水平（如{\sigma }_{\mathit{E}}=20）， 本文算法的运行时间也仅为545.84 s， 相比于最慢的LGSR算法（632.25 s）有显著的时间优势。因此， 可以认为本文算法在保证图像恢复质量的同时， 还具有较快的处理速度。

4 结　论

传统的基于GSR的图像恢复模型只对群体中的单个块施加稀疏性， 而忽略了其他有益的图像属性， 限制了恢复效果。本文提出了一种结合低秩模型和残差模型的去噪算法， 并对其在图像恢复中的应用进行了探讨。与传统稀疏残差模型使用加权平均方法估计真实稀疏表示的方法不同， 该算法不仅使用改进后基于学习的残差模型， 还考虑到相似块组的低秩性， 将二者结合起来， 不仅充分利用块之间的特异性和相关性， 而且在保证块低秩性的同时更好地学习图像的稀疏表示。最后， 使用具有自适应参数调整方案的交替最小化算法来解决所提出的优化问题。结果表明， 在去噪图像恢复任务中， 所提方法不仅比经典方法效果更好， 而且与先进方法相比也具有一定的竞争力。

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基金资助

山西省基础研究计划资助项目(20210302123019)

山西省基础研究计划资助项目(202103021224195)

山西省基础研究计划资助项目(202103021224212)

山西省基础研究计划资助项目(202103021223189)

山西省回国留学人员科研项目(2021-108)