一种高强钢的Johnson⁃Cook本构模型构建与参数标定

Construction and Parameter Calibration of Johnson⁃Cook Constitutive Model for A High⁃Strength Steel

摘要

为研究一种高强钢的静动态力学特性并构建Johnson-Cook本构模型， 利用电子万能试验机进行了准静态压缩和拉伸试验， 获取了材料在室温准静态条件下的应力-应变曲线、 弹性模量和泊松比。通过分离式霍普金森压杆， 在293~1 073 K 5种温度和800~2 100 s^-1 4种应变率下开展动态压缩试验， 获得了材料在不同条件下的动态应力-应变曲线。最后， 基于试验数据构建其Johnson-Cook本构模型， 并对模型的准确性进行验证。结果表明： 材料的屈服应力随着应变率的增加而增加， 但增长幅度较小， 应变率强化效应不显著； 当应变率为1 000 s^-¹时， 材料的屈服应力随温度升高而显著降低。通过本构模型计算得到的应力-应变曲线与试验结果吻合良好， 表明模型能够较准确地预测材料的应力行为。

Abstract

To investigate the static and dynamic mechanical characteristics of a high-strength steel and establish the Johnson-Cook constitutive model， quasi-static compression and tensile experiments were carried out using an electronic universal testing machine， obtaining the stress-strain curves， elastic modulus， and Poisson’s ratio of the material under quasi-static conditions at room temperature. Dynamic compression tests were conducted using a split Hopkinson pressure bar （SHPB） at five temperatures ranging from 293 K to 1 073 K and four strain rates spanning from 800 s^-1 to 2 100 s^-1. Dynamic stress-strain curves of the material under various conditions were obtained. Finally， based on the experimental data， a Johnson-Cook constitutive model was constructed and its accuracy was verified. The results indicate that the yield stress of the material increases with the increase in strain rate， albeit at a relatively small rate， resulting in a non-significant strain rate strengthening effect. At a strain rate of 1 000 s^-1， The yield stress of the material decreases significantly with increasing temperature. The stress-strain curve derived from the constitutive model aligns well with the experimental results， suggesting that the model can accurately predict the stress behavior of the material.

Graphical abstract

关键词

静动态力学特性 / 分离式霍普金森压杆 / Johnson-Cook本构模型

Key words

static and dynamic mechanical properties / split Hopkinson pressure bar / Johnson-Cook constitutive model

0 引　言

近年来， 高强度金属材料被广泛用于汽车^［1］、 航空^［2‐4］和国防领域^［5］， 常用于承受复杂的外部载荷。其中， 动态载荷（如爆炸、 冲击、 碰撞）下的力学响应与准静态加载条件下的行为存在显著差异， 并往往伴随着塑性变形和断裂破坏。因此， 研究其静动态力学性能和本构关系， 不仅能揭示其在高应变率条件下的变形与失效机制， 还为防护结构的材料选择、 设计优化及动态本构模型完善提供理论支持。

金属的力学性能直接决定了其工程应用的广度， 因此， 研究金属的力学特性并掌握其高速变形过程中的热变形规律尤为重要。塑性应力是表征金属高速变形力学行为的关键参数之一， 而本构方程是表征金属动态塑性流动行为的一个重要数学模型， 能有效预测金属的应力行为， 揭示其演化规律， 反映其力学特性^［6-7］。研究人员提出了多种本构模型来描述材料的力学特性， 常见的有Cowper-Symonds模型、 Johnson-Cook模型、 Zirilli-Armstrong模型等^［5］。其中， Johnson-Cook本构模型是具有形式简洁、 物理意义明确且参数易于获取等优点的经验型本构模型^［8‐10］。该模型包含应变硬化、 应变率强化和温度软化等特性， 能够描述材料在高应变率、 大变形以及高温条件下的力学特性^［11-12］， 适用于多种合金材料， 并被广泛应用于金属塑性变形、 切削仿真以及冲击载荷下材料力学行为的研究中。此外， 它已在有限元模拟软件中实现， 用于预测高温和高应变率等恶劣条件下的应力行为， 以及优化热变形过程中的热加工参数。

目前， 国内外学者针对高强度金属材料的静动态力学特性以及其Johnson-Cook本构模型的构建已展开相关研究^［13-14］。其中包含了应用在不同领域不同型号的高强度金属， 通过不同应变率、 不同温度的准静态和动态试验分析其力学特性， 并根据不同金属的特性， 通过不同的参数修正^{［15‐17］}方式获得合适的Johnson-Cook本构模型。结构在强动载荷的影响下， 常常会经历显著的塑性变形， 这种变形可能进一步引发结构的失效甚至断裂。为描述金属材料的失效行为， 研究者通过缺口拉伸或压缩试验， 测定材料在不同应力三轴度、 温度和应变率下的失效应变^［18-19］， 从而获取Johnson-Cook本构模型在不同条件下的失效参数。

为了研究一种高强钢的静动态力学特性并构建Johnson-Cook本构模型， 本文基于上述研究方法， 通过准静态压缩/拉伸试验、 不同应变率和温度下的动态压缩试验， 分析其在静态和动态条件下的力学特性， 建立Johnson-Cook本构模型并确定其参数， 然后将模型的理论计算值与试验值进行对比， 从而验证参数的准确性， 为评估该材料的应用价值提供参考。

1 静动态力学特性

1.1 静态力学特性

1.1.1 准静态压缩试验方案

常温准静态压缩试验在SUNS电子万能试验机上进行， 其最大加载力为200 kN， 可进行拉伸、 压缩等多种力学测试， 并配备有电子控制系统， 可以通过预设测试程序进行自动化测试， 搭载有力传感器、 位移传感器等精密测量仪器。压缩试样的直径和长度分别为8 mm和8 mm， 为保证试验后数据处理的准确性， 试验前用游标卡尺测量试样尺寸并确保其表面光滑无瑕疵。为提升测量精度， 在试样两端放置光滑平整的垫片， 并在试验机压缩头处放置两个千分尺对试样轴向应变进行精确测量。试验温度为室温且加载速率设定为0.5 mm/min， 对应试样的应变率为0.001 s^-1。试样加载如图 1 所示， 加载后的试样变形如图 2 所示。重复试验， 以保证试验数据的准确性。

1.1.2 准静态压缩试验结果分析

利用SUNS电子万能试验机获取试样的压缩载荷P和压缩位移ΔL， 并利用式（1）和式（2）计算试样的工程应力和应变。然后， 引入体积不变假设与应变均匀假设， 并依据式（3）和式（4）得到试样的真实应力和应变。最后将其拟合成真实应力-应变曲线（图 3）， 分析其力学特性。

{\sigma }_{\mathrm{E}}=\frac{P}{A_{\mathrm{0}}},（1）

{\epsilon }_{\mathrm{E}}=\frac{\mathrm{\Delta }L}{L_{\mathrm{0}}},（2）

{\sigma }_{\mathrm{T}}={\sigma }_{\mathrm{E}}(\mathrm{1}-{\epsilon }_{\mathrm{E}}),（3）

{\epsilon }_{\mathrm{T}}=-\mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{1}-{\epsilon }_{\mathrm{E}}),（4）

式中： {\sigma }_{\mathrm{E}}为工程应力； {\epsilon }_{\mathrm{E}}为工程应变； P为压缩载荷； \mathrm{\Delta }L为压缩位移； A₀和L₀为试样的初始横截面积和初始长度； {\sigma }_{\mathrm{T}}为真实应力； {\epsilon }_{\mathrm{T}}为真实应变。

由图 3 可知， 初始阶段， 应力随应变呈线性增加， 无明显屈服阶段， 随着应变持续增加， 应力缓慢增长并维持在一个较高的水平， 最后急剧下降。

1.1.3 准静态拉伸试验方案

常温准静态拉伸试验在SUNS电子万能试验机上进行。试验前确保试样无瑕疵且夹持紧密不动， 试样尺寸如图 4 所示， 厚度为2 mm。

为提升测量精度， 对试样的有效拉伸区域夹持引伸计。测试材料的杨氏模量和泊松比时， 在试件中间正反两面沿轴线和横向方向粘贴4片应变片， 基于惠斯通电桥设计原理， 采用1/4桥接线法， 对拉伸过程中的实时应变进行测量， 信号通过DH3820准静态测试系统收集（图 5）。应变片确保与试样表面光滑贴合以避免干扰， 试样加载过程如图 6 所示。

1.1.4 准静态拉伸试验结果分析

利用电子万能试验机的拉伸数据， 通过式（1）~式（4）拟合得到试样的真实应力-应变曲线如图 7 所示。

观察图 7 可以发现： 材料呈典型的双线性弹塑性特性， 没有明显的屈服点， 材料的屈服应力由0.2%偏移屈服应力（{\sigma }_{\mathrm{0.2}}）确定。在初始阶段， 应力迅速增大， 表现出线弹性变形特征； 随着应变的继续增加， 应力增长逐渐减缓， 随后开始下降。

由轴向应变测量桥和横向应变测量桥的矢量数据得到试样的横向真实应变{\epsilon }_{\mathrm{T}x}和轴向真实应变{\epsilon }_{\mathrm{T}y}， 从而进一步计算得到材料的泊松比\mu ={\epsilon }_{\mathrm{T}x}/{\epsilon }_{\mathrm{T}y}。接着， 对准静态拉伸试验数据进行处理。由于初始加载阶段仪器与试样之间可能存在配合不紧密的问题， 因此， 舍弃初始阶段数据， 对后续弹性阶段进行最小二乘法线性拟合， 拟合曲线的斜率即为材料的杨氏模量。以多次试验的均值作为杨氏模量（E）及泊松比（μ）的精度指标。拟合结果及误差见表 1。

1.2 动态力学特性

1.2.1 动态压缩试验方案

为研究不同温度和应变率条件下材料的动态力学特性， 使用直径为14.5 mm的分离式霍普金森压杆装置进行动态压缩试验， 该装置包括气压加载系统、 子弹、 入射杆、 透射杆、 吸能杆和数据采集系统。利用气压控制装置间接调节子弹的发射速度， 从而实现不同应变率的加载。试样的直径和长度为6 mm和8 mm， 加载应变率分别设置为800、 1 100、 1 700和2 100 s^-1。高温试验时， 通过电热炉加热试样至所需试验温度， 并确保试样温度稳定后进行试验， 温度分别设置为293、 473、 673、 873和1 073 K。为保证试验数据的准确性， 每种应变率和温度条件下均进行4次重复试验。

1.2.2 动态压缩试验结果分析

通过霍普金森杆数据采集系统得到的应变信号， 根据一维应力波理论， 在符合均匀性假设的条件下采用二波法计算材料的工程应力-应变， 并结合式（3）、 式（4）获取不同条件下的真实应力-应变曲线。图 8 为室温不同应变率下的真实应力-应变曲线， 图 9 和图 10 则分别呈现了应变率为1 000 s^-1时， 不同温度下的真实应力-应变曲线和屈服应力的变化趋势。

由图 8 和图 9 可知， 材料的屈服强度受到应变率和温度的共同影响。其应力先呈线性增长， 随后在较小应变范围内达峰值。材料的屈服应力随应变率的增加而增加（图 10）， 但其变化幅度较小， 表明应变率强化效应并不显著。当应变率超过1 700 s⁻¹时， 材料的应力在塑性变形阶段出现下降趋势， 这主要是由于高应变率导致的塑性变形热引起温度升高， 进一步增强了动态回复和再结晶过程中温度软化的影响。与此同时， 温度升高会导致屈服强度的降低（图 10）， 特别是在温度超过473 K时， 屈服应力下降速度加快， 表明温度软化效应在此时更明显。此外， 高温下材料的应力在塑性变形阶段呈上升趋势， 并且这种趋势会随着温度的升高越来越明显。综合来看， 高温和高应变率对材料的力学行为具有复杂的影响， 尤其对是塑性变形阶段的应力响应。

2 Johnson⁃Cook本构模型构建

本构模型不仅可以揭示应力、 应变及其演化规律， 还能表征材料的力学特性， 预测材料在不同加载条件下的变形与破坏。Johnson-Cook本构模型具有形式简单、 参数易获取等特点， 被广泛用于描述材料在高温和高应变率下的力学行为， 具体表达式为

\sigma =(A+B{\epsilon }_{\mathrm{e}\mathrm{q}}^n)(\mathrm{1}+C\mathrm{l}\mathrm{n}{\dot{\epsilon }}_{\mathrm{e}\mathrm{q}}^{\mathrm{*}})(\mathrm{1}-T^{\mathrm{*}m}),（5）

式中： \sigma为材料的塑性应力； A为准静态条件下的初始屈服应力； {\epsilon }_{\mathrm{e}\mathrm{q}}为等效塑性应变； B和n为应变硬化相关系数； C为应变率强化系数； {\dot{\epsilon }}_{\mathrm{e}\mathrm{q}}^{\mathrm{*}}为无量纲应变率， 由{\dot{\epsilon }}_{\mathrm{e}\mathrm{q}}^{\mathrm{*}}=\dot{\epsilon }/{\dot{\epsilon }}_{\mathrm{0}}定义， \dot{\epsilon }为有效塑性应变率， {\dot{\epsilon }}_{\mathrm{0}}为参考应变率， 本文采用准静态试验时的应变率0.001 s^-1作为参考应变率； T^{\mathrm{*}}为无量纲温度， T^{\mathrm{*}}=\frac{(T-T_r)}{(T_m-T_r)}， 其中， T_r 和T_m 分别为参考温度和熔点温度； m为材料的温度软化系数。

Johnson-Cook本构模型中的初始屈服应力A、 应变硬化相关系数B和n、 应变率强化系数C以及温度软化系数m， 均需要结合准静态和动态试验数据并利用最小二乘法拟合得到， 从而确定这种高强钢的本构模型具体表达形式。

2.1 参数A、B、n的确定

Johnson-Cook本构模型中的参数A、 B、 n由室温准静态拉伸试验数据确定。在室温准静态条件下， T=T_r， \dot{\epsilon }=\mathrm{1}， 此时应变率强化效应和温度软化效应的影响可忽略， 则式（5）可简化为仅包含应变硬化部分，

\sigma =(A+B{\epsilon }_{\mathrm{e}\mathrm{q}}^n)\mathrm{。}（6）

对式（6）移项并两边同时取对数， 有

\mathrm{l}\mathrm{n}(\sigma -A)=\mathrm{l}\mathrm{n}B+n\mathrm{l}\mathrm{n}{\epsilon }_{\mathrm{e}\mathrm{q}}\mathrm{。}（7）

对于参数A， 由于试样无明显屈服阶段， 因此采用0.2%偏移屈服应力（{\sigma }_{\mathrm{0.2}}）来确定材料的初始屈服应力， 根据表 2， 材料的初始屈服应力（{\sigma }_{\mathrm{0.2}}）为1 311.11 MPa， 对应参数A的值为1 311.11 MPa。

对于参数B和n， 从真实应力-应变曲线的屈服点开始选取线段， 并依据式（7）设定x=\mathrm{l}\mathrm{n}{\epsilon }_{\mathrm{e}\mathrm{q}}， y=\mathrm{l}\mathrm{n}(\sigma -A)， 在x⁃y坐标平面上用方程y=k_{\mathrm{1}}x+b_{\mathrm{1}}对选定数据进行拟合， 得到直线斜率k₁即材料参数n， 截距b₁为lnB。拟合得到的参数B、 n列于表 3。

2.2 参数C的确定

为确定应变率强化效应的参数C， 选取常温下应变率为0.001（静态）、 800、 1 100、 1 700、 2 100 s^-1（动态） 5组压缩试验数据进行处理。在应变硬化和温度软化效应影响不显著的条件下， 材料的应力主要受应变率强化效应影响， 此时令{\epsilon }_{\mathrm{e}\mathrm{q}}=\mathrm{0}， T=T_r， 式（5）可简化为

\sigma /A=\mathrm{1}+C\mathrm{l}\mathrm{n}{\dot{\epsilon }}_{\mathrm{e}\mathrm{q}}^{\mathrm{*}}\mathrm{。}（8）

令x=\mathrm{l}\mathrm{n}{\dot{\epsilon }}_{\mathrm{e}\mathrm{q}}^{\mathrm{*}}， y=\sigma /A-\mathrm{1}， 常温静态压缩和常温动态压缩试验中的5个应变率在x-y平面对应5个点， 并用直线y=k_{\mathrm{2}}x拟合， 设定截距为0， 直线斜率k_{\mathrm{2}}即为参数C的值。拟合结果见表 4 和图 11。最终得到k_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.02}， 即C=\mathrm{0.02}。

2.3 参数m的确定

温度效应的具体参数m由相同应变率、 4组不同温度下的动态压缩试验拟合求得， 其温度分别为473、 673、 873和1 073 K。在仅考虑温度的条件下， 令{\epsilon }_{\mathrm{e}\mathrm{q}}=0， 试验塑性应变率\dot{\epsilon }为1 000 s^-1， 则式（5）可写为

\mathrm{1}-\frac{\sigma }{A(\mathrm{1}+C\mathrm{l}\mathrm{n}{\dot{\epsilon }}_{\mathrm{e}\mathrm{q}}^{\mathrm{*}})}=T^{\mathrm{*}m}\mathrm{。}（9）

对式（9）两边同时取对数， 有

\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{1}-\frac{\sigma }{A（\mathrm{1}+C\mathrm{l}\mathrm{n}{\dot{\epsilon }}_{\mathrm{e}\mathrm{q}}^{\mathrm{*}}）}\right)=m\mathrm{l}\mathrm{n}{T}^{\mathrm{*}}\mathrm{。}（10）

令y=\mathrm{l}\mathrm{n}（\mathrm{1}-\sigma /A（C\mathrm{l}\mathrm{n}{\dot{\epsilon }}_{\mathrm{e}\mathrm{q}}^{\mathrm{*}}））， x=\mathrm{l}\mathrm{n}{T}^{\mathrm{*}}， 用直线y=k_{\mathrm{3}}x拟合， 则直线斜率k₃即为参数m值。拟合数据如表 5 所示， 设定截距为0， 拟合得k_{\mathrm{3}}=1.3， 即m=1.3。拟合如图 12 所示。

至此， 已确定该材料Johnson-Cook本构模型的全部参数， 将其代入式（5）， 得到该材料的Johnson-Cook本构模型为

\begin{array}{c}\sigma =(\mathrm{1}\mathrm{311.11}+\mathrm{1}\mathrm{189.74}{\epsilon }_{\mathrm{e}\mathrm{q}}^{\mathrm{0.381}})(\mathrm{1}+\\ \mathrm{0.02}\mathrm{l}\mathrm{n}{\dot{\epsilon }}_{\mathrm{e}\mathrm{q}}^{\mathrm{*}})(\mathrm{1}-T^{\mathrm{*}\mathrm{1.3}})\mathrm{。}\end{array}（11）

3 Johnson⁃Cook本构模型验证

将室温下800、 1 100、 1 700、 2 100 s^-1 4种应变率和1 000 s^-1下473、 673、 873、 1 073 K 4种温度的试验条件和应变数据代入式（11）中， 在该条件下计算出材料的应力， 并通过最小二乘法将计算应力与试验应变进行拟合， 生成基于本构模型的应力-应变曲线， 随后， 将该计算曲线与试验获得的真实应力-应变曲线进行对比。图 13 和图 14 分别对比了室温下4种不同应变率的试验值与计算值， 以及应变率为1 000 s^-1时4种不同温度下的试验值与计算值。

由图 13 与图 14 可知， Johnson-Cook本构方程在材料变形过程中表现出不同的精度特征。在初始变形阶段， 由于材料的弹性变形较小且接近线性， 而该方程主要用于描述金属在大塑性变形和动态加载下的行为， 因此其精确性较差， 计算值与实验值之间存在较大误差。然而， 随着变形进入塑性阶段， 特别是在塑性变形增大时， 模型的表现显著改善， 计算值逐渐接近实验结果， 这说明Johnson-Cook本构模型在这些极端条件下的力学行为预测中具有较好的适用性和准确性。

4 结　论

以一种高强钢为研究对象， 通过准静态拉伸和压缩试验以及不同温度和应变率条件下的动态压缩试验， 分析了其静动态力学特性， 构建出Johnson-Cook本构模型并验证了模型的准确性， 得到的结论如下：

1） 材料没有明显的屈服阶段， 呈现出典型的双线性弹塑性特性。这种特性表明该材料在实际应用中可能具备较强的抗变形能力和较高的断裂韧性， 尤其适用于高强度要求的结构件。

2） 材料的屈服应力随应变率的增加呈上升趋势， 但增长幅度较小， 应变率强化效应不显著。在塑性变形阶段， 应力随应变的增加而逐渐增大， 但当应变率高于1 700 s^-1时， 材料的应力会因温度软化效应的增强而逐渐下降。

3） 在应变率为1 000 s^-1的条件下， 材料的屈服应力随着温度的升高而降低， 这表明材料的强度受温度影响较为显著。在高温下， 材料在塑性变形阶段的应力随温度的增加呈现出上升趋势， 且这种趋势随着温度的进一步升高愈加明显。

4） 通过对比不同温度和应变率条件下的计算值与实验值， 发现Johnson-Cook本构模型在初期变形阶段精度较低， 但随着塑性变形的进行， 其预测精度逐步提高， 这表明在高温、 高应变率条件下， 此模型能够有效描述材料的力学特性且具有较好的预测能力。

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基金资助

国家自然科学基金资助项目(12272356)