威布尔⁃离散位相型分布

Weibull⁃Discrete Phase⁃Type Distribution

摘要

提出了一类具有多种形状危险率的新型寿命分布，即由威布尔分布和离散位相型分布混合生成的威布尔-离散位相型分布，给出了它的密度函数、危险率函数和k阶矩；研究了威布尔-2阶几何分布的相关性质，证明了其参数极大似然估计的相合性和渐近正态性。数值模拟与实例研究结果表明：威布尔-2阶几何分布具有良好的有限样本性质及具有一定的实用性。

Abstract

In this paper，a new class of lifetime distributions with various shapes，named Weibull-discrete phase-type distribution which is obtained by compounding Weibull distribution and discrete phase-type distribution is introduced. The density，failure rate function，and the k⁃th moment of this distribution are provided. Various properties of Weibull-geometric distribution of order 2 are researched and the consistency and asymptotic normality of its maximum likelihood estimation of parameters are proved. Simulation study and illustrating examples based on real data are presented.

Graphical abstract

关键词

威布尔分布 / 离散位相型分布 / 混合分布 / 2阶几何分布 / 极大似然估计

Key words

Weibull distribution / discrete phase-type distribution / mixed distribution / geometric distribution of order 2 / maximum likelihood estimation

0　 引 言

寿命分布是统计分布的重要组成部分，是可靠性研究和可靠性工程应用的基础。随着寿命分布理论研究的深入和科学技术的发展，现有的寿命分布模型已不能满足人们的需要。为更好地处理寿命数据，人们便提出了多种产生寿命分布的机制。本文将威布尔分布与离散位相型分布“混合”,形成了一类新的寿命分布。这类分布起源于随机最小值分布。

设Y_{\mathrm{1}},Y_{\mathrm{2}},\cdots为独立同分布随机变量序列，其分布函数为G(x)；\xi为与Y_{\mathrm{1}},Y_{\mathrm{2}},\cdots独立的取正整数值的随机变量，其分布为H(x)；称\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(Y_{\mathrm{1}},Y_{\mathrm{2}},\cdots ,Y_{\xi })服从的分布为G-H分布。Adamidis和Loukas^[1]通过这种方式将指数分布与几何分布混合得到了一种具有递减危险率的寿命分布：指数-几何分布(EG分布)。跟随他们的思路，Kus^[2]提出了指数-泊松分布(EP分布)，Tahmasbi和Rezaei^[3]提出了指数-对数分布(EL分布)，Hajebi^[4]提出了指数-负二项分布(ENB分布)，Eryilmaz^[5]通过混合指数分布与离散位相型分布^[6](discrete phase-type distribution)提出了指数-离散位相型分布(EDPH分布)。上述混合分布都是基于指数分布，并且这些分布都有递减危险率。

在实际应用中，由于威布尔分布的危险率函数形状多样，故也常被用来做生存分析。用威布尔分布代替指数分布进行混合是一种更好的想法。Ciumara和Preda^[7]提出了威布尔-对数分布(WL分布)，Barreto-Souza^[8]提出了威布尔-几何分布(WG分布)，Rodrigues^[9]提出了威布尔-负二项分布(WNB分布)，Lu和Shi^[10]提出了威布尔-泊松分布(WP分布)。

离散位相型分布是几何分布推广，其在位相意义下也具有无记忆性。离散位相型分布是一个有限状态马氏链寿命的分布，它的每一个暂留态称为位相，一旦到达某位相，在其上的生存时间服从几何分布。Neuts^[6]给出了离散位相型分布的定义和一些性质及其在排队理论中的应用。文献[11,12,13,14]进一步介绍了离散位相型分布的一些性质及应用。本文通过选取Y_{\mathrm{1}},Y_{\mathrm{2}},\cdots服从威布尔分布和\xi服从离散位相型分布提出了威布尔-离散位相型分布(WDPH分布)，推广了文献[5]的相关工作。

本文结构如下：第1节定义了威布尔-离散位相型分布，并给出了其密度函数、危险率函数和k阶矩；第2节研究了一类特殊的威布尔-离散位相型分布：威布尔-2阶几何分布(\mathrm{W}{\mathrm{G}}_{\mathrm{2}}分布)，给出了其密度函数、危险率函数的一些性质以及其参数的极大似然估计的存在性、相合性和渐近正态性；第3节对威布尔-2阶几何分布进行了数值模拟和实例研究，展现了\mathrm{W}{\mathrm{G}}_{\mathrm{2}}分布的实用性。

1　 威布尔-离散位相型分布的定义及性质

设\mathit{a}=(a_{\mathrm{1}},\cdots ,a_d)，其中a_i\ge \mathrm{0}且\sum _{i=\mathrm{1}}^d{a}_i=\mathrm{1}；\mathit{Q}=(q_{ij})为d阶矩阵，q_{ij}\ge \mathrm{0}，\sum _{j=\mathrm{1}}^d{q}_{ij}\le \mathrm{1}且存在k，使得，对\forall \mathrm{1}\le i\le d都存在j_{\mathrm{1}},\cdots ,j_{m(i)}满足q_{i{j}_{\mathrm{1}}}{q}_{j_{\mathrm{1}}{j}_{\mathrm{2}}}\cdots q_{j_{m(i)}k}>\mathrm{0}。记\mathit{t}=(\mathit{I}-\mathit{Q})\mathit{e}，其中\mathit{I}为d阶单位矩阵，\mathit{e}={(\mathrm{1},\cdots ,\mathrm{1})}^{\mathrm{T}}。令

p_n=\mathit{a}{\mathit{Q}}^{n-\mathrm{1}}\mathit{t},n=\mathrm{1,2},\cdots(1)

易证\{p_n,n\ge \mathrm{1}\}为一概率分布。

定义1 称(1)式确定的概率分布\{p_n,n\ge \mathrm{1}\}是以\mathit{a}和\mathit{Q}为参数的(d\mathrm{阶})离散位相型分布，记为\mathrm{D}\mathrm{P}\mathrm{H}(\mathit{a},\mathit{Q})。

若随机变量\xi \sim \mathrm{D}\mathrm{P}\mathrm{H}(\mathit{a},\mathit{Q})，则可以构建一状态空间为\{\mathrm{1,2},\cdots ,d,d+\mathrm{1}\}，初始分布为(\mathit{a},\mathrm{0})，转移概率矩阵为\mathit{P}={\left(\begin{array}{cc}\mathit{Q}& \mathit{t}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right)}_{(d+\mathrm{1})(d+\mathrm{1})}的时齐马氏链\{X_n,n=\mathrm{0,1},\mathrm{2},\cdots \}，使得\xi =\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{n:X_n=d+\mathrm{1}\}，且状态d+\mathrm{1}是吸收态，状态i\in \{\mathrm{1,2},\cdots ，d\}是暂留态。

离散位相型分布是几何分布的推广，同时它也包括其他一些常用的分布如：混合几何分布、负二项分布，混合负二项分布等。离散位相型分布一方面能够把一些常用分布用矩阵代数的方法表示出来，形式简洁统一，另一方面选取不同的\mathit{a}和\mathit{Q}时就能得到不同的离散分布，分布包含的范围得到很大地拓展。

威布尔分布\mathrm{W}(\alpha ,\beta )是指数分布的推广，其密度函数为g(x)=\alpha \beta x^{\beta -\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }},x>\mathrm{0}，\alpha >\mathrm{0}为尺度参数，\beta >\mathrm{0}为形状参数，其分布函数为G(x)=\mathrm{1}-{\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}。

定义2 设独立同分布Y_n\sim\mathrm{W}(\alpha ,\beta ),\xi ~\mathrm{D}\mathrm{P}\mathrm{H}(\mathit{a},\mathit{Q})且与\{Y_n,n\ge \mathrm{1}\}独立，称\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(Y_{\mathrm{1}},Y_{\mathrm{2}},\cdots ,Y_{\xi })服从的分布为威布尔-离散位相型分布，记为\mathrm{W}\mathrm{D}\mathrm{P}\mathrm{H}(\alpha ,\beta ,\mathit{a},\mathit{Q})。

定理1 若X\sim \mathrm{W}\mathrm{D}\mathrm{P}\mathrm{H}(\alpha ,\beta ,\mathit{a},\mathit{Q})，则其分布函数、密度函数和危险率函数分别为

F(x)=\mathrm{1}-{\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}\mathit{a}(\mathit{I}-{\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}{\mathit{Q})}^{-\mathrm{1}}\mathit{t},x>\mathrm{0}(2)

f(x)=\alpha \beta x^{\beta -\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}\mathit{a}(\mathit{I}-{\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}{\mathit{Q})}^{-\mathrm{2}}\mathit{t},x>\mathrm{0}(3)

h(x)=\alpha \beta x^{\beta -\mathrm{1}}\frac{\mathit{a}(\mathit{I}-{\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}{\mathit{Q})}^{-\mathrm{2}}\mathit{t}}{\mathit{a}(\mathit{I}-{\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}{\mathit{Q})}^{-\mathrm{1}}\mathit{t}},x>\mathrm{0}(4)

证 X的生存函数为

\overline{F}(X)=\mathrm{1}-F(x)=

P(\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(Y_{\mathrm{1}},Y_{\mathrm{2}},\cdots ,Y_{\xi })>x)=

P(Y_{\mathrm{1}}>x)P(\xi =\mathrm{1})+

P(\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(Y_{\mathrm{1}},Y_{\mathrm{2}})>x)P(\xi =\mathrm{2})+\cdots=

\sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{1}-G{(x))}^{n}P(\xi =n)=E(({\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}{)}^{\xi })

上式即为随机变量\xi的概率母函数在{\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}点的值。\xi的概率母函数{\Phi }_{\xi }(z)=E(z^{\xi })=z\mathit{a}{(\mathit{I}-z\mathit{Q})}^{-\mathrm{1}}\mathit{t},|z|\le \mathrm{1}，于是\overline{F}(x)={\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}\mathit{a}(\mathit{I}-{\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}{\mathit{Q})}^{-\mathrm{1}}\mathit{t}。遂得(2)式。

由(2)式易得(3)式和(4)式。证毕。

威布尔-离散位相型分布即G(x)为威布尔分布，H(x)为离散位相型分布的G-H分布。易验证指数-几何分布，指数-负二项分布，威布尔-几何分布，威布尔-负二项分布均为威布尔-离散位相型分布特例。

定理 2 若X\sim \mathrm{W}\mathrm{D}\mathrm{P}\mathrm{H}(\alpha ,\beta ,\mathit{a},\mathit{Q})，则X的k阶矩为

E(X^k)={\alpha }^{-\frac{k}{\beta }}\mathrm{\Gamma }(\frac{k}{\beta }+\mathrm{1})E({\xi }^{-\frac{k}{\beta }})(5)

特别地，当k=n\beta时，E(x^{n\beta })=\frac{n!}{{\alpha }^n}E({\xi }^{-n})。

证 由定理1的证明知

F(x)=\mathrm{1}-\sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-n\alpha x^{\beta }}P(\xi =n)，

f(x)=F\text{'}(x)=\sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}n\alpha \beta P(\xi =n)x^{\beta -\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-n\alpha x^{\beta }}，

E(x^k)=\sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}n\alpha \beta P(\xi =n){\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}{x}^k{x}^{\beta -\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-n\alpha x^{\beta }}\mathrm{d}x

计算知n\alpha \beta {\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}{x}^k{x}^{\beta -\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-n\alpha x^{\beta }}\mathrm{d}x={(n\alpha )}^{-\frac{k}{\beta }}\mathrm{\Gamma }(\frac{k}{\beta }+\mathrm{1})，于是E(X^k)={\alpha }^{-\frac{k}{\beta }}\mathrm{\Gamma }(\frac{k}{\beta }+\mathrm{1})E({\xi }^{-\frac{k}{\beta }})。证毕。

定理3 若X\sim \mathrm{W}\mathrm{D}\mathrm{P}\mathrm{H}(\alpha ,\beta ,\mathit{a},\mathit{Q})，\xi \sim\mathrm{D}\mathrm{P}\mathrm{H}(\mathit{a},\mathit{Q})，则有

1） X关于\xi的条件期望为

E(X|\xi =k)={(k\alpha )}^{-\frac{\mathrm{1}}{\beta }}\mathrm{\Gamma }(\frac{\mathrm{1}}{\beta }+\mathrm{1})

2） \xi关于X的条件期望为

E(\xi |X=x)=\frac{\mathrm{2}\mathit{a}(\mathit{I}-{\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}{\mathit{Q})}^{-\mathrm{3}}\mathit{t}}{\mathit{a}(\mathit{I}-{\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}{\mathit{Q})}^{-\mathrm{2}}\mathit{t}}-\mathrm{1}

证 1） 当\xi =k时，X=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(Y_{\mathrm{1}},Y_{\mathrm{2}},\cdots ,Y_k)，X关于\xi的条件概率密度函数为

f(x|\xi =k)=k(\mathrm{1}-G{(x))}^{k-\mathrm{1}}g(x)=k\alpha \beta x^{\beta -\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-k\alpha x^{\beta }}

此即为形状参数为\beta，尺度参数为k\alpha的威布尔分布，于是E(X|\xi =k)={(k\alpha )}^{-\frac{\mathrm{1}}{\beta }}\mathrm{\Gamma }(\frac{\mathrm{1}}{\beta }+\mathrm{1})。

2) X关于\xi的条件概率密度函数为

f(x|n)=n(\mathrm{1}-G{(x))}^{n-\mathrm{1}}g(x)=n\alpha \beta x^{\beta -\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-n\alpha x^{\beta }}则X和\xi的联合概率密度函数为

f(x,n)=f(x|n)\cdot p_n=n\alpha \beta x^{\beta -\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-n\alpha x^{\beta }}\mathit{a}{\mathit{Q}}^{n-\mathrm{1}}\mathit{t}(6)

由(3)和(6)式知，

P(n|x)=\frac{f(x,n)}{f(x)}=\frac{n\mathit{a}({\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}{\mathit{Q})}^{-\mathrm{1}}\mathit{t}}{\mathit{a}(\mathit{I}-{\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}{\mathit{Q})}^{-\mathrm{2}}\mathit{t}}

在给定X=x条件下\xi的条件期望为

E(\xi |X=x)=

\frac{\mathrm{1}}{\mathit{a}(\mathit{I}-{\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}{\mathit{Q})}^{-\mathrm{2}}\mathit{t}}\sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}{n}^{\mathrm{2}}\mathit{a}({\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}{\mathit{Q})}^{n-\mathrm{1}}\mathit{t}

通过计算得

\sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}{n}^{\mathrm{2}}({\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}{\mathit{Q})}^{n-\mathrm{1}}(\mathit{I}-{\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}\mathit{Q})=

\sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{2}n({\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}{\mathit{Q})}^n+(\mathit{I}-{\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}{\mathit{Q})}^{-\mathrm{1}}，

\sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{2}n({\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}{\mathit{Q})}^n(\mathit{I}-{\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}\mathit{Q})=

\mathrm{2}(\mathit{I}-{\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}{\mathit{Q})}^{-\mathrm{1}}-\mathrm{2}\mathit{I}

所以

\sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}{n}^{\mathrm{2}}({\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}{\mathit{Q})}^{n-\mathrm{1}}=

\mathrm{2}(\mathit{I}-{\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}{\mathit{Q})}^{-\mathrm{3}}-\mathrm{2}(\mathit{I}-{\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}{\mathit{Q})}^{-\mathrm{2}}

于是

E(\xi |X=x)=\frac{\mathrm{2}\mathit{a}(\mathit{I}-{\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}{\mathit{Q})}^{-\mathrm{3}}\mathit{t}}{\mathit{a}(\mathit{I}-{\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}{\mathit{Q})}^{-\mathrm{2}}\mathit{t}}-\mathrm{1}

证毕。

2　 威布尔-2阶几何分布

本节研究一类特殊的威布尔-离散位相型分布：威布尔-2阶几何分布。d阶几何分布是经典几何分布的推广，此问题最早被De Moivre^[15]提出。Fe11er^[16]把这一问题作为更新理论的一个应用。Philippou et al^[17]重新研究了这一问题，并给出d阶几何分布的定义。此后，d阶几何分布便受到了广泛关注。下面回顾d阶几何分布的定义。

定义3 设在独立伯努利试验序列中，每次试验成功的概率为。记\eta为首次连续d次发生时所进行的试验次数，则称\eta服从的分布为d阶几何分布，简记为G_d(p)。

当\mathit{a}={(\mathrm{1,0},\cdots ,\mathrm{0})}_{\mathrm{1}\times d}，，

\mathit{Q}={\left(\begin{array}{ccc}\begin{array}{l}\begin{array}{cc}\mathrm{1}-p& p\end{array}\\ \begin{array}{cc}\mathrm{1}-p& \mathrm{0}\end{array}\end{array}& \begin{array}{l}\mathrm{0}\\ p\end{array}& \begin{array}{l}\begin{array}{cc}\cdots & \mathrm{0}\end{array}\\ \begin{array}{cc}\cdots & \mathrm{0}\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cc}⋮& ⋮\end{array}& ⋮& \begin{array}{cc}\ddots & ⋮\end{array}\\ \begin{array}{l}\begin{array}{cc}\mathrm{1}-p& \mathrm{0}\end{array}\\ \begin{array}{cc}\mathrm{1}-p& \mathrm{0}\end{array}\end{array}& \begin{array}{l}\mathrm{0}\\ \mathrm{0}\end{array}& \begin{array}{l}\begin{array}{cc}\cdots & p\end{array}\\ \begin{array}{cc}\cdots & \mathrm{0}\end{array}\end{array}\end{array}\right)}_{d\times d}

时，离散位相型分布即为d阶几何分布。

当独立同分布Y_n\sim \mathrm{W}(\alpha ,\beta )，\xi ~{\mathrm{G}}_{\mathrm{2}}(p)时威布尔-离散位相型分布即为威布尔-2阶几何分布，简记为\mathrm{W}{\mathrm{G}}_{\mathrm{2}}(\alpha ,\beta ,p)。

由定理1知\mathrm{W}{\mathrm{G}}_{\mathrm{2}}(\alpha ,\beta ,p)分布的密度函数为

f(x;\alpha ,\beta ,p)=\frac{p^{\mathrm{2}}\alpha \beta x^{\beta -\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}\alpha x^{\beta }}(\mathrm{2}-(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }})}{(\mathrm{1}-(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}-p(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}\alpha x^{\beta }}{)}^{\mathrm{2}}}(7)

分布函数为

F(x;\alpha ,\beta ,p)=\mathrm{1}-\frac{p^{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}\alpha x^{\beta }}}{\mathrm{1}-(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}-p(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}\alpha x^{\beta }}}(8)

当\beta =\mathrm{1}时威布尔-2阶几何分布即为指数-2阶几何分布，当\beta =\mathrm{2}时威布尔-2阶几何分布即为瑞利-2阶几何分布。下面将研究威布尔-2阶几何分布的密度函数、危险率函数的一些性质及其参数估计。

定理4\mathrm{W}{\mathrm{G}}_{\mathrm{2}}(\alpha ,\beta ,p)分布有以下性质：

1) 若，则\mathrm{W}{\mathrm{G}}_{\mathrm{2}}(\alpha ,\beta ,p)分布的密度函数单调递减；若\beta >\mathrm{1}，则\mathrm{W}{\mathrm{G}}_{\mathrm{2}}(\alpha ,\beta ,p)分布的密度函数是单峰的。

2) x>\mathrm{0}，危险率函数h(x;\alpha ,\beta ,p)=\alpha \beta x^{\beta -\mathrm{1}}·\frac{\mathrm{2}-(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}}{\mathrm{1}-(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}-p(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}\alpha x^{\beta }}},当\beta \le \mathrm{1}时，h(x;\alpha ,\beta ,p)单减，当\beta >\mathrm{1}时，h(x;\alpha ,\beta ,p)的函数图像有不同的形状。且

证 1) 对密度函数求导可得

\begin{array}{l}f\text{'}(x)=\frac{p^{\mathrm{2}}\beta x^{-\mathrm{2}}u{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}u}}{(\mathrm{1}-(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-u}-p(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}u}{)}^{\mathrm{3}}}\cdot \\ [(\beta -\mathrm{1})(\mathrm{2}-(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-u})(\mathrm{1}-(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-u}-p(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}u})-\beta h_{\mathrm{1}}(u)]\end{array}

其中，u=\alpha x^{\beta }，h_{\mathrm{1}}(u)=u((\mathrm{4}+(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-u})(\mathrm{1}-(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-u}-p(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}u})+\mathrm{2}(\mathrm{1}-p)(\mathrm{1}+\mathrm{3}p){\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}u})。

易知(\mathrm{1}-(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-u}-p(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}u})\ge \mathrm{0}，h_{\mathrm{1}}(u)>\mathrm{0}。若\beta \le \mathrm{1}，则，因此密度函数单调递减。若\beta >\mathrm{1}，令

t(u)=\frac{h_{\mathrm{1}}(u)}{(\mathrm{2}-(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-u})(\mathrm{1}-(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-u}-p(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}u})}

当u\to {\mathrm{0}}^{+}时，t(u)\to \mathrm{0}；当t\to \mathrm{\infty }时，t(u)\to \mathrm{\infty }，故t(u)=\frac{\beta -\mathrm{1}}{\beta }至少有一根。可证t(u)单调递增，于是t(u)有唯一根，记为u_{\mathrm{0}}，则f(x;\alpha ,\beta ,p)在(\mathrm{0},(u_{\mathrm{0}}{/\alpha )}^{\mathrm{1}/\beta })单调递增，在((u_{\mathrm{0}}{/\alpha )}^{\mathrm{1}/\beta },\mathrm{\infty })单调递减。图1给出了\mathrm{W}{\mathrm{G}}_{\mathrm{2}}(\alpha ,\beta ,p)分布参数取不同值时的密度函数图像。

2) 由(7)式和(8)式可得h(x;\alpha ,\beta ,p)，对其求导

\begin{array}{l}h\text{'}(x)=\frac{\alpha \beta x^{\beta -\mathrm{2}}}{(\mathrm{1}-(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-u}-p(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}u}{)}^{\mathrm{2}}}\cdot \\ [(\beta -\mathrm{1})(\mathrm{2}-(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-u})(\mathrm{1}-(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-u}-p(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}u})-\beta h_{\mathrm{2}}(u)]\end{array}

其中,u=\alpha x^{\beta }，h_{\mathrm{2}}(u)=(\mathrm{1}-p)u{\mathrm{e}}^{-u}((\mathrm{1}+p{\mathrm{e}}^{-u})(\mathrm{1}-(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-u})+(\mathrm{1}+\mathrm{2}p){\mathrm{e}}^{-u})。显然h_{\mathrm{2}}(u)>\mathrm{0}，若\beta \le \mathrm{1}，则，因此危险率函数单调递减。图2给出了\mathrm{W}{\mathrm{G}}_{\mathrm{2}}(\alpha ,\beta ,p)分布参数取不同值时的危险率函数图像。由图2知，对不同的参数，危险率函数有不同的形状。证毕。

由定理2知，若X\sim \mathrm{W}{\mathrm{G}}_{\mathrm{2}}(\alpha ,\beta ,p),k>\mathrm{0}，则X的k阶原点矩为{\rm E}(x^k)=p^{\mathrm{2}}{\alpha }^{-\frac{k}{\beta }}\mathrm{\Gamma }(\frac{k}{\beta }+\mathrm{1})\Psi (\mathrm{1}-p,\frac{k}{\beta },\mathrm{2}),其中\Psi (z,s,a)=\mathrm{\Gamma }{(s)}^{-\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}{t}^{s-\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-at}(\mathrm{1}-z{\mathrm{e}}^{-t}-z(\mathrm{1}-z){\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}t}{)}^{-\mathrm{1}}\mathrm{d}t。

可以看出\mathrm{W}{\mathrm{G}}_{\mathrm{2}}(\alpha ,\beta ,p)分布的k阶矩的形式比较复杂，参数的矩估计不易求出。下面用极大似然估计法求参数的估计。

从\mathrm{W}{\mathrm{G}}_{\mathrm{2}}(\alpha ,\beta ,p)分布中抽取容量为n的简单随机样本\left\{X_i,i=\mathrm{1,2},\cdots ,n\right\}，记x_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}=(x_i,i=\mathrm{1,2},\cdots ,n)为样本观测值，则其对数似然函数为

l(\alpha ,\beta ,p;x_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}})=n\mathrm{l}\mathrm{n}(\alpha \beta p^{\mathrm{2}})+(\beta -\mathrm{1})\sum _{i=\mathrm{1}}^n\mathrm{l}\mathrm{n}{x}_i-

\mathrm{2}\alpha \sum _{i=\mathrm{1}}^n{x}_i^{\beta }+\sum _{i=\mathrm{1}}^n\mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{2}-(\mathrm{1}-p)e^{-\alpha x_i^{\beta }})-

\mathrm{2}\sum _{i=\mathrm{1}}^n\mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{1}-(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\alpha x_i^{\beta }}-p(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}\alpha x_i^{\beta }})

令

M(x_i)=\mathrm{2}-\frac{(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\alpha x_i^{\beta }}}{\mathrm{2}-(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\alpha x_i^{\beta }}}+

\frac{\mathrm{2}(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\alpha x_i^{\beta }}+\mathrm{4}p(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}\alpha x_i^{\beta }}}{\mathrm{1}-(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\alpha x_i^{\beta }}-p(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}\alpha x_i^{\beta }}}，

N(x_i)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}-(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\alpha x_i^{\beta }}}+

\frac{\mathrm{2}-{\mathrm{e}}^{-\alpha x_i^{\beta }}+\mathrm{4}p{\mathrm{e}}^{-\alpha x_i^{\beta }}}{\mathrm{1}-(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\alpha x_i^{\beta }}-p(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}\alpha x_i^{\beta }}}

则似然方程为：

l_{\mathrm{1}}(\alpha ;\beta ,p,x_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}})=\frac{\partial l}{\partial \alpha }=\frac{n}{\alpha }-\sum _{i=\mathrm{1}}^n{x}_{{}_i}^{\beta }(M(x_i))=\mathrm{0}(9)

l_{\mathrm{2}}(\beta ;\alpha ,p,x_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}})=\frac{\partial l}{\partial \beta }=\frac{n}{\beta }-\sum _{i=\mathrm{1}}^n\mathrm{l}\mathrm{n}{x}_i(\mathrm{1}-

\alpha x_i^{\beta }M(x_i))=\mathrm{0}(10)

l_{\mathrm{3}}(p;\alpha ,\beta ,x_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}})=\frac{\partial l}{\partial p}=\frac{\mathrm{2}n}{p}-\sum _{i=\mathrm{1}}^n{\mathrm{e}}^{-\alpha x_i^{\beta }}(N(x_i))=\mathrm{0}(11)

上述方程组的解即参数\alpha ,\beta ,p的极大似然估计。以下讨论\mathrm{W}{\mathrm{G}}_{\mathrm{2}}(\alpha ,\beta ,p)分布中两个参数已知时，另一个参数的极大似然估计的存在性、相合性以及渐近正态性。与文献[1,5,9]类似，可以得到如下定理。

定理 5 对\mathrm{W}{\mathrm{G}}_{\mathrm{2}}(\alpha ,\beta ,p)分布有：

1)如果\beta ,p已知，\alpha未知，记f(x;\alpha )=f(x;\alpha ,\beta ,p)，{\rm I}(\alpha )=E\left({\left[\frac{\partial \mathrm{l}\mathrm{n}f(X;\alpha )}{\partial \alpha }\right]}^{\mathrm{2}}\right)为Fisher信息量，则对\forall n，方程(9)至少有一解

{\widehat{\alpha }}_n\in(\frac{p^{\mathrm{2}}+p^{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}+\mathrm{4}p-p^{\mathrm{2}}-p^{\mathrm{3}}}{\tilde{x}}^{-\mathrm{1}},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\tilde{x}}^{-\mathrm{1}})

其中,\tilde{x}=\frac{\mathrm{1}}{n}i=\sum _{i=\mathrm{1}}^n{x}_i^{\beta },{\widehat{\alpha }}_n是参数\alpha的相合估计和渐近正态估计，其渐近分布为\mathrm{N}(\alpha ,\frac{\mathrm{1}}{n{\rm I}(\alpha )})。

2)若\alpha ,p已知，\beta未知，记f(x;\beta )=f(x;\alpha ,\beta ,p)，{\rm I}(\beta )=E\left({\left[\frac{\partial \mathrm{l}\mathrm{n}f(X;\beta )}{\partial \beta }\right]}^{\mathrm{2}}\right)为Fisher信息量，则对\forall n，方程(10)至少有一解{\widehat{\beta }}_n\in (\mathrm{0},\mathrm{\infty })， {\widehat{\beta }}_n是参数\beta的相合估计和渐近正态估计，其渐近分布为N(\beta ,\frac{\mathrm{1}}{n{\rm I}(\beta )})。

3)若\alpha ,\beta已知，p未知，记f(x;p)=f(x;\alpha ,\beta ,p)，{\rm I}(p)=E\left({\left[\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{n}f(X;p)}{\partial p^{\mathrm{2}}}\right]}^{\mathrm{2}}\right)为Fisher信息量，则对\forall n，方程(11)在

\sum _{i=\mathrm{1}}^n(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}{\mathrm{e}}^{-\alpha x_i^{\beta }}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}\alpha x_i^{\beta }})\}上至少有一解{\widehat{p}}_n(在{\Lambda }_n^c上定义{\widehat{p}}_n=\mathrm{1}/\mathrm{2})，则\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}P({\Lambda }_n)=\mathrm{1}，{\widehat{p}}_n是参数p的相合估计和渐近正态估计，其渐近分布为\mathrm{N}(p,\frac{\mathrm{1}}{n{\rm I}(p)})。

证 1) 若\beta ,p已知，令

\omega (\alpha )=\sum _{i=\mathrm{1}}^n{x}_i^{\beta }(\mathrm{2}-M(x_i))，

\omega \text{'}(\alpha )=(\mathrm{1}-p)\sum _{i=\mathrm{1}}^n{x}_i^{\mathrm{2}\beta }{\mathrm{e}}^{-\alpha x_i^{\beta }}(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}-(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\alpha x_i^{\beta }}}-

\frac{\mathrm{2}+\mathrm{8}p{\mathrm{e}}^{-\alpha x_i^{\beta }}-\mathrm{2}p(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}\alpha x_i^{\beta }}}{(\mathrm{1}-(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-u}-p(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}u}{)}^{\mathrm{2}}})\le

(\mathrm{1}-p)\sum _{i=\mathrm{1}}^n{x}_i^{\mathrm{2}\beta }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{3}\alpha x_i^{\beta }}\cdot

易知\omega (\alpha )对\alpha单调递减且\underset{\alpha \to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\omega (\alpha )=\mathrm{0}，则

\frac{n}{\alpha }-\mathrm{2}\sum _{i=\mathrm{1}}^n{x}_{{}_i}^{\beta }-\underset{\alpha \to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\omega (\alpha )=\frac{n}{\alpha }-\mathrm{2}\sum _{i=\mathrm{1}}^n{x}_{{}_i}^{\beta }

因此当\alpha >\mathrm{1}/\mathrm{2}{\tilde{x}}^{-\mathrm{1}}时，。此外,

\underset{\alpha \to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\omega (\alpha )=\frac{\mathrm{2}+\mathrm{4}p-\mathrm{3}{p}^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}{p}^{\mathrm{3}}}{p^{\mathrm{2}}+p^{\mathrm{3}}}\sum _{i=\mathrm{1}}^n{x_i}^{\beta },

l_{\mathrm{1}}(\alpha ;\beta ,p,x_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}})>\frac{n}{\alpha }-\mathrm{2}\sum _{i=\mathrm{1}}^n{x_i}^{\beta }-\underset{\alpha \to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\omega (\alpha )=

\frac{n}{\alpha }-\frac{\mathrm{2}+\mathrm{4}p-p^{\mathrm{2}}-p^{\mathrm{3}}}{p^{\mathrm{2}}+p^{\mathrm{3}}}\sum _{i=\mathrm{1}}^n{x_i}^{\beta }

当时，l_{\mathrm{1}}(\alpha ;\beta ,p,x_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}})>\mathrm{0}。于是,\omega (\alpha )在区间(\frac{p^{\mathrm{2}}+p^{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}+\mathrm{4}p-p^{\mathrm{2}}-p^{\mathrm{3}}}{\tilde{x}}^{-\mathrm{1}},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\tilde{x}}^{-\mathrm{1}})内至少存在一根。

容易验证{\widehat{\alpha }}_n满足文献[18]定理2.13的条件，故{\widehat{\alpha }}_n是\alpha的相合估计。记参数\alpha的真值为{\alpha }_{\mathrm{0}}，为了验证{\widehat{\alpha }}_n的渐近正态性，可验证文献[18]定理2.14的4个条件：

(a) 当x>\mathrm{0}时，\frac{\partial \mathrm{l}\mathrm{n}f(x,\alpha )}{\partial \alpha }，\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{n}f(x,\alpha )}{\partial {\alpha }^{\mathrm{2}}}，\frac{{\partial }^{\mathrm{3}}\mathrm{l}\mathrm{n}f(x,\alpha )}{\partial {\alpha }^{\mathrm{3}}}都存在；

(b) 对充分小的正数ϵ，当\alpha \in ({\alpha }_{\mathrm{0}}-ϵ,{\alpha }_{\mathrm{0}}+ϵ) 时可知

\left|\frac{{\partial }^{\mathrm{3}}\mathrm{l}\mathrm{n}f(x,p)}{\partial {\alpha }^{\mathrm{3}}}\right|=

\left|\frac{\mathrm{2}}{{\alpha }^{\mathrm{3}}}+\frac{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}\beta }(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}(\mathrm{2}+(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }})}{(\mathrm{2}-(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}{)}^{\mathrm{3}}}+\right.

\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}\beta }(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}\cdot (-\mathrm{1}-(\mathrm{7}p+\mathrm{1}){\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}+

(\mathrm{7}{p}^{\mathrm{3}}-\mathrm{6}{p}^{\mathrm{2}}-p){\mathrm{e}}^{-\mathrm{3}\alpha x^{\beta }}+(p^{\mathrm{4}}-\mathrm{2}{p}^{\mathrm{3}}+p^{\mathrm{2}}){\mathrm{e}}^{-\mathrm{4}\alpha x^{\beta }})

\left.(\mathrm{1}-(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\alpha x^{\beta }}-p(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}\alpha x^{\beta }}{)}^{-\mathrm{3}}\right|\le

\frac{\mathrm{2}}{({\alpha }_{\mathrm{0}}{-\mathrm{ϵ})}^{\mathrm{3}}}+\mathrm{6}{x}^{\mathrm{3}\beta }+\frac{\mathrm{16}{x}^{\mathrm{3}\beta }}{p^{\mathrm{6}}}=M_{\mathrm{1}}

而

(c) 令f\text{'}(x,\alpha )=\frac{\partial f(x,\alpha )}{\partial \alpha }，对\forall \alpha >\mathrm{0}，总存在充分小的正数{ϵ}_{\mathrm{0}}，满足\alpha -{\mathrm{ϵ}}_{\mathrm{0}}>\mathrm{0}，由中值定理知，\exists {\alpha }_x^{\mathrm{*}}\in I_{\alpha }=[\alpha -{\mathrm{ϵ}}_{\mathrm{0}},\alpha +{\mathrm{ϵ}}_{\mathrm{0}}]，使得

\left|\frac{f(x,\alpha +\mathrm{ϵ})-f(x,\alpha )}{\mathrm{ϵ}}\right|=\left|f\text{'}(x,{\alpha }_x^{\mathrm{*}})\right|

因为

\left|f\text{'}(x,{\alpha }_x^{\mathrm{*}})\right|=(p^{\mathrm{2}}\beta x^{\beta -\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}{\alpha }_x^{\mathrm{*}}{x}^{\beta }}(\mathrm{2}-(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-{\alpha }_x^{\mathrm{*}}{x}^{\beta }}-

\mathrm{4}{\alpha }_x^{\mathrm{*}}{x}^{\beta }+\mathrm{3}(\mathrm{1}-p){\alpha }_x^{\mathrm{*}}{x}^{\beta }))\cdot((\mathrm{1}-(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-{\alpha }_x^{\mathrm{*}}{x}^{\beta }}-

p(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}{\alpha }_x^{\mathrm{*}}{x}^{\beta }}{)}^{\mathrm{2}}{)}^{-\mathrm{1}}+(p^{\mathrm{2}}(\mathrm{1}-p){\alpha }_x^{\mathrm{*}}\beta x^{\mathrm{2}\beta -\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{3}{\alpha }_x^{\mathrm{*}}{x}^{\beta }}

(\mathrm{1}+\mathrm{2}p{\mathrm{e}}^{-{\alpha }_x^{\mathrm{*}}{x}^{\beta }}))\cdot((\mathrm{1}-(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-{\alpha }_x^{\mathrm{*}}{x}^{\beta }}-p(\mathrm{1}-p){\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}{\alpha }_x^{\mathrm{*}}{x}^{\beta }}{)}^{\mathrm{3}}{)}^{-\mathrm{1}}\frac{\mathrm{3}({\alpha }_{\mathrm{0}}+{\epsilon }_{\mathrm{0}})\beta x^{\mathrm{2}\beta -\mathrm{1}}}{p^{\mathrm{4}}}=:K_{\mathrm{1}}(x)

易证，所以由控制收敛定理，对\forall \alpha >\mathrm{0}

{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\frac{\partial f(x,\alpha )}{\partial \alpha }\mathrm{d}x={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\underset{ϵ\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{f(x,\alpha +ϵ)-f(x,\alpha )}{ϵ}\mathrm{d}x=\underset{ϵ\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(x,\alpha +ϵ)-f(x,\alpha )}{ϵ}\mathrm{d}x=\underset{ϵ\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}f(x,\alpha +ϵ)\mathrm{d}x-{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}f(x,\alpha )\mathrm{d}x}{ϵ}=\mathrm{0}

同理有{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}f(x,\alpha )}{\partial {\alpha }^{\mathrm{2}}}\mathrm{d}x=\mathrm{0}。

(d) 对充分小的正数ϵ，当\alpha \in ({\alpha }_{\mathrm{0}}-ϵ,{\alpha }_{\mathrm{0}}+ϵ) 时，Fisher信息量为

E\left({\left[\frac{\partial \mathrm{l}\mathrm{n}f(X;\alpha )}{\partial \alpha }\right]}^{\mathrm{2}}\right)=

又因为\mathrm{W}{\mathrm{G}}_{\mathrm{2}}(\alpha ,\beta ,p)分布为非退化分布，故I(\alpha )>\mathrm{0}。于是{\widehat{\alpha }}_n是\alpha的渐近正态估计，且其渐近分布为\mathrm{N}(\alpha ,\frac{\mathrm{1}}{n{\rm I}(p)})。

2)和3)证明过程与1)类似。

证毕。

3　 威布尔-2阶几何分布的数值模拟和实例

3.1　数值模拟

本节考虑两参数已知情况下，另一个参数的极大似然及其区间估计。由于方法类似，下面只考虑\alpha ,\beta已知，p未知时的情况。

设x_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}=(x_i,i=\mathrm{1,2},\cdots ,n)为来自\mathrm{W}{\mathrm{G}}_{\mathrm{2}}(\alpha ,\beta ,p)分布的观测数据，由定理5知，参数p的极大似然估计{\widehat{p}}_n近似服从正态分布\mathrm{N}(p,\frac{\mathrm{1}}{n{\rm I}(p)})，因Fisher信息量{\rm I}(p)=E(-\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{n}f(X;p)}{\partial p^{\mathrm{2}}})的计算较为复杂，由大数定律知

J_n(p):=-\frac{\mathrm{1}}{n}\sum _{i=\mathrm{1}}^n\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{n}f(x_i;p)}{\partial p^{\mathrm{2}}}\stackrel{P}{\to }{\rm I}(p)

又因{\widehat{p}}_n\to p，故可用J_n({\widehat{p}}_n)代替{\rm I}(p)，于是[n{J}_n({\widehat{p}}_n{)]}^{-\mathrm{1}}给出了参数p的极大似然估计的渐近方差(可记为\widehat{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}}({\widehat{p}}_n))，则有

(\widehat{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}}({\widehat{p}}_n{))}^{-\mathrm{1}}=n{J}_n({\widehat{p}}_n)={\left.\sum _{i=\mathrm{1}}^n\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{n}f(x_i;p)}{\partial p^{\mathrm{2}}}\right|}_{p={\widehat{p}}_n}=

\frac{\mathrm{2}n}{{\widehat{p}}_n}+\sum _{i=\mathrm{1}}^n{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}\alpha x_i^{\beta }}\left(\frac{\mathrm{1}}{(\mathrm{2}-(\mathrm{1}-{\widehat{p}}_n){\mathrm{e}}^{-\alpha x_i^{\beta }}{)}^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{2}-\mathrm{4}{\widehat{p}}_n{\mathrm{e}}^{-\alpha x_i^{\beta }}-(\mathrm{4}{\widehat{p}}_n^{{}^{\mathrm{2}}}-\mathrm{4}{\widehat{p}}_n+\mathrm{2}){\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}\alpha x_i^{\beta }}}{(\mathrm{1}-(\mathrm{1}-{\widehat{p}}_n){\mathrm{e}}^{-\alpha x_i^{\beta }}-{\widehat{p}}_n(\mathrm{1}-{\widehat{p}}_n){\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}\alpha x_i^{\beta }}{)}^{\mathrm{2}}}\right)

未知参数p的95%置信区间为{\widehat{p}}_n\pm z_{\mathrm{0.975}}\sqrt[]{\widehat{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}}({\widehat{p}}_n)}。

记n为样本容量，\theta =(\alpha ,\beta ,p)，则可通过以下步骤得到参数p的区间估计：

步骤1 产生n个服从U(\mathrm{0,1})分布的随机数，记为u=(u_{\mathrm{1}},\cdots ,u_n)；

步骤2 通过计算知\mathrm{W}{\mathrm{G}}_{\mathrm{2}}(\theta )分布的分位数函数为

F^{-\mathrm{1}}(u;\theta )=

{\left(\frac{\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{\mathrm{1}-p+\sqrt[]{\frac{\mathrm{4}{p}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}-u}-\mathrm{3}{p}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}p+\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}}{\alpha }\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\beta }}

将u_{\mathrm{1}},\cdots ,u_n分别代入上式，得x_i=F^{-\mathrm{1}}(u_i;\theta ),i=\mathrm{1},\cdots ,n，则x_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}=(x_{\mathrm{1}},\cdots ,x_n)为来自\mathrm{W}{\mathrm{G}}_{\mathrm{2}}(\theta )分布的容量为n的样本；

步骤3 给定参数的初始值p^{\mathrm{0}}，得到参数p的极大似然估计{\widehat{p}}_n，并判断真值p是否落入95%置信区间{\widehat{p}}_n\pm z_{\mathrm{0.975}}\sqrt[]{\widehat{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}}({\widehat{p}}_n)}；

步骤4 重复步骤1~3 N次, 将得到的N个估计值的均值作为参数p的极大似然估计，N次模拟得到的置信下(上)界的均值作为参数p的置信下(上)界。

假设模拟得到的极大似然估计为{\widehat{p}}_{ni},i=\mathrm{1,2},\cdots ,N，相应的95%置信区间简记为\mathrm{C}{\mathrm{I}}_i=\left({\widehat{p}}_{ni}\pm z_{\mathrm{0.975}}\sqrt[]{\widehat{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}}({\widehat{p}}_{ni})}\right)，若真值p落入该区间记I_{\mathrm{C}{\mathrm{I}}_i}(p)=\mathrm{1}，否则I_{\mathrm{C}{\mathrm{I}}_i}(p)=\mathrm{0}，记N个估计值的均值为

\mathrm{M}\mathrm{E}\mathrm{A}\mathrm{N}(p)=\frac{\mathrm{1}}{N}\sum _{i=\mathrm{1}}^N{\widehat{p}}_{ni}

标准差为

\mathrm{S}\mathrm{D}(p)=\sqrt[]{\frac{\mathrm{1}}{N}\sum _{i=\mathrm{1}}^N({\widehat{p}}_{ni}-\mathrm{M}\mathrm{E}\mathrm{A}\mathrm{N}{(p))}^{\mathrm{2}}}

标准误差为

\mathrm{S}\mathrm{E}(p)=\frac{\mathrm{1}}{N}\sum _{i=\mathrm{1}}^N\sqrt[]{\widehat{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}}({\widehat{p}}_{ni})}

参数p的95%平均置信下界为

\mathrm{L}\mathrm{C}\mathrm{L}(p)=\frac{\mathrm{1}}{N}\sum _{i=\mathrm{1}}^N\left({\widehat{p}}_{ni}-z_{\mathrm{0.975}}\sqrt[]{\widehat{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}}({\widehat{p}}_{ni})}\right)

参数p的95%平均置信上界为

\mathrm{U}\mathrm{C}\mathrm{L}(p)=\frac{\mathrm{1}}{N}\sum _{i=\mathrm{1}}^N\left({\widehat{p}}_{ni}+z_{\mathrm{0.975}}\sqrt[]{\widehat{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}}({\widehat{p}}_{ni})}\right)

参数p的95%置信区间的覆盖率为

\mathrm{C}\mathrm{P}(p)=\frac{\mathrm{1}}{N}\sum _{i=\mathrm{1}}^N{I}_{\mathrm{C}{\mathrm{I}}_i}(p)

本文N取1 000，表1给出了样本量分别100，1 000，10 000时的模拟结果。

从表1可以看出：参数p的标准差\mathrm{S}\mathrm{D}(p)、标准误差\mathrm{S}\mathrm{E}(p)都接近于0，且两者相差很小，表明参数p的极大似然估计具有优良的有限样本性质；参数p的95%置信区间的覆盖率稳定在0.95附近，且随着样本量的增加，参数p的95%置信上界和置信下界越来越接近参数真值，表明该区间估计方法有效。

为了考察区间估计的稳定性与合理性，下面我们引入模拟次数-覆盖率关系图，该图横轴表示模拟的次数，纵轴表示参数的95%置信区间的覆盖率。

图3给出了样本量为1 000，模拟次数为10 000，参数\alpha =\mathrm{1},\beta =\mathrm{2},p=\mathrm{0.5}时参数p的95%置信区间的覆盖率图像。从图3可以看出模拟次数对参数p的95%置信区间覆盖率影响不大，当模拟次数大于3 000时覆盖率趋于稳定，且覆盖率维持在95%左右，与该置信区间的置信水平95%非常接近。

3.2　实例研究

本节使用威布尔-2阶几何分布拟合两组真实数据，以此来说明其应用。

例1：13架波音720喷气式飞机的空调系统连续两次故障时间间隔(小时)的数据集^[19]。

例2：Minneapolis/St Paul 地区连续30年3月份降水量(英寸)的数据集^[20]。

表2给出了分别用威布尔-2阶几何分布，指数-2阶几何分布，威布尔分布去拟合真实数据得到的极大似然估计值，K-S 统计量值，以及相应的p值，从表2中可以看出：对第一组数据，三种分布都能较好的拟合；对第二组数据，除指数-2阶几何分布外都能较好的拟合，但相比而言威布尔-2阶几何分布有更小的K-S统计量和更大的p值，具有更好的拟合效果。

图4,图5给出了两组数据的分布直方图以及分别用三种分布拟合的效果图，其结果与表2相似。

当威布尔-2阶几何分布被选做拟合模型时,我们感兴趣的是它能否退化为指数-2阶几何分布。 对例1和例2进行似然比检验,结果如下:

例1H_{\mathrm{0}}:\beta =\mathrm{1}vs.H_{\mathrm{1}}:\beta \ne \mathrm{1},p=\mathrm{0.0752}\mathrm{7}

例2H_{\mathrm{0}}:\beta =\mathrm{1}vs.H_{\mathrm{1}}:\beta \ne \mathrm{1},p=\mathrm{1.294}\mathrm{1}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{4}}

对例1而言,在5%显著性水平下不能够拒绝原假设,即对第一组数据威布尔-2阶几何分布能够退化为指数-2阶几何分布。对例2而言,在5%显著性水平下能够拒绝原假设,即对第二组数据威布尔-2阶几何分布不能够退化为指数-2阶几何分布。

4　 结 语

基于随机最小值分布产生机制，提出了一类新的分布:威布尔-离散位相型分布，研究了其统计性质，并重点关注了威布尔-2阶几何分布。推导了威布尔-2阶几何分布参数的极大似然估计的相合性与渐近正态性，从理论上证明了新分布的优良性质。除此之外，本文也引入了置信区间覆盖率指标、模拟次数-覆盖率图对区间估计的效果进行了考察,证实了威布尔-2阶几何分布具有较好的有限样本性质。在实例研究中，用威布尔-2阶几何分布拟合真实数据，发现其具有较好的拟合效果。

论文中仍有一些问题值得进一步研究。如在研究参数极大似然估计的渐近正态性时，由于对数似然函数2阶偏导的形式复杂且其条件期望不易求出，本文只给出了两个参数已知时另一个参数的渐近正态性，并未证明三参数的渐近正态性。另外，由于离散位相型分布是一类包含范围特别广的分布，通过选取不同的\mathit{a}和\mathit{Q}就能得到不同的分布，然后将其与不同的连续分布进行混合，就能得到更多的混合分布，使其能更好地拟合真实数据，有兴趣的学者可进一步探讨。

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基金资助

国家自然科学基金(1171263)