具有正初始能量p⁃Laplace方程解的爆破

Blow-up of Solutions for p⁃Laplace Equation with Positive Initial Energy

摘要

研究了具有齐次Dirichlet边界条件p⁃Laplace方程解的爆破问题。利用构造凸函数方法证明了初始能量为正数且r>p(n\ge \mathrm{1})条件下，解在有限时刻爆破。

Abstract

This paper deals with homogeneous Dirichlet boundary value problem of a class of p-Laplace equations. A blow-up result is established when initial energy is positive and r>p(n\ge \mathrm{1}) making use of constructing concave function.

关键词

爆破 / p⁃Laplace方程 / 正初始能量

Key words

blow-up / p-Laplace equation / positive initial energy

0　 引 言

考虑如下p-Laplace方程

\left\{\begin{array}{ll}{u}_t-\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}({\left|\nabla u\right|}^{p-\mathrm{2}}\nabla u)=f(u),& x\in \Omega ,t>\mathrm{0}\\ u(x,t)=\mathrm{0},& x\in \partial \Omega ,t\ge \mathrm{0}\\ u(x,\mathrm{0})=u_{\mathrm{0}}(x),& x\in \Omega \end{array}\right.(1)

其中，\Omega \subset {\mathbb{R}}^n(n\ge \mathrm{1})，\partial \Omega是光滑，f(u)\in C(\mathbb{R})且满足如下条件

sf(s)\ge rF(s)\ge {\left|s\right|}^r,r>p>\mathrm{2}（2）

其中，F(s)={\int }_{\mathrm{0}}^{s}f(\tau )\mathrm{d}\tau。

p-Laplace方程源于非线性动力学，关于该问题解存在性、唯一性结果非常完善，见文献[1,2]。

现实生活中很多实际问题用p-Laplace方程刻画更符合实际。关于p-Laplace方程解爆破问题研究，近年来引起国内外广泛关注，见文献[3,4,5]。1993年，Zhao等^[6]证明了初始能量为负数时，解在有限时刻爆破。2008年Liu等^[7]证明了初始能量大于某个正数且时解在有限时刻爆破。本文借助文献[8]思想，通过构造凸函数方法，推广文献[7]的结果（n\ge \mathrm{1}）。

引进能量泛函

E(t)=\frac{\mathrm{1}}{p}{{\int }_{\mathrm{\Omega }}\left|\nabla u\right|}^p\mathrm{d}x-{\int }_{\mathrm{\Omega }}F(u)\mathrm{d}x（3）

则

E\text{'}(t)=-u_t^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\le \mathrm{0}（4）

引理1^[9] 假设\theta (t)是二次连续可微的函数且有如下不等式成立

\theta ″(t)\theta (t)-(\mathrm{1}+\beta )(\theta \text{'}{(t))}^{\mathrm{2}}\ge \mathrm{0}，t>\mathrm{0}

其中\beta >\mathrm{0}为常数。如果\theta (t)>\mathrm{0},\theta \text{'}(\mathrm{0})>\mathrm{0}则，使得\theta (t)\to \mathrm{\infty },t\to T_{\mathrm{1}}。

1　 主要结论及证明

定理1 若u(x,t)是问题(1)的解且对于\forall r>p，E(\mathrm{0})>\mathrm{0},初值u_{\mathrm{0}}满足

{‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}>{\left(\frac{rpE(\mathrm{0})}{r-p}\right)}^{\frac{\mathrm{2}}{r}}{\left|\Omega \right|}^{\frac{r-\mathrm{2}}{r}}

则解u(x,t)在有限时刻爆破。

证 (4)式两端在(\mathrm{0},t)上积分有

E(t)-E(\mathrm{0})=-{\int }_{\mathrm{0}}^t{‖u_{\tau }\left(\tau \right)‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}\tau（5）

问题(1)第一式两端同乘u，并在\Omega上积分有

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_{\Omega }{u}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x={\int }_{\Omega }u{u}_t\mathrm{d}x=

{\int }_{\Omega }u\left(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}{\left|\nabla u\right|}^{p-\mathrm{2}}\nabla u+f(u)\right)\mathrm{d}x=

-{\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^p\mathrm{d}x+{\int }_{\Omega }uf(u)\mathrm{d}x（6）

下面分两种情况讨论：

情形1 若\forall t>\mathrm{0}，E(t)>\mathrm{0}，由(5)及(6)式有

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_{\Omega }{u}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x=-pE(t)+{\int }_{\Omega }uf(u)\mathrm{d}x-p{\int }_{\Omega }F(u)\mathrm{d}x（7）

结合(2)及(7)式进一步有

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_{\Omega }{u}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\ge -pE(t)+(r-p){\int }_{\Omega }F(u)\mathrm{d}x\ge -pE(t)+\frac{r-p}{r}{{\int }_{\Omega }\left|u\right|}^r\mathrm{d}x（8）

由Young不等式，有

{{\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^r\mathrm{d}x\ge \lambda {\int }_{\Omega }{u}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x-{\lambda }^{\frac{r}{r-\mathrm{2}}}\left(\frac{\mathrm{2}}{r}\right)}^{\frac{\mathrm{2}}{r-\mathrm{2}}}\frac{r-\mathrm{2}}{r}\left|\Omega \right|（9）

其中，\lambda为待定正数。

综合(8)及(9)式有

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_{\Omega }{u}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\ge -pE(t)+\frac{r-p}{r}\left(\lambda {\int }_{\Omega }{u}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x-{\lambda }^{\frac{r}{r-\mathrm{2}}}\frac{r-\mathrm{2}}{r}{\left(\frac{\mathrm{2}}{r}\right)}^{\frac{\mathrm{2}}{r-\mathrm{2}}}\left|\Omega \right|\right)(10)

取\alpha满足如下条件

(11)

结合(9),(10)及(5)式,有

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_{\Omega }{u}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\ge -\mathrm{2}p\alpha E(\mathrm{0})+\mathrm{2}p\alpha {{\int }_{\mathrm{0}}^t‖u_{\tau }(\tau )‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}\tau +

\frac{\mathrm{2}(r-p)\lambda }{r}{\int }_{\Omega }{u}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x-

\frac{\mathrm{2}(r-p)}{r}{\lambda }^{\frac{r}{r-\mathrm{2}}}{(\frac{\mathrm{2}}{r})}^{\frac{\mathrm{2}}{r-\mathrm{2}}}\frac{r-\mathrm{2}}{r}\left|\Omega \right|(12)

由(12)式解得

{{\int }_{\Omega }{u}^{\mathrm{2}}(x,t)\mathrm{d}x\ge ‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{2}(r-p)\lambda t}{r}}+

\frac{r}{\mathrm{2}(r-p)\lambda }\left(\mathrm{1}-{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{2}(r-p)\lambda t}{r}}\right)\times

\left(\mathrm{2}p\alpha E(\mathrm{0})+\mathrm{2}{\lambda }^{\frac{r}{r-\mathrm{2}}}{\left(\frac{\mathrm{2}}{r}\right)}^{\frac{\mathrm{2}}{r-\mathrm{2}}}\frac{\left(r-\mathrm{2}\right)\left(r-p\right)}{r^{\mathrm{2}}}\left|\Omega \right|\right)(13)

定义函数y(t)={{\int }_{\mathrm{0}}^t‖u‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s，假设函数u(x,t)整体存在，则y(t)是有界函数且有

y\text{'}(t)=u^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x,y″(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{u}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x

将（13）式代入(12)式，有

y″(t)\ge \mathrm{2}p\alpha {\int }_{\mathrm{0}}^t{‖u_{\tau }(\tau )‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}\tau +{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{2}(r-p)\lambda t}{r}}\left[\frac{\mathrm{2}(r-p)\lambda }{r}{‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}p\alpha E(\mathrm{0})-\frac{\mathrm{2}(r-p)(r-\mathrm{2})}{r^{\mathrm{2}}}\left|\Omega \right|{\left(\frac{\mathrm{2}}{r}\right)}^{\frac{\mathrm{2}}{r-\mathrm{2}}}{\lambda }^{\frac{r}{r-\mathrm{2}}}\right](14)

考虑到(11)式,取\epsilon满足下列条件

\frac{\mathrm{1}}{p\alpha {‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}\left(\frac{\mathrm{2}(r-p)}{r}{\left|\Omega \right|}^{\frac{\mathrm{2}-r}{\mathrm{2}}}{‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^r-\mathrm{2}p\alpha E(\mathrm{0})\right)

定义函数\phi (t)=y^{\mathrm{2}}(t)+{\epsilon }^{-\mathrm{1}}{‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}y(t)+c，其中c满足

c>\frac{{\epsilon }^{-\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}{‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}(15)

因此有

\phi \text{'}(t)=(\mathrm{2}y+{\epsilon }^{-\mathrm{1}}{‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}})y\text{'}(t)(16)

\phi ″(t)=(\mathrm{2}y+{\epsilon }^{-\mathrm{1}}{‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}})y″(t)+\mathrm{2}(y\text{'}{(t))}^{\mathrm{2}}(17)

令\delta =\mathrm{4}c-{\epsilon }^{-\mathrm{2}}{‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}。由（15）式，\delta >\mathrm{0}。由(16)式,有

[\phi \text{'}{(t)]}^{\mathrm{2}}=(\mathrm{4}\phi (t)-\delta )(y\text{'}{(t))}^{\mathrm{2}}(18)

由恒等式\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_{\Omega }{u}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x={\int }_{\Omega }u{u}_t\mathrm{d}x，将其在(\mathrm{0},t)上积分，有

{‖u(t)‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}={‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\Omega }u(\tau )u_{\tau }(\tau )\mathrm{d}x\mathrm{d}\tau

即有

[y\text{'}{(t)]}^{\mathrm{2}}={‖u(t)‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}=({‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{+\mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\Omega }u(\tau )u_{\tau }(\tau )\mathrm{d}x\mathrm{d}\tau )}^{\mathrm{2}}\le

{‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}+\mathrm{4}{‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{\left({{\int }_{\mathrm{0}}^t‖u(\tau )‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}\tau \right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\cdot {\left({\int }_{\mathrm{0}}^t{‖u_{\tau }(\tau )‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}\tau \right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}+\mathrm{4}y(t){‖u_{\tau }\left(\tau \right)‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}\tau

由带\epsilon的Cauchy不等式，上式化为

{\left|y\text{'}(t)\right|}^{\mathrm{2}}\le {‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}+\mathrm{4}y(t){{\int }_{\mathrm{0}}^t‖u_{\tau }(\tau )‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}\tau +\mathrm{2}\epsilon {‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}y(t)+\mathrm{2}{\epsilon }^{-\mathrm{1}}{‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{{\int }_{\mathrm{0}}^t‖u_{\tau }(\tau )‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}\tau（19）

结合(14),(17)和(18)式，有

\mathrm{2}\phi ″(t)\phi (t)-(\mathrm{1}+\frac{p\alpha }{\mathrm{2}})[\phi \text{'}{(t)]}^{\mathrm{2}}\ge \mathrm{2}(\mathrm{2}y(t)+{\epsilon }^{-\mathrm{1}}{‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}})\left\{\mathrm{2}p\alpha {\int }_{\mathrm{0}}^t{‖u_{\tau }(\tau )‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}\tau \cdot {\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{2}(r-p)\lambda t}{r}}\left[\frac{\mathrm{2}(r-p)\lambda }{r}{‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}p\alpha E(\mathrm{0})-\frac{\mathrm{2}(r-p)(r-\mathrm{2})}{r^{\mathrm{2}}}\left|\Omega \right|{(\frac{\mathrm{2}}{r})}^{\frac{\mathrm{2}}{r-\mathrm{2}}}{\lambda }^{\frac{r}{r-\mathrm{2}}}\right]\right\}\phi (t)-

\mathrm{2}p\alpha \phi (t)\left\{{‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}+\mathrm{4}y(t){\int }_{\mathrm{0}}^t{‖u_{\tau }(\tau )‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}\tau +\mathrm{2}\epsilon {‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}y(t)+\mathrm{2}{\epsilon }^{-\mathrm{1}}{‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{‖u_{\tau }(\tau )‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}\tau \right\}(20)

定义函数

H(\lambda )=\frac{\mathrm{2}(r-p)\lambda }{r}{‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}p\alpha E(\mathrm{0})-\frac{\mathrm{2}(r-p)(r-\mathrm{2})}{r^{\mathrm{2}}}\left|\Omega \right|{\left(\frac{\mathrm{2}}{r}\right)}^{\frac{\mathrm{2}}{r-\mathrm{2}}}{\lambda }^{\frac{r}{r-\mathrm{2}}}

因此

H\text{'}(\lambda )=\frac{\mathrm{2}(r-p)}{r}{‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{2}(r-p)}{r}\left|\Omega \right|{\left(\frac{\mathrm{2}}{r}\right)}^{\frac{\mathrm{2}}{r-\mathrm{2}}}{\lambda }^{\frac{\mathrm{2}}{r-\mathrm{2}}}

令H\text{'}(\lambda )=\mathrm{0}，有{\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\frac{r}{\mathrm{2}}{‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^{r-\mathrm{2}}{\left|\Omega \right|}^{-\frac{r-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}}。经计算

\begin{array}{l}\underset{\lambda \ge \mathrm{0}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}H(\lambda )=H({\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}})=\\ \frac{\mathrm{2}(r-p)}{r}{‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^r{\left|\Omega \right|}^{-\frac{r-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}}-\mathrm{2}p\alpha E(\mathrm{0})>\mathrm{0}\end{array}

取\lambda ={\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}，考虑\epsilon取值及{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{2}(r-p)\lambda t}{r}}\ge \mathrm{1}，\phi >\mathrm{0}，有

\mathrm{2}\phi ″(t)\phi (t)-\left(\mathrm{1}+\frac{p\alpha }{\mathrm{2}}\right)[\phi \text{'}{(t)]}^{\mathrm{2}}\ge \mathrm{2}\phi (t)\left(\mathrm{2}y(t)+{\epsilon }^{-\mathrm{1}}{‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{2}p\alpha {\int }_{\mathrm{0}}^t{‖u_{\tau }\left(\tau \right)‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}\tau +p\epsilon \alpha {‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\right)-\mathrm{2}p\alpha \phi (t)\left\{{‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}+\mathrm{4}y(t){\int }_{\mathrm{0}}^t{‖u_{\tau }‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}\tau \right.+\mathrm{2}\epsilon {‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}y(t)+\left.\mathrm{2}{\epsilon }^{-\mathrm{1}}{‖u_{\mathrm{0}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{‖u_{\tau }(\tau )‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}\tau \right\}=\mathrm{0}

因此有

\phi ″(t)\phi (t)-\left(\mathrm{1}+\frac{p\alpha -\mathrm{2}}{\mathrm{4}}\right)[\phi \text{'}{(t)]}^{\mathrm{2}}\ge \mathrm{0}

由于\phi (\mathrm{0})>\mathrm{0},\phi \text{'}(\mathrm{0})>\mathrm{0}，应用引理1，我们有\phi (t)\to +\mathrm{\infty }(当t\to T_{\mathrm{1}}\le \frac{\mathrm{4}\phi (\mathrm{0})}{(p\alpha -\mathrm{2})\phi \text{'}(\mathrm{0})})。由于\phi (t)关于y是连续的且y(t)整体存在，故与\phi (t)\to +\mathrm{\infty }(t\to T_{\mathrm{1}})矛盾。

情形2 若\exists t_{\mathrm{0}}>\mathrm{0},使得E(u(t_{\mathrm{0}}))\le \mathrm{0}。令v(x,t)=u(x,t+t_{\mathrm{0}})，则有E(v(\mathrm{0}))=E(u(t_{\mathrm{0}}))。由(5)式，我们有

E(v(t))\le E(v(\mathrm{0}))\le \mathrm{0}(21)

定义函数G(t)={\int }_{\Omega }{v}^{\mathrm{2}}(x,t)\mathrm{d}x，那么

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_{\Omega }{v}^{\mathrm{2}}(x,t)\mathrm{d}x={\int }_{\Omega }v\left(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left({\left|\nabla v\right|}^{p-\mathrm{2}}\nabla v\right)+f(v)\right)\mathrm{d}x=

-{\int }_{\Omega }{\left|\nabla v\right|}^p\mathrm{d}x+{\int }_{\Omega }vf(v)\mathrm{d}x\ge

-pE(t)+\frac{r-p}{r}{\int }_{\Omega }{\left|v\right|}^r\mathrm{d}x(22)

结合(21)及（22）式，有

G\text{'}(t)\ge \frac{\mathrm{2}(r-p)}{r}{{\int }_{\Omega }\left|v\right|}^r\mathrm{d}x(23)

由嵌入定理L^r(\Omega )\stackrel{\mathrm{嵌}\mathrm{入}}{\to }{L}^{\mathrm{2}}(\Omega ),有

{‖v‖}_{\mathrm{2}}\le B{‖v‖}_r(24)

这里B是嵌入常数，结合(23)及（24）式，有

G\text{'}(t)\ge \frac{\mathrm{2}(r-p)}{r}{B}^r{‖v‖}_{\mathrm{2}}^r=\frac{\mathrm{2}{B}^r(r-p)}{r}[G{(t)]}^{\frac{r}{\mathrm{2}}}

利用Gronwall不等式，有

G^{\frac{r-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}}(t)\ge \frac{\mathrm{1}}{G^{\frac{r-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}}(\mathrm{0})-\frac{(r-\mathrm{2})(r-p)}{r}{B}^{r}t}

从上面不等式得

G(t)\to \mathrm{\infty },t\to T^{\mathrm{*}}\le \frac{r{G}^{\frac{\mathrm{2}-r}{\mathrm{2}}}(\mathrm{0})}{(r-\mathrm{2})(r-p)B^r}

综合以上两种情况，有u(x,t)在有限时刻爆破。

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基金资助

国家青年自然科学基金(11301211)

吉林省教育厅十三五科学技术研究项目(2016211)

吉林师范大学博士启动基金(2014008)