二元多项式矩阵Smith型等价问题

On the Equivalence to the Smith Form of Bivariate Polynomial Matrices

摘要

二维系统等价是多维系统研究中的重要问题，它常被转化为二元多项式矩阵的等价问题来研究。二元多项式矩阵与其Smith型等价是矩阵等价研究中的重要问题。本文主要研究几类二元多项式矩阵与其Smith型等价问题，给出二元多项式矩阵约化到其Smith型的一些结果和判别条件。这些条件可以通过计算矩阵既约子式的约化Gröbner基进行检验。

Abstract

The equivalence of two-dimensional systems is an important content of multidimensional systems, which is usually represented by the bivariate polynomial matrices. Reducing a matrix to its Smith form is a very important study in the equivalence of matrices. In this paper we mainly investigate the reduction of several kinds of bivariate polynomial matrices to their Smith forms. Some new results and criteria are presented. These criteria can be verified easily by computing the Gröbner basis of the associated ideals.

关键词

二维系统 / 二元多项式矩阵 / 矩阵等价 / Smith型

Key words

two-dimensional system / bivariate polynomial matrix / equivalence of matrices / the Smith form

0　 引 言

多维系统在数字滤波器、图像、信号处理等领域有广泛应用，多维系统等价是多维系统的一个重要内容，在实际应用中，常常需要将一个给定的复杂系统转化为形式和结构更简单的等价系统^{[1,2,3,4,5,6,7,8]}。由系统理论中的多项式表示方法，人们常将多维系统等价问题转化为多项式矩阵等价问题来研究。矩阵的Smith型在矩阵等价中占非常重要的地位，将一个多项式矩阵化简为其Smith型，可以降低对应多维系统的未知量数或方程数。1970年，Rosenbrock^[5]利用主理想整环K[s]的算法性质，得到K[s]上任意一元多项式矩阵都与其Smith型等价，完全解决了一维系统的等价问题。但多元多项式环不是欧几里德环，其环上多元多项式矩阵的Smith型等价问题等价于两个有限生成投射模的同构问题，这类同构问题在代数上几乎是不可能被完全解决的，因此多元多项式矩阵等价问题有待继续深入研究。

科学家们对多元多项式矩阵与其Smith型等价的研究起源于1978年Frost和Storey^[9]对实数域上的二元多项式矩阵的研究，他们给出了一个二元多项式矩阵与其Smith型等价的充分必要条件。但是1983年Lee和Zak^[10]通过举例证明了上述条件只是必要的不是充分的，并给出了一类形如z_{\mathrm{2}}\mathit{I}-\mathit{A}(z_{\mathrm{1}})的二元多项式矩阵与其Smith型等价的一个充分必要条件是存在一个循环向量，但在实际中很难找到程序判别这种循环向量。1986年，Frost和Boudellioua^[11]证明了二元行满秩多项式方阵\mathit{T}与其Smith型等价当且仅当存在一个幺模列向量\mathit{U}使得\left(\begin{array}{cc}\mathit{T}& \mathit{U}\end{array}\right)存在右逆，但这种向量的寻找同样不容易且\left(\begin{array}{cc}\mathit{T}& \mathit{U}\end{array}\right)的右逆存在性不易判别。所以，2006年Lin等^[12]用构造性的方法对一类特殊的多项式矩阵进行讨论，这类矩阵\mathit{M}的行列式为\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{M}=z_{\mathrm{1}}-f(z_{\mathrm{2}},\cdots ,z_n)，并得到这类矩阵与其Smith型\left(\begin{array}{cc}{\mathit{I}}_{n-\mathrm{1}}& {\mathrm{0}}_{n-\mathrm{1,1}}\\ {\mathrm{0}}_{\mathrm{1},n-\mathrm{1}}& \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{M}\end{array}\right)等价。本文作者在文献[13]拓展了Lin等的结论，证明了如果多项式矩阵\mathit{M}所有的(l-\mathrm{1})\times (l-\mathrm{1})阶子式生成单位理想且\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{M}=[z_{\mathrm{1}}-f(z_{\mathrm{2}},\cdots ,z_n{)]}^q,则\mathit{M}也与其Smith型\left(\begin{array}{cc}{\mathit{I}}_{n-\mathrm{1}}& {\mathrm{0}}_{n-\mathrm{1,1}}\\ {\mathrm{0}}_{\mathrm{1},n-\mathrm{1}}& \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{M}\end{array}\right)等价，并给出一种找到等价变换中幺模矩阵的构造性方法。

二元多项式矩阵的等价在多元多项式矩阵等价问题中占重要地位，本文在文献[12]和[13]的基础上，结合二元多项式环的性质以及Gröbner基理论，考虑二元多项式环上几类二元多项式矩阵的等价问题，希望找到一些行列式为其他特殊形式的矩阵，这些矩阵也与其Smith型等价。

1　 预备知识

\mathbb{R}[z,w]表示实数域\mathbb{R}上含两个变量的多项式环;{\mathbb{R}}^{l\times l}[z,w]表示多项式环\mathbb{R}[z,w]上的所有l\times l级矩阵的集合;G{l}_l(\mathbb{R}[z,w])表示在多项式环\mathbb{R}[z,w]上的所有l\times l级可逆矩阵的集合;{\mathrm{0}}_{r,t}表示r\times t级零矩阵，{\mathit{I}}_r表示r\times r级单位矩阵;令\mathit{F}(z,w)\in {\mathbb{R}}^{l\times l}[z,w]，c_{\mathrm{1}}(z,w),\cdots ,c_t(z,w)表示矩阵\mathit{F}(z,w)的所有(l-\mathrm{1})\times (l-\mathrm{1})级子式,t=l^{\mathrm{2}}。

定义1 令\mathit{F}(z,w)\in {\mathbb{R}}^{l\times l}[z,w]，则\mathit{F}(z,w)的Smith型定义为S=(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{{\Phi }_i\})，其中

r是\mathit{F}(z,w)的秩，{\alpha }_{\mathrm{0}}\equiv \mathrm{1},{\alpha }_i是\mathit{F}(z,w)的i\times i级子式的最大公因子且{\Phi }_i满足整除性{\Phi }_{\mathrm{1}}|{\Phi }_{\mathrm{2}}|...|{\Phi }_r。

定义2 称矩阵\mathit{F}(z,w)\in {\mathbb{R}}^{l\times l}[z,w]具有性质DM（determinant minor），如果\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{F}(z,w)与F(z,w)的所有(l-\mathrm{1})\times (l-\mathrm{1})级子式没有共同零点。

定义3 设\mathit{F}(z,w),\mathit{Q}(z,w)\in {\mathbb{R}}^{l\times l}[z,w]，如果存在\mathit{U}(z,w),\mathit{V}(z,w)\in G{l}_l(\mathbb{R}[z,w])，使得\mathit{F}(z,w)=\mathit{U}(z,w)\cdot\mathit{Q}(z,w)V(z,w)，则称\mathit{F}(z,w)与\mathit{Q}(z,w)等价。

定义4 设\mathit{F}(z,w)\in {\mathbb{R}}^{l\times m}[z,w](l\le m)是行满秩的，称\mathit{F}(z,w)是零互素（ZLP，zero left prime），如果\mathit{F}(z,w)的所有(l-\mathrm{1})\times (l-\mathrm{1})级子式没有共同零点。

引理1^[13] 令\mathit{F}(z,w)\in {\mathbb{R}}^{l\times l}[z,w]，d_{\mathrm{0}}(z,w)=z-f(w)是\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{F}(z,w)的一个因子，则d_{\mathrm{0}}(z,w)，c_{\mathrm{1}}(z,w),…,c_r(z,w)没有共同零点(在复数域{\mathbb{C}}^{l\times l}[z,w])，当且仅当\forall w\in {\mathbb{C}}^{n-\mathrm{1}}，都有\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathit{F}(f(w),w)=l-\mathrm{1}。

推论1 令\mathit{F}(z,w)\in {\mathbb{R}}^{l\times l}[z,w]，d_{\mathrm{0}}(z,w)=w-f(z)是\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{F}(z,w)的一个因子，那么d_{\mathrm{0}}(z,w),c_{\mathrm{1}}(z,w),…,c_r(z,w)没有共同零点(在复数域{\mathbb{C}}^{l\times l}[z,w])，当且仅当\forall z\in {\mathbb{C}}^{n-\mathrm{1}}，都有\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathit{F}(z,f(z))=l-\mathrm{1}。

引理2^[13] 令\mathit{F}(z,w),{\mathit{F}}_{\mathrm{1}}(z,w),{\mathit{F}}_{\mathrm{2}}(z,w)\in {\mathbb{R}}^{l\times l}[z,w],\mathit{F}(z,w)={\mathit{F}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{F}}_{\mathrm{2}}(z,w)。若\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{F}(z,w)与\mathit{F}(z,w)所有的(l-\mathrm{1})\times (l-\mathrm{1})级子式没有共同零点，则\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{\mathit{F}}_i(z,w)和{\mathit{F}}_i(z,w)所有的(l-\mathrm{1})\times (l-\mathrm{1})级子式没有共同零点，其中i=\mathrm{1,2}。

推论2 令\mathit{F}(z,w)\in {\mathbb{R}}^{l\times l}[z,w],\mathit{U}(z,w),\mathit{V}(z,w)\in G{l}_l(\mathbb{R}[z,w]),那么\mathit{F}(z,w)具有性质DM当且仅当\mathit{U}(z,w)\mathit{F}(z,w)\mathit{V}(z,w)具有性质DM。

引理3^[13] 令\mathit{F}(z,w)\in {\mathbb{R}}^{l\times l}[z,w],\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathit{F}(z,f(z))=l-\mathrm{1},对每个(z,w)\in {\mathbb{R}}^{\mathrm{2}},那么可以构造一个幺模向量\mathit{Y}(z)\in {\mathbb{R}}^{l\times \mathrm{1}}[z],使得

\mathit{F}(z,f(z))\mathit{Y}(z)={\left(\mathrm{0},\cdots ,\mathrm{0}\right)}^{\mathrm{T}}

2　 主要结果

引理4 令\mathit{F}(z,w)\in {\mathbb{R}}^{l\times l}[z,w]，且\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{F}(z,w)=(z-f{(w))}^q{(w-a)}^q,a\in \mathbb{R},q是一个正整数。如果\mathit{F}(z,w)具有性质DM，那么\mathit{F}(z,w)等价于矩阵

\mathit{V}(z,w){\mathit{P}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{V}}_{\mathrm{1}}(w){\mathit{P}}_{\mathrm{2}}(z,w){\mathit{U}}_{\mathrm{1}}(z)\cdots {\mathit{P}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{V}}_q(w){\mathit{P}}_{\mathrm{2}}(z,w){\mathit{U}}_q(z)

其中，{\mathit{P}}_{\mathrm{1}}(z,w)=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{I}}_{l-\mathrm{1}}& {\mathrm{0}}_{l-\mathrm{1,1}}\\ {\mathrm{0}}_{\mathrm{1},l-\mathrm{1}}& z-f(w)\end{array}\right)，{\mathit{P}}_{\mathrm{2}}(z,w)=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{I}}_{l-\mathrm{1}}& {\mathrm{0}}_{l-\mathrm{1,1}}\\ {\mathrm{0}}_{\mathrm{1},l-\mathrm{1}}& w-a\end{array}\right)，\mathit{V}(z,w)\in G{l}_l(\mathbb{R}[z,w])，{\mathit{V}}_i(w)\in

G{l}_l(\mathbb{R}[w]),{\mathit{U}}_i(z)\in G{l}_l(\mathbb{R}[z]),i=\mathrm{1},\cdots ,q。

证 因为\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{F}(z,w)和\mathit{F}(z,w)的所有(l-\mathrm{1})\times (l-\mathrm{1})级子式没有共同零点，所以w-a和\mathit{F}(z,w)的所有(l-\mathrm{1})\times (l-\mathrm{1})级子式没有共同零点。因为\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{F}(z,w)=(z-f{(w))}^q{(w-a)}^q,a\in \mathbb{R}[z,w],q是一个正整数，那么w-a是\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{F}(z,w)的一个因子。根据推论1，对每个z\in \mathbb{C}，有\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathit{F}(z,a)=l-\mathrm{1}。由引理3，存在一个幺模向量{\mathit{Y}}_{\mathrm{1}}(z)\in {\mathbb{R}}^{l\times \mathrm{1}}[z]，使得

\mathit{F}(z,a){\mathit{Y}}_{\mathrm{1}}(z)={(\mathrm{0},\cdots ,\mathrm{0})}^{\mathrm{T}}（1）

根据Quillen-Suslin定理^[14]，可以构造一个幺模矩阵{\mathit{U}}_{q_{\mathrm{1}}}(z)\in {\mathbb{R}}^{l\times l}[z]，使得{\mathit{Y}}_{\mathrm{1}}(z)是它的最后一列且\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{\mathit{U}}_{q_{\mathrm{1}}}(z)=\mathrm{1}。由(1)式得，存在{\mathit{B}}_{\mathrm{1}}(z)\in {\mathbb{R}}^{l\times (l-\mathrm{1})}[z],

\mathit{F}(z,a){\mathit{U}}_{q_{\mathrm{1}}}(z)=(\begin{array}{cc}{\mathit{B}}_{\mathrm{1}}& {\mathrm{0}}_{l,\mathrm{1}}\end{array})（2）

由(2)式计算得

\mathit{F}(z,w){\mathit{U}}_{q_{\mathrm{1}}}(z)={\mathit{F}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{P}}_{\mathrm{2}}(z,w)（3）

其中，{\mathit{F}}_{\mathrm{1}}(z,w)\in {\mathbb{R}}^{l\times l}[z,w],{\mathit{P}}_{\mathrm{2}}(z,w)=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{I}}_{l-\mathrm{1}}& {\mathrm{0}}_{l-\mathrm{1,1}}\\ {\mathrm{0}}_{\mathrm{1},l-\mathrm{1}}& w-a\end{array}\right)。那么有

\mathit{F}(z,w)={\mathit{F}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{P}}_{\mathrm{2}}(z,w)U_q(z)（4）

其中，{\mathit{U}}_q(z)={\mathit{U}}_{q_{\mathrm{1}}}^{-\mathrm{1}}(z)。注意到\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{\mathit{U}}_{q_{\mathrm{1}}}(z)=\mathrm{1}，所以\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{\mathit{U}}_q(z)=\mathrm{1}。由于\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{F}(z,w)=(z-f{(w))}^q{(w-a)}^q,那么\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{\mathit{F}}_{\mathrm{1}}(z,w)=(z-f{(w))}^q{(w-a)}^{q-\mathrm{1}}。由引理2有，{\mathit{F}}_{\mathrm{1}}(z,w)也具有性质DM。所以z-f(w)和F_{\mathrm{1}}(z,w)的所有(l-\mathrm{1})\times (l-\mathrm{1})级子式没有共同零点。再根据引理1，得到：\forall w\in \mathbb{C},\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}F(f(w),w)=l-\mathrm{1}。结合引理3，存在一个幺模列向量{\mathit{Y}}_{\mathrm{2}}(w)\in {\mathbb{R}}^{l\times \mathrm{1}}[w]使得

\mathit{F}(f(w),w){\mathit{Y}}_{\mathrm{2}}(w)={(\mathrm{0},\cdots ,\mathrm{0})}^{\mathrm{T}}（5）

由Quillen-Suslin定理，可以构造一个幺模矩阵{\mathit{V}}_{q_{\mathrm{1}}}(w)\in {\mathbb{R}}^{l\times l}[w],使得{\mathit{Y}}_{\mathrm{2}}(w)是它的最后一列且\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{\mathit{V}}_{q_{\mathrm{1}}}(w)=\mathrm{1}。由(5)式得，存在{\mathit{B}}_{\mathrm{2}}(w)\in {\mathbb{R}}^{l\times (l-\mathrm{1})}[w],使得

\mathit{F}(f(w),w){\mathit{V}}_{q_{\mathrm{1}}}(z)=(\begin{array}{cc}{\mathit{B}}_{\mathrm{2}}& {\mathrm{0}}_{l,\mathrm{1}}\end{array})（6）

由(6)式,容易得

{\mathit{F}}_{\mathrm{1}}(z,w)={\mathit{F}}_{\mathrm{2}}(z,w){\mathit{P}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{V}}_q(w)（7）

其中，{\mathit{V}}_q(z)={\mathit{V}}_{q_{\mathrm{1}}}^{-\mathrm{1}}(z)。注意到\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{\mathit{V}}_{q_{\mathrm{1}}}(z)=\mathrm{1},所以\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{\mathit{V}}_q(z)=\mathrm{1}。由于\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{\mathit{F}}_{\mathrm{1}}(z,w)=(z-f{(w))}^q{(w-a)}^{q-\mathrm{1}}，则\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{\mathit{F}}_{\mathrm{2}}(z,w)=(z-f{(w))}^{q-\mathrm{1}}{(w-a)}^{q-\mathrm{1}}。根据引理2，{\mathit{F}}_{\mathrm{2}}(z,w)也具有性质DM，重复以上过程，可以得到我们的结论。证毕。

定理1 令{\mathit{P}}_{\mathrm{1}}(z,w),{\mathit{P}}_{\mathrm{2}}(z,w)\in {\mathbb{R}}^{l\times l}[z,w],且a\in \mathbb{R},\mathit{V}(w)\in G{l}_l(\mathbb{R}[z]),\mathit{F}(z,w)={\mathit{P}}_{\mathrm{1}}(z,w)\mathit{V}(w)

{\mathit{P}}_{\mathrm{2}}(z,w)。如果\mathit{F}(z,w)具有性质DM，则\mathit{F}(z,w)等价于矩阵

\mathit{P}(z,w)=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{I}}_{l-\mathrm{1}}& {\mathrm{0}}_{l-\mathrm{1,1}}\\ {\mathrm{0}}_{\mathrm{1},l-\mathrm{1}}& (z-f(w))(w-a)\end{array}\right)

证 对l进行归纳证明，当l=\mathrm{2}时，令\mathit{V}(w)=\left(\begin{array}{cc}{v}_{\mathrm{11}}(w)& v_{\mathrm{12}}(w)\\ v_{\mathrm{21}}(w)& v_{\mathrm{22}}(w)\end{array}\right)\in G{l}_{\mathrm{2}}(\mathbb{R}[z,w]),则

\mathit{F}(z,w)=\left(\begin{array}{cc}{v}_{\mathrm{11}}(w)& v_{\mathrm{12}}(w)(w-a)\\ v_{\mathrm{21}}(w)(z-f(w))& v_{\mathrm{22}}(w)(z-f(w))(w-a)\end{array}\right)

且\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}F(z,w)=(z-f(w))(w-a)。首先，w-a不是v_{\mathrm{11}}(w)的零点，否则\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{F}(z,w)和v_{\mathrm{11}}(w),v_{\mathrm{12}}(w)(w-a),v_{\mathrm{21}}(w)(z-f(w)),v_{\mathrm{22}}(w)(z-f(w))(w-a)有一个公共零点(f(a),a)，与\mathit{F}(z,w)具有性质DM矛盾。注意到\mathit{V}(w)\in G{l}_{\mathrm{2}}(\mathbb{R}[w])，v_{\mathrm{11}}(w),v_{\mathrm{12}}(w)没有公共零点。所以v_{\mathrm{11}}(w),v_{\mathrm{12}}(w)(w-a)没有公共零点，\left(\begin{array}{cc}{v}_{\mathrm{11}}(w),& v_{\mathrm{12}}(w)(w-a)\end{array}\right)是一个幺模行。根据Quillen-Suslin定理，可以构造一个幺模矩阵{\mathit{M}}_{\mathrm{1}}(z,w)\in G{l}_{\mathrm{2}}(\mathbb{R}[z,w])，使得\left(v_{\mathrm{11}}(w),v_{\mathrm{12}}(w)(w-a)\right){\mathit{M}}_{\mathrm{1}}(z,w)=(\begin{array}{cc}\mathrm{1}& \mathrm{0}\end{array})，即

\mathit{F}(z,w){\mathit{M}}_{\mathrm{1}}(z,w)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}& \mathrm{0}\\ p_{\mathrm{1}}(z,w)& p_{\mathrm{2}}(z,w)\end{array}\right)

那么存在{\mathit{M}}_{\mathrm{2}}(z,w)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}& \mathrm{0}\\ -p_{\mathrm{1}}(z,w)& \mathrm{1}\end{array}\right)，使得{\mathit{M}}_{\mathrm{2}}(z,w)\mathit{F}(z,w){\mathit{M}}_{\mathrm{1}}(z,w)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& p_{\mathrm{2}}(z,w)\end{array}\right)。

因为{\mathit{M}}_{\mathrm{1}}(z,w),{\mathit{M}}_{\mathrm{2}}(z,w)\in G{l}_{\mathrm{2}}(\mathbb{R}[z,w])，所以p_{\mathrm{2}}(z,w)=u\cdot \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{F}(z,w)=u\cdot (z-f(w))(w-a),

\mathrm{0}\neu\in \mathbb{R}。因此，\mathit{F}(z,w)等价于矩阵

\mathit{P}(z,w)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& (z-f(w))(w-a)\end{array}\right)

假设l-\mathrm{1}时结论是成立的，考虑l的情形。

令{\mathit{V}}_{\mathrm{1}}(w)=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{V}}_{\mathrm{11}}(w)& {\mathit{V}}_{\mathrm{12}}(w)\\ {\mathit{V}}_{\mathrm{21}}(w)& {\mathit{V}}_{\mathrm{22}}(w)\end{array}\right)\in G{l}_l(\mathbb{R}[w])，其中，{\mathit{V}}_{\mathrm{11}}(w)\in {\mathbb{R}}^{(l-\mathrm{1})\times (l-\mathrm{1})}[w]，{\mathit{V}}_{\mathrm{12}}(w)\in {\mathbb{R}}^{(l-\mathrm{1})\times \mathrm{1}}[w],{\mathit{V}}_{\mathrm{21}}(w)\in{\mathbb{R}}^{\mathrm{1}\times (l-\mathrm{1})}[w]，{\mathit{V}}_{\mathrm{22}}(w)\in {\mathbb{R}}^{\mathrm{1}\times \mathrm{1}}[w]。那么

\mathit{F}(z,w)=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{V}}_{\mathrm{11}}(w)& {\mathit{V}}_{\mathrm{12}}(w)(w-a)\\ {\mathit{V}}_{\mathrm{21}}(w)(z-f(w))& {\mathit{V}}_{\mathrm{22}}(w)(z-f(w))(w-a)\end{array}\right)

设\left(v_{\mathrm{11}}(w),\cdots ,v_{\mathrm{1},l-\mathrm{1}}(w),v_{\mathrm{1}l}(w)\right)是矩阵{\mathit{V}}_{\mathrm{1}}(w)的第一行。由{\mathit{V}}_{\mathrm{1}}(w)\in G{l}_l(\mathbb{R}[w]),得v_{\mathrm{11}}(w),\cdots ,

v_{\mathrm{1},l-\mathrm{1}}(w),v_{\mathrm{1}l}(w)没有共同零点。进一步可得，\left(v_{\mathrm{11}}(w),\cdots ,v_{\mathrm{1},l-\mathrm{1}}(w),v_{\mathrm{1}l}(w)(w-a)\right)是\mathbb{R}[w]上的幺模行（否则，假设v_{\mathrm{11}}(w),\cdots ,v_{\mathrm{1},l-\mathrm{1}}(w),v_{\mathrm{1}l}(w)(w-a)有一个共同零点，这个共同零点一定是w=a,那么\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{F}(z,w)和\mathit{F}(z,w)的所有(l-\mathrm{1})\times (l-\mathrm{1})级子式有一个共同零点(f(a),a)，与\mathit{F}(z,w)具有性质DM矛盾）。因此，根据Quillen-Suslin定理，可以构造一个幺模矩阵{\mathit{M}}_{\mathrm{1}}(z,w),{\mathit{M}}_{\mathrm{2}}(z,w)\in G{l}_l(\mathbb{R}[z,w])使得

\mathit{N}(z,w)\triangleq {\mathit{M}}_{\mathrm{2}}(z,w)\mathit{F}(z,w){\mathit{M}}_{\mathrm{1}}(z,w)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}& {\mathrm{0}}_{\mathrm{1},l-\mathrm{1}}\\ {\mathrm{0}}_{l-\mathrm{1,1}}& {\mathit{F}}_{\mathrm{2}}(z,w)\end{array}\right)

显然，\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{\mathit{F}}_{\mathrm{2}}(z,w)=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{N}(z,w)=u\cdot (z-f(w))(w-a),\mathrm{0}\ne u\in \mathbb{R}。由于F(z,w)具有性质DM，由推论2，知\mathit{N}(z,w)也具有性质DM，即\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{N}(z,w)与\mathit{N}(z,w)的所有(l-\mathrm{1})\times (l-\mathrm{1})级子式没有共同零点。由于\mathit{N}(z,w)的一个(l-\mathrm{1})\times (l-\mathrm{1})级子式或是{\mathit{F}}_{\mathrm{2}}(z,w)的一个(l-\mathrm{2})\times (l-\mathrm{2})级子式或是\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{\mathit{F}}_{\mathrm{2}}(z,w)或是0,则\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{\mathit{F}}_{\mathrm{2}}(z,w)与{\mathit{F}}_{\mathrm{2}}(z,w)的所有(l-\mathrm{2})\times (l-\mathrm{2})级子式没有共同零点。由归纳假设，存在{\mathit{N}}_{\mathrm{1}}(z,w),{\mathit{N}}_{\mathrm{2}}(z,w)\in G{l}_{l-\mathrm{1}}(\mathbb{R}[z,w])使得

{\mathit{N}}_{\mathrm{2}}(z,w){\mathit{F}}_{\mathrm{2}}(z,w){\mathit{N}}_{\mathrm{1}}(z,w)=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{I}}_{l-\mathrm{2}}& {\mathrm{0}}_{l-\mathrm{2,1}}\\ {\mathrm{0}}_{\mathrm{1},l-\mathrm{2}}& (z-f(w))(w-a)\end{array}\right)

所以

\begin{array}{l}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}& {\mathrm{0}}_{\mathrm{1},l-\mathrm{1}}\\ {\mathrm{0}}_{l-\mathrm{1,1}}& {\mathit{N}}_{\mathrm{2}}(z,w)\end{array}\right)\mathit{N}(z,w)\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}& {\mathrm{0}}_{\mathrm{1},l-\mathrm{1}}\\ {\mathrm{0}}_{l-\mathrm{1,1}}& {\mathit{N}}_{\mathrm{1}}(z,w)\end{array}\right)=\\ \left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}& {\mathrm{0}}_{\mathrm{1},l-\mathrm{1}}\\ {\mathrm{0}}_{l-\mathrm{1,1}}& {\mathit{N}}_{\mathrm{2}}(z,w){\mathit{F}}_{\mathrm{2}}(z,w){\mathit{N}}_{\mathrm{1}}(z,w)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{I}}_{l-\mathrm{1}}& {\mathrm{0}}_{l-\mathrm{1,1}}\\ {\mathrm{0}}_{\mathrm{1},l-\mathrm{1}}& (z-f(w))(w-a)\end{array}\right)\end{array}

因此，\mathit{N}(z,w)等价于矩阵

\mathit{P}(z,w)=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{I}}_{l-\mathrm{1}}& {\mathrm{0}}_{l-\mathrm{1,1}}\\ {\mathrm{0}}_{\mathrm{1},l-\mathrm{1}}& (z-f(w))(w-a)\end{array}\right)

结合\mathit{F}(z,w)等价于矩阵\mathit{N}(z,w)，由等价关系的传递性，得到\mathit{F}(z,w)等价于矩阵\mathit{P}(z,w)。证毕。

定理2 令\mathit{F}(z,w)\in {\mathbb{R}}^{l\times l}[z,w]且\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{F}(z,w)=(z-f(w))(w-a),其中a\in \mathbb{R}。则\mathit{F}(z,w)等价于矩阵

\mathit{P}(z,w)=\left(\begin{array}{cc}{I}_{l-\mathrm{1}}& {\mathrm{0}}_{l-\mathrm{1,1}}\\ {\mathrm{0}}_{\mathrm{1},l-\mathrm{1}}& (z-f(w))(w-a)\end{array}\right)

当且仅当\mathit{F}(z,w)具有性质DM。

证 充分性：由\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{F}(z,w)=(z-f(w))(w-a)且\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{F}(z,w)=(z-f(w))(w-a)及引理4，\mathit{F}(z,w)等价于{\mathit{P}}_{\mathrm{1}}(z,w)\mathit{V}(w){\mathit{P}}_{\mathrm{2}}(z,w),其中，\mathit{V}(w)\in G{l}_l(\mathbb{R}[z]),{\mathit{P}}_{\mathrm{1}}(z,w)=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{I}}_{l-\mathrm{1}}& {\mathrm{0}}_{l-\mathrm{1,1}}\\ {\mathrm{0}}_{\mathrm{1},l-\mathrm{1}}& z-f(w)\end{array}\right)，{\mathit{P}}_{\mathrm{2}}(z,w)=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{I}}_{l-\mathrm{1}}& {\mathrm{0}}_{l-\mathrm{1,1}}\\ {\mathrm{0}}_{\mathrm{1},l-\mathrm{1}}& w-a\end{array}\right)。根据定理1，结论成立。

必要性：由\mathit{P}(z,w)的矩阵形式知，\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{P}(z,w)与\mathit{P}(z,w)的所有(l-\mathrm{1})\times (l-\mathrm{1})级子式没有共同零点。由推论2，\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{F}(z,w)与\mathit{F}(z,w)的所有(l-\mathrm{1})\times (l-\mathrm{1})级子式也没有共同零点。因此\mathit{F}(z,w)具有性质DM。证毕。

推论3 令\mathit{F}(z,w)\in {\mathbb{R}}^{l\times l}[z,w]且\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{F}(z,w)=(w-f(z))(z-a)，其中a\in \mathbb{R}。则\mathit{F}(z,w)等价于矩阵

\mathit{P}(z,w)=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{I}}_{l-\mathrm{1}}& {\mathrm{0}}_{l-\mathrm{1,1}}\\ {\mathrm{0}}_{\mathrm{1},l-\mathrm{1}}& (w-f(z))(z-a)\end{array}\right)

当且仅当\mathit{F}(z,w)具有性质DM。

引理5 令\mathit{P}(z,w)\in {\mathbb{R}}^{l\times l}[z,w]且\mathit{P}(z,w)=\left(\begin{array}{cc}{I}_{l-\mathrm{1}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& g(z,w)\end{array}\right)，其中g(z,w)\in \mathbb{R}[z,w]。令\mathit{V}(z,w)\in

G{l}_l(\mathbb{R}[z,w])。如果\mathit{F}(z,w)={\mathit{P}}^s(z,w)\mathit{V}(z,w){\mathit{P}}^t(z,w)具有性质DM，那么F(z,w)等价于矩阵P^{s+t}(z,w),

其中，s和t是正整数。

证 令\mathit{V}(z,w)=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{V}}_{\mathrm{11}}(z,w)& {\mathit{V}}_{\mathrm{12}}(z,w)\\ {\mathit{V}}_{\mathrm{21}}(z,w)& {\mathit{V}}_{\mathrm{22}}(z,w)\end{array}\right),其中，{\mathit{V}}_{\mathrm{11}}(z,w)\in {\mathbb{R}}^{(l-\mathrm{1})\times (l-\mathrm{1})}[z,w],{\mathit{V}}_{\mathrm{12}}(z,w)\in {\mathbb{R}}^{(l-\mathrm{1})\times \mathrm{1}}[z,w],

{\mathit{V}}_{\mathrm{21}}(z,w)\in {\mathbb{R}}^{\mathrm{1}\times (l-\mathrm{1})}[z,w],{\mathit{V}}_{\mathrm{22}}(z,w)\in {\mathbb{R}}^{\mathrm{1}\times \mathrm{1}}[z,w]。则

\mathit{F}(z,w)={\mathit{P}}^s(z,w)\mathit{V}(z,w){\mathit{P}}^t(z,w)=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{V}}_{\mathrm{11}}(z,w)& {\mathit{V}}_{\mathrm{12}}(z,w)g^t(z,w)\\ {\mathit{V}}_{\mathrm{21}}(z,w)g^s(z,w)& {\mathit{V}}_{\mathrm{22}}(z,w)g^{s+t}(z,w)\end{array}\right)

所以\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{F}(z,w)=g^{s+t}(z,w)。

首先，证明\left({\mathit{V}}_{\mathrm{11}}(z,w),{\mathit{V}}_{\mathrm{12}}(z,w)g^t(z,w)\right)是一个ZLP矩阵。注意到\mathit{V}(z,w)\in G{l}_l(\mathbb{R}[z,w])，所以\left(V_{\mathrm{11}}(z,w),V_{\mathrm{12}}(z,w)\right)是一个ZLP矩阵。令c_{\mathrm{1}}(z,w),\cdots ,c_l(z,w)表示矩阵\left({\mathit{V}}_{\mathrm{11}}(z,w),{\mathit{V}}_{\mathrm{12}}(z,w)\right)的所有(l-\mathrm{1})\times(l-\mathrm{1})级子式，则矩阵\left({\mathit{V}}_{\mathrm{11}}(z,w),{\mathit{V}}_{\mathrm{12}}(z,w)g^t(z,w)\right)的所有(l-\mathrm{1})\times (l-\mathrm{1})级子式为c_{\mathrm{1}}(z,w),\cdots ,c_l(z,w)g^t(z,w)。下面用反证法证明c_{\mathrm{1}}(z,w),\cdots ,c_l(z,w)g^t(z,w)没有共同零点。假设c_{\mathrm{1}}(z,w),\cdots ,c_l(z,w)g^t(z,w)有一个共同零点{\alpha }_{\mathrm{0}}，注意到c_{\mathrm{1}}(z,w),\cdots ,c_l(z,w)没有公共零点，那么{\alpha }_{\mathrm{0}}一定是c_{\mathrm{1}}(z,w)和g^t(z,w)的公共零点。注意到\mathit{F}(z,w)的最后一行都有一个公因子g(z,w)，结合\mathit{F}(z,w)的所有(l-\mathrm{1})\times (l-\mathrm{1})级子式要么为c_{\mathrm{1}}(z,w),要么包含因子g(z,w)，以及\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{F}(z,w)包含因子g(z,w),那么\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{F}(z,w)和\mathit{F}(z,w)的所有(l-\mathrm{1})\times (l-\mathrm{1})级子式有一个共同零点{\alpha }_{\mathrm{0}}，与\mathit{F}(z,w)具有性质DM矛盾，那么\left(v_{\mathrm{11}}(w),v_{\mathrm{12}}(w)g^t(z,w)\right)是\mathbb{R}[z,w]上的幺模行。根据Quillen-Suslin定理，存在矩阵{\mathit{M}}_{\mathrm{1}}(z,w)\inG{l}_l(\mathbb{R}[z,w])使得\left({\mathit{V}}_{\mathrm{11}}(w),{\mathit{V}}_{\mathrm{12}}(w)g^s(z,w)\right){\mathit{M}}_{\mathrm{1}}(z,w)=(\begin{array}{cc}{\mathit{I}}_{l-\mathrm{1}}& {\mathrm{0}}_{l-\mathrm{1,1}}\end{array})。这样，

\mathit{F}(z,w){\mathit{M}}_{\mathrm{1}}(z,w)=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{I}}_{l-\mathrm{1}}& {\mathrm{0}}_{l-\mathrm{1,1}}\\ p_{\mathrm{1}}(z,w)& p_{\mathrm{2}}(z,w)\end{array}\right)

其中，p_{\mathrm{1}}(z,w)\in {\mathbb{R}}^{\mathrm{1}\times (l-\mathrm{1})}[z,w],p_{\mathrm{2}}(z,w)\in {\mathbb{R}}^{\mathrm{1}\times \mathrm{1}}[z,w]。从而存在{\mathit{M}}_{\mathrm{2}}(z,w)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}& \mathrm{0}\\ -p_{\mathrm{1}}(z,w)& \mathrm{1}\end{array}\right)，使得

{\mathit{M}}_{\mathrm{2}}(z,w)\mathit{F}(z,w){\mathit{M}}_{\mathrm{1}}(z,w)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& p_{\mathrm{2}}(z,w)\end{array}\right)

注意到{\mathit{M}}_{\mathrm{1}}(z,w),{\mathit{M}}_{\mathrm{2}}(z,w)\in G{l}_l(\mathbb{R}[z,w])，所以p_{\mathrm{2}}(z,w)=u\cdot \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{F}(z,w)=u(z-f(w))(w-a),\mathrm{0}\ne u\in \mathbb{R}。因此，\mathit{F}(z,w)等价于矩阵

{\mathit{P}}^{s+t}(z,w)=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{I}}_{l-\mathrm{1}}& {\mathrm{0}}_{l-\mathrm{1,1}}\\ {\mathrm{0}}_{\mathrm{1},l-\mathrm{1}}& g^{s+t}(z,w)\end{array}\right)

证毕。

定理3 令\mathit{F}(z,w)\in {\mathbb{R}}^{l\times l}[z,w]且\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{F}(z,w)=(z-f{(w))}^q{(w-a)}^q，其中a\in \mathbb{R}。如果\mathit{F}(z,w)具有性质DM，则\mathit{F}(z,w)等价于矩阵

\mathit{Q}(z,w)=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{I}}_{l-\mathrm{1}}& {\mathrm{0}}_{l-\mathrm{1,1}}\\ {\mathrm{0}}_{\mathrm{1},l-\mathrm{1}}& (z-f{(w))}^q{(w-a)}^q\end{array}\right)

证 由引理4，\mathit{F}(z,w)可以分解为

\mathit{V}(z,w){\mathit{P}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{V}}_{\mathrm{1}}(w){\mathit{P}}_{\mathrm{2}}(z,w){\mathit{U}}_{\mathrm{1}}(z)\cdots {\mathit{P}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{V}}_q(w){\mathit{P}}_{\mathrm{2}}(z,w){\mathit{U}}_q(z),

其中，

{\mathit{P}}_{\mathrm{1}}(z,w)=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{I}}_{l-\mathrm{1}}& {\mathrm{0}}_{l-\mathrm{1,1}}\\ {\mathrm{0}}_{\mathrm{1},l-\mathrm{1}}& z-f(w)\end{array}\right),{\mathit{P}}_{\mathrm{2}}(z,w)=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{I}}_{l-\mathrm{1}}& {\mathrm{0}}_{l-\mathrm{1,1}}\\ {\mathrm{0}}_{\mathrm{1},l-\mathrm{1}}& w-a\end{array}\right),

\mathit{V}(z,w)\in G{l}_l(\mathbb{R}[z,w]),{\mathit{V}}_i(w)\in G{l}_l(\mathbb{R}[w]),{\mathit{U}}_i(z)\in G{l}_l(\mathbb{R}[z]),i=\mathrm{1},\cdots ,q。根据定理1，我们有

{\mathit{P}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{V}}_i(w){\mathit{P}}_{\mathrm{2}}(z,w)={\mathit{M}}_{i\mathrm{1}}(z,w)\mathit{P}(z,w){\mathit{M}}_{i\mathrm{2}}(z,w)

其中，{\mathit{M}}_{i\mathrm{1}}(z,w),{\mathit{M}}_{i\mathrm{2}}(z,w)\in G{l}_l(\mathbb{R}[z,w]),i=\mathrm{1},\cdots ,q,\mathit{P}(z,w)=\left(\begin{array}{cc}{I}_{l-\mathrm{1}}& {\mathrm{0}}_{l-\mathrm{1,1}}\\ {\mathrm{0}}_{\mathrm{1},l-\mathrm{1}}& (z-f(w))(w-a)\end{array}\right)。那么

\mathit{F}(z,w)=\mathit{V}(z,w){\mathit{M}}_{\mathrm{11}}(z,w)\mathit{P}(z,w){\mathit{M}}_{\mathrm{12}}(z,w){\mathit{U}}_{\mathrm{1}}(z)\cdots {\mathit{M}}_{q\mathrm{1}}(z,w)\mathit{P}(z,w){\mathit{M}}_{q\mathrm{2}}(z,w){\mathit{U}}_q(z)\triangleq

{\mathit{L}}_{\mathrm{0}}(z,w)\mathit{P}(z,w){\mathit{L}}_{\mathrm{1}}(z,w)\mathit{P}(z,w){\mathit{L}}_{\mathrm{2}}(z,w)\cdots \mathit{P}(z,w){\mathit{L}}_q(z,w)

其中，{\mathit{L}}_{\mathrm{0}}(z,w)=\mathit{V}(z,w){\mathit{M}}_{\mathrm{11}}(z,w)，{\mathit{L}}_{\mathrm{1}}(z,w)={\mathit{M}}_{i\mathrm{2}}(z,w){\mathit{U}}_i(z,w){\mathit{M}}_{i+\mathrm{1,1}}(z,w)，{\mathit{L}}_q(z,w)={\mathit{M}}_{q\mathrm{2}}(z,w){\mathit{U}}_q(z)，i=\mathrm{1},\cdots ,q-\mathrm{1}。显然，{\mathit{L}}_i(z,w)\in G{l}_l(\mathbb{R}[z,w])，i=\mathrm{1},\cdots ,q。

由引理5，\mathit{P}(z,w){\mathit{L}}_{\mathrm{1}}(z,w)\mathit{P}(z,w)等价于{\mathit{P}}^{\mathrm{2}}(z,w),即存在{\mathit{N}}_{\mathrm{1}}(z,w),{\mathit{N}}_{\mathrm{2}}(z,w)\in G{l}_l(\mathbb{R}[z,w])使得\mathit{P}(z,w){\mathit{L}}_{\mathrm{1}}(z,w)\mathit{P}(z,w)={\mathit{N}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{P}}^{\mathrm{2}}(z,w){\mathit{N}}_{\mathrm{2}}(z,w)。因此，

\begin{array}{l}\mathit{F}(z,w)={\mathit{L}}_{\mathrm{0}}(z,w)\mathit{P}(z,w){\mathit{L}}_{\mathrm{1}}(z,w)\mathit{P}(z,w){\mathit{L}}_{\mathrm{2}}(z,w)\cdots \mathit{P}(z,w){\mathit{L}}_q(z,w)=\\ {\mathit{L}}_{\mathrm{0}}(z,w){\mathit{N}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{P}}^{\mathrm{2}}(z,w){\mathit{N}}_{\mathrm{2}}(z,w){\mathit{L}}_{\mathrm{2}}(z,w)\cdots \mathit{P}(z,w){\mathit{L}}_q(z,w)\end{array}

若q\ge \mathrm{3},令{\mathit{T}}_{\mathrm{2}}(z,w)={\mathit{N}}_{\mathrm{2}}(z,w){\mathit{L}}_{\mathrm{2}}(z,w)，则{\mathit{T}}_{\mathrm{2}}(z,w)\in G{l}_l(\mathbb{R}[z,w])。由引理5，{\mathit{P}}^{\mathrm{2}}(z,w){\mathit{T}}_{\mathrm{2}}(z,w)·\mathit{P}(z,w)等价于矩阵{\mathit{P}}^{\mathrm{3}}(z,w),即存在{\mathit{N}}_{\mathrm{3}}(z,w),{\mathit{N}}_{\mathrm{4}}(z,w)\in G{l}_l(\mathbb{R}[z,w])使得

{\mathit{P}}^{\mathrm{2}}(z,w){\mathit{T}}_{\mathrm{2}}(z,w)\mathit{P}(z,w)={\mathit{N}}_{\mathrm{3}}(z,w){\mathit{P}}^{\mathrm{3}}(z,w){\mathit{N}}_{\mathrm{4}}(z,w)

因此，

\begin{array}{l}\mathit{F}(z,w)={\mathit{L}}_{\mathrm{0}}(z,w){\mathit{N}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{P}}^{\mathrm{2}}(z,w){\mathit{N}}_{\mathrm{2}}(z,w){\mathit{L}}_{\mathrm{2}}(z,w)\cdots \mathit{P}(z,w){\mathit{L}}_q(z,w)=\\ {\mathit{L}}_{\mathrm{0}}(z,w){\mathit{N}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{P}}^{\mathrm{2}}(z,w){\mathit{T}}_{\mathrm{2}}(z,w)\mathit{P}(z,w){\mathit{L}}_{\mathrm{3}}(z,w)\cdots \mathit{P}(z,w){\mathit{L}}_q(z,w)=\\ {\mathit{L}}_{\mathrm{0}}(z,w){\mathit{N}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{N}}_{\mathrm{3}}(z,w){\mathit{P}}^{\mathrm{3}}(z,w){\mathit{N}}_{\mathrm{4}}(z,w)\cdots \mathit{P}(z,w){\mathit{L}}_q(z,w)\end{array}

重复以上过程，得到

\mathit{F}(z,w)={\mathit{L}}_{\mathrm{0}}(z,w){\mathit{N}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{N}}_{\mathrm{3}}(z,w)\cdots {\mathit{N}}_{\mathrm{2}q-\mathrm{1}}(z,w){\mathit{P}}^q(z,w){\mathit{N}}_{\mathrm{2}q}(z,w){\mathit{L}}_q(z,w)

显然，{\mathit{L}}_{\mathrm{0}}(z,w){\mathit{N}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{N}}_{\mathrm{3}}(z,w)\cdots {\mathit{N}}_{\mathrm{2}q-\mathrm{1}}(z,w),{\mathit{N}}_{\mathrm{2}q}(z,w){\mathit{L}}_q(z,w)\in G{l}_l(\mathbb{R}[z,w])。因此，可以得到\mathit{F}(z,w)等价于矩阵

\mathit{Q}(z,w)=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{I}}_{l-\mathrm{1}}& {\mathrm{0}}_{l-\mathrm{1,1}}\\ {\mathrm{0}}_{\mathrm{1},l-\mathrm{1}}& (z-f{(w))}^q{(w-a)}^q\end{array}\right)

证毕。

定理4 令\mathit{F}(z,w)\in {\mathbb{R}}^{l\times l}[z,w]且\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{F}(z,w)=(z-f{(w))}^q{(w-a)}^q，其中a\in \mathbb{R}。则\mathit{F}(z,w)等价于矩阵

\mathit{Q}(z,w)={\mathit{P}}^q(z,w)=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{I}}_{l-\mathrm{1}}& {\mathrm{0}}_{l-\mathrm{1,1}}\\ {\mathrm{0}}_{\mathrm{1},l-\mathrm{1}}& (z-f{(w))}^q{(w-a)}^q\end{array}\right)

当且仅当\mathit{F}(z,w)具有性质DM。

证 充分性：根据定理3，结论成立。

必要性：由\mathit{Q}(z,w)的矩阵表达形式知，\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{Q}(z,w)与\mathit{Q}(z,w)的所有(l-\mathrm{1})\times (l-\mathrm{1})级子式没有共同零点。由推论2，\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{F}(z,w)与\mathit{F}(z,w)的所有(l-\mathrm{1})\times (l-\mathrm{1})级子式没有共同零点。因此，\mathit{F}(z,w)具有性质DM。证毕。

推论4 令\mathit{F}(z,w)\in {\mathbb{R}}^{l\times l}[z,w]且\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{F}(z,w)=(w-f{(z))}^q{(z-a)}^q，其中a\in \mathbb{R}。则\mathit{F}(z,w)等价于矩阵

\mathit{Q}(z,w)=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{I}}_{l-\mathrm{1}}& {\mathrm{0}}_{l-\mathrm{1,1}}\\ {\mathrm{0}}_{\mathrm{1},l-\mathrm{1}}& (w-f{(z))}^q{(z-a)}^q\end{array}\right)

当且仅当\mathit{F}(z,w)具有性质DM。

注1 令\mathit{F}(z,w)\in {\mathbb{R}}^{l\times l}[z,w]且\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{F}(z,w)=(w-f{(z))}^q{(z-a)}^q，其中a\in \mathbb{R},q是一个正整数。定理4给了一个判别\mathit{F}(z,w)与其Smith型等价的充分必要条件。\mathit{F}(z,w)具有性质DM意味着\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{F}(z,w)与\mathit{F}(z,w)的所有(l-\mathrm{1})\times (l-\mathrm{1})级子式生成单位理想。我们知道一个理想是单位理想\mathbb{R}当且仅当该理想的既约Gröbner基是\left\{\mathrm{1}\right\}。因此，这个条件可以通过计算\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{F}(z,w)与\mathit{F}(z,w)的所有(l-\mathrm{1})\times (l-\mathrm{1})级子式所生成理想的既约Gröbner基进行检验。

3　 例 子

本节通过一个例子来说明我们的构造性方法。应用该方法可以直接得到矩阵等价变换过程中的幺模矩阵。

例 考虑一个在{\mathbb{R}}^{\mathrm{3}\times \mathrm{3}}[z,w]上的二元多项式矩阵

\mathit{F}(z,w)=\left(\begin{array}{ccc}{w}^{\mathrm{3}}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\\ w^{\mathrm{2}}{z}^{\mathrm{2}}+z^{\mathrm{2}}& w& \mathrm{2}wz-\mathrm{4}z\\ \mathrm{2}wz+\mathrm{2}{z}^{\mathrm{2}}& \mathrm{1}& {(w-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}\end{array}\right)

经计算，\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{F}(z,w)=(z-w^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}{(w-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}且\mathit{F}(z,w)具有性质DM。考虑

\mathit{F}(z,\mathrm{1})=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\\ \mathrm{2}{z}^{\mathrm{2}}& \mathrm{1}& -\mathrm{2}z\\ \mathrm{2}z+\mathrm{2}{z}^{\mathrm{2}}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\end{array}\right)

解方程：\mathit{F}(z,\mathrm{1}){\mathit{Y}}_{\mathrm{1}}(z)=\mathrm{0},得到{\mathit{Y}}_{\mathrm{1}}{(z)}^{\mathrm{T}}=(-\mathrm{1,2}{z}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}z,\mathrm{1})。将(-\mathrm{1,2}{z}^{\mathrm{2}}{+\mathrm{2}z,\mathrm{1})}^{\mathrm{T}}嵌入到一个幺模矩阵{\mathit{U}}_{\mathrm{21}}(z)\in {\mathbb{R}}^{\mathrm{3}\times \mathrm{3}}[z]使得

\mathit{F}(z,w){\mathit{U}}_{\mathrm{21}}(z)={\mathit{F}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{P}}_{\mathrm{2}}(z,w)

其中，

{\mathit{P}}_{\mathrm{2}}(z,w)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& w-\mathrm{1}\end{array}\right),{\mathit{U}}_{\mathrm{21}}(z,w)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& -\mathrm{1}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{2}{z}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}z\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right)

那么

\mathit{F}(z,w)={\mathit{F}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{P}}_{\mathrm{2}}(z,w){\mathit{U}}_{\mathrm{2}}(z,w)

这里

{\mathit{U}}_{\mathrm{2}}(z,w)={\mathit{U}}_{\mathrm{21}}^{-\mathrm{1}}(z,w)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& -\mathrm{2}{z}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}z\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right)

再考虑{\mathit{F}}_{\mathrm{1}}(z,w)，重复以上过程，有

{\mathit{F}}_{\mathrm{1}}(z,w)={\mathit{F}}_{\mathrm{2}}(z,w){\mathit{P}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{V}}_{\mathrm{2}}(w)

其中，

{\mathit{F}}_{\mathrm{2}}(z,w)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ -w& \mathrm{4}wz-\mathrm{4}z+\mathrm{2}w{z}^{\mathrm{2}}& z+wz+\mathrm{2}{w}^{\mathrm{2}}z+\mathrm{2}{w}^{\mathrm{3}}z+w^{\mathrm{2}}+\mathrm{5}{w}^{\mathrm{3}}+\mathrm{2}{w}^{\mathrm{4}}+\mathrm{2}{w}^{\mathrm{5}}\\ -\mathrm{1}& w^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}w+\mathrm{2}{z}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}z+\mathrm{1}& \mathrm{2}w+\mathrm{2}z+\mathrm{2}wz+\mathrm{2}{w}^{\mathrm{2}}z+\mathrm{4}{w}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{w}^{\mathrm{3}}+\mathrm{2}{w}^{\mathrm{4}}\end{array}\right)

{\mathit{V}}_{\mathrm{2}}(w)=\left(\begin{array}{ccc}{w}^{\mathrm{3}}(w-\mathrm{1})(\mathrm{2}{w}^{\mathrm{3}}+\mathrm{2}{w}^{\mathrm{2}}+\mathrm{5}w+\mathrm{1})& -\mathrm{1}& -w^{\mathrm{3}}(\mathrm{2}{w}^{\mathrm{3}}+\mathrm{2}{w}^{\mathrm{2}}+\mathrm{5}w+\mathrm{1})\\ w^{\mathrm{3}}& \mathrm{0}& -w^{\mathrm{2}}-w-\mathrm{1}\\ \mathrm{1}-w& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right)

{\mathit{P}}_{\mathrm{1}}(z,w)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& z-w^{\mathrm{2}}\end{array}\right)

因此，\mathit{F}(z,w)={\mathit{F}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{P}}_{\mathrm{2}}(z,w){\mathit{U}}_{\mathrm{2}}(z,w)={\mathit{F}}_{\mathrm{2}}(z,w){\mathit{P}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{V}}_{\mathrm{2}}(w){\mathit{P}}_{\mathrm{2}}(z,w){\mathit{U}}_{\mathrm{2}}(z,w)。

重复以上过程，得

\mathit{F}(z,w)={\mathit{F}}_{\mathrm{4}}(z,w){\mathit{P}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{V}}_{\mathrm{1}}(w){\mathit{P}}_{\mathrm{2}}(z,w){\mathit{U}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{P}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{V}}_{\mathrm{2}}(w){\mathit{P}}_{\mathrm{2}}(z,w){\mathit{U}}_{\mathrm{2}}(z,w)

其中，

{\mathit{F}}_{\mathrm{4}}(z,w)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ -w& \mathrm{4}wz-\mathrm{4}z+\mathrm{2}w{z}^{\mathrm{2}}& \mathrm{2}{w}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}w-\mathrm{1}\\ -\mathrm{1}& w^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}w+\mathrm{2}{z}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}z+\mathrm{1}& \mathrm{2}w+\mathrm{4}\end{array}\right)，

{\mathit{V}}_{\mathrm{1}}(w)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& -\mathrm{4}{w}^{\mathrm{3}}-\mathrm{8}{w}^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}w-\mathrm{10}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right),{\mathit{U}}_{\mathrm{1}}(z,w)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& -\mathrm{6}z-\mathrm{10}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right)

由于\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{\mathit{F}}_{\mathrm{4}}(z,w)=\mathrm{1},下面考虑{\mathit{P}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{V}}_{\mathrm{1}}(w){\mathit{P}}_{\mathrm{2}}(z,w)和{\mathit{P}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{V}}_{\mathrm{2}}(w){\mathit{P}}_{\mathrm{2}}(z,w)，经过计算可得

{\mathit{P}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{V}}_{\mathrm{1}}(w){\mathit{P}}_{\mathrm{2}}(z,w)=\mathit{P}(z,w){\mathit{M}}_{\mathrm{12}}(z,w)

其中，

\mathit{P}(z,w)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& (z-w^{\mathrm{2}})(w-\mathrm{1})\end{array}\right),{\mathit{M}}_{\mathrm{12}}(z,w)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& -(w-\mathrm{1})(\mathrm{4}{w}^{\mathrm{3}}+\mathrm{8}{w}^{\mathrm{2}}+\mathrm{8}w+\mathrm{10})\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right)

且

{\mathit{P}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{V}}_{\mathrm{2}}(w){\mathit{P}}_{\mathrm{2}}(z,w)=\mathit{P}(z,w){\mathit{M}}_{\mathrm{22}}(z,w)

{\mathit{M}}_{\mathrm{22}}(z,w)=\left(\begin{array}{ccc}{w}^{\mathrm{3}}(w-\mathrm{1})(\mathrm{2}{w}^{\mathrm{3}}+\mathrm{2}{w}^{\mathrm{2}}+\mathrm{5}w+\mathrm{1})& -\mathrm{1}& -w^{\mathrm{3}}(w-\mathrm{1})(\mathrm{2}{w}^{\mathrm{3}}+\mathrm{2}{w}^{\mathrm{2}}+\mathrm{5}w+\mathrm{1})\\ w^{\mathrm{3}}& \mathrm{0}& \mathrm{1}-w^{\mathrm{3}}\\ -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right)

则

\begin{array}{l}\mathit{F}(z,w)={\mathit{F}}_{\mathrm{4}}(z,w){\mathit{P}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{V}}_{\mathrm{1}}(w){\mathit{P}}_{\mathrm{2}}(z,w){\mathit{U}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{P}}_{\mathrm{1}}(z,w){\mathit{V}}_{\mathrm{2}}(w){\mathit{P}}_{\mathrm{2}}(z,w){\mathit{U}}_{\mathrm{2}}(z,w)=\\ {\mathit{F}}_{\mathrm{4}}(z,w)\mathit{P}(z,w){\mathit{M}}_{\mathrm{12}}(z,w){\mathit{U}}_{\mathrm{1}}(z,w)\mathit{P}(z,w){\mathit{M}}_{\mathrm{22}}(z,w){\mathit{U}}_{\mathrm{2}}(z,w)\end{array}

令{\mathit{L}}_{\mathrm{1}}(z,w)={\mathit{M}}_{\mathrm{12}}(z,w){\mathit{U}}_{\mathrm{1}}(z,w),{\mathit{L}}_{\mathrm{2}}(z,w)={\mathit{M}}_{\mathrm{22}}(z,w){\mathit{U}}_{\mathrm{2}}(z,w)，则

\mathit{F}(z,w)={\mathit{F}}_{\mathrm{4}}(z,w)\mathit{P}(z,w){\mathit{L}}_{\mathrm{1}}(z,w)\mathit{P}(z,w){\mathit{L}}_{\mathrm{2}}(z,w)

其中，

{\mathit{L}}_{\mathrm{1}}(z,w)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& -\mathrm{4}{w}^{\mathrm{4}}-\mathrm{4}{w}^{\mathrm{3}}-\mathrm{2}w-\mathrm{6}z\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right),{\mathit{L}}_{\mathrm{2}}(z,w)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{2}{w}^{\mathrm{7}}+\mathrm{3}{w}^{\mathrm{5}}-\mathrm{4}{w}^{\mathrm{4}}-w^{\mathrm{3}}& -\mathrm{1}& \mathrm{2}{z}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}z\\ w^{\mathrm{3}}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\\ -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)

令

\mathit{A}(z,w)=\mathit{P}(z,w){\mathit{L}}_{\mathrm{1}}(z,w)\mathit{P}(z,w)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& -(-w^{\mathrm{2}}+z)(w-\mathrm{1})(\mathrm{4}{w}^{\mathrm{4}}+\mathrm{4}{w}^{\mathrm{3}}+\mathrm{2}w+\mathrm{6}z)\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& (-w^{\mathrm{2}}{+z)}^{\mathrm{2}}{(w-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}\end{array}\right)

对\mathit{A}(z,w)进行初等变换可得\mathit{A}(z,w)=\mathit{Q}(z,w){\mathit{N}}_{\mathrm{2}}(z,w),其中

\mathit{Q}(z,w)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& (z-w^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}{(w-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}\end{array}\right),{\mathit{N}}_{\mathrm{2}}(z,w)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& -(-w^{\mathrm{2}}+z)(w-\mathrm{1})(\mathrm{4}{w}^{\mathrm{4}}+\mathrm{4}{w}^{\mathrm{3}}+\mathrm{2}w+\mathrm{6}z)\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right)

因此

\begin{array}{l}\mathit{F}(z,w)={\mathit{F}}_{\mathrm{4}}(z,w)\mathit{P}(z,w){\mathit{L}}_{\mathrm{1}}(z,w)\mathit{P}(z,w){\mathit{L}}_{\mathrm{2}}(z,w)=\\ {\mathit{F}}_{\mathrm{4}}(z,w)\mathit{Q}(z,w){\mathit{N}}_{\mathrm{2}}(z,w){\mathit{L}}_{\mathrm{2}}(z,w)={\mathit{T}}_{\mathrm{1}}(z,w)\mathit{Q}(z,w){\mathit{T}}_{\mathrm{2}}(z,w)\end{array}

其中，{\mathit{T}}_{\mathrm{1}}(z,w)={\mathit{F}}_{\mathrm{4}}(z,w),{\mathit{T}}_{\mathrm{2}}(z,w)={\mathit{N}}_{\mathrm{2}}(z,w){\mathit{L}}_{\mathrm{2}}(z,w)。经计算，\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{\mathit{T}}_{\mathrm{1}}(z,w)=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{\mathit{T}}_{\mathrm{2}}(z,w)=\mathrm{1}\mathrm{。}

因此，\mathit{F}(z,w)等价于矩阵

\mathit{Q}(z,w)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& (z-w^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}{(w-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}\end{array}\right)

4　 结 语

本文研究了多项式环\mathbb{R}[z,w]上的几类二元多项式矩阵等价问题，其中\mathbb{R}是实数域，得到了一些有意义的结果，并获得了几类二元多项式矩阵\mathit{F}(z,w)与其Smith型等价的判别条件。这些条件可以通过计算F(z,w)的行列式及其低一阶子式所生成的理想的既约Gröbner基进行检验。文中我们给出了一个例子对我们的方法进行说明，该分解方法可以在Singular系统中实现，这些都有利于工程中二维系统的简化。

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基金资助

国家自然科学基金(11871207)