END随机变量序列加权和的极限性质

The Limiting Properties of Weighed Sums for Extended Negatively Dependent Random Variables

摘要

研究END（extended negatively dependent）随机变量序列加权和的极限性质。利用Rosenthal型不等式，获得了END随机变量序列加权和的弱大数定律、L^p收敛性和完全收敛性成立的充分条件。推广了独立随机变量序列、NA（negatively associated） 随机变量序列和NOD(negatively orthant dependend) 随机变量序列的相关结果，推进了前人的研究工作。

Abstract

In the paper, we investigate the limiting properties of weighted sums for extended negatively dependent (END) random variables.By Rosenthal inequality, some sufficient conditions of the weak law of large numbers, the L^p convergence and complete convergence of weighted sums for END random variables are presented. The results in this article extend and improve the corresponding ones for independent random variables, NA（negatively associated） random variables and NOD(negatively orthant dependend) random variables，so the results in this article improve the corresponding results in previous papers.

关键词

END序列 / 加权和 /

L^p

收敛性 / 完全收敛性

Key words

END random variables / weighted sums /

L^p

convergence / complete convergence

0　 引 言

完全收敛性的概念由Hsu和Robbins^［1］提出：若对任意的\epsilon >\mathrm{0}都有成立，则称随机变量序列\{X_n,n\ge \mathrm{1}\}完全收敛于\theta，完全收敛性在数理统计中有着十分重要的作用。由Borel Cantelli引理可知，若\{X_n,n\ge \mathrm{1}\}完全收敛于\theta，则X_n\to \theta (n\to \mathrm{\infty }),\mathrm{a}.\mathrm{s}.，因此，完全收敛性是研究随机变量部分和几乎处处收敛的重要方法。

NOD（negatively orthant dependent）随机变量序列是由Ebrahimi 和 Ghosh^［2］首先提出的，其定义如下：

定义1 称随机变量序列\{X_n,n\ge \mathrm{1}\}是NOD序列，如果对任意n\ge \mathrm{1}，x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_n\in \mathrm{ℝ}，都有P(X_{\mathrm{1}}>x_{\mathrm{1}},X_{\mathrm{2}}>x_{\mathrm{2}},\cdots ,X_n>x_n)\le \prod _{i=\mathrm{1}}^{n}P(X_i>x_i)，

P(X_{\mathrm{1}}\le x_{\mathrm{1}},X_{\mathrm{2}}\le x_{\mathrm{2}},\cdots ,X_n\le x_n)\le \prod _{i=\mathrm{1}}^{n}P(X_i\le x_i)

成立。

Liu在文献［3］中首次提出了END（extended negatively dependent）随机变量序列，其定义如下：

定义2 称随机变量序列\{X_n,n\ge \mathrm{1}\}是END序列，如果存在常数M>0，对任意n\ge \mathrm{1}，x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_n\in \mathrm{ℝ}，

P(X_{\mathrm{1}}>x_{\mathrm{1}},X_{\mathrm{2}}>x_{\mathrm{2}},\cdots ,X_n>x_n)\le M\prod _{i=\mathrm{1}}^{n}P(X_i>x_i)

P(X_{\mathrm{1}}\le x_{\mathrm{1}},X_{\mathrm{2}}\le x_{\mathrm{2}},\cdots ,X_n\le x_n)\le M\prod _{i=\mathrm{1}}^{n}P(X_i\le x_i)

成立。称\{X_{ni},\mathrm{1}\le i\le n,n\ge \mathrm{1}\}是END随机变量序列，若对每一个n\ge \mathrm{1},\{X_{ni},\mathrm{1}\le i\le n\}都是END随机变量序列。

当M=1时，END序列就是NOD序列，Liu^［3］指出END序列既包含负相依（negatively associated，NA）序列又包含正相依序列，而Joag-Dev 和 Proschan^［4］指出NA序列是NOD序列，因此END随机变量序列极限理论比其他相依序列的应用性广。自2009年END序列的定义被引入后，引起众多学者的关注和研究，获得许多有意义的成果，如刘莉^［5］得到了END序列中偏差适度的充分必要条件，Chen等^［6］得到了END序列的一个强大数定理，并且讨论了其在风险管理和更新过程的应用，Shen^［7］得到了END序列概率不等式和矩不等式，Wu和Guan^［8］获得了END 序列部分和的强极限性质，Wang和Wang^［9］给出了END序列精确的大偏差结果，Wang等学者^［10~17］研究了END序列加权和的完全收敛性等等。

本文继续研究END随机变量序列加权和的极限性质。利用Rosenthal型不等式，得到了弱大数定律、L^p收敛性和完全收敛性成立的充分条件。推广了独立随机变量序列，NA随机变量序列和NOD随机变量序列的相应结果。

定义3 设\{X_n,n\ge \mathrm{1}\}是随机变量序列，X为一非负随机变量，常数C>\mathrm{0}。若对任意的x>\mathrm{0}，都有P(|X_n|>x)\le CP(X>x)，则称\{X_n,n\ge \mathrm{1}\}尾概率一致有界于X，并记为\{X_n,n\ge \mathrm{1}\}\prec X。

本文约定C总表示常数，它在不同的地方代表不同的数值，I（A）是事件A的示性函数。

1　 引理及主要结果

引理1^[7]（Rosenthal型不等式） 设p\ge \mathrm{2},\{X_n,n\ge \mathrm{1}\}是END随机变量序列，满足E{X}_n=\mathrm{0}和，则存在只依赖p的正常数C_p，使

E(|\sum _{i=\mathrm{1}}^n{X}_i{|}^p)\le C_p\{\sum _{i=\mathrm{1}}^{n}E|X_i{|}^p+{(\sum _{i=\mathrm{1}}^{n}E(X_i)}^{\mathrm{2}}{)}^{\frac{p}{\mathrm{2}}}\}（1）

引理2^[5] 设\{X_n,n\ge \mathrm{1}\}是END随机变量序列，f_{\mathrm{1}},f_{\mathrm{2}},\cdots ,f_n同为单调递增（递减）的函数列，则随机变量序列f_{\mathrm{1}}(X_{\mathrm{1}}),f_{\mathrm{2}}(X_{\mathrm{2}}),\cdots ,f_n(X_n)也是END随机变量序列。

引理3^[18] 设\{X_n,n\ge \mathrm{1}\}\prec X，则对任意a,b>\mathrm{0}，下列不等式成立

\begin{array}{l}E|X_n{|}^{a}I(|X_n|\le b)\le C_{\mathrm{1}}(E|X{|}^{a}I(|X|\le b)+b^{a}I(|X|>b))\\ E|X_n{|}^{a}I(|X_n|>b)\le C_{\mathrm{2}}E|X{|}^{a}I(|X|>b)\end{array}

其中C_{\mathrm{1}},C_{\mathrm{2}}为正常数。

本节先给出主要结论，证明过程在下一节给出。

定理1 设\{X_{ni},\mathrm{1}\le i\le n,n\ge \mathrm{1}\}是END随机变量序列，E{X}_{ni}=\mathrm{0},\{X_{ni},\mathrm{1}\le i\le n,n\ge \mathrm{1}\}\prec X。\{a_{ni},\mathrm{1}\le i\le n,n\ge \mathrm{1}\}是常数列满足\sum _{i=\mathrm{1}}^n|a_{ni}{|}^{\mathrm{2}}\le Cn。

1） 若，则对任意的\epsilon >\mathrm{0}，

\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}P(|\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a}_{ni}{X}_{ni}|>\epsilon n^{\mathrm{1}/p})=\mathrm{0}（2）

2）　若 ，则

\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}E|n^{-\mathrm{1}/p}\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a}_{ni}{X}_{ni}{|}^p=\mathrm{0}（3）

定理2 设\{X_{ni},\mathrm{1}\le i\le n,n\ge \mathrm{1}\}是END随机变量序列，E{X}_{ni}=\mathrm{0},\{X_{ni},\mathrm{1}\le i\le n,n\ge \mathrm{1}\}\prec X。\{a_{ni},\mathrm{1}\le i\le n,n\ge \mathrm{1}\}是常数列满足\sum _{i=\mathrm{1}}^n|a_{ni}{|}^{\mathrm{2}}\le Cn。若，其中(\mathrm{1}+\delta )>\mathrm{2}/p，则

\sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-\mathrm{1}}P(|\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a}_{ni}{X}_{ni}|>\epsilon n^{\mathrm{1}/p})=\mathrm{0},\forall \epsilon >\mathrm{0}（4）

注1 定理1和定理2给出了END随机变量序列加权和L^p收敛性和完全收敛性的充分条件，推进了文献［8］的研究成果。

注2 随机序列\{X_{ni},\mathrm{1}\le i\le n,n\ge \mathrm{1}\}\prec X比\{X_{ni},\mathrm{1}\le i\le n,n\ge \mathrm{1}\}同分布的条件弱。因此，当\{X_{ni},\mathrm{1}\le i\le n,n\ge \mathrm{1}\}为同分布时，本文结论仍成立。

2　 定理的证明

2.1 定理1的证明

1） 由a_{ni}={a_{ni}}^{+}-{a_{ni}}^{-}，不失一般性，不妨设a_{ni}>\mathrm{0}。令

由引理2知\{Y_{ni},\mathrm{1}\le i\le n,n\ge \mathrm{1}\}和\{Z_{ni},\mathrm{1}\le i\le n,n\ge \mathrm{1}\}都是END随机变量序列。因E{X}_{ni}=\mathrm{0}，则对任意给定\epsilon有

\begin{array}{l}P(|\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a}_{ni}{X}_{ni}|>\epsilon n^{\mathrm{1}/p})=\\ P(|\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a}_{ni}(Y_{ni}-E{Y}_{ni})+\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a}_{ni}(Z_{ni}-E{Z}_{ni})|>\epsilon n^{\mathrm{1}/p})\le \\ P(|\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a}_{ni}(Y_{ni}-E{Y}_{ni})|>\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\epsilon n^{\mathrm{1}/p})+P(|\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a}_{ni}(Z_{ni}-E{Z}_{ni})|>\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\epsilon n^{\mathrm{1}/p})≕I_{\mathrm{1}}+I_{\mathrm{2}}\end{array}

为证定理1的（2）式，只须证I_{\mathrm{1}}\to \mathrm{0},I_{\mathrm{2}}\to \mathrm{0}。根据Markov不等式、引理1和引理3可得

\begin{array}{l}{I}_{\mathrm{1}}=P(|\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a}_{ni}(Y_{ni}-E{Y}_{ni})|>\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\epsilon n^{\mathrm{1}/p})\le \\ C{n}^{-\mathrm{2}/p}E|\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a}_{ni}(Y_{ni}-E{Y}_{ni}){|}^{\mathrm{2}}\le C{n}^{-\mathrm{2}/p}\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a_{ni}}^{\mathrm{2}}E|Y_{ni}{|}^{\mathrm{2}}\le \\ C{n}^{-\mathrm{2}/p}\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a_{ni}}^{\mathrm{2}}E{X}_{ni}^{\mathrm{2}}I(|X_{ni}|\le n^{\mathrm{1}/p})+C\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a_{ni}}^{\mathrm{2}}P(|X_{ni}|>n^{\mathrm{1}/p})\le \\ C{n}^{-\mathrm{2}/p}\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a_{ni}}^{\mathrm{2}}[E{X}^{\mathrm{2}}I(|X|\le n^{\mathrm{1}/p})+n^{\mathrm{2}/p}P(|X|>n^{\mathrm{1}/p})]+C\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a_{ni}}^{\mathrm{2}}P(|X|>n^{\mathrm{1}/p})\le \\ C{n}^{-\mathrm{2}/p}\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a_{ni}}^{\mathrm{2}}E{X}^{\mathrm{2}}I(|X|\le n^{\mathrm{1}/p})+C\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a_{ni}}^{\mathrm{2}}P(|X|>n^{\mathrm{1}/p})=:I_{\mathrm{11}}+I_{\mathrm{12}}\end{array}

因为\sum _{i=\mathrm{1}}^n|a_{ni}{|}^{\mathrm{2}}\le Cn和\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{x}^{p}P(|X|>x)=\mathrm{0}，所以

I_{\mathrm{12}}=C\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a_{ni}}^{\mathrm{2}}P(|X|>n^{\mathrm{1}/p})\le CnP(|X|>n^{\mathrm{1}/p})\to \mathrm{0},n\to \mathrm{\infty }

对于I_{\mathrm{11}}，，则有

I_{\mathrm{11}}=C{n}^{-\mathrm{2}/p}\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a_{ni}}^{\mathrm{2}}E{X}^{\mathrm{2}}I(|X|\le n^{\mathrm{1}/p})\le

C{n}^{\mathrm{1}-\mathrm{2}/p}{\int }_{\mathrm{0}}^{n^{\mathrm{2}/p}}P(X^{\mathrm{2}}>t)\mathrm{d}t\le (\mathrm{令}{x}^{\mathrm{2}}=t)

C{n}^{\mathrm{1}-\mathrm{2}/p}{\int }_{\mathrm{0}}^{n^{\mathrm{1}/p}}\mathrm{2}xP(|X|>x)\mathrm{d}x\le (\mathrm{令}x=y{n}^{\mathrm{1}/p})

C{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{y}^{\mathrm{1}-p}(y{n}^{\mathrm{1}/p}{)}^{p}P(|X|>y{n}^{\mathrm{1}/p})\mathrm{d}y\to \mathrm{0},n\to \mathrm{\infty }

因此（2）式得证。

2）　对\forall t\ge \epsilon n,令

对任意给定的\epsilon >\mathrm{0}，

\begin{array}{l}E(|n^{-\mathrm{1}/p}\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a}_{ni}{X}_{ni}{|}^p)=\\ n^{-\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}P(|\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a}_{ni}{X}_{ni}|>t^{\mathrm{1}/p})\mathrm{d}t\le \\ \epsilon +n^{-\mathrm{1}}{\int }_{n\epsilon }^{\mathrm{\infty }}P(|\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a}_{ni}{X}_{ni}|>t^{\mathrm{1}/p})\mathrm{d}t\le \\ \epsilon +n^{-\mathrm{1}}{\int }_{n\epsilon }^{\mathrm{\infty }}P(|\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a}_{ni}{Y}_{ni}|>\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{t}^{\mathrm{1}/p})\mathrm{d}t+n^{-\mathrm{1}}{\int }_{n\epsilon }^{\mathrm{\infty }}P(|\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a}_{ni}{Z}_{ni}|>\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{t}^{\mathrm{1}/p})\mathrm{d}t≕\epsilon +I_{\mathrm{3}}+I_{\mathrm{4}}\end{array}

因此，为证（3）式，只须证

I_{\mathrm{3}}=n^{-\mathrm{1}}{\int }_{n\epsilon }^{\mathrm{\infty }}P(|\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a}_{ni}{Y}_{ni}|>\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{t}^{\mathrm{1}/p})\mathrm{d}t\to \mathrm{0},n\to \mathrm{\infty }

I_{\mathrm{4}}=n^{-\mathrm{1}}{\int }_{n\epsilon }^{\mathrm{\infty }}P(|\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a}_{ni}{Z}_{ni}|>\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{t}^{\mathrm{1}/p})\mathrm{d}t\to \mathrm{0},n\to \mathrm{\infty }

由Z_{ni}的定义和题设条件\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}E|X{|}^{p}I(|X|>x)=\mathrm{0}可得：

\begin{array}{l}{I}_{\mathrm{4}}=n^{-\mathrm{1}}{\int }_{n\epsilon }^{\mathrm{\infty }}P(|\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a}_{ni}{Z}_{ni}|>\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{t}^{\mathrm{1}/p})\mathrm{d}t\le \\ n^{-\mathrm{1}}{\int }_{n\epsilon }^{\mathrm{\infty }}P(\exists i,\mathrm{1}\le i\le n,|X_{ni}|>t^{\mathrm{1}/p})\mathrm{d}t=\\ n^{-\mathrm{1}}{\int }_{n\epsilon }^{\mathrm{\infty }}P(\underset{i=\mathrm{1}}{\overset{n}{\cup }}(|X_{ni}|>t^{\mathrm{1}/p}))\mathrm{d}t\le \\ n^{-\mathrm{1}}{\int }_{n\epsilon }^{\mathrm{\infty }}\sum _{i=\mathrm{1}}^{n}P(|X_{ni}|>t^{\mathrm{1}/p})\mathrm{d}t\le \\ C{n}^{-\mathrm{1}}{\int }_{n\epsilon }^{\mathrm{\infty }}\sum _{i=\mathrm{1}}^{n}P(|X|>t^{\mathrm{1}/p})\mathrm{d}t\le C{\int }_{n\epsilon }^{\mathrm{\infty }}P(|X|>t^{\mathrm{1}/p})\mathrm{d}t=CE|X{|}^{p}I(|X|>{(n\epsilon )}^{\mathrm{1}/p})\to \mathrm{0},n\to \mathrm{\infty }\end{array}

因\sum _{i=\mathrm{1}}^n|a_{ni}{|}^{\mathrm{2}}\le Cn，由\mathrm{H}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{l}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}不等式可得\sum _{i=\mathrm{1}}^n|a_{ni}|\le Cn，则

\begin{array}{l}\underset{t\ge n\epsilon }{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{t}^{-\mathrm{1}/p}|\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a}_{ni}E{Y}_{ni}|=\underset{t\ge n\epsilon }{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{t}^{-\mathrm{1}/p}|\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a}_{ni}E{Z}_{ni}|\le \\ \underset{t\ge n\epsilon }{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{t}^{-\mathrm{1}/p}\sum _{i=\mathrm{1}}^n|a_{ni}|E|Z_{ni}|\le \underset{t\ge n\epsilon }{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{t}^{-\mathrm{1}/p}\sum _{i=\mathrm{1}}^n|a_{ni}|E|X_{ni}|I(|X_{ni}|>t^{\mathrm{1}/p})\le \\ C{(n\epsilon )}^{-\mathrm{1}/p}nE|X|I(|X|>{(n\epsilon )}^{\mathrm{1}/p})\le CE|X{|}^{p}I(|X|>{(n\epsilon )}^{\mathrm{1}/p})\to \mathrm{0},n\to \mathrm{\infty }\end{array}

又因为

\begin{array}{l}{I}_{\mathrm{3}}=n^{-\mathrm{1}}{\int }_{n\epsilon }^{\mathrm{\infty }}P(|\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a}_{ni}{Y}_{ni}|>\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{t}^{\mathrm{1}/p})\mathrm{d}t\le \\ n^{-\mathrm{1}}{\int }_{n\epsilon }^{\mathrm{\infty }}P(|\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a}_{ni}(Y_{ni}-E{Y}_{ni})|>\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{t}^{\mathrm{1}/p})\mathrm{d}t+n^{-\mathrm{1}}{\int }_{n\epsilon }^{\mathrm{\infty }}P(|\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a}_{ni}E{Y}_{ni}|>\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{t}^{\mathrm{1}/p})\mathrm{d}t=\\ n^{-\mathrm{1}}{\int }_{n\epsilon }^{\mathrm{\infty }}P(|\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a}_{ni}(Y_{ni}-E{Y}_{ni})|>\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{t}^{\mathrm{1}/p})\mathrm{d}t\le \end{array}

\begin{array}{l}C{n}^{-\mathrm{1}}{\int }_{n\epsilon }^{\mathrm{\infty }}{t}^{-\mathrm{2}/p}\sum _{i=\mathrm{1}}^{n}E|a_{ni}(Y_{ni}-E{Y}_{ni}){|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}t\le \\ C{n}^{-\mathrm{1}}{\int }_{n\epsilon }^{\mathrm{\infty }}{t}^{-\mathrm{2}/p}\sum _{i=\mathrm{1}}^n|a_{ni}{|}^{\mathrm{2}}E{Y_{ni}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}t\le \\ C{n}^{-\mathrm{1}}{\int }_{n\epsilon }^{\mathrm{\infty }}{t}^{-\mathrm{2}/p}\sum _{i=\mathrm{1}}^n|a_{ni}{|}^{\mathrm{2}}[t^{\mathrm{2}/p}P(|X_{ni}|>t^{\mathrm{1}/p})+E|X_{ni}{|}^{\mathrm{2}}I(|X_{ni}|\le t^{\mathrm{1}/p})]\mathrm{d}t\le \\ C{\int }_{n\epsilon }^{\mathrm{\infty }}P(|X_{ni}|>t^{\mathrm{1}/p})\mathrm{d}t+C{n}^{-\mathrm{1}}{\int }_{n\epsilon }^{\mathrm{\infty }}{t}^{-\mathrm{2}/p}\sum _{i=\mathrm{1}}^n|a_{ni}{|}^{\mathrm{2}}[t^{\mathrm{2}/p}P(|X|>t^{\mathrm{1}/p})+E|X{|}^{\mathrm{2}}I(|X|\le t^{\mathrm{1}/p})]\mathrm{d}t\le \\ C{\int }_{n\epsilon }^{\mathrm{\infty }}P(|X_{ni}|>t^{\mathrm{1}/p})\mathrm{d}t+C{\int }_{n\epsilon }^{\mathrm{\infty }}{t}^{-\mathrm{2}/p}E|X{|}^{\mathrm{2}}I(|X|\le t^{\mathrm{1}/p})\mathrm{d}t\le \\ CE|X{|}^{p}I(|X|>{(n\epsilon )}^{\mathrm{1}/p})+C{\int }_{n\epsilon }^{\mathrm{\infty }}{t}^{-\mathrm{2}/p}E|X{|}^{\mathrm{2}}I(|X|\le t^{\mathrm{1}/p})\mathrm{d}t\end{array}

由题设 可得：

\begin{array}{l}C{\int }_{n\epsilon }^{\mathrm{\infty }}{t}^{-\mathrm{2}/p}E|X{|}^{\mathrm{2}}(|X|\le t^{\mathrm{1}/p})\mathrm{d}t=\\ C{\int }_{n\epsilon }^{\mathrm{\infty }}{t}^{-\mathrm{2}/p}\mathrm{d}t{\int }_{\mathrm{0}}^{t^{\mathrm{1}/p}}xP(|X|>x)\mathrm{d}x=\\ C{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}xP(|X|>x)\mathrm{d}x{\int }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(n\epsilon ,x^p)}^{\mathrm{\infty }}{t}^{-\mathrm{2}/p}\mathrm{d}t=\\ C{\int }_{\mathrm{0}}^{{(n\epsilon )}^{\mathrm{1}/p}}xP(|X|>x)\mathrm{d}x{\int }_{n\epsilon }^{\mathrm{\infty }}{t}^{-\mathrm{2}/p}\mathrm{d}t+C{\int }_{{(n\epsilon )}^{\mathrm{1}/p}}^{\mathrm{\infty }}xP(|X|>x)\mathrm{d}x{\int }_{x^p}^{\mathrm{\infty }}{t}^{-\mathrm{2}/p}\mathrm{d}t\le \\ C{\int }_{\mathrm{0}}^{{(n\epsilon )}^{\mathrm{1}/p}}{(n\epsilon )}^{\mathrm{1}-\mathrm{2}/p}xP(|X|>x)\mathrm{d}x+C{\int }_{{(n\epsilon )}^{\mathrm{1}/p}}^{\mathrm{\infty }}{x}^{p-\mathrm{1}}P(|X|>x)\mathrm{d}x\le (\mathrm{令}x=y{n}^{\mathrm{1}/p})\\ C{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}(n\epsilon )yP(|X|>y{(n\epsilon )}^{\mathrm{1}/p})\mathrm{d}y+CE|X{|}^p(|X|>{(n\epsilon )}^{\mathrm{1}/p})\le \\ C{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{y}^{\mathrm{1}-p}E|X{|}^{p}I(|X|>y{(n\epsilon )}^{\mathrm{1}/p})\mathrm{d}y+CE|X{|}^p(|X|>{(n\epsilon )}^{\mathrm{1}/p})\to \mathrm{0},n\to \mathrm{\infty }\end{array}

因此，当n\to \mathrm{\infty }时，I_{\mathrm{3}}\to \mathrm{0}。即（3）式得证，由上述证明知定理1得证。

2.2 定理2的证明

取x=n^{\mathrm{1}/(\mathrm{2}p)-\mathrm{1}/\mathrm{4}}，令

Z_{ni}=X_{ni}-Y_{ni}=(X_{ni}-x)I(X_{ni}\ge x)+(X_{ni}+x)I(X_{ni}\le -x)

由引理2知\{Y_{ni},\mathrm{1}\le i\le n,n\ge \mathrm{1}\}和\{Z_{ni},\mathrm{1}\le i\le n,n\ge \mathrm{1}\}都是END随机变量序列。因E{X}_{ni}=\mathrm{0}，则对任意给定\epsilon >\mathrm{0}，有

\begin{array}{l}\sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-\mathrm{1}}P(|\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a}_{ni}{X}_{ni}|>\epsilon n^{\mathrm{1}/p})=\\ \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-\mathrm{1}}P(|\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a}_{ni}(Y_{ni}-E{Y}_{ni})|>\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\epsilon n^{\mathrm{1}/p})+\sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-\mathrm{1}}P(|\sum _{i=\mathrm{1}}^n{a}_{ni}(Z_{ni}-E{Z}_{ni})|>\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\epsilon n^{\mathrm{1}/p})≕I_{\mathrm{5}}+I_{\mathrm{6}}\end{array}

为证（4）式，只须证。由Y_{ni}的定义知|Y_{ni}|\le x=n^{\mathrm{1}/(\mathrm{2}p)-\mathrm{1}/\mathrm{4}}。根据Markov不等式，引理1和\sum _{i=\mathrm{1}}^n|a_{ni}{|}^{\mathrm{2}}\le Cn可得

因\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{x}^{\mathrm{1}+\delta }P(|X{|}^p\ge x)=\mathrm{0}，(\mathrm{1}+\delta )>\mathrm{2}/p，则存在M>0使x>M，有

（5）

因Z_{ni}的定义知|Z_{ni}|\le |X_{ni}|I(|X_{ni}|\ge x)，再根据 Markov 不等式，引理1，引理3，式（5），x=n^{\mathrm{1}/(\mathrm{2}p)-\mathrm{1}/\mathrm{4}}以及(\mathrm{1}+\delta )>\mathrm{2}/p得

从而定理2证毕。

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基金资助

安徽省高校自然科学研究重点项目(KJ2019A0700)

国家级大学生创新创业训练计划项目(201910383001)