N=3的自旋链上二比特量子信息传输的调控

Control of Two-Qubit Quantum Information Transfer in N=3 Spin Chain

摘要

利用对角化哈密顿矩阵的方法，研究了中心对称、两端反向的弱磁场对N=3的自旋链上二比特量子信息完美传输的影响。此时，实现二比特量子信息完美传输的时间条件不仅仅取决于体系自身，还取决于该外加磁场。借助该磁场的影响，提出了对N=3的自旋链上二比特量子信息完美传输进行量子调控的理论方案：缩短信息完美传输的时间可通过增大近邻格点磁场的差值来实现，反之，延长信息完美传输的时间则可通过减小该差值实现。

Abstract

The influence of a particular weak magnetic field for the perfect transfer of two-qubit quantum information in the spin chain (N=3) was studied by the method of the diagonalized Hamiltonian matrix, where the magnetic field is symmetric on the center of the spin chain and its direction is opposite on each side. The time condition for perfect transfer of two-qubit quantum information is not only determined by the system itself, but also by the nature of the external magnetic field in this case. Based on the influence of the magnetic field, a theoretical scheme was proposed to control the perfect transfer of the two-qubit quantum information in the spin chain (N=3). In order to shorten the perfect transfer time, it can be realized by increasing the difference value of the magnetic field between the nearest lattice points; conversely, extending the perfect transfer time of information can be achieved by reducing the difference value.

关键词

量子信息传输 / 量子比特 / 自旋链 / 量子调控

Key words

quantum information transfer / quantum bit / spin chain / quantum control

0　 引 言

量子信息理论是量子计算机理论的重要分支，在量子信息处理中，有关量子信息在自旋链信道上传输的研究已经取得了相当大的进展^［1~4］。在诸多可以传输量子信息的物理信道中，自旋链信道被视为最具优势的信息传输信道，近年来在该体系中进行量子信息的传输已成为量子信息研究领域的热点问题之一^［4~8］。两端开放的一维自旋链网络可视作相互作用量子比特的组合，在仅考虑了自旋链各格点间近邻相互作用的经过修正的Heisenberg-XX模型上，任意多态量子信息的完美传输都可以仅由系统的动力学演化来实现。理论研究表明，无论链的长度是多少，其完美传输得以实现的时间条件均为固定取值，即一旦该条件得以满足，无论链有多长，总可以实现信息的完美传输^［6~12］。但其不足之处也同样明显，在量子计算机中真正进行量子信息传输时，往往要求能够人为控制信息传输的时间，随心所欲地进行量子信息的传输，而这正是自旋链上信息的完美传输所无法做到的^［9~17］。以此为背景，本文引入一种特定的弱磁场，研究这种弱磁场对N=3的自旋链上二比特量子信息传输的影响，并进一步借助该影响研究如何实现这种信息传输的量子调控，从而人为控制信息的完美传输。

1　 N=3的自旋链上二比特量子信息的完美传输

在讨论磁场对N=3的自旋链上二比特量子信息传输的影响之前，首先引入未加磁场时实现二比特量子信息完美传输的条件^［1~5］。考虑经修正的Heisenberg-XX模型自旋链，其哈密顿量^［1，2］为

H=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{N-\mathrm{1}}}{J}_{n,n+\mathrm{1}}^{}\left({\sigma }_n^{+}{\sigma }_{n+\mathrm{1}}^{-}+{\sigma }_n^{-}{\sigma }_{n+\mathrm{1}}^{+}\right)（1）

其中，J_{n,n+\mathrm{1}}^{}=\sqrt[]{n(N-n)}是两个（第n个和第n+1个）近邻格点间的耦合强度；泡利算符角标n和n+1意味着分别仅对第n和第n+1个格点处的自旋态作用。本文主要讨论格点数为3的自旋链，因而这里N=3，用格点数N表示自旋链的长度。

在进行二比特量子信息传输时，可在自旋链的一端制备二比特量子信息\alpha \left|\mathrm{00}\right.〉+\beta \left|\mathrm{11}\right.〉，这里{\left|\alpha \right|}^{\mathrm{2}}+{\left|\beta \right|}^{\mathrm{2}}=\mathrm{1}，即初始信息已归一化，此时整个自旋链体系的状态为

\left|\Psi \left(\mathrm{0}\right)\right.〉=\alpha \left|{\mathrm{0}}_{\mathrm{A}}{\mathrm{00}}_{\mathrm{B}}\right.〉+\beta \left|{\mathrm{1}}_{\mathrm{A}}{\mathrm{10}}_{\mathrm{B}}\right.〉（2）

其中，A和B分别表示自旋链的两个端点，A表示信息输入端，B表示信息传输的终端。

二比特量子信息的完美传输即为在链自身动力学演化的作用下，将初态信息\alpha \left|\mathrm{00}\right.〉+\beta \left|\mathrm{11}\right.〉经过一定的时间传输至链的另一端，在传输的过程中信息的保真度取最大值1，从而使得体系状态变为

\left|\Psi (t)\right.〉=\alpha \left|{\mathrm{0}}_{\mathrm{A}}{\mathrm{00}}_{\mathrm{B}}\right.〉+\beta \left|{\mathrm{0}}_{\mathrm{A}}{\mathrm{11}}_{\mathrm{B}}\right.〉（3）

由于\left|{\mathrm{0}}_{\mathrm{A}}{\mathrm{00}}_{\mathrm{B}}\right.〉是自旋链体系哈密顿量算符零本征值的本征态，在演化算符的作用下其叠加系数\alpha不会改变，因此在信息传输的过程中，确定保真度的演化概率幅仅仅取决于\left|{\mathrm{1}}_{\mathrm{A}}{\mathrm{10}}_{\mathrm{B}}\right.〉的演化。文献［5］给出了该概率幅的表达式

F\left(t\right)=\left.〈{\mathrm{0}}_{\mathrm{A}}{\mathrm{11}}_{\mathrm{B}}\right|\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{-\mathrm{i}\lambda Ht\}\left|{\mathrm{1}}_{\mathrm{A}}{\mathrm{10}}_{\mathrm{B}}\right.〉={\left[-\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\lambda t}{\mathrm{2}}\right]}^{\mathrm{2}}（4）

其中，t（s）表示实现信息完美传输的时间；\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-\mathrm{i}\lambda Ht)为态的演化算符；\lambda是为平衡量纲而引入的常量，可令\lambda =\mathrm{1}/\mathrm{\hslash }，\mathrm{\hslash }为普朗克常量，\mathrm{\hslash }=\mathrm{1.054}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{34}}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}。显然，要想实现二比特量子信息的完美传输，需满足传输的保真度为1，即

\left|F\left(t\right)\right|=\mathrm{1}（5）

从而可得出实现信息完美传输所满足的时间条件为

t=\frac{\mathrm{\pi }}{\lambda }（6）

由（6）式可知，实现信息完美传输的时间条件仅仅由常量\lambda决定，与自旋链的长度和格点数目无任何关系，表明：在未加磁场时，只需满足上述时间条件即可实现二比特量子信息在自旋链上的完美传输，而该条件仅由体系自身的动力学演化属性决定^［1~5］，因此任何人都无法根据需要调整信息完美传输的条件，从而对其进行人为地调控。

2　 弱磁场对N=3自旋链上二比特量子信息完美传输的影响

这里，将自旋链置于一个空间分布随格点逐差排列且不随时间变化的弱磁场中，设磁场方向沿着自旋z方向，则（1）式所示的体系哈密顿量增加了一项磁场作用项，变为

H=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{J}_{n,n+\mathrm{1}}^{}\left({\sigma }_n^{+}{\sigma }_{n+\mathrm{1}}^{-}+{\sigma }_n^{-}{\sigma }_{n+\mathrm{1}}^{+}\right)+{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{B}_n{\sigma }_n^z（7）

其中，B_n（T）（n=1，2，3）表示第n个格点处磁感应强度的数值。

具体而言，设定弱磁场方向沿z轴的同时，其大小沿格点逐差变化值为B/\mathrm{2}，其中，B（T）表示近邻格点磁场的差值，且各格点磁场取值的大小关于链中心对称，即自旋链各格点处的磁场值分别为

B_{\mathrm{1}}=-\frac{B}{\mathrm{2}},B_{\mathrm{2}}=\mathrm{0},B_{\mathrm{3}}=\frac{B}{\mathrm{2}}（8）

相应地，链的哈密顿量为

\begin{array}{l}H=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{J}_{n,n+\mathrm{1}}^{}\left({\sigma }_n^{+}{\sigma }_{n+\mathrm{1}}^{-}+{\sigma }_n^{-}{\sigma }_{n+\mathrm{1}}^{+}\right)+\\ \left(-\frac{B}{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{1}}^z+\mathrm{0}{\sigma }_{\mathrm{2}}^z+\frac{B}{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{3}}^z\right)\end{array}（9）

对于二比特量子信息传输而言，自旋链体系的哈密顿量被限制在其第三子空间中，该空间是由自旋链所有第二激发态作为基矢而张成的。第二激发态指的是自旋链上两个格点的自旋处于向上而其他格点的自旋处于向下的状态，显然对于N=3的自旋链而言，其第二激发态共有C_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{3}个，分别是\left|\mathrm{110}\right.〉、\left|\mathrm{101}\right.〉和\left|\mathrm{011}\right.〉，可以张成三维的第三子空间，该空间中，基矢分别可选为

\left|\mathrm{110}\right.〉=\left(\begin{array}{c}\mathrm{1}\\ \mathrm{0}\\ \mathrm{0}\end{array}\right),\hspace{1em}\left|\mathrm{101}\right.〉=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ \mathrm{1}\\ \mathrm{0}\end{array}\right),\hspace{1em}\left|\mathrm{011}\right.〉=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ \mathrm{0}\\ \mathrm{1}\end{array}\right)（10）

从而可得（9）式所示哈密顿量的矩阵形式为

\mathit{H}=\left(\begin{array}{ccc}-B& \frac{\sqrt[]{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}& \mathrm{0}\\ \frac{\sqrt[]{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \frac{\sqrt[]{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\\ \mathrm{0}& \frac{\sqrt[]{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}& B\end{array}\right)（11）

根据第一节的讨论，形如\alpha \left|\mathrm{00}\right.〉+\beta \left|\mathrm{11}\right.〉的量子信息，其传输的概率幅可由下式决定

\begin{array}{l}F\left(t\right)=\left.〈{\mathrm{0}}_{\mathrm{A}}{\mathrm{11}}_{\mathrm{B}}\right|\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{-\mathrm{i}\lambda \mathit{H}t\}\left|{\mathrm{1}}_{\mathrm{A}}{\mathrm{10}}_{\mathrm{B}}\right.〉=\\ \left.〈{\mathrm{0}}_{\mathrm{A}}{\mathrm{11}}_{\mathrm{B}}\right|\mathit{U}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{-\mathrm{i}\lambda {\mathit{H}}^{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}}t\}{\mathit{U}}^{†}\left|{\mathrm{1}}_{\mathrm{A}}{\mathrm{10}}_{\mathrm{B}}\right.〉\end{array}（12）

其中， U 为幺正变换矩阵，{\mathit{U}}^{†}为其厄米共轭矩阵，{\mathit{H}}^{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}}是 H 在其自身表象下的对角矩阵，对角元是其本征值，满足

\mathit{H}=\mathit{U}{\mathit{H}}^{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}}{\mathit{U}}^{†}（13）

从而得出信息传输的概率幅可以表示为

F\left(t\right)={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{a}_k^{\mathrm{*}}(\mathrm{1})a_k(\mathrm{3}){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\lambda E^{(k)}t}（14）

其中，a_k(i)是幺正变换矩阵\mathit{U}的第i(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3})行第k列的矩阵元，a_k^{\mathrm{*}}(i)是矩阵元a_k(i)的复共轭；E^{\left(k\right)}为哈密顿量 H 在第二激发态为基矢所张成的第三子空间中的第k个能级，亦即三维对角矩阵{\mathit{H}}^{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}}的第k列的非零矩阵元。（11）式所示哈密顿量算符\mathit{H}的本征值为

E_{\mathrm{1}}=-\sqrt[]{\mathrm{1}+B^{\mathrm{2}}},\hspace{1em}{E}_{\mathrm{2}}=\mathrm{0},\hspace{1em}{E}_{\mathrm{3}}=\sqrt[]{\mathrm{1}+B^{\mathrm{2}}}（15）

可以得到

{\mathit{H}}^{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}}=\left(\begin{array}{ccc}-\sqrt[]{\mathrm{1}+B^{\mathrm{2}}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \sqrt[]{\mathrm{1}+B^{\mathrm{2}}}\end{array}\right)（16）

这里需要注意的是，所加的磁场为弱磁场，表现为（8）式中各个格点处磁场数值极小，即B/\mathrm{2}或B为极小值，因而在进行进一步计算时，可近似采用无磁场时体系哈密顿量对角化的幺正变换矩阵：

\begin{array}{l}\mathit{U}=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}\right)& a_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}\right)& a_{\mathrm{3}}\left(\mathrm{1}\right)\\ a_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{2}\right)& a_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}\right)& a_{\mathrm{3}}\left(\mathrm{2}\right)\\ a_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{3}\right)& a_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{3}\right)& a_{\mathrm{3}}\left(\mathrm{3}\right)\end{array}\right)=\\ \left(\begin{array}{ccc}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}& -\frac{\sqrt[]{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\\ -\frac{\sqrt[]{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \frac{\sqrt[]{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}& \frac{\sqrt[]{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\end{array}\right)\end{array}（17）

联立（14）、（16）和（17）式可以得到，二比特量子信息传输的概率幅为

F\left(t\right)={\left[-\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\lambda t\sqrt[]{\mathrm{1}+B^{\mathrm{2}}}}{\mathrm{2}}\right]}^{\mathrm{2}}（18）

要实现此演化过程中二比特量子信息的完美传输，即使信息传输的保真度保持为1，需要使态演化的概率为1，即\left|F_N\left(t\right)\right|=\mathrm{1}，利用（18）式可以得出，在N=3的自旋链上实现二比特量子信息完美传输的时间条件为

t=\frac{\mathrm{\pi }}{\lambda \sqrt[]{\mathrm{1}+B^{\mathrm{2}}}}（19）

（19）式表明，磁场中自旋链上二比特量子信息完美传输的时间条件虽然仍与链的长度无关，但却并非仅仅取决于体系自身的物理属性，而是由系统和所设定的磁场共同决定。

3　 弱磁场对N=3自旋链上二比特量子信息传输调控的讨论

上面的研究表明，将长度为N=3的自旋链置于方向沿z轴（关于自旋链中心对称）、大小沿格点逐差变化为恒定值B/\mathrm{2}的弱磁场中，即各格点磁场数值如（8）式所示。若在其一端制备形如\alpha \left|\mathrm{00}\right.〉+\beta \left|\mathrm{11}\right.〉的二比特量子信息，将其传输至链的另一端时，体系状态演化的概率幅如（18）式所示，满足保真度为1的完美传输的时间条件即（19）式。

结合（18）和（19）式，并与无磁场时的传输概率幅（（5）式）和传输时间条件（（6）式）及其结论相比较可知，对于长度为N=3的自旋链而言，如果给其加上一个关于中心对称、大小沿格点逐差变化为恒定值B/\mathrm{2}的弱磁场，磁场对二比特量子信息的传输概率起着决定性的作用，实现完美传输的时间将不再仅仅取决于体系自身的物理属性，还由外磁场的性质所决定，该传输概率将随近邻格点磁场间隔B/\mathrm{2}的增大而减小，随近邻格点磁场差值B/\mathrm{2}的减小而增大。

利用这种特定弱磁场的影响，显然可以将传输二比特量子信息的自旋链置于这种磁场中，以（18）式和（19）式的理论计算结果为依据，通过改变近邻格点磁场差值B/\mathrm{2}的大小来进行信息完美传输的量子调控，根据需要来调整实现量子信息完美传输的时间：1） 为使二比特量子信息完美传输的时间缩短，可使B的数值增大，即增加近邻格点之间磁场差值B/\mathrm{2}的大小；2） 为使二比特量子信息完美传输的时间延长，可使B的数值减小，即降低近邻格点之间磁场差值B/\mathrm{2}的大小；3） 增大或降低磁场差值B/\mathrm{2}大小的量化数值，可由（19）式决定。

4　 结 语

实现量子信息完美传输的调控是量子信息理论需要解决的关键问题之一。本文首先引入了仅存在近邻格点相互作用的经过修正的Heisenberg-XX自旋链模型，回顾了在该模型上实现二比特量子信息完美传输的时间条件，该时间条件表明完美传输仅由体系自身所决定。将传输二比特量子信息的自旋链置于关于链中心对称、大小沿格点逐差变化为恒定值B/\mathrm{2}的弱磁场中，讨论这种磁场对长度为N=3自旋链上二比特量子信息完美传输的影响；并以此为基础，研究得出可以借助近邻格点间隔恒定且关于中心对称的弱磁场，实现N=3的自旋链上二比特量子信息完美传输的量子调控。

参考文献

[1] BOSE S. Quantum communication through an unmodulated spin chain ［J］. Physical Review Letters， 2003， 91（20）： 207901-1-207901-4. DOI：10.1103/PhysRevLett.91.207901 .

[2] CHRISTANDL M， DATTA N， EKERT A， et al. Perfect state transfer in quantum spin networks ［J］. Physical Review Letters， 2004， 92（18）： 187902-1-187902-4. DOI： 10.1103/PhysRevLett.92.187902 .

[3] BENJAMIN S C， BOSE S. Quantum computing with an always-on Heisenberg interaction ［J］. Physical Review Letters， 2003， 90（24）： 247901-1-247901-4. DOI： 10.1103/PhysRevLett.90.247901 .

[4] CHRISTANDL M， DATTA N， DORLAS T C，et al. Perfect transfer of arbitrary states in quantum spin networks ［J］. Physical Review A， 2005， 71（3）： 032312-1-032312-11. DOI：10.1103/PhysRevA.71.032312 .

[5] CHEN J L， WANG Q L. Perfect transfer of entangled states on spin chain ［J］. International Journal of Theoretical Physics，2007，46（3）：614-624.

[6] AJOY A， CAPPELLARO P. Mixed-state quantum transport in correlated spin networks ［J］. Physical Review A， 2012， 85（4）： 042305-1-042305-10.

[7] HUANG Y C， MOORE J E. Excited-state entanglement and thermal mutual information in random spin chains ［J］. Physical Review B， 2014， 90（22）： 220202-1-220202-5. DOI： 10.1103/PhysRevB.90.220202 .

[8] RONKE R， SPILLER T P， DAMID I. Effect of perturbations on information transfer in spin chains ［J］. Physical Review A， 2011， 83（1）： 012325-1-012325-11. DOI： 10.1103/PhysRevA.83.012325 .

[9] RAFIEE M， LUPO C， MANCINI S. Noise to lubricate qubit transfer in a spin network ［J］. Physical Review A， 2013， 88（3）： 032325-1-032325-6. DOI： 10.1103/PhysRevA.88.032325 .

[10] CAI Y， FENG J L， WANG H L， et al. Quantum-network generation based on four-wave mixing ［J］. Physical Review A， 2015， 91（1）： 013843-1-013843-7. DOI： 10.1103/PhysRevA.91.013843 .

[11] LI X， MA Y， HAN J， et al. Perfect quantum state transfer in a superconducting qubit chain with parametrically tunable couplings ［J］. Physical Review Applied， 2018， 10（5）： 054009-1-054009-11. DOI： 10.1103/PhysRevApplied.10.054009 .

[12] CHRISTANDL M， VINET L， ZHEDANOV A. Analytic next-to-nearest-neighbor XX models with perfect state transfer and fractional revival ［J］. Physical Review A， 2017， 96（3）： 032335-1-032335-10. DOI： 10.1103/PhysRevA.96.032335 .

[13] ZHANG C L， LIU W W. Generation of W state by combining adiabatic passage and quantum Zeno techniques ［J］. Indian Journal of Physics， 2019， 93（1）： 67-73. DOI： 10.1007/s12648-018-1256-7 .

[14] FANGLI L， REX L， PARAJ T， et al. Confined quasiparticle dynamics in long-range interacting quantum spin chains ［J］. Physical Review Letters，2019， 122（15）： 150601-1-150601-4. DOI： 10.1103/PhysRevLett.122.150601 .

[15] BALAZS P. Algebraic construction of current operators in integrable spin chains ［J］. Physical Review Letters， 2020， 125（7）： 070602-1-070602-4. DOI： 10.1103/PhysRevLett.125.070602 .

[16] LAURENS V， MAARTEN V D， HANS P B， et al. Quasiparticles in quantum spin chains with long-range interactions ［J］. Physical Review Letters，2020，121（9）： 090603-1-090603-4.DOI：10.1103/PhysRevLett.121.090603 .

[17] GABRIEL F， FLAVIA B R， REINHOLD E， et al. Spin chain network construction of chiral spin liquids ［J］. Physical Review Letters， 2019， 123（13）： 137202-1-137202-4. DOI： 10.1103/PhysRevLett.123.137202 .

基金资助

山西省高等学校教学改革创新项目(J2019169)

山西省教育科学“十三五”规划课题(GH-17062)

忻州师范学院院级教改课题

(JGZD201602)