传染病垂直传染的传播动力学分析：以COVID⁃19为例

Transmission Dynamics of Vertical Infection of Infectious Diseases Based on COVID⁃19

摘要

为准确全面地分析新型冠状病毒肺炎（corona virus disease 2019，COVID-19）的传播特性和传播动力学行为，揭示病毒传播的内在规律，本文基于其传播特性，利用传染病动力学建模理论，提出了一类考虑潜在垂直传染风险及潜伏者感染性的SEIR传播动力学模型，给出了在垂直传染风险和潜伏期传染性的影响下COVID-19的基本再生数表达式，推导出垂直传染率和基本再生数线性正相关，潜伏者的转变率对基本再生数的影响比垂直传染率要大。通过构造Lyapunov函数和构造迭代序列的方法，分析了模型的全局稳定性，为COVID-19的防控以及类似传染病的传播研究与防控提供一定的理论依据。

Abstract

In order to analyze propagation characteristics and propagation dynamics of COVID⁃19 (corona virus disease 2019) accurately and comprehensively, and reveal the internal law of virus transmission， a SEIR propagation dynamics model considering vertical infection risk and latent infection is proposed. Based on its propagation characteristics and the theory of dynamics modeling of infectious diseases， we derived the basic reproduction number of disease related to the vertical infection rate and Latent infectivity. The basic reproduction number is positively linear with the vertical infection rate. The conversion rate of incubation has greater influence on the basic regeneration number than the vertical infection rate. By constructing Lyapunov function and iterative sequence, the global stability of the model is analyzed, which can provide a theoretical basis for the prevention and control of new coronavirus pneumonia and the research and prevention of similar infectious diseases.

Graphical abstract

关键词

传播动力学 / 新型冠状病毒肺炎 / 基本再生数 / 稳定性分析

Key words

epidemic dynamics / COVID⁃19 (corona virus disease 2019) / basic reproduction number / stability analysis

0　 引 言

传染病的防控关系到国计民生，对传染病的流行规律进行定性分析是疫情防控的重要依据^［1~4］。传染病动力学就是根据疾病发展的情况，建立反映其变化规律的数学模型，并通过传播动力学行为分析疾病的发展过程、产生的原因，为疾病的防控提供重要理论依据的方法。SIR模型^［4］、SEIR模型^［5］是研究可以获得自然免疫或者治愈后不再复发的传染病动力学模型的主要模型，其主要思想为将人群按照传染病传播过程中个体的患病状态进行划分，根据传染病传播机制建模分析单位时间内各状态的变化规律和动力学行为。

新型冠状病毒肺炎（corona virus disease 2019，COVID-19）传播以来，很多流行病学专家针对其传播特性和确诊病例数对其进行预测，为有效防控COVID-19传播和制定相应政策提供了有价值的参考^［6~9］。对于COVID-19，各个年龄段的人都可能被感染，目前确诊的案例中被感染的主要是成年人、老年人和体弱多病的人，他们由于自身免疫力较弱为易感人群。文献［10］揭示了COVID-19可感染婴儿。2020年2月2日，《楚天都市报》报道，出生仅30小时的男婴确诊COVID-19，男婴的母亲为确诊的新型冠状病毒携带者。现有资料显示新生儿并不能豁免感染，防控母婴垂直传播相当重要。新型冠状病毒是一种全新的病毒，对其认识还在不断地深化。因此，对垂直传染风险的COVID-19模型的传播特性和传播动力学行为进行分析，有利于早发现、早预防的防控措施的执行。现有的关于COVID-19模型主要基于SEIR、SIR传染病模型及其变形，在大多建模研究中没有考虑可能潜在的母婴垂直传染的风险以及潜伏期无症状患者的传染性。对于有症状的染病者，可以通过染病者的症状，如咳嗽、发烧和呼吸困难等进行排查。但是，处于潜伏期的无症状患者由于他们的无症状性，进行疫情防控比较困难。

本文基于COVID-19可能潜在的母婴垂直传染风险和潜伏期个体的传染性，从流行病学理论分析的角度，建立SEIR的传染病动力学模型，通过对基本再生数和模型稳定性的分析，分析COVID-19在垂直传染影响下的传播动力学行为和规律，为COVID-19的防控提供一定的参考。

1　 基于垂直传染的SEIR传染病模型

1.1　模型建立

根据流行病学理论分析的建模思想及COVID-19的传播特性，单位时间内将人群分为以下几类：易感者（S（t））、潜伏者（E（t））、感染者（I（t））和免疫者（R（t））。潜伏者虽然没有表现出症状，但是与易感者接触后仍然具有传染性。因此，传统的SEIR模型在描述COVID-19的传播特性时并不合理。因此，本文考虑单位时间内，易感个体与潜伏或感染的个体接触后均以一定的概率被感染，被感染的个体由于传染病的潜伏期转变为潜伏者，潜伏期过后，潜伏者转化为感染者，易感者经过治疗，被治愈后获得免疫。设人群总人口密度为N（t），满足N（t）=S（t）+E（t）+I（t）+R（t）。本文主要参数的意义如下：

• b，d分别表示个体的自然出生率和死亡率的正常数，这里不考虑因病死亡。

• 参数β为病毒的传播率，γ为潜伏者转化为染病者的转变率，μ为染病者转化成免疫者的恢复率。

• 参数p为病毒垂直传染的可能性（概率）。

单位时间内模型的主要传播要素和过程包括：

1）　出生和死亡

本文模型考虑个体的自然出生和死亡。出生过程主要包括：健康个体（易感者和免疫者）以概率b产生新的健康个体（易感状态的新生儿）；假设COVID-19的垂直传染率为p。那么，潜伏者和染病者以（1-p）b的概率生成健康的新个体（易感状态的新生儿），以pb概率产生垂直传染的可能，产生带病毒的处于潜伏状态的新生儿。死亡的过程，本文仅考虑个体的自然死亡率，个体以概率d死亡。本文不考虑因病死亡，由于COVID-19是可治愈的，相对于人群的自然死亡率来说，做忽略因病死亡的假设。

2） S\to \mathrm{E}\to \mathrm{I}\to \mathrm{R}过程

单位时间内，易感个体与潜伏或感染的个体接触后均可能被感染，以感染率β被感染，变成潜伏者，潜伏者经过潜伏期以转变率γ转变为染病者（有症状），有症状的染病者经过治疗，以恢复率μ被治愈获得免疫。

根据上述传播过程和机制，建立带有垂直传染的SEIR传染病模型如下

\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{d}t}=bN(t)-(pb+\beta S(t))(E(t)+I(t))-dS(t)\\ \frac{\mathrm{d}E(t)}{\mathrm{d}t}=(pb+\beta S(t))(E(t)+I(t))-dE(t)-\gamma E(t)\\ \frac{\mathrm{d}I(t)}{\mathrm{d}t}=\gamma E(t)-dI(t)-\mu I(t)\\ \frac{\mathrm{d}R(t)}{\mathrm{d}t}=\mu I(t)-dR(t)\end{array}\right.（1）

由N（t）=S(t)+E(t)+I(t)+R(t)及模型（1）可得：

\frac{\mathrm{d}N(t)}{\mathrm{d}t}=bN(t)-dN(t)（2）

很显然，当b<d时，\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}N(t)=\mathrm{0},总人口趋于消亡，没有实际意义。因此，考虑b≥d的情况，不妨设b=d，满足\frac{\mathrm{d}N(t)}{\mathrm{d}t}=\mathrm{0}，则在一定的时间内，满足\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}N(t)=N^{*}，其中N^{*}为常数，此时N^{*}=S(t)+E(t)+I(t)+R(t)。

为了讨论b=d时模型（1）的动力学行为，根据上面的分析及N^{*}=S(t)+E(t)+I(t)+R(t)得到如下动力学模型

\left\{\begin{array}{l}\genfrac{}{}{0pt}{}{\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{d}t}=b{N}^{*}-(pb+\beta S(t))(E(t)+I(t))-dS(t)}{\frac{\mathrm{d}E(t)}{\mathrm{d}t}=(pb+\beta S(t))(E(t)+I(t))-(d+\gamma )E(t)}\\ \frac{\mathrm{d}I(t)}{\mathrm{d}t}=\gamma E(t)-dI(t)-\mu I(t)\\ \frac{\mathrm{d}R(t)}{\mathrm{d}t}=\mu I(t)-dR(t)\end{array}\right.（3）

其中，模型的初始条件满足（S(\mathrm{0})，E(\mathrm{0})，I(\mathrm{0})，R(\mathrm{0}))\in {\mathrm{ℝ}}_{\mathrm{4}}^{+}且S(\mathrm{0})+E(\mathrm{0})+I(\mathrm{0})+R(\mathrm{0})=N^{*}。

1.2　准备工作

主要介绍本文主要应用的引理和模型的正定性与有界性的证明。

引理 1 (第二比较定理) 对于一阶微分方程问题

\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x,y)\\ y(x_{\mathrm{0}})=y_{\mathrm{0}}\end{array}\right.(E{}_{\mathrm{1}}）

\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=F(x,y)\\ y(x_{\mathrm{0}})=y_{\mathrm{0}}\end{array}\right.(E{}_{\mathrm{2}}）

其中f和F均在G⊆\mathrm{ℝ}×\mathrm{ℝ}内连续，对y满足局部Lipschitz条件，（x_{\mathrm{0}},y_{\mathrm{0}}）∈G，并设{\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}，{\mathrm{E}}_{\mathrm{2}}的解均在闭区间［a，b］上存在，分别记作y=y(x)与y=Y（x），x∈［a，b］。若f(x,y)\le F(x,y)成立，∀x∈G，则y（x）≤Y（x），x∈［x_{\mathrm{0}},b］；y（x）≥Y（x），x∈［a,x_{\mathrm{0}}］成立。

引理 2^［11］ 如果w（t）是系统\dot{X}=TX，X（0）=x_{\mathrm{0}}的一个Lyapunov函数，满足x（n）是系统的解，对任意的n\ge \mathrm{0}存在一个常数c使得n\to \mathrm{\infty }时，x(n)\to M\bigcap W^{-\mathrm{1}}(c)，其中，M是G=\{\left.x\right|W^{\text{'}}(t)=\mathrm{0}\}的最大不变集，W^{-\mathrm{1}}(c)=\{\left.x\right|W(x)=c\}。

引理3^［12］ 当t>\mathrm{0}，x(\mathrm{0})>\mathrm{0}时，如果f>\mathrm{0}，g>\mathrm{0}且满足\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}\mathrm{t}}\ge f-gx(t)，则有\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}x(t)≥\frac{f}{g}。如果\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}\le f-gx(t)，则有\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x(t)\le \frac{f}{g}。

引理4^［13］ 设X（t）是［m，\mathrm{\infty }）上的有界可微函数，则存在序列f_n\to \mathrm{\infty }，g_n\to \mathrm{\infty }，使得对所有的n\to \mathrm{\infty }满足：1）X^{\text{'}}(f_n)\to \mathrm{0}，X(f_n)\to X^{\mathrm{\infty }}其中\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}X(f_n)=X^{\mathrm{\infty }}；2） X^{\text{'}}(g_n)\to \mathrm{0}，X^{\text{'}}(g_n)\to X_{\mathrm{\infty }}，其中\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}X(g_n)=X_{\mathrm{\infty }}。

模型（1）的解存在唯一性及连续性显然满足。模型的生物意义要求模型（1）的解必须是正定及有界的。根据引理1可证明模型（1）解的正定性及有界性，即命题1成立。

命题1 对所有t>\mathrm{0}，模型（3）所有满足初始条件的解（S(t),E(t),I(t),R(t)）都满足\mathrm{0}\le S(t)，E(t),I(t),R(t)\le N^{\mathit{*}}。

证 模型（3）的初始解满足（S(\mathrm{0})，E(\mathrm{0})，I(\mathrm{0}),R(\mathrm{0})）\in R_{\mathrm{4}}^{+}，S(\mathrm{0})+E(\mathrm{0})+I(\mathrm{0})+R(\mathrm{0})=N^{*}。首先，证明对任意的t>0，E(t)\ge \mathrm{0}成立。如果不成立，因为E（0）≥0，则至少存在一点t使得E（t）=0。那么，必存在t_{\mathrm{0}}\ge \mathrm{0}使得

根据t_{\mathrm{0}}的定义得，E(t_{\mathrm{0}})=\mathrm{0}，，且当\mathrm{0}\le t\le t_{\mathrm{0}}时，E(t)\ge \mathrm{0}成立。因此，根据模型（3）的第三个方程可得，当t\in [\mathrm{0},t_{\mathrm{0}}],以下方程成立

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}I(t)}{\mathrm{d}t}=\gamma E(t)-dI(t)-\mu I(t)\ge \\ -(d+\mu )I(t),t\in [\mathrm{0},t_{\mathrm{0}}]\end{array}

由比较法则可知，I(t)\ge I(\mathrm{0}){\mathrm{e}}^{-\left(d+\mu \right)t}\ge \mathrm{0}，t\in [\mathrm{0},t_{\mathrm{0}}]。根据模型（3）的第四个方程得t\in [\mathrm{0},t_{\mathrm{0}}]

\frac{\mathrm{d}R(t)}{\mathrm{d}t}=\mu I(t)-dR(t)\ge -dR(t),t\in [\mathrm{0},t_{\mathrm{0}}]

由比较法则可知，R(t)\ge R(\mathrm{0}){\mathrm{e}}^{-dt}\ge \mathrm{0}，t\in [\mathrm{0},t_{\mathrm{0}}]成立。

根据模型（3）的第一个方程及b=d得t\in [\mathrm{0},t_{\mathrm{0}}]且

\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{d}t}=b{N}^{*}-(pb+\beta S(t))(E(t)+I(t))-dS(t)=b{N}^{*}-pb(E(t)+I(t))-(\beta (E(t)+I(t))+d))S(t)

\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{d}t}\ge b{N}^{*}-b(E(t)+I(t))-(\beta (E(t)+I(t))+d)S(t)=b(S(t)+R(t))-(\beta (E(t)+I(t))+d)S(t)

\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{d}t}\ge -\beta (E(t)+I(t))S(t),t\in [\mathrm{0},t_{\mathrm{0}}]

由比较法则可知，S(t)\ge S(\mathrm{0}){\mathrm{e}}^{-\beta \left(E\left(t\right)+I\left(t\right)\right)t}\ge \mathrm{0},t\in [\mathrm{0},t_{\mathrm{0}}]成立。

故当t\in [\mathrm{0},t_{\mathrm{0}}]，有

{\left.\frac{\mathrm{d}E(t)}{\mathrm{d}t}\right|}_{t=t_{\mathrm{0}}}=(pb+\beta S(t_{\mathrm{0}}))(E(t_{\mathrm{0}})+I(t_{\mathrm{0}}))-(d+\gamma )E(t_{\mathrm{0}})

由于E(t_{\mathrm{0}})=\mathrm{0}，{\left.\frac{\mathrm{d}E(t)}{\mathrm{d}t}\right|}_{t=t_{\mathrm{0}}}=(pb+\beta S(t_{\mathrm{0}}))I(t_{\mathrm{0}})\ge \mathrm{0}，即E^{\text{'}}(t_{\mathrm{0}})\ge \mathrm{0}。显然，这与假设矛盾，因此假设不成立，对任意的t>0，E(t)\ge \mathrm{0}成立。

根据上述思路，有\frac{\mathrm{d}I(t)}{\mathrm{d}t}=\gamma E(t)-dI(t)-\mu I(t)\ge -(d+\mu )I(t)，得I(t)\ge I(\mathrm{0}){\mathrm{e}}^{-(d+\mu )t}\ge \mathrm{0}，t≥0。由\frac{\mathrm{d}R(t)}{\mathrm{d}t}=\mu I(t)-dR(t)\ge -dR(t)，得R(t)\ge R(t){\mathrm{e}}^{-dt}\ge \mathrm{0}，t\ge \mathrm{0}。进而得到S(t)\ge \mathrm{0},t\ge \mathrm{0}。

由N^{*}=S(t)+E(t)+I(t)+R(t)可得，对模型（3）的任意解满足\mathrm{0}\le S(t),E(t),I(t)，R(t)\le N^{*}。因此，模型（3）的解具有正定性和有界性，满足生物学意义。

证毕。

2　 模型的基本再生数和稳定性分析

本小节主要分析系统的基本再生数、平衡点和全局稳定性。由于模型（3）中前3个方程不涉及变量R（t），因此，分析前3个方程组成的动力系统可等价分析模型（3）的动力学行为，即模型（4）的动力学行为等价于模型（3）。

\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{d}t}=b{N}^{*}-(pb+\beta S(t))(E(t)+I(t))-dS(t)\\ \frac{\mathrm{d}E(t)}{\mathrm{d}t}=(pb+\beta S(t))(E(t)+I(t))-(d+\gamma )E(t)\\ \frac{\mathrm{d}I(t)}{\mathrm{d}t}=\gamma E(t)-dI(t)-\mu I(t)\end{array}\right.（4）

由命题1，解的正定性和有界性可知，模型（4）的解状态空间D=\{(S(t),E(t),I(t))\in {\mathrm{ℝ}}_{\mathrm{3}}^{+}\left|\mathrm{0}\right.\le S(t)+E(t)+I(t)\le {\mathit{N}}^{\mathit{*}}\}为正向不变集。下面在解状态空间D上分析模型（4）的动力学行为。模型（4）有生物意义的稳定解满足下列方程

\left\{\begin{array}{l}b{N}^{*}-(pb+\beta S(t))(E(t)+I(t))-dS(t)=\mathrm{0}\\ (pb+\beta S(t))(E(t)+I(t))-dE(t)-\gamma E(t)=\mathrm{0}\\ \gamma E(t)-dI(t)-\mu I(t)=\mathrm{0}\end{array}\right.（5）

在解状态空间D中，模型始终具有系统的无病平衡点E_{\mathrm{0}}=(S_{\mathrm{0}},\mathrm{0,0})，\mathrm{其}\mathrm{中},S_{\mathrm{0}}=\frac{b}{d}{N}^{*}。

令\rho (t)=E(t)+I(t)，模型的正平衡点满足：

S=\frac{b{N}^{*}-pb\rho }{\beta \rho +d}，I=\frac{\gamma E}{(d+\mu )}

E=\rho \frac{\beta (b{N}^{*}-pb\rho )+pb(d+\beta \rho )}{(\beta \rho +d)(d+\gamma )}

将E,I代入\rho =E+I得

\rho f(\rho )=\mathrm{0}

其中，

f(\rho )=\mathrm{1}-\frac{(\gamma +d+\mu )(pbd+\beta b{N}^{*})}{(d+\mu )(d+\gamma )(d+\beta \rho )}

显然，，\underset{\rho \to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}f(\rho )=\mathrm{1}>\mathrm{0}。因此，方程\rho f(\rho )=\mathrm{0}具有唯一的正平衡点，当且仅当成立，即当且仅当满足

\frac{(\gamma +d+\mu )(pbd+\beta b{N}^{*})}{d(d+\mu )(d+\gamma )}>\mathrm{1}

由上面的分析，我们得到以下定理：

定理1 定义系统（4）的基本再生数为

R_{\mathrm{0}}=\frac{(\gamma +d+\mu )(pbd+\beta b{N}^{*})}{d(d+\mu )(d+\gamma )}

模型（4）存在无病平衡点E_{\mathrm{0}}=(S_{\mathrm{0}},\mathrm{0},\mathrm{0}),S_{\mathrm{0}}=\frac{b}{d}{N}^{*}。当R_{\mathrm{0}}>\mathrm{1}时，模型（4）有唯一的正平衡点E^{*}=(S^{*},E^{*},I^{*})，满足

S^{*}=\frac{b{N}^{*}-pb{\rho }^{\mathrm{*}}}{\beta {\rho }^{\mathrm{*}}+d},I^{*}=\frac{\gamma E^{*}}{(d+\mu )}

E^{*}={\rho }^{\mathrm{*}}\frac{\beta (b{N}^{*}-pb{\rho }^{\mathrm{*}})+pb(d+\beta {\rho }^{\mathrm{*}})}{(\beta {\rho }^{\mathrm{*}}+d)(d+\gamma )}

下面，首先分析系统（4）在无病平衡点E_{\mathrm{0}}处的稳定性，我们得到如下定理：

定理 2 如果，那么无病平衡点E_{\mathrm{0}}是全局渐近稳定的；而如果R_{\mathrm{0}}>\mathrm{1}，则E_{\mathrm{0}}不稳定。

证 定义满足的初始条件，对任意的t>\mathrm{0}，满足N_{\mathrm{0}}>\mathrm{0}，由无病平衡点E_{\mathrm{0}}处的Jacobian矩阵可得

\mathit{J}={\left(\begin{array}{ccc}-d& -(pb+\beta S_{\mathrm{0}})& -(pb+\beta S_{\mathrm{0}})\\ \mathrm{0}& (pb+\beta S_{\mathrm{0}})-(d+\gamma )& (pb+\beta S_{\mathrm{0}})\\ \mathrm{0}& \gamma & -(\mu +d)\end{array}\right)}_{{|}_{E_{\mathrm{0}}}}

则

\left|\lambda \mathit{U}-\mathit{J}\right|=(\lambda +d)\cdot \left|\begin{array}{cc}\lambda -(pb+\beta S_{\mathrm{0}})+(d+\gamma )& -(pb+\beta S_{\mathrm{0}})\\ -\gamma & \lambda +(\mu +d)\end{array}\right|

整理得

\left|\lambda \mathit{U}-\mathit{J}\right|=(\lambda +d)({\lambda }^{\mathrm{2}}+A\lambda +B)

其中，\mathit{U}为单位矩阵，A=(d+\mu +d+\gamma -(pb+\beta S_{\mathrm{0}}))，B=((d+\mu )(d+\gamma )-(pb+\beta S_{\mathrm{0}})(d+\mu +\gamma ))。

显然，当，A>\mathrm{0},B>\mathrm{0}，({\lambda }^{\mathrm{2}}+A\lambda +B)=\mathrm{0}必有两个具有负实部的根。因此，当，方程\left|\lambda \mathit{U}-\mathit{J}\right|=\mathrm{0}的所有根具有负实部，无病平衡点E_{\mathrm{0}}\mathrm{在}\mathrm{状}\mathrm{态}\mathrm{空}\mathrm{间}D\mathrm{上}\mathrm{局}\mathrm{部}\mathrm{渐}\mathrm{近}\mathrm{稳}\mathrm{定}\mathrm{。}

下面根据引理2证明无病平衡点E_{\mathrm{0}}全局稳定性。首先，构造Lyapunov函数满足

V(t)=(d+\gamma +\mu )E(t)+(d+\gamma )I(t)

显然，V(t)在无病平衡点处等于零，并且V(t)\ge \mathrm{0}满足引理2的第一个条件。在状态空间D上求解，根据解的有界性和正定性得，

\frac{\mathrm{d}V(t)}{\mathrm{d}t}=(d+\gamma +\mu )\frac{\mathrm{d}E(t)}{\mathrm{d}t}+(d+\gamma )\frac{\mathrm{d}I(t)}{\mathrm{d}t}=

(d+\gamma +\mu )[(pb+\beta S)(E+I)-(d+\gamma )E]+(d+\gamma )[\gamma E(t)-(d+\mu )I(t)]\le

(d+\gamma +\mu )[(pb+\beta S_{\mathrm{0}})(E+I)-(d+\gamma )E]+(d+\gamma )[\gamma E(t)-(d+\mu )I(t)]

因此，得

\frac{\mathrm{d}V(t)}{\mathrm{d}t}\le \{(d+\gamma +\mu )(pb+\beta S_{\mathrm{0}})-(d+\mu )(d+\gamma )\}E(t)+(d+\gamma )(d+\mu )\cdot \left(\frac{(d+\gamma +\mu )(pb+\beta S_{\mathrm{0}})}{(d+\gamma )(d+\mu )}-\mathrm{1}\right)I(t)

\frac{\mathrm{d}V(t)}{\mathrm{d}t}\le (d+\gamma )(d+\mu )(R_{\mathrm{0}}-\mathrm{1})(E(t)+I(t))

很显然，由时，\frac{\mathrm{d}V(t)}{\mathrm{d}t}\le \mathrm{0}成立，当且仅当E=\mathrm{0},I=\mathrm{0}时等号成立。因此，根据引理2，在系统（4）的状态空间D中，可得无病平衡点E_{\mathrm{0}}是全局渐近稳定。

证毕。

下面分析模型（4）正平衡点E^{*}=(S^{*},E^{*},I^{*})的全局稳定性。首先，讨论传染病持续存在的条件。这在证明模型（4）正平衡点的全局稳定性时是重要的一部分。为了定义疾病持续存在的不变集，定义系统（4）上的连续流，即

\Phi (t,X):{\mathrm{ℝ}}^{+}\times D\to D

对系统（4），满足\Phi (t,X_{\mathrm{0}})=(S(t),E(t)，I(t))，t\ge \mathrm{0},X_{\mathrm{0}}\in D。进一步的，定义

Y=\{(S(t),E(t),I(t))\in D\left|I(t)>\mathrm{0}\right.\},\partial Y=D\setminus Y

下面，在（Y,\partial Y）上研究系统（4）疾病的持续性。根据命题1得状态空间D是正不变集。对任意的初始条件X_{\mathrm{0}}\in Y，即满足I(\mathrm{0})>\mathrm{0}，根据系统（4）的第三个方程得\frac{\mathrm{d}I(t)}{\mathrm{d}t}=\gamma E(t)-(d+\mu )I(t)≥-(d+\mu )I(t)。根据比较法则得I(t)\ge I(\mathrm{0}){\mathrm{e}}^{-\left(d+\mu \right)t}>\mathrm{0}。因此，子集Y在半流\Phi (t,X)下是正不变集。同理可得子集\partial Y在半流\Phi (t,X)下是正不变集，即满足\Phi (t,Y)\subset Y，\Phi (t,\partial Y)\subset \partial Y，t\ge \mathrm{0}。

此外，命题2也是证明疾病的一致持续性的重要内容。

命题 2 对于定义在\partial Y上半流\Phi (t,X)，无病平衡E_{\mathrm{0}}在\partial Y上全局渐近稳定。

证 令初始条件(S(\mathrm{0}),I(\mathrm{0}),E(\mathrm{0}))\in \partial \mathrm{Y}，由系统（4）可得S\le \frac{b{N}^{*}}{d}（t→∞）。因此，不妨设E（t）≤\tilde{E}(t)，I（t）≤\tilde{I}(t)，其中\tilde{E}(t),\tilde{I}(t)满足下面的系统

\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}\tilde{E}(t)}{\mathrm{d}t}=\left(pb+\beta \frac{b{N}^{*}}{d}\right)(\tilde{E}(t)+\tilde{I}(t))-(d+\gamma )\tilde{E}(t)\\ \frac{\mathrm{d}\tilde{I}(t)}{\mathrm{d}t}=\gamma \tilde{E}(t)-(d+\mu )\tilde{I}(t)\end{array}\right.（6）

在正不变集\partial Y上，由(S(\mathrm{0}),I(\mathrm{0})，E(\mathrm{0}))\in \partial Y，可得\tilde{E}(t)=\mathrm{0}，\tilde{I}(t)=\mathrm{0}(t\to \mathrm{\infty })。从而E(t)=\mathrm{0}，I(t)=\mathrm{0}(t\to \mathrm{\infty })。很显然S=\frac{b{N}^{*}}{d}，E(t)=\mathrm{0}，I(t)=\mathrm{0}是系统在\partial Y上的唯一的平衡点。因此，可证得无病平衡点E_{\mathrm{0}}在\partial Y上全局渐近稳定。

证毕。

下面依据文献［14~16］的结果，得到系统（4）对应的传染病一致持续性命题。

命题 3 如果R_{\mathrm{0}}>\mathrm{1}，那么系统（4）对应的传染病是持续生存的，即存在一个常数\epsilon>0，使得

\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{S(t),E(t),I(t)\}\ge \epsilon

对状态空间D中的任何一个满足条件的解都成立。

证 令W^{+}(E_{\mathrm{0}})=\{x\in Y:\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\Phi (t,x)=E_{\mathrm{0}}\}。根据命题2，可知无病平衡点E_{\mathrm{0}}在正不变集\partial Y上全局渐近稳定。下面只需证明存在T\ge \mathrm{0}，\epsilon >\mathrm{0}，使得E_{\mathrm{0}}对Y是一致弱排斥的，即对任意的X_{\mathrm{0}}\in Y及t>T，满足\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}(\Phi (t,Y),E_{\mathrm{0}})\ge \epsilon，即只需证明W^{+}(E_{\mathrm{0}})\bigcap Y=\mathrm{\varnothing }。

利用反证法，如果W^{+}(E_{\mathrm{0}})\bigcap Y\ne \mathrm{\varnothing }，则必存在y\in Y，使得\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\Phi (t,y)=E_{\mathrm{0}}。由极限定义可知，必存在足够小的\epsilon >\mathrm{0}，使得S^{\mathrm{0}}-\epsilon≤S（t）≤S^{\mathrm{0}}+\epsilon，0≤E（t）\le \epsilon， 0≤I（t）\le \epsilon （t>T）成立。

由E（t）+I（t）=ρ（t），由引理4可知，存在f_n使得\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}E(f_n)=E^{\mathrm{\infty }}且E^{\text{'}}(f_n)=\mathrm{0}(n\to \mathrm{\infty })\mathrm{。}根据系统（4）的第二个方程可得

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}E(f_n)}{\mathrm{d}t}=(pb+\beta S(f_n))(E(f_n)+I(f_n))-\\ (d+\gamma )E(f_n)\ge (pb+\beta (S^{\mathrm{0}}-\epsilon ))\rho (f_n)-(d+\gamma )E(f_n)\end{array}

由引理4得E^{\mathrm{\infty }}\ge \frac{pb+\beta (S^{\mathrm{0}}-\epsilon )}{d+\gamma }{\rho }^{\mathrm{\infty }}。同理，由系统（4）的第三个方程及引理3，得I^{\mathrm{\infty }}\ge \frac{\gamma E^{\mathrm{\infty }}}{d+\mu }。由{\rho }^{\mathrm{\infty }}=E^{\mathrm{\infty }}+I^{\mathrm{\infty }}，可知：{\rho }^{\mathrm{\infty }}\ge \frac{d+\mu +\gamma }{d+\mu }\cdot E^{\mathrm{\infty }}\ge \frac{(d+\mu +\gamma )}{d+\mu }\cdot \frac{pb+\beta (S^{\mathrm{0}}-\epsilon )}{d+\gamma }\cdot {\rho }^{\mathrm{\infty }}，即得到{\rho }^{\mathrm{\infty }}\left(\mathrm{1}-\frac{d+\mu +\gamma }{d+\mu }\cdot \frac{pb+\beta (S^{\mathrm{0}}-\epsilon )}{d+\gamma }\right)\ge \mathrm{0}。因为Y是正不变集，{\rho }^{\mathrm{\infty }}\ge \mathrm{0}，上述不等式成立需满足\mathrm{1}-\frac{d+\mu +\gamma }{d+\mu }\cdot \frac{pb+\beta (S^{\mathrm{0}}-\epsilon )}{d+\gamma }\ge \mathrm{0}，即\frac{d+\mu +\gamma }{d+\mu }\cdot\frac{pb+\beta (S^{\mathrm{0}}-\epsilon )}{d+\gamma }\le \mathrm{1}。

然而，由R_{\mathrm{0}}>\mathrm{1}，则对于足够小的ε>0，必会满足\frac{(pb+\beta (S^{\mathrm{0}}-\epsilon ))(d+\mu +\gamma )}{(d+\gamma )(d+\mu )}>\mathrm{1}。因此，产生矛盾，所以假设不成立，即W^{+}(E_{\mathrm{0}})\bigcap Y=\mathrm{\varnothing }成立。从而得到系统（4）对应的传染病在R_{\mathrm{0}}>\mathrm{1}时持续存在。

证毕。

最后，根据命题3和引理1，利用构造迭代序列的方法证明正平衡点E^{*}的全局稳定性。

定理 3 如果R_{\mathrm{0}}>\mathrm{1}，那么正平衡点E^{*}是全局渐近稳定的。

证 由引理2可知，存在足够小的ε使得S(t),E(t),I(t)\ge \epsilon。因此，根据系统（4）第一个方程可得

\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{d}t}=b{N}^{*}-(pb+\beta S(t))(E(t)+I(t))-dS(t)\le (b{N}^{*}-pb\epsilon )-(\beta \epsilon +d)S(t)

由比较法则可知，存在常数{\xi }_{\mathrm{1}}，0<，在t_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}，当t>t_{\mathrm{1}}，使得

根据系统（4）第二个方程可得

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}E(t)}{\mathrm{d}t}=\\ (pb+\beta S(t))(E(t)+I(t))-(d+\gamma )E(t)\le \end{array}

(pb+\beta (N^{*}-E(t)))(E(t)+N^{*}-E(t))-(d+\gamma )E(t)=

(pb+\beta (N^{*}-E(t)))N^{*}-(d+\gamma )E(t)\le

(pb+\beta N^{*})N^{*}-(\beta N^{*}+d+\gamma )E

由比较法则可知，存在常数{\xi }_{\mathrm{2}}，0<，在t_{\mathrm{2}}>\mathrm{0}，当t_{\mathrm{2}}>t_{\mathrm{1}}，使得

E（t）≤

根据系统（4）第三个方程可得

\frac{\mathrm{d}I(t)}{\mathrm{d}t}=\gamma E(t)-dI(t)-\mu I(t)\le \gamma (N^{\mathrm{*}}-I(t))-dI(t)-\mu I(t)=\gamma N^{\mathrm{*}}-(d+\mu +\gamma )I(t)

由比较法则可知，存在常数{\xi }_{\mathrm{3}}，0<，在t_{\mathrm{3}}>\mathrm{0}，当t_{\mathrm{3}}>t_{\mathrm{2}}，使得

I(t)\le

另一方面，将系统（4）的第一个方程放缩可得

\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{d}t}=b{N}^{*}-(pb+\beta S(t))(E(t)+I(t))-dS(t)\ge (b{N}^{*}-pb{N}^{*})-(\beta N^{*}+d)S

由比较法则可知，存在常数{\xi }_{\mathrm{4}}，，在t_{\mathrm{4}}>\mathrm{0}，当t_{\mathrm{4}}>t_{\mathrm{3}}，使得

S（t）≥a_{\mathrm{1}}=\frac{(b-pb)N^{*}}{\beta N^{*}+d}-{\xi }_{\mathrm{4}}>\mathrm{0}

根据系统（4）第二个方程可得

\frac{\mathrm{d}E(t)}{\mathrm{d}t}=(pb+\beta S(t))(E(t)+I(t))-dE(t)-\gamma E(t)\ge (pb+\beta \epsilon )\epsilon -dE(t)-\gamma E(t)

由比较法则可知，存在常数{\xi }_{\mathrm{5}}，0<，在t_{\mathrm{5}}>\mathrm{0}，当t_{\mathrm{5}}>t_{\mathrm{4}}，使得

E（t）≥b_{\mathrm{1}}=\frac{(pb+\beta \epsilon )\epsilon }{\gamma +d}-{\xi }_{\mathrm{5}}>\mathrm{0}

根据系统（4）第三个方程可得

\frac{\mathrm{d}I(t)}{\mathrm{d}t}=\gamma E(t)-dI(t)-\mu I(t)\ge \gamma \epsilon -dI(t)-\mu I(t)

由比较法则可知，存在常数{\xi }_{\mathrm{6}}，0<，在t_{\mathrm{6}}>\mathrm{0}，当t_{\mathrm{6}}>t_{\mathrm{5}}，使得

I（t）≥c_{\mathrm{1}}=\frac{\gamma \epsilon }{\mu +d}-{\xi }_{\mathrm{6}}>\mathrm{0}

由此得到，由于{\xi }_i（i=1，2，3，4，5，6）足够小，因此，下面不等式成立

进一步的，我们对系统（4）重复这个过程，根据系统（4）第一个方程可得

\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{d}t}=b{N}^{*}-(pb+\beta S(t))(E(t)+I(t))-dS(t)\le b{N}^{*}-pb(b_{\mathrm{1}}+c_{\mathrm{1}})-[d+\beta (b_{\mathrm{1}}+c_{\mathrm{1}})]S(t)

由比较法则可知，存在常数{\xi }_{\mathrm{7}}，，在t_{\mathrm{7}}>\mathrm{0}，当t_{\mathrm{7}}>t_{\mathrm{6}}，使得

根据系统（4）第二个方程可得

\frac{\mathrm{d}E(t)}{\mathrm{d}t}=(pb+\beta S(t))(E(t)+I(t))-dE(t)-\gamma E(t)\le (pb+\beta A_{\mathrm{1}})(E(t)+C_{\mathrm{1}})-dE(t)-\gamma E(t)

由比较法则可知，存在常数{\xi }_{\mathrm{8}}，0<，在t_{\mathrm{8}}>\mathrm{0}，当t_{\mathrm{8}}>t_{\mathrm{7}}，使得

根据系统（4）第三个方程可得：

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}I(t)}{\mathrm{d}t}=\gamma E(t)-dI(t)-\mu I(t)\le \\ \gamma B_{\mathrm{1}}-dI(t)-\mu I(t)\end{array}

由比较法则可知，存在常数{\xi }_{\mathrm{9}}，，在t_{\mathrm{9}}>\mathrm{0}，当t_{\mathrm{9}}>t_{\mathrm{8}}，使得

另一方面，再次循环，据系统（4）第一个方程可得

\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{d}t}\ge b{N}^{\mathrm{*}}-(pb+\beta S(t))(B_{\mathrm{1}}+C_{\mathrm{1}})-dS(t)

由比较法则可知，存在常数{\xi }_{\mathrm{10}}，0<，在t_{\mathrm{10}}>\mathrm{0}，当t_{\mathrm{10}}>t_{\mathrm{9}}，使得

\begin{array}{l}S(t)\ge a_{\mathrm{2}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{a_{\mathrm{1}},\frac{b{N}^{\mathrm{*}}-pb(B_{\mathrm{1}}+C_{\mathrm{1}})}{d+\beta (B_{\mathrm{1}}+C_{\mathrm{1}})}-\\ {\xi }_{\mathrm{10}}\}>\mathrm{0}\end{array}

根据系统（4）第二个方程可得

\frac{\mathrm{d}E(t)}{\mathrm{d}t}\ge (pb+\beta a_{\mathrm{1}})(E(t)+c_{\mathrm{1}})-dE(t)-\gamma E(t)

由比较法则可知，存在常数{\xi }_{\mathrm{11}}，0<，在t_{\mathrm{11}}>\mathrm{0}，当t_{\mathrm{11}}>t_{\mathrm{10}}，使得

\begin{array}{l}E(t)\ge b_{\mathrm{2}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{b_{\mathrm{1}},\frac{(pb+\beta a_{\mathrm{1}})c_{\mathrm{1}}}{(\gamma +d)-(pb+\beta a_{\mathrm{1}})}-\\ {\xi }_{\mathrm{11}}\}>\mathrm{0}\end{array}

根据系统（4）第三个方程可得

\frac{\mathrm{d}I(t)}{\mathrm{d}t}\ge \gamma b_{\mathrm{1}}-dI(t)-\mu I(t)

由比较法则可知，存在常数{\xi }_{\mathrm{12}}，，在t_{\mathrm{12}}>\mathrm{0}，当t_{\mathrm{12}}>t_{\mathrm{11}}，使得

I(t)\ge c_{\mathrm{2}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{c_{\mathrm{1}},\frac{\gamma b_{\mathrm{1}}}{\mu +d}-{\xi }_{\mathrm{12}}\}>\mathrm{0}

同理，依次迭代m次后，得到6个序列，满足

其中，

a_m=\frac{b{N}^{\mathrm{*}}-pb(B_m+C_m)}{d+\beta (B_m+C_m)}

A_m=\frac{b{N}^{\mathrm{*}}-pb(b_m+c_m)}{d+\beta (b_m+c_m)}

b_m=\frac{(pb+\beta a_m)c_m}{(\gamma +d)-(pb+\beta a_m)}

B_m=\frac{(pb+\beta A_m)C_m}{(\gamma +d)-(pb+\beta A_m)}

c_m=\frac{\gamma b_m}{\mu +d},C_m=\frac{\gamma B_m}{\mu +d}

\{a_m,b_m,c_m\}是有界的递增数列，\{A_m,B_m,C_m\}是有界的递减序列，从而6个序列的极限存在。分别记\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\{a_m,b_m,c_m\}=\{a,b,c\}，\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\{A_m,B_m,C_m\}=\{A,B,C\}。

因为，则得到各自的极限为

a=\frac{b{N}^{*}-pb(B+C)}{d+\beta (B+C)}

A=\frac{b{N}^{*}-pb(b+c)}{d+\beta (b+c)}

b=\frac{(pb+\beta a)c}{(\gamma +d)-(pb+\beta a)}

B=\frac{(pb+\beta A)A}{(\gamma +d)-(pb+\beta A)}

c=\frac{\gamma b}{\mu +d},C=\frac{\gamma B}{\mu +d}

当且仅当极限满足A=a=S^{*},B=b=E^{*},C=c=I^{*}等式成立。因此，E^{*}在状态空间D内全局渐近稳定。

证毕。

3　 数值模拟

根据针对COVID-19的已有参数估计研究结果，参考现阶段官方公布的各省确诊人数和累计治愈人数，推断出传染率β的估计值大约在0.12~0.25之间。人类免疫缺陷病毒（HIV）的垂直传染率（主要是血液传染）大约在0.15~0.45之间，如果进行体检和孕检等母婴阻断干预，HIV垂直传染率为0.05左右。由于COVID-19的案例较少，参照HIV的垂直传染率，数值模拟中，COVID-19的垂直传染率设定为0.01~0.10左右。

图1模拟垂直传染率p和潜伏者转变为染病者的转变率γ对基本再生数的影响。设参数b=0.05，d=0.05，μ=0.15。由图1可见，垂直传染率p和基本再生数呈现线性正相关。因此，在考虑COVID-19潜在的垂直传染风险时，需要采用更多的医学手段降低垂直感染率，从而降低基本再生数，控制病毒传播。同时，和转变率相比，垂直传染概率对基本再生数的影响较弱。从生物学意义上看，现阶段对潜伏者（部分疑似病例）大面积集中搜寻，对这部分潜伏者采取早发现早隔离治疗的防控策略仍然是重中之重。

图2验证了模型无病平衡点的稳定性。设：b=0.05；d=0.05；p=0.01；β=0.10；μ=0.2；γ=0.25。基本再生数R_{\mathrm{0}}=0.946<1，染病者的相对数量最终趋于零，此时传染病得到控制。图3验证了模型正平衡点的稳定性。设定参数如下：b=0.05；d=0.05；p=0.05；β=0.20；μ=0.1；γ=0.2。基本再生数R_{\mathrm{0}}=2.7>1，由图3可知，此时正平衡点持续存在，此类传染病暴发，形成地方病。根据图2和图3显示的稳定性趋势，可知考虑垂直传染和潜伏期传染性的传染病模型的稳定性完全由基本再生数控制。因此，可通过控制基本再生数表达式中涉及的参数，使得基本再生数小于1来防控COVID-19的传播。例如，通过戴口罩、消毒、隔离等方式降低病毒的传染率β；通过隔离保护孕妇，降低新生儿的垂直传染率p；通过追踪排查潜伏期无症状患者，对其进行治疗和隔离，减少其与健康者的接触，增加转变率γ等，这些防控措施都可降低基本再生数，控制COVID-19的进一步传播和暴发。

4　 结 语

针对COVID-19疫情的发展及新生儿患病案例的出现，本文利用流行病学建模理论，基于潜在的垂直传染的风险和潜伏者的传染性，提出了一类具有垂直传染的SEIR传染病动力学模型，旨在为潜在垂直传染风险的COVID-19和类似其传播特性的传染病的防控提供理论依据。

本文提出的SEIR传染病模型考虑了可调控的垂直传染率，使得模型具有更一般的适用性，可合理有效地描述COVID-19在传播或者病毒变异中存在的垂直传染的潜在风险，也适用于具有类似传播特性的传染病的建模分析。建模过程考虑了潜伏者的感染性，克服了传统SEIR模型仅考虑易感者与有症状个体接触才被传染的局限性，为进一步研究COVID-19的传播特性、疫情预测和防控提供更合理的数学模型。本文全面分析了模型的全局稳定性的性质。在这类模型下，基本再生数完全控制传染病的传播规律和稳定性，在不考虑政府调控和人口流动的情况下，系统不会出现分支现象。同时，通过理论和数值模拟，本文得到垂直传染率对基本再生数是呈现线性正相关的关系，潜伏者的转变率与基本再生数具有非线性关系。在国家调控的情况下，采用隔离的方式明显控制了疫情的大暴发。当垂直传染风险存在的情况下，除了利用隔离的措施保证孕妇远离传染源，还应该提高对孕妇状态的监控，减少垂直传染率，从而降低基本再生数。进一步了解COVID-19的传播特性以及可能存在的传播途径，对于COVID-19疫情的控制具有重要的意义。

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基金资助

国家自然科学基金项目(61772328)

国家自然科学基金项目(61603242)

上海工程技术大学科研启动基金(0232-E3-0507-19-05105)