广义case-cohort设计下多类型事件数据的加乘风险回归模型及其应用

Additive-Multiplicative Hazards Model for Generalized Case-Cohort Designs with Multiple Type Event Data and Its Application

摘要

针对广义case-cohort设计下多类型事件数据的边际加乘风险模型，利用逆概率加权的思想建立加权估计方程，证明参数估计的相合性和大样本性质。数值模拟试验结果表明广义case-cohort设计在疾病事件发生率较高时更加具有应用性。 实例分析展示了其理论意义和应用价值。

Abstract

Using the idea of inverse probability weighting, we first give a weighted estimating equation for an additive-multiplicative hazards model under generalized case-cohort designs with multiple type event data in this paper. The resulting estimators are shown to be consistent and asymptotically normal. Some numerical simulation experiments show that the generalized case-cohort designs is applicable when the incidence of disease is high. Finally, a real example is illustrated to show its theoretical significance and application value.

关键词

多类型事件数据 / case-cohort设计 / 估计方程

Key words

multiple type event data / case-cohort design / estimating equation

0　 引 言

多元失效时间数据经常出现在生物、医学、社会学和经济学等研究领域中。例如，在流行病学队列研究中，以家庭为单位记录疾病发生的时间；临床医学中，单个个体可能经历几种不同类型的疾病；可靠性测试中，一台机器可能发生多次故障等。但是要详细地收集全队列成员的协变量信息，耗费成本较大。而case-cohort设计^［1］只需要收集子列和子列外所有发病者的协变量信息，不需要收集子列外未发病个体的信息。为了节省资源，因此许多研究者将case-cohort设计引入到生物医疗研究中，从而产生了case-cohort设计下的多元失效时间数据。

对于case-cohort设计下的多元失效时间数据的研究，目前的成果大多是基于边际模型方法建模。Lu 等^［2］对case-cohort设计下的成组失效时间数据，考虑了一类边际Cox比例风险模型，但在建模的过程中未考虑子列外失效个体的协变量信息。为了更充分地利用协变量信息，Zhang等^［3］在边际Cox模型的基础上，建立了一类更有效的估计方程，获得了估计参数，改进了模型的有效性。Kang等^［4，5］和Kim等^［6］分别用边际Cox风险模型和边际加性风险模型分析了case-cohort设计下多类型事件数据。还有部分学者基于加乘风险模型研究case-cohort数据，如Sun等^［7］研究了case-cohort设计下带有时间相依协变量的加乘风险模型；周洁^［8］针对加乘风险模型提出了一类带有时间相依权重的双重加权估计；Liu等^［9］对case-cohort设计下多类型事件数据的加乘风险模型提出了一类估计方程；为充分利用子列外发生其他类型失效个体的协变量信息，刘君娥等^［10］提出了一类有效的加权估计方程等。

然而，当现实中疾病的发病率较高时，子列外发病个体较多。针对这种情形，Chen^［11］提出了广义case-cohort设计。广义case-cohort设计是在一般case-cohort设计的基础上对子列外的发病个体再次进行抽样，这样只需抽取子列和子列外部分失效个体信息。目前对广义case-cohort设计下的多元失效时间数据的研究成果有限。Zheng等^［12］基于广义加乘危险率模型，用拟得分方程方法对于多元数据的病例队列设计进行参数估计，并给出所得估计量的渐近性质。徐达等^［13］利用加权估计方程方法，在广义病例-队列设计方案下，用Cox模型对长度偏差数据进行了分析和研究。基于此，本文将多类型疾病失效时间数据的加乘风险模型推广到广义case-cohort设计下。首先建立加权估计方程，然后给出参数估计的相合性和大样本性质，最后数值模拟试验结果表明广义case-cohort设计在疾病事件发生率较高时更加具有应用性。

1　 模型与估计方程

假设在某个队列研究中，有n个独立的个体，而对每个个体我们感兴趣的有K种类型疾病。设T_{ik}，C_{ik}和X_{ik}分别表示第i个个体第k类型疾病的潜在发病时间、删失时间和观察时间，并且X_{ik}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(T_{ik},C_{ik})。{\mathrm{\Delta }}_{ik}=I(T_{ik}\le C_{ik})是示性函数，{\mathrm{\Delta }}_{ik}=1时表示失效，否则为删失。

令N_{ik}(t)=I(X_{ik}\le t,{\mathrm{\Delta }}_{ik}=\mathrm{1})表示第i个个体第k类型事件计数过程，Y_{ik}(t)=I(X_{ik}\ge t)表示风险过程，{\mathit{W}}_{ik}(t)和{\mathit{Z}}_{ik}(t)分别为p维和q维的协变量向量，T_{ik}和C_{ik}关于({\mathit{W}}_{ik}{(t)}^{\mathrm{T}},{\mathit{Z}}_{ik}{(t)}^{\mathrm{T}}{)}^{\mathrm{T}}条件独立。

假设T_{ik}的边际风险函数^［14］为

{\lambda }_{ik}(t|{\mathit{W}}_{ik}(t),{\mathit{Z}}_{ik}(t))=g\{{\mathit{\beta }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{W}}_{ik}(t)\}+{\lambda }_{\mathrm{0}k}(t)h\{{\mathit{\gamma }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{ik}(t)\}（1）

其中{\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}}=({\mathit{\beta }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}},{\mathit{\gamma }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{)}^{\mathrm{T}}是未知的p+q维的回归参数，g和h是已知的连接函数，{\lambda }_{\mathrm{0}k}(\bullet )(k=\mathrm{1,2},\cdots ,K)是未知的基本风险函数。

显然，当h(x)={\mathrm{e}}^x，g(x)=\mathrm{0}时，模型（1）即为Cox比例风险回归模型。当g(x)=x，h(x)=\mathrm{1}时，模型（1）即为加性风险回归模型。

令M_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)=N_{ik}(t)-{\int }_{\mathrm{0}}^t{Y}_{ik}(u)(g\{{\mathit{\beta }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{W}}_{ik}(u)\}+{\lambda }_{\mathrm{0}k}(t)h\{{\mathit{\gamma }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{ik}(u)\})\mathrm{d}u是关于事件历史信息{\mathrm{ℱ}}_{ik}(t)=\sigma \{N_{ik}(u),Y_{ik}(u),{\mathit{W}}_{ik}(u),{\mathit{Z}}_{ik}(u):\mathrm{0}\le u\le t\}的鞅，并且\tau表示调查终止时间。

假设从全队列中随机抽取\tilde{n}个个体作为子列，令{\xi }_i=\mathrm{1}表示第i个个体被选入子列，否则{\xi }_i=\mathrm{0}。令{\pi }_i=P({\xi }_i=\mathrm{1})=\tilde{\alpha }=\tilde{n}/n表示第i个个体被选入子列的选择概率。

广义case-cohort设计在随机抽取子列后，接下来对子列外的所有发病个体进行抽样。对于第k类型疾病，通过简单随机抽样选取m^{(k)}个个体。设{\eta }_{ik}是示性函数，{\eta }_{ik}=1时，表示子列外发生第k类型疾病的第i个个体被选入子列，否则{\eta }_{ik}=0。设n^{(k)}和{\tilde{n}}^{(k)}分别表示全队列和子列中发生k类型疾病的总人数，则{\tilde{q}}_k=P({\eta }_{ik}=\mathrm{1}|{\mathrm{\Delta }}_{ik}=\mathrm{1},{\xi }_i=\mathrm{0})=m^{(k)}/(n^{(k)}-{\tilde{n}}^{(k)})表示子列外发生第k类型疾病的第i个个体被选入子列的选择概率。注意，（{\eta }_{\mathrm{1}k},{\eta }_{\mathrm{2}k},\dots ,{\eta }_{nk}）之间是相关的，而对于k\ne k^{\text{'}}，（{\eta }_{\mathrm{1}k},{\eta }_{\mathrm{2}k}\dots ,{\eta }_{nk}）与（{\eta }_{\mathrm{1}{k}^{\text{'}}},{\eta }_{\mathrm{2}{k}^{\text{'}}},\dots ,{\eta }_{n{k}^{\text{'}}}）是相互独立的。在广义case-cohort设计下，协变量的信息仅仅从子列和子列外抽取的发病个体上获得。因此，当{\xi }_i=\mathrm{1}或{\eta }_{ik}=\mathrm{1}时，观测到的数据为\{X_{ik},{\mathrm{\Delta }}_{ik},Z_{ik},\mathrm{0}\le t\le X_{ik}\}；当{\xi }_i=\mathrm{0}和{\eta }_{ik}=\mathrm{0}时，观测到的数据为\{X_{ik},{\mathrm{\Delta }}_{ik}\}。

为了建立广义case-cohort数据的估计方程，本文将使用下面的权重函数^［4］

{\rho }_{ik}=(\mathrm{1}-{\mathrm{\Delta }}_{ik}){\xi }_i{\widehat{\alpha }}_k^{-\mathrm{1}}(t)+{\mathrm{\Delta }}_{ik}{\xi }_i+{\mathrm{\Delta }}_{ik}(\mathrm{1}-{\xi }_i){\eta }_{ik}{\widehat{q}}_k^{-\mathrm{1}}(t)（2）

其中，{\widehat{\alpha }}_k(t)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}((\mathrm{1}-{\mathrm{\Delta }}_{ik}){\xi }_i{Y}_{ik}(t))/{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}((\mathrm{1}-{\mathrm{\Delta }}_{ik})Y_{ik}(t))表示对第k类型事件，在t时刻子列中在险个体数占全队列在险个体数的比例；{\widehat{q}}_k(t)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}({\mathrm{\Delta }}_{ik}(\mathrm{1}-{\xi }_i){\eta }_{ik}{Y}_{ik}(t))/{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}({\mathrm{\Delta }}_{ik}(\mathrm{1}-{\xi }_i)Y_{ik}(t))表示t时刻子列外抽取的第k类型事件失效个体数占子列外全体第k类型事件失效个体数的比例。

权重函数（2）实际上是利用逆选择概率进行加权，于是我们建立如下加权估计方程

U(\mathit{\theta })={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{\rho }_{ik}(t)(D_{ik}(\mathit{\theta },t)-{\overline{D}}_k(\mathit{\theta },t))(d{N}_{ik}(t)-Y_{ik}(t)g\{{\mathit{\beta }}^{\mathrm{T}}{\mathit{W}}_{ik}(t)\}\mathrm{d}t)

其中{\overline{D}}_k={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}({\rho }_{ik}(t)Y_{ik}(t)h\{{\mathit{\gamma }}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{ik}(t)\}{D}_{ik}(\mathit{\theta },t))/{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}({\rho }_{ik}(t)Y_{ik}(t)h\{{\mathit{\gamma }}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{ik}(t)\})。并且对任意t\ge \mathrm{0}，都有\sum _{i,k}({\mathit{W}}_{ik}{Y}_{ik}(t))=\sum _{i,k}{Y}_{ik}(t)。

回归参数{\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}}的估计定义为方程U(\mathit{\theta })=\mathrm{0}的解，我们用\widehat{\mathit{\theta }}来表示。令{\Lambda }_{\mathrm{0}k}(t)={\int }_{\mathrm{0}}^t{\lambda }_{\mathrm{0}k}(u)\mathrm{d}u，则累积基本风险函数的估计量为

{\widehat{\Lambda }}_{\mathrm{0}k}(\widehat{\mathit{\theta }},t)={\int }_{\mathrm{0}}^t\frac{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}({\rho }_{ik}(u)(d{N}_{ik}(u)-Y_{ik}(u)g\{{\widehat{\mathit{\beta }}}^{\mathrm{T}}{\mathit{W}}_{ik}(u)\}\mathrm{d}u))}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}({\rho }_{ik}(u)Y_{ik}(u)h\{{\widehat{\mathit{\gamma }}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{ik}(u)\})}

2　 渐近性质

为给出参数的渐近性质，假设以下正则条件成立：

（C1） ({\mathit{T}}_i,{\mathit{C}}_i,{\mathit{Z}}_i(\bullet ),{\mathit{W}}_i(\bullet ):i=\mathrm{1,2},\dots ,n)独立同分布，其中{\mathit{T}}_i=(T_{i\mathrm{1}},T_{i\mathrm{2}},\dots ,T_{iK}{)}^{\mathrm{T}}，{\mathit{C}}_i=(C_{i\mathrm{1}},C_{i\mathrm{2}},\dots ,C_{iK}{)}^{\mathrm{T}}，{\mathit{Z}}_i=(Z_{i\mathrm{1}}(\bullet ),Z_{i\mathrm{2}}(\bullet ),\dots ,Z_{iK}{(\bullet ))}^{\mathrm{T}}，并且{\mathit{W}}_i=(W_{i\mathrm{1}}(\bullet ),W_{i\mathrm{2}}(\bullet ),\dots ,W_{iK}{(\bullet ))}^{\mathrm{T}}。

（C2） 对k=\mathrm{1,2},\dots ,K，都有P\{Y_{\mathrm{1}k}(\tau )>\mathrm{0}\}>\mathrm{0}，并且。

（C3） {\mathit{Z}}_{ik}(\bullet )，{\mathit{W}}_{ik}(\bullet )的任何一个组合以及D_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)都是有界的，并且几乎处处是[\mathrm{0},\tau ]上的有界变差函数。

（C4） g和h是连续可微的，并且对i=\mathrm{1,2},\dots ,n,k=\mathrm{1,2},\cdots ,K，\partial D_{ik}(\mathit{\theta },t)/\partial {\mathit{\theta }}^{\mathrm{T}},t\in [\mathrm{0},\tau ]在{\theta }_{\mathrm{0}}的某个邻域内是同等连续的。

（C5） 设矩阵

\mathit{A}=E{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}(D_{\mathrm{1}k}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-d_k({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t))Y_{\mathrm{1}k}(t){\left(\begin{array}{c}{\mathit{g}}^{\text{'}}\{{\mathit{\beta }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{W}}_{\mathrm{1}k}(t)\}{\mathit{W}}_{\mathrm{1}k}(t)\mathrm{d}t\\ h^{\text{'}}\{{\mathit{\gamma }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{\mathrm{1}k}(t)\}{\mathit{Z}}_{\mathrm{1}k}(t)\mathrm{d}{\Lambda }_{\mathrm{0}k}(t)\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}

则矩阵\mathit{A}是非奇异的，并且d_k(\mathit{\theta },t)是{\overline{D}}_k({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)的极限。

（C6） 令\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\tilde{\alpha }=\alpha，其中\alpha \in (\mathrm{0,1}]。

（C7） 对所有k=\mathrm{1},\dots ,K，都有\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\tilde{q}}_k=q_k，\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{n^{(k)}}{n}=p_k，其中q_k\in (\mathrm{0,1}]，p_k\in [\mathrm{0,1}]。

在上述正则条件下，我们有下列关于\widehat{\mathit{\theta }}的渐近性质。

定理1 在条件（C1）~（C7）下，\widehat{\mathit{\theta }}是{\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}}的相合估计。此外，n^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}(\widehat{\mathit{\theta }}-{\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}})依分布收敛于均值为0的正态分布，其协方差矩阵为

{\mathit{A}}^{-\mathrm{1}}(\mathit{Q}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}})+\frac{\mathrm{1}-\alpha }{\alpha }{V}_{\mathrm{1}}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}})+(\mathrm{1}-\alpha ){\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}P({\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k}=\mathrm{1})(\frac{\mathrm{1}-q_k}{q_k})V_{\mathrm{2}k}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}})){\mathit{A}}^{-\mathrm{1}}

其中矩阵\mathit{A}如（C5）中所定义，并且

\mathit{Q}(\mathit{\theta })=E\{{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }(D_{ik}(\mathit{\theta },t)-d_k(\mathit{\theta },t))\mathrm{d}{M}_{ik}{(\mathit{\theta },t)\}}^{\otimes \mathrm{2}}

V_{\mathrm{1}}(\mathit{\theta })=\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}({\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}(\mathrm{1}-{\mathrm{\Delta }}_{ik}){\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }({\mathit{R}}_{\mathrm{1}k}(\mathit{\theta },t)-\frac{Y_{\mathrm{1}k}(t)E\{(\mathrm{1}-{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k}){\mathit{R}}_{\mathrm{1}k}(\mathit{\theta },t)\}}{E\{(\mathrm{1}-{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k})Y_{\mathrm{1}k}(t)\}})\mathrm{d}t)

V_{\mathrm{2}k}(\mathit{\theta })=\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}({\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }({\mathit{Z}}_{ik}(t)-e_k(t))\mathrm{d}{M}_{ik}(t)-{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{Y}_{ik}(t)\frac{E\{({\mathit{Z}}_{\mathrm{1}k}(t)-e_{\mathrm{1}}(t))\mathrm{d}{M}_{\mathrm{1}k}(t)|{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k}=\mathrm{1},{\xi }_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}\}}{E\{Y_{\mathrm{1}k}(t)=\mathrm{1}|{\mathrm{\Delta }}_{ik}=\mathrm{1}\}}){\mathit{R}}_{ik}(\mathit{\theta },t)=Y_{ik}(t)(D_{\mathrm{1}k}(\mathit{\theta },t)-d_k(\mathit{\theta },t))(g\{{\mathit{\beta }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{W}}_{ik}(t)\}+{\lambda }_{\mathrm{0}k}(t)h\{{\mathit{\gamma }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{ik}(t)\})

d_k(t)=\frac{E\{{\mathit{Z}}_{\mathrm{1}k}{Y}_{\mathrm{1}k}\}}{E\{Y_{\mathrm{1}k}(t)\}}

进一步提出{\widehat{\Lambda }}_{\mathrm{0}k}(t) （k=\mathrm{1,2},\dots ,K）的渐近性质。

定理2 在条件（C1）~（C7）下，对所有k=\mathrm{1,2},\dots ,K，{\widehat{\Lambda }}_{\mathrm{0}k}(t)依概率收敛到{\Lambda }_{\mathrm{0}k}(t)，对t\in [\mathrm{0},\tau ]一致地成立。此外，\mathit{W}(t)=n^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}(({\widehat{\Lambda }}_{\mathrm{01}}(t)-{\Lambda }_{\mathrm{01}}(t)),({\widehat{\Lambda }}_{\mathrm{02}}(t)-{\Lambda }_{\mathrm{02}}(t)),\dots ,({\widehat{\Lambda }}_{\mathrm{0}K}(t)-{\Lambda }_{\mathrm{0}K}{(t)))}^{\mathrm{T}}弱收敛到一个零均值的高斯过程\mathit{𝒲}(t)。

下面将给出定理1和定理2的证明。为证明所提出估计的渐近性质，首先给出两个常用的引理^［5］。

引理1 设F_n(t)和G_n(t)是两个有界过程序列，对某个常数\tau，使得

（a） 对某个有界过程F(t)，有\underset{\mathrm{0}\le t\le \tau }{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}||F_n(t)-F(t)||\stackrel{p}{\to }\mathrm{0}，

（b） F_n(t)在[\mathrm{0},\tau ]上单调，

（c） G_n(t)收敛到均值为零的过程，并且该过程有连续的样本轨道，则

\underset{\mathrm{0}\le t\le \tau }{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}||{\int }_{\mathrm{0}}^t(F_n(t)-F(t))\mathrm{d}{G}_n(t)||\stackrel{p}{\to }\mathrm{0}

\underset{\mathrm{0}\le t\le \tau }{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{G}_n(s)\mathrm{d}(F_n(t)-F(t))\stackrel{p}{\to }\mathrm{0}

引理2 设\mathit{\xi }=({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}},\dots ,{\xi }_n)是包含\tilde{n}个1和 n-\tilde{n}个0的随机变量，并且每一个置换都是等可能的。设B_i(t)(i=\mathrm{1,2},\dots ,n)是[\mathrm{0},\tau ]上独立同分布的实值随机过程，并且E\{B_i(t)\}={\mu }_B(t)，，。设B_{\mathrm{1}}(t),B_{\mathrm{2}}(t),\dots ,B_n(t)和\mathit{\xi }相互独立，B_i(t)几乎所有轨道都有有限变差，则n^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\xi }_i(B_i(t)-{\mu }_B(t))在{\mathrm{𝓁}}^{\mathrm{\infty }}[\mathrm{0},\tau ]上弱收敛到一个零均值的高斯过程。因此，n^{-\mathrm{1}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\xi }_i(B_i(t)-{\mu }_B(t))依概率收敛到0，对t一致成立。

在下面定理的证明过程中，{\widehat{\alpha }}_k{(t)}^{-\mathrm{1}}和{\widehat{q}}_k{(t)}^{-\mathrm{1}}的渐近性质起着非常重要的作用。

n^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}({\widehat{\alpha }}_k{(t)}^{-\mathrm{1}}-{\tilde{\alpha }}^{-\mathrm{1}})=\frac{\mathrm{1}}{\tilde{\alpha }E\{(\mathrm{1}-{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k})Y_{\mathrm{1}k}(t)\}}{n}^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}(\mathrm{1}-\frac{{\xi }_i}{\tilde{\alpha }})(\mathrm{1}-{\mathrm{\Delta }}_{ik})Y_{ik}(t))+o_p(\mathrm{1})（3）

n^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}({\widehat{q}}_k{(t)}^{-\mathrm{1}}-{\tilde{q}}_{{}_k}^{-\mathrm{1}})=\frac{\mathrm{1}}{{\tilde{q}}_k(\mathrm{1}-\tilde{\alpha })E\{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k}{Y}_{\mathrm{1}k}(t)\}}{n}^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}(\mathrm{1}-\frac{{\eta }_{ik}}{{\tilde{q}}_k}){\mathrm{\Delta }}_{ik}(\mathrm{1}-{\xi }_i)Y_{ik}(t))+o_p(\mathrm{1})（4）

（3）和（4）式可由引理2、Glivenko-Cantelli引理和泛函Delta方法得到。

定理1的证明。我们首先证明\widehat{\mathit{\theta }}的相合性。根据 Inverse Function Theorem^［15］，要证明估计量的相合性，需要验证以下几点成立：

（i） \partial U(\mathit{\theta })/\partial {\mathit{\theta }}^{\mathrm{T}}存在，并且在{\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}}的一个开邻域\mathrm{ℬ}上连续。

（ii） 当n\to \mathrm{\infty }时，矩阵-n^{-\mathrm{1}}\partial U({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}})/\partial {{\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{T}}正定的概率趋于1。

（iii） 对{\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}}的一个开邻域\mathrm{ℬ}内，-n^{-\mathrm{1}}\partial U(\mathit{\theta })/\partial {\mathit{\theta }}^{\mathrm{T}}依概率收敛到\mathit{A}一致成立。

（iv） 估计函数是渐近无偏的，即n^{-\mathrm{1}}\partial U(\mathit{\theta }){\to }^p\mathrm{0}。

我们可以计算

\frac{\partial n^{-\mathrm{1}}U(\mathit{\theta })}{\partial {\mathit{\theta }}^{\mathrm{T}}}=-n^{-\mathrm{1}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{\rho }_{ik}(t)Y_{ik}(t)(D_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-{\overline{D}}_k({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t))\times \frac{\partial (g\{{\mathit{\beta }}^{\mathrm{T}}{\mathit{W}}_{ik}(t)\}+{\lambda }_{\mathrm{0}k}(t)h\{{\mathit{\gamma }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{ik}(t)\})}{\partial \mathit{\theta }}\mathrm{d}t+n^{-\mathrm{1}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{\rho }_{ik}(t)\frac{\partial (D_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-{\overline{D}}_k({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t))}{\partial \mathit{\theta }}\mathrm{d}{M}_{ik}(t)=

-n^{-\mathrm{1}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{\rho }_{ik}(t)Y_{ik}(t)(D_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-{\overline{D}}_k({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t))\times (g^{\text{'}}\{{\mathit{\beta }}^{\mathrm{T}}{W}_{ik}(t)\}{\mathit{W}}_{ik}(t),{\lambda }_{\mathrm{0}k}(t)h^{\text{'}}\{{\mathit{\gamma }}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{ik}(t)\}{\mathit{Z}}_{ik}(t))\mathrm{d}t+n^{-\mathrm{1}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{\rho }_{ik}(t)\frac{\partial (D_{ik}(\mathit{\theta },t)-{\overline{D}}_k(\mathit{\theta },t))}{\partial \mathit{\theta }}\mathrm{d}{M}_{ik}(t)

利用大数定律，容易证明上式右边第二项收敛到0。上式右边第一项可以分解为

n^{-\mathrm{1}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{Y}_{ik}(t)(D_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-{\overline{D}}_k({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t))\times (g^{\text{'}}\{{\mathit{\beta }}^{\mathrm{T}}{\mathit{W}}_{ik}(t)\}{\mathit{W}}_{ik}(t),{\lambda }_{\mathrm{0}k}(t)h^{\text{'}}\{{\mathit{\gamma }}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{ik}(t)\}{\mathit{Z}}_{ik}(t))\mathrm{d}t+

n^{-\mathrm{1}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }(\mathrm{1}-{\mathrm{\Delta }}_{ik})(\frac{{\xi }_i}{\tilde{\alpha }}-\mathrm{1})Y_{ik}(t)(D_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-{\overline{D}}_k({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t))\times

(g^{\text{'}}\{{\mathit{\beta }}^{\mathrm{T}}{\mathit{W}}_{ik}(t)\}{\mathit{W}}_{ik}(t),{\lambda }_{\mathrm{0}k}(t)h^{\text{'}}\{{\mathit{\gamma }}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{ik}(t)\}{\mathit{Z}}_{ik}(t))\mathrm{d}t+

n^{-\mathrm{1}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{\mathrm{\Delta }}_{ik}(\frac{{\eta }_{ik}}{{\tilde{q}}_k}-\mathrm{1})(\mathrm{1}-{\xi }_i)Y_{ik}(t)(D_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-{\overline{D}}_k({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t))\times

(g^{\text{'}}\{{\mathit{\beta }}^{\mathrm{T}}{\mathit{W}}_{ik}(t)\}{\mathit{W}}_{ik}(t),{\lambda }_{\mathrm{0}k}(t)h^{\text{'}}\{{\mathit{\gamma }}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{ik}(t)\}{\mathit{Z}}_{ik}(t))\mathrm{d}t+

n^{-\mathrm{1}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }(\mathrm{1}-{\mathrm{\Delta }}_{ik}){\xi }_i({\widehat{\alpha }}_k^{-\mathrm{1}}(t)-{\tilde{\alpha }}^{-\mathrm{1}})Y_{ik}(t)(D_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-{\overline{D}}_k({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t))\times

(g^{\text{'}}\{{\mathit{\beta }}^{\mathrm{T}}{\mathit{W}}_{ik}(t)\}{\mathit{W}}_{ik}(t),{\lambda }_{\mathrm{0}k}(t)h^{\text{'}}\{{\mathit{\gamma }}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{ik}(t)\}{\mathit{Z}}_{ik}(t))\mathrm{d}t+

n^{-\mathrm{1}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }(\mathrm{1}-{\xi }_i){\mathrm{\Delta }}_{ik}({\widehat{q}}_k^{-\mathrm{1}}(t)-{\tilde{q}}^{-\mathrm{1}})Y_{ik}(t)(D_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-{\overline{D}}_k({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t))\times

n(g^{\text{'}}\{{\mathit{\beta }}^{\mathrm{T}}{\mathit{W}}_{ik}(t)\}{\mathit{W}}_{ik}(t),{\lambda }_{\mathrm{0}k}(t)h^{\text{'}}\{{\mathit{\gamma }}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{ik}(t)\}{\mathit{Z}}_{ik}(t))\mathrm{d}t

应用引理2和文献［14］中的定理3.2，可以证明：\frac{\partial n^{-\mathrm{1}}U(\mathit{\theta })}{\partial {\mathit{\theta }}^{\mathrm{T}}}\to \mathit{A},当n\to \mathrm{\infty }。因此，（ii）和（iii）是满足的。

对于（iv），通过简单的计算，可以把n^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}U({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}})分解为下面4个部分

\begin{array}{l}{n}^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}U({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}})=n^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }(D_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-d_k(\mathit{\theta },t))\mathrm{d}{M}_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)+\\ n^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }(d_k({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-{\overline{D}}_k({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t))\mathrm{d}{M}_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)+\\ n^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }({\rho }_{ik}(t)-\mathrm{1})(D_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-d_k(\mathit{\theta },t))\mathrm{d}{M}_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)+\\ n^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }({\rho }_{ik}(t)-\mathrm{1})(d_k(\mathit{\theta },t)-{\overline{D}}_k({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t))\mathrm{d}{M}_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)\end{array}（5）

对固定t，{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }(D_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-d_k(\mathit{\theta },t))\mathrm{d}{M}_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)是n个零均值独立随机变量的和，{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }(D_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-d_k(\mathit{\theta },t))\mathrm{d}{M}_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)是有界变差函数，可以用两个单调函数的差表示。根据文献［16］中例2.11.16，可得到：{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }(D_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-d_k(\mathit{\theta },t))\mathrm{d}{M}_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)弱收敛到一个零均值的高斯过程。

利用正则条件（C3），D_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)是一个有界变差函数，从而能表示成两个单调函数的差。根据引理2， （5）式右边第二项和第四项都收敛到0。

下面对（5）式右边的第三项进行如下分解

n^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }({\rho }_{ik}(t)-\mathrm{1})(D_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-d_k(\mathit{\theta },t))\mathrm{d}{M}_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)=

n^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}(\mathrm{1}-{\mathrm{\Delta }}_{ik})(\frac{{\xi }_i}{\tilde{\alpha }}-\mathrm{1}){\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }(D_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-d_k(\mathit{\theta },t))\mathrm{d}{M}_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)+

n^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}(\mathrm{1}-{\mathrm{\Delta }}_{ik}){\xi }_i{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }({\widehat{\alpha }}_k^{-\mathrm{1}}(t)-{\tilde{\alpha }}^{-\mathrm{1}})(D_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-d_k(\mathit{\theta },t))\mathrm{d}{M}_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)+

n^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\mathrm{\Delta }}_{ik}(\frac{{\eta }_{ik}}{{\tilde{q}}_k}-\mathrm{1})(\mathrm{1}-{\xi }_i){\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }(D_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-d_k(\mathit{\theta },t))\mathrm{d}{M}_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)+

n^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\mathrm{\Delta }}_{ik}(\mathrm{1}-{\xi }_i){\eta }_{ik}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }({\widehat{q}}^{-\mathrm{1}}(t)-{\tilde{q}}_k^{-\mathrm{1}})(D_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-d_k(\mathit{\theta },t))\mathrm{d}{M}_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)（6）

借助（3）式、引理2和简单代数计算，等式（6）右边第二项渐近等于

n^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}(\mathrm{1}-{\mathrm{\Delta }}_{ik})(\frac{{\xi }_i}{\tilde{\alpha }}-\mathrm{1}){\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }({\mathit{R}}_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-Y_{ik}(t)\frac{E\{(\mathrm{1}-{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k}){\mathit{R}}_{\mathrm{1}k}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)\}}{E\{(\mathrm{1}-{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k})Y_{\mathrm{1}k}(t)\}})\mathrm{d}t

同理，利用（4）和引理2，等式（6）右边的第四项渐近等于

n^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\mathrm{\Delta }}_{ik}(\frac{{\eta }_{ik}}{{\tilde{q}}_k}-\mathrm{1})(\mathrm{1}-{\xi }_i)({\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{Y}_{ik}(t)\times \frac{E\{(D_{\mathrm{1}k}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-d_k({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t))\mathrm{d}{M}_{\mathrm{1}k}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)|{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k}=\mathrm{1},{\xi }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}\}}{E\{Y_{\mathrm{1}k}(t)|{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k}=\mathrm{1}\}})

因此，有

n^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}U({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}})=n^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }(D_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-d_k(\mathit{\theta },t))\mathrm{d}{M}_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)+

n^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}(\mathrm{1}-{\mathrm{\Delta }}_{ik})(\frac{{\xi }_i}{\tilde{\alpha }}-\mathrm{1}){\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }({\mathit{R}}_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-Y_{ik}(t)\frac{E\{(\mathrm{1}-{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k}){\mathit{R}}_{\mathrm{1}k}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)\}}{E\{(\mathrm{1}-{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k})Y_{\mathrm{1}k}(t)\}})\mathrm{d}t+

n^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\mathrm{\Delta }}_{ik}(\frac{{\eta }_{ik}}{{\tilde{q}}_k}-\mathrm{1})(\mathrm{1}-{\xi }_i)({\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }(D_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-d_k(\mathit{\theta },t))\mathrm{d}{M}_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-

{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{Y}_{ik}(t)\frac{E\{(D_{\mathrm{1}k}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-d_k({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t))\mathrm{d}{M}_{\mathrm{1}k}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)|{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k}=\mathrm{1},{\xi }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}\}}{E\{Y_{\mathrm{1}k}(t)|{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k}=\mathrm{1}\}})+o_p(\mathrm{1})（7）

在正则条件下，（7）式右边的第一项渐近均值为零，协方差矩阵为\mathit{Q}(\mathit{\theta })=E\{{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }(D_{ik}(\mathit{\theta },t)-d_k(\mathit{\theta },t))\mathrm{d}{M}_{ik}{(\mathit{\theta },t)\}}^{\otimes \mathrm{2}}的正态分布^［17］。

利用引理2，容易证明（7）式右边第二项和第三项分别都渐近于零均值的正态分布，其协方差矩阵分别为：\frac{\mathrm{1}-\alpha }{\alpha }{V}_{\mathrm{1}}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}})和\frac{\mathrm{1}-\alpha }{\alpha }{V}_{\mathrm{1}}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}})+(\mathrm{1}-\alpha ){\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}P({\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k}=\mathrm{1})(\frac{\mathrm{1}-q_k}{q_k})V_{\mathrm{2}k}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}})。

因此，n^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}U({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}})依分布收敛到零均值的正态分布，其协方差矩阵为

\mathit{Q}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}})+\frac{\mathrm{1}-\alpha }{\alpha }{V}_{\mathrm{1}}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}})+(\mathrm{1}-\alpha ){\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}P({\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k}=\mathrm{1})(\frac{\mathrm{1}-q_k}{q_k})V_{\mathrm{2}k}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}})

由上面结论知n^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}U({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}})依概率收敛到0，从而证明了定理1。

定理2的证明。我们首先进行如下分解

n^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}\{{\widehat{\Lambda }}_{\mathrm{0}k}(\widehat{\mathit{\theta }},t)-{\Lambda }_{\mathrm{0}k}(t)\}=n^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}({\widehat{\Lambda }}_{\mathrm{0}k}(\widehat{\mathit{\theta }},t)-\{{\widehat{\Lambda }}_{\mathrm{0}k}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t))+n^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}({\widehat{\Lambda }}_{\mathrm{0}k}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-{\Lambda }_{\mathrm{0}k}(t))（8）

利用

\frac{\partial {\widehat{\Lambda }}_{\mathrm{0}k}(\mathit{\theta },t)}{\partial \mathit{\theta }}=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial {\widehat{\Lambda }}_{\mathrm{0}k}(\mathit{\theta },t)}{\partial \mathit{\beta }}\\ \frac{\partial {\widehat{\Lambda }}_{\mathrm{0}k}(\mathit{\theta },t)}{\partial \mathit{\gamma }}\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}{\int }_{\mathrm{0}}^t\frac{{\displaystyle \sum _i^n}({\rho }_{ik}{Y}_{ik}(u)g^{\text{'}}\{{\mathit{\beta }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{W}}_{ik}(u)\}{\mathit{W}}_{ik}(u))}{{\displaystyle \sum _i^n}({\rho }_{ik}{Y}_{ik}(u)h\{{\mathit{\gamma }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{ik}(u)\})}\mathrm{d}u\\ {\int }_{\mathrm{0}}^t\frac{{\displaystyle \sum _i^n}({\rho }_{ik}{Y}_{ik}(u)h^{\text{'}}\{{\mathit{\gamma }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{ik}(u)\}{\mathit{Z}}_{ik}(u))}{{\displaystyle \sum _i^n}({\rho }_{ik}{Y}_{ik}(u)h\{{\mathit{\gamma }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{ik}(u)\})}\mathrm{d}{\Lambda }_{\mathrm{0}k}(u)\end{array}\right)

和泰勒展开式，可以得到（8）式的第一项为

n^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}({\widehat{\Lambda }}_{\mathrm{0}k}(\widehat{\mathit{\theta }},t)-{\widehat{\Lambda }}_{\mathrm{0}k}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t))=({\mathit{\Gamma }}_k{(t))}^{\mathrm{T}}{n}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}(\widehat{\mathit{\theta }}-{\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}})+o_p(\mathrm{1})（9）

对t\in [\mathrm{0},\tau ]一致成立，其中

{\mathit{\Gamma }}_k(t)=-\left(\begin{array}{c}{\int }_{\mathrm{0}}^t\frac{E\{Y_{ik}(u)g^{\text{'}}\{{\mathit{\beta }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{W}}_{ik}(u)\}{\mathit{W}}_{ik}(u)\}}{E\{Y_{ik}(u)h\{{\mathit{\gamma }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{ik}(u)\}\}}\mathrm{d}u\\ {\int }_{\mathrm{0}}^t\frac{E\{Y_{ik}(u)h^{\text{'}}\{{\mathit{\gamma }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{ik}(u)\}{\mathit{Z}}_{ik}(u)\}}{E\{Y_{ik}(u)h\{{\mathit{\gamma }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{ik}(u)\}\}}\mathrm{d}{\Lambda }_{\mathrm{0}k}(u)\end{array}\right)

对于（8）式的第二项，我们有

n^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}({\widehat{\Lambda }}_{\mathrm{0}k}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-{\Lambda }_{\mathrm{0}k}(t))={\int }_{\mathrm{0}}^t\frac{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\rho }_{ik}(u)\mathrm{d}{M}_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},u)}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}({\rho }_{ik}(u)Y_{ik}(u)h\{{\mathit{\gamma }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{ik}(u)\})}+{\int }_{\mathrm{0}}^t\frac{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}({\rho }_{ik}(u)-\mathrm{1})\mathrm{d}{M}_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},u)}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}({\rho }_{ik}(u)Y_{ik}(u)h\{{\mathit{\gamma }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{ik}(u)\})}（10）

应用文献［5］的方法，可以证明

{\int }_{\mathrm{0}}^t\frac{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\rho }_{ik}(u)\mathrm{d}{M}_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},u)}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}({\rho }_{ik}(u)Y_{ik}(u)h\{{\mathit{\gamma }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{ik}(u)\})}={\int }_{\mathrm{0}}^t\frac{\mathrm{1}}{E\{Y_{\mathrm{1}k}(u)h\{{\mathit{\gamma }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{Z}_{\mathrm{1}k}(u)\}\}}\mathrm{d}(n^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{M}_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t))（11）

利用定理1的证明过程，类似地可以推导出

{\int }_{\mathrm{0}}^t\frac{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}({\rho }_{ik}(u)-\mathrm{1})\mathrm{d}{M}_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},u)}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}({\rho }_{ik}(u)Y_{ik}(u)h\{{\mathit{\gamma }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{ik}(u)\})}=n^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}(\mathrm{1}-\frac{{\xi }_i}{\tilde{\alpha }})(\mathrm{1}-{\mathrm{\Delta }}_{ik}){\int }_{\mathrm{0}}^t{Y}_{ik}(u)\times

(g\{{\mathit{\beta }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{W}}_{ik}(u)\}-\frac{E\{(\mathrm{1}-{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k})Y_{\mathrm{1}k}(u)g\{{\mathit{\beta }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{W}}_{\mathrm{1}k}(u)\}\}}{E\{(\mathrm{1}-{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k})Y_{\mathrm{1}k}(u)h\{{\mathit{\gamma }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{\mathrm{1}k}(u)\}\}})\frac{\mathrm{d}u}{E\{Y_{\mathrm{1}k}(u)h\{{\mathit{\gamma }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{\mathrm{1}k}(u)\}\}}+

n^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\mathrm{\Delta }}_{ik}(\mathrm{1}-{\xi }_i)(\frac{{\eta }_{ik}}{{\tilde{q}}_k}-\mathrm{1}){\int }_{\mathrm{0}}^t\frac{\mathrm{1}}{E\{Y_{\mathrm{1}k}(u)h\{{\mathit{\gamma }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{\mathrm{1}k}(u)\}\}}\times

(\mathrm{d}{M}_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},u)-Y_{ik}(u)\frac{E\{\mathrm{d}{M}_{\mathrm{1}k}(\mathit{\theta },u)|{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k}=\mathrm{1},{\xi }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}\}}{E\{Y_{\mathrm{1}k}(u)h\{{\mathit{\gamma }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{\mathrm{1}k}(u)\}|{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k}=\mathrm{1}\}})（12）

结合（9），（11）和（12）式，可得

n^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}({\widehat{\Lambda }}_{\mathrm{0}k}(\widehat{\mathit{\theta }},t)-{\Lambda }_{\mathrm{0}k}(t))=n^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\nu }_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)+n^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}(\mathrm{1}-\frac{{\xi }_i}{\tilde{\alpha }}){\psi }_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)+n^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\nu }_{ik}^{\mathrm{*}}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)+o_p(\mathrm{1})

其中，

{\nu }_{ik}(\mathit{\theta },t)=({\mathit{\Gamma }}_k{(t))}^{\mathrm{T}}{\mathit{A}}^{-\mathrm{1}}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^K}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }(D_{ij}(\mathit{\theta },t)-d_j(\mathit{\theta },t))\mathrm{d}{M}_{ij}(\mathit{\theta },t)+{\int }_{\mathrm{0}}^t\frac{\mathrm{1}}{E\{Y_{\mathrm{1}k}(u)h\{{\mathit{\gamma }}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{\mathrm{1}k}(u)\}\}}\mathrm{d}{M}_{ik}(\mathit{\theta },t)

{\psi }_{ik}(\mathit{\theta },t)=({\mathit{\Gamma }}_k{(t))}^{\mathrm{T}}{\mathit{A}}^{-\mathrm{1}}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^K}(\mathrm{1}-{\mathrm{\Delta }}_{ij}){{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }(\mathit{R}}_{ik}(\mathit{\theta },u)-Y_{ik}(u)\frac{E\{(\mathrm{1}-{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}j}){\mathit{R}}_{\mathrm{1}j}(\mathit{\theta },u)\}}{E\{(\mathrm{1}-{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}j})Y_{\mathrm{1}j}(u)\}})\mathrm{d}u+

(\mathrm{1}-{\mathrm{\Delta }}_{ik}){\int }_{\mathrm{0}}^t{Y}_{ik}(u)(g\{{\mathit{\beta }}^{\mathrm{T}}{\mathit{W}}_{ik}(u)\}-\frac{E\{(\mathrm{1}-{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k})Y_{\mathrm{1}k}(u)g\{{\mathit{\beta }}^{\mathrm{T}}{\mathit{W}}_{\mathrm{1}k}(u)\}\}}{E\{(\mathrm{1}-{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k})Y_{\mathrm{1}k}(u)h\{{\mathit{\gamma }}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{\mathrm{1}k}(u)\}\}})\times \frac{\mathrm{d}u}{E\{Y_{\mathrm{1}k}(u)h\{{\mathit{\gamma }}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{\mathrm{1}k}(u)\}\}}

{\nu }_{ik}^{\mathrm{*}}(\mathit{\theta },t)=({\mathit{\Gamma }}_k{(t))}^{\mathrm{T}}{\mathit{A}}^{-\mathrm{1}}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^K}{\mathrm{\Delta }}_{ij}(\mathrm{1}-{\xi }_i)(\frac{{\eta }_{ij}}{{\tilde{q}}_j}-\mathrm{1}){\zeta }_{ij}^{(\mathrm{2})}(\mathit{\theta },t)+{\mathrm{\Delta }}_{ik}(\mathrm{1}-{\xi }_i)(\frac{{\eta }_{ik}}{{\tilde{q}}_k}-\mathrm{1}){\zeta }_{ik}^{(\mathrm{1})}(\mathit{\theta },t)

{\zeta }_{ik}^{(\mathrm{1})}(\mathit{\theta },t)={\int }_{\mathrm{0}}^t\frac{\mathrm{1}}{E\{Y_{\mathrm{1}k}(u)h\{{\mathit{\gamma }}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{\mathrm{1}k}(u)\}\}}(\mathrm{d}{M}_{ik}(\mathit{\theta },t)-Y_{ik}(u)\frac{E\{\mathrm{d}{M}_{\mathrm{1}k}(\mathit{\theta },u)|{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k}=\mathrm{1},{\xi }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}\}}{E\{Y_{\mathrm{1}k}(u)h\{{\mathit{\gamma }}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{\mathrm{1}k}(u)\}|{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k}=\mathrm{1}\}})

{\zeta }_{ik}^{(\mathrm{2})}(\mathit{\theta },t)={\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }(D_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-d_k(\mathit{\theta },t))\mathrm{d}{M}_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{Y}_{ik}(t)\frac{E\{(D_{\mathrm{1}k}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)-d_k({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t))\mathrm{d}{M}_{\mathrm{1}k}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)|{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k}=\mathrm{1},{\xi }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}\}}{E\{Y_{\mathrm{1}k}(t)|{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k}=\mathrm{1}\}}

令{\mathit{W}}^{(\mathrm{1})}(t)=\{W_{\mathrm{1}}^{(\mathrm{1})}(t),W_{\mathrm{2}}^{(\mathrm{1})}(t),\dots ,W_K^{(\mathrm{1})}{(t)\}}^{\mathrm{T}}，其中W_k^{(\mathrm{1})}(t)=n^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\nu }_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)；{\mathit{W}}^{(\mathrm{2})}(t)=\{W_{\mathrm{1}}^{(\mathrm{2})}(t),W_{\mathrm{2}}^{(\mathrm{2})}(t),\dots ,W_K^{(\mathrm{2})}{(t)\}}^{\mathrm{T}},其中W_k^{(\mathrm{2})}(t)=n^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}(\mathrm{1}-{\xi }_i/\alpha ){\psi }_{ik}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t)；{\mathit{W}}^{(\mathrm{3})}(t)=\{W_{\mathrm{1}}^{(\mathrm{3})}(t),W_{\mathrm{2}}^{(\mathrm{3})}(t),\dots ,W_K^{(\mathrm{3})}{(t)\}}^{\mathrm{T}},其中W_k^{(\mathrm{3})}(t)=n^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\nu }_{ik}^{\mathrm{*}}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t),k=\mathrm{1,2},\dots ,K。

根据定理2^［17］，{\mathit{W}}^{(\mathrm{1})}(t)和{\mathit{W}}^{(\mathrm{2})}(t)分别弱收敛到D{[\mathrm{0},\tau ]}^K上零均值的高斯过程{\mathit{𝒲}}^{(\mathrm{1})}(t)=({\mathit{𝒲}}_{\mathrm{1}}^{(\mathrm{1})}(t),{\mathit{𝒲}}_{\mathrm{2}}^{(\mathrm{1})}(t),\dots ,{\mathit{𝒲}}_K^{(\mathrm{1})}{(t))}^{\mathrm{T}}和{\mathit{𝒲}}^{(\mathrm{2})}(t)=({\mathit{𝒲}}_{\mathrm{1}}^{(\mathrm{2})}(t),{\mathit{𝒲}}_{\mathrm{2}}^{(\mathrm{2})}(t),\dots ,{\mathit{𝒲}}_K^{(\mathrm{2})}{(t))}^{\mathrm{T}}，并且{\mathit{𝒲}}_j^{(\mathrm{1})}(t_{\mathrm{1}})和{\mathit{𝒲}}_k^{(\mathrm{1})}(t_{\mathrm{2}})的协方差函数为E\{{\nu }_{\mathrm{1}j}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t_{\mathrm{1}}){\nu }_{\mathrm{1}k}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t_{\mathrm{2}})\}，{\mathit{𝒲}}_j^{(\mathrm{2})}(t_{\mathrm{1}})和{\mathit{𝒲}}_k^{(\mathrm{2})}(t_{\mathrm{2}})的协方差函数为E\{{\psi }_{\mathrm{2}j}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t_{\mathrm{1}}){\psi }_{\mathrm{2}k}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t_{\mathrm{2}})\}。

类似地，{\mathit{W}}^{(\mathrm{3})}(t)弱收敛到一个零均值的高斯过程，W_j^{(\mathrm{3})}(t_{\mathrm{1}})和W_k^{(\mathrm{3})}(t_{\mathrm{2}})的协方差函数为

(\mathrm{1}-\alpha )\times [I(j=k)P({\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k}=\mathrm{1})(\frac{\mathrm{1}-q_k}{q_k})\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}\{{\zeta }_{\mathrm{1}k}^{(\mathrm{1})}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t_{\mathrm{1}}),{\zeta }_{\mathrm{1}k}^{(\mathrm{1})}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t_{\mathrm{2}})|{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k}=\mathrm{1},{\xi }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}\}+P({\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}j}=\mathrm{1})\cdot\frac{\mathrm{1}-q_j}{q_j}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}\{{\zeta }_{\mathrm{1}j}^{(\mathrm{1})}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t_{\mathrm{1}}),({\mathit{\Gamma }}_k(t_{\mathrm{2}}{))}^{\mathrm{T}}{\mathit{A}}^{-\mathrm{1}}{\zeta }_{\mathrm{1}j}^{(\mathrm{1})}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t_{\mathrm{2}})|{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k}=\mathrm{1},{\xi }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}\}+P({\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k}=\mathrm{1})\cdot\frac{\mathrm{1}-q_k}{q_k}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}\{{\zeta }_{\mathrm{1}k}^{(\mathrm{1})}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t_{\mathrm{2}}),({\mathit{\Gamma }}_j(t_{\mathrm{1}}{))}^{\mathrm{T}}{\mathit{A}}^{-\mathrm{1}}{\zeta }_{\mathrm{1}k}^{(\mathrm{1})}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t_{\mathrm{1}})|{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k}=\mathrm{1},{\xi }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}\}+{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^K}P({\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}k}=\mathrm{1})\frac{\mathrm{1}-q_m}{q_m}\times ({\mathit{\Gamma }}_j(t_{\mathrm{1}}{))}^{\mathrm{T}}{\mathit{A}}^{-\mathrm{1}}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}\{{\zeta }_{\mathrm{1}m}^{(\mathrm{2})}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t_{\mathrm{1}}),{\zeta }_{\mathrm{1}m}^{(\mathrm{2})}({\mathit{\theta }}_{\mathrm{0}},t_{\mathrm{2}})|{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}m}=\mathrm{1},{\xi }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}\}{\mathit{A}}^{-\mathrm{1}}({\mathit{\Gamma }}_k(t_{\mathrm{2}}{))}^{\mathrm{T}}]

根据条件期望的性质，{\mathit{W}}^{(\mathrm{1})}(t)，{\mathit{W}}^{(\mathrm{2})}(t)和{\mathit{W}}^{(\mathrm{3})}(t)相互独立。因此，\mathit{W}(t)={\mathit{W}}^{(\mathrm{1})}(t)+{\mathit{W}}^{(\mathrm{2})}(t)+{\mathit{W}}^{(\mathrm{3})}(t)弱收敛到一个零均值的高斯过程：\mathit{𝒲}(t)={\mathit{𝒲}}^{(\mathrm{1})}(t)+{\mathit{𝒲}}^{(\mathrm{2})}(t)+{\mathit{𝒲}}^{(\mathrm{3})}(t)。

3　 数值模拟

本节将通过数值模拟来检验所提出估计的性质。为了便于比较，把与时间无关的权重计算的参数用{\widehat{\mathit{\theta }}}_{\mathrm{I}}表示，把与时间相关的权重计算的参数用{\widehat{\mathit{\theta }}}_{\mathrm{I}\mathrm{I}}表示。在数值模拟中，本文考虑两种类型的疾病，即K=2。协变量{\mathit{Z}}_{\mathrm{1}},{\mathit{Z}}_{\mathrm{2}},{\mathit{W}}_{\mathrm{1}}和{\mathit{W}}_{\mathrm{2}}是来自成功概率为0.5的Bernoulli分布。在给定{\mathit{Z}}_{\mathrm{1}},{\mathit{Z}}_{\mathrm{2}},{\mathit{W}}_{\mathrm{1}}和{\mathit{W}}_{\mathrm{2}}的条件下，我们考虑失效时间（T_{\mathrm{1}},T_{\mathrm{2}}）由下面的联合生存函数^［18］产生

S(t_{\mathrm{1}},t_{\mathrm{2}}|{\mathit{Z}}_{\mathrm{1}},{\mathit{Z}}_{\mathrm{2}},{\mathit{W}}_{\mathrm{1}},{\mathit{W}}_{\mathrm{2}})={({\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\frac{({\mathit{\beta }}_{\mathrm{0}}{\mathit{W}}_k+{\lambda }_{\mathrm{0}k}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{{\mathit{\gamma }}_{\mathrm{0}}{\mathit{Z}}_k\})t_k}{\kappa }-\mathrm{1})}^{-\kappa }

其中\kappa >\mathrm{0}表示T_{\mathrm{1}}和T_{\mathrm{2}}的相关程度。\kappa的值越小，则表明T_{\mathrm{1}}和T_{\mathrm{2}}之间的相关性越强。

受Lin等^［14］的启发，本文选取的D_{ik}(\theta ,t)的形式如下

\left(\begin{array}{c}{g}^{\text{'}}\{{\mathit{\beta }}^{\mathrm{T}}{\mathit{W}}_{ik}(t)\}{\mathit{W}}_{ik}(t)/h\{{\mathit{\gamma }}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{ik}(t)\}\\ h^{\text{'}}\{{\mathit{\gamma }}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{ik}(t)\}{\mathit{Z}}_{ik}(t)/h\{{\mathit{\gamma }}^{\mathrm{T}}{\mathit{Z}}_{ik}(t)\}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\mathit{W}}_{ik}/\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{\mathit{\gamma }{\mathit{Z}}_{ik}\}\\ {\mathit{Z}}_{ik}\end{array}\right)

在数值模拟中，令{\lambda }_{\mathrm{01}}=\mathrm{1}和{\lambda }_{\mathrm{02}}=\mathrm{2}。\kappa的值取为0.10，0.80和1.25，相应的Kendall’s tau是0.83，0.38和0.29，这表明T_{\mathrm{1}}和T_{\mathrm{2}}的相关程度越来越弱。删失时间由均匀分布[\mathrm{0},u]产生，而u的值是根据数据删失的比例来确定的。另外，考虑疾病的发生率分别为P_D=[\mathrm{18}\mathrm{\%},\mathrm{32}\mathrm{\%}]和P_D=[\mathrm{26}\mathrm{\%},\mathrm{41}\mathrm{\%}]，在广义case-cohort设计下，抽取的子列大小\tilde{n}为300，q=[\mathrm{0.5,0.5}]。全队列的n=1 000，对每一种情形的参数估计，都重复进行1 000次模拟，数值模拟结果见表1。

从表1可以看出，两种估计{\mathit{\theta }}_{\mathrm{I}}和{\mathit{\theta }}_{\mathrm{I}\mathrm{I}}的模拟结果是相似的。具体来说，在不同的疾病发生率下，\beta =\mathrm{0},\gamma =\mathrm{0}时的估计都是无偏的，并且它们的标准差的估计效果都很好，95%的经验覆盖概率CR值介于93%~96%之间，这是合理的。

另外，当q=[\mathrm{1,1}]时，广义case-cohort设计下多类型事件数据的加乘风险回归模型就退化为一般case-cohort设计下的情形。因此，表1实际上给出了广义case-cohort设计和一般case-cohort设计下的参数估计值结果比较。显然，从表1可以看出，广义case-cohort设计下的结果与一般case-cohort设计下的结果类似。但当疾病事件发生率较高时，广义case-cohort设计下得到的结果是非常好的。因此，广义case-cohort设计在疾病事件发生率较高时更加具有应用性。

4　 实例分析

为了对比分析广义case-cohort设计的实用性，本节将所提方法应用到澳大利亚Busselton的健康调查数据^［19］上，比较采用该设计方法与一般case-cohort设计的应用效果。

由于血液样本的收集与保存费用昂贵，为了降低成本，在调查中实施了case-cohort抽样设计，化验的活性血清样本总共有626份，包含子列中的450人以及子列外发病者176人（冠心病113人，中风39人，两种疾病都发生的24人）。对子列外的176名发病个体按比例q=［0.5，0.5］抽取部分个体收集协变量。这样，子列外共收集88名发病个体的协变量信息。在广义case-cohort设计下，收集到的样本总共有538份。

表2和表3分别给出了q=［1，1］和q=［0.5，0.5］时，广义case-cohort设计下的模型和一般case-cohort设计下的模型的应用结果。结果表明，两种模型结果类似，但在广义case-cohort设计下风险率的95%的经验覆盖概率区间的精度有所下降。

5　 结 语

本文研究广义case-cohort设计下多类型事件数据的加乘风险回归模型。利用逆概率加权的思想，给出加权估计方程，并证明参数估计的相合性和渐近正态性。数值模拟结果说明所提出方法的可行性与有效性。在数值模拟中，本文还使用了两类权重函数：与时间相关的权重和与时间无关的权重，并与一般case-cohort设计下的参数估计值结果进行比较。数值结果表明：1） 与时间相关权重的估计效果略微高于与时间无关权重的估计效果，但效果并不明显；2） 广义case-cohort设计下的结果与一般case-cohort设计下的结果类似，但当疾病事件发生率较高时，广义case-cohort设计更加具有应用性。最后，将本文所提模型应用到澳大利亚Busselton的健康调查数据中上，实例分析表明估计结果良好，但在广义case-cohort设计下风险率的95%的经验覆盖概率区间的精度有所下降。

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基金资助

安徽省高等学校自然科学研究重点项目(KJ2018A0390)