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次线性期望空间下随机加权ND序列的完全积分收敛

张冰冰 ,  吴群英

武汉大学学报（理学版） ›› 2021, Vol. 67 ›› Issue (3) : 270 -276.

PDF (661KB)
武汉大学学报（理学版） ›› 2021, Vol. 67 ›› Issue (3) : 270 -276. DOI: 10.14188/j.1671-8836.2020.0238
数学

次线性期望空间下随机加权ND序列的完全积分收敛

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The Complete Integral Convergence of a Randomly Weighted ND Sequence Under Sub⁃Linear Expectations Space

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摘要

利用Hölder不等式和Rosenthal不等式，在积分条件下给出次线性期望空间下随机加权ND（negatively dependent）序列的部分和的完全积分收敛，将概率空间下具有随机加权ND序列的部分和的完全矩收敛推广到次线性空间中。

Abstract

Using Hölder's inequality and Rosenthal's inequality, the complete integral convergence partial of integral sum of random weighted ND（negatively dependent） sequences under sub⁃linear expectations space is given under the condition of integral. The complete moment convergence of partial sums with random weighted ND sequences in probability space is extended to sub⁃linear expectations space.

关键词

完全积分收敛 / 随机加权 / 次线性期望

Key words

complete integral convergence / randomly weighted / sub⁃linear expectation

引用本文

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张冰冰,吴群英. 次线性期望空间下随机加权ND序列的完全积分收敛[J]. 武汉大学学报（理学版）, 2021, 67(3): 270-276 DOI:10.14188/j.1671-8836.2020.0238

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0　 引 言

极限理论是数理统计中的重要分支，它被广泛运用到经济、统计和其他领域中。但随着各领域非线性问题的出现，大量信息和数据在概率空间下处理受限。为解决这些问题，山东大学彭实戈院士［1~3］创造性的提出了次线性期望空间的概念并提供了完整的框架，成为了经典概率理论研究发展的一个新趋势并引起了广大学者的研究。Chen等［4］得到了次线性期望空间下的一些不等式如Hölder不等式和Jensen不等式，随后Zhang［5，6］研究了次线性期望空间下的指数不等式和Rosenthal不等式，为我们研究次线性期望空间下的极限理论提供了强有力的工具。利用这些工具，Zhang［7］将随机变量的范围进一步扩大得到次线性期望下ND（negatively dependent）序列的Kolmogorov强大数定律，Wu等［8］研究了次线性期望下的强大数率和Chover重对数率，Wang等［9］研究了次线性期望空间下END（extended negatively dependent）序列加权和的几乎处处收敛。

1988年，Chow［10］首次引入完全矩收敛的概念，它比完全收敛更强，所以近些年来对于完全矩收敛的研究逐渐多了起来。Liang等［11］研究了NA（negatively associated）序列的完全矩收敛和完全积分收敛，推出完全矩收敛是完全积分收敛的一种形式。在次线性期望空间中，由于完全矩收敛与完全C𝕍积分收敛相似，所以能将经典概率中的完全矩收敛扩展成完全C𝕍积分收敛，故本文称次线性期望空间中的完全矩收敛为完全积分收敛。目前在次线性期望空间下完全积分收敛的研究成果较少，Zhong等［12］研究了次线性期望空间下END随机变量的完全收敛和完全积分收敛。本文对次线性期望空间下随机加权ND序列的部分和的完全积分收敛进行研究，将概率空间下具有随机加权ND序列的部分和的完全矩收敛［13］推广到次线性空间中。

1　 定义和引理

本文用彭实戈院士［1~3］提出的次线性期望空间的框架，令(Ω,ℱ)是给定的可测空间，ℋ是定义在(Ω,ℱ)上由实函数构成的线性空间，若X1,X2,⋅⋅⋅,Xn∈ℋ，则对于∀φ∈Cl,Lip(ℝn),有φ(X1,X2,⋅⋅⋅,Xn)∈ℋ,其中Cl,Lip(ℝn)是局部Lipschitz函数，即存在c>0,以及仅依赖于φ的m∈ℕ,恒有

φx-φy≤c1+xm+ymx-y,∀x,y∈ℝn

本文记X∈ℋ。

定义1 称𝔼̂:ℋ→ℝ¯为次线性期望，若对于∀X,Y∈ℋ,有以下性质

1） 单调性：若X≥Y,则𝔼̂X≥𝔼̂Y;

2） 保持常数不变性：𝔼̂c=c;

3） 次可加性：𝔼̂(X+Y)≤𝔼̂X+𝔼̂Y，其中𝔼̂X+𝔼̂Y不是+∞-∞或者-∞+∞这样的形式；

4） 正齐性：𝔼̂(λX)=λ𝔼̂(X),λ≥0。

其中ℝ¯=[-∞,∞]。三元组(Ω,ℋ,𝔼̂)被称为次线性期望空间。

定义2 令𝒢⊂ℱ,函数V:𝒢→[0,1]称为容度，如果V(∅)=0,V(Ω)=1;且对∀A⊆B,A,B∈𝒢,都有V(A)≤V(B)。

若对所有的A,B∈𝒢,A⋃B∈𝒢,有V(A⋃B)≤V(A)+V(B),则称V具有次可加性。

在次线性空间(Ω,ℋ,𝔼̂)下，定义一对容度(𝕍,𝒱)，

𝕍(A):=inf{𝔼̂ξ;I(A)≤ξ,ξ∈ℋ},𝒱(A):=1-𝕍(Ac),∀A∈ℱ

其中，Ac是A的补集，I(⋅)为示性函数。由𝕍的定义可以看出𝕍是次可加的，并且𝒱(A)≤𝕍(A),∀A∈ℱ,

若I(A)∈ℋ,则𝕍(A)=𝔼̂(I(A)),若f≤I(A)≤g，f,g∈ℋ,则𝔼̂f≤𝕍(A)≤𝔼̂g

定义3 1） 次线性期望𝔼̂:ℋ→ℝ¯被称为可数次可加，若满足

𝔼̂(X)≤∑n=1∞𝔼̂(Xn),对∀X≤∑n=1∞Xn,X,Xn∈ℋ,X≥0,Xn≥0,n≥1

2） 函数V:ℱ→[0,1]被称为可数次可加，若满足

V∪n=1∞An≤∑n=1∞V(An),∀An∈ℱ

下面定义Choqet积分

C𝕍(X)=∫0∞𝕍(X≥t)dt+∫-∞0𝕍(X≥t)-1dt

可以用𝒱来代替𝕍得到相应的积分。

定义4 1） 独立性［3］ 在次线性期望空间(Ω,ℋ,𝔼̂)下，若对任意函数φ∈Cl,Lip(ℝm×ℝn)，有

𝔼̂(φ(X,Y))=𝔼̂𝔼̂(φ(X,Y))|x=X

则称随机向量Y=(Y1,Y2,⋅⋅⋅,Yn)(Yi∈ℋ)关于随机向量X=(X1,X2,⋅⋅⋅,Xm)(Xi∈ℋ)在𝔼̂下是独立的，其中𝔼̂φ¯(X)<∞,对于∀x,φ¯(X):=𝔼̂φ(x,Y)<∞。

由独立性的定义容易得到下面的性质。

性质：假设在次线性期望空间(Ω,ℋ,𝔼̂)下，若向量Y=(Y1,Y2,⋅⋅⋅,Yn)(Yi∈ℋ)关于随机向量X=(X1,X2,⋅⋅⋅,Xm)(Xi∈ℋ)在𝔼̂下是独立的，则对任意一对函数φ1∈Cl,Lip(ℝm)和φ2∈Cl,Lip(ℝn),且φ1(X)≥0,𝔼̂(φ2(Y))≥0,有

𝔼̂(φ1(X)φ2(Y))=𝔼̂(φ1(X))𝔼̂(φ2(Y))

2） ND［7］

在次线性期望空间(Ω,ℋ,𝔼̂)下，若对任意一对函数φ1∈Cl,Lip(ℝm)和φ2∈Cl,Lip(ℝn),且φ1,φ2为非减或非增的单调函数，φ1(X)≥0,𝔼̂(φ2(Y))≥0,都有

𝔼̂(φ1(X)φ2(Y))≤𝔼̂(φ1(X))𝔼̂(φ2(Y))

则称随机向量Y=(Y1,Y2,⋅⋅⋅,Yn)(Yi∈ℋ)与随机向量X=(X1,X2,⋅⋅⋅,Xm)(Xi∈ℋ)在𝔼̂下是ND的，其中𝔼̂(φ1(X)φ2(Y))<∞,𝔼̂φ1(X)<∞,𝔼̂φ2(Y)<∞。

由独立性的定义可得：如果Xn;n≥1是ND随机变量序列，f1(x),f2(x),⋅⋅⋅∈Cl,Lip(ℝ)是非降（或非增）的函数，则fn(Xn);n≥1仍是ND的随机变量序列。

3） 独立（ND）随机变量列

在次线性期望空间(Ω,ℋ,𝔼̂)下，若对任意i≥1，有Xi+1独立（ND）于(X1,X2,⋯,Xi)，则称这个随机变量列{Xn,n≥1}是独立（ND）的。

定义5 称随机变量序列{Xn,n≥1}被随机变量X随机控制，如果存在一个常数c,使得

𝔼̂hXn≤c𝔼̂hX,∀n≥1,0≤h∈Cl,Lip(ℝ)

在本文中恒设an≪bn表示存在一个常数c>0,使得当n充分大时，有an≤cbn,I(⋅)表示示性函数。

引理1 1） Markov不等式［4］：∀X∈ℋ,有

𝕍(X>x)≤𝔼̂Xpxp,∀x>0,p>0

2） Hölder不等式［6］：令X,Y是次线性期望空间(Ω,ℋ,𝔼̂)下的随机变量，对p,q>1且1p+1q=1,有

𝔼̂XY≤(𝔼̂Xp)1p(𝔼̂Yq)1q

引理2 假设{Xn,n≥1},{Yn,n≥1}是次线性期望空间(Ω,ℋ,𝔼̂)下的两个随机变量序列，𝔼̂具有可数次可加性，则对∀n≥1,q>1,ϵ>0,a>0,有

𝔼̂∑i=1n(Xi+Yi)-ϵa+≤1ϵq+1q-11aq-1𝔼̂∑i=1nXiq+𝔼̂∑i=1nYi

证 因为a+b-c+≤a-c++b,则

𝔼̂∑i=1n(Xi+Yi)-ϵa+≤𝔼̂∑i=1nXi-ϵa++𝔼̂∑i=1nYi

因为𝔼̂具有可数次可加性，所以由Wu等［8］的引理3.9（b）得

𝔼̂∑i=1nXi-ϵa+≤C𝕍∑i=1nXi-ϵa+

由条件q>1以及引理1的Markov不等式，得

C𝕍∑i=1nXi-ϵa+=∫a∞𝕍∑i=1nXi-ϵa>tdt=∫0a𝕍∑i=1nXi>t+ϵadt+∫a∞𝕍∑i=1nXi>t+ϵadt≤
a𝕍∑i=1nXi>ϵa+∫a∞𝕍∑i=1nXi>tdt≤𝔼̂∑i=1nXiqϵqaq-1+∫a∞𝔼̂∑i=1nXiqtqdt=1ϵq+1q-11aq-1𝔼̂∑i=1nXiq

将上式代入（6）式即得（5）式成立。

引理3［8］ Rosenthal不等式：令{Xn,n≥1}是次线性期望空间(Ω,ℋ,𝔼̂)下的ND随机变列，满足𝔼̂(Xk)≤0,则

𝔼̂Sn+p≤22-p∑k=1n𝔼̂Xkp,1≤p≤2

2　 主要结果及其证明

设{Xn,n≥1}是次线性期望空间(Ω,ℋ,𝔼̂)下的随机变序列，对这个序列进行截尾，使截尾函数非增（非减）并且属于Cl,Lip。对∀c>0,fcx=-cIx<-c+xIx≤c+cIx>c,对于∀1≤k≤n,n≥1,令

Xni=fnαXi=-nαIXi<-nα+XiIXi≤nα+nαIXi>nα
X˜ni=Xi+nαIXi<-nα+Xi-nαIXi>nα

则有Xi=Xni+X˜ni。容易看出

AniXi=AniXni-𝔼̂AniXni+𝔼̂AniXni+AniX˜ni,1≤i≤n

定理1 对∀n≥1,设{Ani,1≤i≤n}和{Xn,n≥1}是次线性期望空间(Ω,ℋ,𝔼̂)下的随机变序列，{AniXi,1≤i≤n}是次线性期望空间(Ω,ℋ,𝔼̂)下的ND随机变序列，𝔼̂(Xn)=ε̂(Xn)=0，𝔼̂(AniXni)=ε̂(AniXni)，{Xn,n≥1}被随机变量X控制，{Xn,n≥1}关于{Ani,1≤i≤n}独立，𝔼̂具有可数次可加性。对α>1/2,1<p<2,β≥1,满足

C𝕍Xp<∞
∑i=1n𝔼̂Ani2=O(nβ)

则对∀ε>0,

∑n=1∞nαp-1-β-α𝔼̂∑i=1nAniXi-εnα+<∞

证 在引理2中取q=2，由（7）式得

∑n=1∞nαp-1-β-α𝔼̂∑i=1nAniXi-εnα+=
∑n=1∞nαp-1-β-α𝔼̂∑i=1n(AniXni-𝔼̂AniXni)+(𝔼̂AniXni+AniX˜ni)-εnα+≪
∑n=1∞nαp-1-β-2α𝔼̂∑i=1nAniXni-𝔼̂AniXni2+∑n=1∞nαp-1-β-α𝔼̂∑i=1n𝔼̂AniXni+AniX˜ni≤
∑n=1∞nαp-1-β-2α𝔼̂∑i=1nAniXni-𝔼̂AniXni2+∑n=1∞nαp-1-β-α𝔼̂∑i=1nAniX˜ni+
∑n=1∞nαp-1-β-α∑i=1n𝔼̂(AniXni)≜H1+H2+H3

在次线性期望空间下，由于𝔼̂是通过连续函数Cl,Lip来定义的，并且I(X≤a)不一定连续，所以表达式𝔼̂I(X≤a)不一定存在，因此需要通过Cl,Lip来修正示性函数，我们做如下定义。

对0<μ<1,设g(x)∈Cl,Lip是一个偶函数，并且在x≥0上是单调下降的，使得对∀x∈ℝ,0≤g(x)≤1，且当x≤μ,g(x)=1;当x>1,g(x)=0，则

I(x≤μ)≤g(x)≤I(x≤1),I(x>1)≤1-g(x)≤I(x>μ)

由（11）式得，∀t>0,

Xnit≤XitIXi≤nα+nαtIXi>nα≤XitgXinα+nαt1-gXinα 
X˜nit≤Xi+nαtIXi<-nα+Xi-nαtIXi>nα=
-Xi+nαtIXi<-nα+Xi-nαtIXi>nα=
Xi-nαtIXi>nα≤XitIXi>nα≤Xit1-gXinα

首先来处理H2。因为{Ani,1≤i≤n}关于{Xn,n≥1}独立，所以由（2），（3）和（14）式得

H2≤∑n=1∞nαp-1-β-α∑i=1n𝔼̂AniX˜ni=∑n=1∞nαp-1-β-α∑i=1n𝔼̂Ani𝔼̂X˜ni≤
∑n=1∞nαp-1-β-α∑i=1n𝔼̂Ani𝔼̂Xi1-gXinα≪∑n=1∞nαp-1-β-α∑i=1n𝔼̂Ani𝔼̂X1-gXnα

由引理1的Hölder不等式和（9）式得

∑i=1n𝔼̂Ani≤∑i=1n𝔼̂Ani21/2∑i=1n11/2≪nβ+12≪nβ

由（15）式得

H2≪∑n=1∞nαp-1-α𝔼̂X1-gXnα

在概率空间下E(X+Y)=EX+EY,但在次线性期望空间下𝔼̂(X+Y)≤𝔼̂(X)+𝔼̂(Y),因此不能简单的用分段求和的方法证明H2<∞，所以我们用下面的方法来证明H2<∞。

显然，对任意c>0,有C𝕍Xp<∞与C𝕍Xp/cp<∞等价。

则由积分判敛法，得

C𝕍Xp/cp=∫0∞𝕍X>cx1/pdx<∞⇔∑n=1∞𝕍X>cn1/p<∞

因此，对于任意的c>0,

C𝕍Xp<∞⇔∑n=1∞𝕍X>cn1/p<∞

令a>1,得

∑n=1∞𝕍X>cn1/p=∑k=1∞∑ak-1≤n<ak𝕍X>cn1/p≥∑k=1∞∑ak-1≤n<ak𝕍X>cak/p≥∑k=1∞ak𝕍X>cak/p

因此，由（8）式得

∑k=1∞ak𝕍X>cak/p<∞,∀c>0,a>1

对j≥1，设gj(x)∈Cl,Lip(ℝ)是一个偶函数，使得对∀x∈ℝ,0≤gj(x)≤1，且当2(j-1)α≤x≤2jα,gjx2jα=1;当x≤μ2(j-1)α或x>μ-12jα,gjx2jα=0，则

gX2αk≤gjX2αj,1-gX2αk≤∑j=k∞gjX2αj

由（16）、（19）式，𝔼̂具有可数次可加性，以及g(x)在(0,∞)上是单调下降的，得

H2≤∑k=1∞∑2k-1≤n<2k2k(αp-1-α)𝔼̂X1-gX2αk≤∑k=1∞2kα(p-1)𝔼̂X1-gX2αk≤
∑k=1∞2αk(p-1)𝔼̂∑j=k∞XgjX2αj≤∑k=1∞2αk(p-1)∑j=k∞2αj𝔼̂gjX2αj=
∑j=1∞2αj𝔼̂gjX2αj∑k=1j2αk(p-1)≪∑j=1∞2αpj𝔼̂gjX2αj

因为2αp>1,所以由（1），（12）和（18）式得

H2≪∑j=1∞2αpj𝔼̂gjX2αj≤∑j=1∞2αpj𝕍X>μ2(j-1)α=∑j=1∞(2αp)j𝕍X>μ(2αp)j/p<∞

由于Xi关于Ani独立，所以Xi关于Ani+和Ani-是独立的，-Xi关于Ani-也是独立的。又因为Ani+≥0，𝔼̂(Xn)=0；Ani-≥0，𝔼̂(-Xn)=ε̂(Xn)=0；Ani-≥0，𝔼̂(Xn)=0，所以这三种情况都满足（2）式的条件，故

𝔼̂AniXi=𝔼̂(Ani+-Ani-)Xi=𝔼̂Ani+Xi+Ani--Xi≤𝔼̂Ani+Xi+𝔼̂Ani--Xi=
𝔼̂Ani+𝔼̂Xi+𝔼̂Ani-𝔼̂-Xi=𝔼̂Ani+𝔼̂Xi+𝔼̂Ani-ε̂Xi=0

又由于𝔼̂XY≥𝔼̂X-𝔼̂Y，所以

𝔼̂AniXi=𝔼̂(Ani+-Ani-)Xi=𝔼̂Ani+Xi-Ani-Xi≥
𝔼̂Ani+Xi-𝔼̂Ani-Xi=𝔼̂Ani+𝔼̂Xi-𝔼̂Ani-𝔼̂Xi=0

所以𝔼̂AniXi=0。故

H3≤∑n=1∞nαp-1-β-α∑i=1n𝔼̂(AniXni)≤∑n=1∞nαp-1-β-α∑i=1n𝔼̂AniXi-𝔼̂(AniXni)≤
∑n=1∞nαp-1-β-α∑i=1n𝔼̂AniXi-AniXni=∑n=1∞nαp-1-β-α∑i=1n𝔼̂AniX˜ni=H2<∞

下面证明H1<∞。由定义4、𝔼̂(Xn)=ε̂(Xn)=0和𝔼̂(AniXni)=ε̂(AniXni)知AniXni-𝔼̂AniXni,1≤i≤n和-AniXni-𝔼̂AniXni,1≤i≤n都满足引理3的条件，故由引理3得

𝔼̂∑i=1nAniXni-𝔼̂AniXni2≤
𝔼̂∑i=1nAniXni-𝔼̂AniXni+2+𝔼̂∑i=1nAniXni-𝔼̂AniXni-2=
𝔼̂∑i=1nAniXni-𝔼̂AniXni+2+𝔼̂-∑i=1nAniXni-𝔼̂AniXni+2≪∑i=1n𝔼̂AniXni-𝔼̂AniXni2

因为{Ani,1≤i≤n}关于{Xn,n≥1}独立，所以由（2），（13），（21）式和Cr不等式得

H1≤∑n=1∞nαp-1-β-2α∑i=1n𝔼̂AniXni2=∑n=1∞nαp-1-β-2α∑i=1n𝔼̂Ani2𝔼̂Xni2≤
∑n=1∞nαp-1-β-2α∑i=1n𝔼̂Ani2𝔼̂Xi2gXinα+∑n=1∞nαp-1-β-2α∑i=1n𝔼̂Ani2𝔼̂n2α1-gXinα

由（3）和（9）式得

H1≤∑n=1∞nαp-1-β-2α∑i=1n𝔼̂Ani2𝔼̂X2gXnα+∑n=1∞nαp-1-β∑i=1n𝔼̂Ani2𝔼̂1-gXnα≤
∑n=1∞nαp-1-2α𝔼̂X2gXnα+∑n=1∞nαp-1-α𝔼̂X1-gXnα≜H11+H12

由（16）式，得H12<∞。因为2αp>1,1<p<2，以及g(x)在(0,∞)上单调下降，所以由（19）和（20）式得

H11≤∑k=1∞∑2k-1≤n<2k2k(αp-1-2α)𝔼̂X2gX2αk≤∑k=1∞2kα(p-2)𝔼̂X2gX2αk≤
∑k=1∞2αk(p-2)𝔼̂∑j=1kX2gjX2αj≤∑k=1∞2αk(p-2)∑j=1k22αj𝔼̂gjX2αj=
∑j=1∞22αj𝔼̂gjX2αj∑k=j∞2αk(p-2)≪∑j=1∞2αpj𝔼̂gjX2αj<∞

由H12<∞和（22）式可得H1<∞。

故由（11）~（22）式得（10）式成立。

3　 结 语

本文类比Li等［13］提出的概率空间下随机变量序列随机加权和的完全积分收敛性，对次线性期望空间下随机加权的完全积分收敛进行研究，得到了次线性期望空间下随机加权ND序列的完全积分收敛。因为本文只推导了次线性期望空间下ND随机变量的容度不等式，还未推导END随机变量序列的容度不等式，所以不能像经典概率空间一样得到END随机变量的完全积分收敛，相关研究将在后续工作中进行。

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基金资助

国家自然科学基金(12061028)

国家自然科学基金(71963008)

广西自然科学基金(2018GXNSFAA281011)

广西自然科学基金(2018GXNSFAA294131)

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