WOD随机变量序列移动平均过程的收敛性

Convergence of Moving Average Processes for WOD Random Variable

摘要

WOD（widely orthant dependent）随机变量序列是一类宽泛的相依随机变量序列。主要研究由WOD随机变量序列生成的移动平均过程的收敛性，利用WOD序列的Rosenthal型矩不等式和Rademacher-Menshov型最大值矩不等式，获得了移动平均过程部分和最大值的矩完全收敛性和完全收敛性，结论推广了相依变量序列生成移动平均过程的结果。

Abstract

WOD（widely orthant dependent） is a sequence of random variables,which has a broad dependency. The paper mainly investigates the convergence of the moving average processes, which is generated by WOD random variables. By using the Rosenthal-type moment inequality and the Rademacher-Menshov type maximum moment inequality of the WOD random variables, moment complete convergence and complete convergence of the maximal partial sums for moving average processes are obtained. The results in this article extend and improve the results of the moving average process.

关键词

WOD随机变量序列 / 移动平均过程 / 矩完全收敛性 / 完全收敛性

Key words

WOD random variable / moving average processes / complete moment convergence / complete convergence

0　 引言及引理

在解决实际问题的过程中，假定随机变量序列相互独立是不切合实际的。为此，学者们提出了多类相依随机变量序列，如NA（negatively associated ）随机变量序列、NOD（negatively orthant dependent）随机变量序列、END（extend negatively dependent）随机变量序列等。2013年，Wang等{}^{[\mathrm{1}]}首先提出了WOD（widely orthant dependent） 随机变量序列，其定义如下：

定义1 称随机变量序列\left\{X_n,n\ge \mathrm{1}\right\}是带有控制系数\left\{g_U(n),n\ge \mathrm{1}\right\}的WUOD（widely upper orthant dependent）序列，若存在有限的实数列\left\{g_U(n),n\ge \mathrm{1}\right\}，对任意n\ge \mathrm{1}，x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_n\in \mathrm{ℝ}，满足

P(X_{\mathrm{1}}>x_{\mathrm{1}},X_{\mathrm{2}}>x_{\mathrm{2}},\cdots ,X_n>x_n)\le g_U(n){\displaystyle \prod _{i=\mathrm{1}}^n}P(X_i>x_i)

称随机变量序列\left\{X_n,n\ge \mathrm{1}\right\}是带有控制系数\left\{g_L(n),n\ge \mathrm{1}\right\}的WLOD（widely lower orthant dependent）序列，若存在有限的实数列\left\{g_L(n),n\ge \mathrm{1}\right\}，对任意n\ge \mathrm{1}，x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_n\in \mathrm{ℝ}，满足

P(X_{\mathrm{1}}\le x_{\mathrm{1}},X_{\mathrm{2}}\le x_{\mathrm{2}},\cdots ,X_n\le x_n)\le g_L(n){\displaystyle \prod _{i=\mathrm{1}}^n}P(X_i\le x_i)

称随机变量序列\left\{X_n,n\ge \mathrm{1}\right\}是WOD序列，若\left\{X_n,n\ge \mathrm{1}\right\}既是WUOD序列，又是WLOD序列，其控制系数记为

g(n)=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{g_U(n),g_L(n)\right\}

由上述定义可知控制系数g_U(n)\ge \mathrm{1},g_L(n)\ge \mathrm{1}。如果g_U(n)=g_L(n)=\mathrm{1}，则\left\{X_n,n\ge \mathrm{1}\right\}就是NOD序列{}^{[\mathrm{2}]}；如果g_U(n)=g_L(n)=M，M为正常数，则\left\{X_n,n\ge \mathrm{1}\right\}就是END序列{}^{[\mathrm{3}]}。

Liu{}^{[\mathrm{3}]}通过例题指出END序列既包含负相关（NA）序列又包含正相依序列，因此WOD随机变量序列是包含NA、NOD、END等序列且更宽泛的相依序列，获得的极限理论应用性更广。自WOD随机变量序列的定义被引入后，引起众多学者的关注和研究，取得一些重要的成果，如Wang等{}^{[\mathrm{4}]}获得了WOD序列的精确大偏差；Wang等{}^{[\mathrm{5}]}和Chen等{}^{[\mathrm{6}]}研究了基于WOD序列的更新风险模型破产概率的渐进性；Shen{}^{[\mathrm{7}]}得到WOD序列的Bernstein型概率不等式；Qiu等{}^{[\mathrm{8}]}获得了WOD序列加权和的完全收敛性和矩完全收敛性；Wang等{}^{[\mathrm{9}]}研究了WOD序列的完全收敛性及其在非参数回归模型中的应用；丁洋等{}^{[\mathrm{10}]}给出了WOD序列加权和的完全收敛性；Liu等{}^{[\mathrm{11}]}获得了WOD序列的矩完全收敛性等。

设是定义在同一概率空间\left\{\mathrm{\Omega },F,P\right\}的随机变量序列，是绝对可和的实常数序列，即，令X_n={\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}{a}_i{Y}_{n+i}，n\ge \mathrm{1}，则称\left\{X_n,n\ge \mathrm{1}\right\}是由生成的移动平均过程。

众多学者对移动平均过程展开研究。当独立同分布时，已获得许多重要的结论，如Ibragimov{}^{[\mathrm{12}]}得到了中心极限定理；Burton等{}^{[\mathrm{13}]}得到了大偏差原理；Li等{}^{[\mathrm{14}]}得到了移动平均过程的完全收敛性；Chen等{}^{[\mathrm{15}]}给出了阵列移动平均过程的对数律成立的充要条件等。当是相依序列时，也取得了一些成果。如Zhang{}^{[\mathrm{16}]}得到了\phi混合序列生成的移动平均过程的完全收敛性；李云霞等{}^{[\mathrm{17}]}研究了由\rho混合序列生成的移动平均过程的弱收敛性质；Chen等{}^{[\mathrm{18}]}得到了\phi混合序列生成的移动平均过程极大值的完全收敛性；Tao等{}^{[\mathrm{19}]}获得了WOD序列移动平均过程的完全收敛性；Song等{}^{[\mathrm{20}]}获得了{\rho }^{-}混合序列生成的移动平均过程的完全收敛性等。

本文继续研究由WOD随机变量序列生成的移动平均过程的收敛性，利用WOD序列的Rosenthal型不等式和Rademacher-Menshov型最大值矩不等式，获得了移动平均过程部分和最大值的矩完全收敛性和完全收敛性，结论推广了相依变量序列生成移动平均过程的结果。

定义2 设\left\{Y_n,n\ge \mathrm{1}\right\}是随机变量序列，常数C>\mathrm{0}。若对任意的x>\mathrm{0},n\ge \mathrm{1}，都有P(|Y_n|>x)\le CP(|Y|>x)，则称\left\{Y_n,n\ge \mathrm{1}\right\}尾概率一致有界于Y，并记为\left\{Y_n,n\ge \mathrm{1}\right\}\prec Y。

引理1^［9］ 设是WOD随机变量序列，f_{\mathrm{1}},f_{\mathrm{2}},\cdots ,f_n同为单调递增（递减）的函数列，则随机变量序列f_{\mathrm{1}}(Y_{\mathrm{1}}),f_{\mathrm{2}}(Y_{\mathrm{2}}),\cdots ,f_n(Y_n)也是WOD随机变量序列。

引理2（Rosenthal型不等式）^［9］ 设p\ge \mathrm{1}，\left\{Y_n,n\ge \mathrm{1}\right\}是均值为零的WOD序列，对任意的n\ge \mathrm{1}都有，则存在仅依赖p的正常数C_{\mathrm{1}}(p)，C_{\mathrm{2}}(p)使

E(|{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{Y}_i{|}^p)\le \left[C_{\mathrm{1}}(p)+C_{\mathrm{2}}(p)g(n)\right]{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}E|Y_i{|}^p,\mathrm{1}\le p\le \mathrm{2}

E(|{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{Y}_i{|}^p)\le C_{\mathrm{1}}(p){\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}E|Y_i{|}^p+C_{\mathrm{2}}(p)g(n){({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}E{Y}_i^{\mathrm{2}})}^{\frac{p}{\mathrm{2}}},p\ge \mathrm{2}

引理3（Rademacher-Menshov型不等式）^［19］ 设p\ge \mathrm{1}，\left\{Y_n,n\ge \mathrm{1}\right\}是均值为零的WOD序列，对任意的n\ge \mathrm{1}都有，则存在仅依赖p的正常数C_{\mathrm{1}}(p)，C_{\mathrm{2}}(p)使

E(\underset{\mathrm{1}\le j\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^j}{Y}_i{|}^p)\le \left[C_{\mathrm{1}}(p)+C_{\mathrm{2}}(p)g(n)\right]\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}^{p}n{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}E|Y_i{|}^p, \mathrm{1}\le p\le \mathrm{2}

E(\underset{\mathrm{1}\le j\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^j}{Y}_i{|}^p)\le C_{\mathrm{1}}(p)\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}^{p}n{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}E|Y_i{|}^p+C_{\mathrm{2}}(p)g(n)\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}^{p}n{({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}E{Y}_i^{\mathrm{2}})}^{\frac{p}{\mathrm{2}}}，p\ge \mathrm{2}

引理4{}^{\left[\mathrm{21}\right]} 设\left\{Y_n,n\ge \mathrm{1}\right\}\prec Y，则对任意a,b>\mathrm{0}，下列不等式成立

E|Y_n{|}^{a}I(|Y_n|\le b)\le C(E|Y{|}^{a}I(|Y|\le b)+b^{a}I(|Y|>b))

E|Y_n{|}^{a}I(|Y_n|>b)\le CE|Y{|}^{a}I(|Y|>b)

引理5{}^{\left[\mathrm{22}\right]} 设\left\{X_n,n\ge \mathrm{1}\right\}和\left\{Y_n,n\ge \mathrm{1}\right\}为任意两个随机变量序列，则对任意的q>\mathrm{1},\epsilon >\mathrm{0},a>\mathrm{0}有

E(\underset{\mathrm{1}\le j\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^j}(X_i+Y_i{)|-\epsilon a)}^{+}\le (\frac{\mathrm{1}}{{\epsilon }^q}+\frac{\mathrm{1}}{q-\mathrm{1}})\frac{\mathrm{1}}{a^{q-\mathrm{1}}}E(\underset{\mathrm{1}\le j\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^j}{X}_i{|}^q)+E(\underset{\mathrm{1}\le j\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^j}{Y}_i|)

本文约定，C总表示常数，它在不同的地方可以代表不同的值。I（A）表示集合A的示性函数，\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}x=\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{x,\mathrm{e}\right\},X^{+}=XI(X>\mathrm{0}),g(n)=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{g_U(n),g_L(n)\right\}。

1　 主要结果及证明

定理1 设\alpha p>\mathrm{1},\alpha >\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},p>\mathrm{1}\mathrm{。}是均值为零的WOD随机变量序列，是由生成的移动平均过程，是绝对可和的实常数序列。设若p\ge \mathrm{2}，则对任意的v>\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{\frac{\alpha p-\mathrm{1}}{\alpha -\mathrm{1}/\mathrm{2}},p\right\}，有

（1）

若，有

（2）

证 由已知条件，知，对任意的n\ge \mathrm{1}，有

从而X_n几乎处处有意义。固定n\ge \mathrm{1}，对任意的\mathrm{1}\le j\le n，取令

则{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^k}{X}_j={\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}{a}_i{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+k}}{Y}_j={\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}{a}_i{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+k}}{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{\mathrm{5}}}{Y}_j^{(n,l)}。

因g(n)\ge \mathrm{1}和，故由引理4和Y_j^{(n,\mathrm{2})}的定义知，对任意的v>\mathrm{1}有

\begin{array}{l}{n}^{-\alpha }g{(n)}^{-(\frac{\mathrm{1}}{v-\mathrm{1}})}\underset{\mathrm{1}\le k\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|E{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}{a}_i{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+k}}{Y}_j^{(n,\mathrm{2})}|\le \\ n^{-\alpha }{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}|a_i|{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+n}}E{Y}_j^{(n,\mathrm{2})}\le \\ n^{-\alpha }{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}|a_i|{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+n}}E|Y_j|I(|Y_j|>n^{\alpha q})\le \\ C{n}^{\mathrm{1}-\alpha }E|Y|I(|Y|>n^{\alpha q})\end{array}

若\alpha >\mathrm{1},显然有

n^{-\alpha }g{(n)}^{-(\frac{\mathrm{1}}{v-\mathrm{1}})}\underset{\mathrm{1}\le k\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|E{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}{a}_i{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+k}}{Y}_j^{(n,\mathrm{2})}|\to \mathrm{0},n\to \mathrm{\infty }（3）

若\alpha \le \mathrm{1},因故p>\mathrm{1}，，进而有

n^{-\alpha }g{(n)}^{-(\frac{\mathrm{1}}{v-\mathrm{1}})}\underset{\mathrm{1}\le k\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|E{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}{a}_i{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+k}}{Y}_j^{(n,\mathrm{2})}|\le C{n}^{(\mathrm{1}-\alpha pq)-\alpha (\mathrm{1}-p)}E|Y{|}^p\to \mathrm{0},n\to \mathrm{\infty }（4）

由引理4和Y_j^{(n,\mathrm{4})}的定义，类似（3）和（4）式的证明过程可得

n^{-\alpha }g{(n)}^{-(\frac{\mathrm{1}}{v-\mathrm{1}})}\underset{\mathrm{1}\le k\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|E{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}{a}_i{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+k}}{Y}_j^{(n,\mathrm{4})}|\le

n^{-\alpha }g{(n)}^{-(\frac{\mathrm{1}}{v-\mathrm{1}})}{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}|a_i|{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+n}}E{Y}_j^{(n,\mathrm{4})}\le

n^{-\alpha }g{(n)}^{-(\frac{\mathrm{1}}{v-\mathrm{1}})}{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}|a_i|{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+n}}E|Y_j|I(|Y_j|>n^{\alpha q}+n^{\alpha })\le

n^{-\alpha }g{(n)}^{-(\frac{\mathrm{1}}{v-\mathrm{1}})}{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}|a_i|{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+n}}E|Y_j|I(|Y_j|>n^{\alpha q})\le

C{n}^{\mathrm{1}-\alpha }E|Y|I(|Y|>n^{\alpha q})\to \mathrm{0},n\to \mathrm{\infty }（5）

同理可证

\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{n}^{-\alpha }g{(n)}^{-(\frac{\mathrm{1}}{v-\mathrm{1}})}\underset{\mathrm{1}\le k\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|E{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}{a}_i{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+k}}{Y}_j^{(n,\mathrm{3})}|=\mathrm{0}（6）

\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{n}^{-\alpha }g{(n)}^{-(\frac{\mathrm{1}}{v-\mathrm{1}})}\underset{\mathrm{1}\le k\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|E{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}{a}_i{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+k}}{Y}_j^{(n,\mathrm{5})}|=\mathrm{0}（7）

由引理5，E{Y}_j=\mathrm{0}，以及（3）~（7）式的计算过程知，对任意的v>\mathrm{1}，有

\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{2}-\alpha }E{\left\{\underset{\mathrm{1}\le k\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^k}{X}_j|-\epsilon n^{\alpha }g{(n)}^{\frac{\mathrm{1}}{v-\mathrm{1}}}\right\}}^{+}=\\ {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{2}-\alpha }E{\left\{\underset{\mathrm{1}\le k\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}{a}_i{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+k}}{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{\mathrm{5}}}(Y_j^{(n,l)}-E{Y}_j^{(n,l)})|-\epsilon n^{\alpha }g{(n)}^{\frac{\mathrm{1}}{v-\mathrm{1}}}\right\}}^{+}\le \\ {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{2}-\alpha }E{\left\{{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{\mathrm{5}}}\underset{\mathrm{1}\le k\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}{a}_i{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+k}}(Y_j^{(n,l)}-E{Y}_j^{(n,l)})|-\epsilon n^{\alpha }g{(n)}^{\frac{\mathrm{1}}{v-\mathrm{1}}}\right\}}^{+}\le \\ {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{2}-\alpha }E\left\{\underset{\mathrm{1}\le k\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}{a}_i{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+k}}(Y_j^{(n,\mathrm{1})}-E{Y}_j^{(n,\mathrm{1})})\right.|+{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{2}}^{\mathrm{5}}}\underset{\mathrm{1}\le k\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}{a}_i{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+k}}{Y}_j^{(n,l)}|-{\left.\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\epsilon n^{\alpha }g{(n)}^{\frac{\mathrm{1}}{v-\mathrm{1}}}\right\}}^{+}\le \\ {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{2}-\alpha }E\left\{\underset{\mathrm{1}\le k\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}{a}_i{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+k}}(Y_j^{(n,\mathrm{1})}-E{Y}_j^{(n,\mathrm{1})})\right.|+{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{2}}^{\mathrm{5}}}{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}|a_i||{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+n}}{Y}_j^{(n,l)}|-{\left.\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\epsilon n^{\alpha }g{(n)}^{\frac{\mathrm{1}}{v-\mathrm{1}}}\right\}}^{+}\le \\ {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{2}-\alpha }E\left\{\underset{\mathrm{1}\le k\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}{a}_i{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+k}}(Y_j^{(n,\mathrm{1})}-E{Y}_j^{(n,\mathrm{1})})\right.|+{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{2}}^{\mathrm{5}}}{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}|a_i||{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+n}}(Y_j^{(n,l)}-E{Y}_j^{(n,l)})|-{\left.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\epsilon n^{\alpha }g{(n)}^{\frac{\mathrm{1}}{v-\mathrm{1}}}\right\}}^{+}\le \\ C{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{2}-\alpha v}g{(n)}^{-\mathrm{1}}E\left\{\underset{\mathrm{1}\le k\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}{a}_i{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+k}}(Y_j^{(n,\mathrm{1})}-E{Y}_j^{(n,\mathrm{1})}){|}^v\right\}+\\ C{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{2}-\alpha v}g{(n)}^{-\mathrm{1}}E\left\{|{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}|a_i||{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+n}}(Y_j^{(n,l)}-E{Y}_j^{(n,l)})|{|}^v\right\}+\\ {\displaystyle \sum _{l=\mathrm{4}}^{\mathrm{5}}}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{2}-\alpha }E\left\{\left|{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}|a_i|\left|{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+n}}(Y_j^{(n,l)}-E{Y}_j^{(n,l})\right|\right|\right\}≕I_{\mathrm{1}}+I_{\mathrm{2}}+I_{\mathrm{3}}+I_{\mathrm{4}}+I_{\mathrm{5}}\end{array}

为证（1）和（2）式，只须证明即可。

由引理1知，对任意的j\ge \mathrm{1},\left\{(Y_j^{(n,l)}-E{Y}_j^{(n,l)}),l=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5}\right\}是期望为零的WOD随机变量序列。对于I_{\mathrm{1}}，利用Cr-不等式和\mathrm{H}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{l}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}不等式得

\begin{array}{l}{I}_{\mathrm{1}}\le C{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{2}-\alpha v}g{(n)}^{-\mathrm{1}}E{\left\{{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}|a_i|\underset{\mathrm{1}\le k\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+k}}(Y_j^{(n,\mathrm{1})}-E{Y}_j^{(n,\mathrm{1})})|\right\}}^v=\\ C{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{2}-\alpha v}g{(n)}^{-\mathrm{1}}E{\left\{{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}|a_i{|}^{\mathrm{1}-\mathrm{1}/v}(|a_i{|}^{\mathrm{1}/v}\underset{\mathrm{1}\le k\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+k}}(Y_j^{(n,\mathrm{1})}-E{Y}_j^{(n,\mathrm{1})})|\right\}}^v\le \\ C{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{2}-\alpha v}g{(n)}^{-\mathrm{1}}{({\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}|a_i|)}^{v-\mathrm{1}}({\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}|a_i|E(\underset{\mathrm{1}\le k\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+k}}(Y_j^{(n,\mathrm{1})}-E{Y}_j^{(n,\mathrm{1})}){|}^v))\le \\ C{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{2}-\alpha v}g{(n)}^{-\mathrm{1}}{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}|a_i|E(\underset{\mathrm{1}\le k\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+k}}(Y_j^{(n,\mathrm{1})}-E{Y}_j^{(n,\mathrm{1})}){|}^v)\end{array}（8）

若p\ge \mathrm{2}，由引理3，对任意v>\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{\frac{\alpha p-\mathrm{1}}{\alpha -\mathrm{1}/\mathrm{2}},p\right\}\ge \mathrm{2}，有

\begin{array}{l}{I}_{\mathrm{1}}\le C{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{2}-\alpha v}g{(n)}^{-\mathrm{1}}\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}^{v}n{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}|a_i|{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+n}}E|Y_j^{(n,\mathrm{1})}{|}^v+\\ C{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{2}-\alpha v}\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}^{v}n{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}|a_i|({\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+n}}E|Y_j^{(n,\mathrm{1})}{|}^{\mathrm{2}}{)}^{\frac{v}{\mathrm{2}}}\le \\ C{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{2}-\alpha v}\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}^{v}n{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}|a_i|{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+n}}E|Y_j^{(n,\mathrm{1})}{|}^v+\\ C{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{2}-\alpha v}\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}^{v}n{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}|a_i|({\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+n}}E|Y_j^{(n,\mathrm{1})}{|}^{\mathrm{2}}{)}^{\frac{v}{\mathrm{2}}}≕C{I}_{\mathrm{1}}^{\text{'}}+C{I}_{\mathrm{1}}^{″}\end{array}（9）

因v>p，从而有，故由引理4得

（10）

当p\ge \mathrm{2}时，对任意v>\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{\frac{\alpha p-\mathrm{1}}{\alpha -\mathrm{1}/\mathrm{2}},p\right\}，有

（11）

若，取v=\mathrm{2}，由引理3和I_{\mathrm{1}}^{\text{'}}的计算过程可知

（12）

由（9）~（12）式得。

对于I_{\mathrm{2}}，利用Cr-不等式和\mathrm{H}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{l}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}不等式，类似（8）式计算得

\begin{array}{l}{I}_{\mathrm{2}}=C{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{2}-\alpha v}g{(n)}^{-\mathrm{1}}E\left\{{\left|{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}\left|a_i\right|\left|{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+n}}(Y_j^{(n,\mathrm{2})}-E{Y}_j^{(n,\mathrm{2})})\right|\right|}^v\right\}\le \\ C{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{2}-\alpha v}g{(n)}^{-\mathrm{1}}{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}|a_i|E({\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+n}}|Y_j^{(n,\mathrm{2})}-E{Y}_j^{(n,\mathrm{2})}{|}^v)\end{array}（13）

若p\ge \mathrm{2}，由引理2得，对任意v>p\ge \mathrm{2}，有

\begin{array}{l}{I}_{\mathrm{2}}\le C{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{2}-\alpha v}g{(n)}^{-\mathrm{1}}{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}|a_i|{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+n}}E|Y_j^{(n,\mathrm{2})}{|}^v+\\ C{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{2}-\alpha v}{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}|a_i|({\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+n}}E|Y_j^{(n,\mathrm{2})}{|}^{\mathrm{2}}{)}^{\frac{v}{\mathrm{2}}}≕C{I}_{\mathrm{2}}^{\text{'}}+C{I}_{\mathrm{2}}^{″}\end{array}（14）

注意v>p,\alpha p>\mathrm{1}，则

（15）

当p\ge \mathrm{2}时，对任意v>\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{\frac{\alpha p-\mathrm{1}}{\alpha -\mathrm{1}/\mathrm{2}},p\right\}，有

（16）

若，取v=\mathrm{2}，由引理2和I_{\mathrm{2}}^{\text{'}}的计算过程知

（17）

由（13）~（17）式，得。

因为p>\mathrm{1}，故\alpha p-\mathrm{1}-\alpha >-\mathrm{1}，对于I_{\mathrm{4}}，有

同理可证即定理1得证。

当p=\mathrm{1}时，下面定理成立：

定理2 设\alpha >\mathrm{0},是均值为零的WOD随机变量序列，且，\left\{X_n,n\ge \mathrm{1}\right\}是由生成的移动平均过程，是绝对可和的实常数序列。若则

（18）

证 对任意的\mathrm{1}\le j\le n，令

由引理5和E{Y}_n=\mathrm{0}知

\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{-\mathrm{2}}E(\underset{\mathrm{1}\le k\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^k}{X}_j|-\epsilon n^{\alpha }g{(n))}^{+}=\\ {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{-\mathrm{2}}E(\underset{\mathrm{1}\le k\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^k}[{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}{a}_i(Y_{i+j}^{\text{'}}-E{Y}_{i+j}^{\text{'}})+{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}{a}_i(Y_{i+j}^{″}-E{Y}_{i+j}^{″})]|-\epsilon n^{\alpha }g{(n))}^{+}\le \\ C{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{-\alpha -\mathrm{2}}{g}^{-\mathrm{1}}(n)E(\underset{\mathrm{1}\le k\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}{a}_i{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+k}}(Y_j^{\text{'}}-E{Y}_j^{\text{'}}){|}^{\mathrm{2}})+\\ {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{-\mathrm{2}}E(\underset{\mathrm{1}\le k\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^{i+k}}{\displaystyle \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}{a}_i(Y_j^{″}-E{Y}_j^{″})|)≕I_{\mathrm{6}}+I_{\mathrm{7}}\end{array}

为证（18）式只须证明即可。

对于I_{\mathrm{7}}，利用引理4得

根据引理3和引理4，类似（8）式得

即定理2得证。

推论1 设\alpha p>\mathrm{1},\alpha >\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},p>\mathrm{1}\mathrm{。}是均值为零的WOD随机变量序列，\left\{X_n,n\ge \mathrm{1}\right\}是由生成的移动平均过程，是绝对可和的实常数序列。设若p\ge \mathrm{2}，则对任意的v>\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{\frac{\alpha p-\mathrm{1}}{\alpha -\mathrm{1}/\mathrm{2}},p\right\}，有

若有

证 因

{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{2}-\alpha }E\{\underset{\mathrm{1}\le k\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^k}{X}_j|-\epsilon n^{\alpha }g{(n)}^{\frac{\mathrm{1}}{v-\mathrm{1}}}{\}}^{+}=

{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{2}-\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}P(\underset{\mathrm{1}\le k\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^k}{X}_j|-\epsilon n^{\alpha }g{(n)}^{\frac{\mathrm{1}}{v-\mathrm{1}}}>t)\mathrm{d}t\ge

{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{2}-\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{g{(n)}^{\frac{\mathrm{1}}{v-\mathrm{1}}}{n}^{\alpha }}P(\underset{\mathrm{1}\le k\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^k}{X}_j|-\epsilon n^{\alpha }g{(n)}^{\frac{\mathrm{1}}{v-\mathrm{1}}}>t)\mathrm{d}t\ge

{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{2}}g{(n)}^{\frac{\mathrm{1}}{v-\mathrm{1}}}P(\underset{\mathrm{1}\le k\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^k}{X}_j|>\mathrm{2}\epsilon g{(n)}^{\frac{\mathrm{1}}{v-\mathrm{1}}}{n}^{\alpha })\ge

{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{2}}P(\underset{\mathrm{1}\le k\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^k}{X}_j|>\mathrm{2}\epsilon g{(n)}^{\frac{\mathrm{1}}{v-\mathrm{1}}}{n}^{\alpha })

由定理1知推论1成立。

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基金资助

安徽省高等学校自然科学研究重点项目(KJ2019A0700)

安徽省大学生创新创业训练计划项目(s202010383228)