二比特量子信息在任意格点数自旋链上完美传输的调控

Control on the Two-Qubit Information Perfect Transfer in the Spin Chain with the Arbitrary Lattice Point Number

摘要

利用近邻格点磁感应强度差值为B/2且中心对称的弱磁场，可以实现格点数N=3自旋链上二比特量子信息完美传输的量子调控。以此为依据，研究了这种特定磁场分布对二比特量子信息在N=4、N=5自旋链上完美传输的影响，并将其推广至任意格点数自旋链的情形。结果表明：实现完美传输的时间条件取决于磁场近邻格点间的磁感应强度差值，而与自旋链的格点数无关。基于此，提出了实现任意格点数自旋链上二比特信息传输的量子调控方案：通过调节近邻格点磁感应强度差值的大小，可以调控信息完美传输的时间条件。

Abstract

By applying a centrally symmetric weak magnetic field, in which the magnetic intensity difference between the neighboring lattice points is B/2, the two-qubit information perfect transfer in the spin chain with the lattice number N=3 can be achieved. The influence of this specific magnetic field distribution on the two-qubit information perfect transfer in the N=4 and N=5 spin chains are also respectively studied. Besides, the investigation is also extended to the spin chain with the arbitrary lattice point number. The results indicate that the time condition to achieve the perfect transfer depends on the magnetic induction intensity difference, and has no relation with the lattice number of the chain. Based on this, the quantum control scheme of the two-qubit information transfer in the spin chain with the arbitrary lattice point number is proposed: By adjusting the magnetic induction intensity difference between the neighboring lattice points, the time conditions of quantum information perfect transfer can be manipulated.

Graphical abstract

关键词

量子信息传输 / 量子比特 / 任意格点数自旋链 / 量子调控

Key words

quantum information transfer / quantum bit / spin chain with the arbitrary lattice point number / quantum control

0　 引 言

量子信息传输主要研究将携带信息的量子态从一个位置A向另一个位置B的传递^[1~4]。量子信息的传输，在安全可靠的前提下，信息的保真度越高越好，其中保真度为100%的传输，称为完美传输。当前，关于量子信息完美传输的研究已经取得了很大进展，提出了诸如量子隐形传态、量子密钥分发、编码传输、信道的相干子空间、自旋链等信道理论方案^[2~5]。对于量子计算机内部器件之间的量子短程通讯而言，真正实现量子信息的传输需要借助固态环境，而自旋链则正是符合该条件且获得广泛认可的信道系统^[5~9]。在自旋链上进行量子信息传输时，信息的传输由系统自身的动力学演化来完成，实现信息完美传输的时间是固定的，仅仅由系统自身的物理属性所决定，且与链的格点数无关^[10~13]，因而很难对信息的完美传输进行调控。而在量子短程通讯中，信息在内部器件之间进行传输，往往要求能够实现信息传输时间的人为调控。

我们在格点数N=3自旋链上实现二比特量子信息完美传输的调控^[14]基础上，讨论了N=4、N=5乃至任意格点数的自旋链上，近邻格点磁感应强度差值恒定、关于链中心对称的弱磁场，对二比特量子信息的传输产生的影响，基于该磁场的影响进一步提出了量子信息完美传输的调控方案。

1　 N=4自旋链上弱磁场的影响

对于任意格点数N的经修正的Heisenberg-XX型自旋链，在其一端的二比特量子信息向链的另一端进行传输时，实现完美传输的条件仅仅取决于时间条件t=\mathrm{\pi }/\lambda。其中，t是完美传输所需要的时间，\lambda是为平衡量纲而引入的常数。只要该条件得以满足，无论自旋链格点数是多少，信息总可以实现保真度为100%的完美传输。这里的时间条件仅仅由自旋链体系自身的动力学演化所决定^[10~13]。

基于N=3的研究^[14]，讨论几种不同格点数自旋链的情形，首先研究N=4的自旋链。与N=3的情况相类似，在N=4的自旋链上引入沿自旋z轴方向、随格点磁感应强度（B）逐差大小为B/\mathrm{2}的对称弱磁场。为保证是弱磁场，要求B的取值至少要比1小1个量级。在N=4自旋链的每一个格点处，磁感应强度的具体取值分别为

B_{\mathrm{1}}=-\frac{\mathrm{3}B}{\mathrm{4}},B_{\mathrm{2}}=-\frac{B}{\mathrm{4}},B_{\mathrm{3}}=\frac{B}{\mathrm{4}},B_{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{3}B}{\mathrm{4}}（1）

则自旋链体系的哈密顿量为

H=\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{J}_{n,n+\mathrm{1}}^{}\left({\sigma }_n^{+}{\sigma }_{n+\mathrm{1}}^{-}+{\sigma }_n^{-}{\sigma }_{n+\mathrm{1}}^{+}\right)\right]+\left(-\frac{\mathrm{3}B}{\mathrm{4}}{\sigma }_{\mathrm{1}}^z-\frac{B}{\mathrm{4}}{\sigma }_{\mathrm{2}}^z+\frac{B}{\mathrm{4}}{\sigma }_{\mathrm{3}}^z+\frac{\mathrm{3}B}{\mathrm{4}}{\sigma }_{\mathrm{4}}^z\right)（2）

这里，J_{n,n+\mathrm{1}}^{}=\sqrt[]{n(N-n)},是两相邻格点之间的相互作用强度；各种\sigma算符的下角标表示格点的标号，表明该算符只对该格点作用。在自旋链的一端输入已归一的二比特量子信息态\alpha \left|\mathrm{00}\right.〉+\beta \left|\mathrm{11}\right.〉，则自旋链体系的初始状态可表示为\alpha \left|\mathrm{0000}\right.〉+\beta \left|\mathrm{1100}\right.〉，其中\left|\mathrm{1}\right.〉表示格点处自旋向上，\left|\mathrm{0}\right.〉表示自旋向下。信息的完美传输要求将该信息100%地传输至链的另一端，即将携带信息的初态\alpha \left|\mathrm{0000}\right.〉+\beta \left|\mathrm{1100}\right.〉无亏损地演化成为\alpha \left|\mathrm{0000}\right.〉+\beta \left|\mathrm{0011}\right.〉。由于\left|\mathrm{0000}\right.〉是体系哈密顿量零本征值的本征态，因而体系状态演化的过程中系数\alpha不会发生变化，从而为保证保真度为100%，此处要求输入的二比特量子信息的第二项由\left|\mathrm{1100}\right.〉应完全演化为\left|\mathrm{0011}\right.〉，也就是要求保证该项演化概率幅的模为1

\left|F_{N=\mathrm{4}}\left(t\right)\right|=\left|\left.〈\mathrm{0011}\right|{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\lambda \mathit{H}t}\left|\mathrm{1100}\right.〉\right|=\mathrm{1}（3）

其中，{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\lambda \mathit{H}t}是初始状态随时间演化的算子，\lambda是为了平衡量纲而引入的常数，不失一般性，可以选择\lambda =\mathrm{1}/\mathrm{\hslash }，\mathrm{\hslash }是普朗克常量。

对于N=4的自旋链而言，两个格点自旋向上、其他自旋向下的第二激发态共有6个，分别是\left|\mathrm{1100}\right.〉、\left|\mathrm{1010}\right.〉、\left|\mathrm{1001}\right.〉、\left|\mathrm{0110}\right.〉、\left|\mathrm{0101}\right.〉和\left|\mathrm{0011}\right.〉，在这6个态为基矢的Hilbert空间中，磁场中自旋链的哈密顿量算符（2）式的矩阵形式为

{\mathit{H}}_{N=\mathrm{4}}=\left(\begin{array}{cccccc}-\mathrm{2}B& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{1}& -B& \frac{\sqrt[]{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}& \frac{\sqrt[]{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \frac{\sqrt[]{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \frac{\sqrt[]{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \frac{\sqrt[]{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \frac{\sqrt[]{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \frac{\sqrt[]{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}& \frac{\sqrt[]{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}& B& \mathrm{1}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{2}B\end{array}\right)（4）

通过解久期方程可得本征值，并进一步得到对角化（diagonalization）的哈密顿量形式

{\mathit{H}}_{N=\mathrm{4}}^{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}}=\left(\begin{array}{cccccc}-\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{1}+B^{\mathrm{2}}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& -\sqrt[]{\mathrm{1}+B^{\mathrm{2}}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \sqrt[]{\mathrm{1}+B^{\mathrm{2}}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{1}+B^{\mathrm{2}}}\end{array}\right)（5）

其中，对角元即为哈密顿算符的本征值。由于此处所施加的磁场为弱磁场，因而可近似用无磁场时的幺正变换矩阵来代替有磁场的情形^[11~14]，即可近似认为有无磁场时幺正变换矩阵相等

{\mathit{U}}_{N=\mathrm{4}}^B\approx {\mathit{U}}_{N=\mathrm{4}}^{}=\left(\begin{array}{cccccc}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}& -\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}& \sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{10}}& -\sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{40}}& -\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\\ -\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{4}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}& \frac{\mathrm{2}}{\mathrm{4}}\\ \frac{\sqrt[]{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}& \mathrm{0}& -\mathrm{2}/\sqrt[]{\mathrm{10}}& -\mathrm{3}/\sqrt[]{\mathrm{40}}& \mathrm{0}& \frac{\sqrt[]{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}\\ \frac{\sqrt[]{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{5}/\sqrt[]{\mathrm{40}}& \mathrm{0}& \frac{\sqrt[]{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}\\ -\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{4}}& -\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}& \frac{\mathrm{2}}{\mathrm{4}}\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}& \sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{10}}& -\sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{40}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\end{array}\right)（6）

需要注意的是，只有当磁场微弱时才可以用（6）式进行近似处理。对于量子短程通讯而言，量子信息传输局限在量子计算机内部相关器件之间，因而可以在信息传输的信道上设置如（1）式所示的微观尺度的磁场。若微观尺度的磁场足够微弱，即表明此处所做的近似是成立的。由（3）式可知，能否实现信息完美传输的演化概率幅取决于

F_{N=\mathrm{4}}\left(t\right)=\left.〈\mathrm{0011}\right|{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\lambda \mathit{H}t}\left|\mathrm{1100}\right.〉=\left.〈\mathrm{0011}\right|{\mathit{U}}_{N=\mathrm{4}}^{}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\lambda \mathit{H}t}{\mathit{U}}_{N=\mathrm{4}}^{†}\left|\mathrm{1100}\right.〉={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{6}}}{a}_k^{\mathrm{*}}\left(\mathrm{1}\right)a_k^{}\left(\mathrm{6}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\lambda E^{(k)}t}（7）

式中，a_k^{\mathrm{*}}\left(\mathrm{1}\right)为（6）式所示的对角化矩阵第1行第k列矩阵元的复共轭，a_k^{}\left(\mathrm{6}\right)为其第6行第k列矩阵元；E^{(k)}是哈密顿算符（4）式或者（5）式的第k个能级，具体取值即为（5）式的对角元。将（5）和（6）式的数据代入（7）式得

F_{N=\mathrm{4}}\left(t\right)={\left[-\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\lambda t\sqrt[]{\mathrm{1}+B^{\mathrm{2}}}}{\mathrm{2}}\right]}^{\mathrm{4}}（8）

（8）式表明，与N=3的自旋链相似，此时状态演化的概率幅与外加磁场密切相关。根据信息完美传输的要求\left|F\left(t\right)\right|=\mathrm{1}，给出存在如（1）式所示的弱磁场时，N=4的自旋链上二比特量子信息完美传输的时间条件为

t=\frac{\mathrm{\pi }}{\lambda \sqrt[]{\mathrm{1}+B^{\mathrm{2}}}}（9）

显然，与N=3的自旋链情形相类似，当存在这种特定的外加弱磁场时，完美传输的时间条件将受到磁场在近邻格点间磁感应强度差值的限制。

2　 N=5自旋链上弱磁场的影响

进一步讨论N=5的自旋链。N=5时，同样引入近邻格点磁感应强度差值为B/\mathrm{2}的中心对称弱磁场，各格点处磁感应强度取值分别为

B_{\mathrm{1}}=-B,B_{\mathrm{2}}=-\frac{B}{\mathrm{2}},B_{\mathrm{3}}=\mathrm{0},B_{\mathrm{4}}=\frac{B}{\mathrm{2}},B_{\mathrm{5}}=B（10）

体系的哈密顿量为

H=\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{J}_{n,n+\mathrm{1}}^{}\left({\sigma }_n^{+}{\sigma }_{n+\mathrm{1}}^{-}+{\sigma }_n^{-}{\sigma }_{n+\mathrm{1}}^{+}\right)\right]+\left(-B{\sigma }_{\mathrm{1}}^z-\frac{B}{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{2}}^z+\mathrm{0}{\sigma }_{\mathrm{3}}^z+\frac{B}{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{4}}^z+B{\sigma }_{\mathrm{5}}^z\right)（11）

在10个第二激发态\left|\mathrm{11000}\right.〉、\left|\mathrm{10100}\right.〉、\left|\mathrm{10010}\right.〉、\left|\mathrm{10001}\right.〉、\left|\mathrm{01100}\right.〉、\left|\mathrm{01010}\right.〉、\left|\mathrm{01001}\right.〉、\left|\mathrm{00110}\right.〉、\left|\mathrm{00101}\right.〉和\left|\mathrm{00011}\right.〉作为基矢的Hilbert空间中，哈密顿量的矩阵形式及其对角化的矩阵形式分别为

\begin{array}{l}{\mathit{H}}_{N=\mathrm{5}}=\left(\begin{array}{cccccccccc}-\mathrm{3}B& \frac{\sqrt[]{\mathrm{6}}}{\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \frac{\sqrt[]{\mathrm{6}}}{\mathrm{2}}& -\mathrm{2}B& \frac{\sqrt[]{\mathrm{6}}}{\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \frac{\sqrt[]{\mathrm{6}}}{\mathrm{2}}& -B& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -B& \frac{\sqrt[]{\mathrm{6}}}{\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \frac{\sqrt[]{\mathrm{6}}}{\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \frac{\sqrt[]{\mathrm{6}}}{\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& B& \mathrm{0}& \frac{\sqrt[]{\mathrm{6}}}{\mathrm{2}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \frac{\sqrt[]{\mathrm{6}}}{\mathrm{2}}& \mathrm{0}& B& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \frac{\sqrt[]{\mathrm{6}}}{\mathrm{2}}& \mathrm{1}& \mathrm{2}B& \frac{\sqrt[]{\mathrm{6}}}{\mathrm{2}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \frac{\sqrt[]{\mathrm{6}}}{\mathrm{2}}& \mathrm{3}B\end{array}\right),\\ \\ {\mathit{H}}_{N=\mathrm{5}}^{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}}=\left(\begin{array}{cccccccccc}-\mathrm{3}\sqrt[]{\mathrm{1}+B^{\mathrm{2}}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& -\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{1}+B^{\mathrm{2}}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\sqrt[]{\mathrm{1}+B^{\mathrm{2}}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\sqrt[]{\mathrm{1}+B^{\mathrm{2}}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \sqrt[]{\mathrm{1}+B^{\mathrm{2}}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \sqrt[]{\mathrm{1}+B^{\mathrm{2}}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{1}+B^{\mathrm{2}}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{3}\sqrt[]{\mathrm{1}+B^{\mathrm{2}}}\end{array}\right)\end{array}（12）

同样，由于施加的是弱磁场，哈密顿算符对角化的幺正矩阵可近似地选作与无磁场时的形式相同^[11~14]，即

{\mathit{U}}_{N=\mathrm{5}}^B\approx {\mathit{U}}_{N=\mathrm{5}}^{}=\left(\begin{array}{cccccccccc}\mathrm{1}/\mathrm{8}& -\sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{2}}/\mathrm{4}& \mathrm{3}/\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{10}}& -\sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{5}}/\mathrm{8}& -\mathrm{1}/\mathrm{2}& \mathrm{1}/\mathrm{4}& \mathrm{3}/\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{10}}& -\sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{5}}/\mathrm{8}& -\sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{2}}/\mathrm{4}& \mathrm{1}/\mathrm{8}\\ -\sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{2}}/\mathrm{4}& -\mathrm{1}/\mathrm{2}& -\sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{5}}/\mathrm{2}& \mathrm{1}/\left(\mathrm{4}\sqrt[]{\mathrm{10}}\right)& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{5}}/\mathrm{2}& -\mathrm{1}/\left(\mathrm{4}\sqrt[]{\mathrm{10}}\right)& -\mathrm{1}/\mathrm{2}& \sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{2}}/\mathrm{4}\\ \mathrm{3}/\mathrm{8}& -\sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{2}}/\mathrm{4}& -\mathrm{1}/\left(\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{10}}\right)& -\left(\mathrm{3}\sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{5}}\right)/\mathrm{8}& \mathrm{1}/\mathrm{2}& \mathrm{1}/\mathrm{4}& -\mathrm{1}/\left(\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{10}}\right)& -\left(\mathrm{3}\sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{5}}\right)/\mathrm{8}& -\sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{2}}/\mathrm{4}& \mathrm{3}/\mathrm{8}\\ -\mathrm{1}/\mathrm{4}& \mathrm{0}& \mathrm{1}/\sqrt[]{\mathrm{10}}& \left(\mathrm{3}\sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{5}}\right)/\mathrm{4}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\mathrm{1}/\sqrt[]{\mathrm{10}}& -\left(\mathrm{3}\sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{5}}\right)/\mathrm{4}& \mathrm{0}& \mathrm{1}/\mathrm{4}\\ \sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{2}}/\mathrm{4}& -\mathrm{1}/\mathrm{4}& \mathrm{0}& \sqrt[]{\mathrm{5}/\mathrm{2}}/\mathrm{4}& \mathrm{0}& -\sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{2}}/\mathrm{2}& \mathrm{0}& \sqrt[]{\mathrm{5}/\mathrm{2}}/\mathrm{4}& -\mathrm{1}/\mathrm{4}& \sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{2}}/\mathrm{4}\\ -\mathrm{1}/\mathrm{2}& \mathrm{0}& \mathrm{1}/\sqrt[]{\mathrm{10}}& -\sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{5}}/\mathrm{2}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\mathrm{1}/\sqrt[]{\mathrm{10}}& \sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{5}}/\mathrm{2}& \mathrm{0}& \mathrm{1}/\mathrm{2}\\ \mathrm{3}/\mathrm{8}& \sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{2}}/\mathrm{4}& -\mathrm{1}/\left(\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{10}}\right)& -\left(\mathrm{3}\sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{5}}\right)/\mathrm{8}& -\mathrm{1}/\mathrm{2}& -\mathrm{1}/\mathrm{4}& -\mathrm{1}/\left(\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{10}}\right)& -\left(\mathrm{3}\sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{5}}\right)/\mathrm{8}& \sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{2}}/\mathrm{4}& \mathrm{3}/\mathrm{8}\\ \sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{2}}/\mathrm{4}& \mathrm{1}/\mathrm{4}& \mathrm{0}& \sqrt[]{\mathrm{5}/\mathrm{2}}/\mathrm{4}& \mathrm{0}& \sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{2}}/\mathrm{2}& \mathrm{0}& \sqrt[]{\mathrm{5}/\mathrm{2}}/\mathrm{4}& \mathrm{1}/\mathrm{4}& \sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{2}}/\mathrm{4}\\ -\sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{2}}/\mathrm{4}& -\mathrm{1}/\mathrm{2}& -\sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{5}}/\mathrm{2}& \mathrm{1}/\left(\mathrm{4}\sqrt[]{\mathrm{10}}\right)& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{5}}/\mathrm{2}& -\mathrm{1}/\left(\mathrm{4}\sqrt[]{\mathrm{10}}\right)& \mathrm{1}/\mathrm{2}& \sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{2}}/\mathrm{4}\\ \mathrm{1}/\mathrm{8}& \sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{2}}/\mathrm{4}& \mathrm{3}/\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{10}}& -\sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{5}}/\mathrm{8}& \mathrm{1}/\mathrm{2}& -\mathrm{1}/\mathrm{4}& \mathrm{3}/\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{10}}& -\sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{5}}/\mathrm{8}& \sqrt[]{\mathrm{3}/\mathrm{2}}/\mathrm{4}& \mathrm{1}/\mathrm{8}\end{array}\right)（13）

与N=4的情况类似，此处近似处理对于量子短程通讯是成立的。参考（7）式可得出，格点数为N=5的自旋链上，二比特量子信息中的\left|\mathrm{11000}\right.〉演化至末态\left|\mathrm{00011}\right.〉的概率幅为

F_{N=\mathrm{5}}\left(t\right)={\left[-\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\lambda t\sqrt[]{\mathrm{1}+B^{\mathrm{2}}}}{\mathrm{2}}\right]}^{\mathrm{6}}（14）

实现信息的完美传输即要求上式的模为1，从而可得到与N=3、N=4一样的结果（9）式。

3　 任意格点数自旋链上弱磁场的影响

以N=4和N=5的研究为依据，结合N=3自旋链^[14]的情形，讨论二比特量子信息在任意格点数的自旋链上完美传输时，近邻格点磁感应强度差值为B/\mathrm{2}的中心对称弱磁场所产生的影响。

首先，需要说明的是，对于二比特量子信息传输而言，N=2自旋链是一种特殊的情况，形如\alpha \left|\mathrm{00}\right.〉+\beta \left|\mathrm{11}\right.〉的二比特量子信息，无论有无磁场，都可以实现完美传输^[12]，演化的概率幅

F_{N=\mathrm{2}}\left(t\right)=\mathrm{1}={\left[-\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\lambda t\sqrt[]{\mathrm{1}+B^{\mathrm{2}}}}{\mathrm{2}}\right]}^{\mathrm{0}}（15）

N=3时，在这种磁场的影响下，二比特信息由\alpha \left|\mathrm{000}\right.〉+\beta \left|\mathrm{110}\right.〉演化至末态\alpha \left|\mathrm{000}\right.〉+\beta \left|\mathrm{011}\right.〉的概率幅^[14]为

F_{N=\mathrm{3}}\left(t\right)={\left[-\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\lambda t\sqrt[]{\mathrm{1}+B^{\mathrm{2}}}}{\mathrm{2}}\right]}^{\mathrm{2}}（16）

将（15）、（16）式分别与（8）、（14）式进行对比，发现N=2、3、4、5时，概率幅的形式都包含（16）式所示的中括号内的部分，仅指数随N的取值不同而变化。指数的变化规律为：N=2时，指数为0；N每增加1，指数增加2。将该规律进行一般性推广：在弱磁场作用下，任意格点数N的自旋链上，二比特量子信息完美传输的概率幅为

F_N\left(t\right)={\left[-\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\lambda t\sqrt[]{\mathrm{1}+B^{\mathrm{2}}}}{\mathrm{2}}\right]}^{\mathrm{2}\left(N-\mathrm{2}\right)}（17）

此时，在第n个格点处磁感应强度的取值形式为

B_n=\left[-\frac{N-\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\left(n-\mathrm{1}\right)\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right]B（18）

借助数学归纳法可对（17）式的正确性作一个简单的证明。首先，自旋链取格点数最小值N=2时，F_{\mathrm{2}}\left(t\right)=\mathrm{1}，参考（15）式可知（17）式成立。其次，假设（17）式对于任意的N成立，那么当N取N+1时，根据（17）式有

F_{N+\mathrm{1}}\left(t\right)={\left[-\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\lambda t\sqrt[]{\mathrm{1}+B^{\mathrm{2}}}}{\mathrm{2}}\right]}^{\mathrm{2}\left(N+\mathrm{1}-\mathrm{2}\right)}={\left[-\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\lambda t\sqrt[]{\mathrm{1}+B^{\mathrm{2}}}}{\mathrm{2}}\right]}^{\mathrm{2}\left(N-\mathrm{2}\right)+\mathrm{2}}（19）

即N+1时，概率幅中的指数相较于N时增加了数值2，正好符合前面的要求，从而说明N+1时也成立，（17）式得证。

需要注意的是，得到结论（17）式的关键是所施加的磁场非常弱，从而近似地用无磁场时的幺正矩阵代替了存在磁场时的形式。这样做的主要依据为，弱磁场下体系的哈密顿矩阵与无磁场时相比相差极小。如N=4和N=5时，无磁场体系的哈密顿矩阵分别是（4）式和（12）式中第一个矩阵对角元均取0的形式，由于B的取值非常小，所以存在弱磁场时哈密顿量矩阵只是在无磁场形式的基础上做了一个微弱的修正。结合N=3、4、5的情况可以发现，哈密顿矩阵左上角和右下角的对角元的数值（即对角元绝对值的最大值），随着自旋链格点数N的增大而增大，当增大到一定程度，有无磁场时的哈密顿矩阵差别明显，近似方法将不再成立。因此，此处的近似方法仅适用于N值较小的情形，也就是说,从N=2、3、4、5向任意的N推广时，N的取值不能太大，一般而言不能超过{\mathrm{10}}^{\mathrm{2}}。此外，根据（18）式，弱磁场下哈密顿矩阵中对角元的最大值为B_N=\frac{N-\mathrm{1}}{\mathrm{4}}B，为了保证近似方法成立，B_N的取值至少要比1小1个量级，此时B可以控制在{\mathrm{10}}^{-\mathrm{3}}T之内，从而保证弱磁场的影响能够产生足够好的效果。

由（17）式可知，进行\left|F_N\left(t\right)\right|=\mathrm{1}完美传输的时间条件为

t=\frac{\mathrm{\pi }}{\lambda \sqrt[]{\mathrm{1}+B^{\mathrm{2}}}}（20）

从而可以得到两点结论：1） 尽管信息传输的概率幅随自旋链的格点数不同，按照（17）式有规律地进行变化，但实现完美传输的时间条件（20）式与格点数无关；2） 一旦加入这种磁场后，将改变信息传输的机制，磁场的存在对于信息能否实现完美传输起到关键性的作用。

4　 弱磁场对二比特量子信息完美传输的调控

根据上述研究可知，当形如\alpha \left|\mathrm{00}\right.〉+\beta \left|\mathrm{11}\right.〉的二比特量子信息在自旋链上进行传输时，若施加1个近邻格点间磁感应强度差值为B/\mathrm{2}的弱磁场，信息完美传输的时间条件将不再仅仅取决于体系自身，而是由弱磁场和体系共同决定。因而，可以通过调节B/\mathrm{2}调控二比特量子信息完美传输的时间条件。需要注意的是，根据（20）式，即使存在这样的弱磁场，信息完美传输的时间条件仍然与链上所包含的格点数无关。具体的调控理论是：

1） 由（15）、（16）、（17）和（20）式的理论结果可知，实现信息完美传输的时间条件不仅取决于自旋链体系自身的物理特性，还取决于近邻格点间磁感应强度的差值。因而可以根据信息传输的实际需要，通过改变B值的大小调控信息完美传输的时间条件。

2） 在保证信息完美传输的同时，如果要求增长信息传输的时间，可以通过减小（18）式所示的各格点处的B值来实现；而若要求缩短信息传输的时间，则需增大B值。

3） 依据（20）式，利用数值分析，可给出实现信息完美传输的时间条件与B之间的变化趋势图（图1）。为方便处理，作图时将\mathrm{\pi }/\lambda取作了1，因而横轴只代表B的相对取值，而不是绝对数值。同时，为了保证调控效果，B的取值为相对较弱的范围0 ~0.001。

4） 人为调控对于不同格点数的自旋链而言是相同的，也就是说一旦信息完美传输的时间确定，那么无论自旋链的格点数是多少，所需要的B的数值都是相同的。

5　 结 语

以弱磁场对N=3自旋链上二比特量子信息完美传输的调控理论为基础，分别在N=4和N=5的自旋链引入近邻格点磁感应强度差值为B/2的中心对称弱磁场，研究了该磁场对二比特量子信息完美传输的影响。根据信息传输的概率幅随自旋链格点数变化的规律，将磁场的影响推广至任意格点数自旋链的情形，研究结果表明：尽管在不同格点数的自旋链上二比特量子信息传输的概率幅不同，但实现完美传输的时间条件却与链的格点数无关，且实现完美传输的时间由自旋链体系和磁场共同决定。以此结论为依据，提出通过改变自旋链近邻格点间磁感应强度的差值，可以实现二比特量子信息在任意格点数自旋链上完美传输的量子调控。

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基金资助

山西省高等学校教学改革创新项目(J20220953)

山西省高等学校科技创新项目(2020L0538)

忻州师范学院科研基金(2019KY06)