一类复合泊松过程的首达时概率密度

On the First Passage Time Density for a Class of Compound Poisson Process

摘要

利用复合泊松过程的独立增量性，研究了一类带正跳跃的复合泊松过程首达时的概率密度函数，这类复合泊松过程的跳跃幅度服从有限离散分布。由首达时的概率密度函数，计算出首达时有限的概率。而后，作为主要结论的应用，计算了几个特殊例子，推广了关于独立泊松过程的加权和过程的首达时概率分布的一些结论。

Abstract

Using the independent increment property of compound Poisson process, we studied the probability density function of the first passage time of a class of compound Poisson processes with positive jumps. The jump size of those compound Poisson processes satisfies finite discrete distribution. From the probability density function of the first passage time, we derived the probability of which first passage time is finite. Then, as the applications of the main results of this article, several special cases were discussed, and some results about the probability distribution of the first passage time of weighted Poisson processes were generalized.

关键词

复合泊松过程 / 首达时 / 概率密度函数

Key words

compound Poisson process / first passage time / probability density function

0　 引 言

复合泊松过程是一类常见的随机过程，具有平稳增量性，其作为计数过程中一种重要的模型，常用于描述单位时间（空间）内随机事件发生的次数。在日常生活中，常常需要考虑这样一些问题，在固定的一段时间内，到达商店的顾客数或某电话总机接到的呼唤次数；在电子技术领域中的散粒噪声和脉冲噪声；数字通信中已编码信号的误码数等。在这些问题的研究中，使用复合泊松过程建模是一种常用方法。

首达时是一种非常重要的停时，在随机过程理论和应用中都有十分重要的意义。关于连续时间马尔可夫过程首达时概率的相关计算，历史上有过很多结论。文献［1，2］研究了布朗运动在与时间相关的某点处的首达时的概率密度，文献［3，4］进一步验证了布朗运动在固定点的首达时的概率密度可由布朗运动的强马尔可夫性质得到，文献［5~7］则研究了O-U过程的首达时的概率分布。更进一步地，文献［8］研究了满足Cherkasov条件的Ito扩散过程的首达时的概率分布。在带跳过程的首达时分布方面的研究相对较少，文献［9］给出了一类带非负跳的Lévy过程在固定点首达时的概率密度函数。文献［10］研究了n阶的从属泊松过程的分布性质、长期依赖关系和极限定理，文献［11］研究了一些独立同参数泊松过程加权和的首达时概率密度函数，而后文献［12］把［11］的结论推广到了各泊松过程参数不同的情形。而文献［11，12］中的情形均为复合泊松过程的特殊情况，因此这些结论可以进一步推广。

本文将沿用文献［11，12］中的方法，研究如下带正跳跃的复合泊松过程

X(t)={\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{N(t)}}{\xi }_m(1)

的首达时的密度函数P(T_b\in \mathrm{d}s)以及首达时有限的概率，其中定义X(t)在b点的首达时为T_b\triangleq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{s:s\ge \mathrm{0},X(s)=b\},b\ge \mathrm{0}。当b不属于X(t)的状态空间时，规定T_b=\mathrm{\infty }。{\xi }_m,m\ge \mathrm{1}是独立同分布的，取值为有限个非负整数的随机变量。{\xi }_{\mathrm{1}}服从如下有限离散分布

其中，，p_{\mathrm{0}}\ge \mathrm{0},p_i>\mathrm{0},i=\mathrm{1,2},\dots ,n，且{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^n}{p}_i=\mathrm{1}。N(t)是参数为\lambda的泊松过程，且与\left\{{\xi }_m,m\ge \mathrm{1}\right\}序列之间是相互独立的。而后，本文将计算几个特例，并且对文献［11，12］中的相应结论进行补充和推广。

1　 X\left(t\right)的首达时概率密度的计算

为了计算X(t)的首达时概率密度，需要利用以下两个引理。

引理 1 定义无穷小时间内增量X(\mathrm{d}t)\triangleq X(t+\mathrm{d}t)-X(t)，则X(\mathrm{d}t)的分布为

\left\{\begin{array}{l}P(X(\mathrm{d}t)=\mathrm{0})=\mathrm{1}-\lambda (\mathrm{1}-p_{\mathrm{0}})\mathrm{d}t\\ P(X(\mathrm{d}t)=a_i)=\lambda p_i\mathrm{d}t,i=\mathrm{1,2},\cdots ,n\mathrm{ }\mathrm{ }\end{array}\right.(2)

证 由X(\mathrm{d}t)的定义可知

X(\mathrm{d}t)=\left\{\begin{array}{l} \mathrm{0} , \mathrm{若} N(\mathrm{d}t)=\mathrm{0}\\ {\xi }_{N\left(t\right)+\mathrm{1} },\mathrm{若}\mathrm{N}(\mathrm{d}t)=\mathrm{1}\end{array}\right.

根据泊松过程的性质，P(N(\mathrm{d}t))=\mathrm{1}=\lambda \mathrm{d}t。由于对任意t>\mathrm{0}，{\xi }_{N\left(t\right)+\mathrm{1}}与N(\mathrm{d}t)独立，因此有

\begin{array}{l}P(X(\mathrm{d}t)=a_i)=P(X(\mathrm{d}t)=a_i\left|N(\mathrm{d}t)=\mathrm{1}\right.)P(N(\mathrm{d}t)=\mathrm{1})=\\ P({\xi }_{N\left(t\right)+\mathrm{1}}=a_i\left|N(\mathrm{d}t)=\mathrm{1}\right.)P(N(\mathrm{d}t)=\mathrm{1})=\\ P({\xi }_{N\left(t\right)+\mathrm{1}}=a_i)P(N(\mathrm{d}t)=\mathrm{1}) =\lambda p_i\mathrm{d}t \end{array}

以及

\begin{array}{l}P(X(\mathrm{d}t)=\mathrm{0})=P(N(\mathrm{d}t)=\mathrm{0})+P(X(\mathrm{d}t)=\mathrm{0}\left|N(\mathrm{d}t)=\mathrm{1}\right.)P(N(\mathrm{d}t)=\mathrm{1}) =\\ (\mathrm{1}-\lambda \mathrm{d}t)+P({\xi }_{N\left(t\right)+\mathrm{1}}=\mathrm{0})\lambda \mathrm{d}t=\mathrm{1}-\lambda (\mathrm{1}-p_{\mathrm{0}})\mathrm{d}t \end{array}

故X(\mathrm{d}t)的分布即为（2）式。证毕。

引理2 给定t，随机变量X(t)的分布为

\left\{\begin{array}{l}P(X(t)=\mathrm{0})={\mathrm{e}}^{-\lambda t(\mathrm{1}-p_{\mathrm{0}})}\\ P(X(t)=k)={\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}\frac{{(\lambda t)}^l}{l!}{\mathrm{e}}^{-\lambda t}\sum _{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_l\in \{\mathrm{0,1},\mathrm{2},\cdots ,n\}\\ a_{x_{\mathrm{1}}}+a_{x_{\mathrm{2}}}+\cdots +a_{x_l}=k\end{array}}{\displaystyle \prod _{j=\mathrm{1}}^l}{P}_{x_j},k>\mathrm{0}\end{array}\right.(3)

这里约定，如果满足a_{x_{\mathrm{1}}}+a_{x_{\mathrm{2}}}+\dots +a_{x_l}=k,x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\dots ,x_l\in \left\{\mathrm{0,1},\mathrm{2},\dots ,n\right\}的数组\left\{a_{x_{\mathrm{1}}},a_{x_{\mathrm{2}}},\dots ,a_{x_l}\right\}不存在，则\sum _{\begin{array}{l}{x}_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_l\in \{\mathrm{0,1},\mathrm{2},\cdots ,n\}\\ a_{x_{\mathrm{1}}}+a_{x_{\mathrm{2}}}+\cdots +a_{x_l}=k\end{array}}\cdots =\mathrm{0}，下文同。

证 利用全概率公式，可得

\begin{array}{l}P(X(t)=\mathrm{0})=P(N(t)=\mathrm{0})+P({\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{N(t)}}{\xi }_m=\mathrm{0},N(t)>\mathrm{0})=\\ P(N(t)=\mathrm{0})+{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}P({\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^l}{\xi }_m=\mathrm{0}|N(t)=l)P(N(t)=l)=\\ {\mathrm{e}}^{-\lambda t}+{{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}\frac{(\lambda t)}{l!}}^l{\mathrm{e}}^{-\lambda t}{p}_{\mathrm{0}}^l={\displaystyle \sum _{l=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}\frac{(\lambda p_{\mathrm{0}}{t)}^l}{l!}{\mathrm{e}}^{-\lambda p_{\mathrm{0}}t}{\mathrm{e}}^{\lambda p_{\mathrm{0}}t-\lambda t}={\mathrm{e}}^{-\lambda t(\mathrm{1}-p_{\mathrm{0}})} \end{array}

当k>\mathrm{0}时，同样利用全概率公式，有

\begin{array}{l}P(X(t)=k)=E[P({\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{N(t)}}{\xi }_m=k|N(t))]={\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}P({\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{N(t)}}{\xi }_m=k|N(t)=l)P(N(t)=l)=\\ {\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}\frac{{(\lambda t)}^l}{l!}{\mathrm{e}}^{-\lambda t}P({\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^l}{\xi }_m=k)={\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}\frac{{(\lambda t)}^l}{l!}{\mathrm{e}}^{-\lambda t}\sum _{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_l\in \{a_{\mathrm{0}},a_{\mathrm{1}},a_{\mathrm{2}},\cdots ,a_n\}\\ x_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{2}}+\cdots +x_n=k\end{array}}P({\xi }_{\mathrm{1}}=x_{\mathrm{1}},\cdots ,{\xi }_l=x_l)=\\ {\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}\frac{{(\lambda t)}^l}{l!}{\mathrm{e}}^{-\lambda t}\sum _{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_l\in \{a_{\mathrm{0}},a_{\mathrm{1}},a_{\mathrm{2}},\cdots ,a_n\}\\ x_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{2}}+\cdots +x_n=k\end{array}}P({\xi }_{\mathrm{1}}=x_{\mathrm{1}})P({\xi }_{\mathrm{2}}=x_{\mathrm{2}})\cdots P({\xi }_l=x_l)=\\ {\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}\frac{{(\lambda t)}^l}{l!}{\mathrm{e}}^{-\lambda t}\sum _{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_l\in \{\mathrm{0,1},\cdots ,n\}\\ a_{x_{\mathrm{1}}}+a_{x_{\mathrm{2}}}+\cdots +a_{x_l}=k\end{array}}{\displaystyle \prod _{j=\mathrm{1}}^l}{p}_{x_j}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{}\end{array}

证毕。

利用引理1和引理2，可以得出本文的主要结论，即下面的定理。

定理1X(t)在b点的首达时T_b的概率密度函数为

P(T_b\in \mathrm{d}s)=\left\{\begin{array}{l}\lambda p_{n_{\mathrm{0}}}{\mathrm{e}}^{-\lambda s(\mathrm{1}-p_{\mathrm{0}})}\mathrm{d}s+{\displaystyle \sum _{h=\mathrm{1}}^{n_{\mathrm{0}}-\mathrm{1}}}\lambda p_h{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}\sum _{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_l\in \{\mathrm{0,1},\cdots ,n\}\\ a_{x_{\mathrm{1}}}+a_{x_{\mathrm{2}}}+\cdots +a_{x_l}=b-a_h\end{array}}\frac{{\displaystyle \prod _{j=\mathrm{1}}^l}{p}_{x_j}}{l!}{(\lambda s)}^l{\mathrm{e}}^{-\lambda s}\mathrm{d}s,\mathrm{若}\exists n_{\mathrm{0}}\ne \mathrm{0}\mathrm{使}\mathrm{得}\mathrm{b}=a_{n_{\mathrm{0}}}\\ {\displaystyle \sum _{h=\mathrm{1}}^n}\lambda p_h{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}\sum _{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_l\in \{\mathrm{0,1},\cdots ,n\}\\ a_{x_{\mathrm{1}}}+a_{x_{\mathrm{2}}}+\cdots +a_{x_l}=b-a_h\end{array}}\frac{{\displaystyle \prod _{j=\mathrm{1}}^l}{p}_{x_j}}{l!}{(\lambda s)}^l{\mathrm{e}}^{-\lambda s}\mathrm{d}s,\mathrm{若}\mathrm{b}>a_n\end{array}\right.

证 当存在n_{\mathrm{0}}使得b=a_{n_{\mathrm{0}}}时，根据复合泊松过程的独立增量性，以及X(t)的非降性，有

P(T_b\in \mathrm{d}s)={\displaystyle \sum _{h=\mathrm{1}}^{n_{\mathrm{0}}}}P(X(s)=a_{n_{\mathrm{0}}}-a_h,X(s+\mathrm{d}s)=a_{n_{\mathrm{0}}})={\displaystyle \sum _{h=\mathrm{1}}^{n_{\mathrm{0}}}}P(X(s)=a_{n_{\mathrm{0}}}-a_h)P(X(\mathrm{d}s)=a_h)

由引理1可知P(X(\mathrm{d}s)=a_h)=\lambda p_h\mathrm{d}s，再根据（3）式可得

\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{h=\mathrm{1}}^{n_{\mathrm{0}}}}P(X(s)=a_{n_{\mathrm{0}}}-a_h)P(X(\mathrm{d}s)=a_h)={\displaystyle \sum _{h=\mathrm{1}}^{n_{\mathrm{0}}}}\lambda pP(X(s)=a_{n_{\mathrm{0}}}-a_h)\mathrm{d}s=\\ \lambda p_{n_{\mathrm{0}}}P(X(s)=\mathrm{0})\mathrm{d}s+{\displaystyle \sum _{h=\mathrm{1}}^{n_{\mathrm{0}}-\mathrm{1}}}\lambda p_{h}P(X(s)=a_{n_{\mathrm{0}}}-a_h)\mathrm{d}s=\\ \lambda p_{n_{\mathrm{0}}}{\mathrm{e}}^{-\lambda s(\mathrm{1}-p_{\mathrm{0}})}\mathrm{d}s+{\displaystyle \sum _{h=\mathrm{1}}^{n_{\mathrm{0}}-\mathrm{1}}}\lambda p_h{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}\sum _{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_l\in \{\mathrm{0,1},\cdots ,n\}\\ a_{x_{\mathrm{1}}}+a_{x_{\mathrm{2}}}+\cdots +a_{x_l}=b-a_h\end{array}}\frac{{\displaystyle \prod _{j=\mathrm{1}}^l}{p}_{x_j}}{l!}{(\lambda s)}^l{\mathrm{e}}^{-\lambda s}\mathrm{d}s\end{array}

当b>a_n时，与上面的证明过程类似，可得

\begin{array}{l}P(T_b\in \mathrm{d}s)={\displaystyle \sum _{h=\mathrm{1}}^n}P(X(s)=b-a_h,X(s+\mathrm{d}s)=b)=\\ {\displaystyle \sum _{h=\mathrm{1}}^n}P(X(s)=b-a_h)P(X(\mathrm{d}s)=a_h)=\end{array}

{\displaystyle \sum _{h=\mathrm{1}}^n}\lambda p_{h}P(X(s)=b-a_h)\mathrm{d}s={\displaystyle \sum _{h=\mathrm{1}}^n}\lambda p_h{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}\sum _{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_l\in \{\mathrm{0,1},\cdots ,n\}\\ a_{x_{\mathrm{1}}}+a_{x_{\mathrm{2}}}+\cdots +a_{x_l}=b-a_h\end{array}}\frac{{\displaystyle \prod _{j=\mathrm{1}}^l}{p}_{x_j}}{l!}{(\lambda s)}^l{\mathrm{e}}^{-\lambda s}\mathrm{d}s

证毕。

定理2X(t)在b点的首达时T_b有限的概率为

(4)

这里约定{\displaystyle \sum _{h=\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}}\cdots =\mathrm{0}，下文同。

证 显然。当存在n_{\mathrm{0}}使得b=a_{n_{\mathrm{0}}}时，

当b>a_n时，

除此以外的其他情况，b不属于X(t)的状态空间，即T_b=\mathrm{\infty }，故。证毕。

特别地，当{\xi }_m的取值中不含0，即p_{\mathrm{0}}=\mathrm{0}，可得

(5)

2　 一些特例的计算

在本节中，作为定理1和定理2的应用，我们将给出一些特殊例子的P(T_b\in \mathrm{d}s)或者的表达式。

例1 （泊松过程） {\xi }_m服从单点分布，P({\xi }_m=\mathrm{1})=\mathrm{1}，b\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{+}，计算P(T_b\in \mathrm{d}s)。

由定理1可知：P(T_{\mathrm{1}}\in \mathrm{d}s)=\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda s}\mathrm{d}s,以及当b\ge \mathrm{2}时，

P(T_b\in \mathrm{d}s)=\lambda {\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}\sum _{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_l\in \{\mathrm{1}\}\\ x_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{2}}+\cdots +x_l=b-\mathrm{1}\end{array}}\frac{{\displaystyle \prod _{j=\mathrm{1}}^l}{p}_{x_j}}{l!}{(\lambda s)}^l{\mathrm{e}}^{-\lambda s}\mathrm{d}s=\lambda \frac{{\displaystyle \prod _{j=\mathrm{1}}^{b-\mathrm{1}}}\mathrm{1}}{(b-\mathrm{1})!}{(\lambda s)}^{b-\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-\lambda s}\mathrm{d}s=\frac{{\lambda }^b}{\mathrm{\Gamma }(b)}{s}^{b-\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-\lambda s}\mathrm{d}s

可见T_b服从伽马分布\mathrm{\Gamma }(b,\lambda )。特别地，T_{\mathrm{1}}服从指数分布\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda )。

例2{\xi }_m服从\left\{\mathrm{0,1}\right\}上的两点分布，P({\xi }_m=\mathrm{1})=p，P({\xi }_m=\mathrm{0})=\mathrm{1}-p，，b\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{+}，计算P(T_b\in \mathrm{d}s)。

由定理1可知：P(T_{\mathrm{1}}\in \mathrm{d}s)=\lambda p{\mathrm{e}}^{-\lambda ps}\mathrm{d}s,以及当b\ge \mathrm{2}时，

\begin{array}{l}P(T_b\in \mathrm{d}s)=\lambda p{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}\sum _{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_l\in \left\{\mathrm{0,1}\right\}\\ x_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{2}}+\cdots +x_l=b-\mathrm{1}\end{array}}\frac{{\displaystyle \prod _{j=\mathrm{1}}^l}{p}_{x_l}}{l!}{(\lambda s)}^l{\mathrm{e}}^{-\lambda s}\mathrm{d}s=\\ \lambda p{\displaystyle \sum _{l=b-\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{C}_l^{b-\mathrm{1}}\frac{{(\mathrm{1}-p)}^{l-b+\mathrm{1}}{p}^{b-\mathrm{1}}}{l!}{(\lambda s)}^l{\mathrm{e}}^{-\lambda s}\mathrm{d}s=\lambda p{\displaystyle \sum _{l=b-\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}\frac{{(\mathrm{1}-p)}^{l-b+\mathrm{1}}{p}^{b-\mathrm{1}}}{(b-\mathrm{1})!(l-b+\mathrm{1})!}{(\lambda s)}^l{\mathrm{e}}^{-\lambda s}\mathrm{d}s=\\ \lambda p\frac{p^{b-\mathrm{1}}}{(b-\mathrm{1})!}{\mathrm{e}}^{-\lambda s}{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}\frac{{(\mathrm{1}-p)}^l}{l!}{(\lambda s)}^{l+b-\mathrm{1}}\mathrm{d}s=\lambda p\frac{p^{b-\mathrm{1}}}{(b-\mathrm{1})!}{\mathrm{e}}^{-\lambda s}{(\lambda s)}^{b-\mathrm{1}}{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}\frac{{(\mathrm{1}-p)}^l}{l!}{(\lambda s)}^l\mathrm{d}s=\\ \frac{{(\lambda p)}^b}{(b-\mathrm{1})!}{s}^{b-\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-\lambda s}{\mathrm{e}}^{\lambda s\left(\mathrm{1}-p\right)}\mathrm{d}s=\frac{{(\lambda p)}^b}{\mathrm{\Gamma }(b)}{s}^{b-\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-\lambda ps}\mathrm{d}s\end{array}

可见T_b服从伽马分布\mathrm{\Gamma }(b,\lambda p)。特别地，T_{\mathrm{1}}服从指数分布\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda p)。

例3{\xi }_m服从\{\mathrm{0,1},\mathrm{2},\dots ,n\}上的均匀分布，b\in \left\{\mathrm{1,2},\dots ,n\right\}，计算。

将p_{\mathrm{0}}=p_{\mathrm{1}}=p_{\mathrm{2}}=\dots =p_n=\frac{\mathrm{1}}{n+\mathrm{1}}代入（4）式，得

以上最内层级数的结果为{\left(\frac{\mathrm{1}}{n+\mathrm{1}}\right)}^{l+\mathrm{1}}的S_{\mathrm{1}}倍，其中S_{\mathrm{1}}为满足x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_l\in \{\mathrm{0,1},\cdots ,n\}，x_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{2}}+\cdots +x_l=h的l元组（x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\dots ,x_l）的数量。因为，S_{\mathrm{1}}等价于x_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{2}}+\cdots +x_l=h的非负整数解个数。由组合计数原理可知S_{\mathrm{1}}=C_{h+l-\mathrm{1}}^h，故级数\sum _{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_l\in \{\mathrm{0,1},\cdots ,n\}\\ x_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{2}}+\cdots +x_l=h\end{array}}{\left(\frac{\mathrm{1}}{n+\mathrm{1}}\right)}^{l+\mathrm{1}}等于\frac{C_{h+l-\mathrm{1}}^h}{{(n+\mathrm{1})}^{l+\mathrm{1}}}，因此，

例4{\xi }_m服从如下分布

其中\alpha \in \{\mathrm{1,2},\dots ,n-\mathrm{1}\},k>\mathrm{0},\alpha p+{\displaystyle \sum _{i=\alpha +\mathrm{1}}^n}{p}_i=\mathrm{1}。b满足\exists {\alpha }_{\mathrm{0}}\in \left\{\mathrm{1,2},\cdots ,\alpha +\mathrm{1}\right\}，使得b={\alpha }_{\mathrm{0}}k。

由于k>\mathrm{0}，故此例可归于p_{\mathrm{0}}=\mathrm{0}的情况。由于b\le nk，，由（5）式可得

当l>h时，x_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{2}}+\cdots +x_l\ge l>h，即满足条件x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_l\in \{\mathrm{1,2},\cdots ,n\}，x_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{2}}+\cdots +x_l=h的l元组(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\dots ,x_l)不存在；当\mathrm{1}\le l\le h时，因为，故满足以上条件的(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\dots ,x_l)必然存在，且所有这样的(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\dots ,x_l)恰好是x_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{2}}+\cdots +x_l=h的所有正整数解，此时最内层级数的结果为p^{l+\mathrm{1}}的S_{\mathrm{2}}倍，其中S_{\mathrm{2}}为满足以上条件的(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\dots ,x_l)组数，则S_{\mathrm{2}}等价于x_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{2}}+\cdots +x_l=h的正整数解个数。由组合计数原理可知S_{\mathrm{2}}=C_{h-\mathrm{1}}^{l-\mathrm{1}}，故级数\sum _{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_l\in \{\mathrm{0,1},\cdots ,n\}\\ x_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{2}}+\cdots +x_l=h\end{array}}{p}^{l+\mathrm{1}}等于C_{h-\mathrm{1}}^{l-\mathrm{1}}{p}^{l+\mathrm{1}}，因此，

特别地，若{\alpha }_{\mathrm{0}}\ne \alpha +\mathrm{1}，则p_{{\alpha }_{\mathrm{0}}}=p，此时。

例5 （独立同参数泊松过程的加权和） {\xi }_m服从\{\mathrm{1,2},\dots ,n\}上的均匀分布，b\in \left\{\mathrm{1,2},\dots ,n\right\}，计算。

在例4中取k=\mathrm{1}，\alpha =n-\mathrm{1}以及p=\frac{\mathrm{1}}{n}，代入例4结论得：。

这是对文献［11］中定理2.1结论的修正。

例6{\xi }_m服从\{\mathrm{1,2},\dots ,n\}上的均匀分布，计算和。

由（5）式知，当b=n+\mathrm{1}或b=n+\mathrm{2}时，，故

这也是对文献［11］中定理2.1结论的修正。

例7 （独立泊松过程的加权和）令p_{\mathrm{0}}=\mathrm{0},p_j=\frac{{\lambda }_j}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\lambda }_i},j=\mathrm{1,2},\dots ,n，其中{\lambda }_{\mathrm{1}},{\lambda }_{\mathrm{2}},\dots ,{\lambda }_n>\mathrm{0}，计算。

由（5）式得

(6)

记\lambda ={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\lambda }_j，结合文献［12］中的命题（2.6），此时的X(t)={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{a}_j{N}_j(t)，其中N_j(t)为参数为{\lambda }_j的泊松过程，且各N_j(t)相互独立。因此（6）式是文献［12］中定理2.7的结论的另一种表达形式。

3　 结 语

本文计算了一类带正跳跃的复合泊松过程首达时的概率密度函数及首达时有限的概率，给出了一些具体例子的计算结果。文献［9~11］中的一些相关结论皆为本文相关结论的特例。从计算结果可以看出，本文讨论的复合泊松过程首达时的概率密度表达式较为复杂，一般来说是难以化简的级数，在实际应用中，若需要具体的数值结果，经常要用到计算机模拟。本文只讨论了各个{\xi }_m为非负随机变量并且满足有限离散分布的情况，后续研究还可以考虑{\xi }_m满足无穷离散分布、连续分布或者不一定非负的情况。更进一步地，还可以考虑计算已知 Q 矩阵情况下一般的连续时间离散状态马氏过程的首达时概率密度。

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