随机环境中受病毒传染性影响的两性分枝过程的概率母函数和灭绝条件

Probability Generating Functions and Extinction Conditions for the Bisexual Branching Process Affected by Infectivity of Virus in Random Environments

摘要

建立了独立同分布随机环境中受病毒传染性影响的两性分枝过程模型，研究了该过程的马氏性、概率母函数的一些关系。利用这些关系，讨论了在常见配对函数下过程灭绝的几个充分条件。

Abstract

The model of bisexual branching process affected by infectivity of virus in independent and identically distributed random environment is established firstly, then the Markov property and some relations of the probability generating functions for this model are studied.By using these relations, some sufficient conditions for process extinction under common pairing functions are discussed.

关键词

随机环境 / 病毒传染性 / 两性分枝过程 / 概率母函数 / 灭绝概率

Key words

random environments / infectivity of virus / bisexual branching process / probability generating function / extinction probability

0　 引 言

为了更准确地描述物种的繁衍，Daley于1968年首次引入两性分枝过程模型^［1］，随后引起诸多数学工作者对模型进行研究，取得丰硕的成果^［2~5］。由于物种繁衍受社会环境和自然环境等因素影响，数学工作者对两性分枝过程模型进行推广，Ma^［6］研究了随机环境中的两性分枝过程的若干性质，宋明珠等^［7］研究了随机环境中两性分枝过程的灭绝条件，任敏等^［8］研究了随机环境中具有迁移的两性分枝过程的极限性质，李应求等^［9~10］给出随机环境中两性分枝过程的概率母函数、灭绝条件和矩收敛准则等。像流感病毒、SARS病毒等传染性极强的病毒对物种繁衍有着直接或间接的影响，如1918年流感在全球爆发造成全球约5 000万人死亡，2019年末出现并在全球蔓延的新型冠状病毒传播速度快、潜伏期较长，截至2021年2月底造成全球约有250万人死亡。本文首先建立独立同分布随机环境中受病毒传染性影响的两性分枝过程模型，其次研究过程的马氏性、概率母函数及其关系，最后利用这些关系给出过程灭绝的几个充分条件。

设(\mathrm{\Omega },F,P)为一概率空间，(\mathrm{\Theta },\mathrm{\Sigma })为可测空间，\mathrm{\mathbb{N}}=\{\mathrm{0,1},\mathrm{2},\cdots \}，{\mathrm{\mathbb{N}}}^{+}=\mathrm{\mathbb{N}}-\{\mathrm{0}\}。\stackrel{\rightharpoonup }{X}=\{X_n,n\in \mathrm{\mathbb{N}}\}是定义在(\mathrm{\Omega },F,P)上取值于\mathrm{\mathbb{N}}的随机变量序列。L(x,y)是定义在{\mathrm{\mathbb{N}}}^{\mathrm{2}}上取值于\mathrm{\mathbb{N}}的二元函数，且关于每个变量都是递增的，\{P(\theta ;\cdot ,\cdot );\theta \in \mathrm{\Theta }\}是{\mathrm{\mathbb{N}}}^{\mathrm{2}}上的一簇转移函数族，\{(f_{n,i},m_{n,i}{)}_{i\ge \mathrm{1}}{\}}_{n\ge \mathrm{0}}、\{(f_{n,i}{)}_{i\ge \mathrm{1}}{\}}_{n\ge \mathrm{0}}和\{(m_{n,i}{)}_{i\ge \mathrm{1}}{\}}_{n\ge \mathrm{0}}是定义在(\mathrm{\Omega },F,P)上分别取值于{\mathrm{\mathbb{N}}}^{\mathrm{2}}、\mathrm{\mathbb{N}}和\mathrm{\mathbb{N}}的三簇随机变量序列，\{(F_n,M_n{)\}}_{n\ge \mathrm{1}}和\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }=\{{\xi }_n{\}}_{n\ge \mathrm{0}}是定义在(\mathrm{\Omega },F,P)上分别取值于{\mathrm{\mathbb{N}}}^{\mathrm{2}}和(\mathrm{\Theta },\mathrm{\Sigma })的随机变量序列，对任意的\theta \in \mathrm{\Theta }，设\{P_j{(\theta )\}}_{j\ge \mathrm{0}}是概率分布。

定义 1 若\{Z_n,n\ge \mathrm{0}\}满足以下条件

（i） Z_{\mathrm{0}}=N_{\mathrm{0}},(F_{n+\mathrm{1}},M_{n+\mathrm{1}})={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{Z_n}}(f_{n,i}{I}_{f,ni},m_{n,i}{I}_{m,ni}),Z_{n+\mathrm{1}}=L(F_{n+\mathrm{1}},M_{n+\mathrm{1}}),n\in \mathrm{\mathbb{N}},N_{\mathrm{0}}\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{+};

（ii） P(f_{n,i}+m_{n,i}=j|\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })=P_j({\xi }_n),j,n\in \mathrm{\mathbb{N}},i=\mathrm{1,2},\cdots ,

P(I_{f,ni}=x|\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })=d^x({\xi }_n)(\mathrm{1}-d({\xi }_n{))}^{\mathrm{1}-x},x=\mathrm{0}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{1},n\in \mathrm{\mathbb{N}},i=\mathrm{1,2},\cdots ,

P(I_{m,ni}=x|\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })=b^x({\xi }_n)(\mathrm{1}-b({\xi }_n{))}^{\mathrm{1}-x},x=\mathrm{0}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{1},n\in \mathrm{\mathbb{N}},i=\mathrm{1,2},\cdots；

（iii） P(f_{n,i}=j_{n,i},m_{n,i}=k_{n,i},\mathrm{0}\le n\le l,\mathrm{1}\le i\le w|\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })={\displaystyle \prod _{n=\mathrm{0}}^l}{\displaystyle \prod _{i=\mathrm{1}}^w}P(f_{n,i}=j_{n,i},m_{n,i}=k_{n,i}|\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }),j_{n,i},k_{n,i}\in \mathrm{\mathbb{N}},\mathrm{0}\le n\le l,\mathrm{1}\le i\le w,w\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{+},l\in \mathrm{\mathbb{N}};

（iv） 给定\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }，\{(f_{n,i},m_{n,i}{)}_{n\ge \mathrm{0}}{\}}_{i\ge \mathrm{1}}、\{(I_{f,ni}{)}_{n\ge \mathrm{0}}{\}}_{i\ge \mathrm{1}}和\{(I_{m,ni}{)}_{n\ge \mathrm{0}}{\}}_{i\ge \mathrm{1}}分别是独立同分布随机变量序列，且\{(f_{n,i},m_{n,i}{)}_{n\ge \mathrm{0}}{\}}_{i\ge \mathrm{1}}、\{(I_{f,ni}{)}_{n\ge \mathrm{0}}{\}}_{i\ge \mathrm{1}}和\{(I_{m,ni}{)}_{n\ge \mathrm{0}}{\}}_{i\ge \mathrm{1}}条件独立。在给定\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }的条件下，第n代的每个配对单元生成下一代是雌性的概率为\alpha ({\xi }_n)。

称\{Z_n,n\ge \mathrm{0}\}为独立同分布随机环境\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }中受病毒传染性影响的两性分枝过程。

在定义1中m_{n,i}和f_{n,i}分别表示第n代的第i个配对单元产生的雄性和雌性后代数；当第n代的第i个配对单元的雄性感染病毒未治愈而死亡时I_{m,ni}=\mathrm{0}，即该配对单元不产生后代，当第n代的第i个配对单元的雄性未感染病毒或感染病毒并已治愈时I_{m,ni}=\mathrm{1}，即该配对单元正常产生后代；类似地可定义I_{f,ni}。M_{n+\mathrm{1}}和F_{n+\mathrm{1}}分别表示第n代所有配对单元产生的雄性和雌性后代的总数，由配对函数L(\cdot ,\cdot )形成第n+\mathrm{1}代的配对数Z_{n+\mathrm{1}}。

定义2 如果随机环境中受病毒传染性影响的两性分枝过程\{Z_n{\}}_{n\ge \mathrm{0}}的配对函数是上可加的，即L({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}(x_i,y_i))\ge {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}L(x_i,y_i),x_i,y_i\in {\mathrm{ℝ}}^{+},n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{+}，则称该过程是上可加的。

约定对任意的\theta \in \mathrm{\Theta }，\alpha (\theta ),d(\theta ),b(\theta )\in (\mathrm{0,1})， a.s.成立。设F_n(\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })=\sigma (Z_{\mathrm{0}},Z_{\mathrm{1}},\cdots ,Z_n;\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }),n\in \mathrm{\mathbb{N}}，且对任意的x,y\in \mathrm{\mathbb{N}}，F_n(\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })与L(x,y)独立。

1　马氏性

定义3 如果对任意的x,n\in \mathrm{\mathbb{N}}，都有

P(X_{\mathrm{0}}=x|\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })=P(X_{\mathrm{0}}=x|{\xi }_{\mathrm{0}})（1）

P(X_{n+\mathrm{1}}=x|{\stackrel{\rightharpoonup }{X}}_{\mathrm{0}}^n,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })=P({\xi }_n;X_n,x)（2）

成立，称\stackrel{\rightharpoonup }{X}是随机环境\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }中的马氏链。

定理1\{Z_n,n\ge \mathrm{0}\}是随机环境\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }中的马氏链，并且其一步转移概率为

\begin{array}{l}P({\xi }_n;i,j)={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \sum _{h=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}P(L(k,h)=j)\{\sum _{\begin{array}{l}{r}_{\mathrm{1}}+\cdot \cdot \cdot +r_i\ge j+m\\ r_l\ge \mathrm{0},b_{nl},d_{nl}=\mathrm{0}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{1}\\ \mathrm{0}\le j_{nl}\le r_l,l=\mathrm{0,1},\cdots ,i\\ {\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^i}(d_{nl}{j}_{nl},b_{nl}(r_l-j_{nl}))=(k,h)\end{array}}[{\displaystyle \prod _{l=\mathrm{1}}^i}{P}_{r_l}({\xi }_n)d^{d_{nl}}({\xi }_n)(\mathrm{1}-d({\xi }_n{))}^{\mathrm{1}-d_{nl}}\cdot \\ \hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}{b}^{b_{nl}}({\xi }_n)(\mathrm{1}-b({\xi }_n{))}^{\mathrm{1}-b_{nl}}{C}_{r_l}^{j_{nl}}{\alpha }^{j_{nl}}({\xi }_n)(\mathrm{1}-\alpha ({\xi }_n{))}^{r_l-j_{nl}}]\}\end{array}

证 由定义1和定义3可得P\{Z_{\mathrm{0}}=N_{\mathrm{0}}|\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }\}=P\{Z_{\mathrm{0}}=N_{\mathrm{0}}|{\xi }_{\mathrm{0}}\}成立，即（1）式成立，下证（2）式成立。

由L(x,y)和F_n(\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })的独立性知，对任意的i_{\mathrm{1}},i_{\mathrm{2}},\cdots ,i_{n-\mathrm{1}},i,j\in \mathrm{\mathbb{N}}，有

P\{Z_{n+\mathrm{1}}=j|Z_{\mathrm{1}}=i_{\mathrm{1}},Z_{\mathrm{2}}=i_{\mathrm{2}},\cdots ,Z_{n-\mathrm{1}}=i_{n-\mathrm{1}},Z_n=i,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }\}=

\frac{P\{Z_{n+\mathrm{1}}=j,Z_{\mathrm{1}}=i_{\mathrm{1}},\cdots ,Z_{n-\mathrm{1}}=i_{n-\mathrm{1}},Z_n=i|\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }\}}{P\{Z_{\mathrm{1}}=i_{\mathrm{1}},\cdots ,Z_{n-\mathrm{1}}=i_{n-\mathrm{1}},Z_n=i|\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }\}}=

\frac{P\{L({\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^i}(f_{n,l}{I}_{f,nl},m_{n,l}{I}_{m,nl}))=j,Z_{\mathrm{1}}=i_{\mathrm{1}},\cdots ,Z_{n-\mathrm{1}}=i_{n-\mathrm{1}},Z_n=i|\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }\}}{P\{Z_{\mathrm{1}}=i_{\mathrm{1}},\cdots ,Z_{n-\mathrm{1}}=i_{n-\mathrm{1}},Z_n=i|\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }\}}=

{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \sum _{h=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}P\{L(k,h)=j,{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^i}(f_{n,l}{I}_{f,nl},m_{n,l}{I}_{m,nl})=(k,h)|\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }\}=

\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \sum _{h=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}P(L(k,h)=j)\{\sum _{\begin{array}{l}{r}_{\mathrm{1}}+\cdot \cdot \cdot +r_i\ge j+m\\ r_l\ge \mathrm{0},b_{nl},d_{nl}=\mathrm{0}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{1}\\ \mathrm{0}\le j_{nl}\le r_l,l=\mathrm{0,1},\cdots ,i\\ {\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^i}(d_{nl}{j}_{nl},b_{nl}(r_l-j_{nl}))=(k,h)\end{array}}[{\displaystyle \prod _{l=\mathrm{1}}^i}{P}_{r_l}({\xi }_n)d^{d_{nl}}({\xi }_n)(\mathrm{1}-d({\xi }_n{))}^{\mathrm{1}-d_{nl}}\cdot \\ \hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}{b}^{b_{nl}}({\xi }_n)(\mathrm{1}-b({\xi }_n{))}^{\mathrm{1}-b_{nl}}{C}_{r_l}^{j_{nl}}{\alpha }^{j_{nl}}({\xi }_n)(\mathrm{1}-\alpha ({\xi }_n{))}^{r_l-j_{nl}}]\}\end{array}

所以（2）式成立，即\{Z_n{\}}_{n\ge \mathrm{0}}是随机环境\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }中的马氏链，并且其一步转移概率依赖于配对函数L(x,y)。

注1 同理可以证明\{(F_n,M_n{)\}}_{n\ge \mathrm{1}}是随机环境\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }中的马氏链，且其一步转移概率也依赖于配对函数L(x,y)。

2　 概率母函数

因为对任意的n\in \mathrm{\mathbb{N}},i\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{+},f_{n,i},m_{n,i},I_{f,ni},I_{m,ni}的分布与i无关，所以可记{\phi }_{{\xi }_n}(s_{\mathrm{1}},s_{\mathrm{2}})=E\{s_{\mathrm{1}}^{f_{n,i}{I}_{f,ni}}{s}_{\mathrm{2}}^{m_{n,i}{I}_{m,ni}}|\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }\}，\mathrm{0}\le s_{\mathrm{1}},s_{\mathrm{2}}\le \mathrm{1}，{\phi }_{{\xi }_n}(s)=E\{s^{f_{n,i}{I}_{f,ni}+m_{n,i}{I}_{m,ni}}|\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }\}，{\psi }_n(s)=E\{s^{Z_n}\}，\mathrm{0}\le s\le \mathrm{1}。

定理2 对任意的\mathrm{0}\le s_{\mathrm{1}},s_{\mathrm{2}}\le \mathrm{1},n\in \mathrm{\mathbb{N}}，有

{\phi }_{{\xi }_n}(s_{\mathrm{1}},s_{\mathrm{2}})={\phi }_{{\xi }_n}(\alpha ({\xi }_n)d({\xi }_n)s_{\mathrm{1}}+(\mathrm{1}-\alpha ({\xi }_n))b({\xi }_n)s_{\mathrm{2}})

证 对任意的\mathrm{0}\le s_{\mathrm{1}},s_{\mathrm{2}}\le \mathrm{1},n\in \mathrm{\mathbb{N}}，有

{\phi }_{{\xi }_n}(s_{\mathrm{1}},s_{\mathrm{2}})=E\{s_{\mathrm{1}}^{f_{n,i}{I}_{f,ni}}{s}_{\mathrm{2}}^{m_{n,i}{I}_{m,ni}}|\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }\}={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}P(f_{n,i}{I}_{f,ni}=j,m_{n,i}{I}_{m,ni}=k|\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })s_{\mathrm{1}}^j{s}_{\mathrm{2}}^k=

{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{C}_{j+k}^j(\alpha ({\xi }_n)d({\xi }_n{))}^j[(\mathrm{1}-\alpha ({\xi }_n))b({\xi }_n{)]}^{k}P(f_{n,i}{I}_{f,ni}+m_{n,i}{I}_{m,ni}=j+k|\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })s_{\mathrm{1}}^j{s}_{\mathrm{2}}^k\stackrel{j+k=l}{̿}

{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^l}{C}_l^j(\alpha ({\xi }_n)d({\xi }_n{))}^j[(\mathrm{1}-\alpha ({\xi }_n))b({\xi }_n{)]}^{l-j}P(f_{n,i}{I}_{f,ni}+m_{n,i}{I}_{m,ni}=l|\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })s_{\mathrm{1}}^j{s}_{\mathrm{2}}^{l-j}=

{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}\{\alpha ({\xi }_n)d({\xi }_n)s_{\mathrm{1}}+(\mathrm{1}-\alpha ({\xi }_n))b({\xi }_n)s_{\mathrm{2}}{\}}^{l}P(f_{n,i}{I}_{f,ni}+m_{n,i}{I}_{m,ni}=l|\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })=

{\phi }_{{\xi }_n}(\alpha ({\xi }_n)d({\xi }_n)s_{\mathrm{1}}+(\mathrm{1}-\alpha ({\xi }_n))b({\xi }_n)s_{\mathrm{2}})

定理2得证。

定理3 对任意的\mathrm{0}\le s_{\mathrm{1}},s_{\mathrm{2}}\le \mathrm{1},n,k\in \mathrm{\mathbb{N}}，有

E\{s_{\mathrm{1}}^{F_{n+\mathrm{1}}}{s}_{\mathrm{2}}^{M_{n+\mathrm{1}}}|Z_n=k,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }\}=\{{\phi }_{{\xi }_n}(s_{\mathrm{1}},s_{\mathrm{2}}{)\}}^k

证 对任意的\mathrm{0}\le s_{\mathrm{1}},s_{\mathrm{2}}\le \mathrm{1},n,k\in \mathrm{\mathbb{N}},由定义1可得

E\{s_{\mathrm{1}}^{F_{n+\mathrm{1}}}{s}_{\mathrm{2}}^{M_{n+\mathrm{1}}}|Z_n=k,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }\}=E\{s_{\mathrm{1}}^{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}{f}_{n,i}{I}_{f,ni}}{s}_{\mathrm{2}}^{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}{m}_{n,i}{I}_{m,ni}}|Z_n=k,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }\}=

E\{{\displaystyle \prod _{i=\mathrm{1}}^k}(s_{\mathrm{1}}^{f_{n,i}{I}_{f,ni}}{s}_{\mathrm{2}}^{m_{n,i}{I}_{m,ni}})|Z_n=k,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }\}={\displaystyle \prod _{i=\mathrm{1}}^k}E\{s_{\mathrm{1}}^{f_{n,i}{I}_{f,ni}}{s}_{\mathrm{2}}^{m_{n,i}{I}_{m,ni}}|Z_n=k,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }\}=\{{\phi }_{{\xi }_n}(s_{\mathrm{1}},s_{\mathrm{2}}{)\}}^k

定理3得证。

由定理3可得以下结论：

推论1 对任意的\mathrm{0}\le s\le \mathrm{1},n,k\in \mathrm{\mathbb{N}}，有

（i） P\{F_{n+\mathrm{1}}=\mathrm{0},M_{n+\mathrm{1}}=\mathrm{0}|Z_n=k,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }\}=\{{\phi }_{{\xi }_n}{(\mathrm{0,0})\}}^k；

（ii） E\{s^{F_{n+\mathrm{1}}}|Z_n=k,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }\}=\{{\phi }_{{\xi }_n}{(s,\mathrm{1})\}}^k；

（iii） {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}P\{F_{n+\mathrm{1}}=i,M_{n+\mathrm{1}}=\mathrm{0}|Z_n=k,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }\}{s}^i=\{{\phi }_{{\xi }_n}{(s,\mathrm{0})\}}^k；

（iv） P\{M_{n+\mathrm{1}}=\mathrm{0}|Z_n=k,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }\}=\{{\phi }_{{\xi }_n}{(\mathrm{1,0})\}}^k；

（v） E\{s^{M_{n+\mathrm{1}}}|Z_n=k,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }\}=\{{\phi }_{{\xi }_n}{(\mathrm{1},s)\}}^k。

证 对任意的\mathrm{0}\le s_{\mathrm{1}},s_{\mathrm{2}}\le \mathrm{1},n,k\in \mathrm{\mathbb{N}}，由定理3可得

\{{\phi }_{{\xi }_n}(s_{\mathrm{1}},s_{\mathrm{2}}{)\}}^k=E\{s_{\mathrm{1}}^{F_{n+\mathrm{1}}}{s}_{\mathrm{2}}^{M_{n+\mathrm{1}}}|Z_n=k,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }\}=\sum _{i,j\ge \mathrm{0}}{s}_{\mathrm{1}}^i{s}_{\mathrm{2}}^{j}P(F_{n+\mathrm{1}}=i,M_{n+\mathrm{1}}=j|Z_n=k,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })=

\begin{array}{l}P(F_{n+\mathrm{1}}=\mathrm{0},M_{n+\mathrm{1}}=\mathrm{0}|Z_n=k,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })+\sum _{j\ge \mathrm{1}}{s}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}{s}_{\mathrm{2}}^{j}P(F_{n+\mathrm{1}}=\mathrm{0},M_{n+\mathrm{1}}=j|Z_n=k,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })+\\ \sum _{i\ge \mathrm{1}}{s}_{\mathrm{1}}^i{s}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}P(F_{n+\mathrm{1}}=i,M_{n+\mathrm{1}}=\mathrm{0}|Z_n=k,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })+\sum _{i,j\ge \mathrm{1}}{s}_{\mathrm{1}}^i{s}_{\mathrm{2}}^{j}P(F_{n+\mathrm{1}}=i,M_{n+\mathrm{1}}=j|Z_n=k,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })\end{array}

可得结论（i）~（v）成立。

3　 灭绝概率

设q=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}P(Z_n=\mathrm{0})，即q是\{Z_n{\}}_{n\ge \mathrm{0}}的灭绝概率。记

g_{{\xi }_n}(s)={\phi }_{{\xi }_n}(\alpha ({\xi }_n)d({\xi }_n)s+(\mathrm{1}-\alpha ({\xi }_n))b({\xi }_n))

{\overline{g}}_{{\xi }_n}(s)={\phi }_{{\xi }_n}(\alpha ({\xi }_n)d({\xi }_n)+(\mathrm{1}-\alpha ({\xi }_n))b({\xi }_n)s^d),\mathrm{0}\le s\le \mathrm{1},n\in \mathrm{\mathbb{N}},d\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{+}

P({\xi }_n;j)=P(f_{n,i}{I}_{f,ni}+m_{n,i}{I}_{m,ni}=j|{\xi }_n)

引理1 若给定\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }，则对任意的n\in \mathrm{\mathbb{N}}，{\overline{g}}_{{\xi }_n}(s)与g_{{\xi }_n}(s)\mathrm{都}\mathrm{是}\mathrm{概}\mathrm{率}\mathrm{母}\mathrm{函}\mathrm{数},s\in [\mathrm{0,1}]。

证 因为对任意的\mathrm{0}\le s\le \mathrm{1},n\in \mathrm{\mathbb{N}},d\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{+}，有

{\overline{g}}_{{\xi }_n}(s)={\phi }_{{\xi }_n}(\alpha ({\xi }_n)d({\xi }_n)+(\mathrm{1}-\alpha ({\xi }_n))b({\xi }_n)s^d)=

{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}\{\alpha ({\xi }_n)d({\xi }_n)+(\mathrm{1}-\alpha ({\xi }_n))b({\xi }_n)s^d{\}}^{j}P({\xi }_n;j)=

{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}P({\xi }_n;j)\{{\displaystyle \sum _{r=\mathrm{0}}^j}{C}_j^r[(\mathrm{1}-\alpha ({\xi }_n))b({\xi }_n)s^d{]}^r(\alpha ({\xi }_n)d({\xi }_n{))}^{j-r}\}=

{\displaystyle \sum _{r=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}\{{\displaystyle \sum _{j=r}^{\mathrm{\infty }}}P({\xi }_n;j)C_j^r[(\mathrm{1}-\alpha ({\xi }_n))b({\xi }_n{)]}^r(\alpha ({\xi }_n)d({\xi }_n{))}^{j-r}\}(s^d{)}^r={\displaystyle \sum _{r=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{Q}_r({\xi }_n)(s^d{)}^r

其中Q_r({\xi }_n)={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}P({\xi }_n;k+r)C_{k+r}^r[(\mathrm{1}-\alpha ({\xi }_n))b({\xi }_n{)]}^r(\alpha ({\xi }_n)d({\xi }_n{))}^k\ge \mathrm{0}且{\displaystyle \sum _{r=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{Q}_r({\xi }_n)={\phi }_{{\xi }_n}(\mathrm{1})=\mathrm{1}，从而可得{\overline{g}}_{{\xi }_n}(s)是概率母函数，类似可以证明g_{{\xi }_n}(s)是概率母函数。

引理2^［9］ 设随机环境\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }是独立同分布的，h_{{\xi }_n}(s)是概率母函数，若E[h_{{\xi }_{\mathrm{0}}}^{\text{'}}(\mathrm{1})]\le \mathrm{1}，则

\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}E\{h_{{\xi }_{\mathrm{0}}}(h_{{\xi }_{\mathrm{1}}}\cdots (h_{{\xi }_n}(\mathrm{0}))\cdots )\}=\mathrm{1}

本节主要讨论该过程在以下几种配对函数下的灭绝条件

{\mathrm{A}}_{\mathrm{1}}:L(x,y)=x\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{\mathrm{1},y\}（一妻多夫制，如蚂蚁）；

{\mathrm{A}}_{\mathrm{2}}:L(x,y)=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{x,dy\},d\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{+}（d\ge \mathrm{2}时是一夫多妻制，如鸡；d=\mathrm{1}时是一夫一妻制，如鸽子）；

{\mathrm{A}}_{\mathrm{3}}:L(x,y)=x（孤雌繁殖，如蚜虫）。

定理4 设L(x,y)=x\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{\mathrm{1},y\}，若E\{\alpha ({\xi }_{\mathrm{0}})d({\xi }_{\mathrm{0}}){\phi }_{{\xi }_{\mathrm{0}}}^{\text{'}}[\alpha ({\xi }_{\mathrm{0}})d({\xi }_{\mathrm{0}})+(\mathrm{1}-\alpha ({\xi }_{\mathrm{0}}))\cdotb({\xi }_{\mathrm{0}})]\}\le \mathrm{1}，则q=\mathrm{1}。

证 由L(x,y)=x\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{\mathrm{1},y\}，对任意的s\in (\mathrm{0,1})，可得

{\psi }_{n+\mathrm{1}}(s)=E\{s^{Z_{n+\mathrm{1}}}\}=E\{E(s^{Z_{n+\mathrm{1}}}|\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })\}=E\{{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}P(Z_{n+\mathrm{1}}=k|\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })s^k\}=

E\{{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}P\{Z_{n+\mathrm{1}}=k,Z_n=j|\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }\}{s}^k\}=

E\{{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}[{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}P(Z_{n+\mathrm{1}}=k|Z_n=j,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })s^k]P(Z_n=j|\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })\}=

E\{{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}P(Z_n=j|\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })[{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}P(F_{n+\mathrm{1}}=k|Z_n=j,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })s^k-

{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}P(F_{n+\mathrm{1}}=k,M_{n+\mathrm{1}}=\mathrm{0}|Z_n=j,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })s^k+P(M_{n+\mathrm{1}}=\mathrm{0}|Z_n=j,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })\}=

E\{{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}P(Z_n=j|\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })[({\phi }_{{\xi }_n}{(s,\mathrm{1}))}^j-({\phi }_{{\xi }_n}{(s,\mathrm{0}))}^j+({\phi }_{{\xi }_n}{(\mathrm{1,0}))}^j]\}=

E\{E[({\phi }_{{\xi }_n}{(s,\mathrm{1}))}^{Z_n}|\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }]-E[({\phi }_{{\xi }_n}{(s,\mathrm{0}))}^{Z_n}|\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }]+E[({\phi }_{{\xi }_n}{(\mathrm{1,0}))}^{Z_n}|\stackrel{\rightharpoonup }{\xi }]\}=

E[({\phi }_{{\xi }_n}{(s,\mathrm{1}))}^{Z_n}]-E[({\phi }_{{\xi }_n}{(s,\mathrm{0}))}^{Z_n}]+E[({\phi }_{{\xi }_n}{(\mathrm{1,0}))}^{Z_n}]=

E[{\psi }_n(g_{{\xi }_n}(s))]-E[{\psi }_n({\phi }_{{\xi }_n}(\alpha ({\xi }_n)d({\xi }_n)s))]+E[{\psi }_n({\phi }_{{\xi }_n}(\alpha ({\xi }_n)d({\xi }_n))]（3）

由{\psi }_n(s),{\phi }_{{\xi }_n}(s),g_{{\xi }_n}(s)关于s的单调性和（3）式可得

{\psi }_{n+\mathrm{1}}(s)\ge E[{\psi }_n(g_{{\xi }_n}(s))]\ge E[{\psi }_n(g_{{\xi }_n}(\mathrm{0}))]（4）

由（4）式递推得

{\psi }_{n+\mathrm{1}}(s)\ge E[{\psi }_{\mathrm{0}}(g_{{\xi }_{\mathrm{0}}}(g_{{\xi }_{\mathrm{1}}}(\cdots (g_{{\xi }_n}(\mathrm{0}))\cdots )))]=E[g_{{\xi }_{\mathrm{0}}}(g_{{\xi }_{\mathrm{1}}}(\cdots (g_{{\xi }_n}(\mathrm{0}))\cdots ))]

进而由引理2可知，当E[g_{{\xi }_{\mathrm{0}}}^{\text{'}}(\mathrm{1})]\le \mathrm{1}，即E\{\alpha ({\xi }_{\mathrm{0}})d({\xi }_{\mathrm{0}}){\phi }_{{\xi }_{\mathrm{0}}}^{\text{'}}[\alpha ({\xi }_{\mathrm{0}})d({\xi }_{\mathrm{0}})+(\mathrm{1}-\alpha ({\xi }_{\mathrm{0}}))\cdotb({\xi }_{\mathrm{0}})]\}\le \mathrm{1}时，有q=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}P(Z_n=\mathrm{0})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\psi }_{n+\mathrm{1}}(\mathrm{0})\ge E[g_{{\xi }_{\mathrm{0}}}(g_{{\xi }_{\mathrm{1}}}(\cdots (g_{{\xi }_n}(\mathrm{0}))\cdots ))]=\mathrm{1}。

从而可得q=\mathrm{1}，即结论成立。

定理5 设L(x,y)=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{x,dy\},d\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{+}，若\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{E\{\alpha ({\xi }_{\mathrm{0}})d({\xi }_{\mathrm{0}}){\phi }_{{\xi }_{\mathrm{0}}}^{\text{'}}(\alpha ({\xi }_{\mathrm{0}})d({\xi }_{\mathrm{0}})+(\mathrm{1}-\alpha ({\xi }_{\mathrm{0}}))b({\xi }_{\mathrm{0}}))\},dE\{(\mathrm{1}-\alpha ({\xi }_{\mathrm{0}}))b({\xi }_{\mathrm{0}}){\phi }_{{\xi }_{\mathrm{0}}}^{\text{'}}[\alpha ({\xi }_{\mathrm{0}})d({\xi }_{\mathrm{0}})+(\mathrm{1}-\alpha ({\xi }_{\mathrm{0}}))b({\xi }_{\mathrm{0}})]\}\}\le \mathrm{1}，则q=\mathrm{1}。

证 由L(x,y)=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{x,dy\},对任意的s\in (\mathrm{0,1})可得

P(Z_{n+\mathrm{1}}\le k|Z_n,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })\ge P(F_{n+\mathrm{1}}\le k|Z_n,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })（5）

而\frac{E(s^{Z_{n+\mathrm{1}}}|Z_n,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })}{\mathrm{1}-s}={\displaystyle \sum _{m=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}E(s^{Z_{n+\mathrm{1}}}|Z_n,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })s^m={\displaystyle \sum _{m=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}P(Z_{n+\mathrm{1}}=j|Z_n,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })s^{m+j}。

令m+j=k，则有

{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}P(Z_{n+\mathrm{1}}=j|Z_n,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })s^{m+j}={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \sum _{k=j}^{\mathrm{\infty }}}P(Z_{n+\mathrm{1}}=j|Z_n,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })s^k={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^k}P(Z_{n+\mathrm{1}}=j|Z_n,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })s^k

结合定理2、推论1和（5）式可得

{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^k}P(Z_{n+\mathrm{1}}=j|Z_n,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })s^k={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}P(Z_{n+\mathrm{1}}\le k|Z_n,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })s^k\ge {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}P(F_{n+\mathrm{1}}\le k|Z_n,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })s^k=

\frac{E(s^{F_{n+\mathrm{1}}}|Z_n,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })}{\mathrm{1}-s}=\frac{[{\phi }_{{\xi }_n}{(s,\mathrm{1})]}^{Z_n}}{\mathrm{1}-s}=\frac{[g_{{\xi }_n}{(s)]}^{Z_n}}{\mathrm{1}-s}

即有E(s^{Z_{n+\mathrm{1}}}|Z_n,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })\ge [g_{{\xi }_n}{(s)]}^{Z_n}成立，于是有

{\psi }_{n+\mathrm{1}}(s)=E[E(s^{Z_{n+\mathrm{1}}}|Z_n,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })]\ge E\{[g_{{\xi }_n}{(s)]}^{Z_n}\}=E[{\psi }_n(g_{{\xi }_n}(s))]（6）

由（6）式递推可得

{\psi }_{n+\mathrm{1}}(s)\ge E[{\psi }_{\mathrm{0}}(g_{{\xi }_{\mathrm{0}}}(g_{{\xi }_{\mathrm{1}}}(\cdots (g_{{\xi }_n}(\mathrm{0}))\cdots )))]=E[g_{{\xi }_{\mathrm{0}}}(g_{{\xi }_{\mathrm{1}}}(\cdots (g_{{\xi }_n}(\mathrm{0}))\cdots ))]

由引理2知当E[g_{{\xi }_{\mathrm{0}}}^{\text{'}}(\mathrm{1})]\le \mathrm{1}，即E\{\alpha ({\xi }_{\mathrm{0}})d({\xi }_{\mathrm{0}}){\phi }_{{\xi }_{\mathrm{0}}}^{\text{'}}(\alpha ({\xi }_{\mathrm{0}})d({\xi }_{\mathrm{0}})+(\mathrm{1}-\alpha ({\xi }_{\mathrm{0}}))b({\xi }_{\mathrm{0}}))\}\le \mathrm{1}时，有q=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}P(Z_n=\mathrm{0})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\psi }_{n+\mathrm{1}}(\mathrm{0})\ge E[g_{{\xi }_{\mathrm{0}}}(g_{{\xi }_{\mathrm{1}}}(\cdots (g_{{\xi }_n}(\mathrm{0}))\cdots ))]=\mathrm{1}成立。

同理，由P(Z_{n+\mathrm{1}}\le k|Z_n,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })\ge P(d{M}_{n+\mathrm{1}}\le k|Z_n,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })，可得E(s^{Z_{n+\mathrm{1}}}|Z_n,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })\ge[{\overline{g}}_{{\xi }_n}{(s)]}^{Z_n}，类似可得{\psi }_{n+\mathrm{1}}(s)\ge E[{\overline{g}}_{{\xi }_{\mathrm{0}}}({\overline{g}}_{{\xi }_{\mathrm{1}}}(\cdots ({\overline{g}}_{{\xi }_n}(\mathrm{0}))\cdots ))]，由引理2知，当E[{\overline{g^{\text{'}}}}_{{\xi }_{\mathrm{0}}}(\mathrm{1})]\le \mathrm{1}时，即dE\{(\mathrm{1}-\alpha ({\xi }_{\mathrm{0}}))b({\xi }_{\mathrm{0}}){\phi }_{{\xi }_{\mathrm{0}}}^{\text{'}}[\alpha ({\xi }_{\mathrm{0}})d({\xi }_{\mathrm{0}})+(\mathrm{1}-\alpha ({\xi }_{\mathrm{0}}))b({\xi }_{\mathrm{0}})]\}\le \mathrm{1}时，有q=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}P(Z_n=\mathrm{0})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\psi }_{n+\mathrm{1}}(\mathrm{0})\ge E[{\overline{g}}_{{\xi }_{\mathrm{0}}}({\overline{g}}_{{\xi }_{\mathrm{1}}}(\cdots ({\overline{g}}_{{\xi }_n}(\mathrm{0}))\cdots ))]=\mathrm{1}成立。从而有当\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{E\{\alpha ({\xi }_{\mathrm{0}})d({\xi }_{\mathrm{0}}){\phi }_{{\xi }_{\mathrm{0}}}^{\text{'}}(\alpha ({\xi }_{\mathrm{0}})d({\xi }_{\mathrm{0}})+(\mathrm{1}-\alpha ({\xi }_{\mathrm{0}}))b({\xi }_{\mathrm{0}}))\},dE\{(\mathrm{1}-\alpha ({\xi }_{\mathrm{0}}))\cdot b({\xi }_{\mathrm{0}}){\phi }_{{\xi }_{\mathrm{0}}}^{\text{'}}[\alpha ({\xi }_{\mathrm{0}})d({\xi }_{\mathrm{0}})+(\mathrm{1}-\alpha ({\xi }_{\mathrm{0}}))b({\xi }_{\mathrm{0}})]\}\le \mathrm{1}时，q=\mathrm{1}。结论得证。

定理6 设L(x,y)=x，若E\{\alpha ({\xi }_{\mathrm{0}})d({\xi }_{\mathrm{0}}){\phi }_{{\xi }_{\mathrm{0}}}^{\text{'}}(\alpha ({\xi }_{\mathrm{0}})d({\xi }_{\mathrm{0}})+(\mathrm{1}-\alpha ({\xi }_{\mathrm{0}}))b({\xi }_{\mathrm{0}}))\}\le \mathrm{1}，则q=\mathrm{1}。

证 由L(x,y)=x，结合定理2和推论1可得

E(s^{Z_{n+\mathrm{1}}}|Z_n,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })=E(s^{F_{n+\mathrm{1}}}|Z_n,\stackrel{\rightharpoonup }{\xi })=[{\phi }_{{\xi }_n}{(s,\mathrm{1})]}^{Z_n}=[g_{{\xi }_n}{(s)]}^{Z_n}

在上式两边取期望可得

{\psi }_{n+\mathrm{1}}(s)=E[{\psi }_n(g_{{\xi }_n}(s))]（7）

由（7）式递推可得

{\psi }_{n+\mathrm{1}}(s)=E[{\psi }_{\mathrm{0}}(g_{{\xi }_{\mathrm{0}}}(g_{{\xi }_{\mathrm{1}}}(\cdots (g_{{\xi }_n}(s))\cdots )))]=E[g_{{\xi }_{\mathrm{0}}}(g_{{\xi }_{\mathrm{1}}}(\cdots (g_{{\xi }_n}(s))\cdots ))]

由引理2得，若E[g_{{\xi }_n}^{\text{'}}(\mathrm{1})]\le \mathrm{1}，即E\{\alpha ({\xi }_{\mathrm{0}})d({\xi }_{\mathrm{0}}){\phi }_{{\xi }_{\mathrm{0}}}^{\text{'}}(\alpha ({\xi }_{\mathrm{0}})d({\xi }_{\mathrm{0}})+(\mathrm{1}-\alpha ({\xi }_{\mathrm{0}}))b({\xi }_{\mathrm{0}}))\}\le \mathrm{1}时，有

q=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\psi }_{n+\mathrm{1}}(\mathrm{0})=E[g_{{\xi }_{\mathrm{0}}}(g_{{\xi }_{\mathrm{1}}}(\cdots (g_{{\xi }_n}(\mathrm{0}))\cdots ))]=\mathrm{1}

定理6得证。

4　 结 语

本文建立了独立同分布随机环境中受病毒传染性影响的两性分枝过程模型，研究了过程的马氏性、概率母函数及其关系，最后利用概率母函数间的关系给出过程在一妻多夫制、一夫多妻制、孤雌繁殖三种配对情形下灭绝的几个充分条件，推广了经典两性分枝过程相关结论，拓宽了其应用范围。接下来，我们将研究独立不同分布随机环境中受病毒传染性影响的两性分枝过程的相关性质，以及随机环境中除受病毒传染性影响同时还受其他因素影响的两性分枝过程的性质，并尝试给出应用实例。

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基金资助

国家自然科学基金面上项目(11371029)

安徽省高校自然科学基金(KJ2020A0731)

安徽省质量工程研究项目(2018jyxm0697)

宿州学院科研平台开发课题(2017ykf09)

宿州学院科研平台开发课题(2020ykf18)

宿州学院重点科研项目(2019yzd08)