一类二阶常微分方程组边值问题解的存在性与唯一性

Existence and Uniqueness of Solutions for Boundary Value Problems of a Class of Second-Order Ordinary Differential Equation System

摘要

本文讨论二阶常微分方程组边值问题\left\{\begin{array}{l}-u\text{'}\text{'}\left(t\right)=f\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right),u^{\text{'}}\left(t\right)\right),t\in \left[\mathrm{0,1}\right]\\ -v\text{'}\text{'}\left(t\right)=g\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right),v^{\text{'}}\left(t\right)\right),t\in \left[\mathrm{0,1}\right]\\ u\left(\mathrm{0}\right)=u\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0},v\left(\mathrm{0}\right)=v\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}\end{array}\right.解的存在性与唯一性，其中f,g:\left[\mathrm{0,1}\right]\times \mathrm{ℝ}\times \mathrm{ℝ}\times \mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}连续。在非线性项f\left(t,x,y,p\right)\mathrm{与}g\left(t,x,y,p\right)关联的不等式条件，以及f\left(t,x,y,p\right)\mathrm{与}g\left(t,x,y,p\right)关于p满足Nagumo型增长条件下，运用Leray-Schauder不动点定理，获得了该问题解的存在性及唯一性。

Abstract

This paper discusses the existence and uniqueness of solutions to the system of second-order ordinary differential equations boundary value problems

\left\{\begin{array}{l}-u\text{'}\text{'}\left(t\right)=f\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right),u^{\text{'}}\left(t\right)\right),t\in \left[\mathrm{0,1}\right]\\ -v\text{'}\text{'}\left(t\right)=g\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right),v^{\text{'}}\left(t\right)\right),t\in \left[\mathrm{0,1}\right]\\ u\left(\mathrm{0}\right)=u\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0},v\left(\mathrm{0}\right)=v\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}\end{array}\right.

where f,g:\left[\mathrm{0,1}\right]\times \mathrm{ℝ}\times \mathrm{ℝ}\times \mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ} continuous. Applying the Leray-Schauder fixed point theorem, the existence and uniqueness of solutions is obtained under the condition that the nonlinear term f\left(t,x,y,p\right) and g\left(t,x,y,p\right) satisfy the associated inequality condition, and f\left(t,x,y,p\right) and g\left(t,x,y,p\right) satisfy the Nagumo-type growth condition respectively on p.

关键词

二阶常微分方程组 / 边值问题 / 存在性与唯一性 / Nagumo型增长条件 / Leray-Schauder不动点定理

Key words

second⁃order ordinary differential equations system / boundary value problem / existence and uniqueness / Nagumo-type growth condition / Leray-Schauder fixed point theorem

1　 引言与主要结果

本文讨论二阶常微分方程组边值问题

\left\{\begin{array}{l}-u\text{'}\text{'}\left(t\right)=f\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right),u^{\text{'}}\left(t\right)\right),t\in \left[\mathrm{0,1}\right]\\ -v\text{'}\text{'}\left(t\right)=g\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right),v^{\text{'}}\left(t\right)\right),t\in \left[\mathrm{0,1}\right]\\ u\left(\mathrm{0}\right)=u\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0},v\left(\mathrm{0}\right)=v\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}\end{array}\right.（1）

解的存在性与唯一性，其中，f,g:\left[\mathrm{0,1}\right]\times \mathrm{ℝ}\times \mathrm{ℝ}\times \mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}连续。该问题在流体动力学及物理学等领域有重要的应用背景，对该问题不含导数项的一些特殊情形，已有许多学者进行了研究^［1~11］。文献［1，3，5，8~11］运用了锥上的不动点指数理论，文献［2，6］运用了锥上不动点定理，以及文献［4，7］运用单调迭代求解的方法等。

1993年Fink和Gatica^［1］运用锥上的不动点指数理论，在f与g严格单调条件下，获得边值问题

\left\{\begin{array}{l}x\text{'}\text{'}\left(t\right)+\lambda a\left(t\right)f\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)=\mathrm{0},t\in \left[\mathrm{0,1}\right]\\ y\text{'}\text{'}\left(t\right)+\lambda b\left(t\right)g\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)=\mathrm{0},t\in \left[\mathrm{0,1}\right]\\ x\left(\mathrm{0}\right)=x\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0},y\left(\mathrm{0}\right)=y\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}\end{array}\right.（2）

非负解的存在性。后来，Ma^［2］将上述条件弱化为单调条件，通过举例得到了边值问题（2）新的非负解的存在性结论。文献［6］研究了下列边值问题

\left\{\begin{array}{l}-u\text{'}\text{'}\left(t\right)=f\left(t,v\left(t\right)\right),t\in \left[\mathrm{0,1}\right]\\ -v\text{'}\text{'}\left(t\right)=g\left(t,u\left(t\right)\right),t\in \left[\mathrm{0,1}\right]\\ u\left(\mathrm{0}\right)=u\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0},v\left(\mathrm{0}\right)=v\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}\end{array}\right.（3）

该问题的非线性项都是非负的，且在超线性或次线性的条件下获得了正解的存在性。

文献［10］研究了边值问题（1）不含导数项的特殊情形，在f与g非负的情形下，建立乘积锥上不动点指数的乘积公式，获得边值问题

\left\{\begin{array}{c}-u\text{'}\text{'}\left(t\right)=f\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right)\right),t\in \left[\mathrm{0,1}\right]\\ -v\text{'}\text{'}\left(t\right)=g\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right)\right),t\in \left[\mathrm{0,1}\right]\\ u\left(\mathrm{0}\right)=u\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0},v\left(\mathrm{0}\right)=v\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}\end{array}\right.（4）

正解的存在性。

以上文献都是在非线性项f与g各自独立的条件下，讨论不含导数项u^{\text{'}}与v^{\text{'}}的方程组非负解或正解的存在性，对于边值问题（1）含导数项的情形未见研究。本文对f与g是否非负不限制，在f\left(t,x,y,p\right)与g\left(t,x,y,p\right)关联的不等式条件，以及f\left(t,x,y,p\right)\mathrm{与}g\left(t,x,y,p\right)关于p满足Nagumo型增长条件下，运用Leray-Schauder不动点定理，获得边值问题（1）解的存在性结果，讨论了解的唯一性。本文的主要结果如下：

定理1 设f,g:\left[\mathrm{0,1}\right]\times \mathrm{ℝ}\times \mathrm{ℝ}\times \mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}连续，若f,g满足下列条件

（F1） 对\forall M>\mathrm{0}， 存在递增连续函数G_M:\left[\mathrm{0},+\mathrm{\infty }\right)\to \left(\mathrm{0},+\mathrm{\infty }\right)，满足

{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\rho \mathrm{d}\rho }{G_M\left(\rho \right)}=+\mathrm{\infty }（5）

使得

\left|f\left(t,x,y,p\right)\right|\le G_M\left(\left|p\right|\right),\left|g\left(t,x,y,p\right)\right|\le G_M\left(\left|p\right|\right)（6）

其中，t\in \left[\mathrm{0,1}\right],\left|x\right|\le M,\left|y\right|\le M,p\in \mathrm{ℝ}。

（F2） 存在常数a,b,c,d\ge \mathrm{0},且及e>\mathrm{0}，使得

f\left(t,x,y,p\right)x+g\left(t,x,y,q\right)y\le a{x}^{\mathrm{2}}+b{y}^{\mathrm{2}}+c{p}^{\mathrm{2}}+d{q}^{\mathrm{2}}+e（7）

其中，\left(t,x,y\right)\in \left[\mathrm{0,1}\right]\times \mathrm{ℝ}\times \mathrm{ℝ},p,q\in \mathrm{ℝ},则边值问题（1）至少存在一个解。

注1 在定理1中，条件（F2）允许f\left(t,x,y,p\right)\mathrm{与}g\left(t,x,y,p\right)关于x,y,p超线性增长。而Nagumo型增长条件（F1）限制f\left(t,x,y,p\right)\mathrm{与}g\left(t,x,y,p\right)关于p至多二次增长。

加强定理1的条件（F2），则有如下存在唯一性结果：

定理2 设f,g:\left[\mathrm{0,1}\right]\times \mathrm{ℝ}\times \mathrm{ℝ}\times \mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}连续，若f,g满足条件（F1）及下列条件

（F3） 存在常数a,b,c,d\ge \mathrm{0},且，使得

\left(f\left(t,x_{\mathrm{2}},y_{\mathrm{2}},p_{\mathrm{2}}\right)-f\left(t,x_{\mathrm{1}},y_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{1}}\right)\right)\left(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}}\right)+\left(g\left(t,x_{\mathrm{2}},y_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{2}}\right)-g\left(t,x_{\mathrm{1}},y_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{1}}\right)\right)\left(y_{\mathrm{2}}-y_{\mathrm{1}}\right)\le

a{\left(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{2}}+b{\left(y_{\mathrm{2}}-y_{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{2}}+c{\left(p_{\mathrm{2}}-p_{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{2}}+d{\left(q_{\mathrm{2}}-q_{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{2}}（8）

其中，\left(t,x_i,y_i\right)\in \left[\mathrm{0,1}\right]\times \mathrm{ℝ}\times \mathrm{ℝ},p_i\in \mathrm{ℝ},q_i\in \mathrm{ℝ},i=\mathrm{1,2},则边值问题（1）存在唯一解。

2　 预备知识

记I=\left[\mathrm{0,1}\right],C\left(I\right)表示定义在I上的全体连续函数按范数{‖u‖}_C=\underset{t\in I}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left|u\left(t\right)\right|构成的Banach空间。\mathrm{对}n\in \mathrm{\mathbb{N}},C^n(I)表示定义在I上的全体n阶连续可微函数按范数{‖u‖}_{C^n}=\underset{t\in I}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\{{‖u‖}_C,{‖u^{\text{'}}‖}_C,\dots ,{‖u^n‖}_C\}构成的Banach空间。L^{\mathrm{2}}\left(I\right)表示I上的全体Lebesgue平方可积函数按内积\left(u,v\right)={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}u\left(t\right)v\left(t\right)\mathrm{d}t构成的Hilbert空间，其内积范数为{‖u‖}_{\mathrm{2}}=({\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{\left|u\left(t\right)\right|}^{\mathrm{2}}{\mathrm{d}t)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}。记H^{\mathrm{1}}\left(I\right)=\{u\in C\left(I\right)|u在I上绝对连续，且u\text{'}\in L^{\mathrm{2}}\left(I\right)\}。

设X,Y分别为范数是{‖\cdot ‖}_X,{‖\cdot ‖}_Y的Banach空间。X\times Y表示X与Y的乘积空间按范数‖\left(x,y\right)‖=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{{‖x‖}_X,{‖y‖}_Y\}构成的Banach空间。

引理1 设u\in H^{\mathrm{1}}\left(I\right)满足边界条件u\left(\mathrm{0}\right)=u\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0},则{‖u‖}_{\mathrm{2}}\le \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\pi }}{‖u^{\text{'}}‖}_{\mathrm{2}}。

证 正弦函数系\{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}k\mathrm{\pi }t|k=\mathrm{1,2},\cdots \}为L^{\mathrm{2}}\left(I\right)中的完备直交系，故u可展为正弦级数

u\left(t\right)={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{b}_k\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}k\mathrm{\pi }t

其中，b_k=\mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}u\left(t\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}k\mathrm{\pi }t\mathrm{d}t,k=\mathrm{1,2},\cdots，且有Parseval等式

{‖u‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{b}_k^{\mathrm{2}}

另一方面，余弦函数系\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}k\mathrm{\pi }t|k=\mathrm{1,2},\cdots \}也为L^{\mathrm{2}}\left(I\right)中的完备直交系，故u\text{'}可展为余弦级数

u\text{'}\left(t\right)=\frac{a_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}}+{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{a}_k\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}k\mathrm{\pi }t

其中，a_{\mathrm{0}}=\mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}u\text{'}\left(t\right)\mathrm{d}t=\mathrm{0};a_k=\mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}u\text{'}\left(t\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}k\mathrm{\pi }t\mathrm{d}t=k\mathrm{\pi }{b}_k,k=\mathrm{1,2},\cdots，又有Parseval等式

{‖u\text{'}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{a_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{a}_k^{\mathrm{2}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{k}^{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}{b}_k^{\mathrm{2}}\ge \frac{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{b}_k^{\mathrm{2}}={\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}{‖u‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}

因此，引理1的结论成立。

引理2 设f,g:I\times \mathrm{ℝ}\times \mathrm{ℝ}\times \mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}连续，满足条件（F1）。对\forall M>\mathrm{0},\exists M_{\mathrm{1}}=M_{\mathrm{1}}\left(M\right)>\mathrm{0},M_{\mathrm{2}}=M_{\mathrm{2}}\left(M\right)>\mathrm{0},使得边值问题（1）的解\left(u,v\right)\mathrm{满}\mathrm{足}‖\left(u,v\right)‖\le M\mathrm{时},‖\left(u^{\text{'}},v^{\text{'}}\right)‖\le \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{M_{\mathrm{1}},M_{\mathrm{2}}\right\}。

证 设M>\mathrm{0}，由（5）式存在M_{\mathrm{1}},M_{\mathrm{2}}>\mathrm{0}，使得

{\int }_{\mathrm{0}}^{M_{\mathrm{1}}}\frac{\rho \mathrm{d}\rho }{G_M(\rho )}>\mathrm{2}M,{\int }_{\mathrm{0}}^{M_{\mathrm{2}}}\frac{\eta \mathrm{d}\eta }{G_M(\eta )}>\mathrm{2}M（9）

设\left(u,v\right)\in C^{\mathrm{2}}\left(I\right)\times C^{\mathrm{2}}\left(I\right)为边值问题（1）的解，且满足‖\left(u,v\right)‖\le M，下证‖\left(u^{\text{'}},v^{\text{'}}\right)‖\le \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{M_{\mathrm{1}},M_{\mathrm{2}}\right\}。不妨设\left(u^{\text{'}}\left(t\right),v^{\text{'}}\left(t\right)\right)不恒等于0，则存在t_{\mathrm{0}}\in \left(\mathrm{0,1}\right)\mathrm{及}{t}_{\mathrm{1}}\in I,t_{\mathrm{0}}\ne t_{\mathrm{1}}，使得\left(u^{\text{'}}\left(t_{\mathrm{0}}\right),v^{\text{'}}\left(t_{\mathrm{0}}\right)\right)=\left(\mathrm{0,0}\right),‖\left(u^{\text{'}},v^{\text{'}}\right)‖=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{{‖u^{\text{'}}‖}_c,{‖v^{\text{'}}‖}_c\right\}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{\left|u^{\text{'}}\left(t_{\mathrm{1}}\right)\right|,\left|v^{\text{'}}\left(t_{\mathrm{1}}\right)\right|\right\}>\mathrm{0}。有以下8种情形：

； ； ；

； ； ；

；

我们仅证明情形1）与情形5），其他情形类似可证。首先证明情形1），取

s_{\mathrm{1}}=\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\left\{t^{\text{'}}\in [t_{\mathrm{0}},t_{\mathrm{1}})\left|u^{\text{'}}\left(t^{\text{'}}\right)=\mathrm{0},v^{\text{'}}\left(t^{\text{'}}\right)=\mathrm{0}\right.\right\}

则。当t\in \left(s_{\mathrm{1}},t_{\mathrm{1}}\right]\mathrm{时},u^{\text{'}}\left(t\right)>\mathrm{0},v^{\text{'}}\left(t\right)>\mathrm{0}。因此

\left\{\begin{array}{c}u″\left(t\right)=-f\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right),u^{\text{'}}\left(t\right)\right)\le G_M\left(u^{\text{'}}\left(t\right)\right),t\in \left[s_{\mathrm{1}},t_{\mathrm{1}}\right]\\ v″\left(t\right)=-g\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right),v^{\text{'}}\left(t\right)\right)\le G_M\left(v^{\text{'}}\left(t\right)\right),t\in \left[s_{\mathrm{1}},t_{\mathrm{1}}\right]\end{array}\right.

所以，对\forall t\in \left[s_{\mathrm{1}},t_{\mathrm{1}}\right]，有

\frac{u″\left(t\right)\cdot u^{\text{'}}\left(t\right)}{G_M\left(u^{\text{'}}\left(t\right)\right)}\le u^{\text{'}}\left(t\right),\frac{v″\left(t\right)\cdot v^{\text{'}}\left(t\right)}{G_M\left(v^{\text{'}}\left(t\right)\right)}\le v^{\text{'}}\left(t\right)

对上式从s_{\mathrm{1}}\mathrm{到}{t}_{\mathrm{1}}积分，得

{\int }_{s_{\mathrm{1}}}^{t_{\mathrm{1}}}\frac{u″\left(t\right)\cdot u^{\text{'}}\left(t\right)}{G_M\left(u^{\text{'}}\left(t\right)\right)}\mathrm{d}t\le {\int }_{s_{\mathrm{1}}}^{t_{\mathrm{1}}}{u}^{\text{'}}\left(t\right)\mathrm{d}t,{\int }_{s_{\mathrm{1}}}^{t_{\mathrm{1}}}\frac{v″\left(t\right)\cdot v^{\text{'}}\left(t\right)}{G_M\left(v^{\text{'}}\left(t\right)\right)}\mathrm{d}t\le {\int }_{s_{\mathrm{1}}}^{t_{\mathrm{1}}}{v}^{\text{'}}\left(t\right)\mathrm{d}t

令\rho =u^{\text{'}}\left(t\right),\eta =v^{\text{'}}\left(t\right)，有

{\int }_{\mathrm{0}}^{u^{\text{'}}(t_{\mathrm{1}})}\frac{\rho \mathrm{d}\rho }{G_M\left(\rho \right)}\le u\left(t_{\mathrm{1}}\right)-u\left(s_{\mathrm{1}}\right)\le \mathrm{2}{‖u‖}_c\le \mathrm{2}M

{\int }_{\mathrm{0}}^{v^{\text{'}}(t_{\mathrm{1}})}\frac{\eta \mathrm{d}\eta }{G_M\left(\eta \right)}\le v\left(t_{\mathrm{1}}\right)-v\left(s_{\mathrm{1}}\right)\le \mathrm{2}{‖v‖}_c\le \mathrm{2}M

由（9）式知，u^{\text{'}}\left(t_{\mathrm{1}}\right)\le M_{\mathrm{1}},v^{\text{'}}\left(t_{\mathrm{1}}\right)\le M_{\mathrm{2}}。因此，{‖u^{\text{'}}‖}_c=u^{\text{'}}\left(t_{\mathrm{1}}\right)\le M_{\mathrm{1}},{‖v^{\text{'}}‖}_c=v^{\text{'}}\left(t_{\mathrm{1}}\right)\le M_{\mathrm{2}}。所以

‖\left(u^{\text{'}},v^{\text{'}}\right)‖=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{{‖u^{\text{'}}‖}_c,{‖v^{\text{'}}‖}_c\right\}\le \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{M_{\mathrm{1}},M_{\mathrm{2}}\right\}

下面证明情形5），取

s_{\mathrm{2}}=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\left\{t^{\text{'}}\in [t_{\mathrm{1}},t_{\mathrm{0}})\left|u^{\text{'}}\left(t^{\text{'}}\right)=\mathrm{0},v^{\text{'}}\left(t^{\text{'}}\right)=\mathrm{0}\right.\right\}

则s_{\mathrm{2}}>t_{\mathrm{1}},\mathrm{且}\left(u^{\text{'}}\left(s_{\mathrm{2}}\right),v^{\text{'}}\left(s_{\mathrm{2}}\right)\right)=\left(\mathrm{0,0}\right)。当t\in \left(t_{\mathrm{1}},s_{\mathrm{2}}\right]\mathrm{时},u^{\text{'}}\left(t\right)>\mathrm{0},v^{\text{'}}\left(t\right)>\mathrm{0}。因此

\left\{\begin{array}{c}-u″\left(t\right)=f\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right),u^{\text{'}}\left(t\right)\right)\le G_M\left(u^{\text{'}}\left(t\right)\right),t\in \left[t_{\mathrm{1}},s_{\mathrm{2}}\right]\\ -v″\left(t\right)=g\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right),v^{\text{'}}\left(t\right)\right)\le G_M\left(v^{\text{'}}\left(t\right)\right),t\in \left[t_{\mathrm{1}},s_{\mathrm{2}}\right]\end{array}\right.

所以，对\forall t\in \left[t_{\mathrm{1}},s_{\mathrm{2}}\right]，有

-\frac{u″\left(t\right)\cdot u^{\text{'}}\left(t\right)}{G_M\left(u^{\text{'}}\left(t\right)\right)}\le u^{\text{'}}\left(t\right),-\frac{v″\left(t\right)\cdot v^{\text{'}}\left(t\right)}{G_M\left(v^{\text{'}}\left(t\right)\right)}\le v^{\text{'}}\left(t\right)

对上式从t_{\mathrm{1}}\mathrm{到}{s}_{\mathrm{2}}积分，得

-{\int }_{t_{\mathrm{1}}}^{s_{\mathrm{2}}}\frac{u″\left(t\right)\cdot u^{\text{'}}\left(t\right)}{G_M\left(u^{\text{'}}\left(t\right)\right)}\mathrm{d}t\le {\int }_{t_{\mathrm{1}}}^{s_{\mathrm{2}}}{u}^{\text{'}}\left(t\right)\mathrm{d}t,-{\int }_{t_{\mathrm{1}}}^{s_{\mathrm{2}}}\frac{v″\left(t\right)\cdot v^{\text{'}}\left(t\right)}{G_M\left(v^{\text{'}}\left(t\right)\right)}\mathrm{d}t\le {\int }_{t_{\mathrm{1}}}^{s_{\mathrm{2}}}{v}^{\text{'}}\left(t\right)\mathrm{d}t

令\rho =u^{\text{'}}\left(t\right),\eta =v^{\text{'}}\left(t\right)，有

-{\int }_{u^{\text{'}}(t_{\mathrm{1}})}^{\mathrm{0}}\frac{\rho \mathrm{d}\rho }{G_M\left(\rho \right)}={\int }_{\mathrm{0}}^{u^{\text{'}}(t_{\mathrm{1}})}\frac{\rho \mathrm{d}\rho }{G_M\left(\rho \right)}\le u\left(s_{\mathrm{2}}\right)-u\left(t_{\mathrm{1}}\right)\le \mathrm{2}{‖u‖}_c\le \mathrm{2}M

-{\int }_{v^{\text{'}}(t_{\mathrm{1}})}^{\mathrm{0}}\frac{\eta \mathrm{d}\eta }{G_M\left(\eta \right)}={\int }_{\mathrm{0}}^{v^{\text{'}}(t_{\mathrm{1}})}\frac{\eta \mathrm{d}\eta }{G_M\left(\eta \right)}\le v\left(s_{\mathrm{2}}\right)-v\left(t_{\mathrm{1}}\right)\le \mathrm{2}{‖v‖}_c\le \mathrm{2}M

由（9）式知，u^{\text{'}}\left(t_{\mathrm{1}}\right)\le M_{\mathrm{1}},v^{\text{'}}\left(t_{\mathrm{1}}\right)\le M_{\mathrm{2}}。因此，{‖u^{\text{'}}‖}_c=u^{\text{'}}\left(t_{\mathrm{1}}\right)\le M_{\mathrm{1}},{‖v^{\text{'}}‖}_c=v^{\text{'}}\left(t_{\mathrm{1}}\right)\le M_{\mathrm{2}}。所以

‖\left(u^{\text{'}},v^{\text{'}}\right)‖=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{{‖u^{\text{'}}‖}_c,{‖v^{\text{'}}‖}_c\right\}\le \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{M_{\mathrm{1}},M_{\mathrm{2}}\right\}

因此，引理2的结论成立。

3　 主要结果的证明

定理1的证明 对\forall h\in C\left(I\right)，线性二阶边值问题

\left\{\begin{array}{l}-u\text{'}\text{'}\left(t\right)=h\left(t\right),t\in I\\ u\left(\mathrm{0}\right)=u\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}\end{array}\right.（10）

存在唯一解u={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\mathrm{G}\left(t,s\right)h\left(s\right)\mathrm{d}s。其中\mathrm{G}\left(t,s\right)=\left\{\begin{array}{c}t\left(\mathrm{1}-s\right),\mathrm{0}\le t\le s\le \mathrm{1}\\ s\left(\mathrm{1}-t\right),\mathrm{0}\le s\le t\le \mathrm{1}\end{array}\right.为相应的Green函数。作积分算子\mathrm{A}:C^{\mathrm{1}}\left(I\right)\times C^{\mathrm{1}}\left(I\right)\to C^{\mathrm{1}}\left(I\right)\times C^{\mathrm{1}}\left(I\right)如下

\mathrm{A}\left(u,v\right)=\left({\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\mathrm{G}\left(t,s\right)f\left(s,u\left(s\right),v\left(s\right),u^{\text{'}}\left(s\right)\right)\mathrm{d}s,{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\mathrm{G}\left(t,s\right)g\left(s,u\left(s\right),v\left(s\right),v^{\text{'}}\left(s\right)\right)\mathrm{d}s\right)

则\mathrm{A}:C^{\mathrm{1}}\left(I\right)\times C^{\mathrm{1}}\left(I\right)\to C^{\mathrm{1}}\left(I\right)\times C^{\mathrm{1}}\left(I\right)为全连续算子，边值问题（1）的解\left(u,v\right)等价于算子\mathrm{A}的不动点。我们对\mathrm{A}应用Leray-Schauder不动点定理，证明\mathrm{A}有不动点。为此，考查方程簇

（11）

设\left(u,v\right)\in C^{\mathrm{1}}\left(I\right)\times C^{\mathrm{1}}\left(I\right)为方程簇（11）中某个\lambda \in \left(\mathrm{0,1}\right)对应的方程的解，则

\left\{\begin{array}{c}u=\lambda {\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\mathrm{G}\left(t,s\right)f\left(s,u\left(s\right),v\left(s\right),u^{\text{'}}\left(s\right)\right)\mathrm{d}s\\ v=\lambda {\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\mathrm{G}\left(t,s\right)g\left(s,u\left(s\right),v\left(s\right),v^{\text{'}}\left(s\right)\right)\mathrm{d}s\end{array}\right.（12）

按线性方程解的Green函数表示，\left(u,v\right)\in C^{\mathrm{2}}\left(I\right)\times C^{\mathrm{2}}\left(I\right)满足方程

\left\{\begin{array}{c}-u\text{'}\text{'}\left(t\right)=\lambda f\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right),u^{\text{'}}\left(t\right)\right),t\in I\\ -v\text{'}\text{'}\left(t\right)=\lambda g\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right)v^{\text{'}}\left(t\right)\right),t\in I\\ u\left(\mathrm{0}\right)=u\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0},v\left(\mathrm{0}\right)=v\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}\end{array}\right.（13）

将方程（13）第一式和第二式的两边分别同乘以u\left(t\right)\mathrm{和}v\left(t\right)，两式相加，由条件（F2），得

-u\text{'}\text{'}\left(t\right)u\left(t\right)-v\text{'}\text{'}\left(t\right)v\left(t\right)=\lambda f\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right),u^{\text{'}}\left(t\right)\right)u\left(t\right)+\lambda g\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right),v^{\text{'}}\left(t\right)\right)v\left(t\right)\le

\lambda \left(a{u}^{\mathrm{2}}\left(t\right)+b{v}^{\mathrm{2}}\left(t\right)+c{u\text{'}}^{\mathrm{2}}\left(t\right)+d{v\text{'}}^{\mathrm{2}}\left(t\right)+e\right)\le a{u}^{\mathrm{2}}\left(t\right)+b{v}^{\mathrm{2}}\left(t\right)+c{u\text{'}}^{\mathrm{2}}\left(t\right)+d{v\text{'}}^{\mathrm{2}}\left(t\right)+e,t\in I

对上式在I上积分，左边利用分部积分和方程（13）的边界条件，得

\begin{array}{l}{‖u^{\text{'}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{‖v^{\text{'}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\le a{‖u‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+b{‖v‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+c{‖u^{\text{'}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+d{‖v^{\text{'}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+e\le \\ \left(a+b\right)\left({‖u‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{‖v‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\right)+\left(c+d\right)\left({‖u^{\text{'}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{‖v^{\text{'}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\right)+e\end{array}

由引理1，{‖u‖}_{\mathrm{2}}\le \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\pi }}{‖u\text{'}‖}_{\mathrm{2}},{‖v‖}_{\mathrm{2}}\le \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\pi }}{‖v\text{'}‖}_{\mathrm{2}}，有

{‖u^{\text{'}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{‖v^{\text{'}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\le \frac{e}{\mathrm{1}-\left(\frac{a+b}{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}}+c+d\right)}:=M

所以

{‖u^{\text{'}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\le \sqrt[]{\frac{e}{\mathrm{1}-\left(\frac{a+b}{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}}+c+d\right)}}=\sqrt[]{M},{‖v^{\text{'}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\le \sqrt[]{\frac{e}{\mathrm{1}-\left(\frac{a+b}{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}}+c+d\right)}}=\sqrt[]{M}

因此，对\forall t\in I，有

\left|u\left(t\right)\right|=\left|{\int }_{\mathrm{0}}^{t}u\text{'}(s)\mathrm{d}s\right|\le {\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left|u\text{'}\left(s\right)\right|\mathrm{d}s\le {‖u\text{'}‖}_{\mathrm{2}}\le \sqrt[]{M}

|v\left(t\right)|=\left|{\int }_{\mathrm{0}}^{t}v\text{'}(s)\mathrm{d}s\right|\le {\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left|v\text{'}\left(s\right)\right|\mathrm{d}s\le {‖v\text{'}‖}_{\mathrm{2}}\le \sqrt[]{M}

所以{‖u‖}_c\le \sqrt[]{M},{‖v‖}_c\le \sqrt[]{M},故‖\left(u,v\right)‖=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{{‖u‖}_c,{‖v‖}_c\right\}\le \sqrt[]{M}。

对边值问题（13），相应的非线性项满足

\begin{array}{l}\left|\lambda f\left(t,x,y,p\right)\right|\le \left|f\left(t,x,y,p\right)\right|\le G_M\left(|p|\right)\\ \left|\lambda g\left(t,x,y,p\right)\right|\le \left|g\left(t,x,y,p\right)\right|\le G_M\left(|p|\right)\end{array}

所以\lambda f\left(t,x,y,p\right)\mathrm{与}\lambda g\left(t,x,y,p\right)\mathrm{满}\mathrm{足}（F1）。由引理2，存在M_{\mathrm{1}}=M_{\mathrm{1}}\left(M\right)>\mathrm{0},M_{\mathrm{2}}=M_{\mathrm{2}}\left(M\right)>\mathrm{0}，使得

‖\left(u^{\text{'}},v^{\text{'}}\right)‖\le \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{M_{\mathrm{1}},M_{\mathrm{2}}\right\}≔C

因此

{‖\left(u,v\right)‖}_{c^{\mathrm{1}}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{{‖u‖}_{c^{\mathrm{1}}},{‖v‖}_{c^{\mathrm{1}}}\right\}\le \sqrt[]{M}+C

即方程簇（11）的解集在C^{\mathrm{1}}\left(I\right)\times C^{\mathrm{1}}\left(I\right)中有界。由Leray-Schauder不动点定理可知，\mathrm{A}在C^{\mathrm{1}}\left(I\right)\times C^{\mathrm{1}}\left(I\right)中有不动点，该不动点为边值问题（1）的解。

定理2的证明 先证（F3）\Rightarrow（F2）。对\forall \left(t,x,y\right)\in I\times \mathrm{ℝ}\times \mathrm{ℝ},p\in \mathrm{ℝ},q\in \mathrm{ℝ}，在（F3）中，取x_{\mathrm{1}}=y_{\mathrm{1}}=p_{\mathrm{1}}=q_{\mathrm{1}}=\mathrm{0},x_{\mathrm{2}}=x,y_{\mathrm{2}}=y,p_{\mathrm{2}}=p,q_{\mathrm{2}}=q,令C_{\mathrm{0}}=\underset{t\in I}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\{|f\left(t,\mathrm{0,0},\mathrm{0}\right)|,|g\left(t,\mathrm{0,0},\mathrm{0}\right)|\}+\mathrm{1}，则由条件（F3），有

f\left(t,x,y,p\right)x+g\left(t,x,y,q\right)y=

\left(f\left(t,x,y,p\right)-f\left(t,\mathrm{0,0},\mathrm{0}\right)\right)x+\left(g\left(t,x,y,q\right)-g\left(t,\mathrm{0,0},\mathrm{0}\right)\right)y+f\left(t,\mathrm{0,0},\mathrm{0}\right)x+g\left(t,\mathrm{0,0},\mathrm{0}\right)y\le

a{x}^{\mathrm{2}}+b{y}^{\mathrm{2}}+c{p}^{\mathrm{2}}+d{q}^{\mathrm{2}}+|f\left(t,\mathrm{0,0},\mathrm{0}\right)x|+|g\left(t,\mathrm{0,0},\mathrm{0}\right)y|\le

a{x}^{\mathrm{2}}+b{y}^{\mathrm{2}}+c{p}^{\mathrm{2}}+d{q}^{\mathrm{2}}+C_{\mathrm{0}}|x|+C_{\mathrm{0}}|y|=

\begin{array}{l}a{x}^{\mathrm{2}}+b{y}^{\mathrm{2}}+c{p}^{\mathrm{2}}+d{q}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\cdot \frac{\sqrt[]{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}-\left(a+b\right)-{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}\left(c+d\right)}}{\mathrm{2}}\left|x\right|\cdot \frac{C_{\mathrm{0}}}{\sqrt[]{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}-\left(a+b\right)-{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}\left(c+d\right)}}+\\ \mathrm{2}\cdot \frac{\sqrt[]{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}-\left(a+b\right)-{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}\left(c+d\right)}}{\mathrm{2}}\left|y\right|\cdot \frac{C_{\mathrm{0}}}{\sqrt[]{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}-\left(a+b\right)-{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}\left(c+d\right)}}\le \end{array}

a{x}^{\mathrm{2}}+b{y}^{\mathrm{2}}+c{p}^{\mathrm{2}}+d{q}^{\mathrm{2}}+\frac{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}-\left(a+b\right)-{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}\left(c+d\right)}{\mathrm{4}}{x}^{\mathrm{2}}+\frac{C_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}}{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}-\left(a+b\right)-{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}\left(c+d\right)}+\frac{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}-\left(a+b\right)-{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}\left(c+d\right)}{\mathrm{4}}{y}^{\mathrm{2}}+\frac{C_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}}{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}-\left(a+b\right)-{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}\left(c+d\right)}=

\left(a+\frac{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}-\left(a+b\right)-{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}\left(c+d\right)}{\mathrm{4}}\right)x^{\mathrm{2}}+\left(b+\frac{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}-\left(a+b\right)-{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}\left(c+d\right)}{\mathrm{4}}\right)y^{\mathrm{2}}+c{p}^{\mathrm{2}}+d{q}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}{C}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}}{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}-\left(a+b\right)-{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}\left(c+d\right)}

令

\begin{array}{l}{a}_{\mathrm{1}}=a+\frac{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}-\left(a+b\right)-{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}\left(c+d\right)}{\mathrm{4}},b_{\mathrm{1}}=b+\frac{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}-\left(a+b\right)-{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}\left(c+d\right)}{\mathrm{4}},\\ c_{\mathrm{1}}=c,d_{\mathrm{1}}=d,e_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{2}{C}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}}{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}-\left(a+b\right)-{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}\left(c+d\right)}\end{array}

则由上式，可得

f\left(t,x,y,p\right)x+g\left(t,x,y,q\right)y\le a_{\mathrm{1}}{x}^{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{1}}{y}^{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{1}}{p}^{\mathrm{2}}+d_{\mathrm{1}}{q}^{\mathrm{2}}+e_{\mathrm{1}},\left(t,x,y\right)\in I\times \mathrm{ℝ}\times \mathrm{ℝ},p,q\in \mathrm{ℝ}

因为，所以f与g满足条件（F2）。由定理1可知，边值问题（1）至少存在一个解。

再证唯一性。设\left(u_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{1}}\right),\left(u_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{2}}\right)\in C^{\mathrm{2}}\left(I\right)\times C^{\mathrm{2}}\left(I\right)为边值问题（1）的两个解，则有方程

\left\{\begin{array}{c}-u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{}}\left(t\right)=f\left(t,u_{\mathrm{1}}\left(t\right),v_{\mathrm{1}}\left(t\right),u_{\mathrm{1}}^{\text{'}}\left(t\right)\right),t\in I\\ -v_{\mathrm{1}}^{\mathrm{}}\left(t\right)=g\left(t,u_{\mathrm{1}}\left(t\right),v_{\mathrm{1}}\left(t\right),v_{\mathrm{1}}^{\text{'}}\left(t\right)\right),t\in I\\ u_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{0}\right)=u_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0},v_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{0}\right)=v_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}\end{array}\right.（14）

\left\{\begin{array}{c}-u_{\mathrm{2}}^{\mathrm{}}\left(t\right)=f\left(t,u_{\mathrm{2}}\left(t\right),v_{\mathrm{2}}\left(t\right),u_{\mathrm{2}}^{\text{'}}\left(t\right)\right),t\in I\\ -v_{\mathrm{2}}^{\mathrm{}}\left(t\right)=g\left(t,u_{\mathrm{2}}\left(t\right),v_{\mathrm{2}}\left(t\right),v_{\mathrm{2}}^{\text{'}}\left(t\right)\right),t\in I\\ u_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{0}\right)=u_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0},v_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{0}\right)=v_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}\end{array}\right.（15）

将方程（15）第一式与方程（14）第一式相减，方程（15）第二式与方程（14）第二式相减，得

-\left(u_{\mathrm{2}}^{\mathrm{}}\left(t\right)-u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{}}\left(t\right)\right)=f\left(t,u_{\mathrm{2}}\left(t\right),v_{\mathrm{2}}\left(t\right),u_{\mathrm{2}}^{\text{'}}\left(t\right)\right)-f\left(t,u_{\mathrm{1}}\left(t\right),v_{\mathrm{1}}\left(t\right),u_{\mathrm{1}}^{\text{'}}\left(t\right)\right),t\in I（16）

-\left(v_{\mathrm{2}}^{\mathrm{}}\left(t\right)-v_{\mathrm{1}}^{\mathrm{}}\left(t\right)\right)=g\left(t,u_{\mathrm{2}}\left(t\right),v_{\mathrm{2}}\left(t\right),v_{\mathrm{2}}^{\text{'}}\left(t\right)\right)-g\left(t,u_{\mathrm{1}}\left(t\right),v_{\mathrm{1}}\left(t\right),v_{\mathrm{1}}^{\text{'}}\left(t\right)\right),t\in I（17）

将方程（16）两边同时乘以u_{\mathrm{2}}\left(t\right)-u_{\mathrm{1}}\left(t\right)，方程（17）两边同时乘以v_{\mathrm{2}}\left(t\right)-v_{\mathrm{1}}\left(t\right)，两式相加，由条件（F3），得

-\left(u_{\mathrm{2}}^{\mathrm{}}\left(t\right)-u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{}}\left(t\right)\right)\left(u_{\mathrm{2}}\left(t\right)-u_{\mathrm{1}}\left(t\right)\right)-\left(v_{\mathrm{2}}^{\mathrm{}}\left(t\right)-v_{\mathrm{1}}^{\mathrm{}}\left(t\right)\right)\left(v_{\mathrm{2}}\left(t\right)-v_{\mathrm{1}}\left(t\right)\right)=

\left(f\left(t,u_{\mathrm{2}}\left(t\right),v_{\mathrm{2}}\left(t\right),u_{\mathrm{2}}^{\text{'}}\left(t\right)\right)-f\left(t,u_{\mathrm{1}}\left(t\right),v_{\mathrm{1}}\left(t\right),u_{\mathrm{1}}^{\text{'}}\left(t\right)\right)\right)\left(u_{\mathrm{2}}\left(t\right)-u_{\mathrm{1}}\left(t\right)\right)+\left(g\left(t,u_{\mathrm{2}}\left(t\right),v_{\mathrm{2}}\left(t\right),v_{\mathrm{2}}^{\text{'}}\left(t\right)\right)-g\left(t,u_{\mathrm{1}}\left(t\right),v_{\mathrm{1}}\left(t\right),v_{\mathrm{1}}^{\text{'}}\left(t\right)\right)\right)\left(v_{\mathrm{2}}\left(t\right)-v_{\mathrm{1}}\left(t\right)\right)\le

a{\left(u_{\mathrm{2}}\left(t\right)-u_{\mathrm{1}}\left(t\right)\right)}^{\mathrm{2}}+b{\left(v_{\mathrm{2}}\left(t\right)-v_{\mathrm{1}}\left(t\right)\right)}^{\mathrm{2}}+c{\left(u_{\mathrm{2}}^{\text{'}}\left(t\right)-u_{\mathrm{1}}^{\text{'}}\left(t\right)\right)}^{\mathrm{2}}+d{\left(v_{\mathrm{2}}^{\text{'}}\left(t\right)-v_{\mathrm{1}}^{\text{'}}\left(t\right)\right)}^{\mathrm{2}},t\in I

对上式在I上积分，左边利用分部积分和方程（14）、（15）的边界条件，得

{‖u_{\mathrm{2}}^{\text{'}}-u_{\mathrm{1}}^{\text{'}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{‖v_{\mathrm{2}}^{\text{'}}-v_{\mathrm{1}}^{\text{'}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\le a{‖u_{\mathrm{2}}-u_{\mathrm{1}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+b{‖v_{\mathrm{2}}-v_{\mathrm{1}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+c{‖u_{\mathrm{2}}^{\text{'}}-u_{\mathrm{1}}^{\text{'}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+d{‖v_{\mathrm{2}}^{\text{'}}-v_{\mathrm{1}}^{\text{'}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\le

\left(a+b\right)\left({‖u_{\mathrm{2}}-u_{\mathrm{1}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{‖v_{\mathrm{2}}-v_{\mathrm{1}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\right)+\left(c+d\right)\left({‖u_{\mathrm{2}}^{\text{'}}-u_{\mathrm{1}}^{\text{'}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{‖v_{\mathrm{2}}^{\text{'}}-v_{\mathrm{1}}^{\text{'}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\right)\le

\left(\frac{a+b}{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}}+c+d\right)\left({‖u_{\mathrm{2}}^{\text{'}}-u_{\mathrm{1}}^{\text{'}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{‖v_{\mathrm{2}}^{\text{'}}-v_{\mathrm{1}}^{\text{'}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\right)

即

\left(\mathrm{1}-\frac{a+b}{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}}-\left(c+d\right)\right)\left({‖u_{\mathrm{2}}^{\text{'}}-u_{\mathrm{1}}^{\text{'}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{‖v_{\mathrm{2}}^{\text{'}}-v_{\mathrm{1}}^{\text{'}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\right)\le \mathrm{0}

又因为{‖u_{\mathrm{2}}^{\text{'}}-u_{\mathrm{1}}^{\text{'}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{‖v_{\mathrm{2}}^{\text{'}}-v_{\mathrm{1}}^{\text{'}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\ge \mathrm{0}，故

{‖u_{\mathrm{2}}^{\text{'}}-u_{\mathrm{1}}^{\text{'}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{‖v_{\mathrm{2}}^{\text{'}}-v_{\mathrm{1}}^{\text{'}}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0}

所以，u_{\mathrm{2}}^{\text{'}}-u_{\mathrm{1}}^{\text{'}}=\mathrm{0},v_{\mathrm{2}}^{\text{'}}-v_{\mathrm{1}}^{\text{'}}=\mathrm{0},即u_{\mathrm{2}}-u_{\mathrm{1}}=C_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}}-v_{\mathrm{1}}=C_{\mathrm{2}},其中C_{\mathrm{1}},C_{\mathrm{2}}\mathrm{为}\mathrm{常}\mathrm{数}。由边界条件得，C_{\mathrm{1}}=C_{\mathrm{2}}=\mathrm{0}。因此u_{\mathrm{2}}=u_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}}=v_{\mathrm{1}}，所以边值问题（1）存在唯一解。

例1 考虑如下二阶微分方程组

\left\{\begin{array}{l}-u″\left(t\right)=\mathrm{6}u\left(t\right)-u^{\mathrm{3}}\left(t\right)v^{\mathrm{2}}\left(t\right)-u\left(t\right){u\text{'}}^{\mathrm{2}}\left(t\right)+\mathrm{1},t\in \left[\mathrm{0,1}\right]\\ -v″\left(t\right)=-u^{\mathrm{2}}\left(t\right)v\left(t\right)+\mathrm{2}v\left(t\right)-v^{\mathrm{3}}\left(t\right)-v\left(t\right){v\text{'}}^{\mathrm{2}}\left(t\right)+t,t\in \left[\mathrm{0,1}\right]\\ u\left(\mathrm{0}\right)=u\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0},v\left(\mathrm{0}\right)=v\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}\end{array}\right.（18）

方程（18）相应的非线性项为

f\left(t,x,y,p\right)=\mathrm{6}x-x^{\mathrm{3}}{y}^{\mathrm{2}}-x{p}^{\mathrm{2}}+\mathrm{1},g\left(t,x,y,q\right)=-x^{\mathrm{2}}y+\mathrm{2}y-y^{\mathrm{3}}-y{q}^{\mathrm{2}}+t（19）

易见f\left(t,x,y,p\right)关于p二次增长，g\left(t,x,y,q\right)关于q二次增长，满足条件（F1）。

因为f\mathrm{与}g不是非负的，文献［1~11］的结果对边值问题（18）不适用。下面验证f\left(t,x,y,p\right)与g\left(t,x,y,q\right)满足条件（F2）。取a=\mathrm{6}+\frac{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}}{\mathrm{4}},b=\mathrm{2}+\frac{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}}{\mathrm{4}},c=d=\mathrm{0},e=\frac{\mathrm{2}}{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}}，则。由（19）式可得

\begin{array}{l}f\left(t,x,y,p\right)x+g\left(t,x,y,q\right)y=\\ \mathrm{6}{x}^{\mathrm{2}}-x^{\mathrm{4}}{y}^{\mathrm{2}}-x^{\mathrm{2}}{p}^{\mathrm{2}}+x-x^{\mathrm{2}}{y}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{y}^{\mathrm{2}}-y^{\mathrm{4}}-y^{\mathrm{2}}{q}^{\mathrm{2}}+ty\le \mathrm{6}{x}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{y}^{\mathrm{2}}+\left|x\right|+\left|y\right|=\end{array}

\mathrm{6}{x}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{y}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\cdot \frac{\sqrt[]{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}}}{\mathrm{2}}\left|x\right|\cdot \frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}}}+\mathrm{2}\cdot \frac{\sqrt[]{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}}}{\mathrm{2}}\left|y\right|\cdot \frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}}}\le

\mathrm{6}{x}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{y}^{\mathrm{2}}+\frac{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}}{\mathrm{4}}{x}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}}+\frac{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}}{\mathrm{4}}{y}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}}=

\left(\mathrm{6}+\frac{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}}{\mathrm{4}}\right)x^{\mathrm{2}}+\left(\mathrm{2}+\frac{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}}{\mathrm{4}}\right)y^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}}{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}}=a{x}^{\mathrm{2}}+b{y}^{\mathrm{2}}+e

因此， f\left(t,x,y,p\right)\mathrm{与}g\left(t,x,y,q\right)满足条件（F2）。由定理1可知，方程（18）有解。

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基金资助

国家自然科学基金(11661071)

国家自然科学基金(12061062)